Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.

1. BAB
Matriks

2. PETA KONSEP
MATRIKS
Pengertian,
Notasi, Ordo
dan Jenis
matriks
Pengertian
dan notasi
suatu matriks
Ordo dari
jenis matriks
Operasi Matriks
dan Sifat-Sifat
Operasi Matriks
Determinasi
Matriks
Penjumlahan
dua matriks
Pengurangan
dua matriks
Perkalian
matriks dengan
skalar (k)
Perkalian dua
matriks
Invers Matriks
Persegi
Determinasi
matriks
persegi 2x2
Determinasi
matriks
persegi 3x3
Sifat-sifat
determinasi
matriks
persegi
Adjoin dari matriks
persegi
Rumus invers
matriks persegi
berordo 2 dan 3
Sifat-sifat invers
matriks persegi
Persamaan
matriks berbentuk
AX = B dan XA=B
Dua matriks saling
invers

3. 4.1 Pengertian, Notasi, Ordo, dan Jenis Matriks
4.1.1 Pengertian dan Notasi Suatu Matriks
Definisi matriks
Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen (bilangan atau huruf)
berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur pada baris dan
kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung (kurung biasa atau kurung
siku)
Bentuk umum matriks
A =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎1𝑗 𝑎𝑗2 ⋯ 𝑎𝑖𝑗
baris ke-1
baris ke-2
baris ke-i
kolom ke-1 kolom ke-2 kolom ke-j

4. Jika kitaperhatikanbentukumum di atas, makadapatdisimpulkanbahwa:
(i) 𝑎11 , 𝑎12,…,𝑎𝑖𝑗merupakanelemen-elemenmatriksA.
(ii) BanyakbarispadamatriksAdan𝑖 buah, danbanyakkolompadamatriksAdanjbuah.
(iii) BentukmatriksAdapat pula ditulissebagaiA=(𝑎𝑖𝑗),
dengan𝑖menunjukkanletakbarisdan𝑗menunjukkanletakkolom.
Contoh 3
Diberikan matriksA=
2 1 3
4 5 6
0 1 2
.
Hitunglah:
a. 𝑎11 + 𝑎22+ 𝑎33 c. 𝑎12 + 𝑎13+ 𝑎23
b. 𝑎31 + 𝑎22+ 𝑎13 d. 𝑎21 + 𝑎31+ 𝑎32
Jawab:
a. 𝑎11 + 𝑎22+ 𝑎33 = 2+5+2=9
b. 𝑎31 + 𝑎22+ 𝑎13= 0+5+3=8
c. 𝑎12 + 𝑎13+ 𝑎23 = 1+3+6=10
d. 𝑎21 + 𝑎31+ 𝑎32= 4+0+1=5

5. 4.1.2 Ordo dan Jenis Matriks
A. Ordo suatu matriks
Ordo matriks= Banyak baris x Banyak kolom.
Contoh 4
Tentukan ordodanbanyakelemendarisetiapmatriksberikut.
a. A=
0 4
2 10
Jawab :
A=
0 4
2 10
 BanyakbarispadamatriksAadalah 2
danbanyakkolompadamatriksAadalah 2,
haliniberartiordoatauukuranmatriksAadalah 2x2 (dibaca “dua kali
dua”). MatriksA yang berordo 2x2, ditulissebagaiA2x2 atauA2.
 BanyakelemenmatriksA2adalah 4 buah.

6. B. Jenis matriks
1. Matriks baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris.
• A =(2 1) merupakan matriks baris dengan dua elemen dan
ditulis sebagai A1x2 = (2 1):
2. Matriks kolom dan matriks lajur
Matriks kolomadalahmatriks yang hanyamempunyaisatukolom.
• Q
=
3
1
0
merupakanmatrikskolomdengantigaelemendanditulisseba
gaiQ Q3x1 danditulissebagaiQ 3x1 =
3
1
0

