AKAR-AKAR

Dasar Dasar Pemrograman MATLAB untuk Teknik Elektro
BAB VII
OPERASI SIMBOLIK MATLAB
Perintah – perintah dan fungsi – fungsi pada Operasi simbolik MATLAB, dapat digunakan untuk
memanipulasi ekspresi dan memungkinkan Anda bekerja dengan simbol – simbol matematis tanpa
bilangan. Proses demikian sering dinamakan matematika simbolik. Dibawah ini beberapa contoh
ekspresi simbolik :
)cos( 2
x 153 2
−− xx
2
2x
dx
d
v = dx
x
x
f ∫ −
=
1
2
Symbolic Math Toolbox adalah kumpulan fungsi – fungsi MATLAB yang digunakan untuk
memanipulasi dan menyelesaikan ekspresi simbolik. Terdapat sarana untuk menggabungkan,
menyederhanakan, mendiferensikan, mengintegralkan, dan menyelesaikan persamaan aljabar dan
persamaan diferensial. Fungsi – fungsi lain dipergunakan dalam aljabar linier untuk menurunkan hasil
eksak dari invers, determinan, dan bentuk – bentuk kanorik, dan juga untuk menemukan nilai eigen
matriks simbolik tanpa kesalahan yang diakibatkan oleh komputasi numeric. Ketepatan variabel
aritmatika, yang menghitung secara simbolik dan menghasilkan jawaban dengan tingkat ketelitian
yang dapat diatur dapat juga dilakukan.
1. Objek dan Ekspresi Simbolik
Basic MATLAB menggunakan sejumlah tipe objek yang berbeda untuk menyimpan nilai. Variabel
numerik digunakan untuk menyimpan nilai – nilai numerik, misalnya x = 2, dan karakter array
digunakan untuk menyimpan teks string, misalnya t=’A text String’. Symbolic Math Toolbox
menggunakan objek – objek simbolik untuk merepresentasikan variabel dan operator, misalnya x =
sym (‘x’). Objek – objek simbolik digunakan dalam MATLAB dengan cara yang hampir sama dengan
penggunaan numerik dan string. Ekspresi simbolik adalah ekspresi yang memuat objek – objek
simbolik yang merepsentasikan bilangan, fungsi, operator, dan variabel. Variabel tidak harus memiliki
nilai numerik yang telah didefinisikan sebelumnya. Aritmatika simbolik adalah praktek penyelesaian
persamaan – persamaan dengan menggunakan aturan – aturan dan identitas – identitas pada simbol,
persis seperti cara yang Anda pelajari untuk menyelesaikan simbol – simbol itu dalam aljabar dan
kalkulus. Matriks simbolik adalah array yang elemennya memuat objek simbol atau ekspresi.
2. Membuat dan Menggunakan Objek Simbolik
Objek simbolik diciptakan dari karakter string atau nilai numerik dengan menggunakan fungsi sym.
Sebagai contoh, x = sym (‘x’) menciptakan variabel simbolik x. y = sym (‘1/3’) menciptakan variabel
simbolik y yang memuat nilai 1 / 3. Sekali variabel simbolok didefinisikan maka ia dapat digunakan
dengan cara yang sama seperti variabel numerik digunakan. Dengan variabel simbolik x dan y,
perintah z = (x+y)/(x-2) akan menciptakan variabel simbolik z karena ekspresi yang
merepsentasikannya memuat satu atau lebih variabel simbolik (x dan y).
Fungsi sym memungkinkan Anda untuk memilih format bagi representasi simbolik suatu nilai
numerik. Bentuk yang digunakan adalah S = sym(A,fmt) dengan A adalah nilai numerik atau matriks
dan fmt adalah spesifikasi format opsional yang nilainya mungkin adalah ‘f, ‘r’, ‘e’, atau ‘d’. Format
defaultnya adalah ‘r’. Format floating point (‘f) merepsentasikan nilai sebagai bilangan heksadesimal
dikalikan dua dan dipangkatkan dengan suatu bilangan bulat. Format rasional (‘r’) mereprensentasikan
Ansar Suyuti
IX-
1

Akar-akar dan Karakteristik
Polinomial
nilai sebagai perbandingan antara bilangan bulat ukuran menengah, jika mungkin; jika tidak maka
bentuknya adalah p^q dengan p dan q bilangan bulat besar. Bentuk estimate error (‘e’) mirip dengan
bentuk 'r' tapi hasilnya ditambah dengan suatu suku yang melibatkan varibel eps, yang akan
menghitung perbedaan antara ekspresi rasional teoritis dengan nilai floating sesungguhnya; suatu
faktor kesalahan pembulatan. Bentuk desimal (‘d’) direpresentasikan sebagai 32 digit
Berikut ini contoh – contoh tampilan setiap format numerik simbolik
Perintah Representasi dari 1 / 3 Kelas
format short 0.3333 Double
format long 0.333333333333333 Double
format short e 3.3333e-001 Double
format short g 0.33333 Double
format long g 0.333333333333333 Double
format hex 3fd5555555555555 Double
format Bank 0.33 Double
format rat 1 / 3 Double
format + + Double
sym ( 1/3,’f) 1.555555555555*2^(-2-) Sym
sym (1/3,’r’) 1 / 3 Sym
sym (1/3,’e’) 1/3 – eps /12 Sym
sym (1/3,’d’) .3333333333333333331482961625624739 Sym
3. Representasi MATLAB untuk Ekspresi Simbolik
MATLAB merepresentasikan ekspresi simbolik secara internal sebagai ekspresi yang memuat objek –
objek simbolik untuk membedakan mereka dari variabel numerik, ekspresi numerik atau operasi
numerik; sebaliknya mereka sangat mirip dengan ekspresi – ekspresi basic MATLAB. Dibawah ini
adalah beberapa contoh ekspresi simbolik bersama dengan bentuk ekuivalennya dalam MATLAB:
Ekspresi Simbolik Representasi MATLAB
3
2
1
x
x = sym(‘x’)
x
y
2
2
=
x = sym(‘x’)
)2sin()cos( 2
xx − x = sym(‘x’)
M= 





dc
ba syms(‘a’,’b’,’c’,’d’)
dx
x
x
f
b
a∫ −
=
1
3 syms x a b
f=int(x^3/sqrt(1-x),a,b)
Ansar Suyuti
VII-
2

4. Variabel Simbolik
Saat bekerja dengan ekspresi simbolik yang memuat lebih dari satu variabel, terdapat satu variabel
yang merupakan variabel bebas, biasanya akan dipilih variabel yang paling dekat dengan x secara
alfabetis.
Variabel bebas default, dalam ekspresi 1/ (5+cos(x)) adalah x;. Variabel bebas dalam ekspresi 3*y+z
adalah y; dan variabel bebas dalam ekspresi a+sin(t) adalah t. Tidak terdapat variabel bebas dalam
ekspresi sin(pi/4)-cos(3/5) karena ekspresi tersebut adalah konstanta simbolik yang tidak memuat
variabel simbolik. Anda dapat meminta MATLAB memberitahukan variabel manakah yang dianggap
variabel bebas dengan menggunakan fungsi findsym.
Jika findsym tidak dapat menemukan variabel simbolik, maka ia akan menghasilkan string
kosong. Hal ini benar untuk ekspresi yang melibatkan i dan j, sebagaimana konstanta simbolik yang
tak memuat variabel. Perhatikan bahwa sebagian besar operasi simbolik akan menerima satu argumen
yang menentukan variabel bebas, tapi akan menggunakan ‘x’ sebagai variabel bebas default jika
findsym menghasilkan string kosong.
5. Hal – hal untuk Anda coba Sendiri
Dibawah ini beberapa ekspresi untuk berlatih. Dengan setiap ekspresi
simbolik, gunakan sintaks MATLAB untuk membuat ekspresi simbolik MATLAB
yang ekuivalen :
cbxaxf ++= 2
523' 2
++= xx
dx
d
g






+
=
1
2
sin
)cos(3
w
w
w
z






−
−
=
)sin()2cos(
)(cos)sin(3 2
tt
ttt
A
24
123 2
−
++
=
s
ss
p t
er 2−
=
Berikut ini jawaban untuk ekspresi – ekspresi tersebut :
Ansar Suyuti
IX-
3

