Fungsi turunan-aljabar

1. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
TURUNAN FUNGSI
Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).
Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat
dinyatakan dengan :
m
y b
x a
f x f a
x a
PQ =
−
−
=
−
−
( ) ( )
Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis
singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :
m
f x f a
x ax a
=
−
−→
lim
( ) ( )
Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis
singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:
f a
f x f a
x ax a
'( ) lim
( ) ( )
=
−
−→
Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.
Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :
f a
f a h f a
hh
'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→0
Notasi lain : f a
df a
dx
dy a
dx
y a'( )
( ) ( )
'( )= = =
Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai
kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena
itu, didapatkan hubungan V a f a( ) '( )= dan percepatan , A(x) , A a
dV a
dx
( )
( )
=

2. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak
berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh
Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab :
Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x
x
( ) lim ( )0 0
0
= =
→
Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :
f
f h f
h
h
hh h
'( ) lim
( ) ( )
lim
| |
0
0 0
0 0
=
+ −
=
→ →
Karena − = ≠ =
→ →− +
1 1
0 0
lim
| |
lim
| |
h h
h
h
h
h
maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.
Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut :
1.
( )d x
dx
r x r R
r
r= ∈−1 ;
2.
( ) ( ) ( )d f x g x
dx
d f x
dx
d g x
dx
( ) ( ) ( ) ( )+
= +
3.
( ) ( ) ( )d f x g x
dx
g x
d f x
dx
f x
d g x
dx
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
= +
4.
( ) ( ) ( )d
dx
g x d f x f x d g x
g x
f x
g x
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
−
2
Soal latihan
( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan
dy
dx
dari :
1. y
x
=
−12
2
6

3. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2. y
x x
= −
1 1
2
3. y = x ( x
2
+ 1 )
4. ( )( )y x x x x= + + +
4 3 2
2 2 1
5. ( )( )y x x x x= + − +3 2 3 1
2 4
6. y
x
=
+
1
3 9
2
7. y
x
x
=
−
−
2 1
1
8. y
x x
x
=
− +
+
2 3 1
2 1
2
9. y
x x
x x
=
− +
+ −
2
2
2 5
2 3
10. y
x x
x
=
+ +
−
5 2 6
3 1
2
( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang
diberikan.
11. f x
a x x
x bx x
( )
;
;
=
+ ≤ <
− ≥



3 0 1
12 ; x = 1
12. f x
ax b x
x x
( )
;
;
=
− <
− ≥



2
2 1 22 ; x = 2
13. f x
x x
ax b x
( )
;
;
=
− <
+ ≥




2 1 3
2 3
; x = 3