Dokumen tersebut membahas tentang variabel dan fungsi matematika. Variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat, sedangkan fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel. Jenis-jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, dan pangkat juga dijelaskan beserta contohnya.

1. Pertemuan #2:
Variabel dan Fungsi
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 1

2. S istem B ilangan
Bilangan bulat positif
Bilangan
Rasional
Bilangan bulat negatif
Bilangan nol
Pecahan a/b,dengan a & b bulat
Bilangan Riil
Bilangan
Irrasional
√2 = 1,4142
π = 3,14159
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 2

3. Garis Bilangan, Konstanta dan Peubah
 Garis bilangan ⇒ suatu penyajian bilangan-bilangan
riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus.
 Membentuk suatu garis bilangan pada suatu garis tertentu :
(i) pilih sembarang titik pd garis sbg titik asal (sesuai
dgn 0)
(ii) pilih suatu arah positif (ditunjukkan o/ sebuah
ujung panah)
(iii) dengan sembarang satuan ukuran yg cocok,
tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan dari 0.
Jika a & b bilangan yg berbeda; a<b berarti bahwa a berada
dikiri b pd garis bilangan sedang a>b berarti bahwa a ada
dikanan b.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 3

4. Dalam definisi selang a < x < b :
(i) simbol a & b menyatakan suatu bilangan tunggal & disebut
suatu konstanta
(ii) simbol x menyatakan tiap bilangan suatu himpunan
(kumpulan) bilangan-bilangan dan disebut peubah (variabel).
Jangkauan (range) suatu peubah ad. nama lain untuk
himpunan bilangan yang diwakilinya.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 4

5. Pertidaksamaan
Persyaratan seperti a < b, a > b, a ≤ b & a ≥ b disebut
pertidaksamaan. Ketentuan :
a) a > 0, jika & hanya jika a positif ;
b) a < 0, jika & hanya jika a negatif ;
c) a >0, jika & hanya jika –a < 0
;
d) a < 0, jika & hanya jika –a > 0 ;
e) Jika a < b dan b < c, maka a < c ;
f) Jika a < b, maka a+c < b+c, jika c bil. riil
g) Jika a < b & c < d, maka a+c < b+d
h) Jika a < b & c bil. positif, maka ac < bc
i) Jika a < b & c bil. negatif, maka ac > bc
j) Jika 0 < a < b & 0 < c < d, maka ac < bd
 Menyelesaikan pertidaksamaan :
Sama dgn persamaan, prosedur u/ menyelesaikan pertidaksamaan satu
langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas. Dpt melaksanakan
operasi2 tertentu pd suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan
pemecahannya. Khususnya :
1. Dapat ditambahkan bil. yg sama pada kedua pihak suatu pertidaksamaan
2. Dapat dikalikan kedua pihak suatu pertidaksamaan dgn suatu bilangan
positif,
3. Dapat dikalikan kedua pihak dgn suatu bilangan negatif, tetapi kemudian
harus membalikkan arah tanda pertidaksamaan.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 5

6. Contoh :
1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x -2 & perlihatkan grafik himpunan.
Penyelesaian :
2x – 7 < 4x – 2
-3
-2
-1
0
1
2
2x < 4x + 5
(tambahkan 7)
- 2x < 5
(tambahkan – 4x)
− 5
−5
 
∞  = x : x >


x > -5/2
(kalikan dengan – ½ )
2
2 

 
3
2. Selesaikanlah pertidaksamaan kuadrat berikut ini :
x2 − x < 6
Penyelesaian :
Seperti pers. kuadrat, pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas &
faktornya.
-2 & 3 ad. Titik-2 pemecahannya, titik-2 ini
membagi garis riil menjadi 3 selang (-∝, -2),
x2 − x < 6
(-2, 3) & (3, ∝). Pd tiap selang ini (x – 3)(x +
2
x − x −6 < 0
( tambahkan − 6 ) 2) bertanda tetap, selalu positif a/ selalu
negatif. U/ mencari tanda ini dlm tiap selang
( x − 3 )( x + 2 ) < 0 ( faktorkan )
dipakai titik-2 uji -3, 0, & 5 (sembarang titik pd
ketiga selang tsb yg memenuhi).
Hasilnya : titik uji -3 bertanda positif (+) ; titik
uji 0 bertanda negatif (-) & titik uji 5 bertanda
-2
3
(-2 ,3 )
positif (+). Shg dapat disimpulkan bahwa
himpunan pemecahannya ad. selang (-2,3).
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 6

