Dokumen tersebut membahas penggunaan matriks untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel, termasuk definisi determinan, perkalian matriks, dan metode penyelesaian seperti invers matriks dan determinan.

1. PENGGUNAAN MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SPLDV
KELOMPOK 3 :
1. ISNAINI BUDI P. (11)
2. KHAIRANISA NINDYA (12)
3. M. SYAFI’I (14)
4. MUFLICHAH SALAFATUN (16)
5. NAJMI UMINDA (17)
6. RIANA DEVI (24)
7. RISKA AMALIA (25)
8. RIZALDY HABIBIE (26)
9. UMDATUL FADHILAH (36)
10.YEFTA FRIYA S. (39)

2. DEFINISI DETERMINAN
Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A ∈ M.
Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan An×n ke
bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak
didefinisikan.
Artinya : setiap matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu
skalar atau bilangan yang disebut determinan. Determianan matriks A
dapat dituliskan dengan det(A), lAl, atau Δ.
Jika matriks A =
푎 푏
푐 푑
, maka determianan dari matriks A adalah
det lAl =
푎 푏
푐 푑
= ad – cb
diagonal utama dikurangi diagonal samping

3. Determinan Matriks Persegi Berordo 3 x 3
Dapat diselesaikan dengan 2 cara , yaitu : 1. metode sarrus metode
sarrus-kino
2. cara ekspansi kofaktor
Contoh: jika matriks A =
3 0 − 2
1 6 4
5 − 3 1
tentukan determinannya ?
Jawab : 1. Dengan Metode Sarrus
lAl =
3 0 − 2
1 6 4
5 − 3 1
3 0
1 6
5 −3
lAl = 3.6.1 + 0.4.5 + (-2).1.-3 – (-2.6.5) – 3.4.(-3) – 0.1.1
= 18 + 0 + 6 + 60 + 36 – 0
= 120
Jadi, determinan dari matriks A adalah 132

4. Sejarah Sarrus
Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November
1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas
Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842).
Sarus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk
matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.
Misalkan A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+ + +
Perhatikan matriks dibawah
lAl =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
- - -
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

5. Dengan menggunakan cara sarrus-kino
1 6 4
5 −3 1
lAl =
3 0 − 2
1 6 4
5 − 3 1
-
-
-
+
+
+
= 3.6.1 +5.0.4 + 1.(-3).(-2) - 5.6.(-2) – 1.0.1
– 3.(-3).4
= 18 + 0 + 6 + 60 – 0 + 36
= 120
atau
- - -
lAl =
−2
4
1
3 0 − 2
1 6 4
5 − 3 1
3
1
5
= -2.1.(-3) + 3.6.1 + 0.4.5 – 1.1.0 – (-
+ + +
2).6.5 – (-3). 4.3
= 6 + 18 + 0 – 0 + 60 +36
= 120

6. 2. Cara Ekspansi Faktor
Sebelum mencari determinan dengan ekspansi faktor, kita harus
menyelesaikan terlebih dahulu pengertian Minor dan Kofaktor.
-Minor adalah suatu determinan yang dihasilkan detelah terjadi penghapusan
baris dan kolom
dimana unsur itu terletak.
contoh : lAl =
3 0 − 2
1 6 4
5 − 3 1
, berapak minor untuk unsur 4?
jawab : minor untuk unsur 4 adalah M23, karena unsur 4 berada dalam baris 2
kolom 3,
maka
3 0 − 2
1 6 4
5 − 3 1
hapus baris ini
hapus kolom ini
M23 =
3 0
5 − 3
= 3.(-3) -5.0 = -9
Jadi, Minor dari unsur 4 adalah -9

7. - Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut dengan tanda.
keterangan : k = kofaktor
Kij = (-1)i+j . Mij i = baris
j = kolom
M = minor
Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat menuliskan determinan dari matriks
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
yang berukuran 3 × 3 yaitu
det(A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah
det(M) = a11C11 + a12C12 + ··· + a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M.

8. Contoh : hitunglah determinan berikut dengan ekspansi kofaktor.
Δ =
2 − 4 3
−1 5 − 2
7 − 8 1
- + -
+ +
a. Menurut kolom pertama
b. Menurut baris ketiga
Jawab :
a. Kolom pertama terdiri dari anggota 2, -1, 7
Maka Δ = 2 . M11 - (-1) . M21 + 7 . M31
= 2
5 − 2
−8 1
+ 1
−4 3
−8 1
+ 7
−4 3
5 − 2
= 2 (5 -16) + 1 (-4 +24) + 7 (8 – 15)
= 2 (-11) + 1 . 20 + 7 (-7)
= -51
Jadi, Δ = -51
+ -
-
+

9. b. Baris ke tiga terdiri dari 7, -8, 1
Maka Δ = 7 . M31 - (-8) . M32 + 1 . M33
= 7
−4 3
5 − 2
+ 8
2 3
−1 − 2
+ 1
2 − 4
−1 5
= 7 (8-15) + 8 (-4+3) + (10-4)
= 7 (-7) + 8 (-1) + 6
= -49 - 8 + 6
Δ = -51
Jadi, nilai dari Δ dengan menggunakan ekspansi faktor
menurut baris ke tiga adalah Δ = -51

10. PERKALIAN MATRIKS
o Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jIka banyaknya baris matriks A sama
dengan banyaknya kolom matriks B.
o Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B adalah mengalikan baris-baris
pada matriks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian
jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom

 


c d
  
a b

 


g h
 

e f

 