7. 3. Matriks persegi panjang
(i) Jika m <n , makamatriksberordom
xndisebutmatrikspersegipanjangdatarataudisebutjugasebaga
imatriksdatar. Ilustrasidarimatriksdataradalahsebagaiberikut.
A3x5 =
1 2 3
2 1 3
0 0 1
4 5
4 5
2 −1
(ii) Jikam <n , makamatriksberordom
xndisebutmatrikspersegipanjangtegakatauseringdisebutsebag
aimatrikstegak. Ilustrasidarimatrikstegakadalahsebagaiberikut
B5x3 =
1 2 0
2 1 0
3
4
5
3
4
5
1
2
−1

8. 4. Matriks persegi atau matriks bujur sangkar
Matriks berordom xndengankondisim
=ndisebutmatrikspersegiataumatriksbujursangkarberordon xn.
Di dalammatrikspersegiAn = (𝑎𝑖𝑗) dapatdisimpulkanbahwa:
(i) elemen-elemen: 𝑎11 , 𝑎22,𝑎33…,𝑎 𝑛𝑛disebutelemen-elemen
diagonal utama.
(ii) Jumlahsemuaelemen diagonal utamadarimatriksA
disebuttrace matriksA.Dalamnotasi sigma, trace
matriksAditulissebagai:
trace (A) =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖𝑖

9. Contoh 5
(a) A=
2 1
3 4
,
merupakanmatrikspersegidenganordo 2x2.
Elemen-elemen yang terletakpada diagonal
utamaadalah 2 dan 4 serta trace (A) = 2+4=6.
sedangkanelemen-elemenpada diagonal
pendampingadalah 1 dan 3

10. 5. Matriks segitiga atas (Un)
Matriks segitigaatas (Un) adalahsuatumatrikspersegiUberordon
xnyang elemen-elemennyamemenuhiketentuanberikutini.
Contohmatrikssegitigaatas.
U2 =
2 4
0 3
, U2 =
1 4 5
0 2 6
0 0 3
Un = (𝑎𝑖𝑗) =
𝑎𝑖𝑗,
0
untuk 𝑖 ≤j
untuk 𝑖 >j
6. Matriks segitiga bawah (Ln)
Matriks segitigabawah (Ln) adalahsuatumatrikspersegiLberordon
xnyang elemen-elemennyamemenuhiketentuanberikutini.
Contohmatrikssegitigaatas.
:L2 =
2 0
3 4
, L3=
1 0 0
2 3 0
4 5 6
Ln = (𝑎𝑖𝑗) =
0,
𝑎𝑖𝑗
untuk 𝑖 <j
untuk 𝑖 ≥j

11. 7. Matriks diagonal (Dn)
Matriks segitigaatas (Dn) adalahsuatumatrikspersegiDberordon
xnyang elemen-elemennyamemenuhiketentuanberikutini.
Contohmatrikssegitigaatas.
D2 =
2 0
0 4
, D3=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
Dn= (𝑎𝑖𝑗) =
𝑎𝑖𝑗,
0
untuk 𝑖 =j
untuk 𝑖 ≠ j
8. Matriks identitas (In)
Matriks identitas I berordon xnadalahsuatuamatriks diagonal yang
samasemuaelemenpada diagonal utamanyabernilaisatu, yaitu:
Ilustrasidarimatriksidentitasdenganberbagaiordoyaitu:.
:I1 = (1), I2 =
1 0
0 1
, I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, I4 =
1 0 0
0 1 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
In = (𝑎𝑖𝑗) =
1,
0
untuk 𝑖 =j
untuk 𝑖 ≠j

12. 9. Matriks nol
Matriks noladalahsuatumatriks yang semuaelemennya nol.
Contohmatrikssegitigaatas.
03x3 = 03=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
10. Lawan suatu matriks
Lawan suatuamatriksadalahmatriks yang elemen-
elemennyamerupakanlawantandadarimatriksawal. Lawanmatriksawal.
LawanmatriksAdinotasikansebagai –A.
A3x2 =
2 1
4 −5
−3 0
, makalawanA = -A = =
−2 −1
−4 5
3 0
11. Transpose matriks (At)
Transpose matriks A sering ditulis sebagai . At atau A’ . Trnaspose
matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen pada setiap baris
matriks A menjadi elemen pada setiap kolom matriks transposenya.
Amxn= (𝑎𝑖𝑗), makaAt
mxn = (𝑎𝑖𝑗)
dengan𝑖 ≠ 𝑗.

