Dokumen ini menjelaskan tentang pengertian himpunan, notasi, jenis-jenis himpunan seperti himpunan kosong, himpunan semesta, dan definisi operasi himpunan seperti gabungan, irisan, dan selisih. Selain itu, dibahas pula sifat-sifat himpunan dan berbagai contoh yang menggambarkan konsep himpunan dalam matematika. Berbagai metode penulisan himpunan juga diuraikan, termasuk bentuk pendaftaran dan pencirian.

1. HIMPUNAN
 Pengertian
 Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang diterangkan dengan jelas.
 Notasi : Penulisan himpunan diawali dengan huruf capital.
 Elemen atauanggota suatu himpunan dituluis dalamtanda kurung kurawal
 { }.
 Contoh :
 1.Himpunana bilangan bulat yang lebih besar dari-3 dan lebih kecil dari
3.Jikanama himpunannya dinptasikan dengan himpunan A,berarti himpunan
tersebut dapat dituliskan : A={-2,-1,0,1,2}
 2,Himpunan B menyatakan seluruh nama siswa laki-laki di kelas VIII,maka
himpunan B dapat dituliskan :B {nama-nama seluruh siswa di kelas VIII}

2.  3.Himpunan C menyatakan bilangan cacah yang lebih besar dari
0,maka himpunan C dapat dituliskan : C={1,2,3,…}
 Keanggotaan Suatu Himpunan
 Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan notasi
€.sedangkan untuk menyatakan bukan anggota digunakan notasi
 Contoh : Himpunan A={ nama-nama bulan dalam tahun
masehi}maka jelas bahwa n(A)=12.

3.  Himpunan Bilangan Tertentu
 1.Jika G adalah himpunan bilangan genap → G= {2,4,6,…}
 2.Jika L adalah himpunan bilangan asli → L= {1,3,5,7..}
 3.Jika A adalah himpunan bilangan asli → A= {1,2,3,..}
 4.Jika P adalah himpunan bilangan prima → P={2,3,5,7,..}
 5.Jika C adalah himpunan bilangan cacah → C= {0,1,2,3,..}
 Menyatakan Suatu Himpunan
 a.Cara Deskripsi
 Dengan penjelasan sifat-sifatnya atau dengan notasi pembentuk
himpunan
 b.Cara Tabulasi (roster)
 Dengan mendaftarkan anggota himpunan satu per satu

4.  Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
 Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki
anggota.Himpunan kosong dinotasikan dengan ǿ atau A={ }
 Contoh :X={bilangan ganjil yang habis dibagi 2},artinya X= ǿ atau
X={ }
 Himpunan Semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua
anggota dalam pembicaraan
 Contoh: Jika A={a,b,c,d,e} dan X={f,g,h,i}maka himpunan semesta
dapat beruopa S={a,b,c,d,e,f,g,h,iu} atau S={a,b,c,d,e,f,g,h,i}

5.  Himpunan Bagian
 Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota
dari himpunan B maka A adalah himpunan bagian atau subset
dari B
 Contoh : Jika A ={bilangan asli}, Z={Bilangan Bulat} dan
N={bilangan prima}
 Maka hubungan yang dapat dilihat dari ketiga himpunan tersebut
adalah: A c Z dan N c Z

 Sifat: Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan dan setiap himpunan adalah himpunan bagian dari
himpunan itu sendiri,yaitu untuk suatu himpunan A maka berlaku
ǿ c A dan A c A

6. HIMPUNAN BAGIAN
1. Himpunan Bilangan Asli (A)
secara tabulasi, himpunan ini ditulis : A={1,2,3,….} dengan
A adalah simbol himpunan bilangan asli.
2. Himpunan Bilangan Cacah (C)
secara tabulasi, dapat ditulis : C={0,1,2,3,….} dengan C
simbol bilangan cacah.
3. Himpunan Bilangan Prima (P)
bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat 2
faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. P={2,3,4,5,7,….} dengan P
simbol bilangan prima.