7. Nilai Mutlak
Nilai mutlak (absolut) dari suatu bilangan riil didefinisikan sbg :
x = x
→ jika x ≥ 0
x = - x
→ jika x < 0
Misalnya : 5 = 5,
karena 5 ≥ 0 dan
- 2 = - (-2) = 2 , karena – 2 < 0
Sifat-sifat dari harga mutlak :
Jika a, b ε R, maka :
1) a < b jika dan hanya jika –b < a < b, dimana b > 0
2) a > b jika dan hanya jika a < -b atau a > b
3) ab = a b
7) a - b ≤ a + b
a
a
=
b
4) a + b ≤ a + b
8) b
5) a - b ≥ a - b
Slide - 7
Variabel &
KALKULUS - 1

8. Contoh :
1)
Carilah harga x yang memenuhi x - 5 < 4
Penyelesaian :
x - 5 < 4
- (x – 5) < 4
x–5 <4
atau
-x+5 <4
x<9
-x < -1
x>1
1
Harga x yang
memenuhi :
1<x<9
9
2. Tentukan harga x yang memenuhi : − 3 x − 2 = 5 x − 6
Penyelesaian :
− 3x − 2 = 5x − 6 atau : − ( −3x − 2) = 5x − 6 Harga x yang
− 3x − 2 = 5x − 6
− 8x = −4
x = 1/2
Variabel &
3x − 5x = −6 − 2
− 2x = −8
x=4
KALKULUS - 1
memenuhi
adalah : x = ½
atau x = 4
Slide - 8

9. FUNGSI
Fungsi  suatu bentuk
hubungan matematis yang
menyatakan hubungan ketergantungan
(hubungan fungsional) antara satu
variabel
Unsur-unsur pembentuk fungsi :
dengan variabel lain.
 variabel,
 koefisien dan
 konstanta
Variabel  Unsur pembentuk fungsi yg
mencerminkan atau
mewakili faktor tertentu.
Berdasarkan kedudukan/sifatnya variabel
dibedakan :
 variabel bebas
Slide - 9
Variabel &
KALKULUS - 1
 variabel terikat.

10. Variabel

Variabel bebas : variabel yg nilainya tidak tergantung pada
variabel lain.
 Variabel terikat (tetap) : variabel yg nilainya tergantung pada
variabel lain
Koefisien dan Konstanta
 Koefisien : bilangan/angka yg terkait pada dan terletak
didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.
 Konstanta : bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut
membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai
bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 10

11. Fungsi Dari Sebuah Variabel

y = f(x)  variabel y merupakan fungsi dari variabel x  jika terdapat
suatu hubungan, shg u/ setiap harga x dalam daerahnya dapat ditentukan
suatu nilai y : x = variabel bebas, sedang
y = variabel tdk bebas karena nilainya ditentukan pilihan
nilai x.
 Simbol f(x) dibaca ”fungsi x” atau ”fungsi dari x” digunakan u/ menyatakan
fungsi dari x. Jika dalam soal yg sama dijumpai fungsi lain dari x, maka
digunakan notasi lain sbg berikut :
g(x), h(x), F(x), G(x), ........
 Dlm mempelajari fungsi y = f (x) perlu diketahui daerah dari variabel bebas
x, juga disebut ”domain” yang menentukan dari fungsi.
a) Fungsi f(x) dikatakan tertentu dalam suatu interval jika dapat
ditentukan u/ tiap nilai x dari inteval tersebut.
b) Jika f(x) ad. fungsi dari x & a dalam domain yg menentukan, maka
f (a) diartikan sebuah bilangan yg diperoleh dari f (x) menggantikan x
oleh &
Variabel a.
KALKULUS - 1
Slide - 11

12. Contoh :
Jika f(x) = x 3 − 4x + 2
maka :
⇒ f(1) = (1)3 − 4(1) + 2 = 1− 4 + 2 = −1
⇒ f( −2) = ( −2)3 − 4( −2) + 2 = −8 + 8 + 2 = 2
⇒ f(a) = (a)3 − 4(a) + 2 = a3 − 4a + 2
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 12