13. 12. Matriks simetris atau matriks setangkup
Matriks persegi A berordo n disebut matriks simetris ataau matriks
setangkap jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris
terhadap diagonal utama bernilai sama, secara matematis ditulis:
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 untuk 𝑖 ≠ 𝑗.
Contoh 6
Diketahui A =
2 1 3
1 5 7
3 7 6
. ApakakahmatriksA simetris?
Jawab:
Dari matriksAdiperoleh:
At=
2 1 3
1 5 7
3 7 6
Hal iniberartiA=At , sehinggamatriksAdisebutsimetrisatausetangkup.

14. 4.1 Kesamaan Dua Matriks
Dua matriksA = 𝑎𝑖𝑗 danB= 𝑏𝑖𝑗 dikatakansama (A = B),
jikadanhanyajikakeduamatriksitumempunyaiordo yang
samadanelemen-elemen yang
seletakdarikeduamatriksitujugasama.
Contoh 8
Tentukan nilai𝑎 dan 𝑏 yang
memenuhikesamaanmatriksberikutini!
2𝑎 − 1 −3
1 2 − 3𝑏
. =
3 −3
1 −7
.
Jawab:
Berdasarkanketentuankesamaanduamatriks, diperoleh:
2𝑎 − 1= 3, maka𝑎= 2
2 − 3𝑏= -7, maka𝑏= 3
Jadi, nilai𝑎 dan 𝑏berturut-berturutadalah 2 dan 3

15. 4.3 Operasi Matriks dan Sifat-Sifat Operasi
Matriks
4.3.1 Penjumlahan Dua Matriks
Dua buahmatriksA = 𝑎𝑖𝑗 berordo
𝑚 x 𝑛danmatriksB= (𝑏 𝑝𝑞)
berordo𝑠 x𝑡dapatdijumlahkanapabila :
(i) OrdomatriksA = ordomatriksB, haliniberarti𝑚 = s
dan 𝑛 = t.
(ii) A + B = 𝑎𝑖𝑗 + (𝑏 𝑝𝑞), untuksetiap𝑖 = 𝑝 dan 𝑗 = 𝑞

16. Contoh 11
Diberikan A=
4 2 1
3 2 1
, B=
3 5 2
1 2 3
, danC =
2 0
1 0
. Tentukan:
a. A + B b. A + C c. B + C
Jawab:
a. A + B =
4 2 1
3 2 1
+
3 5 2
1 2 3
=
4 + 3 2 + 5 1 + 2
3 + 1 2 + 2 1 + 3
∴A + B =
7 7 3
4 4 4
b. Berdasarkan memo, ordo (A) ≠ordo (C) sehinggaA + C
tidakterdefinisi.
c. Berdasarkanmemo, ordo(B) ≠ordo (C) sehinggaB + C
tidakterdefinisi

17. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
Misalkan A, B, C dan O adalah matriks-matriks
yang berordo sama, maka dalam penjumlahan
matriks selalu berlaku sifat-sifat berikut.
(i) Sifat komutatif : A + B = B + A
(ii) Sifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)
(iii)Sifat identitas : A + O = O + A
(iv) Lawan matriks : A + (-A) = (-A) + A = O

18. 4.3.1 Pengurangan Dua Matriks
Dua buahmatriksA = 𝑎𝑖𝑗 berordo
𝑚 x 𝑛danmatriksB= (𝑏 𝑝𝑞)
berordo𝑠 x𝑡dapatdilakukanoperasipengurangan
(selisih) apabila :
(i) OrdoA = ordoB, (𝑚 = s dan 𝑛 = t).
(ii) A - B = 𝑎𝑖𝑗 - (𝑏 𝑝𝑞), untuksetiap𝑖 = 𝑝 dan 𝑗 = 𝑞