7. 4. Himpunan Bilangan Bulat (B)
Himpunanbilangan bulat
berangotakan: bilangan bulat
positif, nol, dan bulat negatif.
B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} dengan B simbol
bilangan bulat

8. HIMPUNAN BAGIAN

9. HIMPUNAN KUASA

10. DIAGRAM VENN
Diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris pada tahun 1834-1923
bernama John Venn. Dalam membuat diagram Venn yang perlu
diperhatikan, yaitu:
a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang huruf S
diletakan di sudut kiri atas persegi panjang.
b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan
kosong)ditunjukkan oleh kurva tertutup.
c. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik).
d. Bila anggota suaatu himpunan banyak sekali, maka anggota-
anggotanya tidak perlu dituliskan.

11. CONTOH DIAGRAM VENN

12. GABUNGAN [ᴜ]
Pengertian :
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu
himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua
himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan
disimbolkan dengan “ ᴜ“.
Misalkan, P={2,3,4,5} dan Q={1,2,4,7}, maka PᴜQ= {1,2,3,4,5,7}.
Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya
terdapat pada P dan Q, ditulis dengan notasi pembentuk
himpunan:
PᴜQ= {xIx ε P atau x ε Q}.

13. CONTOH GABUNGAN

14. IRISAN
Perhatikan dua himpunan dibawah ini .
P = {a, b, c, d, e, f, g }, Q = {a, c, g, h, }
Terlihat bahwa anggotapersekutuan P dan Q
adalah a, c, e, dan g,. Hal ini berarti P dan Q
beririsan ditulis P ∩ Q ={a, c, e,g }.
• Irisan P dan Q ditunjukkkan oleh daerah yang
• pada gambar dibawah ini...
B
.a .c .e .. h
•D
.g
•f

15. Contoh soal
1).Diberikan: A = {bilangan asli yang kurang dari 6}
B = {2, 4, 6 }
a) Tentukan A ∩ B!
b) Tuliskan diagram Venn A ∩ B!
Jawab :
a). {1,2,3,4,5} B = {2,4,6} maka A ∩ B = {2, 4}
b). Dagram venn A∩ B terlihat pada gambar disamping.
1. 3. 5.
.2.4
.6

16. Selisih
 Penulisan komplemen A terehadap B sebagai B-A
 dan dibaca “ada di B tetapi tidak ada di A ̋ . Sedangkan
 komplemen B terhadap A di tulis A-B, dibaca “ada
 di A tetapi tidak ada di B”. Jadi, contoh di atas bila
 di dalam dalam notasi B-A dan A-B adalah:
(i). B – A {7}
(ii). A –B = {2, 3, 4,}

17. Contoh soal:
1). P =Himpunan huruf berbentuk kata “SANTO”dan
Q= Himpunan huruf berbentuk kata”SANTOSA”
P={ s,a,n,t,o) dan Q={s,a,n,t,o} berarti P= Q, maka
P-Q =Ǿ = {}
• Jawab: - P-Q= {x I x € P dan x Є Q)
• - n (P-Q )= n (P) –n ( P∩Q)
• - P’ =S-P
• - n (S – P) = n(P’) = n(S) –n(S∩P

18. komplemen
 Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemen-
elemen yang tidak termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U
dan A. Kita nyatakan komplemen dari A dengan komplemen A dapat
didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat
 = { x | x ,x }
 ={x|x}
 Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan
yang merupakan akibat langsung dari definisi komplemen himpunan.
 Pernyataan:
 Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah
himpunan semesta, yaitu
 A U A’ =U

19. Contoh soal
1). Di berikan himpunan semesta S dan himpunan D sebagai berikut.
S= { 3, 4, 7, 10, 15, 28}.
D= {x x habis dibagi 4, x Є S}
a. Tuliskan semua anggota adari D !
b. Tunjukan himpunan S pada diaram venn
Jawab:
S = {3, 4, 7, 10, 12, 15, 28, }
.3
•4
D = {4,12, 10, 15 } •12
.7 .10 .
15
D’ =. {3, 7, 10, 15) •28

20. TEORIMA DALAM OPERASI HIMPUNAN
 Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemen
mempunyai sifat-sifat yang sederhana apabila himpunan-himpunan yang
ditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-teorema berikut dapat
dibuktikan :
 TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B
adalah A, jadi,bila maka
 TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B
adalah B, jadi,bila maka
 TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka adalah
subhimpunan , yaitu jika maka .
 TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan
A dan (BA) adalah B, yaitu, bila maka AU(B-A)=B