Polinomial
6. Ringkasan
• Perintah dan fungsi Basic MATLAB beroperasi pada nilai – nilai numerik dan
variabel terdefinisi yang mempresentasikan nilai numerik atau matriks numerik.
• Perintah dan fungsi simbolik beroperasi pada variabel dan ekspresi simbolik tanpa
perlu didefinisikan lebih dahulu nilai numeriknya.
• Dalam MATLAB, bentuk func arg ekuivalen dengan func(‘arg’) kecuali dalam kasus
– kasus yang menghasilkan suatu hasil berupa nilai. Sebagai contoh, perintah
colorbar (‘vert’) juga benar tetapi cb = colorbar vert akan mengakibatkan kesalahan.
• Fungsi sym digunakan untuk mendefinisikan variabel atau ekspresi simbolik secara
eksplisit, atau untuk mengkonversi suatu ekspresi numerik menjadi ekspresi
simbolik dengan argumen spesifikasi format opsional. Format default digunakan
adalah ’r’.
• Fungsi sym dapat digunakan untuk mendefinisikan beberapa ekspresi simbolik
secara bersamaan: sym a b atau syms (‘a’,’b’) adalah cara singkat untuk
a=sym;b=sym(‘b’);
• Ingat bahwa beberapa konstanta simbolik mungkin tampak seperti integer. Fungsi
class menghasilkan ‘sym’ jika argumennya adalah ekspresi simbolik.
• Fungsi findsym dapat digunakan untuk menemukan variabel simbolik dalam suatu
ekspresi simbolik, serta variabel yang akan digunakan fungsi simbolik MATLAB
sebagai variabel bebas.
• Sebagian besar fungsi – fungsi simbolik memperbolehkan Anda mendefinisikan
variabel bebas dalam salah satu atau lebih variasi bentuknya.
7. Operasi pada Ekspresi Simbolik
Sekali Anda telah membuat ekspresi simbolik, Anda mungkin ingin untuk mengubahnya.
Anda mungkin ingin mengambil sebagian dari ekspresi, menggabungkan dua ekspresi, atau
menemukan nilai numerik suatu ekspresi simbolik. Terdapat beberapa fungsi simbolik untuk
melakukan hal tersebut.
Semua fungsi simbolik (dengan sedikit kekecualian yang akan di bahas nanti) melakukan
tindakan pada ekspresi simbolik dan array simbolik. Hasil yang diberikan kadang – kadang tampak
seperti bilangan, tetapi sesungguhnya merupakan ekspresi simbolik. Seperti yang pernah dibahas,
Anda dapat menentukan apakah yang tampak seperti bilangan itu sesungguhnya bilangan bulat,
karakter string, atau objek simbolik, dengan menggunakan fungsi class dari basic MATLAB
8. Mengekstrak Pembilang dan Penyebut
Ansar Suyuti
VII-
4

Jika ekspresi Anda merupakan suatu polynomial rasional (perbandingan dari dua polynomial),
atau dapat dikembangkan menjadi polynomial rasional (termasuk di dalamnya yang berpenyebut 1),
Anda dapat mengambil bagian pembilang atau penyebut saja dengan fungsi numden. Contoh,
diberikan ekspresi berikut :
2
xm =
xb
ax
f
−
=
2
5
3
2
2
2
3 2
−+= xxg
12
32
−
+
=
x
x
h










+
+
=
43
4
3
12
2
3
2
x
x
x
K
numden mengkombinasikan dan merasionalisasi ekspresi jika diperlukan, kemudian memberikan
pembilang dan penyebut Statement MATLAB untuk mengerjakan hal demikian adalah :
Ansar Suyuti
IX-
5

Polinomial
Baik ekspresi g maupun ekspresi h dirasionalkan atau diubah menjadi ekspresi tunggal
dengan satu pembilang dan satu penyebut; sebelum bagian – bagiannya dipisahkan. Membagi
pembilang dengan penyebut akan menghasilkan kembali ekspresi yang asli:
Dalam contoh diatas K merupakan suatu matriks simbolik numden menghasilkan dua array
baru, n dan d, dengan n adalah array yang berisi pembilang – pembilang dan d adalah array yang
berisi penyebut – penyebut. Jika Anda menggunakan bentuk s=numden(f), numden akan menghasilkan
hanya pembilang dalam variabel s. Bentuk pembagian elemen ke elemen (./) harus digunakan untuk
membentuk kembali matriks asli dari pembilang dan penyebut.
9. Operasi Aljabar Standar
Sejumlah operasi standar aljabar dapat dilakukan pada ekspresi simbolik menggunakan
operator – operator yang telah dikenal. Contoh, diberikan dua fungsi :
Fakta bahwa suatu operasi pada sembarang ekspresi memuat minimal satu variabel simbolik
akan menghasilkan suatu ekspresi yang memungkinkan. Anda menggabungkan ekspresi campuran
untuk menciptakan ekspresi simbolik baru. Contoh :
Ansar Suyuti
VII-
6

Semua operasi tersebut bekerja dengan argumen yang juga berupa array. Mereka akan
dibahas lagi nanti pada buku panduan ini.
10. Operasi – Operasi Tingkah Lanjut
MATLAB dapat melakukan berbagai operasi tingkat lanjut pada ekspresi simbolik. Fungsi
compose menggabungkan f(x0 dan g(x) menjadif(g(x), fungsi finverse menemukan fungsi inverse dari
suatu ekspresi, sedangkan fungsi symsum menemukan jumlahan simbolik dari suatu ekspresi.
Diberikan ekspresi – ekspresi berikut :
compose juga dapat digunakan pada fungsi – fungsi dengan variabel bebas berbeda :
Fungsi invers dari suatu fungsi, katakanlah f(x), adalah ekspresi g(x) yang memenuhi kondisi
g(f(x))=x. Contoh, fungsi invers dari ex
adalah In(x), karena 1n(ex
)=x. Fungsi invers dari sin(x) adalah
arcin(x) dan fungsi invers dari 1/tan (x) adalah arctan (1/x0. Fungsi finverse menghasilkan fungsi
invers dari suatu ekspresi. Perhatikan bahwa finverse hanya menghasilkan satu penyelesaian meskipun
penyelesaiannya tidak tunggal EDU>> syms x a b c d z % mendefinisikan beberapa variabel simbolik.
Fungsi symsum digunakan untuk menemukan jumlahan simbolik suatu ekspresi. Terdapat
empat bentuk fungsi:symsum(f) menghasilkan ∑
−1
0
)(
x
xf ; symsum (f,s) menghasilkan
Ansar Suyuti
IX-
7

Polinomial
∑
−12
0
)(sf ; symsum (f,a,b) menghasilkan ∑
b
a
xf )( ; dan bentuk yang paling umum sysmsum
(f, s, a, b) menghasilkan ∑
b
a
sf )( .
Mari kita coba ∑
−1
0
2x
x yang seharusnya menghasilkan x3
/3x-x2
/2+x/6:
Bagaimana dengan
2
1
)12(∑ −
n
n ?. Jika benar maka akan dihasilkan [n(2n-1)(2n+1)]1/3:
11. Fungsi – Fungsi Konversi
Bagian ini membahas metode – metode untuk mengkonversi ekspresi simbolik ke nilai
numeriknya dan sebaliknya. Metode – metode itu adalah beberapa dari sangat sedikit fungsi simbolik
yang dapat menghasilkan nilai numerik.
Fungsi sym dapat mengkonversi suatu string atau argumen numerik menjadi reprentasi
simbolik; fungsi double melakukan yang sebaliknya. Double mengkonversi konstanta simbolik
(ekspresi simbolik tanpa variabel) menjadi nilai numerik presisi ganda.
Perhatikan, dalam contoh di atas, bahwa argumen diberikan pada sym dalam bentuk string.
Jika, argumen numerik, MATLAB mengevaluasi variabel numerik sebelum mengkonversikan hasilnya
ke konstanta simbolik. Sedangkan argumen string langsung di konversi. Dibawah ini apa yang akan
terjadi jika argumennya numerik :
Ansar Suyuti
VII-
8