19. Contoh 12
Diberikan A=
3 4 2
1 2 3
, B=
2 −2 0
−1 2 2
.Tentukan:
a. A + (-B)
Jawab:
a. A + (-B)=
3 4 2
1 2 3
+
2 −2 0
−1 2 2
=
3 − 2 4 + 2 2 + 0
1 + 1 2 − 2 3 − 2
∴A + (-B)=
1 6 2
2 0 1

20. 4.3.3 PerkalianMatriksdenganSkalar (𝒌)
Jumlahdari𝑘buahmatriksA adalahsebuahmatriks yang
berordosamadenganA danmasing-masingelemennyaberupa𝑘 kali
setiapelemendarimatriksA.
Contoh 16
Diketahui matriks-matriks: A=
1 1
1 0
, B=
1 −1
1 1
, danC =
2 1
1 2
.
Tentukanlah : a. T(A ,B, C)
Jawab:
a. T(A ,B, C) = 2A – 5B + 3C
=
2 2
2 0
-
5 −5
5 5
+
6 3
3 6
∴ T(A ,B, C) =
3 10
0 1

21. Sifat-Sifat Perkalian Matriks dengan Skalar
JikamatriksAdanB berordom xndanr, s
∈bilangan real, maka:
(i) (r+s) A= rA + sA
(ii) r(A+B) = rA + rB
(iii) r(sA) = (r . s)A
(iv) 1 . A = A . 1 = A
(v) (-1) A= A(-1)= -A

22. 4.3.4 Perkalian Dua Matriks
Dua
buahmatriksdapatdikalikanapabilajumlahkolomdarimatriks
yang dikalikansamadenganjumlahbarisdarimatrikspengalinya.
1. PerkalianduamatriksABdenganA1xm = (𝑎11 , 𝑎12,… 𝑎 𝑚) dan
Bmx1 =
𝑏11
𝑏21
⋮
𝑏 𝑚1
adalahsebuahmatriksC1x1 yang ditentukanoleh:
C1x1 = (𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏21+⋯+𝑎1𝑚 𝑏 𝑚𝑙)
Hal iniberarti :
(𝑎11 , 𝑎12,… 𝑎 𝑚). =
𝑏11
𝑏21
⋮
𝑏 𝑚1
= (𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏21+⋯ +𝑎1𝑚 𝑏 𝑚𝑙)
=
𝑘=1
𝑚
𝑎𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑖

23. Contoh 18
a. (2 3 4). =
1
−1
2
= (2(1) + 3(-1) + 4(2)
= (7)
2. PerkalianduamatriksABdenganAmxp = 𝑎𝑖𝑗 danBpxn=
𝑏𝑖𝑗 adalahsebuahmatriksCmxn = 𝑐𝑖𝑗 yang
ditentukanoleh:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑙 𝑏𝑙𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏𝑙𝑗+…+𝑎𝑖𝑝 𝑏 𝑝𝑗 = 𝑘=1
𝑝
𝑎𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗

24. Contoh 20
Diketahui B=
3
7
, danC =
2 1
6 3
. Tentukanlah:
d. C x B
Jawab:
d. C x B denganordoC= 2 x 2 danordoB = 2 x 1, perkalianmatriksdapatdilakukan,
yaitu:
C x B =
1 2
6 3
.
−3
7
=
−3 + 14
−18 + 21
=
11
3
Contoh 21
Jika A =
2 1
0 3
. Tentukanlah:
a. A2
Jawab:
a. A2 = A + A
=
2 1
0 3
.
2 1
0 3
=
4 + 0 2 + 3
0 + 0 0 + 3
∴A2 =
4 5
0 9

25. 4. Sifat-sifat perkalian matriks
Jika perkalianmatriksterdifinisi,
makaakanmemenuhiketentuanberikutini.
(i) Tidakkomukatif: AB ≠BA
(ii) Asosiatif : AB (C) = A(BC)
(iii) Distributifkiri: A(B ≠ 𝐶) = AB ≠AC
(iv) Distributifkanan: (A±B)C = AC ≠BC
(v) Identitas: A.I = I . A = A
(vi) 𝑘 (A.B) = (𝑘𝐴). B =A . (𝑘𝐵), dengan𝑘bilangan real
(vii)A . B = A . C, umumnyaB ≠C
(viii)A . O = O . A =O

