Dokumen tersebut membahas tentang algoritma dan notasi matematika dalam berbagai basis bilangan seperti biner, oktal, desimal, dan heksadesimal beserta contoh penerapannya."
Teknik komplemen berdasarkan algoritma gerbang NOT, dimana bit keluaran adalah kebalikan dari bit masukan. Makalah ini menjelaskan teknik dan algoritma komplemen nilai numerik, baik bilangan positif maupun negatif dengan menggunakan biner. Metode ini digunakan dalam organisasi komputer khususnya unit ALU.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan penerapannya dalam memecahkan masalah, khususnya terkait perancangan bangunan tinggi. Integral digunakan untuk menentukan rancangan bagian atas dan bawah bangunan agar tahan terhadap angin yang semakin kuat di bagian atas. Dokumen ini juga berisi pengertian integral, rumus-rumus dasar, sifat-sifat, dan contoh soal integral.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, yang meliputi konsep dasar integral tak tentu, materi integral tak tentu seperti mengenal integral sebagai anti turunan dan merumuskan integral fungsi aljabar dan trigonometri, serta aplikasi integral tak tentu dalam pemecahan masalah.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel dan fungsi matematika. Variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat, sedangkan fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel. Jenis-jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, dan pangkat juga dijelaskan beserta contohnya.
Dokumen tersebut membahas tentang algoritma dan notasi matematika dalam berbagai basis bilangan seperti biner, oktal, desimal, dan heksadesimal beserta contoh penerapannya."
Teknik komplemen berdasarkan algoritma gerbang NOT, dimana bit keluaran adalah kebalikan dari bit masukan. Makalah ini menjelaskan teknik dan algoritma komplemen nilai numerik, baik bilangan positif maupun negatif dengan menggunakan biner. Metode ini digunakan dalam organisasi komputer khususnya unit ALU.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan penerapannya dalam memecahkan masalah, khususnya terkait perancangan bangunan tinggi. Integral digunakan untuk menentukan rancangan bagian atas dan bawah bangunan agar tahan terhadap angin yang semakin kuat di bagian atas. Dokumen ini juga berisi pengertian integral, rumus-rumus dasar, sifat-sifat, dan contoh soal integral.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, yang meliputi konsep dasar integral tak tentu, materi integral tak tentu seperti mengenal integral sebagai anti turunan dan merumuskan integral fungsi aljabar dan trigonometri, serta aplikasi integral tak tentu dalam pemecahan masalah.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel dan fungsi matematika. Variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat, sedangkan fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel. Jenis-jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, dan pangkat juga dijelaskan beserta contohnya.
Matematika 2 - Slide week 3 - integral substitusi trigonometrikBeny Nugraha
Dokumen ini memberikan penjelasan tentang integral tak tentu, integral tentu, integrasi parsial, dan integral substitusi trigonometri. Integral adalah proses kebalikan dari diferensiasi untuk menemukan anti-derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa aturan dalam menghitung integral seperti aturan perkalian konstan dan penjumlahan. Integrasi parsial digunakan untuk menghitung integral yang berisi dua atau lebih fungsi. Substitusi trigonometri diterapkan untuk menghilang
Perintah-perintah tersebut digunakan untuk membuat plot grafik fungsi dan menampilkannya dalam subplot berbeda dalam satu window. Fungsi-fungsi yang digambar meliputi exponential, sinusoidal, dan kombinasinya. Subplot digunakan untuk menampilkan ketiga grafik tersebut secara terpisah dalam satu gambar.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi eksponen, meliputi definisi, grafik, sifat-sifat, persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum y = f(x) = ax dimana a adalah bilangan pokok atau basis. Grafik fungsi eksponen bergantung pada nilai a, apakah lebih besar atau kurang dari 1. Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dap
1. Modul ini membahas turunan fungsi untuk kelas XII semester ganjil SMA Santa Angela Bandung tahun 2017/2018.
2. Materi yang dibahas antara lain pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan, turunan fungsi trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan fungsi naik turun.
3. Modul ini bertujuan membantu siswa memahami konsep turunan fungsi secara lebih mudah.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi eksponen dan logaritma, termasuk rumus, sifat-sifat, dan grafiknya. Fungsi eksponen ditulis sebagai ax dimana a adalah basis dan x adalah eksponen. Fungsi logaritma ditulis sebagai loga(x) dimana a adalah basis logaritma dan x adalah bilangan yang dilogaritmakan. Grafik fungsi eksponen dan logaritma bergantung pada nilai basisnya.
