Volume benda putar metode cincin adalah metode yang menggunakan integral untuk menentukan volume benda putar yang memiliki lubang. Metode ini membagi benda menjadi cincin-cincin dengan rumus volume cincin. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya.
6. Tahukah kalian, apakah
volume benda putar itu
?
Suatu daerah yang dibatasi oleh
beberapa kurva kemudian
diputar terhadap suatu garis
tertentu yang biasanya diputar
mengelilingi sumbu x atau
sumbu y dengan satu putaran
penuh yaitu πππ π.
7. Dari penjelasan slide sebelumnya, kita masih bisa
menghitung volume benda putarnya karena kita
bisa menggunakan rumus volume kerucut dan
bola.
Lalu apakah kalian bisa
menghitung volume benda putar
yang berbentuk parabola / kurva
yang tidak beraturan ???
Ada 3 metode yang digunakan untuk menghitung volume benda
putar dengan kurva yang tidak beraturan :
1. Metode Cincin
2. Metode Cakram
3. Metode Kulit Tabung
8. Pernahkah kalian mendengar
volume benda putar metode
cincin ???
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan
volume benda putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombai dengan
memotong- motongnya yang potongannya
berbentuk cincin
Metode cincin yaitu suatu metode yang menggunakan integral dalam
menentukan volume benda putar yang memiliki lubang. Cincin
dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang
terhadap sumbu putaran tertentu ( sumbu putaran tidak berimpit
dengan sisi persegi panjang)
9. Rumus
π = π π
π
[π π₯ ]2 β [π π₯ ]2 ππ₯
Gambar
h = Tinggi
R = Jari- jari luar
r = Jari- jari dalam
10. Daerah antara kurva y = π₯ dan y = 3, dalam selang 0β€ π₯ β€ 4 diputar mengitari sumbu x untuk membentuk suatu
benda padat. Tentukan volume benda padat ini !
Contoh soal volume benda putar mengitari sumbu x
Langkah 1 : Lukis daerah yang diraster dan sketsalah satu segmen garis yang tegak lurus
terhadap sumbu putar ( disini sumbu x ) dan memotong daerah ini ( gambar PQ dalam gambar
disamping )
Langkah 2 : Tentukan batas- batas integral
Batas integral dalam selang 0β€ π₯ β€ 4 adalah a = 0 dan b = 4
Langkah 3 : Tentukan jari- jari luar dan jari- jari dalam dari cincin yang dibentuk oleh segmen
garis PQ. Jari- jari ini adalah jarak ujung- ujung segmen garis dari sumbu putar ( disini sumbu
x )
Jadi,
Jari- jari luar ( R ) = f(x) = 3
Jari- jari dalam ( r ) = g(x) = π₯
Langkah 4 : hitung volume benda dengan rumus metode cincin
Jawab :
12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x β x2
dan y = 2 β x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360Β° adalah....
a.
1
5
π satuan volume
b.
2
5
π satuan volume
c.
3
5
π satuan volume
d.
4
5
π satuan volume
e. π satuan volume
Good Job !!!
Try Again!!!
13. R = 2π₯ β π₯2
r = 2 β π₯
Penyelesaian :
14. Daerah antara kurva π¦ = 4π₯ β π₯2 dan π¦ = π₯. Tentukan volume benda putar
yang diperoleh !
Jawaban
Penyelesaian :
πππ
π
π ππππ ππ
π
π
π ππππ ππ, ππ ππππππ ππππππ
16. Daerah yang dibatasi oleh parabola π¦ = π₯2 dan garis π¦ = 3π₯ dalam kuadran pertama diputar mengitari sumbu y.
tentukan volume benda padat yang dibentuknya !
Contoh soal volume benda putar mengitari sumbu y
Langkah 1 : Lukis daerah yang diraster dan sketsalah satu segmen garis
yang tegak lurus terhadap sumbu putar ( disini sumbu y ) dan memotong
daerah ini ( gambar PQ dalam gambar disamping )
Langkah 2 : Tentukan batas- batas integral
π₯2
= 3π₯
π₯2
β 3π₯ = 0
π₯ π₯ β 3 = 0
π₯ = 0, π₯ = 3
β΄ πππ‘ππ β πππ‘ππ πππ‘πππππππ¦π π¦πππ‘π’ 0 πππ 3
Jawab :
17. Langkah 3 : Tentukan jari- jari luar dan jari-
jari dalam dari cincin yang dibentuk oleh
segmen garis PQ. Jari- jari ini adalah jarak
ujung- ujung segmen garis dari sumbu putar (
disini sumbu y )
Jadi,
Jari- jari luar ( R ) = f(y) = π¦
1
2
Jari- jari dalam ( r ) = g(y) =
π¦
3
Langkah 4 : hitung volume benda dengan rumus
metode cincin
π = π
π
π
[π π¦ ]2 β [π π¦ ]2 ππ¦
= π
0
3
π¦
1
2
2
β
π¦
3
2
ππ¦
= π
0
3
π¦ β
π¦2
9
ππ¦
= π
π¦2
2
β
π¦3
27
3
0
= π
(3)2
2
β
(3)3
27
β
(0)2
2
β
(0)3
27
= π
9
2
β
27
27
β 0 β 0
= π
9
2
β 1
= π
9
2
β
2
2
= π
7
2
=
7
2
π π ππ‘π’ππ π£πππ’ππ
18. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = β x2 + 4 dan y = β 2x + 4
diputar 360Β° mengelilingi sumbu Y adalah.....
a. 8π satuan volume
b.
13
2
π satuan volume
c.
8
3
π satuan volume
d. 4π satuan volume
e.
5
4
π satuan volume
Good Job !!!
Try Again!!!
19. Penyelesaian
Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar
nampak batas-batas yang akan diambil,
Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat,
y = βx2 + 4
Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = βx2 + 4
0 = βx2 + 4
0 = 4 βx2
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x β 2)
x = β 2 atau x = 2
Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (β2, 0)
Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = βx2 + 4
y = β02 + 4
y = 4
Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)
20. Kurva Kedua berbentuk persamaan
linier
y = β 2x + 4
Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = β 2x + 4
0 = β 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)
Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = β 2x + 4
y = β 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)
Grafik selengkapnya sebagai berikut :
Menentukan Batas-batas
Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari
gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2
Jika diputar pada sumbu y, terlihat
batas-batasnya adalah 0 dan 4
Kali ini akan dihitung untuk putar
sumbu y, sehingga batas yang diambil 0
dan 4
Dari rumus volume benda putar pada
sumbu y untuk dua buah kurva:
π = π
π
π
[π π₯ ]2
β [π π₯ ]2
ππ₯
Ubah bentuk "y =... " menjadi "x =..." atau
"x2 =..." ,
y = βx2 + 4
x2 = 4 β y
y = β 2x + 4
2x = 4 β y
x = 2 β 1/2 y
x2 = 4 β2y + y2
π = π
π
π
[π π₯ ]2
β [π π₯ ]2
ππ₯
V = Ο 0β«4 ( [4 β y] β [4 β2y + y2/4] ) dy
V = Ο 0β«4 ( 4 β y β 4 + 2y β y2/4 ) dy
V = Ο 0β«4 (y β y2/4 ) dy
V = Ο [ 1/2 y2 β y3/12]0
4
V = (1/2 . 16 β 64/12)Ο β (0) Ο = 8/3 Ο
21. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
π¦ = π₯2
, garis x = 2 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600
.
Penyelesaian :
Jawaban 8π ππππππ ππππππ