26. Contoh 23
Tentukan nilai𝑥 dan 𝑦padasetiappersamaanberikut:
b. M=
3 −1
2 5
sehinggaM2 - 𝑥 M - 𝑦 𝑙
Jawab:
b. M2 = M x M =
3 −1
2 5
.
3 −1
2 5
=
7 2
−4 23
M2 - 𝑥 M - 𝑦 𝑙 = O M2 = 𝑥 M +𝑦 𝑙
7 2
−4 23
=
3𝑥 + 𝑦 −𝑥
2𝑥 −5𝑥 + 𝑦
Berdasarkankesamaan di atas, diperoleh:
(i) 2= - 𝑥 , maka𝑥 = -2
(ii) 7= 3𝑥 + 𝑦, maka𝑦 = 7- 3𝑥
𝑦 = 7+6 = 13
Jadi,
M2 - 𝑥 M - 𝑦 𝑙 = O berlakuuntuknilai𝑥 = -2dan𝑦 = 13

27. 4.4 Determinan Matriks Persegi
4.4.1 Determinan Matriks Persegi Berordo 2x2
Jika matriksA =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
,
makadeterminandarimatriksAditentukanoleh:
det (A) =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎2
= ∈ 11 𝑎11 𝑎22 +∈ 21 𝑎12 𝑎21
= 𝑎11 𝑎22 −∈ 21 𝑎12
+ -
Contoh 24
Tentukan determinanberikut:
a.
1 2
3 4
Jawab:
a.
1 2
3 4
= 1(4)b- 2(3) = 4-6= -2
Memo
Penentutanda:
∈ 11 ∈ 12
∈ 21 ∈ 22
=
+ −
− +

28. 4.4.2 Determinan Matriks Persegi Berordo 3x3
Jika matriksA =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
,
makadeterminandarimatriksAditentukanoleh:
1. Cara Sarrus
2. Cara ekspansikofaktor
1. Cara Sarrus
Dasar cara Sarrus ini mengikuti aturan berikut.
(i) Tuliskan kolom pertama dan kolom kedua dari determinan awal
di sebelah kanan setelah kolom ketiga.
(ii) Kalikan unsur-unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga diagonal
utama (dari kiri ke kanan) dan tiga diagonal pendamping (dari
kanan ke kiri). Hasil kali dari diagonal pendamping dikurangkan

29. Berikut inidiberikanilustrasidariaturanSarrus:
∆ = 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
∆ = 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33+ 𝑎12 𝑎23 𝑎31+ 𝑎13 𝑎21 𝑎32-
𝑎31 𝑎22 𝑎13- 𝑎13 𝑎32 𝑎23- 𝑎33 𝑎21 𝑎12.
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)

30. Contoh 26
Carilah determinandarimatriksA berikutini:
A=
3 0 −2
−1 6 4
5 −3 1
Jawab:
UntukmencarideterminanmatriksA,
kitamencobamenerapkandalamduacara, yaitu:
Cara pertama: (Cara Sarrus)
∆ = 𝐴 =
3 0 −2
−1 6 4
5 −3 1
3 0
−1 6
5 −3
∆ =18 + 0 + (-6)-(-60)-(-36)-(0)
= 18-6+60+36
∴ ∆ = 108

31. Cara kedua: (Cara Sarrus-Kino)
∆ = 𝐴 =
3 0 −2
−1 6 4
5 −3 1
∆ =18 + 0 + (-6)-(-60)-(-36)-(0)
= 18-6+60+36
∴ ∆ =108
Cara ketiga: (Cara Sarrus-Kino)
∆ = 𝐴 =
−2
4
1
3 0 −2
−1 6 4
5 −3 1
3
−1
5
∆ =-6 + 18 + 0 + 0 + 60 +36
∴ ∆ =108
−1 6 4
5 −3 1
(-)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-) (-) (-)
(+) (+)(+)