Kumpulan soal ujian masuk perguruan tinggi terkait fungsi kuadrat, termasuk menentukan nilai fungsi, grafik fungsi, titik ekstrem, dan transformasi grafik. Terdapat 36 soal yang mencakup berbagai aspek fungsi kuadrat.
Teks tersebut membahas tiga metode untuk menemukan akar persamaan tak linier, yaitu metode setengah interval, interpolasi linier, dan Newton Raphson. Metode setengah interval melibatkan penentuan interval yang mengandung akar dan penyempitan interval secara berulang. Metode interpolasi linier memanfaatkan garis lurus antara dua nilai fungsi. Sedangkan metode Newton Raphson mengandalkan turunan fungsi untuk memperkirakan akar berikutnya.
Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.
Limit merupakan pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu. Terdapat tiga bentuk hasil limit yaitu bentuk tentu, tak tentu, dan tidak terdefinisi. Beberapa teorema limit dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit, seperti penggunaan subtitusi langsung, pemfaktoran, dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi ketika variabel mendekati tak hingga.
Modul ini membahas tentang fungsi kuadrat, termasuk domain, kodomain, range, pengertian dan bentuk umum fungsi kuadrat, sketsa grafik fungsi kuadrat, dan penerapannya.
Fungsi kuadrat adalah pemetaan bilangan nyata ke dirinya sendiri dengan bentuk umum y = ax^2 + bx + c dimana a ≠ 0. Grafiknya berbentuk parabola dengan titik potong sumbu x dan y, sumbu simetri, serta titik puncak yang dapat dihitung berdasarkan persamaannya.
Modul ini membahas tentang arsitektur komputer yang terdiri dari tiga komponen utama yaitu perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan data. Hardware merupakan bagian fisik dari komputer seperti CPU dan memori. Software berisi instruksi-instruksi untuk mengoperasikan hardware. Data adalah representasi fakta dan informasi yang dapat diproses oleh komputer.
Matematika 2 - Slide week 3 - integral substitusi trigonometrikBeny Nugraha
Dokumen ini memberikan penjelasan tentang integral tak tentu, integral tentu, integrasi parsial, dan integral substitusi trigonometri. Integral adalah proses kebalikan dari diferensiasi untuk menemukan anti-derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa aturan dalam menghitung integral seperti aturan perkalian konstan dan penjumlahan. Integrasi parsial digunakan untuk menghitung integral yang berisi dua atau lebih fungsi. Substitusi trigonometri diterapkan untuk menghilang
Perintah-perintah tersebut digunakan untuk membuat plot grafik fungsi dan menampilkannya dalam subplot berbeda dalam satu window. Fungsi-fungsi yang digambar meliputi exponential, sinusoidal, dan kombinasinya. Subplot digunakan untuk menampilkan ketiga grafik tersebut secara terpisah dalam satu gambar.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi eksponen, meliputi definisi, grafik, sifat-sifat, persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum y = f(x) = ax dimana a adalah bilangan pokok atau basis. Grafik fungsi eksponen bergantung pada nilai a, apakah lebih besar atau kurang dari 1. Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dap
1. Modul ini membahas turunan fungsi untuk kelas XII semester ganjil SMA Santa Angela Bandung tahun 2017/2018.
2. Materi yang dibahas antara lain pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan, turunan fungsi trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan fungsi naik turun.
3. Modul ini bertujuan membantu siswa memahami konsep turunan fungsi secara lebih mudah.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi eksponen dan logaritma, termasuk rumus, sifat-sifat, dan grafiknya. Fungsi eksponen ditulis sebagai ax dimana a adalah basis dan x adalah eksponen. Fungsi logaritma ditulis sebagai loga(x) dimana a adalah basis logaritma dan x adalah bilangan yang dilogaritmakan. Grafik fungsi eksponen dan logaritma bergantung pada nilai basisnya.
Kumpulan soal ujian masuk perguruan tinggi terkait fungsi kuadrat, termasuk menentukan nilai fungsi, grafik fungsi, titik ekstrem, dan transformasi grafik. Terdapat 36 soal yang mencakup berbagai aspek fungsi kuadrat.
Teks tersebut membahas tiga metode untuk menemukan akar persamaan tak linier, yaitu metode setengah interval, interpolasi linier, dan Newton Raphson. Metode setengah interval melibatkan penentuan interval yang mengandung akar dan penyempitan interval secara berulang. Metode interpolasi linier memanfaatkan garis lurus antara dua nilai fungsi. Sedangkan metode Newton Raphson mengandalkan turunan fungsi untuk memperkirakan akar berikutnya.
Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.
Limit merupakan pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu. Terdapat tiga bentuk hasil limit yaitu bentuk tentu, tak tentu, dan tidak terdefinisi. Beberapa teorema limit dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit, seperti penggunaan subtitusi langsung, pemfaktoran, dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi ketika variabel mendekati tak hingga.
Modul ini membahas tentang fungsi kuadrat, termasuk domain, kodomain, range, pengertian dan bentuk umum fungsi kuadrat, sketsa grafik fungsi kuadrat, dan penerapannya.
Fungsi kuadrat adalah pemetaan bilangan nyata ke dirinya sendiri dengan bentuk umum y = ax^2 + bx + c dimana a ≠ 0. Grafiknya berbentuk parabola dengan titik potong sumbu x dan y, sumbu simetri, serta titik puncak yang dapat dihitung berdasarkan persamaannya.
Modul ini membahas tentang arsitektur komputer yang terdiri dari tiga komponen utama yaitu perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan data. Hardware merupakan bagian fisik dari komputer seperti CPU dan memori. Software berisi instruksi-instruksi untuk mengoperasikan hardware. Data adalah representasi fakta dan informasi yang dapat diproses oleh komputer.
Skema register data dalam prosesor x86 meliputi register umum seperti AX, BX, CX, DX yang terbagi menjadi bagian 8 bit dan 16 bit. Terdapat juga register khusus seperti segment register, pointer register, dan status register. Algoritma perpindahan data dalam bahasa rakitan melibatkan duplikasi nilai antara register melalui instruksi MOV. Mekanisme pendeklarasian data mencakup tipe data seperti byte, word, double word beserta panjangnya di memori.
Dokumen tersebut merupakan materi mata kuliah Matematika Teknik I yang membahas tentang eksponensial, logaritma, bilangan Euler, dan integral postulat. Materi tersebut digunakan sebagai referensi untuk mempelajari konsep-konsep dasar matematika yang relevan dengan teknik.
Importance du contenu redactionnel pour le referencement : par AxeNetAgence web AxeNet
Quelle importance pour le contenu redactionnel dans le référencement d'un site Internet ?
Presentation de Sylvain Richard de l'agence AxeNet au SMX Paris 2011.
Le site de l'agence : http://www.axe-net.fr
Le blog : http://blog.axe-net.fr
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan dan operasi-operasinya. Secara singkat, himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki ciri tertentu, dan dapat dilakukan operasi gabungan, irisan, selisih, serta dibedakan menjadi himpunan yang sama, subset, kosong, dan lainnya. Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan hubungan antar himpunan.
Dokumen tersebut membahas penggunaan matriks untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel, termasuk definisi determinan, perkalian matriks, dan metode penyelesaian seperti invers matriks dan determinan.
1. Matematika diskrit mempelajari objek-objek diskrit seperti himpunan bilangan bulat dan graf.
2. Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda, seperti anggota kelas.
3. Operasi dasar pada himpunan meliputi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen.
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas. Terdapat beberapa jenis himpunan seperti himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan hingga dan tak hingga, serta himpunan terbilang dan tak terbilang. Notasi penulisan himpunan meliputi bentuk pendaftaran dan pencirian.
Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.
Salah satu materi perkuliahan prodi pendidikan matematika mata kuliah teori himpunan dan logika matematika - Kardinalitas, definisi kardinalitas, himpunan kuasa, operasi relasi dua himpunan, himpunan bagian
Teks tersebut membahas tentang definisi dan penyajian himpunan, termasuk tabulasi, notasi pembentuk himpunan, diagram Venn, kardinalitas, himpunan kosong, subset, kesamaan, ekivalensi, saling lepas, himpunan kuasa, dan berbagai operasi himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, perkalian Kartesian, dan prinsip inklusi-eksklusi.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian himpunan, penyajian himpunan, himpunan universal dan kosong, operasi himpunan, dan kaidah matematika dalam operasi himpunan.
Dalam bahasan ini akan dijelaskan Pengertian Himpunan,
Penyajian Himpunan, Himpunan Universal dan Himpunan Kosong, Operasi Himpunan,Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
Dokumen ini membahas tentang Power over Ethernet (PoE) yang merupakan teknologi pendistribusian daya listrik ke perangkat jaringan nirkabel melalui kabel ethernet, sehingga mengurangi ketergantungan koneksi listrik ke stopkontak. PoE memungkinkan data dan daya ditransmisikan secara bersamaan melalui satu medium yaitu kabel ethernet.
