.

1. § 3.2 Συστήματα
Γραμμικών εξισώσεων
Γ΄ Γυμνασίου
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
kgaveras@sch.gr

2. Γραμμική εξίσωση
Γραμμική ονομάζεται μία
εξίσωση αν είναι της
μορφής αx+βy=γ.
(α≠0 ή β ≠0)
Η γραφική παράσταση της
είναι μία ευθεία γραμμή.
Ειδικές περιπτώσεις:
ψ=κ (οριζοντια),
χ=κ (κατακόρυφη)
x
y΄
y
x΄ αx+βy=γ
ΘΥΜΑΜΑΙ…

3. Κατασκευή ευθείας 3x-2y=5
1. Κατασκευάζουμε τον
πίνακα τιμών.
2. Η εξίσωση είναι γραμμική,
άρα αρκούν δύο σημεία.
3.Τοποθετούμε τα σημεία
στο καρτεσιανό επίπεδο.
4. Ενώνουμε και
5. Προεκτείνουμε.
x
y΄
y
x΄
3x-2y=5
( )1,1 −
x
y
1
-1
3
2
( )2,3

4. Γραμμικό σύστημα
Γραμμικό σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους
ονομάζεται κάθε πρόταση της μορφής:
α1χ + β1ψ = γ1
α2χ + β2ψ = γ2
Η διαδικασία για την εύρεση των λύσεων
ονομάζεται επίλυση του συστήματος
Κάθε ζεύγος (χ , ψ) που επαληθεύει και τις δυο
εξισώσεις ονομάζεται λύση του συστήματος.

5. Τρόποι επίλυσης ενός
γραμμικού συστήματος
Υπάρχουν δυο τρόποι:
1. Γραφική επίλυση.
2. Αλγεβρική επίλυση.

6. 1. Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ
 Κατά την διαδικασία της γραφικής
επίλυσης ενός συστήματος θεωρούμε
κάθε εξίσωση του συστήματος σαν μια
ευθεία και άρα η λύση του συστήματος
προκύπτει από την σχετική θέση των
δυο ευθειών.

7. Ποια είναι η σχετική θέση
δύο ευθειών στο επίπεδο;
x
y΄
y
x΄
Μπορούν
να τέμνονται
ΘΥΜΑΜΑΙ…

8. Ποια είναι η σχετική θέση
δύο ευθειών στο επίπεδο;
x
y΄
y
x΄
Μπορούν
να είναι
παράλληλες

9. Ποια είναι η σχετική θέση
δύο ευθειών στο επίπεδο;
x
y΄
y
x΄
Μπορούν
να ταυτίζονται

10. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Ας το δούμε και αλλιώς….
 Ανοίξτε το αρχειο συστημα ευθειων.ggb
x
y
x΄
y΄

11. Σε ένα σύστημα τι έχουμε;
Οι ευθείες έχουν ένα
κοινό σημείο.
Μοναδική λύση του
συστήματος το
σημείο τομής των
ευθειών
x
y΄
y
x΄ x
y
y
x
Οι ευθείες δεν έχουν
κανένα κοινό σημείο.
Το σύστημα δεν έχει
καμμία λύση
Είναι αδύνατο
x
y
y
x
Έχουν άπειρα κοινά
σημεία
Το σύστημα έχει άπειρες
λύσεις.
Είναι αόριστο

12. Πως γίνεται στο χαρτί….
1.Κατασκευάζουμε τους
πίνακες τιμών
2. Τοποθετούμε τα
σημεία στο καρτεσιανό
επίπεδο
3. Βρίσκουμε τις ευθείες
και
4. Υπολογίζουμε το
σημείο τομής.
x
y
x΄
y΄
( )1,3

13. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2
Εφαρμογή…
 Να λύσετε στο φύλλο εργασίας το
σύστημα:
χ + 2ψ = 5
2χ - ψ = 3

14. Πως γίνεται με το geogebra….
 Ας δούμε την γραφική επίλυση του
συστήματος χ + 2ψ = 5
2χ - ψ = 3
 Ανοίξτε το αρχείο: συστημα ευθειων.ggb
και ρυθμίστε κατάλληλα τους συντελεστές
ώστε να λύσετε το σύστημα.

15. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3
α) Δίνεται το σύστημα:
χ – ψ = 1
2χ – ψ = 5
και τα σημεία (3 , 1), (2 ,4), (3 ,2) , (4,3)
Ποια από τα παραπάνω σημεία επαληθεύουν τις
εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε2 και ποια δεν τις
επαληθεύουν.
Ποια είναι η λύση του συστήματος;
(Συμπληρώστε τις απαντήσεις σας στο φύλλο εργασίας)

16. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 (συνέχεια)
β) Άνοιξε το αρχείο: συστημα ευθειων.ggb
και ρυθμίστε τους μεταβολεις στις τιμές:
α1=1 , β1=-1, γ1=1 και α2=2, β2=-1, γ2=5
Ποια είναι η λύση του συστήματος που
πρόεκυψε;

17. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4
α) Με την βοήθεια του λογισμικού
κατασκευάστε το σύστημα:
χ-3ψ = -2
2χ+5ψ=7
Τότε η λύση του είναι (….. , ……)
β) Ομοίως να κατασκευάστε και να λύσετε τα
συστήματα:
ι) -3χ+ψ = 1 ιι) 2χ-ψ = 3
6χ-2ψ = 0 -4χ+ψ = -6
Ποια είναι τα συμπεράσματα σας από την
διαδικασία που ακολουθήσατε

18. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 (συνέχεια)
γ) Κατασκευάστε συστήματα στα οποία
γ1 = 0 και γ2 = 0 ενώ στους άλλους
συντελεστές δώστε όποιες τιμές θέλετε.
(ομογενές σύστημα)
Ποιες παρατηρήσεις έχετε να κάνετε
για την λύση του συστήματος?

19. Ομογενές Σύστημα
Ομογενές λέγεται το σύστημα όταν οι
σταθεροί όροι είναι ίσοι με το 0.
Τότε το σύστημα έχει:
 Μοναδική λύση το Ο(0,0) ή
 Άπειρες λύσεις
Δεν μπορεί
να είναι
αδύνατο
Παράδειγμα
ομογενούς 2x2:
3x + 5y = 0
– 4 x + 2y =0

20. Στο επόμενο μάθημα θα γνωρίσουμε την
αλγεβρική λύση…
ΤΕΛΟΣ