Fungsi rasional adalah fungsi berbentuk f(x)=g(x)/h(x) dimana g(x) dan h(x) adalah fungsi linier atau kuadrat. Terdapat 4 bentuk umum fungsi rasional yang akan dipelajari yaitu f(x)=ax+b/cx+d, f(x)=ax+b/px^2+qx+r, f(x)=ax^2+bx+c/px^2+qx+r, dan f(x)=ax^2+bx+c/px+q. Untuk menggambar gra

1. FUNGSI RASIONAL
Kita sudah mengenal fungsi suku banyak berderajat dua seperti f(x) = ax2 + bx + c.
Sekarang kita akan mempelajari suatu fungsi yang berbentuk f(x) = g(x)/f(x), h(x) ≠ 0 dengan
g(x) dan h(x) suatu fungsi suku banyak berderajat satu ( linier) atau berderajat dua (kuadrat)
yang kita sebut dengan fungsi rasional. Bentuk-bentuk umum fungsi rasional yang akan kita
pelajari adalah :
1. f(x) = ax + b/ cx + d
2. f(x) = ax + b / px2 + qx + r
3. f(x) = ax2 + bx + c / px2 + qx + r
4. f(x) = ax2 + bx + c / px + q
Menggambar grafik fungsi rasional perlu memperhatikan hal-hal berikut :
1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat ( sumbu x dan sumbu y)
2. Menentukan asimtot ( datar, tegak atau miring )
3. Menentukan titik stasioner
4. Menyelidiki daerah fungsi
5. Menentukan titik belok dan kecekungan
6. Menentukan beberapa titik bantu jika diperlukan
7. Fungsi Rasional berbentuk f(x) = ax + b / cx + d , dimana cx + d ≠ 0
Untuk menggambar grafik bentuk ini, kita cari terlebih dahulu hal-hal sebagai berikut
1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x, y = 0
𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
0 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
0 = 𝑎𝑥 + 𝑏
ax + b = 0, maka x = -b/a
Jadi ( -b/a,0)
2. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu y, x = 0
𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
𝑦 =
𝑎 (0) + 𝑏
𝑐 (0) + 𝑑
𝑦 =
𝑏
𝑑

2. y = b/d, jadi ( 0,b/d)
3. Menentukan asimtot, ada 2 yaitu asimtot datar dan tegak
- Asimtot datar diperoleh apabila x → ~, maka y = a/c
- Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~, maka x = -d/c
4. Menentukan daerah grafik fungsi adalah dengan mancari nilai positif dan negative dari
fungsi dengan batas-batas harga nol pembilang atau penyebut
5. Menentukan beberapa titik bantu
Contoh soal :
1. Gambarlah grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2𝑥 – 4
x – 1
Jawab ;
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2𝑥 – 4
x – 1
# Titik potong dengan sumbu x dicapai untuk y = 0
0 =
2𝑥 – 4
x – 1
2x – 4 = 0 , maka x = 2
Jadi koordinat titik potong dengan sumbu x yaitu ( 2,0)
# Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0
𝑦 =
2 (0) – 4
0 – 1
=
– 4
−1
= 4
Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu ( 0,4)
# – Asimtot datar, 𝑦 =
𝑎
𝑐
=
2
1
= 2
- Asimtot tegak, 𝑥 =
−𝑑
𝑐
=
(− (−1))
1
= 1
# Daerah grafik fungsi :
2x -4 = 0 , maka x = 2 dan x – 1 = 0, maka x = 1

3. # Beberapa titik Bantu
x - 3 -1 0 1 2 3 5
y 2 ½ 3 4 ~ 0 1 3/2
# Gambar : Terlampir
2. Grafik fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
melalui titik ( 5, -3/2) dan mempunyai asimtot dengan
persamaan y = -5 dan x = -5. Tentukan persamaan fungsi tersebut dan gambar grafiknya !
Jawab :
# y = – 5 adalah asimtot tegak dengan rumus y = a/c
Jadi a/c = -5, maka a = – 5c
# x = -5 adalah asimtot datar dengan rumus x = -d/c
Jadi –d/c = -5, maka d = 5c
# Grafik melalui titik ( 5, -3/2) artinya :
y = ax + b/ cx + d
-3/2 = 5a + b / 5c + d
-3 (5c + d ) = 2 ( 5a + b )
- 15 c – 3d = 10a + 2b
- 15 c – 15c = -50c + 2b
- 30 c + 50c = 2b
b = 20/2 c = 10 c
Jadi persamaannya menjadi :
y = ax + b/cx + d = -5cx + 10c/cx + 5c = -5x + 10/x + 5
# Untuk menggambar : Terlampir
Soal
1. Gambar grafik dari fungsi berikut :
a. f(x) = 2x/x – 3
b. f(x) = 3x – 18 / x + 3