21. Contoh Soal,
Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan
C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) AUB , ( b ) AUC , (C) BUC
Jawab :
a)A={1, 2, 3, 4)
B={2, 4, 6, 8}
AUB = {1,2 ,3, 4, 6, 8)
b) AUC
A ={1, 2, 3, 4}
C ={3, 4, 5, 6,}
AUC ={1, 2, 3, 4, 5, 6, }
c) BUC
B = {2. 4. 6, 8}
 C = {3, 4,5, 6 }
BUC ={2, 3, 4, 5, 6, 8 }

22. HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan
secara jelas. Objek tersebut disebut elemen/anggota
himpunan,biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya
:a,b,p,q dll.sedangkan himpunan,biasanya dinyatakan dengan
huruf besar,misal:A,B,P,Q dll.
Jika a merupakan elemen dari himp A,sedangkan b bukan elemen
dari himp A,maka dapat ditulis sebagai a E A,

23.  Ada 2 bentuk dalam penulisan suatu himpunan,yaituL:
 Bentuk pendaftaran (tabular-form),yaitu dengan menuliskan
semua elemen himpunan tersebut dalam kurung kurawal {} .
contoh 1:
A={jakarta,bandung,surabaya}
B={…,-2,-1,0,1,2}
C={1,2,3,…}
 Bentuk pencirian (set builder-form), yaitu dengan menuliskan
sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut.
contoh 2 :
Q= {x | x adalah bilangan rasional}
R = {y | y adalah mahasiswa jurusan informatika}

24. MACAM MACAM HIMPUNAN
a. Himpunan kosong
 Adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan ini
menggunakan notasi { }. Contoh :
 D = {orang indonesia yang tinggiaya 5 m}
 E = {mahasiswa unindra umurnya > 100 tahun}
b. Himpunan semesta
 Adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang
dibicarakan. Sering disebut semesta pembicaraan atau set universum
dilambangkan dengan “S” atau “U”.

25. c. Himpunan hingga dan tak hingga
*Himpunan hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga
atau terbatas atau banyak anggotanya suatu bilangan tertentu atau
pembilangan anggotanya merupakan suatu proses yang dapat berhenti.
Contoh himpunan hingga :
D = {0,1,2,3….99}→banyak anggota himpunan D adalah 100 atau
bilangan kardinal D atau n(D) =100
*Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak
terbatas atau tidak terhingga.
Contoh Himpunan tak hingga :
 E = {1,2,3….}→ banyak anggota himpunan E tak terbatas dan bilangan
kardinalnya atau n(E) =( tak hingga) karena anggota-anggotanya semua
bilangan bulat positif atau bilangan asli sehingga tidak mungkin untuk
menuliskannya.

26. d. Himpunan terbilang dan tak terbilang
 Terbilangi adalah sesuatu yang dapat ditunjukan satu persatu,sedangkan
tak terbilang adalah sesuatu yang tidak dapat ditunjukan satu persatu.
 Contoh :
a. A = {x,y,z}
himpunan A ini merupakan contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3
 Dan termasuk himpunan terbilang karena anggotanya dapat ditunjukan
satu persatu yaitu x,y,z.
 b. B = {1,3,5,7,…}
 Himpunan B termasuk termasuk himpunan terbilang karena anggotanya
dapat ditunjukan satu persatu yaitu 1,3,5,7 dst tapi termasuk himpunan
tak terhingga karena anggotanya tidak mungkin semuanya dituliskan
satu-satu.

27. e. Himpunan terbatas dan tak terbatas
Ruang lingkup pembicaraan himpunan terbatas dan himpunan tak
terbatas biasanya beranggotakan bilangan.
Himpunan yang memiliki batas bawah dan batas atas disebut
himpunan terbatas.Himpunan yang hanya memiliki batas bawah
/kiri saja disebut himpunan terbatas kiri .
 Begitu sebaliknya yang hanya memiliki batas atas,kanan saja
disebut himpunan terbatas kanan. Himpunan yang tidak
memilikibatas kiri dan batas kanan adalah himpunan tak terbatas.
 Contoh :
 P = {3,4,5,7}
 Himpunan p adalah termasuk himpunan terbatas. Karena memiliki
batas kiri 3

28. PASANGAN TERURUT DAN PRODUKSI CARTESIUS
a. Dengan diagram cartesius
Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram
cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar
dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak.setiap pasangan
anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B
dinyatakan dengan titik atau noktah.

