Catatan Mata Kuliah Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Semoga bermanfaaat :) *PDB Orde 1 silahkan klik https://www.slideshare.net/madedwika2/persamaan-diferensial-biasa-pdb-orde-1

1. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE 2
A. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2 HOMOGEN
Bentuk Umum :
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑝
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑞𝑦 = 0 … (1)
Penyelesaian persamaan (1) sebagai berikut :
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑘𝑦 = 0 ⇔ ∫
𝑑𝑦
𝑦
= − ∫ 𝑘𝑑𝑥
𝑙𝑛 𝑦 = −𝑘𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑐𝑒−𝑘𝑥
𝑦 = 𝑐𝑒 𝑚𝑥
Misal :
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥
𝑦′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
𝑦" = 𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
} … (2)
Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh :
𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
+ 𝑝𝑘𝑒 𝑘𝑥
+ 𝑞𝑒 𝑘𝑥
= 0
(𝑘2
+ 𝑝𝑘 + 𝑞)𝑒 𝑘𝑥
= 0
𝑘2
+ 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0 … (3)
Persamaan (3) disebut persamaan karakteristik.
Jika 1k dan 2k adalah akar-akar dari persamaan kuadrat, maka ada 3 kemungkinan untuk 1k dan
2k
a. Jika 𝑘1 ≠ 𝑘2 (akar-akar rill dan berbeda), maka penyelesaian umum dari (1) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1 𝑥
+ 𝑐2 𝑒 𝑘2 𝑥
b. Jika 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 (akar-akar kembar), maka penyelesaian umum dari (1) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘𝑥
+ 𝑐2 𝑒 𝑘𝑥
= (𝑐1 + 𝑐2)𝑒 𝑘𝑥
c. Jika 𝑘1 dan 𝑘2 akar-akar kompleks konjugat (𝑘1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 , 𝑘2 = 𝛼 − 𝛽𝑖), maka
penyelesaian umum dari (1) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1 𝑥
+ 𝑐2 𝑒 𝑘2 𝑥
𝑦 = 𝑐1 𝑒(𝛼+𝛽𝑖)𝑥
+ 𝑐2 𝑒(𝛼−𝛽𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥
(𝑐1 𝑒 𝛽𝑖 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝛽𝑖 𝑥
)
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥
(𝑐1(𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥) + 𝑐2(𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥))
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥{(𝑐1 + 𝑐2) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥}
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥{𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥}

2. Contoh :
Tentukan penyelesaian umum dari :
1. 𝑦" + 3𝑦' + 2𝑦 = 0
𝑦" + 3𝑦' + 2𝑦 = 0 … (1)
Misal :
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥
𝑦' = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
𝑦" = 𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
} … (2)
Subsitusi persamaan (2) ke (1)
𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
+ 3𝑘𝑒 𝑘𝑥
+ 2𝑒 𝑘𝑥
= 0
(𝑘2
+ 3𝑘 + 2)𝑒 𝑘𝑥
= 0
𝑘2
+ 3𝑘 + 2 = 0
(𝑘 + 2)(𝑘 + 1) = 0
𝑘 = −2 ∨ 𝑘 = −1
∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝑥
2. 𝑦" + 4𝑦' + 4𝑦 = 0
𝑦" + 4𝑦' + 4𝑦 = 0 … (3)
Misal :
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥
𝑦' = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
𝑦" = 𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
} … (4)
Subsitusi persamaan (3) ke (4)
𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
+ 4𝑘𝑒 𝑘𝑥
+ 4𝑒 𝑘𝑥
= 0
(𝑘2
+ 4𝑘 + 4)𝑒 𝑘𝑥
= 0
𝑘2
+ 4𝑘 + 4 = 0
(𝑘 + 2)2
= 0
𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 = −2
∴ 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑥)𝑒−2𝑥
3. 4𝑦" + 9𝑦 = 0
4𝑦" + 9𝑦 = 0 … (5)
Misal :
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥
𝑦' = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
𝑦" = 𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
} … (6)
Subsitusi persamaan (5) ke (6)