13. Operasi pada Fungsi
Fungsi bukanlah bilangan.Tetapi seperti halnya dua bilangan a
dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan
baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan
untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g.
Operasi pada fungsi
Rumus
Penjumlahan
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Selisih
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
Hasil Kali
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
Hasil Bagi
f
f ( x)
 ( x ) =
g
g ( x)
 
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 13

14. Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar terdiri dari :
 Fungsi Linier
 Fungsi Kuadrat
 Fungsi pangkat banyak
 Fungsi pecah
Fungsi Linier (fungsi garis lurus) :
Fungsi Linier (fungsi garis lurus) :
adl. st fungsi dimana variabel bebasnya paling tinggi
berpangkat satu.
Bentuk umum fungsi linier :
y = f(x) = ax + b  a & b : konstanta
x
: variabel bebas
y
: variabel tidak bebas/yg
dipengaruhi
Slide - 14
Variabel &
KALKULUS - 1

15. Contoh Fungsi Linier
1) y = 3x + 2
Penyelesaian :
 Dengan menggunakan tabel x dan y :
x
-2
-1
0
1
2
y
-4
-1
2
5
8
 Dgn menggambarkan grafik fungsi :
 titik potong dgn sumbu y pd x =0
maka y =2  titiknya adl. A (0,2)
 titik potong fungsi dgn sumbu x
pd y = 0, maka x = -2/3  titiknya
adl. B (-2/3 ; 0)
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 15

16. Fungsi Kuadrat
♦ Fungsi kuadrat merup. Suatu fungsi non-linier (garis tdk lurus) yang
variabel
bebasnya berpangkat dua.
♦ Grafik dari fungsi kuadrat apabila digambarkan merupakan garis tdk lurus
yg berbentuk parabola.
 Bentuk umum fungsi kuadrat :
1) y = f(x)  y = ax2 + bx + c
dimana : a, b, c : adl. Konstanta
x
: variabel bebas
y
: variabel tdk bebas
2) x = f(y)  x = ay2 + by + c
dimana : a, b, c : adl. Konstanta
y
: variabel bebas
x
: variabel tdk bebas
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 16

17. Fungsi Kuadrat : y = f(x)  y = ax2 + by +c
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
* dengan menggunakan tabel x dan y ”curve tracing process” :
X
-2
-1
0
1
2½
3
Y
20
12
6
2
-¼
0
4
2
5
6
* Gambarkan Grafik : dgn menghubungkan titik-titik koordinat
tersebut, grafik fungsi akan merupakan suatu garis tdk lurus
yang berbentuk parabola.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 17

18. 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Grafik fungsi :
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 18

19. Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Ciri-ciri matematis dari fungsi kuadrat, bila y = f(x) = a x2 + bx + c :
a) Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. pada x = 0, maka y = c.
Titiknya adalah a (0,c)
b) Titik potong fungsi dengan sumbu x adl. Pada y = 0, jadi
ax2 + bx + c = 0. Ada 3 kemungkinan yang terjadi, yaitu :
i) Bila deskriminan (D)  b2 – 4ac > 0 , maka terdapat 2 buah
titik potong :
−b
x1 =
+
2a
b 2 − 4ac
2a
;
−b
x2 =
−
2a
b 2 − 4ac
2a
ii) Bila D adl. Sama dengan 0 (b2 – 4ac = 0), maka hanya
terdapat satu buah titik potong fungsi kuadrat dgn
sumbu x.
iii) Bila D < 0, maka tdk terdapat titik potong fungsi kuadrat dgn
sumbu x.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 19

20. Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
c) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat
(parabola) kembali ke arah semula.
Titik puncak :

−b −D
− (b 2 − 4ac) 

P = x =
=
;y =


2a 4a
4a


d) sumbu simetri : sumbu yg membagi/membelah dua grafik fungsi
kuadrat menjadi dua bagian yg sama.
Persamaan sumbu simetri :
−b
x=
2a
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 20

21. Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Untuk soal :
 Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. Pada x = 0, y = 6
titiknya : A (0,6)
 Titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, dimana :
D = b2 – 4ac = 25 – 4(6) = 1 > 1. Maka terdapat 2 titik potong :
a)
5 + 25 − 4(6)
x1 =
=3
2
5 − 25 − 4(6)
=2
b) x 2 =
2
 Titik puncak :
Variabel &
 titiknya B1 (3,0)
 titiknya B2 (2,0)
5
− (25 − 4(6)