29. Diagram Cartesius
B. Inggris
IPA
Matematika
Olahraga
Kterampilan
Kesenian
IPS
Buyung
Doni
Vita
Putri

30.  b. Dengan himpunan pasangan berurut
 Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel sebagai berikut.
 {(buyung, IPS), (buyung, kesenian), (doni, ketrampilan), (do
ni, R), (vita, IPA), (putri, matematika), (putri, bahasa inggris)}.
 Contoh :
 Diketahui A ={1,2,3,3,5,6} ; B = {1,2,3,…,12} dan relasi dari A ke B
adalah relasi” setengah dari “. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk
 a.diagram panah
 b.diagram cartesius
 c.himpunan pasangan berurutan

31. DENGAN DIAGRAM PANAH
1 1
2
2 3
4
3 5
6
4 7
8
5 9
10
6 11
12

32. DENGAN DIAGRAM CARTESIUS
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
1 2 3 4 5 6 7 8

33. IPS
Buyung Kesenian
Doni Keterampilan
Vita Olahraga
Putri Matematika
IPA
B. inggris

34.  2. Fungsi surjektif
 Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika
dan hanya jika u
 ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a
dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu
kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
 3. Fungsi bijektif
 Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika
untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam
domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak
terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fun

35. PENGERTIAN FUNGSI
 Pandangan suatu relasi dengan setiap anggota himpunan A dikaitkan
dengan satu dan hanya satu anggota himpunan B. Relasi tersebut
disebut suatu fungsi dari A ke dalam B. Himpunan A disebut domain
dan himpunan B disebut kodomain dari fungsi,yang biasa ditulis f:A →
B.
 Jika a € A,maka anggota himpunan B yang merupakan kaitan dari a
dapat ditulis sebagai f(a). Elemen f(a) tersebut dinamakan nilai fungsi
dari a. himpunan semua fungsi disebut daerah nilai(range) dari fungsi f
. Daerah nilai merupakan himpunan bagian dari kodomain.
 Istilah fungsi disebut juga pemetaan (mapping) atau transformasi.

36.  Contoh 1:
A= {1,2,3,4}
B= {a,b,c,d}
F= {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} merupakan fungsi dari
A ke B
G= {(1,a), (1,b), (2,a), (3,d), (4,a)} bukan
fungsi,karena elemen 1 E A dipetakan ke a dan ke
B

37. B. Jenis-jenis Fungsi
 1. Fungsi injektif
 Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi
injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2
dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak
sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka
f(a1) sama dengan f(a2).

38.  2. Fungsi surjektif
 Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan
hanya jika u
 ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam
domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain
fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
 3. Fungsi bijektif
 Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika
untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam
domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak
terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fun

39. Fungsi Satu-Satu :
Suatu fungsi f: A→B disebut satu-satu bila setiap elemen yang berbeda
dari mempunyai peta yang berbeda pula di B.
Grafik Fungsi / Pemetaan
Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuat
grafik pemetaannya. Grafik suatu ) adalah bentuk diagram cartesius
dari suatu pemetaan(fungsi).

40. Jenis – Jenis Fungsi :
1. Fungsi Konstan
Didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan setiap unsur di domain
ke satu nilai yang sama (konstanta).
2. Fungsi Identitas
Adalah fungsi yang memetakan setiap unsur didomain kedirinya
sendiri
3. Fungsi Modulus / Fungsi Nilai Mutlak
Adalah fungsi yang memetakan setiap unsur didomain ke satu nilai
positif atau nol.
4. Fungsi Linear
Adalah fungsi yang memetakan setiap x € R ke suatu bentuk ax + b,
dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

41. 5. Fungsi kuadrat
Rumus umumnya adalah f(x) = ax” + bx + c, dengan a ≠ 0 dan x € R.
Invers atau Fungsi
Jika fungsi f : A → yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = {( a,b) Ӏ
a ϵ A dan b ϵ B}, maka invers f adalah g: B → yang dinyatakan dengan g
= {(b,a) l b ϵ B dan a ϵ A}
Syarat Agar Invers Suatu Fungsi Merupakan Fungsi Invers
Fungsi f mempunyai fungsi invers f -1 jika dan hanya jika f merupakan
fungsi (korespondensi satu – satu).