3. 4𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
+ 9𝑒 𝑘𝑥
= 0
(4𝑘2
+ 9)𝑒 𝑘𝑥
= 0
𝑘2
= −
9
4
𝑘 = ±
3
2
𝑖
∴ 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠
3
2
+ 𝐵 𝑠𝑖𝑛
3
2
⇔ 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2) 𝑐𝑜𝑠
3
2
+ (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 𝑠𝑖𝑛
3
2
Latihan Soal
Tentukan penyelesaian umum dari:
1. 𝑦" + 𝑦' − 6𝑦 = 0
2. 4𝑦" + 4𝑦' = 0
3. 4𝑦" − 4𝑦' − 3𝑦 = 0
4. 𝑦" − 16𝑦 = 0

4. B. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2 NON HOMOGEN
Bentuk Umum :
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑝
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑞𝑦 = 𝑟(𝑥) … (1)
Penyelesaian persamaan (1) adalah 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 … (2) dimana 𝑦ℎ adalah penyelesaian
homogen dan 𝑦𝑝 adalah penyelesaian partikulir.
𝑦ℎ dicari dari
𝑎
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑐𝑦 = 0 … (3)
𝑦𝑝 dicari dari
𝑎
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑐𝑦 = 𝑟(𝑥) … (4)
Penyelesaian umum untuk (1) akan memiliki banyak kasus tergantung dari fungsi 𝑟(𝑥) di ruas
kanan.
Berikut tabel untuk mencari 𝑦𝑝.
No 𝒓(𝒙) 𝒚 𝒑
1 5 𝑦𝑝 = 𝐴
2 5𝑥 + 7 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵
3 3𝑥2
− 2 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
4 𝑥3
− 𝑥 + 1 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥3
+ 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥 + 𝐸
5 sin 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴 sin 4𝑥 + 𝐵 cos 4𝑥
6 cos 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴 cos 4𝑥 + 𝐵 sin 4𝑥
7 𝑒5𝑥
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒5𝑥
8 (9𝑥 − 2)𝑒5𝑥
𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒5𝑥
9 𝑥2
𝑒5𝑥
𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒5𝑥
10 𝑒3𝑥
sin 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒3𝑥
sin 4𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥
cos 4𝑥
11 5𝑥2
sin 4𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶) sin 4𝑥 + (𝐸𝑥2
+ 𝐹𝑥 + 𝐺) cos 4𝑥
12 (2𝑥 + 3)𝑒3𝑥
sin 2𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒3𝑥
sin 2𝑥 + (𝐸𝑥 + 𝐹)𝑒3𝑥
cos 2𝑥
Contoh:
1. Bila ruas kanan 𝑟(𝑥) adalah polynomial.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
Penyelesaian:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6 … (1)

5. Mencari 𝑦ℎ
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 … (2)
Misal :
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥
𝑦′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
𝑦" = 𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
} … (3)
Subsitusi persamaan (3) ke persamaan (2)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0
𝑘2
𝑒 𝑘𝑥
+ 5𝑘𝑒 𝑘𝑥
+ 6𝑒 𝑘𝑥
= 0
(𝑘2
+ 5𝑘 + 6)𝑒 𝑘𝑥
= 0
(𝑘2
+ 5𝑘 + 6) = 0
(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) = 0
𝑘1 = −2 ⋁ 𝑘2 = −3
∴ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−3𝑥
Mencari 𝑦𝑝
Misal :
𝑦 = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑦′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵
𝑦" = 2𝐴
} … (4)
Subsitusi persamaan (4) ke persamaan (1)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
2𝐴 + 5(2𝐴𝑥 + 𝐵) + 6(𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶) = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
2𝐴 + 10𝐴𝑥 + 5𝐵 + 6𝐴𝑥2
+ 6𝐵𝑥 + 6𝐶 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
6𝐴𝑥2
+ (10𝐴 + 6𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 5𝐵 + 6𝐶 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
∴ 𝑦𝑝 =
1
3
𝑥2
−
19
18
𝑥 +
191
108
• 6𝐴𝑥2
= 2𝑥2
𝐴 =
1
3
• (10𝐴 + 6𝐵)𝑥 = −3𝑥
10𝐴 + 6𝐵 = −3
10 (
1
3
) + 6𝐵 = −3
𝐵 = −
19
18
• 2𝐴 + 5𝐵 + 6𝐶 = 6
2 (
1
3
) + 5 (−
19
18
) + 6𝐶 =
1
3
𝐶 =
191
108

