Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.

1. Bagian 5
Sistem Persamaan Linier
5. I. Pendahuluan
Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier ada beberapa cara yang sudah
diketahui pada mata kuliah sebelumnya (Matriks dan Transformasi Linier), cara tersebut
dikenal dengan istilah cara analitik, dalam pembahasan ini akan diperkenalkan cara
menggunakan metode numerik, yang sesungguhnya hampir sama, akan tetapi pada metode
numerik lebih difokuskan pada algoritma urutan kerja penyelesaian (iterasi) sehingga
nantinya, mudah membuat desain program dalam bahasa komputer, dengan bahasa yang
diinginkan pemakai.
Secara umum, bentuk sistem persamaan linier dapat disajikan sebagai berikut :
a 11 x 1  a 22 x 2    a 1 n x n  c 1
a 21 x 1  a 22 x 2    a 2 n x n  c 2
…………………………………
…………………………………
a m 1 x 1  a m 2 x 2  ........  a mn x n  c m
atau dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini :
 a 11 a 12 . . a 1n   x1   c1 
a a 22 . . a2n  x  c 
 21   2  2 
        
     
         
a m 1
 am2 . . a mn 
  x n  c m 
   
atau dinotasikan dalam bentuk matriks :
 A .  X  = C  ,
dengan  A sebagai koefisien matriks, C  disebut nilai konstanta persamaan bagian
kanan dan  X  sebagai Penyelesaian sistem persamaan.
5. 2. Sistem Persamaan Linier yang lebih sederhana
Beberapa metode secara analitik yang telah diketahui sebelumnya antara lain :
metode grafik, metode determinan dan aturan Cramer, dan Eliminasi bilangan Anu.
42

2. 5.2. 1. Metode Grafik
Penyelesaian SPL dengan metode grafik dapat digambarkan pada sistem koordinat
siku-siku dengan satu sumbu berpadanan dengan x1 dan lainnya dengan x2. Atau secara
umum dapat dilukiskan sebagai :
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
kedua persamaan dapat diselesaikan untuk x2 :
a  c
x2 =   11  x1 + 1 atau
a 
 12  a 12
a  c
x2 =   11  x1 + 1
a 
 22  a 22
dan x1 :
a  c
x1 =   12  x2 + 1 atau
a 
 11  a 11
a  c
x1 =   11  x1 + 1
a 
 21  a 21
Jadi persamaan tersebut dapat dibuat dalam bentuk garis lurus, yaitu :
x2 = (kemiringan) x1 + perpotongan,
dengan x2 sebagai ordinat dan x1 sebagai absis. Perpoongan antara x1 dan x2 menyatakan
penyelesaian.
Contoh 5. 2.1
Gunakan metode grafik untuk menyelesaikan persamaan
3x1 + 2x2 = 18
–x1 + 2x2 = 2
Penyelesaian
 3  1
Diketahui : x2 =    x1 + 9 atau x2 =   x1 + 1
2 2
Jadi penyelesaiannya adalah perpotongan dua garis pada x1 = 4 dan x2 = 3, sehingga jika
disubtitusi ke persamaan-persamaan semula menghasilkan :
3(4)+ 2(3) = 18 dan –4 + 2(3) = 2
43

3. Hasil – hasil ini setara dengan ruas kanan persamaan semula.
x2
8
3x1 + 2x2 = 18
6
4
Penyelesaian : x1 = 4; dan x2 = 3
2
–x1 + 2x2 = 2
0 2 4 6 x1
5. 2. 2. Metode Determinan dan Aturan Cramer
Aturan Cramer adalah teknik penyelesaian untuk SPL yang kecil jumlah
persamaannya. Salah satu prinsip dari aturan Cramer adalah Implementasi dari konsep
determinan.
Jika diketahui himpunan tiga persamaan :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3
atau dapat dibuat dalam bentuk matriks menjadi,
 A .  X  = C 
bentuk determinan dari matriks tersebut adalah
a 11 a 12 a 13
D = a 21 a 22 a 23 atau
a 31 a 32 a 33
a 22 a 23 a a 23 a a 22
D = a11 – a12 21 + a13 21
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32
di mana determinan – determinan 2 kali 2 dinamakan minor – minor.
Sehingga berdasarkan aturan Cramer dapat diselesaikan SPL dengan :
44