4. 2. Grafik fungsi y = ax + b/cx + d melalui titik ( 2,-3/2) serta mempunyai asimtot tegak x = -
2 dan asimtot datar y = 2. Tentukan persamaannya dan gambar grafiknya !
B. Fungsi rasional berbentuk 𝑓 (𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑝𝑥2+ 𝑞𝑥 + 𝑟
Untuk menggambar grafik fungsi berbentuk 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑝𝑥2+ 𝑞𝑥 + 𝑟
, kita perlukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Menentukan titik potong dengan sumbe x, y = 0
0 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟
Jadi ax + b = 0 → 𝑥 =
−𝑏
𝑎
maka (
−𝑏
𝑎
. 0)
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0
𝑦 =
𝑎 (0) + 𝑏
𝑝 (0)2 + 𝑞 (0) + 𝑟
𝑦 =
𝑏
𝑟
, maka ( 0 ,
𝑏
𝑟
)
3. a. Asimtot datar, x → ~
y = 0
b. Asimtot tegak, y → ~
berarti px2 + qx + r = 0
4. Menentukan titik stasioner
5. Daerah grafik
6. Sketsa grafik
Contoh soal :
1. Gambarlah grafik y = x + 2 / x2 – 2x – 3
Jawab :
y = x + 2 / x2 – 2x – 3, didapat a = 1, b = 2, p = 1, q = -2, r = -3
# Titik potong dengan sumbu x, y = 0

5. x = -b/a = -2/1= -2, jadi ( -2,0 )
# Titik potong dengan sumbu y, x = 0
y = b/r = 2/-3, jadi ( 0, -2/3 )
# 1. Asimtot datar y = 0
2. Asimtot tegak, x2 – 2x – 3 = 0
( x – 3) ( x + 1) = 0
x = 3 dan x = -1
# Titik stasioner
y = x + 2/x2 – 2x – 3 menjadi y ( x2 – 2x – 3 ) = x + 2
maka yx2 – 2xy – 3y – x – 2 = 0
yx2 – ( 2y + 1)x – ( 3y + 2 ) = 0
Syarat : D = 0, mempunyai dua akar real
(-(2y + 1))2 – 4y(-3y -2) = 0
4y2 + 4y + 1 + 12y2 + 8y = 0 menjadi 16y2 + 12y + 1 = 0 dst ≥
2. Diketahui grafik fungsi y = 2x + b/ px2 + qx + r, memotong sumbu x dititik (3,0) dan
sumbu y dititik ( 0,3/2) serta mempunyai asimtot tegak x = 2 dan x = -2. Tentukan persamaan
funhsi tersebut !
Jawab : dst
1. Fungsi rasional berbentuk f(x) = ax2 + bx + c/ px2 + qx + r
Untuk menggambar grafik ini diperlukan langkah-langkah sbb ;
1. Titik potong dengan sumbu x, y = 0
ax2 + bx + c = 0. Akar-akar dari persamaan tsb merupakan absis titik potong dengan sumbu
x
1. Titik potong dengan sumbu y, x = 0. Didapat y = c/r
2. Asimtot datar diperoleh apabila x → ~. Dan dapat y = a/p
3. Titik potong kurva dengan asimtot datar
y = a/p maka didapat x = ar – cp/bp-aq

6. maka koordinatnya ( ar – cp/bp – aq, a/p ), dengan syarat bp – aq ≠ 0
1. Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~. Dan didapat dari akar-akar persamaan
px2 + qx + r = 0
1. Menetukan titik stasioner
2. Daerah grafik
3. Menentukan beberapa titik Bantu
4. Menggambar grafik fungsi
Contoh soal :
1. Gambar grafik fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥2
– 3𝑥 – 10
𝑥2 + 2𝑥 −3
2. Grafik dengan persamaan y = x2 + bx + c/px2 + qx + 4, memotong sumbu x dititik
(4,0) dan melalui titik ( -4,2) serta memotong sumbu y dititik ( 0,-2 ), asimtot
datarnya y = 1
D. Fungsi rasional berbentuk 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑝𝑥 + 𝑞
Langkah-langkahnya sama, hanya tidak mempunyai asimtot datar tetapi mempunyai asimtot
miring. Sedangkan cara mancari asimtot miring dibagi pembilang ax2 + bx + c dengan
penyebut px + q, sehingga didapat bentuk
𝑦 =
(𝑚𝑥+𝑛) + 𝑑
𝑝𝑥 + 𝑞
dan untuk persamaan asimtot miring adalah y = mx + n
Contoh soal :
Gambar grafik fungsi :
a. y = x2 – x – 6 / x – 1
b. y = x2 / x + 2