Dua bentuk menghasilkan jawaban akhir yang sama.
Anda telah menangani polynomial dalam basic MATLAB, menggunakan vektor yang elemen
– elemen merupakan koefisien polynomial. Fungsi simbolik sym2poly mengkonversi polynomial
simbolik ke bentuk yang ekuivalen dalam basic MATLAB, yaitu dalam bentuk vektor. Fungsi
poly2sym mengerjakan hal yang sebaliknya dan memampukan Anda untuk menentukan variabel yang
digunakan dalam ekspresi hasil.
12. Substitusi Variabel
Anggap bahwa Anda mempunyai ekspresi simbolik dalam x tetapi Anda ingin mengubah
variabelnya menjadi y. MATLAB menyediakan alat untuk melakukan substitusi dalam ekspresi
simbolik yang diberi nama subs. Format yang digunakan adalah subs (f,old,new) dengan f adalah
ekspresi simbolik, old adalah variabel atau ekspresi simbolik, dan new adalah variabel, ekspresi atau
matriks simbolik atau nilai numerik atau mariks. Isi dari new akan menggantikan setiap kemunculan
dari old dalam ekspresi f. Berikut ini beberapa contoh :
Ansar Suyuti
IX-
9

Polinomial
Contoh diatas menunjukkan bagaimana subs mengerjakan pensubstitusian dan kemudian
mencoba untuk menyederhanakan ekspresi. Karena hasil dari substitusi adalah konstanta simbolik,
MATLAB dapat menyederhanakan sampai nilai simbolik tunggal. Perhatikan bahwa karena subs
adalah fungsi simbolik, maka ia menghasilkan ekspresi simbolik; sesungguhnya menghasilkan
konstanta simbolik meskipun tampaknya seperti bilangan. Untuk memperoleh sebuah bilangan kita
perlu menggunakan fungsi double untuk mengkonversi string:
Jika hasil suatu operasi simbolik adalah ekspresi simbolik yang sangat kompleks, suberxpr
dapat memformatnya supaya lebih mudah dibaca. subexpr akan memisah – misah ekspresi simbolik,
mengganti sub-ekspresi yang berulang – ulang dengan suatu variabel (defaultnya adalah sigma), dan
menempatkan sigma dalam ruang kerja. Contoh :
Ansar Suyuti
VII-
10

Variabel %1 dalam ekspresi diatas berkorespondensi dengan subekspresi sigma. Bentuk
[r,lambda]=subexprt(t(2)) akan menggunakan variabel lambda sebagai variabel default sigma untuk
memuat subekspresi.
13. Ringkasan
• Semua fungsi simbolik menghasilkan ekspresi simbolik dengan perkecualian pada sedikit
fungsi (seperti sym2poly dan double) yang memang ditujukan untuk konversi dari notasi
simbolik menjadi nilai numerik.
• Fungsi numden mengekstrak pembilang dan penyebut dari suatu ekspresi simbolik dan
merasionalkan ekspresi sebelum mengekstrak jika perlu. Bentuk yang biasa digunakan adalah
[n,d]=numden(f). Jika f adalah suatu array; n dan d akan menjadi array dari pembilang dan
penyebut. Ekspresi yang asli dapat dibentuk kembali dengan membagikan d dan n dengan
menggunakan pembagian elemen – ke elemen.
• Operator aritmatika stnadar ( + - * / ^ ) digunakan untuk menggabungkan dan memanipulasi
ekspresi simbolik. Variabel numerik atau konstanta juga dapat digunakan.
• Jika diberikan dua ekspresi simbolik f(x) dan g(x), fungsi komposisi f(g(x)) dapat ditemukan
dengan menggunakan compose (f,g,n), compose (f,g,u,v) atau compose (f,g,u,v,w).
• Fungsi invers dari suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai fungsi g(x) sedemikian rupa
sehingga g(f(x))=x. Fungsi invers dapat ditemukan menggunakan finverse. Bentuk dari
finverse 9f,n) digunakan untuk menentukan variabel bebas yang digunakan.
• Jumlahan simbolik dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi symnum. Jika diberikan
fungsi f(n), symsym(f) menemukan suatu ekspresi untuk ∑
−1
0
)(
n
nf . Bentuk
symsum(f,a,b) menemukan ekspresi untuk ∑
b
a
nf )( .
• Fungsi simbolik sym2poly mengkonversi polynomial simbolik menjadi bentuk basic
MATLAB nya, yang berbentuk vektor baris berisi koefisien – koefisien numerik dengan
urutan dari derajat tertinggi ke derajat terendah. Poly2sum mengerjakan hal yang sebaliknya,
dan juga memampukan Anda untuk memilih variabel bebas yang akan digunakan dalam
ekspresi hasil.
• Substitusi variabel dalam ekspresi simbolik dapat dilakukan dengan fungsi subs. Fungsi ini
meng-substitusikan satu variabel untuk setiap kemunculan variabel kedua dalam suatu
ekspresi, menggunakan bentuk subs (f,old,new).
• Tampilan dari beberapa ekspresi simbolik yang rumit dapat disederhanakan dengan subexpr.
14. Diferensial
Pendifferesialan ekspresi simbolik dilakukan dengan fungsi diff dalam satu dari empat bentuk
yang mungkin :
Ansar Suyuti
IX-
11

Polinomial
Fungsi diff dapat juga digunakan pada array. Jika F adalah vektor atau matriks simbolik, diff
(F) mendiferensialkan setiap statemen dalam array:
Catat bahwa fungsi diff juga digunakan dalam basic MATLAB untuk menghitung diferensial
numerik dari suatu matriks atau vektor numerik. Untuk matriks atau vektor numerik, diff(M)
menghitung perbedaan numerik M(2:m,-M(1:m-1:) seperti ditunjukkan berikut ini :
Jika ekspresi atau variabel argumen untuk diff adalah numerik, MATLAB cukup cerdas untuk
mengerti bahwa yang harus dihitung adalah perbedaan numerik, jika argumennya adalah ekspresi atau
variabel simbolik, MATLAB akan mendiferensialkan ekspresi tersebut.
15. Integral
Fungsi pengintegralan int(f), dengan f berupa ekspresi simbolik, ialah usaha menemukan
ekspresi simbolik lain F sedemikian sehingga diff(F)=f. Mirip dengan apa yang mungkin Anda telah
pelajari dalam kalkulus, pengintegralan jauh lebih rumit daripada pendiferensialan. Integral atau
antiderivatif mungkin tidak terdapat dalam benetuk tertutup; atau mungkin integral itu ada namun
program komputer akan mampu menemukannya; atau mungkin komputer akan mampu
menemukannya suatu saat tetapi telah kehabisan memori atau waktu. Jika MATLAB tidak dapat
Ansar Suyuti
VII-
12

menemukan antiderivatif, MATLAB akan memberikan suatu peringatan dan representasi simbolik dari
integral yang dapat digunakan dengan pretty.
Fungsi pengintegralan, seperti halnya pendiferensialan, mempunyai lebih dari satu bentuk.
Bentuk int(f) mencoba untuk menemukan antiderivatif terhadap variabel bebas default. Bentuk int (f,s)
mencoba untuk menemukan antiderivatif terhadap variabel simbolik s. Bentuk int (f,a,b) dan int
(f,s,a,b), dengan a dan b adalah nilai numerik, mencoba untuk menemukan ekspresi simbolik bagi
integral tentu dari a ke b. Bentuk int (f,m,n) dari int (f,s,m,n) dengan m dan n adalah variabel simbolik
mencoba untuk menemukan ekspresi simbolik untuk integral tentu dari m ke n :
Dalam contoh diatas fungsi simple digunakan untuk menyederhanakan hasil pengintegralan.
Kita akan mempelajari fungsi simple lebih banyak nanti.
Ansar Suyuti
IX-
13

