Teori Pappus menyatakan bahwa (i) isi benda yang dihasilkan dari rotasi luasan datar sama dengan luas datar kali keliling lingkaran titik beratnya, dan (ii) luas permukaan benda yang dihasilkan dari rotasi busur sama dengan panjang busur kali keliling lingkaran titik beratnya. Teori ini dibuktikan secara matematis dengan integral dan dipakai untuk menghitung isi dan luas permukaan benda putar dari contoh cycloid

1. Teori Pappus
(i) Jika suatu luasan datar diputar keliling suatu sumbu pada bidangnya dan sumbu putar
tidak memotong luasan tersebut, maka isi benda (v) yang terjadi sama dengan hasil
ganda luas bidang datar tersebut dasn keliling lingkaran yang jari jarinya adalah jarak
dari titik berat luasan terhadap sumbu putar
Perhatikan gambar dibawah!
Luasan datar yang dibatasi oleh y1 = f1 (x), y2 = f2 (x) dan x dari x = a sampai x = b
dengan luas S. Titik berat luasan S terhadap sumbu x (sebagai sumbu putar) yaitu titik z
dengan koordinat ӯ
Jadi secara matematis teori diatas dapat ditulis:
Bukti:
𝑉 = 𝜋 ∫( 𝑦1
2
− 𝑦2
2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑆 = ∫ ( 𝑦1 − 𝑦2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
dan ӯ =
1
2
∫ ( 𝑦1
2
−𝑦2
2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∫ ( 𝑦1−𝑦2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Maka :
𝑉 = 2𝜋
1
2 ∫ ( 𝑦1
2
− 𝑦2
2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∫ ( 𝑦1 − 𝑦2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. ∫( 𝑦1 − 𝑦2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 2𝜋 ӯ 𝑆
(ii) Jika suatu busur datar diputar keliling suatu sumbu pada bidangnya dan sumbu putar
tidak memotong garis lengkung tersebut, maka luas permukaan (0) yang terjadi sama
dengan hasil ganda panjang busur dan keliling lingkaran yang jari-jarinya adalah jarak
dari titik berat busur terhadap sumbu putar
V = 2 π ӯ S
0
S
y
y1 = f1 x
y2 = f2 x
x

2. Secara matematis dapat ditulis:
Dimana, ӯ = jarak titik berat busur terhadap sumbu putar
L = panjang busur
𝐿 = ∫ 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥 = 𝑎
ӯ =
∫ 𝑦 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
∫ 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
0 = 2 𝜋 ∫ 𝑦 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
= 2𝜋
∫ 𝑦 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
∫ 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
. ∫ 𝑑𝑠
𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
= 2𝜋. ӯ. 𝐿
Contoh soal:
1) Tentukan luas permukaan benda putaran, bila busur (pertama) dari cycloid:
X = a (t – sin t)
Y = a (1 – cos t)
Diputar keliling sumbu x
Penyelesaian:
Dari penjelasan contoh contoh soal dimuka telah diperoleh (lihat contoh 3 bagian 10.3
dan contoh 2 bagian 10.7)
Panjang busur cycloid L = 8a
Titik berat busur =
4
3
𝑎
Jadi teori pappus (ii) memberikan luas permukaan:
𝑂 𝑥 = 2𝜋. ӯ. 𝐿 = 2𝜋.
4
3
𝑎. 8𝑎 =
64
3
𝜋𝑎2
0 = 2 π . ӯ.L
y = f (x)
a b
y

3. 2) Suatu bujur sangkar dengan sisi 2a diputar terhadap sumbu pada bidangnya yang
tegak lurus pada salah satu diagonalnya dengan jarak 3a dari pusat. Tentukan isi dan
luas permukaan benda putar yang terjadi
Penyelesaian:
V = 2π.ӯ. S
Dimana: ӯ = 3a dan S = 4a²
Isi benda putaran:
V = 2π. 3a. 4a² - 24πa³
Panjang busur = keliling bujur sangkar = 8a
Jadi luas permukaan yang terjadi ialah: 0 = 2π.3a. 8a = 48πa²
2a
3a