Theorima morlay

1. Σωτήρης Ε. Λουρίδας
ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY – μία και … ακόμα μία διαπραγμάτευση.
1. Morley Frank (1860-1937). Σημαντικός Άγγλος Μαθηματικός που από το 1887 έζησε στην
Πενσυλβάνια. Δίδαξε στο Haverford College και στη συνέχεια έγινε πρόεδρος του Μαθηματικού
τμήματος στο Johns Hopkins University. Διετέλεσε πρόεδρος της Αμερικανικής Μαθηματικής
Εταιρείας. Διετέλεσε επίσης εκδότης και συντάκτης της Εφημερίδας Μαθηματικών της Αμερικής
(1900-1921). Τα κύρια πεδία που ασχολήθηκε ήταν η «Θεωρία των Λειτουργιών», η θεωρία
«τόνωσης όγκου» όπου έχουμε τον ρόλο των σύνθετων αριθμών στην Γεωμετρία και τη «Θεωρία
των Λειτουργιών». Έγινε διάσημος από το θεώρημα των τριχοτόμων (Trisector Theorem) του
Morley (αυτό που διαπραγματευόμαστε εδώ και που έγινε γνωστό το 1899). O Morley υπήρξε
δεινός διεθνής σκακιστής.
2. Τρίγωνο Morley ενός τριγώνου  είναι το τρίγωνο που έχει ως κορυφές τα σημεία τομής των
ζευγών των τριχοτόμων που είναι προσκείμενες σε κάθε πλευρά του τριγώνου  . Η ύπαρξη
βέβαια του τριγώνου Morley δεν σημαίνει ότι αυτό είναι κατασκευάσιμο γεωμετρικά, αφού ως
γνωστόν ενώ οι τριχοτόμοι μίας γωνίας υπάρχουν, η τριχοτόμηση γωνίας είναι εν γένει αδύνατη
με κανόνα και διαβήτη.
3. Τη διαπραγμάτευση αυτή του Θεωρήματος Morley που ακολουθεί άμεσα για πρώτη φορά αλλά
με υπόδειξη, ώστε να ασχοληθούν περαιτέρω οι μαθητές που ασχολούνται με τα διαγωνιστικά
μαθηματικά, την είχα παρουσιάσει στις σημειώσεις, «Σωτήρης Ε. Λουρίδας: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
(Θεωρία – Ασκήσεις) Κεφάλαιο Ι, Ε.Μ.Ε. Αθήνα 2002», αλλά μεταγενέστερα και στο βιβλίο,
«S.E.Louridas – M.T.Rassias: Problem – Solving and Selected Topics in Euclidean Geometry
από τις εκδόσεις Springer». Εδώ στον «ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β’» παρουσιάζεται πλήρως η συγκεκριμένη
αυτή απόδειξη του θεωρήματος Morley. Στη συνέχεια παραθέτουμε και μία άλλη
«προκύπτουσα» διαπραγμάτευση, από την σκέψη που βλέπουμε στην πρώτη απόδειξη.
4. Εκτός των άλλων από το θεώρημα αυτό και τις διαπραγματεύσεις του προκύπτουν σημαντικά
διδακτικά συμπεράσματα στο art of problems solving (Η τέχνη του να επιλύεις προβλήματα).
Θεώρημα Morley:
«Οι τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε σημεία που είναι κορυφές ισόπλευρου
τριγώνου»
Απόδειξη:

2. Σχ.1
Για την απόδειξη του θεωρήματος, αν πάρουμε ως βάση π.χ. τις τριχοτόμους
'
,  και
'
,  των
γωνιών , αντίστοιχα του τριγώνου , αρχικά θα τις χρησιμοποιήσουμε ως διχοτόμους των
αντίστοιχων γωνιών που δημιουργούνται, χρησιμοποιώντας την βασική ιδιότητα: Κάθε σημείο της
διχοτόμου γωνίας απέχει ίσες αποστάσεις από τις πλευρές της. Επομένως αν θεωρήσουμε
' ' '
1 1 1, ,        με  '
   και  '
    , προκύπτει
' ' '
1 1 12     . Έτσι το τρίγωνο '
1 1  είναι ισοσκελές με
'
1 1
2 2
2π π π
3 3
    