P = x = ; y =
= −1/4 
2
4


KALKULUS - 1
Slide - 21

22. Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Untuk soal :
 Sumbu simetrinya :
5
x= =21
2
2
2) diketahui : y = -x2 + 6x - 9
Gambarkan grafik fungsi tersebut.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 22

23. Pembentukan Persamaan Linier
Pers. Linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung
pd data yg tersedia :
1. cara dwi-koordinat
2. cara koordinat-lereng
3. cara penggal-lereng
4. cara dwi-penggal
1. Cara Dwi-koordinat
Apabila diketahui 2 buah titik A dan B dengan koordinat masing2
(x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah :
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 23

24. Pembentukan Persamaan Linier
1. Cara Dwi-koordinat
contoh :
1. Tentukan pers. Linier yang garisnya melalui titik A (2, 3) dan B (6, 5).
Jawab :
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
y −3 x −2
=
5−3 6−2
y −3 x −2
=
2
4
4 y − 12 = 2 x − 4
4 y = 2 x + 8 ⇒ y = 2 + 0,5 x
2. Tentukan pers. linier yg garisnya melalui titik C (-1, 4) dan B (1, 0)
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 24

25. Pembentukan Persamaan Linier
2. Cara Koordinat -Lereng
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng
garisnya adalah b, maka rumus persamaan liniernya adalah :
y − y1 = b ( x − x1 )
⇒ b = lereng garis
Contoh :
Jika diketahui bahwa titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0,5; maka
tentukan pers. Linier yg memenuhi kedua data tsb.
Jawab :
y − y1 = b ( x − x1 )
y − 3 = 0,5 ( x − 2)
y − 3 = 0,5 x − 1
Variabel &
⇒ y = 2 + 0,5 x
KALKULUS - 1
Slide - 25

26. Pembentukan Persamaan Linier
3. Cara Penggal-Lereng
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggalnya pd
salah satu sumbu dan lereng garis yg memenuhi persamaan tsb.
Persamaan liniernya adl :
y = a + bx
⇒ (a = penggal, b = lereng)
Mis. Penggal & lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 4 dan 2,
maka pers. Liniernya adalah :
y = 4 + 2x
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 26

27. Pembentukan Persamaan Linier
4. Cara Dwi-Penggal
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tsb
pd masing2 sumbu, yaitu penggal pd sumbu vertikal (pd saat x = 0) dan
Penggal pd sb horizontal (pd saat y = 0).
Apabila a & c adalah penggal pd sumbu vertikal & horizontal dari
sebuah garis lurus, maka pers. Garisnya adalah :
a
y = a − x ⇒ a = penggal vertikal; b = penggal horizontal
c
Contoh :
Mis. Penggal sebuah garis pd sumbu vertikal & sb horizontal adalah 2
dan 4, maka pers. Linier yg memenuhi adalah :
a
y =a− x
c
2
y = 2−
x ⇒ y = 2 + 0,5 x
(−4)
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 27

28. Pencarian Akar-akar Persamaan Linier
 akar-akar pers. Linier  besarnya nilai variabel-variabel didalam
persamaan tsb.
 Penyelesaian pers. Linier dapat dilakukan dengan :
1. cara subsitusi
2. cara eliminasi
3. cara determinan
1. Cara Subsitusi
 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara :
 selesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan u/ salah satu variabel
 subsitusikan hasilnya ke dalam persamaan yg lain.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 28

29. 1. Cara Subsitusi
Contoh :
Carilah nilai-nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab :
Mis. Selesaikan dahulu pers (2), diperoleh : x = 23 – 4y, kemudian
subsitusikan hasil ( x = 23 – 4y) ke dalam pers. (1), sehingga :
2x + 3y = 21
2 (23 – 4y) + 3y = 21
46 – 8y + 3y = 21
46 – 5y = 21  y = 5
Hasil y = 5, masukkan ke dalam salah satu pers. untuk memperoleh nilai x :
2x + 3y = 21
2x + 3 (5) = 21  x = 3
Jadi, akar-akar pers. Tsb adalah : x = 3 dan y =5
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 29