This document lists 5 references used in a paper or project by Ir. Sihar from Bandung, Indonesia in 2010. The references are books about microcontrollers, computer systems design, computer arithmetic, and digital electronics published between 1989 and 2003.
Silabus TIK-2303 Arsitektur & Organisasi KomputerS N M P Simamora
Mata kuliah ini membahas tentang organisasi dan arsitektur komputer, meliputi konsep dasar, komponen, dan bagaimana kerjanya dalam sistem komputer. Topik-topik utama mencakup CPU, memori utama, gerbang logika, mikroprosesor, dan penyimpanan luar. Tujuannya agar mahasiswa memahami definisi, konsep, dan hubungan antar-komponen komputer.
Dokumen tersebut berisi penjelasan tentang konsep proses dalam sistem operasi, termasuk diagram state proses, metrik waktu proses seperti waktu proses, waktu pengerjaan, waktu tunggu dan waktu interrupt. Diberikan pula beberapa soal untuk menghitung panjang waktu proses berdasarkan diagram state yang diberikan.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep dan definisi cloud computing serta unsur-unsurnya seperti jaringan, layanan, platform, dan aplikasi.
2. Disebutkan tiga klasifikasi cloud computing berdasarkan mekanisme akses terbatasnya, yaitu public, private, dan public-private cloud.
3. Kelebihan cloud computing adalah efisiensi dan efektivitas, sedangkan kelemahannya adalah biaya peng
Dokumen tersebut membahas tentang materi Matriks pada mata kuliah Matematika Teknik. Terdapat penjelasan tentang konsep dasar matriks, contoh operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian matriks beserta sintaks pemrograman dalam bahasa C/C++. Juga dijelaskan tentang konsep vektor, transposisi, determinan, dan invers matriks beserta rumus-rumusnya.
Dokumen tersebut membahas mata kuliah Pengantar Teknologi Informasi yang mencakup topik telekomunikasi. Telekomunikasi melibatkan pengiriman informasi melalui sistem kabel, optik, radio atau elektromagnetik. Teknologi Informasi telah memasuki domain telekomunikasi dengan perangkat dan layanan berbasis komputer seperti email, chatting dan jejaring sosial.
This document outlines a 4 credit course on microelectronics practices taught by Ir. Sihar, MT in the Computer Systems Department at ITHB Bandung in 2002. The course covers topics such as logic gates, operational amplifiers, analog-to-digital converters, digital-to-analog converters, and motor control over 7 meetings using tools like Electronic Work Bench and PIC 16F84 microcontrollers. Students are evaluated based on an initial test, final test, journal, assistance/oral tests, and attendance.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem basis bilangan dan konversi antar basis bilangan decimal, hexadecimal, octal, dan binary. Terdapat tabel konversi antar basis bilangan dan contoh soal konversi beserta penjelasannya.
This document discusses the history and development of information theory and communication systems. It provides a timeline of important developments in telegraph, telephone, radio, and data transmission technologies from 1830 to 1930. It also includes diagrams of a basic communication system model and equations for measuring information transmission rate and amount. The key contributors to early information theory are noted as Hartley, Nyquist, and Shannon through their seminal papers from the 1920s and 1940s.
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
1. 1
Teori Himpunan
Dosen: Ir. Sihar, M.T.
Fak. Teknologi Informasi
Bandung 2012
Referensi:
[1]. Chapman, S.J. Matlab Programming for Engineers. Bookware Companion Series.
Thomson-Engineering. 2001.
[2]. Hunt, B.R., etc. A Guide to Matlab for Beginners and Experienced Users.
Cambride University Press. 2001.
[3]. Shen, A., Vereschagin, N.K. Basic Set Theory. American Mathematical Society.
2002
[4]. Simangunsong, W. Matematika Dasar. Penerbit Erlangga. 1998.
[5]. Weinstein, G. Advanced Calculus. 1999.
Himpunan adalah sekumpulan elemen-elemen yang memiliki sifat yang sama.
Misalkan:
A = {a, e, i, o, u} disebutkan bahwa A adalah himpunan yang beranggotakan huruf
vokal.
Dalam script Matlab dituliskan sbb:
>> A=['a ' 'e ' 'i ' 'o ' 'u'];
>> A
A =
a e i o u
>>
Sepintas dapat disebutkan bahwa A merupakan larik yang berisikan elemen-
elemen data tipe karakter (‘char’); atau A juga dapat disebutkan matriks dengan
elemen 1 x 5, yakni 1-baris, 5-kolom.