Polinomial
Seperti fungsi fidd, fungsi pengintegralan int beroperasi pada setiap elemen array simbolik.
Contoh : Penyelesaian Simbolik Suatu Masalah Kalkulus Klasik
Dalam bagian ini kita akan menggunakan kemampuan simbolik MATLAB
untuk menjawab suatu masalah klasik dalam kalkulus.
Fox Mulder, saat sedang berada di ruang penjagan di bagian aats suatu gedung tinggi di Roswell, New
Mexico, sedang makan siang saat dia melihat suatu bentuk aneh di udara pada ketinggian
sekitar 50 meter. Dia mengambil satu tomat matang dari tas makan siangnya, bersandar pada
pojok atap lalu melemparkan tomatnya keudara. Tomat itu dilemparkan tegak keatas dengan
kecepatan awal vo = 20 meter / detik. Tinggi atap adalah yo = 30 meter diatas tanah. Dimanakah
tomat berada pada sembarang detik kemudian ? Kapankah tomat itu mencapai ketinggian
maksimumnya ? Berapa tingginya dari atas tanah tomat berada ? Anggap bahwa tidak terdapat
tahanan udara dan percepatan gravitasi bumi adalah konstanta a = -9.7536 kaki / detik.
Kita anggap permukaan tanah berketinggian nol. Dengan demikian y = 0 adalah permukaan
tanah, dan y = 30 adalah puncak gedung. Kecepatan adalah v = dy/dt, dan percepatan adalah a =
d2
y/dt2
. Oleh karena itu jika sekali kita mengintegralkan percepatan maka kita akan memperoleh
kecepatan; jika mengintegralkan kecepatan, kita akan memperoleh posisi atau ketinggian y.
Ansar Suyuti
VII-
14

Marilah kita cek apakah hasilnya benar. Jika kita mengganti t dengan nol dalam ekspresi
diatas, kita memperoleh
yang merupakan ketinggian tomat sebelum dilemparkan.
Sekarang kita memiliki ekspresi untuk kecepatan dan posisi sebagai suatu fungsi waktu.
Ketinggian maksimum dicapai bila tomat berhenti naik dan mulai turun. Untuk menemukan titik ini
kita harus menemukan waktu t saat v=0 dengan menggunakan fungsi solve. Fungsi ini menemukan
nilai nol ekspresi simbolik. Dengan kata lain, solve (f) dengan f adalah fungsi x, diselesaikan untuk x
jika f(x)=0.
Karena solve merupakan fungsi simbolik, maka ia menghasilkan konstanta simbolik
(meskipun tampak seperti bilangan). Sekarang kita akan menentukan ketinggian maksimum yang
terjadi saat t = 2.0505 detik:
Perhatikan bahwa fungsi subs mengerjakan hal yang sama dengan yang dikerjakan tadi, yaitu
saat kita mengecek ekspresi bagi y. subs mensubstitusikan nilai simbolik 2.0505 untuk setiap t dalam
ekspresi, menyederhanakan jika dapat, dan menghasilkan ekspresi hasil.
Sekarang, temukan saat tomat menyentuh tanah :
Karena hasil pertama negatif dan karena tomat tidak dapat menyentuh tanah sebelum
dilemparkan, maka penyelesaian kedua merupakan satu – satunya penyelesaian yang berarti. Jadi,
ketinggian tomat pada detik ke t didapatkan dengan y = -9.7536t2
+20t+30. Tomat mencapai ketinggian
maksimum 50.505 meter di atas permukaan tanah saat t = 2.0505 detik. Tomat jatuh ke tanah saat t =
5.2686 detik.
Mari kita perhitungkan juga faktor lain dari masalah ini :
Dana scully, yang sedang dalam perjalanan untuk menemui Mulder, sedang berjalan di jalan.
Jika tomat yang jatuh mengenai Scully, yang berada dibawahnya saat tomat itu tiba. Scully
mempunyai tinggi badan 1.7 meter, akankah tomat mengenai kepalanya ?.
Ansar Suyuti
IX-
15

Polinomial
Untuk masalah ini, kita perlu menemukan saat t dimana y = 1.7. Hal tersebut dapat dikerjakan
sebagai berikut :
Sekali lagi, scully tidak dapat dikenai tomat sebelum tomat itu dilemparkan. Jadi satu –
satunya jawban yang berarti alternatif kedua, yaitu t = 5.2140 detik.
Contoh ini menampakkan beberapa poin menarik mengenai penggunaan Symbolic Math
Toolbox untuk memecahkan masalah. Pertama, saat konstanta floating-point digunakan dalam ekspresi
simbolik, konstanta tersebut dapat didefinisikan dengan sym. Seperti dapat Anda lihat pada contoh –
contoh sebelumnya, percepatan didefinisikan sebagai nilai simbolik :
Dalam kasus pertama, int diberi argumen simbolik, dan demikian akan dapat memenuhi
bentuknya. Dalam kasus kedua, int menerima nilai numerik yang kemudian secara otomatis dikonversi
menjadi nilai simbolik dengan menggunakn format konversi default sym (num.’r’).
Point kedua yang ditampakkan dalam contoh ini adalah penggunaan fungsi digits. Fungsi
simbolik menjalankan perhitungannya pada 32 digit keadaan default. Contoh ini mereduksi ketepatan
menjadi hanya 5 digit supaya hasilnya dapat lebih terbaca dan juga karena input data juga hanya akurat
sampai 5 digit saja. Sekarang, setelah masalah di atas diselesaikan, akurasi default harus dikembalikan:
Ingat bahwa fungsi solve menyelesaikan ekspresi simbolik dalam satu variabel dengan
mengeset ekspresi sama dengan nol dan menyelesaikannya untuk variabel bebas. Hal ini berarti bahwa
ekspresi seperti 3x2
+2x+1=5x+12 dapat diselesaikan untuk x dengan sedikit perubahan susunan.
Nanti kita akan mempelajari baik solve maupun digits lebih dalam lagi nanti dalam buku
panduan ini.
16. Ringkasan
Ansar Suyuti
VII-
16

• Gunakan fungsi diff untuk mendiferensialkan ekspresi simbolik atau elemen array simbolik.
Variabel simbolik yang digunakan dan jumlah diferensial yang dicari dapat ditentukan
• Jika ekspresi atau varaibel argumen mengandung diff yang bersifat numerik, maka akan
dihitung perbedaan numerik jika argumen adalah ekspresi atau variabel simbolik, maka akan
dicari diferensial dari ekspresi tersebut.
• Fungsi ini digunakan untuk mengintegralkan ekspresi simbolik atau elemen array simbolik.
Argumen opsional dapat digunakan untuk menentukan variabel simbolik dan batas – batas
integral tentu.
• Penyelesaian simbolik suatu ekspresi aljabar dihasilkan dengan fungsi solve. Untuk satu
ekspresi dengan satu variabel tidak diketahui, solve(f) memecahkan masalah persamaan
simbolik f=0, dengan variabel default yang ditentukan oleh findsym. Bentuk lain dari solve
akan dibahas lagi nanti.
17. Menggambar Grafik Ekspresi Simbolik
Untuk lebih memahami apa yang terjadi pada tomat, marilah kita gambar hasil lemparan
tomat. Ingat bahwa ketinggian tomat ditentukan oleh ekspresi y = (-
4.8758)*t^2+20t+30.
Gambar yang ada salah, tidak sesuai dengan keterangan
dan perintah program yang diberikan.
Seperti dapat Anda lihat, explot menggambarkan grafik fungsi simbolik dalam domain
-2π≤t≤2π dan menskala sumbu y dengan skala yang sesuai, sekaligus menambahkan grid dan label.
Dalam kasus ini kita hanya tertarik pada waktu antara 0 sampai 6. Mari kita coba lagi dengan
menentukan rangka waktu.
Sekarang daerah pusat perhatian tampak sedikit lebih baik, tetapi sebagian grafik masih di
bawah permukaan tanah. Grafik dapat diperbaiki dengan mengubah range waktu dan menggunakan
kembali fungsi ezplot dengan ezsplot (y[0 5.1632]), tetapi Anda akan dapat lebih mengontrol dengan
fungsi penggambaran grafik MATLAB yang lain. Sekali grafik telah berada dalam jendela Figure,
maka ia akan dapat dimodifikasi seperti grafik –grafik yang lain. Mari kita atur kembali skala kedua
sumbu dan kita ubah judul serta labelnya :
Ansar Suyuti
IX-
17

Polinomial
Gambar
Perintah – perintah grafis MATLAB yang lain juga dapat digunakan untuk mengatur grafik.
Contoh, perintah zoom on membuat Anda dapat menggunakan mouse untuk memperbesar daerah
tertentu pada grafik dua dimensi, seperti apa yang telah kita lakukan. Untuk informasi lebih lanjut,
ketikkan help zoom. Perintah MATLAB lain untuk menambahkan teks, mengidentifikasi titik – titik
tertentu, ataupun untuk mengubah skala juga tersedia.
18. Memformat dan Menyederhanakan Ekspresi
Kadang – kadang MATLAB menghasilkan ekspresi simbolik yang terlalu rumit untuk dibaca.
Sejumlah alat disediakan untuk membuat ekspresi lebih mudah dibaca. Pertama adalah fungsi pretty.
Perintah ini mencoba menampilkan ekspresi simbolik dalam bentuk yang menyerupai format
matematika. Mari kita lihat suatu ekspansi deret Taylor :
Ansar Suyuti
VII-
18