30. 2. Cara Eliminasi
 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara :
 menghilangkan sementara (mengeliminasi) salah satu dari variabel yg
ada, shg dapat dihitung nilai dari variabel yg lain.
Contoh :
Carilah nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab :
Mis. Variabel yg akan dieliminasi adalah x, maka kalikan pers. (1) dgn 1 dan
pers (2) dgn 2, sehingga :
2x + 3y = 21
2x + 8y = 46 (-)
-5y = -25
y=5
Variabel &
Dgn memasukkan hasil y = 5 ke dalam salah
satu persamaan, diperoleh x =3.
Jadi, akar-akar persamaannya adalah :
X = 3 dan y = 5
KALKULUS - 1
Slide - 30

31. 3. Cara Determinan
 Digunakan u/ menyelesaikan persamaan yang jumlahnya besar ≥ 2
 2 buah pers. Dengan 2 buah variabel :
ax + by = c
dx + ey = f
penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sbb :
c b
Dx f e
ce − fb
x=
=
=
a b ae − db
D
d e
Variabel &
a c
Dy d f
af − dc
y=
=
=
a b ae − db
D
d e
KALKULUS - 1
Slide - 31

32. 3. Cara Determinan
 3 buah pers. dengan 3 buah variabel :
ax + by + cz = k
dx + ey + fz = l
gx + hy + iz = m
penyelesaian untuk x, y dan z dapat dilakukan sbb :
a b c
D = d e f = aei + bfg + chd − gec − dbi − afh
g h i
k b
Dx = l e
m h
Variabel &
c
f = kei + bfm + chl − mec − lbi − kfh
i
KALKULUS - 1
Slide - 32

33. 3. Cara Determinan
 3 buah pers. dengan 3 buah variabel :
a
k
c
D y = d l f = ali + kfg + cmd − glc − dki − afm
g m i
a b k
D z = d e l = aem + blg + khd − gek − dbm − alh
g h m
Sehingga :
Dx
x=
D
Variabel &
y=
Dy
D
dan
Dz
z=
D
KALKULUS - 1
Slide - 33

34. 3. Cara Determinan
Contoh :
1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut :
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
Jawab :
2
D=
1
2
Dy =
1
3
= (2).(4) − (1)(3) = 5
4
21 3
Dx =
= (21).(4) − ( 23)(3) = 15
23 4
21
= (2).(23) − (1)(21) = 25
23
Maka :
D x 15
x=
= =3
D
5
Variabel &
Dy
25
y=
=
=5
D
5
KALKULUS - 1
Slide - 34

35. 3. Cara Determinan
Contoh :
2. Tentukan nilai variabel x, y dan z dari persamaan-persamaan berikut :
x + 2y - z = 0
2x + 5y + 2z = 14
y – 3z = -7
Jawab :
1 2
D= 2
5
-1
2 = (1)(5)( −3) + (2)(2)(0) + ( −1)(1)(2) − (0)(5)( −1) − (2)(2)( −3) − (1)(2)(1) = −7
0 1 -3
0 2 -1
D x = 14 5 2 = (0)(5)( −3) + (2)(2)( −7) + ( −1)(1)(14) − ( −7)(5)( −1) − (14)(2)( −3) − (0)(2)(1) = 7
-7 1 -3
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 35

36. 3. Cara Determinan
2. Jawab :
1 0 -1
D y = 2 14 2 = (1)(14)( −3) + (0)(2)(0) + ( −1)( −7)(2) − (0)(14)( −1) − (2)(0)( −3) − (1)(2)( −7) = −14
0 -7 -3
1 2 0
D z = 2 5 14 = (1)(5)( −7) + (2)(14)(0) + (0)(1)(2) − (0)(5)(0) − (2)(2)( −7) − (1)(14)(1) = −21
0 1 -7
Maka :
Dx
7
x=
=
= −1
D −7
Variabel &
Dy
− 14
y=
=
=2
D
−7
KALKULUS - 1
D z − 21
z=
=
=3
D
−7
Slide - 36