6. Penyelesaian Umum:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−3𝑥
+
1
3
𝑥2
−
19
18
𝑥 +
191
108
2. Bila ruas kanan 𝑟(𝑥) adalah fungsi eksponensial.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 7𝑒4𝑥
Penyelesaian:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 7𝑒4𝑥
… (5)
Mencari 𝑦ℎ
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 … (6)
∴ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−3𝑥
(penyelesaian 𝑦ℎ sama seperti contoh nomor 1)
Mencari 𝑦𝑝
Misal :
𝑦 = 𝑚𝑒4𝑥
𝑦′ = 4𝑚𝑒4𝑥
𝑦" = 16𝑚𝑒4𝑥
} … (7)
Subsitusi persamaan (7) ke persamaan (5)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 7𝑒4𝑥
16𝑚𝑒4𝑥
+ 5(4𝑚𝑒4𝑥
) + 6(𝑚𝑒4𝑥
) = 7𝑒4𝑥
16𝑚𝑒4𝑥
+ 20𝑚𝑒4𝑥
+ 6𝑚𝑒4𝑥
= 7𝑒4𝑥
42𝑚𝑒4𝑥
= 7𝑒4𝑥
𝑚 =
7
42
=
1
6
∴ 𝑦𝑝 = 𝑚𝑒4𝑥
=
1
6
𝑒4𝑥
Penyelesaian Umum:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−3𝑥
+
1
6
𝑒4𝑥
3. Bila ruas kanan 𝑟(𝑥) adalah fungsi trigonometri.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 3 sin 4𝑥

7. Penyelesaian:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 3 sin 4𝑥 … (8)
Mencari 𝑦ℎ
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 … (9)
∴ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−3𝑥
(penyelesaian 𝑦ℎ sama seperti contoh nomor 1)
Mencari 𝑦𝑝
Misal :
𝑦 = 𝐴 sin 4𝑥 + 𝐵 cos 4𝑥
𝑦′ = 4𝐴 cos 4𝑥 − 4𝐵 sin 4𝑥
𝑦" = −16𝐴 sin 4𝑥 − 16𝐵 cos 4𝑥
} … (10)
Subsitusi persamaan (10) ke persamaan (8)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 3 sin 4𝑥
−16𝐴 sin 4𝑥 − 16𝐵 cos 4𝑥 + 5(4𝐴 cos 4𝑥 − 4𝐵 sin 4𝑥) + 6(𝐴 sin 4𝑥 + 𝐵 cos 4𝑥) =
3 sin 4𝑥
−16𝐴 sin 4𝑥 − 16𝐵 cos 4𝑥 + 20𝐴 cos 4𝑥 − 10𝐵 sin 4𝑥 + 6𝐴 sin 4𝑥 + 6𝐵 cos 4𝑥
= 3 sin 4𝑥 … (11)
(−10𝐴 − 20𝐵) sin 4𝑥 + (20𝐴 − 10𝐵) cos 4𝑥 = 3 sin 4𝑥 … (11)
Dari persamaan (11) diperoleh:
(−10𝐴 − 20𝐵) sin 4𝑥 = 3 sin 4𝑥
−10𝐴 − 20𝐵 = 3 … (12) dan
20𝐴 − 10𝐵 = 0 … (13)
Selanjutnya mencari nilai A dan B menggunakan subsitusi dari persamaan (12) dan (13)
20𝐴 − 10𝐵 = 0
𝐴 =
1
2
𝐵
Subsitusi nilai A ke persamaan (12)
−10𝐴 − 20𝐵 = 3
−10 (
1
2
𝐵) − 20𝐵 = 3
𝐵 = −
3
25
𝐴 =
1
2
𝐵 =
1
2
(−
3
25
) = −
3
50

8. 𝑦𝑝 = −
3
50
sin 4𝑥 −
3
25
cos 4𝑥
Penyelesaian Umum:
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥
+ 𝑐2 𝑒−3𝑥
−
3
50
sin 4𝑥 −
3
25
cos 4𝑥
Latihan Soal
Tentukan penyelesaian umum dari:
1. 𝑦" − 10𝑦' + 25𝑦 = −5𝑥 + 12
2. 4𝑦" + 9𝑦 = 15
3. 𝑦" − 2𝑦' + 3𝑦 = 6𝑥𝑒2𝑥
4. 𝑦" − 9𝑦' + 14𝑦 = 3𝑥2
− 5 sin 2𝑥 + 7𝑥𝑒6𝑥