Gambar
Ekspresi simbolik dapat dihadirkan dalam berbagai bentuk ekuivalen. Dalam situasi tertentu
beberapa bentuk lebih disukai dari bentuk – bentuk lain. MATLAB menggunakan sejumlah perintah
untuk menyederhanakan atau mengubah bentuk tampilan ekspresi simbolik:
Simplify merupakan alat serba guna yang berguna untuk menyederhanakan ekspresi dengan
mengaplikasikan beberapa jenis identitas aljabar yang meliputi jumlah; integral dan pangkat fractional;
trigomoteri, eksponensial, dan fungsi log: serta Bessel, hypergeometri, dan fungsi gamma. Sedikit
contoh ini akan menunjukkan kehebatan fungsi ini :
Fungsi terakhir yang kita bahas disini adalah yang paling hebat, tetapi kurang ortodoks, dari
semua alat penyederhana. Fungsi simple mencoba beberapa alat penyederhanaan (termasuk beberapa
alat matematika symbol yang tidak dapat diakses secara langsung) dan kemudian memilih bentuk yang
mempunyai jumlah karakater paling sedikit dalam hasil ekspresi simboliknya. Mari kita coba dengan
akar persamaan pangkat 3.
8
1261
22
+++=
xxx
f
Ansar Suyuti
IX-
19

Polinomial
simple mencoba sejumlah teknik penyederhanaan yang mungkin membantu untuk mereduksi ekspresi,
dan menghasilkan jawaban paling singkat. Kadang – kadang cukup berguna untuk menggunakan
fungsi simple lebih dari sekali untuk mencoba teknik penyederhanaan yang berbeda pada hasil yang
pertama seperti yang telah dilakukan di atas, simple secara khusus berguna untuk ekspresi yang
memuat fungsi string. Mari kita coba salah satu :
2
)sin()cos( xx −+
Kali ini kita tidak akan mengisikan output pada suatu variabel sehingga kita dapat melihat
langkah – langkah intermediate :
19. Ringkasan dan Fasilitas – fasilitas Lain
• Ekspresi simbolik rumit dalam sintaks MATLAB dapat diubah ke bentuk yang mungkin lebih
mudah dibaca dengan menggunakan fungsi pretty.
• Terdapat banyak bentuk ekspresi simbolik; beberapa diantaranya mungkin lebih berguna dari
yang lain dalam situasi tertentu. MATLAB menyediakan bagi Anda banyak cara untuk
mengubah bentuk ekspresi. Diantara cara – cara itu adalah :
Alat Deskripsi
Collect mengumpulkan suku – suku yang mirip
Horner mengubah ke Horner atau representasi bertingkat
Factor mencoba untuk memfaktor ekspresi
Expand mengekspresi semua suku
Simpity menyederhanakan ekspresi dengan identitas
Simple mencoba untuk menemukan ekspresi ekuivalen yang mempunyai
karakter string terpendek
Ansar Suyuti
VII-
20

• Kadang – kadang berguna juga untuk menggunakan simple lebih dari sekali; hasil dari
percobaan pertama mungkin merupakan kandidat untuk penyederhanaan lebih lanjut.
• Fungsi simbolik MATLAB dapat digunakan untuk mengkonversi ekspresi simbolik menjadi
representasi fraksi partialnya. Diberikan suatu polynomial rasional f, int(f) akan
mengintegralkan fungsi dan biasanya memisahkan suku –suku. Kemudian diff(ans) akan
mendiferensialkan setiap suku untuk menghasilkan ekspresi f semula dalam bentuk jumlahan
suku – suku yang disebut representasi fraksi partial dari f. Contoh :
Teknik demikian juga berguna untuk mereduksi polynomial rasional yang pembilangnya
mempunyai derajat lebih tinggi dari penyebut.
Suatu latihan ditinggal bagi Anda untuk memuat fungsi M – File yang disebut pfd.m yang
akan menghasilkan representasi fraksi partial dari suatu argumen berbentuk ekspresi.
• Alat lain yang mungkin membantu, jika Anda menggunakan program LaTeX untuk pengolah
kata atau penerbitan adalah fungsi latex. Fungsi ini menghasilkan program LaTEX yang
diperlukan untuk membentuk kembali ekspresi yang Anda berikan, dan dapat menyimpan
program LaTeX dalam file. Lihat Help on – line untuk informasi lebih lanjut.
20. Ketepatan Aritmatik Variabel
Kesalahan akibat pembulatan dapat dihasilkan dari operasi apapun pada nilai numerik, karena
ketepatan atau presisi numerik terbatas pada sejumlah digit yang digunakan oleh operasi numerik.
Pengulangan operasi atau sejumlah besar operasi numerik dapat mengakibatkan terkumpulnya
kesalahan. Tetapi operasi pada ekspresi simbolik bisanya sangat tepat, karena operasi tersebut tidak
melakukan komputasi numerik sehingga tidak menimbulkan kesalahan akibat pembulatan. Dengan
menggunakan fungsi double pada hasil operasi simbolik memang dapat mengakibatkan kesalahan,
tetapi hanya terbatas pada konversi di langkah terakhir.
Basic MATLAB sangat bergantung pada aritmatika floating point komputer untuk “melahap”
bilangan – bilangan. Meskipun dilakukan dengan sangat cepat dan mudah dalam memori, operasi
floating point dibatasi pada jumlah digit yang didukung oleh hardware sehingga dapat menimbulkan
kesalahan akibat pembulatan pada setiap langkah yang dikerjakan; operasi – operasi tersebut tidak
dapat memberikan hasil yang eksak. Ketepatan relatif operasi aritmatika tinggal dalam MATLAB
kurang lebih sekitar 16 digit. Di sisi lain, fungsi – fungsi simbolik dapat melakukan operasi pada
sembarang digit bilangan. Namun bersamaan dengan meningkatnya jumlah digit yang digunakan,
maka lebih banyak pula memori dan waktu komputer yang digunakan.
Funsgi – fungsi Symbolic Math Toolbox secara default menggunakan ketepatan 32 digit
kecuali diubah oleh pemakai. Fungsi digits menghasilkan nilai parameter global Digits. Jumlah default
digit ketepatan dapat diubah dengan digit(n), dengan n adalah jumlah digit ketepatan yang diinginkan.
Efek dari peningkatan ketepatan dengan cara ini adalah bahwa setiap fungsi simbolik akan melakukan
Ansar Suyuti
IX-
21

Polinomial
komputasi dengan ketepatan yang baru, juga semakin banyak memakan waktu. Hasil yang ditampilkan
tidak akan berubah; hanya ketepatan atau akurasi default dalam fungsi – fungsi saja.
Terdapat fungsi lain yang memungkinkan untuk melakukan komputasi tunggal dengan
ketepatan sembarang tanpa mengubah variabel global Digits. Fungsi variabel ketepatan aritmatik atau
vpa mengevaluasi ekspresi simbolik tunggal atau karakter string dengan default atau sembarang
ketepatan, dan menampilkan hasilnya dengan ketepatan yang sama.
21. Hal – hal untuk Anda Coba Sendiri
Temukan nilai
π
163
e sampai 18, 29, 30, dan 31 digit. Perhatikan bahwa hasilnya dekat
dengan nilai suatu bilangan bulat, tetapi bukan bilangan bulat.
Gunakan fungsi hilb(3) untuk menampilkan matriks Hilber 3x3 sampai dengan ketepatan 20
digit.
22. Ringkasan
• Ketepatan perhitungan numerik dibatasi jumlah digit yang digunakan oleh komputer dan
software. Jika suatu kalkulasi menggunakan langkah – langkah intermediate, setiap langkah
berpotensi untuk memberikan kesalahan karena pembulatan.
• Operasi simbolik MATLAB dapat dilakukan sampai ketepatan berapapun yang diinginkan.
Parameter global ‘Digits’ secara normal bernilai 32, dapat diubah menjadi nilai berapapun,
tetapi semakin tinggi nilanya berarti juga akan menambahkan waktu dan sumber daya
komputer yang digunakan.
• Fungsi vpa, mengevaluasi suatu ekspresi simbolik sampai ketepatan yang berapapun tanpa
mempengaruhi operasi yang lain. Format yang digunakan ialah vpa(‘ekspresi’), yang
menggunakan parameter Digits atau vpa (‘ekspresi’, d) untuk menentukan jumlah digit
ketepatan yang digunakan.
• Jika Anda ingat bahwa func arg dan func (‘arg’) adalah bentuk yang ekuivalen, dan bahwa
semua operasi simbolik menghasilkan ekspresi simbolik, mungkin Anda tidak akan terlalu
heran jika dikatakan bentuk vpa pi /2 23 dan vpa (‘pi/2’,’23’) keduanya menghasilkan
ekspresi untuk π / 2 dengan ketepatan 23 digit.
• Fungsi vpa yang dikenakan pada array simbolik akan berpengaruh pada setiap elemen array.
23. Menyelesaikan Persamaan
Ansar Suyuti
VII-
22