          
   
ή '
1 1 2 2 .
3 3
 
     Αντίστοιχες γωνίες είναι οι
2 2 , 2 2 .
3 3 3 3
   
  Αν υποθέσουμε
π
2 2
3 3 3
 
    και
π
2 2
3 3 3
 
    , και
π
2 2
3 3 3
 
    , τότε
4
4 4 4 π π π 4 3
3 3 3 3
  
          πράγμα άτοπο. Επομένως

3. τουλάχιστον μία εκ των 2 2 , 2 2
3 3 3 3
   
      και 2 2 ,
3 3
 
   θα είναι μεγαλύτερη του
π
.
3
Μπορούμε έτσι να θεωρήσουμε π.χ. '
1 1
π
2 2
3 3 3
 
      (θα μπορούσαμε με βάση ανάλογα
σκεπτικά, να θεωρήσουμε
π
2 2
3 3 3
 
    ή
π
2 2
3 3 3
 
    ), ώστε να «χωρέσει» εντός αυτής η
γωνία των
π
,
3
του προς απόδειξη ισόπλευρου τριγώνου ' ' '
.  Θεωρούμε λοιπόν
π
2 2
3 3 3
 
    ,
που είναι ισοδύναμη και με την
π
2
  , και τις τριχοτόμους
'
,  και
'
,  των γωνιών
,  αντίστοιχα του τριγώνου . Τότε έχουμε ' ' ' '
1 1 1 1 1
π
, 2
3
          και ότι
υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο ' ' '
  με
' '
,    (*), οπότε ορίζονται οι ίσες γωνίες
' ' ' '
1 1, ,      ως εξής:
'
1 1
' ' ' '
1 1
π
π3 .
2 3 3 6
   
 
         Εδώ άμεσα
παίρνουμε την ισότητα των τριγώνων ' ' ' '
1 1,   .Παρατηρούμε ότι
' ' ' ' ' ' ' '
1 1           και βέβαια ' ' '
1 1 1 .      Το τετράπλευρο ' '
1 1    είναι
ισοσκελές τραπέζιο που ως γνωστόν είναι εγγράψιμμο σε κύκλοc. Συμπεραίνουμε ότι
' ' '
1 1 1      και ' '
1 1 1 12 ,      με
'
' ' ' ' ' '1 1
1 1 1 1 1 1
π
2
  
             
 
'
1 1
2
π
3
2 3 6

  

   
       
 
 '
1 1
2 π
2
3 3
  
     . Έτσι
έχουμε ' '
1 1 1 1
2 1
3 3
             , ή '
1 1 π ,      από όπου προκύπτει ότι το
τετράπλευρο '
1 1   είναι εγγράψιμμο στον κύκλοc, άρα παίρνουμε  ' '
1 12 1 .   
Ομοίως έχουμε  ' '
1 12 2 .    Από τις σχέσεις   1 , 2 προκύπτει πλέον ότι
' ' ' '
1 1      δηλαδή ότι οι ημιευθείες
' '
,  είναι οι τριχοτόμοι της γωνίας .
Λόγω του ότι οι τριχοτόμοι γωνίας είναι μοναδικές, αποδείχτηκε πράγματι ότι:
Οι τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε σημεία που είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
(*) Θα αποδείξουμε εδώ στο Σχ.2 (που είναι αποσπασμένο κομμάτι του σχήματος1) την ύπαρξη του
ισόπλευρου τριγώνου ' ' '
  με
' '
W, W,    αν Wτο σημείο τομής των μεσοκαθέτων των
ευθύγραμμων τμημάτων '
1  και '
1,  που έχουν ως αντίστοιχα μέσα τα σημεία , . 
1ος
τρόπος:

4. Σχ.2
Κατασκευάζουμε με πλευρά '
 το ισόπλευρο τρίγωνο '
  και τον περιγεγραμμένο του κύκλοp που
τέμνει την μεσοκάθετη του '
1  στο σημείο . Παρατηρούμε άμεσα ότι
 ' ' ' '
, 3 .
3 3
 
        Ονομάζουμε '
 το σημείο τομής των ευθειών
, W  και θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλοc στο τρίγωνο ' '
 που τέμνει την W στο '
. Από
εδώ με βάση τη σχέση 3 παίρνουμε  ' ' ' '
4
3

      και  ' ' ' '
W= 5 .
3

      Από
τις σχέσεις   4 , 5 έχουμε ότι το τρίγωνο ' ' '
  είναι ισόπλευρο. Ο τρόπος αυτός αποδεικνύει την
ύπαρξη του ισόπλευρου τριγώνου ' ' '
  μέσω της γεωμετρικής του κατασκευής (κατασκευής δηλαδή με
κανόνα και διαβήτη). Δηλαδή εδώ έχουμε γεωμετρική κατασκευή και ύπαρξη του ισοπλεύρου τριγώνου
' ' '
  .
2ος
τρόπος: Θεωρούμε (Επανερχόμαστε στο Σχ.1) εντός της γωνίας '
1 1   δύο ημιευθείες
' '
,x y  ,
έτσι ώστε
'
1 1
' '
1 1
3
2 3 6
x y

  
  
        , τότε
' '
1 1
π π π π π
π
2 2 3 3 3 3
x y
  
            , οπότε οι
' '
,x y  τέμνουν τις W, PW στα
σημεία
' '
,  αντιστοίχως. Από τη ισότητα των ισοσκελών τριγώνων ' ' ' '
1 1,  , ως έχοντα ίσες
βάσεις και γωνίες βάσεων ίσες με
3 6
  
 , προκύπτει ' ' ' '
   και επειδή

5. ' ' ' ' '
1 1 1
π
2
3
x         το τρίγωνο ' ' '
 είναι ισόπλευρο. Ο τρόπος αυτός αποδεικνύει
την ύπαρξη μόνο και όχι την κατασκευή, του ισόπλευρου τριγώνου ' ' '
  .
Και μία άλλη «προκύπτουσα» συνθετική απόδειξη του θεωρήματος Morley.
«Καθοδηγούμενοι» από τη προηγούμενη διαδικασία επίλυσης και με βάση το σχήμα 1 εύκολα
βρίσκουμε ' '
1 1 1 1 1 1π 2γ α           . Έτσι προκύπτει και η συνθετική απόδειξη του
θεωρήματος Morley που ακολουθεί:
Απόδειξη:
Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ,     οπότε .
2

    Επίσης θεωρούμε
3β, =3α, =3γ.    Θα εργαστούμε στο σχήμα3που ακολουθεί:
Σχ.3

6. Έστω σημείο '
 της, τέτοιο ώστε
' '
Y 2γ α,    οπότε
' '
Y 2α γ.    Ο περιγεγραμμένος
κύκλοςc στο τρίγωνο '
Y τέμνει τις τριχοτόμους της γωνίας στα σημεία 1 1  και έτσι έχουμε
' '
1 1 1 1Y       και βέβαια ' ' ' '
1 1Y Y 2β.      Εργαζόμαστε ομοίως με βάση τη γωνία
και παίρνουμε το εγγεγραμμένο πεντάγωνο '
1 1 1 1,    με 1 1 2β γ    και 1 1 2γ β.   
Επίσης έχουμε εδώ '
1 1 1 1 1 1 2α.        Ισχύει ' '
1 1 1 1 1 1        , λόγω των τριχοτόμων της
γωνίας .Έστω '
 το σημείο τομής των τριχοτόμων προς την των γωνιών , .  Θεωρούμε εδώ
τα πεντάγωνα
' ' ' '
Y,   αντίστοιχα ομοιόθετα των πενταγώνων ' '
1 1Y   και '
1 1 1 1.   
Τότε παίρνουμε ' '
1Y = Y 2α 2β γ       και '
1 1 2α 2β γ        , άρα
' ' ' ' ' ' ' '
Y = 2α 2β γ Y               και
2π
Y 2α 2β 2γ
3
        που σημαίνει ότι   ' ' 'π π
Y , .
3 3
         Άρα το
τρίγωνο ' ' '
 είναι ισόπλευρο. Καταρχάς και επειδή
π
2
    , έχουμε εύκολα
' π
2β 2γ α
2
      και '
2α 2γ β .
2