Misalkan:
A1 = [1 2 3] A2 =
1
2
3
൩
Maka,
Jika A1 x A2 didapatkan: [ሺ11ݔሻ + ሺ22ݔሻ + ሺ33ݔሻ] = 14
Dituliskan dalam script Matlab sbb:
>> clear all
>> A1=[1 2 3];
>> A2=[1;2;3];
>> A1*A2
ans =
2. 2
14
>>
Contoh himpunan yang lain:
mahasiswa = {‘Khoe Jie’,’Wita’,’Nora’,’Suze’}
Integer = {1,-1,4,10,31}
Larik (array) dinyatakan dalam dimensi-1 dan dimensi-2, jika dimensi-1 relatif
tergolong sebuah himpunan; sedangkan dimensi-2 disebut dengan matriks.
Misalkan:
Z = {1,3,5} ⇒ matriks dengan dimensi 1x3 yakni: 1-baris dan 3-kolom;
Jika dituliskan dalam script Matlab sbb:
>> Z=[1,3,5];
>> Z
Z =
1 3 5
Dengan kata lain, jika dituliskan sbb:
>> clc %hapus layar
>> clear all %hapus semua variabel
>> Z(1,2) %menampilkan baris-1, kolom-2
ans =
3
>>
Selanjutnya dapat dijelaskan juga melalui script berikut ini:
>> A1=[1;-1;2];
>> A1
A1 =
1
3. 3
-1
2
>> size(A1) %mendapatkan informasi dimensi matriks A1
ans =
3 1
Hasilnya menjelaskan bahwa A1 matriks dengan dimensi 3x1, yakni: 3-baris, 1-
kolom.
>> A2=[1,-1,2];
>> A2
A2 =
1 -1 2
>> size(A2) %mendapatkan informasi dimensi matriks A2
ans =
1 3
>>
Hasilnya menjelaskan bahwa A2 matriks dengan dimensi 1x3, yakni: 1-baris, 3-
kolom.
Matriks yang terdiri dari single-column disebut dengan vector.
Misalkan:
A1 =
1
−1
2
൩
Dalam script Matlab dapat dituliskan sbb:
>> A1=[1;-1;2];
>> A1
A1 =
1
-1
2
>>
Di sisi lain bisa disebutkan himpunan Z yang terdiri dari:
• n(Z) = 3
• jumlah himpunan bagian Z = 23 = 8, yaitu: ∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5},
{1,3,5}
Suatu array yang beranggotakan sbb:
Z[0] = 1;
Z[1] = 3;
Z[3] = 5;
Dituliskan dalam script Matlab sbb:
4. 4
Misalkan:
Z1 =
1.2 0.4 ߨ
1 −1 0
0 1.75 2
൩
Maka,
a) Untuk mendapatkan dimensi Z1:
>> Z1=[1.2,0.4,pi;1,-1,0;0,1.75,2];
>> Z1
Z1 =
1.2000 0.4000 3.1416
1.0000 -1.0000 0
0 1.7500 2.0000
>> size(Z1)
ans =
3 3
>>
b) Untuk mendapatkan nilai Z123
>> Z1(2,3)
ans =
0
>>
c) Jika 2.Z1, maka didapatkan:
>> 2*Z1
ans =
2.4000 0.8000 6.2832
2.0000 -2.0000 0
0 3.5000 4.0000
>>
Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri dari sejumlah himpunan bagian
dan bersifat universal dalam hal kesamaan status, tempat, karakteristik, dan
tujuan. Disimbolkan dengan S atau U.
Misalkan diperlihatkan pada Diagram Venn berikut:
5. 5
maka, S = A1 ∪ A2
dan
A1 ∈ S ; A2 ∈ S
Himpunan Bagian, merupakan sejumlah anggota kumpulan yang dikelompokkan
dalam sifat yang sama dan dituliskan dengan simbol ‘⊂’.
Misalkan:
A = {-1, 6,
గ
ଶ
, 4.5, -3} , maka yang dimaksud dengan himpunan bagian adalah:
{ } ⊂ A ; {-1} ⊂ A ; {6} ⊂ A ; {
గ
ଶ
} ⊂ A ; {4.5} ⊂ A ; {-3} ⊂ A ;
{-1,6} ⊂ A ; {-1,
గ
ଶ
} ⊂ A ; {-1,4.5} ; {-1,-3} ⊂ A ;
{6,
గ
ଶ
} ⊂ A ; {6,4.5} ⊂ A ; {6, -3} ⊂ A ;
{
గ
ଶ
,4.5} ⊂ A ; {
గ
ଶ
,-3} ⊂ A ;
{4.5-,3} ⊂ A ;
{-1,6,
గ
ଶ
} ⊂ A ; {-1,6,4.5} ⊂ A ; {-1,6,-3} ⊂ A ;
dst.