42. Menentukan langkah-langkah rumus fungsi invers
1. Mengubah persamaan y = f (x) dalam bentuk x
sebagai fungsi y.
2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan f -1
(y).
3. Mengganti y pada f -1 (y) dengan x, sehinga
diperoleh f -1 (x).

43. Contoh Soal :
1. Fungsi invers dari f (x) = adalah…
Penyelesaian :
Jika , maka
Untuk soal diatas f (x) = →

44. Pengertian Relasi Beberapa Himpunan
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan
B merupakan relasi khusus, yaitu relasi yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu
anggota B.
Misalkan F adalah satu fungsi dari himpunan A ke
himpunan B, maka fungsi F di notasikan dengan:
f:A→B

45. Contoh Soa:
Relasi dari himpunan A {a, b, c} ke himpunan B = {p, q, r}
yang merupakan fungsi adalah…
(1) A B (2) A B
a p a p
b q b q
c r c r

46. (3) A B (4) A B
a p a p
b q b q
c r c r
Pembahasan:
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan relasi yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Dengan demikian, relasi-relasi di atas yang merupakan fungsi
adalah (1), (2), dan (3). Sedangkan (4) bukan fungsi, seebab ada
anggota himpunan A yaitu a dan c tidak berpasangan dengan
anggota B. selain itu ada anggota himpunan A yaitu b
berpasangan dengan semua anggota himpunan B. jadi pilihan (1),
(2) dan (3) bernilai benar.

47. FUNGSI KOMPOSISI
 Pengertian Fungsi Komposisi
Suatu fungsi dapat dikombinasikan atau
digabungkan dengan fungsi lain, dengan
syarat tertentu, sehingga menghasilkan
fungsi baru. Fungsi baru hasil kombinasi
fungsi-fungsi sebelumnya ini dinamakan
fungsi kombinasi.

48. Sifat-sifat komposisi fungsi
1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi umumn ya
tidak komutatif
(g o f) (x) ≠ (f o g) (x)
2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat
asosiatif
(f o (g o a)) (x) = {(f o g) o h} (x)
3. Terdapat fungsi identitas I (x) = x sedemikian
sehingga (f o i) (x) = (I o f) (x) = f (x)

49. • Contoh soal:
Diketahui fungsi f (x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4 dan (f o g) (a) = 81.
nilai a = …
Pembahasan:
(f o g) (x) = f (g (x))
= f (5x + 4)
= 6 (5x + 4) – 3
= 30x + 24 – 3
= 30x + 21
(f o g) (a) = 30a + 21 = 81
30a = 81 – 21
a=2

50. HUKUM-HUKUM HIMPUNAN
1. Hukum komutatif :
a. AUB = BUA
b. A∩B = B∩A
2. Hukum Asosiatif
a. (AUB)UC = AU(BUC)
b. (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
3. Hukum Distributif
a. AU(B∩C) = (AUB)∩ (AUC)
b. A∩(BUC) = (A∩B)U (A∩C)

51.  4. Hukum Idempoten :
 a. AUA = A
 b. A∩A = A
 5. Hukum Identitas :
 a. AUØ = A
 b. AUU= U
 c. A∩Ø = Ø
 d. A∩U = A
 6. (AC)C=A
 7. a. AUCC=U
 b. A∩CC=Ø

52.  8.a. Uc=Ø
b. Øc=U
9. Hukum De Morgan
a. (AUB)c = Ac ∩ Bc
b. (A∩B)c = Ac U Bc
10. Hukum absorbsi :
a. AU(A∩B)=A
b. A∩(AUB)=A

53. PRINSIP DUALITAS
 Prinsip dualitas pada himpunan. Misalkan S adalah suatu
kesamaan yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi
seperti komplemen,U,∩.Jika S* diperoleh dari S dengan
mengganti U→∩,∩→U,Ø→U,U→Ø maka kesamaan S* juga
benar dan disebut dual dari kesamaan S.
 PrinsipDualitas merupakan prinsip yang penting dalam