4. c1 a 12 a 13 a 11 c1 a 13 a 11 a 12 c1
c2 a 22 a 23 a 12 c2 a 23 a 12 a 22 c2
c3 a 32 a 33 a 13 c3 a 33 a 13 a 32 c3
x1 = , x2 = , dan x3 = ,
D D D
Contoh 5. 2.1
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan persamaan
0.3x1 + 0.52x2 + x3 = –0. 01
0.5x1 + x2 + 1. 9 x3 = 0. 67
0.1x1 + 0.3 x2 + 0.5 x3 = 0. 44
Penyelesaian
Diketahui Determinan D dapat dituliskan :
0.3 0.52 1
D = 0.5 1 1.9
0.1 0.3 0.5
Minor – minornya adalah
1 1 .9
A1 = = 1(0.5) – 1.9(0. 3) = –0. 07
0 .3 0 .5
0.5 1.9
A2 = = 0.5(0.5) – 1.9(0.13) =0. 06
0.1 0.5
0 .5 1
A3 = = 0.5(0.3) – 1(0.1) = 0. 05
0 .1 0 .3
Sehingga determinan nya adalah
D = 0. 3(–0. 07) – 0.52(0. 06) + 1(0. 05) = –0. 0022
c1 a 12 a 13  0.01 0.52 1
c2 a 22 a 23 0.67 1 1.9
c3 a 32 a 33  0.44 0.3 0.5 0.03278
x1 = = = = – 14.9
D  0.0022  0.0022
45

5.  0.01 0.52 1
0.67 1 1.9
 0.44 0.3 0.5 0.0649
x2 = = = – 29. 5
 0.0022  0.0022
 0.01 0.52 1
0.67 1 1.9
 0.44 0.3 0.5  0.04356
dan x3 = = = 19. 8
 0.0022  0.0022
5. 2. 3. Metode Eliminasi Bilangan Anu
Eliminasi bilangan anu (unknown) atau tidak diketahui penggabungan persamaan –
persamaan dengan pendektan aljabar, misalkan untuk dua persamaan :
a11x1 + a12x2 = c1 (*)
a21x1 + a22x2 = c2 (**)
Misalkan persamaan (*) dikalikan a21 dan persamaan dikalikan dengan a11 (**) maka
persamaan menjadi
a11 .a21 x1 + a12. a21 x2 = c1. a21
a21 .a11 x1 + a22. a11 x2 = c2. a11
maka dengan pengurangan kedua persamaan ini akan menghasilkan,
a22 .a11 x2 – a12. a21 x2 = c2.a11 – c1a21 (***)
sehingga dapat diselesaikan menjadi,
a11c 2  a 21c1
x2 =
a11 a 22  a12 a 21
Jika disubtitusikan ke persamaan (***) maka,
a 22 c1  a12 c2
x1 =
a11 a 22  a12 a 21
Contoh 5. 2. 3
Gunakan metode eliminasi bilangan anu untuk untuk menyelesaikan persamaan
3x1 + 2x2 = 18
–x1 + 2x2 = 2
PenyelesaianDiketahui,
a 22 c 1  a 12 c 1
x1 =
a 11 a 22  a 12 a 21
46

6. 2(18)  2(18)
x1 = = 0 dan,
3(2)  2(1)
3( 2 )  ( 1 )18
x2 = =3
3( 2 )  2( 1 )
Jika metode ini digunakan untuk matriks yang lebih besar akan sangat
membosankan, satu metode yang lebih praktis adalah dengan metode eliminasi Gauss Naif.
5. 3. Sistem Persamaan Linier yang lebih besar
Pendekatan ke bentuk persamaan yang lebih besar untuk kasus himpunan n
persamaan yang umum :
a 11 x 1  a 22 x 2    a 1 n x n  c 1 (5. 3. 1)
a 21 x 1  a 22 x 2    a 2 n x n  c 2 (5. 3. 2)
…………………………………
…………………………………
a m 1 x 1  a m 2 x 2  ........  a mn x n  c m (5. 3. 3)
5. 3. 1 Metode Eliminasi Gauss Naif
Metode ini mempunyai teknik – teknik untuk eliminasi maju ( forward elimination)
dan pensubtitusian mundur (back subtitution) yang merupakan bagian dari penyelesaian
metode Gauss. Metode ini cocok untuk algorima yang lebih sederhana diterapkan, akan
tetapi pada kasusu khusus harus dihindari pembagian dengan nol.
Dapat digambarkan secara sederhana dari metode ini untuk kasus matriks 3 x 3 sebagai :
a 11 a 12 a 13 c 1 
 
a 21 a 22 a 23 c 2 
a 31 a 32 a 33 c 3 
 
Eliminasi
 maju
a 11 a 12 a 13 c 1 
 
 a22 a c 
23 2
 a  c  
 33 3

Subtitusi
mundur
47

7. x 3  c  / a 
3 33 

  a x3 ) / a
x2  ( c2 23 22 
x 1  ( c 1  a 12 x 2  a 13 x 3 ) / a 11 

Eliminasi maju dari bilangan anu (bilangan yang tidak diketahui), tahap pertama didesain
untuk mereduksi sistem persamaan ke sistem segitiga atas. Langkah awal adalah adalah
menghilangkan bilangan anu pertama x1 dari persamaan kedua sampai ke–n. untuk
melakukan ini, kalikan persamaan (5. 3. 1) dengan a21/a11 untuk memberikan hasil,
a 21 a a
a 21 x 1  a 12 x 2    21 a 1 n x n  21 c 1
a 11 a 11 a 11
sekarang persamaan ini dapat dikurangkan dari persamaan (5. 3. 2) sehingga memberikan
hasil,
a 21 x 1  a 22 x 2    a 2 n x n  c 2
a 21 a a
a 21 x 1  a 12 x 2    21 a 1 n x n  21 c 1
a 11 a 11 a 11
–
 a   a  a
 a 22  21 a 12  x 2     a 2 n  21 a 1n  x n  c 2  21 c 1
   
