http://e-taksh.blogspot.gr/2015/05/953.html# Μαθηματικά Ε΄ 9.53. ΄΄Ο κύκλος ΄΄

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 9 - Κεφάλαιο 53:
΄΄ Ο κύκλος ΄΄
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

2. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2
Φώτης Τουλιόπουλος

3. παιδείας σκέψεις
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3

4. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

5. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

6. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.6

7. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

8. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

9. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.9

10. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.10

11. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.11

12. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

13. ΜΠΑΣΚΕΤ
Υπολόγισε το μήκος του κύκλου .
 Κάνε κλικ στην μπασκέτα ή στον Κόουτς για να ξεκινήσει το κυρίως παιχνίδι. Δες τον
κύκλο και επίλεξε τη σωστή απάντηση από αυτές που σου δίνονται, υπολογίζοντας το
Μήκος του κύκλου .
 Εάν η επιλογή σου ήταν με την πρώτη προσπάθεια σωστή, μπορείς να ρίξεις τρεις
βολές. Αλλιώς, για κάθε λάθος αφαιρείται βολή. Πήγαινε στον παίχτη και, κρατώντας
πατημένο το κλικ (για να δώσεις δύναμη), άφησέ το ώστε να γίνει το σουτ.
c = μήκος κύκλου, r = ακτίνα d = διάμετρος π = 3,14
Πάτησε στην εικόνα
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.13

14. Δημιούργησε σχέδια με το κύκλο
Πάτησε στην εικόνα
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.14

15. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.15

16. Ο Κύκλος!
Ελένη Παρασκευοπούλου
Ο κύκλος είναι ένα σχήμα
ιδιαίτερο!
Για να το γνωρίσουμε
καλύτερα, ας δούμε τι μας
λέει το βιβλίο:
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.16

17. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.17

18. Τα παιδιά φτιάχνουν κύκλους
στο δάπεδο…
• Πως όμως μπορείς να
φτιάξεις έναν κύκλο;
• Τι είναι αυτό που
ονομάζουν ακτίνα του
κύκλου;
Ας δούμε πρώτα τι είναι
ακτίνα!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.18

19. Ακτίνα του κύκλου
Μα φυσικά, όπως όλοι
ξέρουμε, οι ρόδες του
ποδηλάτου έχουν ακτίνες…
Αυτό ακριβώς
εννοούμε όταν
λέμε ακτίνα στα
μαθηματικά!
Πάμε να το δούμε
πιο καθαρά και
να το ορίσουμε…
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.19

20. Η Ακτίνα!
Να μία απλή ρόδα:
Ακτίνα της ρόδας η του κύκλου
ονομάζουμε καθεμία από τις
γραμμές που ενώνουν το κέντρο
του κύκλου με το γύρω-γύρω του
κύκλου, η αλλιώς την περιφέρεια
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.20

21. Πιο σωστά…
• Ακτίνα ονομάζουμε
κάθε ευθύγραμμο
τμήμα που ενώνει το
κέντρο του κύκλου με
οποιοδήποτε σημείο της
περιφέρειας του κύκλου
Και η διάμετρος;….
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.21

22. Διάμετρος!!!
Και τι είναι αυτό που
ονομάζουμε ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ;
Διάμετρος κύκλου:
Είναι το ευθύγραμμο
τμήμα που ΠΕΡΝΑΕΙ από
το ΚΕΝΤΡΟ του κύκλου
και έχει τα άκρα του στην
περιφέρεια του κύκλου.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.22

23. Ποιες από τις παρακάτω
εικόνες δείχνουν διάμετρο;
Σωστά!!!!
Διάμετρο έχει
μόνο ο Α και ο Γ
κύκλος
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.23

24. • Αφού η διάμετρος μοιάζει
σαν δύο ακτίνες στη σειρά,
έχει πάντα διπλάσιο μήκος!
• Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα
3 εκατοστά, η διάμετρός
του θα είναι…
6 εκατοστά!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.24

25. Πως όμως μπορούμε να
μετρήσουμε το μήκος ενός
κύκλου;
• Και αν θέλω να ξέρω το
μήκος του κύκλου; Πόσα
δηλαδή εκατοστά η μέτρα
κτλ είναι ένας κύκλος αν
μετρήσω γύρω γύρω την
περιφέρειά του…
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.25

26. π.χ. 2 μέτρα
6 μ. και πάνω
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.26

27. Μήκος κύκλου:
• Αν θέλω να υπολογίσω το
μήκος ενός κύκλου χωρίς
να τον μετρήσω γύρω
γύρω με μια μεζούρα,
μπορώ να χρησιμοποιήσω
έναν αριθμό:…
Τον αριθμό π !!!
Ο αριθμός π είναι στην ουσία
ο αριθμός 3,14
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.27