Persamaan simbolik dapat diselesaikan dengan menggunakan alat – alat simbolik yang
tersedia dalam MATLAB. Beberapa di antaranya telah dibahas sebelum bagian ini sementara yang lain
akan dibahas dalam bagian berikut .
24. Menyelesaikan Persamaan Aljabar Tunggal
Kita telah melihat dalam buku panduan bahwa MATLAB menyediakan alat – alat untuk
menyelesaikan ekspesi simbolik. Fungsi solve mengeset ekspresi simbolik sama dengan nol sebelum
menyelesaikannya.
Hasilnya adalah vektor simbolik yang kedua elemennya mewakili dua penyelesaian. Untuk
memecahkan suatu persamaan yang memuat tanda sama dengan (=), selesaikan pada string yang
memuat ekspresi itu :
Jika Anda ingin mencari penyelesaian dengan variabel bukan x, solve akan memperbolehkan
Anda menentukan pilihan Anda sendiri:
Persamaan mungkin dapat diselesaikan dengan mengesetnya sama dengan nol. Dibawah ini
kita mencari penyelesaian cos(x)=sin(x) dan tan(x)=sin(2x) untuk x, dan mengisikan hasilnya dalam
variabel f dan t:
Penyelesaian numerik yang ditemukan adalah :
Ansar Suyuti
IX-
23

Polinomial
Perhatikan bahwa pada saat kita menyelesaikan persamaan fungsi periodik terdapat tak
terbats penyelesaian. solve membatasi pencarian penyelesaiannya dalam kasus ini pada range disekitar
nol dan menghasilkan himpunan bagian tidak unik dari penyelesaian yang ada.
Jika penyelesaian simbolik tidak dapat ditemukan, maka suatu variabel ketepatan akan
dihitung jika mungkin :
Jika tidak maka akan dihasilkan matriks kosong.
Terdapat sintaks alternatif yang dapat digunakan untuk menyelesaikan ekspresi tanpa harus
mendefinisikan objek – objek simbolik. Jika argumen pada solve berupa karakter string. MATLAB
akan menyelesaikan persamaan tersebut dan memberikan hasilnya tanpa membuat variabel simbolik
baru. Perhatikan bahwa dengan sintaks ini ekspresi yang akan diselesaikan dapat memuat tanda sama
dengan:
25. Beberapa Persamaan Aljabar
Beberapa persamaan aljabar dapat diselesaikan pada saat yang bersamaan. Statemen
berbentuk [a1,a2,…,aN]=solve(f1,f2,….,fN) menyelesaikan N persamaan dalam variabel default dan
memberikan hasilnya dalam a1 . . . aN. Catat, bahwa dalam hal ini variabel default akan diurutkan dan
diberikan dalam urutan leksikografik.
Contoh :
Dalam contoh ini variabel default adalah X danY. Karena penyelesaian untuk variabel default
diurutkan lebih dahulu, X merepresentasikan penyelesaian untuk X dan Y merepresentasikan
penyelesaian untuk Y.
Suatu statemen dalam bentuk [a1,a2,…aN]=solve(f1,f2,f3,…fN,v1,v2,…vN) menyelesaikan
N persamaan dengan N variabel tidak diketahui ditentukan oleh v1 . . vN dan menempatkan hasilnya
Ansar Suyuti
VII-
24

(yang telah diurutkan) dalam aN. Bentuk S=solve(f1,f2,f3,…fN) atau S=solve(f1,f2,….fN,v1,v2,…vN)
menghasilkan penyelesaian untuk setiap variabel.
Anda dapat mengakses nilai – nilai simbolik ini dengan menggunakan sintaks standar struktur
yang telah dibahas dalam Bab 19.
Jika suatu penyelesaian analitis tidak dapat ditemukan, solve akan menghasilkan penyelesaian
variabel ketepatan.
Contoh : Menyelesaikan Persamaan Simbolik
Fungsi implisit (x-3)2
+(y-2)2
=52
adalah bentuk standar persamaan lingkaran berjari – jari 5
dengan titik pusat (3,2). Selesaikan ekspresi tersebut untuk y dalam variabel x.
Contoh Penyelesaian Simbolik untuk Sistem Persamaan Linear
Dalam contoh ini kita akan menyelesaikan sistem persamaan linier dengan empat persamaan
linier dengan empat persamaan dalam 4 variabel tidak diketahui. Diberikan persamaan – persamaan di
bawah ini. Selesaikan untuk d,n,p dan q.
Ansar Suyuti
IX-
25

Polinomial
Jika terdapat lebih banyak persamaan dari variabel yang tidak diketahui, atau kasusnya
berlebih, MATLAB akan memberitahu Anda tentang hal itu dan meneruskan usaha pencarian atas
penyelesaian yang benar.
Dalam kasus “underdetermined” dimana terdapat lebih sedikit persamaan daripada variabel
tidak diketahui, MATLAB akan menganggap variabel pertama secara alfabetik sebagai parameter dan
menghasilkan ekspresi simbolik yang melibatkan variabel tersebut.
26. Persamaan Diferensial Tunggal
Persamaan diferensial biasa kadang – kadang susah diselesaikan MATLAB memberikan
suatu alat canggih untuk membantu Anda menemukan penyelesaian persamaan diferensial.
Fungsi dsolve menghitung penyelesaian simbolik suatu persamaan diferensial biasa. Sintaks
yang digunakan dsolve sedikit berbeda dengan kebanyakan fungsi lainnya. Argumen pada dsolve
haruslah karakter string yang merepresentasikan persamaan, yaitu string yang memuat tanda sama
dengan (=). Jelas sintaks ini berbeda dengan sintaks fungsi solve, yang argumennya haruslah ekspresi
simbolik.
Karena kita bekerja dengan persamaan diferensial, kita memerlukan suatu cara untuk
memasukkan persamaan diferensial dalam ekspresi. Persamaan ditandai dengan huruf kapital D
sebagai lambing pendiferensialan, dan D2, D3 dan seterusnya sebagai lambing pendiferensialan
berulang. Setiap huruf yang mengikuti Ds adalah variabel tak bebas. Persamaan (d2
y/dt2
)=0
direpresentasikan dengan karakter string’D2y=0’. Variabel bebas dapat ditentukan, atau jika tidak
maka sebagai default digunakan t. Contoh, penyelesaian umum pada persamaan derajat satu
(dy,dt)=1+y2
dapat ditemukan dengan :
dengan C1 adalah konstanta integrasi. Menyelesaikan persamaan yang sama dengan kondisi awal
y(0)=1 akan menghasilkan :
Ansar Suyuti
VII-
26

Variabel independen dapat ditentukan menggunakan bentuk ini :
Mari kita coba persamaan diferensial derajat dua dengan dua kondisi awal :
Perhatikan bahwa argumen string yang diberikan pada dsolve (persamaan diferensial
diselesaikan dengan kondisi awal, jika ada) dapat diberikan sebagai karakter string tunggal dengan
elemen – elemen yang dipisahkan dengan tanda koma (,) seperti yang telah ditunjukkan diatas, atau
dengan koma pemisah karakter string sebagaimana yang akan ditunjukkan dibawah atau
kombinasinya.
Sering suatu persamaan diferensial yang akan diselesaikan memuat suku – suku yang
berderajat lebih dari satu, yang direpresentasikan dalam bentuk berikut ini :
0322
2
=−− y
dt
dy
dt
yd
Penyelesaian umumnya adalah :
Dengan menerapkan kondisi awal y(0)=0 dan y(1)=1 menghasilkan :
Sekarang gambarkan hasilnya dalam suatu daerah menarik.
Ansar Suyuti
IX-
27