 a 11   a 11  a 11
atau a  x 2    a  n x n  c 
22 2 2
dengan cara yang sama prosedur ini diulang dimana persamaan (5. 3. 1) dikalikan dengan
a31/a11 dan hasilnya dikurangkan dengan persamaan ketiga. Dengan mengulangi prosedur
tersebut untuk persamaan sisanya akan dihasilkan sistem yang termodifikasi sebagai
berikut :
a 11 x 1  a 22 x 2  a 13 x 3    a 1 n x n  c 1 (5. 3. 5)
a  x 2  a  x 3    a  n x n  c 
22 23 2 2 (5. 3. 6)
a  x 2  a  x 3    a  n x n  c 
32 33 3 3 (5. 3. 7)
…………………………………
a  2 x 2  a  3 x 3    a  x n  c 
n n nn n (5. 3. 8)
untuk langkah diatas, persamaan (5. 3. 2) disebut sebagai persamaan tumpuan (pivot
equation) dan a11 disebut koefisien tumpuan. Jika prosedur di atas diulangi dengan tujuan
menghilangkan bilangan anu kedua dari persamaan (5. 3. 7) sampai (5. 3. 8). Untuk
melakukan hal ini kalikan persamaan (5. 3. 6) dengan a32 / a22 dan kurangkan hasilnya
persamaan (5. 3. 7). Lakukan eliminasi serupa untuk persamaan sisanya guna
menghasilkan :
48

8. a 11 x 1  a 22 x 2  a 13 x 3    a 1 n x n  c 1
a  x 2  a  x 3    a  n x n  c 
22 23 2 2
a  x 3    a n x n  c 
33 3 3
…………………………
a 3 x 3    a  x n  c 
n nn n
tanda aksen ganda menunjukkan bahwa elemen – elemen itu telah dimodifikasi dua kali.
Jika prosedur ini dilakukan dengan menggunakan persamaan – persamaan tumpuan
sisanya. Manipulasi terakhir dalam urutan depan adalah memakai persamaan ke – (n – 1)
untuk menghilangkan suku xn-1 dari persamaan ke – n.
a 11 x 1  a 22 x 2  a 13 x 3    a 1 n x n  c 1 (5. 3. 9)
a  x 2  a  x 3    a  n x n  c 
22 23 2 2 (5. 3. 10)
a  x 3    a n x n  c 
33 3 3 (5. 3. 11)
…………………
a nn 1 ) x n  c nn 1 )
(n (
(5. 3. 12)
dengan subtityusi mundur maka xn dapat diselesaikan :
c nn 1 )
(
xn = ( n 1 )
a nn
untuk x sisanyadapat dinyatakan dengan rumus :
n
c i( i  1 )  a
ji1
( i 1 )
ij xj
xi = ( i 1 )
a ii
Contoh 5. 3. 4
Gunakan eliminasi Gauss Naif untuk menyelesaikan persamaan :
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
Penyelesaian
Pada bagian I : Eliminasi Maju,
Kalikan persamaan (5. 3. 13) dengan (0.1)/3 dan kurangkan dengan persamaan (5. 3. 14)
sehingga,
7.0033x2 – 0.293333 x3 = – 19.5617
49

9. kalikan persamaan (5. 3. 13) dengan (0. 3)/3 dan kurangkan dengan persamaan (5. 3. 15),
untuk mengeleminasi x1 maka kelompok persamaan itu menjadi,
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 16)
7.0033x2 – 0.293333 x3 = – 19.5617 (5. 3. 17)
–0.1900x2 + 10.0200 x3 = 70.615 (5. 3. 18)
jika x2 dikeluarkan dari persamaan (5. 3. 18), kalikan persamaan (5. 3 17) dengan
-0. 190000/7.00333 kurangkan hasilnya dengan persamaan (5. 3. 18) sehinggga,
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 19)
7.0033x2 – 0.293333 x3 = – 19.5617 (5. 3. 20)
10.0120 x3 = 70.0843 (5. 3. 21)
dengan subtitusi mundur maka, dapat dikethui nilai,
x3 = 7. 00003
dengan mensubtitusi hasil ini kembali ke persamaan (5. 3. 20) maka,
7,00333x2 – 0. 293333(7.00003) = - 19. 5617
sehingga, x2 = – 2. 50000 dan begitu juga dengan subtitusi kembali hasil-hasil ini ke
persamaan (5. 3. 18),
3x1 – 0.1(– 2. 50000) – 0. 2(7. 00003) = 7. 85
yang dapat diselesaikan menjadi x1 = 3. 0000.
50