32. 2. Cara ekspansikofaktor
 Pengertian Minor
Minor darisuatuunsuradalahsuatudeterminan yang
dihasilkansetelahterjadipenghapusanbarisdankolom di
manaunsurituterletak.
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Minor untukunsur𝑎22, ditulissebagaiM22 , ditentukanoleh
M22 =
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
= 𝑎11 𝑎33-𝑎31 𝑎13
hapus kolom ini
hapus kolom ini

33.  PengertianKofaktor
Kofaktordarisuatuunsuradalahminor unsurberikuttanda.
dengan
𝑖 = 1, 2, 3, . . . Dan
𝑗 = 1, 2, 3, . . .
• Penentutandadarideterminanmatrikspersegiberordo 3.
+ − +
− + −
+ − +
𝑘𝑖𝑗 = −1 𝑖 + 𝑗 . M𝑖𝑗

34.  Menentukan Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Contoh 28
Hitunglah determinanberikutinidenganekspansikofaktor.
∆ =
2 −4 3
−1 5 −2
7 −8 1
2 −4 3
−1 5 −2
7 −8 1
∆ =2
5 −2
−8 1
- (-1)
−4 3
−8 1
+
−4 3
5 −2
= 2(5-16)+1(-4+24)+7(8-15)
= 2(-11) + 20 +7(-7)
= -22 + 20 – 49
∴ ∆ = -51
a. menurut kolom pertama:

35. 4.4.2 Sifat-Sifat Determinan Matriks Persegi
(i) Determinan suatu matriks akan bernilai tetap, apabila dilakukan
operasi transpose pada suatu matriks.
(ii) Nilai suatu determinan akan berubah tanda, apabila dua baris atau
dua kolom saling bertukar tempat.
(iii) Determinan suatu matriks akan bernilai nol, apabila ada dua baris
atau dua kolom memiliki unsur-unsur yang sama.
(iv) Determinan suatu matriks akan bernilai nol, apabila unsur-unsur
dalam satu baris atau satu kolom semuanya bernilai nol.
(v) Jika masing-masing unsur di dalam suatu baris atau di dalam suatu
kolom dikalikan suatu bilangan yang sama, maka detrminannya
dikalikan dengan bilangan tersebut.
(vi) Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom merupakan suatu
penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, maka determinannya dapat
ditulis sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih.

36. 4.5 Invers Matriks Persegi
4.5.1 Dua Matriks Saling Invers
Dua matriks dikatakan saling invers, apabila
hasil perkalian dua matriks itu adalah matriks
identitas.
Jika A dan B matriks persegi berordo sama
sedemikian sehingga: AB = BA = I, maka dapat
dikatakan:
(i) B adalah invers A, ditulis: B = A-I
(ii) A adalah invers B, ditulis: A = B-I

37. Contoh 30
Jika A =
7 2
3 1
danB =
1 −2
−3 7
,
tunjukkanbahwaAdanBsaling invers.
Jawab:
HarusditunjukkanbahwaAB = BA = I
AB =
7 2
3 1
1 −2
−3 7
=
1 0
0 1
= I
BA=
1 −2
−3 7
7 2
3 1
=
1 0
0 1
= I
KarenaAB = BA= I , makaA = B-I danB = A-I
Jadi, A danBsaling invers (tertunjuk).

38. 4.5.2 Adjoin dari Matriks Persegi
Misalkan A = 𝑎𝑖𝑗 berordo𝑛dan
𝐾𝑖𝑗adalahkofaktordari𝑎𝑖𝑗 , maka adjoin
Aditentukanoleh:
Adj (A) =
𝐾11 𝐾21
𝐾12 𝐾22
⋮
𝐾1𝑛
⋮
𝐾2𝑛
… 𝐾𝑖
… 𝐾𝑖
…
⋮
𝐾 𝑛𝑛
Definisi: Adjoin suatumatrikspersegiberordo𝒏

