Persamaan diferensial

PERSAMAAN
DIFERENSIAL
Ahmad kamsyakawuni
kamsyakawuni@gmail.com

Definisi
• Suatu persamaan yang mengandung satu atau
beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak
diketahui.
• Sebuah persamaan yang merupakan hubungan
antara hasilbagi differensial dari satu peubah tak
bebas terhadap satu/lebih peubah-peubah
bebas.
Ahmad Kamsyakawuni - Matematika Lanjutan - 2013

Persamaan Diferensial Biasa
• PD yang mengandung hanya satu peubah bebas.
2
2
2
2
23
122
xy
dx
dy
dx
yd
xxy
dx
dy



Persamaan Diferensial Parsial
• PD yang mengandung lebih dari satu peubah bebas.
0
2
2
2
2
2
2
2









y
z
a
x
z
xy
yx
z

Tingkat (orde) dan Derajat PD
• Turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan
disebut tingkat (orde) dari PD.
• Pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan
diferensial disebut derajat dari PD.
x
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
dy
dx
yd
xx
y
dx
dy








2
2
2
023
3
PD tingkat 1, derajat 1

Penyelesaian suatu PD
• Apabila f(x) disubstitusikan ke y dalam persamaan
diferensial, persamaan yang dihasilkan merupakan suatu
kesamaan untuk semua x dalam selang, maka f(x)
disebut penyelesaian persamaan diferensial.
02
102


xsin
dx
dy
xcos)x(f
Cxcos
xcos


2
102
Penyelesaian umum PD
Penyelesaian khusus PD
PD
Penyelesaian PD

Persamaan Linear Orde Pertama
• Persamaan Umumnya
• Langkah-langkah penyelesaian:
1. Mengalikan kedua ruas dengan faktor integral


dx)x(Pdx)x(Pdx)x(P
dx)x(P
e)x(Qy)x(Pe
dx
dy
e
e
)x(Qy)x(P
dx
dy

faktor integral=

Persamaan Linear Orde Pertama
2. Ruas kiri, disederhanakan menggunakan
persamana (u.v)’ = u.v’ + u’.v,
3. Kedua ruas diintegralkan, sehingga diperoleh






  dx)x(Pdx)x(P
e)x(Qye
dx
d
 
 dx)e)x(Q(ye dx)x(Pdx)x(P

 




 dx)e)x(Q(e
e
dx)e)x(Q(
y dx)x(Pdx)x(P
dx)x(P
dx)x(P

Contoh 1
• Selesaikan PD dibawah ini:
Penyelesaian:
Menentukan faktor integral
2
32
x
xsin
y
xdx
dy

22
2
2
xeee xlnxlndx)
x
(


xsinxy
dx
dy
x
x
xsin
xy
x
x
dx
dy
x
32
32
2
2
222



persamana (u.v)’=u.v’+u’.v,
3. Kedua ruas diintegralkan, sehingga
  xsinyx
dx
d
32

2
2
3
3
1
3
3
1
3


 
x)cxcos(y
atau
cxcosxdxsinyx

Contoh 2
• Tentukan penyelesaian khusus dari PD dibawah ini yang
memenuhi y = 4, bila x = 0
Penyelesaian:
Menentukan faktor integral
x
xey
dx
dy 3
3 
xxxx
exeye
dx
dy
e 3333
3 

xdx
ee 33 


persamana (u.v)’=u.v’+u’.v,
3. Kedua ruas diintegralkan, sehingga
x)ye(
dx
d x
3
xx
x
ceexy
atau
cxdxxye
332
23
2
1
2
1

 


4. Subsitusikan y = 4 bila x = 0, sehingga diperoleh C = 4
5. Sehingga penyelesaian khusus PD adalah
xx
eexy 332
4
2
1

x
xey
dx
dy 3
3 

Penerapan PD Orde 1
• Sebuah tangki mula-mula berisi 120 galon air asin, larutan itu
mengandung 75 pon garam larut. Air garam yang berisi 1,2 pon
garam per galon, memasuki tangki pada laju 2 galon per menit
dan air asin mengalir keluar pada laju yang sama (lihat gambar).
Jika campuran itu dipertahankan agar seragam dengan cara tetap
mengaduknya, tentukan banyaknya garam dalam tangki setelah 1
jam.
Penyelesaian:
• y banyaknya garam dalam pon yang ada dalam
tangki pada akhir t menit
• tangki mendapat tambahan 2,4 pon garam per
menit (1,2 pon garam per galon x 2 galon)
• dari yang mengalir keluar tangki kehilangan
1/120 y pon per menit per galon

Sehingga diperoleh PD
atau setara
dengan syarat y = 75 bila t = 0.
Faktor integral
60
144 /t
Cey 

y,
dt
dy
60
1
42 
Ce),)((dte,ye /t/t/t
 
606060
426042
42
60
1
,y
dt
dy

6060
42 /t/t
e,)ye(
dx
d

606060
42
60
1 /t/t/t
e,ye
dx
dy
e 
60601 /tdt/
ee 
]Ce[ey /t/t
  6060
144

subsitusi y = 75 bila t = 0, sehingga diperoleh C = -69
Setelah 1 jam (t = 60)
pon,ey 6211869144 1
 