28. Ο αριθμός π
• Όπως μας λέει το βιβλίο…
• Άρα μπορούμε να
χρησιμοποιήσουμε τον
αριθμό π για να βρούμε το
μήκος οποιουδήποτε
κύκλου!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.28

29. Υπολογίζω το μήκος του
κύκλου
• Το μήκος ενός κύκλου το βρίσκω
πάντα πολλαπλασιάζοντας τον
αριθμό π=3,14 με την διάμετρο του
κύκλου (ή δυο φορές την ακτίνα του!)
Μήκος κύκλου:
π x διάμετρος ή
Π x 2 x ακτίνα
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.29

30. Βρείτε το μήκος του κύκλου!
Μήκος κύκλου Α:
Θυμηθείτε…
π = 3,14
Μήκος κύκλου Β:
π x 2 x α =
3,14 x 2 x 4 εκ. =
3,14 x 8 = 25,12 εκ!
π x δ=
3,14 x 5 εκ. = 15,7 εκ!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.30

31. Τέλος!!!!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.31

32. Ο Κύκλος (20/04)
Τι είναι ο κύκλος ;
Κύκλος είναι το επίπεδο γεωμετρικό σχήμα του
οποίου τα σημεία απέχουν όλα εξίσου από ένα σημείο, το κέντρο του
κύκλου.
Πώς σχεδιάζουμε έναν κύκλο ;
Για να σχεδιάσουμε έναν κύκλο χρησιμοποιούμε τον διαβήτη. Στερεώνουμε
την ακίδα του διαβήτη σ ένα σημείο και με το άλλο σκέλος του που έχει το
μολύβι γράφουμε τον κύκλο.
Το σημείο στο οποίο στερεώσαμε τον διαβήτη είναι το κέντρο του κύκλου.
Έννοιες σχετικές με τον κύκλο
Ακτίνα : Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που αρχίζει από το κέντρο του κύκλου και
καταλήγει σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς του λέγεται ακτίνα.
Συνήθως ονομάζουμε την ακτίνα είτε
 με το κεφαλαίο γράμμα του κέντρου του κύκλου και το κεφαλαίο γράμμα
του σημείου της περιφέρειας στην οποία καταλήγγει π.χ. ακτίνα ΟΑ
είτε
 με ένα μικρό γράμμα π.χ. ακτίνα α
Αφού όλα τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου απέχουν εξίσου από το
κέντρο, όλες οι ακτίνες του ίδιου κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.32

33. Χορδή : Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της
περιφέρειας του κύκλου. Η χορδή ονομάζεται από τα κεφαλαία γράμματα
των σημείων της αρχής και του τέλους της.
Διάμετρος : Είναι η χορδή που περνάει από το κέντρο του
κύκλου. Η διάμετρος συνήθως συμβολίζεται με το με το μικρό γράμμα δ ή
με τα κεφαλαία γράμματα των άκρων της π.χ. διάμετρος ΑΒ.
Είναι ίση με 2 ακτίνες (δ = 2α)
Τόξο : Είναι ένα μέρος του κύκλου. Το τόξο ονομάζεται με ένα μικρό
γράμμα του αλαφαβήτου.
Κυκλικός Δίσκος : Είναι ο κύκλος μαζί με την επιφάνεια που περικλείει.
Τι είναι το μήκος του κύκλου ;
Μήκος του κύκλου λέμε αυτό που στα άλλα σχήματα το ονομάζουμε
περίμετρο.
Αν υποθέσουμε ότι θα μπορούσαμε να "ξετυλίξουμε" την περιφέρεια του
κύκλου και να τη μετατρέψουμε σε ευθύγραμμο τμήμα, το μέγεθός του θα
ήταν το μήκος του κύκλου.
Για να βρούμε το μήκος του κύκλου χρησιμοποιούμε το μήκος της
διαμέτρου και τον αριθμό π. Ο αριθμός π είνα το πηλίκο της διαίρεσης του
μήκους του κύκλου με τη διάμετρό του. Ο αρχαίος έλληνας μαθηματικός
Αρχιμήδης ανακάλυψε ότι διαιρώντας το μήκος κύκλου με τη διάμετρό του
το αποτέλεσμα είναι πάντα ίδιο. Ο ίδιος υπολόγισσε τον αριθμό π σε
3,1459265
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.33