39. Contoh 31
Tentukan adjoin setiapmatrikspersegiberikut:
a. A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
b. C =
1 2 3
2 3 2
3 3 4
Jawab:
a. . A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
, maka 𝐾11 = 𝑑, 𝐾12 = −𝑐, 𝐾21 = −𝑏 dan 𝐾22 = 𝑎
Jadi, Adj (A) =
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
b. C =
1 2 3
2 3 2
3 3 4
maka:
𝐾11 =
3 2
3 4
=6 𝐾21 = -
2 3
3 4
=1 𝐾31 =
2 3
3 2
=-5
𝐾12 = -
2 2
3 4
=-2 𝐾22 =
1 3
3 4
=-5𝐾32 =
1 3
2 2
=4
𝐾13 =
2 3
3 3
=-3 𝐾23 = -
1 2
3 3
=3𝐾33 =
1 2
2 3
=-1
Jadi , Adj(C ) =
6 1 −5
−2 −5 4
−3 3 −1

40. 4.5.3 Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2 x 2
• Jikadet (A) ≠ 0 makaA mempunyai invers danmatriksA
disebutnonsingular.
• Jikadet (A) = 0, makaAtidakmempunyai invers
danmatriksAdisebutsingular.
Rumus untuk invers matriks persegi berordo 2 x 2
Jika A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
dengandet (A)= 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, maka
invers matriksA, ditulisA-I ditentukanoleh:
A-I =
1
𝐴
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
=
𝐴𝑑𝑗 (𝐴)
𝐴

41. Contoh 32
Tentukan adjoin
setiapmatrikspersegiberikut:
a. A =
2 3
4 5
Jawab:
a. A-1=
1
10 −12
5 −3
−4 2
=
−
5
2
3
2
2 −1

42. 4.5.4 Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 3 x 3
Contoh 33
Diberikan A =
1 2 3
1 3 4
1 4 3
Tentukam:
a. det (A) =
1 2 3
1 3 4
1 4 3
1 2
1 3
1 4
b. Adj (A) =
3 4
4 3
−
2 3
4 3
2 3
3 4
−
1 4
1 3
1 3
1 3
−
1 3
1 4
1 3
1 4
−
1 2
1 4
1 2
1 3
=
−7 6 −1
1 0 −1
1 −2 1
c. A-1 =
𝐴𝑑𝑗 (𝐴)
det(𝐴)
= −
7
2
−3
1
2
1
2
0
1
2
−
1
2
1 −
1
2
= 1 .3 . 3 + 2 . 4 . 1 + 3 . 1 . 4 – 3 .
3 . 1 – 1 . 4 . 4 - 2. 1 . 3 = -2

43. 4.5.5 Sifat-Sifat Invers Matriks Persegi
1. (A-1) -1 = A
2. (At) -1 = (A-1) t
3. (AB) -1 = B-1 . A-1
4. (BA) -1 = A-1 . B-1
Contoh 35
Diberikan A-1 =
4 3
3 2
danB =
−6 5
−5 4
Hitunglah(AB) -1
Jawab :
Untukmenentukan(AB) -1kitamempergunakansifat (3), yaitu:
(AB) -1 = B-1 xA-1
=
4 −5
5 −6
x
4 3
3 2
∴(AB) -1=
1 2
2 3

44. 4.5.6 Persamaan Matriks Berbentuk AX = B dan XA = B
 PenentuanmatriksX padapersamaanAX =
BdapatdilakukandengancaramengalikankeduaruasdenganA-1dankiri,
sepertiberikutini:
AX = B
A-1AX = A-1B
(A-1A)X = A-1B
IX = A-1 B
∴X = A-1B
 PenentuanmatriksX padapersamaanXA =
BdapatdilakukandengancaramengalikankeduaruasdenganA-1dankanan,
sepertiberikutini:
X A= B
XAA-1 = BA-1
X (AA-1) = BA-1

45. Contoh 37
Tentukan matriksX yang memenuhipersamaan:
a.
1 2
−1 3
X =
4 2
1 3
Jawab :
a.
1 2
−1 3
X =
4 2
1 3
X =
1 2
−1 3
-1
.
4 2
1 3
=
1
3+2
3 −2
1 1
4 2
1 3
=
1 10 0
=
2 0