9. C. PERSAMAAN EULER - CAUCHY ORDE 2
Bentuk Umum :
𝑥2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑝𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑞𝑦 = 0 … (1)
Penyelesaian:
Misalkan :
𝑦 = 𝑥 𝑚
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑚𝑥 𝑚−1
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2 = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2
}
… (2)
Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh
𝑥2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑝𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑞𝑦 = 0
𝑥2
(𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
+ 𝑝𝑥𝑚𝑥 𝑚−1
+ 𝑞𝑥 𝑚
= 0
(𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚
+ 𝑝𝑚𝑥 𝑚
+ 𝑞𝑥 𝑚
= 0
(𝑚2
− 𝑚 + 𝑝𝑚 + 𝑞)𝑥 𝑚
= 0
𝑚2
+ (𝑝 − 1)𝑚 + 𝑞 = 0 … (3)
Persamaan (3) disebut persamaan karakteristik.
Jika 𝑚1 dan 𝑚2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat, maka ada 3 kemungkinan untuk
𝑚1 dan 𝑚2, antara lain:
a. Jika 𝑚1 ≠ 𝑚2 adalah akar-akar dari persamaan (3) real dan berbeda maka penyelesaian
umum dari (1) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2
b. Jika 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 adalah akar-akar dari persamaan (3) akar-akar kembar maka
penyelesaian umum dari (1) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚
+ 𝑐2 𝑥 𝑚
ln 𝑥
𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥)𝑥 𝑚
c. Jika 𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 dan 𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 adalah akar-akar kompleks konjugat maka
penyelesaian umum dari (1) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝛼+𝛽𝑖 + 𝑐2 𝑥 𝛼−𝛽𝑖
𝑦 = 𝑥 𝛼
(𝑐1 𝑥 𝛽𝑖 + 𝑐2 𝑥−𝛽𝑖)
𝑦 = 𝑥 𝛼
(𝑐1(𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥) + 𝑐2(𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥))
𝑦 = 𝑥 𝛼{(𝑐1 + 𝑐2) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥}
𝑦 = 𝑥 𝛼{𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥}

10. Contoh :
Tentukan penyelesaian umum dari :
1. 𝑥2
𝑦" + 5𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0
Penyelesaian:
𝑥2
𝑦" + 5𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0 … (1)
Misal :
𝑦 = 𝑥 𝑚
𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1
𝑦" = (𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
} … (2)
Subsitusi persamaan (2) ke (1)
𝑥2
𝑦" + 5𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0
𝑥2
(𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
+ 5𝑥𝑚𝑥 𝑚−1
+ 8𝑥 𝑚
= 0
((𝑚2
− 𝑚) + 5𝑚 + 8)𝑥 𝑚
= 0
𝑚2
− 6𝑚 + 8 = 0
(𝑚 − 4)(𝑚 − 2) = 0
𝑚1 = 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 = 2
∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑥4
+ 𝑐2 𝑥2
2. 𝑥2
𝑦" − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0
Penyelesaian:
𝑥2
𝑦" − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 … (3)
Misal :
𝑦 = 𝑥 𝑚
𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1
𝑦" = (𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
} … (4)
Subsitusi persamaan (3) ke (4)
𝑥2
𝑦" − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0
𝑥2
(𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
− 3𝑥𝑚𝑥 𝑚−1
+ 4𝑥 𝑚
= 0
((𝑚2
− 𝑚) − 3𝑚 + 4)𝑥 𝑚
= 0
𝑚2
− 4𝑚 + 4 = 0
(𝑚 − 2)(𝑚 − 2) = 0
𝑚1 = 𝑚2 = 2
∴ 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥)𝑥2
3. 𝑥2
𝑦" + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0
Penyelesaian:

11. 𝑥2
𝑦" + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 … (5)
Misal :
𝑦 = 𝑥 𝑚
𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1
𝑦" = (𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
} … (6)
Subsitusi persamaan (5) ke (6)
𝑥2
𝑦" + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0
𝑥2
(𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
+ 𝑥𝑚𝑥 𝑚−1
+ 4𝑥 𝑚
= 0
((𝑚2
− 𝑚) + 𝑚 + 4)𝑥 𝑚
= 0
𝑚2
+ 4 = 0
(𝑚 + 2𝑖)(𝑚 − 2𝑖) = 0
𝑚1 = −2𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 = 2𝑖
∴ 𝑦 = 𝑐1 cos(2𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 sin(2𝑙𝑛𝑥)