Dokumen ini membahas konsep dasar himpunan dalam matematika, termasuk pengertian, penyajian, operasi, dan himpunan semesta. Himpunan terdiri dari elemen yang dapat dibedakan dan ditulis dalam notasi tertentu, serta mencakup berbagai jenis operasi seperti irisan, gabungan, dan komplemen. Selain itu, terdapat penjelasan tentang sifat-sifat himpunan dan contoh-contoh yang mengilustrasikan penggunaannya.

1. HIMPUNAN

2.  Pengertian Himpunan
 Penyajian Himpunan
 Himpunan Universal dan Himpunan Kosong
 Operasi Himpunan
 Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
Ruang Lingkup

3. Pengertian Himpunan
• • Himpunan merupakan pengetahuan
mendasar dalam matematika yang
turut memengaruhi matematika
ekonomi lanjut. Segala sesuatu di
alam kehidupan manusia terdiri atas
himpunan (set)

4. Pengertian Himpunan
• Suatu himpunan (set) adalah
kumpulan atau kelompok suatu obyek
atau unsur yang dirumuskan secara
tegas dan dapat dibeda-bedakan.
• Obyek atau anggota-anggota
himpunan (set) tersebut dinamakan
unsur atau elemen

5. • Notasi atau tanda dari suatu himpunan
(set) dalah dua kurung kurawal ( { } ).
• Anggota-anggota atau unsur-unsur
himpunan (set) berada di dalam kurung
kurawal tersebut.
• Anggota yang satu dipisahkan dari
anggota lainnya oleh tanda koma.
Penulisan dengan menggunakan cara
seperti itu disebut penulisan cara daftar.
•

6. • Suatu himpunan, umumnya ditulis
dengan huruf besar, seperti
A , B , C , D , X , Y , ..........
• dan benda-benda yang menjadi
anggota suatu himpunan, umumnya
ditulis dengan huruf kecil, seperti a , b
, c , d , x , y , .........

7. contoh
• Jika A merupakan suatu himpunan
yang anggotanya adalah nama buah-
buahan, seperti salak, nanas, pisang,
mangga, jambu maka himpunan A
ditulis: A = {salak, nanas, pisang,
mangga, jambu}

8. Contoh
1. Suatu himpunan (set) tiga kota besar
di Sumatera, yaitu Medan,
Palembang, dan Pekanbaru. Misalkan,
himpunan tersebut dinamakan K,
maka
K = { Medan, Palembang, Pekanbaru )

9. contoh
2. Suatu himpunan (set) huruf vocal,
yaitu a,e, i,o,u. Misalkan, himpunan
tersebut dinamakan H, maka
H = { a,e,i,o,u }

10. Cara Kaidah
• Suatu himpunan dapat disajikan
dengan cara yang lain, yaitu dengan
cara kaidah. Penyajian dengan cara
kaidah dapat dilakukan dengan
menyebutkan karakteristik tertentu
dari benda-benda yang menjadi
anggota himpunan tersebut.

11. Contoh
• Himpunan B yang beranggotakan x
sedemikian rupa sehingga x adalah
bilangan genap, dapat ditulis:
• B = {x | x=bilangan genap}
• Perlu diperhatikan bahwa garis tegak “|”
yang dicetak di antara dua tanda kurung
kurawal dapat dibaca sebagai
"sedemikian rupa sehingga".

12. Contoh
Himpunan C adalah himpunan penyelesaian
persamaan x2 + 3x + 2 = 0 dan dapat ditulis:
C = {x | x2 + 3x + 2 = 0}
dan dibaca: "Himpunan C yang beranggotakan x
sedemikian rupa sehingga x adalah himpunan
penyelesaian persamaan x2 + 3x + 2 = 0" Untuk
memperjelas cara penulisan suatu himpunan,
baik dengan cara daftar atau dengan cara kaidah
maka berikut ini disajikan beberapa contoh
lainnya.

13. • Untuk memperjelas cara penulisan
suatu himpunan, baik dengan cara
daftar atau dengan cara kaidah maka
berikut ini disajikan beberapa contoh
lainnya

14. Contoh
• Himpunan bilangan ganjil positif yang
lebih kecil dari 10, dapat ditulis A
= {1, 3, 5, 7, 9} atau A = {x | x =
bilangan ganjil positif < 10}
• Himpunan huruf-huruf hidup: B = {a,
e, i, o, u} atau B = {y | y = huruf hidup}

15. Keanggotaan Himpunan
Suatu benda yang merupakan anggota
suatu himpunan A dapat ditulis x ϵ A
dan dibaca "x adalah anggota himpunan
A". Suatu benda yang tidak merupakan
anggota dari himpunan A atau
sebaliknya, yaitu himpunan A tidak
mengandung anggota x, dapat ditulis
menjadi x ϵ A

16. Himpunan Semesta (Universal) dan
Himpunan Kosong
• Himpunan semesta biasanya
dilambangkan dengan “U” atau “S”
(Universum) yang berarti himpunan
yang memuat semua anggota yang
dibicarakan atau kata lainya himpunan
dari objek yang sedang dibicarakan.