Polinomial
Gambar 5
27. Beberapa Persamaan Diferensial
Fungsi dsolve dapat menangani beberapa persamaan diferensial pada saat yang bersamaan.
Saat menyelesaikan persamaan diferensial majemuk, dsolve menghasilkan nilai – nilai yang
dimasukkan ke dalam struktur atau vektor dengan cara seperti yang dilakukan solve. Catat bahwa,
seperti halnya solve, dsolve mengurutkan variabel –variabel bebas sebelum memberikan sebagai hasil;
variabel output pertama akan menerima penyelesaian bagi variabel bebas yang secara alfabetis paling
dekat dngan awal alfabet.
Dibawah ini sepasang persamaan derajat satu linier :
gf
dt
df
43 += g
dt
dg
34 +−=
Penyelesaian umumnya adalah :
Dengan menambahkan kondisi awal f(0)=0 dan g (0)=1 kita memperoleh :
Ansar Suyuti
VII-
28

Contoh Penyelesaian Simbolik Persamaan Diferensial Derajat Dua
Selesaikan masalah kondisi awal berikut :
,1)1(
4
10572
2
2
=





−=++ y
x
y
dx
dy
x
dx
yd
x 0)1( =
dx
dy
28. Ringkasan dan Fasilitas – Fasilitas Lain
• Fungsi solve menghasilkan penyelesaian simbolik bagi persamaan aljabar. Bagi satu ekspresi
dengan satu variabel tak diketahui, solve(f) menyelesaikan persamaan simbolik f=0 bagi
variabel defaultnya yang ditentukan dengan findsym. Bentuk solve (f,v) menyelesaikan
persamaan simbolik f untuk variabel simbolik v.
• Persamaan simbolik (memuat tanda sama dengan) dapat diselesaikan dengan menutup
persamaan dengan apostrop. Fungsi solve akan mencari penyelesaian tanpa menggunakan
variabel simbolik tambahan dalam ruang kerja.
• Beberapa ekspresi simbolik dapat diselesaikan secara simultan. Bentuk solve (f1,f2,…fn)
menyelesaikan n ekspresi simbolik dengan variabel bebas default. Bentuk sove
(f1,f2,fn,v1,v2,…vn) menyelesaikan sistem persamaan simbolik untuk variabel – variabel v1 .
. vn
• Kadang – kadang MATLAB tidak dapat menemukan penyelesaian numerik. Jika demikian
maka MATLAB akan memberikan variabel simbolik kosong. Catat bahwa sym kosong dapat
dibuat dengan menggunakan sym ([]).
• Fungsi dsolve menghitung penyelesaian simbolik pada persamaan diferensial biasa, dengan
atau tanpa kondisi awal (batas). Argumen bagi dsolve harus berupa karakter string yang
merepsentasikan persamaan dan memuat tanda sama dengan. MATLAB menggunakan
konveni bahwa dsolve harus berupa karakter string yang merepsentasikan persamaan dan
memuat tanda sama dengan. MATLAB menggunakan konveni bahwa D melambangkan :
dt
d
D2 melambangkan
2
2
dt
d
D2y melambangkan
2
2
dt
yd
Penyelesaian akan memuat konstanta integrasi C1….Cn dengan kondisi awalyang tidak
ditetapkan.
Ansar Suyuti
IX-
29

Polinomial
• Beberapa persamaan diferensial dapat diselesaikan secara simultan. Bentuk yang digunakan
adalah dsolve (‘F’G’) atau dsolve (‘F,G’k1,k2’) dengan F dan G adalah sepasang persamaan
diferensial, sedangkan kondisi awal tidak diperlukan untuk penyelesaian umum yang memuat
konstanta integrasi.
• Fungsi dsolve menggunakan t sebagai variabel bebas default jika variabel bebasnya tidak
ditentukan. Jika t adalah variabel tak bebas, Anda harus menentukan suatu variabel bebas atau
MATLAB akan memberikan pesan kesalahan. Contoh :
29. Aljabar Linier dan Matriks
Aljabar linier adalah studi tentang aplikasi dan sifat – sifat matriks dan vektor. Dalam bagian
ini kami berikan pengantar matriks simbolik dan alat – alat yang disediakan MATLAB untuk
menyelesaikan masalah yang menyangkut aljabar linier.
Matriks simbolik dan vektor adalah array yang elemennya adalah ekspresi simbolik. Mereka
dapat diciptakan dengan fungsi sym.
Fungsi sym juga dapat mengkonversi matriks numerik ke dalam bentuk simboliknya :
Jika elemen – elemen matriks numerik dapat ditentukan sebagai perbandingan bilangan –
bilangan bulat kecil, fungsi sym akan menggunakan representasi perbandingan (pecahan). Jika
elemennya irasional, sym akan merepresentasikan elemen tersebut sebagai bilangan floating point
dalam bentuk simbolik.
Ukuran (jumlah baris dan kolom) suatu matriks simbolik dapat ditemukan dengan
menggunakan fungsi syndar size dan length dan akan menghasilkan nilai numerik atau vektor, bukan
ekspresi simbolik, size dan length diilustrasikan sebagai berikut :
Ansar Suyuti
VII-
30

Elemen array simbolik dapat diakses dengan cara yang sama seperti mengakses elemen array
numerik.
Tiga operator matriks yang lain juga bekerja pada mtriks simbolik seperti pada matriks
numerik. Diagonal matriks simbolik dapat diekstrak dengan diag (M,d), dan bagian segitiga atas dan
segitiga bawah matriks dapat diekstak menggunakan triu(M,d) dan tril (M,d). Dalam setiap kasus, M
adalah matriks simbolik, dengan paramater opsional d sebagai diagonal sasaran maupun tujuan
fungsi.Nilai default ialah d = 0, atau diagonal utama. Di bawah ini beberapa contoh :
Ansar Suyuti
IX-
31

Polinomial
Operasi – operasi aljabar umum dapat dikenakan pada matriks simbolik dengan menggunakan
aritmatika standar dan operator array :
Sekarang kami akan menunjukkan bahwa G adalah matriks orthogonal dengan menunjukkan
bahwa transpose dari G sama dengan inversnya:
Yang berupa matriks identitas seperti yang diharapkan.
30. Operasi – operasi Aljabar Linier
Invers dan determinan matriks simbolik dapat dihitung dengan menggunakan fungsi inv dan
det :
31. Fasilitas Lain
• Fungsi poly menemukan karakteristik polynomial suatu matriks:
Ansar Suyuti
VII-
32

• Nilai eigen dan vektor matriks simbolik dapat ditemukan dengan menggunakan fungsi
eig.E=eig (X) adalah vektor yang memuat nilai eigen dari matriks bujursangkar X.
[V,D]=eig(X) menghasilkan matriks diagonal D dari nilai eigen dan matriks penuh V yang
kolom – kolomnya adalah vektor eigen yang berkorespondensi sehingga X*V=V*D,
• Bentuk kanonik Jordan suatu matriks adalah matriks diagonal dari nilai – nilai eigen; kolom
dari matriks transformasi adalah vektor eigen. Untuk suatu matriks A, Jordan (A) mencoba
menemukan matriks V non-singular sedemikian rupa sehingga inv(V)*A*V adalah bentuk
kanonik Jordan. Fungsi Jordan mempunyai dua fungsi :
• Karena K, dalam pembahasan diatas, adalah non – singular, baris ruang – nol dari K adalah
matriks mosong, dan basis ruang – kolom adalah matriks indentitas.
Ansar Suyuti
IX-
33