34. Ο αριθμός π
Ο αριθμός π είναι ένας δεκαδικός χωρίς τέλος. Πριν από 2 χρόνια ο
Alexander Yee και ο Shigeru Kondo κατάφεραν να υπολογίσουν περίπου 5
τρισεκατομμύρια ψηφία του αριθμού π.
Για τους υπολογισμούς μας χρησιμοποιούμε μόνο 2 δεκαδικά ψηφία και
έτσι π = 3,14.
Μήκος κύκλου = διάμετρος Χ π
Πώς βρίσκουμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου το υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον
τύπο : Ε = π * ρ2
, ή Ε = π * ρ *ρ όπου π=3,14 και ρ = ακτίνα του κύκλου.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

35. Εγκύκλιος Παιδεία
Ο ΚΥΚΛΟΣ
Κύκλος λέγεται μια κλειστή καμπύλη γραμμή, όλα τα
σημεία της οποίας ισαπέχουν εξίσου από ένα σημείο (0)
που βρίσκεται στο εσωτερικό της (κέντρο κύκλου).
Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα (ΟΑ ή ΟΒ
ή ΟΓ) που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου
Διάμετρος λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΓ), που ενώνει
δυο σημεία του κύκλου και περνά από το κέντρο του(0)
Ο κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και διαμέτρους.
Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες και οι διάμετροι είναι ίσοι
μεταξύ τους.
Η διάμετρος είναι πάντα το διπλάσιο της ακτίνας.
Δηλ. δ = 2 . α ή α = δ : 2
Για να βρούμε το μήκος κύκλου(κ) πολλαπλασιάζουμε τη
διάμετρο (δ) επί 3,14 (είναι το πηλίκο που βγάζουμε πάντα,
αν διαιρέσουμε το μήκος του με τη διάμετρο σε κάθε κύκλο)
Δηλ. κ = δ . 3,14
Αναρτήθηκε από ΝΙΚΟΣ στις Τρίτη, Ιουνίου 09, 2009
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.35

36. Ταξίδι στη γνώση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κεφ 53 ( Ο Κύκλος )
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ – ΚΥΚΛΟΣ
Κύκλος λέγεται μια κλειστή καμπύλη γραμμή, όλα τα σημεία της
οποίας ισαπέχουν εξίσου από ένα σημείο (0) που βρίσκεται στο
εσωτερικό της (κέντρο κύκλου).
Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα (ΟΑ ή ΟΒ ή ΟΓ)
που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου
Διάμετρος λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΓ), που ενώνει δυο σημεία
του κύκλου και περνά από το κέντρο του(0)
Ο κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και διαμέτρους.
Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες και οι διάμετροι είναι ίσοι μεταξύ
τους.
Η διάμετρος είναι πάντα το διπλάσιο της ακτίνας.
Δηλ. δ = 2 . α ή α = δ : 2
Για να βρούμε το μήκος κύκλου(κ) πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρο (δ)
επί 3,14 (είναι το πηλίκο που βγάζουμε πάντα, αν διαιρέσουμε το
μήκος του με τη διάμετρο σε κάθε κύκλο)
Δηλ. κ = δ . 3,14
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.36

37. Βίντεο και διαδραστικό (μήκος κύκλου-κατανόηση):
ΚΛΙΚ
Η μπάλα στο καλάθι…
Είσαι δυνατός στο μπάσκετ; «Απόδειξέ το» παίζοντας στο επόμενο
παιχνίδι!
Υπολόγισε το σωστό μήκος του κύκλου και θα αποκτήσεις τη δυνατότητα
να ρίξεις τρεις βολές και να αυξήσεις το σκορ σου.
(το παιχνίδι είναι στα αγγλικά):
Το παιχνίδι μπορείς να το τελειώσεις όποτε επιθυμείς!
Και για να μαθαίνεις τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται σε όλο τον
πλανήτη, c = μήκος κύκλου, r = ακτίνα d = διάμετρος π = 3,14
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.37