54.  Aljabar himpunan, karena kita dapat menggunakan prinsip ini untuk
menurunkan hukum yang lain atau membuktikan suatu kalimat
himpunan.
 →Hukum identitas :AUØ=A
 Dualnya :A∩U=A
→Hukum null :A∩Ø=Ø
Dualnya :AUU=U
→Hukum Komplemen :AUĀ=S
Dualnya :A∩Ā=Ø

55. HIMPUNAN INDEKS
 Misalkan I adalah himpunan tidak kosong dan U
himpunan semesta. Untuk setiap i ϵ I . I disebut
himpunan indeks (atau himpunan dari indeks) dan setiap
i ϵ I disebut indeks.
 ᴜ Ai = {x І x ϵ Ai untuk sekurang-kurangnya satu i ϵ I}
dan
 ∩ Ai = {x І x ϵ Ai untuk setiap i ϵ I}

56.  Dapat ditulis menggunakan kuantor :

Jadi,
(i).
 artinya jika dan hanya jika x Ai untuk
setiap indeks i ϵ I.

57. 
Artinya
jika dan hanyax ϵ Ai unuk sekurang-kurangnya satu indeks i ϵ
I.

58. OPERASI PADA HIMPUNAN
 Apabila terdapat 2 himpunan sembarang S dan T dimana keduanya
adalah subset dari U. Union (gabungan) dari S dan T dilambangkan
dengan SUT, yang merupakan himpunan yang beranggotakan elemen
dari S atau dari T. Notasi matematikanya adalah:
 S ᴜ T = { x : x ϵ S atau x ϵ T }

59.  Irisan (intersection) dari dua himpunan S dan T
dilambangkan dengan S ∩ T, dimana S ∩ T adalah
himpunan yang terbentuk dari elemen yang
terkandung pada S dan pada T. Atau notasi
matematikanya:
 S ∩ T = { x : x ϵ S atau x ϵ T }

60. S
 Sedangkan dua buah himpunan disebut tidak beririsan apabila
pada kedua himpunan tersebut tidak terdapat elemen yang sama.
 Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila S ∩
T=Ø
 Sedangkan dua buah himpunan disebut tidak beririsan apabila
pada kedua himpunan tersebut tidak terdapat elemen yang sama.
 Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila S ∩
T=Ø

61.  Irisan dari himpunan bilangan positif dan himpunan
bilangan negative adalah himpunan kosong.
 Apabila terdapat sembarang himpunan S dan T, komplemen
relative (relative complement) T terhadap S dilambangkan S
T, adalah himpunan yang dibentuk dari seluruh elemen S
yang bukan dari elemen T. Berikut adalah notasi
matematikanya:
 S T = { x : x ϵ S atau x T }

62.  Asumsikan U adalah himpunan semesta. Bila terdapat sembarang
himpuanan S pada U, Komplement Absolut (absolute complement)
dari S, dinotasikan dengan Sc,adalah U S atau :
 Sc = U S = { x ϵ S atau x S }
 Beda Simetris (symmetric different) dari 2 himpuanan S dan T,
adalah himpunan S T yang didefinisikan dengan :
 S T= { x : x ϵ ( S ᴜ T )dan x }
 = {( S ᴜ T ) ( S ∩ T) }
 = ( S T ) ᴜ ( T S)

63.  Jika terdapat dua himpunan S dan T dimana s ϵ S dan t ϵ T,
maka pasangan berurutan (ordered pair) (s , t) adalah hasil
kali (product, X) dari S dan T dimana :
 S X T ={ (s,t) : s ϵ S dan t ϵ T}
 Dua buah pasangan berurutan ( x , y) dan ( u , v ) adalah
sama apabila :
 ( x , y ) = ( u , v ) jika dan hanya jika x = u dan y = c.