Dirumuskan banyak himpunan bagian A sebanyak: 2n(A) dimana n(A) = jumlah
elemen A yakni 5.
Sehingga jumlah himpunan bagian dari A = 32
Dalam script Matlab untuk mendapatkan jumlah elemen himpunan dapat dicari
sbb:
>> A=[-1,6,pi,4.5,-3];
>> A
A =
-1.0000 6.0000 3.1416 4.5000 -3.0000
>> length(A) %mendapatkan informasi jumlah anggota larik/himpunan
ans =
5
>>
Jika himpunan bagian sebanyak 3 anggota dari A, maka jumlahnya diketahui sbb:
{x,yz} ⇒
ହ!
ଷ!ሺହିଷሻ!
=
ହ!
ଷ!
=
ହ௫ସ௫ଷ
ଷ௫ଶ௫ଵ
= 10
Dirumuskan: ܣ
=
!
!ሺିሻ!
; dimana n: jumlah elemen himpunan bagian dan m:
jumlah elemen dari himpunan bagian yang dicari/ditetapkan.
Contoh lain:
Z = {-3,2,4,12}
Jumlah elemen = n(Z) = 4
Jumlah himpunan bagian = 24 = 16
Jumlah himpunan
Misalkan: A={a,e,i,o,u} digambarkan dalam Diagram Venn sbb:
6. 6
S merupakan himpunan semesta, dan A
merupakan himpunan bagian dari S, dan
a,e,i,o,u adalah anggota himpunan dari A.
Himpunan Ekivalen, jika jumlah anggota himpunan A sama dengan jumlah
anggota himpunan B, dan anggotanya masing-masing sama; maka disebutkan A
dan B adalah himpunan ekivalen, dan dapat dituliskan sbb: n(A) = n(B)
Contoh:
A={x,y,z}
B={x|3≤x≤5 ; x∈A}
C={x|1≤x≤3 ; x∈ℜ}
Maka, n(A) = n(B) → A ≅ B
Misalkan A,B,C, dst adalah himpunan; dan a,b,c, ... atau x,y,z... adalah
anggotanya,
maka:
b ∈ A jika b elemen dari A, dan B ∈ A, jika masing-masing A dan B adalah
himpunan dan B elemen dari A; dan disebutkan c ∉ A, jika c bukan elemen dari A,
dan merupakan ∅ ∈ A atau suatu himpunan.
Himpunan Ekivalen memenuhi kriteria apabila n(A) = n(B), misalkan:
A = {-1,6,5,4,1.2} dan B = {2x,π,-1,7,x3}
Maka, n(A) = n(B) = 5
Jika A, B, dan C adalah himpunan, maka dapat dibangun relasi sbb:
(A ∩ B) ∪ C
⇔ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Misalkan:
A = {1,-a,12}
B = {-1,12,-a,7}
C = {1,-1,3a,8,21,s1,12}
maka,
z = A ∩ B = {-a,12}
dan z ∪ C = {1,-1,3a,8,21,s1,12,-a}
z1 = A ∪ C = {1,-a,12,-1,3a,8,21,s1}
z2 = B ∪ C = {-1,12,-a,7,1,3a,8,21,s1}
sehingga, z1 ∩ z2 = {-a,12,-1,3a,21,s1,1,8}
Terbukti!
(A ∪ B) ∩ C
⇔ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Misalkan:
A = {1,-a,12,3}
B = {-1,12,-a,3,7}
C = {1,-1,3a,8,21,s1,12}
7. 7
maka,
z = A ∪ B = {1,-1,-a,12,3,7}
dan z ∩ C = {1,-1,12}
z1 = A ∩ C = {1,12}
z2 = B ∩ C = {-1,12}
sehingga, z1 ∪ z2 = {1,12,-1}
Terbukti!