38. κύκλος 28/5/2015
C:ARXEIOE TAKSH BLOGSPOT02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΕΝΟΤΗΤΑ 9Μαθηματικά Ε΄ 9.53. ΄΄Ο κύκλος
΄΄Κύκλος.doc
Α
Β
Γ
μαθαίνω καλά !!!
Κύκλος είναι η κλειστή καμπύλη γραμμή,
που όλα τα σημεία της απέχουν το ίδιο από το
κέντρο ( Ο).
Ακτίνα είναι το ευθύγραμμο τμήμα
(ΟΑ ή ΟΒ ή ΟΓ) που ενώνει το κέντρο με
ένα σημείο του κύκλου.
Διάμετρος είναι το ευθύγραμμο τμήμα
ΒΓ που ενώνει δύο σημεία του κύκλου και
περνά από το κέντρο Ο.
Ένας κύκλος έχει πάρα πολλές διαμέτρους και
ακτίνες. Οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους, το ίδιο και
οι διάμετροι.
Η διάμετρος είναι όσο δύο ακτίνες (δ = 2 x α)
Η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου (α = δ:2)
Το μήκος είναι κ = 3,14 x δ
Το 3,14 είναι το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του
κύκλου με τη διάμετρο. ΒΡΙΣΚΩ ΠΑΝΤΑ 3,14 !!
(Το συμβολίζουμε με το π )
Συμπληρώνω τους πίνακες:
Ακτίνα (α)
Διάμετρος (δ)
δ = 2 x α
Μήκος κύκλου
κ = δ x 3,14
Μήκος κύκλου/διάμετρος =π
Α 2 δ = 2 χ 2 = 4 κ = 4 χ 3,14 =12,56 12,56: 4 = 3,14
Β 4
Γ 5
manisiotistheodoros
Ακτίνα 2,9 6
διάμετρος 1,8
μήκος κύκλου 25,12
(α) ακτίνα = δ : 2
Ο
διάμετρος=2 x α
(δ) Διάμετρος = 2 x α
(π) μήκος κ =3,14 x δ
Γ
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.38

39. Μήκος κύκλου
Σε κάθε κύκλο διακρίνουμε τρία στοιχεία:
το κέντρο, την ακτίνα και τη διάμετρό του.
Το μήκος ενός κύκλου είναι λίγο μεγαλύτερο από το τριπλάσιο μή-
κος της διαμέτρου του.
● Από τα αρχαία χρόνια ο Αρχιμήδης παρατήρησε ότι αν διαιρέσου-
με το μήκος οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του, το πηλίκο εί-
ναι πάντοτε ο αριθμός 3,14. Αυτό το 3,14 το συμβολίζουμε με το γράμμα π.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.39

40. Το π είναι ένα διεθνές μαθηματικό σύμβολο και προέρχεται από το αρχικό γράμμα της
ελληνικής λέξης «περιφέρεια». Η ακριβής τιμή του περιλαμβάνει άπειρα δεκα-
δικά ψηφία, τα οποία δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά!
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι τα εξής:
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510
Τους τελευταίους αιώνες έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογι-
σμό όλο και περισσότερων ψηφίων. Μέχρι στιγμής έχουν βρεθεί περισσότερα από πέντε
τρισεκατομμύρια!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.40

41. Μερικά από αυτά τα ατέλειωτα δεκαδικά ψηφία έχουν μελοποιηθεί! Εμείς καμαρώ-
νουμε που τα σχολεία του κόσμου χρησιμοποιούν στη γεωμετρία ένα γράμμα του αλφαβήτου
μας και περιμένουμε το τραγούδι στα ελληνικά...
ΠΗΓΕΣ: Μαθηματικά Ε' τάξης, el.wikipedia.org | ΕΙΚΟΝΕΣ: Μαθηματικά
Ε' τάξης, wagle.joinsmsn.com, stavrochoros.pblogs.gr
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: Γεωμετρία, ειδικά τραγούδια
Επιμέλεια: δάσκαλος98
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.41

42. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
51
Μάθημα 47ο
Κύκλος
Κύκλο ονομάζουμε το σχήμα που όλα του τα σημεία ισαπέχουν από ένα σταθερό
σημείο. Το σταθερό σημείο ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η σταθερή απόσταση ακτίνα.
Ακτίνα του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο του κύκλου με ένα
σημείο της περιφέρειάς του. Κυκλικός δίσκος είναι όλα τα σημεία της επιφάνειας του
κύκλου. Τόξο ονομάζουμε το τμήμα του κύκλου που ορίζεται από δύο σημεία του. Χορδή
ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου. Διάμετρο
ονομάζουμε την χορδή του κύκλου που περνά από το κέντρο του.
Κατασκευή κύκλου
Για να σχεδιάσουμε έναν κύκλο κέντρου ( Ο ) και ακτίνας ( α ), χρησιμοποιούμε τον
διαβήτη. Τοποθετούμε τη μύτη του διαβήτη στο κέντρο ( Ο ), κανονίζουμε το άνοιγμά του
να είναι όσο η ακτίνα ( α ) και γράφουμε τον κύκλο.
ακτίνα του κύκλου : ΟΒ, ΟΓ
διάμετρος του κύκλου : ΒΓ
ΒΓ = ΒΟ + ΟΓ
α + α = δ, δ = 2 ● α, α = δ : 2
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.42

43. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
52
Μήκος κύκλου
Για να υπολογίσουμε το μήκος του κύκλου πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρο ( δ ) με
τον αριθμό 3,14 ( π ).
Μήκος κύκλου = π • δ ή
Μήκος κύκλου = π • ( 2 • α )
Εμβαδό κυκλικού δίσκου
Το εμβαδό του κυκλικού δίσκου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π επί το
τετράγωνο της ακτίνας του.
Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π • α2
ή
Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π • α • α
όπου π = 3,14 και α η ακτίνα του κυκλικού δίσκου
Ασκήσεις
1. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 3 εκατοστών.
2. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 4,5 εκατοστών.
3. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 3,5 εκατοστών. Κατόπιν να
σχεδιάσεις τη διάμετρό του ΑΒ.
4. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 5,5 εκατοστών. Κατόπιν να
σχεδιάσεις το τόξο του ΑΒ.
5. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 2,5 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος
του κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
6. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 3,5 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος
του κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
7. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 4,5 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος
του κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
8. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 3 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος του
κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
9. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 4 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος
του κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.43

44. 310
53. Ï êýêëïò
¢óêçóç á
¸÷ïõìå Ýíáí êýêëï Á1 ìå áêôßíá 2ì. êáé êÝíôñï Ê.
Á1: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Á1
Á2: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Á2
Ê
2 ì.
Ìå ôï ßäéï êÝíôñï Ê êáé áêôßíá ìåãáëýôåñç ôçò áñ÷éêÞò êáôá 1ì. ó÷çìáôßæïõìå êýêëï Á2 ìå Á = Á2 – Á1
óõìâïëßæïõìå ôçí äéáöïñÜ ôùí ìçêþí ôïõ êýêëïõ Á1, Á2. ¸÷ïõìå Ýíáí êýêëï Â1 ìå áêôßíá 4ì. êáé
êÝíôñï Ë.
Â1: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Â1
Â2: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Â2
Ìå ôï ßäéï êÝíôñï Ë êáé áêôßíá ìåãáëýôåñç ôçò áñ÷éêÞò êáôá 0,5ì. ó÷çìáôßæïõìå êýêëï Â2 ìå  = Â2 – Â1
óõìâïëßæïõìå ôçí äéáöïñÜ ôùí ìçêþí ôïõ êýêëïõ Â1, Â2.
á) Íá åêôéìÞóåôå áñ÷éêÜ ôçí ó÷Ýóç ôùí Á,Â
â) Íá õðïëïãßóåôå áêñéâþò ôá Á, êáé íá óõìðåñÜíåôå óå ðïéá áðï ôéò äýï ðåñéðôþóåéò åß÷áìå
ìåãáëýôåñç áýîçóç ôïõ ìÞêïõò.
Ë
4 ì.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.44

45. 311
Ï êýêëïò
ëýóç
á) ÌÜëëïí ðñÝðåé íá åßíáé  ìåãáëýôåñï ôïõ Á äéüôé óôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç ïé áêôßíåò åßíáé
ìåãáëýôåñåò.
â) Áðï ôéò áêôßíåò ôçò ðñþôçò ðåñßðôùóçò Ý÷ïõìå:
Ê
2 1
Ï êýêëïò Á1 Ý÷åé ìÞêïò Á1 = 3,14 ÷ 4 = Ð ÷ 4 = 4Ð = 12,56ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 2ì. êáé äéÜìåôñï 4ì.
Ï êýêëïò Á2 Ý÷åé ìÞêïò Á2 = 3,14 ÷ 6 = Ð ÷ 6 = 6Ð = 18,84ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 3ì. êáé äéÜìåôñï 6ì.
¢ñá Á = Á2 - Á1 = 6Ð - 4Ð = 18,84 - 12,56 = 6,28ì. = 2ðì.
¸÷ïõìå:
Ë
4 0,5
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.45

46. 312
Ï êýêëïò Â1 Ý÷åé ìÞêïò Â1 = 3,14 ÷ 8 = Ð ÷ 8 = 8Ð = 25,12ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 4ì. êáé äéÜìåôñï 8ì.
Ï êýêëïò Â2 Ý÷åé ìÞêïò Â2 = 3,14 ÷ 9 = Ð ÷ 9 = 9Ð = 28,26ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 4,5ì. êáé äéÜìåôñï 9ì.
¢ñá  = Â2 - Â1 = 9Ð - 8Ð = 28,26 - 25,12 = 3,14ì. = ðì.
Åßíáé ëïéðüí: Á = 6,28ì. êáé Â = 3,14ì.
Ìåãáëýôåñç áýîçóç ôïõ ìÞêïõò åß÷áìå óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ïðïõ áõîÞóáìå ôçí áêôßíá 2ì.
êáôá 1ì. óå áíôßèåóç ìå ôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç ðïõ áõîÞóáìå ôçí áêôßíá 4ì. êáé 0,5ì.
Ï êýêëïò
¢óêçóç â
Áíôéóôïé÷ßæù ôïõò êýêëïõò óôï ìÞêïò ôïõò.
2 åê.
4 åê.
3 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 18,84 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 12,56 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 25,12 åê.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.46