 

ae  bg af 
bh
ce  dg cf 
dh
=

11. Sifat perkalian matriks dengan skalar
jika matriks A dan B berordo m x n dan r, s €bilangan real, maka :
1. (r + s) A = rA + sA 4. I . A + A. I + A
2. r (A + B) = rA + rB 5. (-1) A = A (-1) = -A
3. r ( sA ) = ( r . s ) A
Sifat-sifat perkalian dua buah matriks atau lebihTidak komutatif AB ≠ BA
1. Asosiatif (AB) C = A (BC)
2. Distributif kiri A (B + C) = AB + AC
3. Distributif kanan (B + C ) A = BA + CA
4. k (A . B ) = kA . B = A. kB , dengan k bilangan real
5. Jika AB = 0,belum tentu A = 0 atau B = 0
6. Jika AB = AC,belum tentu B = C
7. Identitas : A . I = I . A = A

12. 1. Perkalian Sekalar
Definisi : Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang
skalar. Perkalian cA adalah matriks
yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c.
Matriks cA disebut perkalian skalar
dari matriks A.
Soal : Jika c = −1 dan A =
2 1 0
−1 0 2
4 −2 7
, tentukan cA ?
2. Perkalian Dua Buah Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
1 2 4
2 6 0
dan B =
4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena
banyaknya kolom pada matriks A sama
dengan banyaknya baris pada matriks
B. Karena A berukuran 2 × 3 dan B
berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 ×
4.
Tentukan semua entri matriks AB?

13.  Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
Apabila A,B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A
adalah
matriks nonsingular yang mempunyai invers,yaitu A-1
1. Penyelesaian persamaan matriks AX=B ditentukan oleh X=A-1 .B
2. Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh X=B.A-1
Contoh :
Diketahu P dan Q adalah matriks matriks persegi berordo 2 dengan
Q=
2 −5
4 1
Tentukan matriks P, jika:
a. PQ=
20 16
2 −6
b. QP=
20 16
2 −6

14. Jawab:
a. PQ =
20 16
2 −6
P =
20 16
2 −6
.Q-1
=
20 16
2 −6
1
2+20
1 5
−4 2
=
20 16
2 −6
1
22
5
22
−4
22
2
22
=
−2 6
1
2
11
−
1
11
Jadi, matriks P adalah =
−2 6
1
2
11
−
1
11

15. b. QP=
20 16
2 −6
P= Q-1 20 16
2 −6
1
2+20
=
1 5
−4 2
20 16
2 −6
=
1
22
5
22
−4
22
2
22
20 16
2 −6
=
15
11
−
7
11
−3
5
11
−3
5
11
Jadi,matriks P adalah =
15
11
−
7
11
−3
5
11
−3
5
11

16. Pada subbab ini akan dibahas dua metode lagi untuk mencari penyelesaian system persamaan linear dua variable . Dua metode tersebut adalah
metode invers matrriks dan metode determinan.
1. Menyelesaikan system persamaan linear dua variabel dengan invers matriks
Bentuk umum system persamaan linear dua peubah
푎푥 + 푏푦 = 푝
푐푥 + 푑푦 = 푞 dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan matriks,yaitu
푎 푏
푐 푑
푥
푦 = 푝
푞 . Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh :
푥
푦 =
1
푎푑−푏푐
푑 −푏
−푐 푎
푝
푞
Contoh :
Tentukan nilai x dan y pada persamaan linear 5x-2y=4 dan 2x-y=7 dengan menggunakan metode invers matriks!
Jawab:
Bentuk matriks :
5 −2
2 −1
푥
푦 = 4
7
푥
푦 =
1
−5 −(−4)
−1 2
−2 5
4
7 =
1
−1
−1.4 + 2.7
−2.4 + 5.7
= -1 10
27 = −10
−27
Jadi, diperoleh nilai dari X=-10 dan Y=-27

17. 2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variable dengan determinan
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear variabel 3x-y=5 dan -2x+5y=-12dengan menggunakan
metode determinan!
Jawab:
Bentuk matriks :
3 −1
−2 5
푥
푦 = 5
−12
D= 3.5 - −2. −1 =15-2=13
~ untuk mencari Dx, posisi x yaitu 3 dan -2 diganti dengan hasil yaitu 5 dan -12. sedangkan posisi Y tetap.
sehingga membentuk 5, -1, -2 , dan 5.
x =
퐷푋
퐷
=
5 −1
−12 5
13
=
25−12
13
=
13
13
= 1 Jadi, HP = 1, −2
퐷푌
퐷
y =
=
3 5
−2 −12
13
=
−36+10
13
=
−26
13
= -2~

18. Soal !
1. Diketahui matriks X =
3 1 2
2 1 2
1 0 3
dan X . Y = Z , dengan Z =
10 18
8 14
5 13
. Tentukan
matriks Y ?
2. Diketahui : x + y – z = 1 , 8x + 3y – 6z = 1, -4x – y + 3z = 1 , tentukanlah nilai
dari x, y, dan z dengan cara determinan?
3. Ibu Ahmad berbelanja di Toko ”Sembako Sejahtera” sebanyak 5 kg beras dengan
harga
Rp6.000,00 per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan 3 liter minyak
goreng dengan
harga Rp9.000,00 per liter. Ibu Susan berbelanja barang yang sama di toko yang sama
dengan kuantitas
10 kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng. Sederhanakan persoalan di atas
dalam bentuk
perkalian matriks dan tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Ibu Ahmad dan Ibu
Susan.