17. Contoh
• Contoh Himpunan Semesta (Universal):
• A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
• B = {10, 11, 12, 13}
• U = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13}
• Dari himpunan universal dapat dibentuk
himpunan-himpunan yang terdiri atas
unsur-unsur yang merupakan unsur dari
himpunan universal. Himpunan yang
demikian ini dinamakan subhimpunan
(sub-set/himpunan bagian)

18. • Apabila himpunan A merupakan
subhimpunan dari himpunan B, setiap
unsur dari himpunan A juga merupakan
unsur dari himpunan B, yang diberika
Notasi “ A ⊂ B“
• Contoh :
• Apabila A = { d,e,f } dan B = {x|x adalah
huruf abjad atau alphabet } maka
• A ⊂ B

19. • Suatu himpunan R bukan merupakan
subhimpunan (sub-set) dari himpunan
S, yaitu apabila terdapat unsur R yang
bukan merupakan unsur dari
himpunan S. Notasi yang menyatakan
bahwa himpunan R bukan merupakan
himpunan dari himpunan S ditandai
dengan R S.

20. Diagram Venn
4. Diagram Venn
Contoh :
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn :
A Ո B
20

21. Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut
kardinal dari himpunan A.
• Misalkan A merupakan himpunan
berhingga, maka jumlah elemen
berbeda di dalam A disebut kardinal
dari himpunan A.
• notasi : n(A) atau |A|
•
21

22. Contoh
a. A = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih
kecil dari 20}, A={2,3,5,7,11,13,17,19},maka |A| =
8
b. B = {a, {a}, {{a}}, { }}, maka |B| = 4
c. B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil
dari 21 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
d. T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
e. A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

23. Himpunan Kosong
• Himpunan yang tidak memiliki satupun
elemen atau himpunan dengan kardinal = 0.
• Notasi :  atau { }
• Contoh 7:
(i) A = {x | x > x}, maka |A| = 0
(ii) B = {x | x adalah akar persamaan dari x2 +
5x + 10= 0}, maka |B| = 0
(iii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
23

24. Himpunan Kosong
(iv) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan
}, maka n(P) = 0
(v) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai
{, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia
memuat satu elemen yaitu himpunan
kosong.
24

25. Operasi Himpunan
• Irisan (intersection)
– Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah
himpunan yang setiap elemennya dari himpunan
A dan B.
– Notasi : A  B = {x|x є A dan x є B}
25
Contoh :
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10}
dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A  B = {4, 10}

26. Operasi Himpunan (2)
• Gabungan (union)
– Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan
A dan B.
– Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
26
Contoh :
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22
}, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

27. Operasi Himpunan
• Komplemen (complement)
– Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang
mengandung semua elemen dalam semesta
pembicaraan yang tidak ada didalam A.
– Notasi : A= { x  x  U, x  A }
27
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

28. Operasi Himpunan (4)
• Selisih (difference)
– Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan
elemen dari B. Selisih dari A dan B dapat juga dikatakan
sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap
himpunan A.
– Notasi :
A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
28
Contoh :
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

29. Operasi Himpunan
• Beda Setangkup (Symmetric Difference)
– Beda stangkup dari himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau
B, tetapi tidak pada keduanya.
– Notasi : A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)
29
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

30. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Perkalian Kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
elemennya adalah semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk
dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari
himpunan B
• Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }
• Kardinalitas perkalian kartesian : A  B = AB
• Contoh 20.
• (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
• (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A  B = himpunan semua titik di bidang datar
30

31. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A  B =
A . B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata
lain (a, b)  (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B  A dengan
syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,
2), (b, 3) }  C  D.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 
31

32. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi
goreng, m = mie rebus }
• B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
• Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
• Jawab:
• A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu
{(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c),
(m, t), (m, d)}.
32

33. Matematika Ekonomi
33
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:
X 1 2 3
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)
X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),
(3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Y

34. Matematika Ekonomi
34
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan
dalam sistem koordinat cartesius
berikut:
Y
3 • • • •
2 • • • •
1 • • • •
0 1 2 3 4 X
Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai
pekerjaan rumah
H
1
H
2
H
3
H
4
PR = {1, 2} malas
PR = {3, 4} rajin
U = {1, 2} kurang
mengerti U = {3} pintar
Terdapat 4 himp bag
H1 = {malas ttp pintar}
H2 = {malas dan krg
mengerti}
H3 = {rajin ttp krg
ngerti}
H4 = {rajin dan pintar}

35. Pembuktian pernyataan suatu himpunan
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh . Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A
 (B  C) = (A  B)  (A  C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A  (B  C) (A  B)  (A  C)
35

36. Pembuktian pernyataan suatu himpunan
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang
digambarkan tidak banyak jumlahnya.
Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang
valid untuk pembuktian secara formal.
36

37. TUGAS
• 1. Komplemen
• P = { x|x adalah huruf abjad atau
alphabet }
• Q = { d,e,f,g }
• R = { a,e,i,o,u }
• Tentukan Q komplemen dan R
komplemn.

38. 2. A = { 2,4,6,8 }
B = (1,3,5,7}
Tentukan A Ս B
Buatkan diagram Ven
3. A = {2,4,6,8}
B = { 1,2,3,4 }
C = { 5,6,7,8}
Tentukan : A Ո B
A Ս B
B Ո C
4. A ={ 2,4,6,8,10 }
B = {1,2,3,a,b,c }
C = { 8,9,10.c.d.e }
Tentukan
A – B B – C
A - C B – A
C - A C - B
5. S1 = {1,2,3} dan S2 ={4,5}
Berapa banyak pasangan yang
diperoleh, tentukan pasangan
tersebut.