     Εδώ θεωρούμε
' '
:     και
' '
: .     Τότε  ' ' ' π
=π 2 2 π 2 2α 2γ β π 2β
3
             
' ' ' ' ' '
2π           
   ' ' π π
2π 2β π 3α +α ... π 2γ 1
3 3
   
             
   
. Ομοίως παίρνουμε
 ' '
π 2 π π 2β 2γ α           ' π
π 4β 4γ 2α ... 2α
3
          
   ' ' π π
2π 2α π 3β β ... π 2γ 2 .
3 3
 
            
 
Από τις σχέσεις   1 , 2 προκύπτει ότι
το ' '
   είναι ισοσκελές τραπέζιο εγγράψιμμο σε κύκλοd . Παρατηρούμε ότι
 ' ' '
π =π π 2γ 2γ       και
'
'
γ
2

   ,άρα
' ' '
+ 3γ π          '
π     . Η τελευταία αυτή σχέση
μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το τετράπλευρο '
 είναι εγγράψιμμο στον κύκλοd , άρα τα σημεία
' '
, , , , ,     είναι σημεία του κύκλουd . Από αυτό έχουμε άμεσα ότι οι
' '
,  είναι τριχοτόμοι
της γωνίας .
Αποδείχτηκε και εδώ με την μέθοδο αυτή ότι πράγματι: Οι τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου
τέμνονται σε σημεία που είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
Διδακτικό συμπέρασμα: Όταν ασχολούμαστε με την επίλυση ενός Μαθηματικού θέματος, τότε είναι
υπαρκτό το ενδεχόμενο κάποιο κομμάτι (όχι αναγκαστικά γνήσιο) της ενασχόλησης αυτής, να
λειτουργήσει ως αναζήτηση ικανών συνθηκών που θα μας οδηγήσουν σε συνθετική λύση. Πιθανόν η
συνθετική λύση όταν παρουσιαστεί άμεσα να καθιστά δύσκολη την απάντηση στο ερώτημα: Πώς το
σκέφτηκες; Επομένως μάλλον είναι αναγκαία κάποια Ανάλυση πριν την όποια Λύση. Για παράδειγμα

7. στη επίλυση ενός προβλήματος Πρακτικής Αριθμητικής είναι απαραίτητο το «πακέτο»: Σκέψη-Λύση
κάτι που γινόταν «απαιτητικά» στα παλαιότερα Άριστα βιβλία της Πρακτικής Αριθμητικής.
Ας μας επιτραπεί εδώ να κάνουμε δύο αναφορές για ευρύτερη ενασχόληση με το θεώρημα Morley:
1. Στο βιβλίο «Γεωμετρικά Θέματα» του διακεκριμένου καθηγητή της τριτοβάθμιας
εκπαίδευσης και συγγραφέα κ. Μαραγκάκη Μανόλη, όπου εκει υπάρχουν σημαντικές
αποδείξεις του θεωρήματος Morley.
2. Στη διπλωματική εργασία «Με αφορμή το θεώρημα Morley» του κ. Πιτσά Κώστα, με
επιβλέποντα καθηγητή τον καθηγητή του Μαθηματικού τμήματος του Πανεπιστημίου
Αθηνών κ. Λάππα Διονύση.