Rangkaian Listrik (Hukum Kirchof)
• Rangkaian listrik sederhana, mengandung tahanan
sebesar R ohm dan sebuah kumparan sebesar L henry,
yang menyediakan suatu voltase sebesar E(t) volt pada
saat t memenuhi persamaan diferensial
dengan I adalah arus listrik yang diukur dalam amper
)t(ERI
dt
dI
L 

Contoh 4
• Sebuah rangkaian listrik sederhana, dengan L = 2 henry,
R = 6 ohm dan sebuah baterai yang menyediakan suatu
voltase konstanta sebesar 12 volt. Jika I = 0 pada saat t =
0 (bilamana saklar S ditutup), tentukan I pada saat t.
Penyelesaian:
Persamaan diferensialnya
faktor integral
Kedua ruas dikalikan dengan faktor integral
631262  I
dt
dI
atauI
dt
dI
tdt
ee 33

ttt
eIe
dt
dI
e 333
63 

Contoh 4
Syarat awal I = 0 pada saat t = 0, diperoleh C = -2
Jika t bertambah maka arus cenderung menuju suatu arus sebesar 2
amper
t
eI 3
22 

ttt
ttt
tt
Ce)Ce(eI
CedteIe
e)Ie(
dt
d
333
333
33
22
26
6






Contoh 5
Jika baterai pada Contoh 4 diganti dengan suatu generator
arus bolak-balik yang menyediakan suatu voltase sebesar
E(t) = 12 sin 9t volt. Tentukan I pada saat t dan perhatikan
perilakunya untuk t besar.
C)tcostsin(
e
dttsineIe
tsine)Ie(
dt
d
tsineIe
dt
dI
e
tsinI
dt
dI
atautsinI
dt
dI
t
tt
tt
ttt








9993
819
6
96
96
963
96391262
3
33
33
333

Contoh 5
Syarat awal I = 0 pada saat t = 0, diperoleh C = 5/3
Untuk t besar, nilai dapat diabaikan
I merupakan arus bolak-balik dengan frekwensi sama
seperti voltase yang dibebankan
t
CetcostsinI 3
9
5
3
9
5
1 

t
e 3
t
etcostsinI 3
5
3
9
5
3
9
5
1 

tcostsinI 9
5
3
9
5
1


Latihan 1
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
t
e 3
1335
1
4
3
112
1
3
2




 
xbilay;x
x
y
dx
dy
.
xx
y
dx
dy
.
xe
x
y
dx
dy
.
x,axxy
dx
dy
)x(.
ey
dx
dy
.
x
x

PD Linear Orde Satu Homogen
• Jumlah Diferensial
0


dy)y,x(Ndx)y,x(M
dx)y,x(fdy
)y,x(f
dx
dy
y
)y,x(F
)y,x(N;
x
)y,x(F
)y,x(M
dy
y
)y,x(F
dx
x
)y,x(F
)y,x(dF













PD Eksak
• Suatu PD Orde Satu yang berbentuk
disebut PD Eksak jika memenuhi
• Penyelesaian Umum PD Eksak:
0 dy)y,x(Ndx)y,x(M
x
)y,x(N
y
)y,x(M





dy)y,x(Ndx)y,x(Mdy
y
F
dx
x
F
dF 






C)y,x(F 
dx)y,x(Mdx
x
F




PD Eksak
Pengintegralan terhadap x dimana y dianggap konstan
Konstanta integrasi yang ditentukan berdasarkan
diperoleh dan
 dx)y,x(M
)y(dx)y,x(M)y,x(F  
)y(
)y,x(N
dy
)y(
dx)y,x(M
yy
F
 







)y('
dy
)y(

 )y(

Contoh 6
Selesaikan PD berikut ini:
)y('x
y
F



x
)y,x(N
y
)y,x(M





1
032 2
 dy)yx(dx)yx(
)y(yxx
)y(dx)yx(
)y(dx)y,x(M)y,x(F





2
2

32
yyxx)y,x(F 
3
2
3
y)y(
y)y('


2
3yx
y
F
)y,x(N 



tatankonsCCyyxx  32
Penyelesaian Umum PD Eksak adalah

Latihan 2
t
e 3
03245
03124
01213
0232
0321
43
23
32
223





dy)yx(ydxx.
dyxydx)y(.
dy)x(xdx)x(y.
dy)yx(dx)yx(.
dy)yx(dx)xy(.

PD Peubah Terpisah
• Penyelesaiannya
0 dy)y(gdx)x(f
Cdy)y(gdx)x(f  

Contoh 7
2
13
32
23
2
2
2
2
2
1
3
031
)Cx(y
Cxy
Cyx
dyydxx
dyydxx.