47. 313
2 åê.
4 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 18,84 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 12,56 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 25,12 åê.
Ï êýêëïò
äéüôé ãéá ôï êýêëï ìå á = 2 åê. ÌÞêïò êýêëïõ = 2 ÷ ð ÷ á = (2 ÷ 3,14 ÷ 2) åê. = 12,56 åê.
ãéá ôï êýêëï ìå á = 3 åê. ÌÞêïò êýêëïõ = 2 ÷ ð ÷ á = (2 ÷ 3,14 ÷ 3) åê. = 18,84 åê.
ãéá ôï êýêëï ìå á = 4 åê. ÌÞêïò êýêëïõ = 2 ÷ ð ÷ á = (2 ÷ 3,14 ÷ 4) åê. = 25,12 åê.
3 åê.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.47

48. 314
Ï êýêëïò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 22
• ¸÷åé áêôßíá 2 åê.
• ¸÷åé äéÜìåôñï 3 åê.
• ¸÷åé áêôßíá 1,5 åê.
• ¸÷åé äéÜìåôñï 5 åê.
• ¸÷åé áêôßíá 1 åê.
• ¸÷åé äéÜìåôñï 2 åê.
• ¸÷åé áêôßíá 2,5 åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 22 • • •
••
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.48

49. 315
Ï êýêëïò
¢óêçóç ã
¸íá êëåéóôü ãÞðåäï ôïõ ìðÜóêåô Ý÷åé ó÷åäéáóôåß Ýôóé þóôå
ìå ôéò êåñêßäåò íá ó÷çìáôßæåôáé Ýíáò êýêëïò ìå äéÜìåôñï
90 ìÝôñá.
Ðüóï åßíáé ôï ìÞêïò ôïõ åîùôåñéêïý ìÝñïõò ôïõ óôá-
äßïõ;
• Ôï ìéêñüôåñï ìÞêïò åßíáé 7ì. üìùò óôçí ðëåõñÜ áõôÞ äåí
õðÜñ÷ïõí ëïõëïýäéá.
¢ñá ôï ìÞêïò ìðïñåß íá åßíáé 9ì.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 23
ëýóç
Ãíùñßæù üôé:
ÌÞêïò êýêëïõ = ð ÷ ä =
= (3,14 ÷ 90) ìÝôñá = 282,6 ìÝôñá
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.49

50. 316
¢óêçóç ä
ÐáñáôçñÞóôå ðñïóåêôéêÜ ôï ó÷Þìá.
(Óçìåßùóç, ïé áðïóôÜóåéò åßíáé óå
äåêÜäåò ÷éëéüìåôñá ð.÷. 2 = 20 ÷éëéï-
ìåôñá, 1 = 10 ÷éëéüìåôñá), êáé ó÷ç-
ìáôßóôå ìå äéáêåêïììÝíåò ãñáììÝò ôï
õðüëïéðïôùíêýêëùíðïõõðÜñ÷ïõí
óôï ó÷Þìá êáé ðñïóäéïñßóôå ôéò áêôß-
íåò ôïõò.
Ôñåéò ðïäçëÜôåò ÐÁ, ÐÂ, Ðà îåêéíïýí
ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ áðï ôá óç-
ìåßá Á,Â,à áíôßóôïé÷á, êéíïýìåíç ìå
ôçí ßäéá éëéããéþäç ôá÷ýôçôá óôéò êõ-
êëéêÝò äéáäñïìÝò ÁÔ, ÂÔ, ÃÔ.
á) Íá âñåßôå ðïéïò áðü ôïõò ðïäçëÜ-
ôåòÐÁ,ÐÂ,ÐÃèáöôÜóåéðñþôïòóôï
êïéíü ôÝñìá ôùí äéáäñïìþí äçë.
óôï óçìåßï Ô êáé ðïéüò èá äéáíýóåé
ôçí ìéêñüôåñç áðüóôáóç;´
â) Áí ï ðïäçëÜôçò ÐÁ îåêßíçóå óôéò
12:08 ôï ìåóçìÝñé êáé Ýöèáóå óôï
ôÝñìá Ô óôéò 12:27, ðüôå ðñÝðåé íá
îåêéíÞóåé Þ ðñÝðåé íá Ý÷åé îåêéíÞ-
óåé áðï ôï óçìåßï Ä Ýíáò Üëëïò
ðïäçëÜôçò ÐÄ ùóôå êéíïýìåíïò
óôçí êõêëéêÞ äéáäñïìÞ ÄÔ, ìå
ôá÷ýôçôá ßäéá ìå áõôÞí ôùí õðïëïßðùí ðïäçëÜôùí, íá öôÜóåé óôï ôÝñìá (óçìåßï Ô) ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ
óôéãìÞ ìå ôïí ðïäçëÜôç д;
Ï êýêëïò
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.50