37. Fungsi Trigonometri
Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus
Andaikan t menentukan titik P(x,y) seperti ditunjukkan diatas. Maka
sin t = y
dan
cos t = x
x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga :
sin t ≤ 1
cos t ≤ 1
Karena t dan t + 2π menentukan titik P(x , y) yang sama,
sin(t + 2π ) = sin t
cos(t + 2π ) = cos t
π

sin  − t  = cos t
2 
π

cos − t  = sin t
2 
Kesamaan penting yang menghubungkan fungsi-fungsi sinus dan kosinus :
sin 2 t + cos 2 t = 1
tan t =
sin t
cos t
Variabel &
cot t =
sec t =
cos t
sin t
1
cos t
KALKULUS - 1
csc t =
1
sin t
Slide - 37

38. Grafik Sinus dan Kosinus
Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t dalam
mode radian dapat diberikan sebagai berikut :
1. Sin t & cos t keduanya
berkisar dari -1 s/d 1
2. Kedua grafik berulang
dgn sendirinya pada
selang yg berdampingan
sepanjang 2π.
3. Grafik y = sin t simetri
terhadap titik asal dan
y = cos t terhadap
sumbu y.
4. Grafik y = sin t sama
seperti y = cos t, tetapi
digeser π/2 satuan ke
kanan.
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 38

39. Soal-soal :
1. Jelaskan dan gambar selang-selang berikut ini :
a) x < 2
c) 2 ≤ x ≤ 6
d) x − 3 < 1
b) x > 3
Penyelesaian :
a) x < 2 : ini adalah selang terbuka
-2
b) x > 3
-2 < x < 2 :
2
⇒ Dua selang tak berhingga ditetapkan : x < -3
dan x > 3
-3
Variabel &
3
KALKULUS - 1
Slide - 39

40. c) 2 ≤ x ≤ 6 ⇒ Ini ad. selang tertutup 2 ≤ x ≤ 6, semua
bilangan
yang sama dgn atau lebih besar dari 2 dan
kurang dari atau sama dengan 6.
2
6
d) x − 3 < 1 ⇒ Ini ad. selang terbuka sekitar titik 3. U/ mendapatkan titik ujung, ambil x – 3 = 1 maka x = 4 dan
ambil 3 - x = 1 maka diperoleh x = 2.
Titik-titik ujung ad. 2 dan 4; selangnya ad. 2< x <4.
Perhatikan bahwa selang ini terdiri dari semua titik
yg jaraknya terhadap 3 adalah kurang dari 1.
2
Variabel &
3
KALKULUS - 1
4
Slide - 40

41. 6) Tentukan harga x yang memenuhi :
Penyelesaian :
− 3x − 2 = 5x −6
− 3x − 2 = 5x −6
− 8 x = −4
atau :
− 3x − 2 = 5 x − 6
− (−3x − 2) = 5 x − 6
3 x − 5 x = −6 − 2
− 2 x = −8
x=4
x = 1/ 2
Jadi harga x yang memenuhi adalah : x = ½
Variabel &
KALKULUS - 1
atau
Slide - 41
x=4

42. 7) Buktikan :
dan
1+ tan2 t = sec 2 t
1+ cot 2 t = csc 2 t
Penyelesaian :
cos 2 t
b) 1+ cot 2 t = 1+
sin2 t
2
sin t
a) 1 + tan t = 1+
cos 2 t
2
cos 2 t + sin2 t
=
cos 2 t
=
Variabel &
1
= sec 2 t
cos 2 t
KALKULUS - 1
sin2 t + cos 2 t
=
sin2 t
1
=
= csc 2 t
sin2 t
Slide - 42

43. Soal-soal tambahan :
1. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini
dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya pada garis riil :
x 2 − 17 x + 70 ≤ 0
a)
c) (x + 3)(x -2)(x – 4) < 0
2
2 x − 5x − 4 ≤ 0
( x + 1) 2 ( x − 3) > 0
b)
d)
2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang
diberikan dibawah ini :
a) 2 x + 5 < 4
c) 4 x + 2 ≥ 10
b) 2 x − 7 > 3
d)
x − 2 < 3 x +7
3. Diketahui : f(x) = sin (2x) + cos (x), maka tentukan f(π/2) !
Variabel &
KALKULUS - 1
Slide - 43

44. 3) Diberikan
f ( x) =
x−2
x2 + 4
Hitung : f (0) ; f (2a) ; dan
4) Jika diketahui :
Buktikan bahwa :
Variabel &
1
f 
x
1
f( x)=
x
 ab 
f (a) − f (b) = f 

b−a
KALKULUS - 1
Slide - 44