64. KARDINALITAS (URUTAN)
Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan
sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
atau
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan
B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian
buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.
Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya
elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan
{apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen
sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau
dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

65. KONSEP KARDINALITAS
Konsep Kardinalitas
Bila A ekuivalen dengan B, yaitu A ~ B maka dikatakan bahwa A dan B
mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.
Untuk menyatakan bilangan kardinal dari A ditulis #(A). Jadi #(A) =
#(B) bila dan hanya bila A ~ B. Bila A < B maka dikatakan A mempunyai
kardinalitas lebih kecil dari B atau kardinalitas B lebih besar dari
A, dengan kata lain :
#(A) < #(B) bila dan hanya bila A < B
#(A) > #(B) bila dan hanya bila A B

66. PENGERTIAN PROPOSISI
Proposisi adalah pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai
nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya.
Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak boleh
mengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus.
Rumus ketentuannya :
Q+ S + K + P
Keterangan:
Q : Pembilang/jumlah.
(contohnya: sebuah,sesuatu, beberapa,semua,bagian, salah satu, bilangan satu s.d tak
terhingga).
Q boleh tidak ditulis, jika S (subjek) merupakan nama dan subjek yang pembilangnya sudah
jelas berapa jumlahnya.
S : Subjek adalah sebuah kata atau rangkaian beberapa kata untuk diterangkan atau kalimat
yang dapat berdiri sendiri (tidak menggantung).
K : Kopula, ada 5 macam : Adalah, ialah, yaitu, itu, merupakan.
P : Kata benda (tidak boleh kata sifat, kata keterangan, kata kerja).

67. CONTOH SOAL
1) Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI”!
{(pvq) ⇒ r } ⇔ {(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)}
{p ⇒(q ∧ r)} ⇔ {(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)}
{(p ∧ q) ⇒ r } ⇔ {(p ∧ ∼ r) ⇒ ∼ q)}
{(p ∧ q) ⇒ r} ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r)}
(p ⇒ r) ⇒ {(p ∧ q) ⇒ r} ∧ {p ⇒ (q ∧ r)} ⇒ (p ⇒ q)
2) Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi berikut. Kemudian
tentukan kebenarannya!
Jika x=5, Maka x^2=25
Jika x^2 bilangan asli, maka x bilangan asli
Jika ∆ABC sama kaki, maka <A=<C

68. PENYELESAIAN
1) Pembuktian “TAUTOLOGI”
{(pvq)⇒r}⇔{(p⇒r)∧(q⇒r)}
JAWAB:
p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B B B B B B B
B S S B S B S S B
S B B B B B B B B
S B S B S B B S S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B
Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

69. {p⇒(q∧r)}⇔{(p⇒q)∧(p⇒r)}
JAWAB:
p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }
B B B B B B B B B
B B S S S B B S S
B S B S S B S S B
B S S S S B S S S
S B B B B B B B B
S B S B S B B B B
S S B B S B B B B
S S S B S B B B B
Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

70. {(p∧q)⇒r}⇔{(p∧∼r)⇒∼q)}
JAWAB:
p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}
B B B S S B B B S B
B B S S B B S B B S
B S B B S S B B S B
B S S B B S B B B B
S B B S S S B B S B
S B S S B S B B S B
S S B B S S B B S B
S S S B B S B B S B
Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

71. {(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r)v(q⇒r)}
JAWAB:
p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B S B B B B B
B S S S B B S B B
S B B S B B B B B
S B S S B B B B S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B
Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

72. (p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r)}⇒(p⇒q)
JAWAB:
p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)
B B B B B B B B B B B B
B B S S B B S B S S B B
B S B B B S B B B S B S
B S S S B S B B B S B S
S B B B B S B B B B B B
S B S B B S B B B S B B
S S B B B S B B B S B B
S S S B B S B B B S B B
Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

73. 2) Konvers, Invers, Kontraposisi dan Tabel
Kebenaran
Jika x=5 , Maka x^2=25
Jawab :
p : x =5
q : x^2=25
konvers (q ⇒p)
Jika x^2=25 , maka x=5
Invers (∼p⇒∼q)
Jika x≠5 , maka x^2≠25

74. Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x^2≠25 , maka x≠5
Negasi (p∧∼q)
x=5 , akan tetapi x^2≠25
Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
BBSSBBBBS
BSSBSBBSB
SBBSBSSBS
SSBBBBBBs

75. Jika x^2 bilangan asli, maka x bilangan asli.
Jawab:
P: x^2 bilangan asli.
q: x bilangan asli.
Konvers (q ⇒p)
Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli
Invers (∼p⇒∼q)
Jika x^2 bukan bilangan asli, maka x bukan bilangan asli.
Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli.
Negasi (p∧∼q)
x^2 bilangan asli akan tetapi bukan bilangan asli