Pernyataan Notasi
Misalkan: {x|x adalah Bilangan Asli dan x<8}
maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan x, disebutkan
bahwa x adalah Bilangan Asli dan x<8”
Contoh lain:
{x|x adalah karakter dari alpabetikal Jawa}
maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan x, disebutkan
bahwa x adalah karakter dari alpabetikal Jawa”
Contoh yang lain:
{y|y adalah seorang mahasiswa UNIBBA dan y berumur lebih muda 25 th.}
maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan y, disebutkan
bahwa y adalah seorang mahasiswa UNIBBA dan y berumur lebih muda 25 th.”
Oleh sebab itu jika dinyatakan dalam sebuah kasus sbb:
Asumsi bahwa y1 menyatakan umur dan y2 menyatakan mahasiswa UNIBBA
dimana angka 25 merepresentasikan ‘mahasiswa UNIBBA’.
Maka jika dituliskan dalam script MATLAB dapat ditunjukkan sbb:
y1=30;
y2=25; %asumsi nilai 25 menyatakan mhs UNIBBA
if(y1<=25&&y2==25)
disp('Himpunan y');
else
disp('Bukan himpunan y');
end
Hasilnya:
Bukan himpunan y
Jika diganti y1=20, maka hasilnya:
Himpunan y
Hint:
Tuliskan dalam M-files (editor Matlab), dan jalankan dengan meng-klik: Run pada
M-files, dan hasilnya ditampilkan pada command-line pada Matlab.
Aturan recursive
Misalkan Himpunan E beranggotakan bilangan genap lebih besar dari 3, maka
dapat disebutkan bahwa:
a) 4 ∈ E
b) Jika x ∈ E, maka x+2 ∈ E
c) Tidak ada satupun nilai anggota E
Artinya:
Statement a merupakan aturan pokok yang telah terdefinisikan sesuai dengan
rules; statement b merupakan derivatif dari a untuk pokok turunan berikutnya
8. 8
dari rules pokok yang telah terdefinisi; sedangkan statement c merupakan kriteria
dan nilai lain di luar a dan b.
Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa himpunan pokok hasil adalah tiga
luaran, yakni: pokok uraian, turunan dari pokok uraian, dan nilai di luar pokok
uraian dan turunan dari pokok uraian.
Power sets
Seperti telah disebutkan sebelumnya, bahwa jika disebutkan Himpunan A={a,b}
maka:
Power sets A, atau jumlah himpunan bagian A adalah dinotasikan dengan ℘(A)
atau dituliskan juga dengan 2n(A).
Sehingga dapat disebutkan bahwa:
n(A) = 2, sehingga ℘(A) = 4, dibuktikan sbb:
Himpunan Bagian A, dituliskan ‘⊂’.
Bedakan ‘member-of’ dan ‘subset of’.
A={a,b}
℘(A) = {∅,{a},{b},{a,b}}
Sehingga:
a∈A ; {a}∈℘(A) ; {a}⊂A ; ∅⊂A ; ∅∉A ; ∅∈℘(A) ; ∅⊂℘(A)
Mendapatkan selisih
Jika A1 dan A2 masing-masing himpunan, maka:
A1 – A2 = {x|x∈A1 dan x∉A2}
sehingga, apabila diketahui masing-masing himpunan tsb adalah sbb:
A1 = {k,o,e}
A2 = {k,o,l,0,t}
maka, A1 – A2 = {e}
dan n(A1 – A2) = n(A1) – n(A1∩A2) ; n(A1∩A2) = 2
= 3 – 2
= 1
∴jika X ⊂ Y dan Y ⊂ Z, maka X ⊂ Z
Komplemen (Negasi)
Jika Z={-2,3,0,9,b2,z1,33} dan A={3,0,9} maka A ∈ Z dan sekaligus A ⊂ Z, sehingga
ܣ̅ = {-2,b2,z1,33}
A ∪ ܣ̅ = Z ; dan A ∩ ܣ̅ = ∅
Oleh sebab itu: A – ܣ̅ = ܣ̅ – A= ∅
Sehingga, n(A) + n(ܣ̅) = n(Z)
n(A), n(ܣ̅), n(Z) disebut Bilangan Kardinal
Kasus-1
Apabila X1={2,4} ; X2={2,4,11} ; X3={2,4,11,12,14}
maka, (X1∪X2)∩X3 adalah sbb:
Jika X = X1∪X2 = {2,4,11} ; X∩X3 = {2,4,11}
Kasus-2
Jika X1={x|-2 < x <10} dan X2={x|5 ≤ x ≤12} ; x∈ℜ
maka:
X1 = {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; X2 = {5,6,7,8,9,10,11,12}
a) X1 – X2 = {-1,0,1,2,3,4}
9. 9
b) X2 – X1 = {10,11,12}
c) X1 + X2 = {-1,0,1,2,3,4,10,11,12}
d) X1 ∩ X2 = {5,6,7,8,9}
e) n(X1) – n(X2) = 11 – 8 = 3
Kasus-3
A={1,2,3,4,5}
B={1,3,5,7,9}
C={6,7,8,9}
D={2,4,6,8}
Maka:
A ∩ D = {2,4}
Apakah A ∪ C = B ∪ D, dibuktikan sbb:
A ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B ∪ D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Terbukti ☺
Kasus-4
Jika S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} merupakan himpunan semesta
X1={x|x∈Bilangan Genap}
X2={ x|x∈Bilangan Prima}
A={2,3,4,5} ; jika A’ adalah komplemen A
Maka:
X1 = {2,4,6,8,10}
X2 = {2,3,5,7}
sehingga,
X1 ∩ X2 = bukan himpunan kosong
X2 ∩ A’ = {7}
(X2 ∪ A) = {2,3,4,5,7}
(X2 ∪ A)’ = {6,8,9,10}
Kasus-5
Jika diketahui X1={x|0≤x<1} dan X2={y|y<7 ; y∈Bilangan Bulat}
Maka: X1∩X2 = {0} dibuktikan sbb:
X1 = {0}
X2 = {...,-1,0,1,2,3,4,5,6}
Kasus-6
Apabila A={x|x2 – 2x – 3 ≤ 0} dan B={x| x2 – 2x > 0}, maka:
x2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1) ; x=3 ∪ x=-1 ; -1≤ x ≤3
A = {-1,0,1,2,3}
x2 – 2x = x(x-2) ; x=0 ∪ x=2 ; x<0 ∪ x>2
B = {...-2,-1,3,4,5,...}
A – B = {0,1,2}
Kasus-7
Apabila S adalah himpunan Semesta, X1={x|x2 – 3x – 10 <0} dan X2={x||x|>2}
dimana B’ menyatakan komplemen B, maka:
x2 – 3x – 10 = (x-5)(x+2) ; x=5 ∪ x=-2 ; -2< x <5
X1 = {-1,0,1,2,3,4}
|x|>2 ; x<-2 ∪ x>2
10. 10
X2 = {...,-5,-4,-3,3,4,5,...}
X2’ = {-2,-1,0,1,2}
X1 ∩ X2’ = {-1,0,1,2}
Bisa dinyatakan dengan:
a) -1 ≤ x ≤ 2
b) -2 < x ≤ 2
c) -2 < x < 3
d) -1 ≤ x < 3
Kasus-8
P = {0,1,2,3}
Q = {0,1,-1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6}
Maka:
a) P ⊂ Q dan P ≠ Q
b) P ∪ Q ≠ P
c) P ∩ Q ≠ Q
d) Q ⊄ (P ∩ Q)
Kasus-9
Jika X dan Y masing-masing adalah himpunan, dan X – Y = ∅, maka:
a) Kemungkinan X = Y
b) X ⊂ Y atau Y ⊃ X
Misalkan:
X = {-1,0,1,2,3} dan Y = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
Maka: X – Y = ∅ dan X ⊂ Y
Namun jika: X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} dan Y = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
Maka: X – Y = ∅ dan X ⊂ Y atau Y ⊃ X
Kasus-10
Apabila X1 dan X2 adalah dua himpunan bagian dari suatu himpunan semesta S,
dimana X1’ dan X2’ adalah komplemen X1 dan X2, maka: [X1’∩(X1∪X2)]∪(X1∩X2)
= X2
Misalkan:
S = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
X1 = {-2,-1,2,3}
X2 = {2,3,4,5,6}
Maka: X1’ = {-7,-6,-5,-4,-3,0,1,4,5,6,7,8,9} dan
X2’ = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,7,8,9}
A = X1∩X2 = {2,3}
B = X1∪X2 = {-2,-1,2,3,4,5,6}
C = X1’∩B = {4,5,6}
Sehingga C ∪ A = A ∪ C = {2,3,4,5,6} adalah X2 ... ☺ terbukti!
Kasus-11
Apabila Himpunan semesta S={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, X={1,3,5}, dan Y={2,4,6,8}, maka:
X’ = {0,2,4,6,7,8}
Y’ = {0,1,3,5,7}
Y’ – X = {0,7}
(X ∩ Y’) + X = ∅
(Y’ – X) ∩ Y = ∅
X’ ∩ Y’ = {0,7}