51. 317
ëýóç
Ï êýêëïò
Ãíùñßæïõìå üôé ï Áñ÷éìÞäçò
ðáñáôÞñçóå êáé áðüäåéîå üôé
“áí äéáéñÝóïõìå ôï ìÞêïò ïð-
ïéïõäÞðïôå êýêëïõ ìå ôçí äéÜ-
ìåôñü ôïõ ôï ðçëßêï åßíáé ï
áñéèìüò 3,14 ðïõ óõìâïëßæåôáé
ìå ôï ãñÜììá Ð äçë. Ð = 3,14”
¸÷ïõìå ëïéðüí ìÞêïò êýêëïõ:
äéÜìåôñï = 3,14 = Ð. ïðüôå åßíáé
ìÞêïò êýêëïõ
=
3,14 ÷ äéÜìåôñï
á) Ï êýêëïò ÁÔ Ý÷åé áêôßíá 1
êáé äéÜìåôñï 2. ¢ñá ôï ìÞ-
êïò ôïõ åßíáé 3,14 ÷ 2 = 6,28
äåê.÷éëéïìåôñá.
Ôï ìÞêïò üìùò ôçò äéáäñï-
ìÞò ôïõ ðïäçëÜôç åßíáé ôï
ìéóü ôïõ ðáñáêÜôù ìÞêïõò,
äçë. 6,28 : 2 = Ð = 3,14 äåê.
÷éëéüìåôñá.
Ï êýêëïò ÂÔ Ý÷åé áêôßíá 2
êáé äéÜìåôñï 4
¢ñá ôï ìÞêïò ôïõ åßíáé:
3,14 ÷ 4 = 12,56 äåê ÷éëéüìåôñá
Ôï ìÞêïò üìùò ôçò äéáäñïìÞò ôïõ ðïäçëÜôç åßíáé ôï ìéóü ôïõ ðáñáðÜíù ìÞêïõò, äçë.
12,56 : 4 = Ð = 3,14 äåê ÷éëéüìåôñá.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.51

52. 318
Ï êýêëïò ÃÔ Ý÷åé áêôßíá 1 êáé äéÜìåôñï 2 ïðüôå üðùò êáé óôï êýêëï ÁÔ ç äéáäñïìÞ ôïõ ðïäçëÜ-
ôç Ðà åßíáé: Ð = 3,14 äåê ÷éëéüìåôñá.
Ðáñáôçñïýìå üôé ïé áðïóôÜóåéò ðïõ Ý÷ïõí íá êáëýøïõí ïé ôñåßò ðïäçëÜôåò ÐÁ, ÐÂ, Ðà åßíáé ßóåò
êáé åßíáé 3,14 äåê ÷éëéüìåôñá äçë. 31,4 ÷éëéüìåôñá = 31400 ìÝôñá.
ÅðåéäÞ êéíïýíôáé ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá èá öôÜóïõí óõã÷ñüíùò óôï óçìåßï Ô.
â) Âñßóêïõìå ôçí äéáäñïìÞ ðïõ ðñÝðåé íá äéáíýóåé ï ðïäçëÜôçò ÐÄ ðïõ êéíåßôáé óôçí êõêëéêÞ
äéáäñïìÞ ÄÔ.
Ï êýêëïò ÄÔ Ý÷åé áêôßíá 4 êáé äéÜìåôñï 8. ¢ñá ôï ìÞêïò ôïõ åßíáé 3,14 ÷ 8 = 25,12 äåê. ÷éëéüìåôñá.
Ôï ìÞêïò üìùò ôçò äéáäñïìÞò ôïõ ðïäçëÜôç ÐÄ åßíáé ôï ìéóü ôïõ ðáñáêÜôù ìÞêïõò,
äçë. 25,12 : 2 = 12,56 äåê. ÷éëéüìåôñá = 4Ð äåê. ÷éëéüìåôñá.
Ç áðüóôáóç ðïõ ðñÝðåé íá äéáíÞóåé ï ðïäçëÜôçò ÐÄ åßíáé ôåôñáðëÜóéá ôçò äéáäñïìÞò ôùí
õðïëïßðùí êáé ãéá íá öôÜóåé ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ìå ôïí ðïäçëÜôç ÐÂ, ï ïðïßïò Ýêáíå ôïí
ßäéï ÷ñüíï ìå ôïí ðïäçëÜôç ÐÄ äçë. 19 ëåðôÜ, ÷ñåéÜæåôáé 4 ÷ 19 = 76 ëåðôÜ ðñéí ôéò 12:27
Äçë. ðñÝðåé íá îåêéíÞóåé óôéò 11:11 áöïõ
12:27 - 00:76 = 11,51 (ðåñßåñãï áðïôÝëåóìá)
11:87 - 00:76 = 11,11
Ï êýêëïò
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.52