76. Tabel kebenaran:
p q ∼p ∼q Implikasi,
( p ⇒q ) Konvers,
(q ⇒p) Invers,
(∼p⇒∼q) Kontraposisi,
(∼q⇒∼p) Negasi,
(p∧∼q)
BBSSBBBBS
BSSBSBBSB
SBBSBSSBS
SSBBBBBBS

77. Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C
Jawab :
p : ∆ ABC sama kaki
q : ∠A= ∠C
konvers (q ⇒p)
Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki
Invers (∼p⇒∼q)
Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C
Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki
Negasi (p∧∼q)
∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C

78. Tabel kebenaran:
p q ∼p ∼q Implikasi,
( p ⇒q ) Konvers,
(q ⇒p) Invers,
(∼p⇒∼q) Kontraposisi,
(∼q⇒∼p) Negasi,
(p∧∼q)
BBSSBBBBS
BSSBSBBSB
SBBSBSSBS
SSBBBBBBS

79. HIMPUNAN TERBILANG
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan
A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh :
 A=
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab
dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga
sebab n(A) = 3.
 B=
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi
juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

80. CONTOH SOAL DAN JAWABAN
1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan terbilang?
Jawaban:
N: 1 2 3 4 5 6 …
| | | | | |
Z : 0 -1 1 -2 2 -3 ...
Ternyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang.
2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K himpunan terbilang?
Jawaban:
N: 1 2 3 4 5 6 7…
| | | | | | |
K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k ...
Ternyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang.

81. HIMPUNAN TIDAK TERBILANG
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A
tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.
Contoh :
R=
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang,
karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan
R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.

82. CONTOH SOAL DAN JAWABAN
1) Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan
tak terbilang, buktikanlah:
Jawaban:
Bukti:
Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal
tanpa akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c ≠ 0 yang diikuti
oleh berhingga banyaknya digit nol.
Jadi 0,5 atau diganti 0,4999..., dan 7 diganti 6,999....
Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k1k2k3 … kn, a1a2a3 … an
…bagian bulat bagian desimal

83. Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi R
dapat dibariskan sebagai berikut:
r1 = B1, a11 a12 a13 a14 a15 …
r2 = B2, a21 a22 a23 a24 a25 …
r3 = B3, a31 a32 a33 a34 a35 …
r4 =B4, a41 a42 a13 a44 a45 …
r5 = B5, a51 a52 a53 0554 a55 …
Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks di
atas. Dibentuk suatu bilangan real r* sebagai berikut.
r* = B*, b1 b2 b3 b4 b5 …
dengan bi = 1 jika aii ≠ 1
bi = 2 jika aii = 1
Ini berarti bahwa bi = ai; iN.
Juga r*≠ri iN.

84. 2)Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka I
adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah!
Jawaban:
Bukti:
Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Q
himpunan semua bilangan rasional, dan I himpunan semua
bilangan rrasional, maka R = QI.
Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. Misalkan
I himpunan terbilang.
Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu kontradiksi.
Jadi haruslah I himpunan tak terbilang.

85. KOLEKSI HIMPUNAN TERBILANG
Anggota-anggota dari suatu himpunan dapat merupakan himpunan.
Misalnya, suatu gudang adalah himpunan dari beberapa peti
rokok, setiap peti terdiri dari beberapa bungkus rokok. Jadi jelas bahwa
suatu himpunan mungkin saja anggota-anggotanya merupakan
himpunan pula. Kondisi seperti ini disebut sebagai koleksi himpunan
atau himpunan dari himpunan.
Contoh:
a) A = {{a,b,c},{d},{e}}
b) B = {{1,2},{3},{2,3,4},{Ø}}

86. FUNGSI KARAKTERISTIK
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah
himpunan atau tidak.
Jika maka:

87. Terdapat korespondensi satu-satu antara
himpunan kuasa dengan himpunan dari
semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini
mengakibatkan kita dapat menuliskan
himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan
1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah
elemen dalam himpunan tersebut.

88. PENGANTAR DASAR MATEMATIKA
 DI SUSUN OLEH:
 Kelompok 3
 Hana Putri Kriscita (201013500023)
 Juni Triastuti (201013500007)
 Jasni (201013500030)
 Mursiti (201013500025)
 Melysa Natalia (201013500106)
 Muhammad Irwansyah Akbar (2010135000 )
 Durahi (2010135 )