Polinomial
• Nilai – nilai singular suatu mtriks dapat ditemukan dengan fungsi svd. Untuk informasi lebih
jelas dan juga untuk bentuk – bentuk lain lihat pada Help on – line.
• Fungsi Jacobian (w,v) menghitung Jacobian w terhadap v. Entri ke (I,j) dari hasilnya adalah
(df(i) /dv(j)). Catat bahwa jika f suatu scalar, Jacobian dari f adalah gradient dari f. Lihat Help
on-line untuk informasi lebih lengkap.
32. Ringkasan
• Vektor dan matriks simbolik adalah array yang elemennya merupakan objek atau ekspresi
simbolik. Perhatikan bahwa karena ekspresi simbolik tunggal adalah matriks yang berisi satu
elemen maka seluruh fungsi yang didiskusikan di sini juga berlaku untuk ekspresi tunggal.
• Fungsi sym dapat digunakan untuk menciptakan matriks atau ekspresi simbolik, atau untuk
mengkonversi matriks atau ekspresi numerik menjadi bentuk simboliknya.
• Ukuran matriks simbolik dapat ditemukan dengan menggunakan fungsi size dam length yang
akan menghasilkan nilai numerik.
• Operasi aritmatik lain dapat dilakukan pada matriks dan ekspresi simbolik dengan
menggunakan fungsi – fungsi aritamatik dan array standar.
Ansar Suyuti
VII-
34

• Inversi suatu matriks simbolik dapat ditemukan dengan fungsi inv. Determinan disimbolik
dari suatu matriks simbolik ditemukan dengan fungsi det.
33. Transformasi
Transformasi sangat banyak digunakan dalam bidang teknik untuk mengubah bingkai atau
referensi antara domain waktu dan domain-s, domain frekuensi, atau domain-z. Banyak metode telah
tersedia untuk menganalisis keadaan – tetap (steady –state) dan sistem yang berubah secara perlahan
dalam domain waktu, tetapi sistem yang rumit sering kali lebih mudah dianalisis dalam domain lain.
Satu kata peringatan sebelum kita mulai. Semua transformasi yang dibahas dibagian ini akan
menggunakan fungsi findsym untuk menemukan variabel bebas default jika tidak ada yang diberikan.
Karena findsym mencari variabel yang paling dekat ke x secara alfabetis, dan transformasi secara
tradisional menggunakan variabel untuk transformasi.
34. Fungsi – fungsi Step dan Impulse
Masalahnya dalam teknik sering menggunakan fungsi step u(t) dan fungsi impulse δ (t) saat
mendeskripsikan sistem. Fungsi step Ku (t-a) dengan K adalah konstanta yang didefinisikan sebagai
Ku (t-a)=0 untuk t<a dan Ku(t-a)=K untuk t>a. Dibawah ini adalah grafik dari fungsi step Ku (t-a):
Gambar 6
Fungsi impulse δ (t) adalah turunan dari fungsi step u(t). Fungsi impulse K δ (t-a)
didefinisikan sebagai Kδ (t-a)=0 untuk t ≠ a dan ∫
∞
∞−
=− KdtatK )(δ untuk t=a. Jika digambar
grafiknya, biasanya digambarkan sebagai suatu panah yang menunjukkan amplitudo K saat t=a.
Dibawah ini adalah grafik Kδ (t-a):
Gambar 7
Notasi fungsi step dan impulse menggunakan nama matematikawan terkenal yang banyak
menggunakan fungsi – fungsi tersebut dalam karyanya. Fungsi step u(t) dinamakan Heaviside (t)
sedangkan fungsi impulse δ (t) dinamakan Dirac(t).
Ansar Suyuti
IX-
35

Polinomial
35. Transformasi Laplace
Transformasi Laplace melakukan operasi :
∫
∞
∞−
−
= dtetfsL st
)()(
untuk mentransformasikan f(t) dalam domain waktu menjadi L(s) dalam domain-s.
Transformasi Laplace pada fungsi cosinus kelembaban )cos( te at
ω−
dapat ditemukan
dengan menggunakan fungsi Laplace:
Ekspresi dapat ditranformasikan kembali ke domain waktu dengan menggunakan fungsi
invers transformasi Laplace, yaitu ilaplace yang akan melakukan operasi :
∫
∞+
+
=
jc
jc
st
dsesL
j
tf
0
)(
2
1
0(
π
Menggunakan L yang diperoleh dari contoh terakhir, kita memperoleh :
36. Transformasi Fourier
Transformasi Fourier dan inversnya banyak digunakan dalam analisis circuit untuk
menentukan karakteristik suatu sistem baik dalam domain waktu maupun domain frekuensi. MATLAB
menggunakan fungsi fourier dan ifourier untuk mentrasformasi Fourier dan invers Fourier
didefinisikan sebagai :
∫
∞
∞−
∞−
= dtetfF tj
)()(ω ∫
∞
∞−
= dteFtf tjω
ω
π
)(
2
1
)(
MATLAB menggunakan ‘W’ untuk merepresentasikan ω dalam ekspresi simbolik.
Ansar Suyuti
VII-
36

Karena baik i dan j merepresentasikan 1− , MATLAB harus memilih salah satu jika
mengembalikan suatu ekspresi yang memuat nilai – nilai itu. Defaultnya, MATLAB menggunakan i
seperti yang telah ditunjukkan di atas.
Sering jika kita menggunakan transformasi Fourier untuk memecahkan permasalahan teknik,
ekspresi dapat memuat fungsi step u(t) atau suatu fungsi impulse δ (t).
Perhatikan fungsi f(t) = -et
u(t0+3δ (t). Transformasi Fouerier dapat ditemukan dengan :
37. Hal – hal untuk Anda Coba Sendiri
Transformasi Fourier dan invers Fourier melakukan konversi antara domain waktu dengan
domain frekuensi seperti f(t) < > f(ω), dengan t merepresentasikan waktu dan ω merepresentasikan
frekuensi dalam radian / detik. Beberapa bidang teknik dan beberapa dosen cenderung menggunakan
pasangan transformasi g(t)< = > G(f) dengan t yang melambangkan waktu dan f yang melambangkan
frekuensi dalam getaran per detik (Hz). Hubungan yang digunakan adalah ω = 2πf atau f = ω/2π. Akan
lebih mudah jika mempunyai suatu fungsi yang akan mengerjakan konversi untuk Anda sehingga
Anda dapat bekerja dengan kedua konversi terebut. Sebagai contoh, untuk mengkonversi g=et2
ke
dalam domain frekuensi dengan menggunakan ω dan kemudian mengerjakan hal yang sama
menggunakan f, Anda dapat :
Ansar Suyuti
IX-
37

Polinomial
Hal ini dikerjakan dengan menggunakan fungsi M-file yang dinamakan ftf.m untuk
transformasi g(t) = > G(f) dan fungsi M-file lain yang dinamakan iftf.m untuk inversnya. Dibawah ini
satu contoh M-file untuk ftf.m
38. Transformasi Z
Transformasi Laplace dan Fourier digunakan untuk menganalisis sistem – sistem waktu
kontinum. Transformasi Z, di lain pihak, digunakan untuk menganalisis sistem waktu diskert.
Transformasi Z didefinisikan sebagai :
∑
∞
=
−
= 0
)()( n
n
znfzF
dengan z adalah bilangan kompleks.
Transformasi Z dan inversnya diperoleh dengan menggunakan fungsi ztrans dan iztrans.
Format yang digunakan serupa dengan fungsi transformasi Fourier dan Laplace.
39. Ringkasan
• Fungsi step u(t) direpresentasikan dalam notasi simbolik MATLAB dengan Heaviside (t);
fungsi impulse δ(t) direpresentasikan dengan Diract(t). Fungsi – fungsi ini sering digunakan
dalam transformasi.
• Transformasi Laplace dan inversnya menggunakan fungsi laplace dan ilaplace,
mentransformasikan f(t) < = > L(s).
Gunakan laplace(f,t,s) untuk mentransformasikan f(t) = > L (s) dan ilaplace (L,s,t) untuk
mentransformasikan L(s) = > f(t).
• Transformasi Fourier ditemukan dengan menggunakan fourier dan ifourier. Fungsi – fungsi
ini digunakan untuk metransformasikan f(t) < = > F (ω) dan mempunyai bentuk yang sama
dengan pasangan fungsi Laplace
• Tranformasi Z ditemukan menggunakan fungsi ztrans dan iztrans. Fungsi – fungsi ini
digunakan untuk mentransformasikan f(n) < = > F(z) dan keduanya mempunyai bentuk yang
sama dengan fungsi Laplace dan Fourier.
Ansar Suyuti
VII-
38

AKAR-AKAR

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to AKAR-AKAR

Similar to AKAR-AKAR (20)

More from Hastih Leo

More from Hastih Leo (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

AKAR-AKAR