)x(Cy
)x(ClnCln)xln(yln
dx
x
dy
y
x
dx
y
dy
x
y
'y.
1
11
1
11
1
1
2










PD Peubah Dapat Dipisahkan
• Kedua ruas dibagi dengan
• Penyelesaian Umumnya
01221  dy)y(g)x(fdx)y(g)x(f
)y(g).x(f 22
0
2
1
2
1
 dy
)y(g
)y(g
dx
)x(f
)x(f
Cdy
)y(g
)y(g
dx
)x(f
)x(f
  2
1
2
1

Contoh 8
xy
1Kedua ruas dikalikan
0121  dy)y(xdx)x(y
Cdy)
y
(dx)
x
(
dy
y
)y(
dx
x
)x(





 1
1
2
1
0
121
Penyelesaian Umum PD
Cyxxyln
Cyylnxxln


2
2

Latihan 3
t
e 3
2
2
2
1
1
5
0114
03
0132
01
x
y
dx
dy
.
dyx)y(dxy)x(.
dyxdxy.
dy)y(dxx.
dyydxx.







C
a
u
arctg
aua
du


1
22

PD Homogen
Jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi-fungsi homogen
dan berderajat sama maka disebut PD Homogen.
• Penyelesaian dengan substitusi y = vx; dy = v dx + x dv
sehingga diperoleh PD dengan peubah terpisah.
Suatu fungsi f(x,y) disebut homogen derajat n jika
f(kx,ky)=knf(x,y).
0 dy)y,x(Ndx)y,x(M

Contoh 9
021
0
2


dvxdx)v(x
)dvxdxv(xdx)vxx(
substitusi y = vx ; dy = v dx + x dv
0 dyxdx)yx(
)v(x 21
1
2

Namakan :1
12
1
2212
21
C)vln(xln
C)vln(xln


PD Homogen derajat 1
Kedua ruas dikalikan dengan
1
21
11
Cdv
v
dx
x


 
ClnC 12

substitusi v=y/x
Cyxx
C)
x
y
(x


2
21
2
2
C)v(x
Cln)v(xln


21
21
2
2
Penyelesaian Umum PD Homogen

Latihan 4
t
e 3
2
2
22
22
2
4
23
012212
01
x
xyy
dx
dy
.
dyxydx)yx(.
dy)
y
x
(edx)e(.
dxxydy)yx(.
y
x
y
x






PD Bentuk
(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0
• Jika a.q - b.p = 0 atau p/a = q/b = m
Dengan substitusi : u = ax + by, dy = (du – a dx)/b maka
PD tersebut bisa diubah menjadi PD dengan peubah
terpisah
• Jika a.q - b.p  0
Dengan substitusi x = x1+h ; y = y1+k , dimana x = h ;
y = k adalah penyelesaian dari persamaan:ax + by + c =0
px + qy + r = 0 ; maka PD berubah menjadi PD
Homogen: (ax1 + by1) dx1+ (px1 + qy1) dy1 = 0.

Contoh PD Bentuk
(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0
PUPDCy)yx(
C)yx()yx(x
Cuux
Cdu)u(dx
du)u(dx
dxudxduduudxu
)dxdu)(u(dxu
dydxdu;yxu
bpaq
dy)yx(dx)yx(










 
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
01
01
01
0
01

PD Bentuk
y.f(xy) dx + x.f(xy) dy = 0
• Dengan substitusi : y = z /x , dy = (x dz – z dx)/x2 maka
PD tersebut bisa diubah menjadi PD dengan peubah
terpisah.

Contoh PD Bentuk
y.f(xy) dx + x.f(xy) dy = 0
PUPDC
xyy
x
lnC
xyxy
x
ln
C
zz
x
lnCzln
z
xln
Cdz
z
z
dx
x
dz
z
z
dx
x
dz)z(xdxz
)dxzzdxxzdzxdzdxzzdx)zdxxdz)(z(dx)z(z
x
zdxxdz
)z(xdx)z(
x
z
x
zdxxdz
dy;
x
z
y
dy)xy(xdx)xy(y

















11
11
12
0
12
012
0011
011
011
2
2
2
2
2
2
22
2
2

PD Bernaulli
• Cara menyelesaikannya:
Dengan substitusi
Sehingga PD menjadi PD Linier tingkat satu, yaitu:
dx
dz
ndx
dy
y;zy nn

 
1
11
)x(Qy)x(Py
dx
dy n

)x(Q)n()x(P)n(z
dx
dz
 11

Contoh PD Bernaulli
5
534
4
54
441
3
3
1
11
41
1
xz
xdx
dz
xy
xdx
dy
y
y
dikalikanruaskeduaxyy
xdx
dy
dx
dz
dx
dy
y;zy







541
xyy
xdx
dy


Contoh PD Bernaulli
36
323
23
243
33
3
5
3
3
33
3
3
Cxxz
Cxdxxzx
x)zx(
dx
d
xzx
dx
dz
x
xee
xz
xdx
dz
xln
dx
x













63
3
363
3
1
xCx
y
Cxxy
zy







Latihan 5
t
e 3
22
22
4
1
5
0114
0513
06423522
524
12
1








y)x(y
xdx
dy
.
dy)xyyx(xdx)xy(y.
dy)yx(dx)yx(.
dy)yx(dx)yx(.
yx
yx
dx
dy
.

Persamaan diferensial

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Persamaan diferensial

Similar to Persamaan diferensial (20)

Persamaan diferensial