53. 319
Ï êýêëïò
• Ï êüêêéíïò êýêëïò èá ÷ñåéáóôåß ãéá íá æùãñáöéóôåß 12 þñåò.
Ï ðñÜóéíïò êýêëïò èá ÷ñåéáóôåß ãéá íá æùãñáöéóôåß 1 þñá.
• Ï ðñÜóéíïò.
• Ï ðñÜóéíïò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 23
• Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ôåôñáãþíïõ åßíáé ßóç ìå 4 äéáìÝôñïõò = Üñá 4 · ä
(ä: äéÜìåôñïò)
Ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ åßíáé ð · ä = 3,14 · ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 23
• Ôï ôåôñÜãùíï èá Ý÷åé ìåãáëýôåñç ðåñßìåôñï, áöïý 4 · ä > 3,14 · ä
Ãíùñßæù üôé ï ìéêñüò äåßêôçò ìïõ äåß÷íåé ôéò þñåò êáé ï ìåãÜ-
ëïò ôá ëåðôÜ Üñá,
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.53

54. 320
54. ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
• Ç ðåñßìåôñïò åßíáé: 6+6+6=18åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 24
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 24
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.54

55. 321
ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B
B’
Á’
Ã’
¢óêçóç á
Ôï ôñßãùíï ìå êïñõöÝò óôéò óõíôåôáãìÝíåò Á (1,1)  (5,1) êáé à (3,4) ôï ìåôáôïðßæù 3
èÝóåéò äåîéÜ êáé 2 èÝóåéò ðÜíù.
Ó÷åäéÜæù ôï ôñßãùíï óôçí êáéíïýñãéá ôïõ èÝóç.
ëýóç
Ôï óçìåßï Á (1,1) ìåôáêéíåßôáé 3 èÝóåéò äåîéÜ êáé 2 ðÜíù êáé ãßíåôáé Á’ (1+3,1+2) äçëáäÞ Á’ (4,3).
Ôï óçìåßï  (5,1) ìåôáêéíåßôáé 3 èÝóåéò äåîéÜ êáé 2 ðÜíù êáé ãßíåôáé Â’ (5+3,1+2) äçëáäÞ Â’ (8,3).
Ïìïßùò ôï óçìåßï Ã’ (3,4) ìåôáêéíåßôáé êáé ãßíåôáé Ã’ (3+3,4+2) äçëáäÞ Ã’ (6,6)
ÁðÜíôçóç: Ôï ôñßãùíï Á,Â,à åßíáé ôï íÝï ôñßãùíï ìå êïñõöÝò ôá óçìåßá Á’ (4,3), Â’ (8,3) êáé Ã’ (6,8)
Ã
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.55

56. 322
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 25
ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
• ÌåôáöÝñù êÜèå óçìåßï 2 ôåôñÜãùíá äåîéÜ êáé 3 åðÜíù.
Ôá íÝá óçìåßá åßíáé Á = (3, 4),  = (6, 4), à = (6, 7) êáé Ä = (3, 7).
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 24
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.56

57. 323
ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
¢óêçóç â
ÊáôáóêåõÜæù ïñèïãþíéï éóïóêåëÝò ôñßãùíï ÁÂà åôóé þóôå Á = ÁÃ. ÖÝñíù ôçí äéÜìåóï ÁÄ ôçò ÂÃ.
ÖôéÜ÷íù êýêëï ìå êÝíôñï ôï Ä êáé áêôßíá ÁÄ.
ëýóç
ÊáôáóêåõÜæïõìå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ðïõ åßíáé êáé éóïóêåëÝò, áöïý Á = ÁÃ. ÖÝñíù ôçí äéÜìåóï
ÁÄ óôçí õðïôåßíïõóá ÂÃ. ÅðïìÝíùò ôï Ä åßíáé ôï ìÝóï ôçò ÂÃ, Üñá ÃÄ = ÂÄ. ÖôéÜ÷íù êýêëï ìå
êÝíôñï ôï Ä êáé áêôßíá ôï ÁÄ. Ðáñáôçñïýìå üôé ï êýêëïò áõôüò èá äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Á,Â,Ã
ðïõ åßíáé ïé êïñõöÝò ôïõ ïñèïãùíßïõ êáé éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ.
Á Â
Ã
Ä
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.57

58. 324
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 25
ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
3.
2.
1.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.58