M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ

1
Ρυθμός μεταβολής
Γ΄ Λυκείου
(Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής)
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
§2.4 Μαθηματικά
Προσανατολισμού: Θετικών
Σπουδών και Σπουδών
Οικονομίας και Πληροφορικής
lisari.blogspot@gmail.com
http://lisari.blogspot.com
Σχολικό έτος: 2015 - 16
Περιεχόμενα
1. Θεωρία
2. Μεθοδολογία
3. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις
4. Λυμένες όλες οι σχολικές ασκήσεις
5. Άλυτες ασκήσεις

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών
http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου
(A) Θεωρία
Ορισμός
Αν δύο μεγέθη x και y συνδέονται με τη σχέση y = f(x) και f είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0, τότε
ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x στο x0 την παράγωγο f΄(x0).
Παρατηρήσεις
1) Όταν ζητούμε τον ρυθμό μεταβολής μιας μεταβλητής y ως προς την t, η t είναι η μεταβλητή παραγώγισης
έστω και αν αυτή είναι συνάρτηση.
2) Όταν δίνουν ένα μέγεθος y και αναφέρουν ότι:
α) αν αυξάνεται σταθερά κατά κ μονάδες /sec, τότε ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς t σε κάθε t0 είναι :
y΄(to) = κ
β) αν μειώνεται σταθερά κ μονάδες /sec, είναι ομοίως: y΄(to) = -κ.
3) Αν ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός σημαίνει «τάση» για αύξηση, ενώ αν είναι αρνητικός σημαίνει
«τάση» για ελάττωση.
4) Οι μονάδες του ρυθμού μεταβολής είναι το πηλίκο των μονάδων μέτρησης του μεγέθους y προς τις μονάδες
του μεγέθους x.
Παραδείγματα
 Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και υποθέτουμε ότι S = S(t) είναι η
τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t. H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική
στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.
Ο ρυθμός μεταβολής της θέσης S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή to είναι η παράγωγος της S ως προς το
χρόνο t τη χρονική στιγμή to. Η παράγωγος S'(to) λέγεται στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή
0t και συμβολίζεται με u t0
( ). Είναι δηλαδή
0 0S (t ) u(t ) 
Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή to είναι η παράγωγος u’(to), της
ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή to. Η παράγωγος u'(to) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη
χρονική στιγμή to και συμβολίζεται με α(to). Είναι δηλαδή
o o oα(t ) u'(t ) S''(t ) 

Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της
ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος 0Κ (x ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του
κόστους Κ ως προς την ποσότητα x, όταν 0x x και λέγεται οριακό κόστος στο xo.
Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο xo και οριακό κέρδος στο xo.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟΝ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
Στα προβλήματα του ρυθμού μεταβολής ακολουθούμε συνήθως τα εξής βήματα:
Βήμα 1ο
: Αναλύουμε τα δεδομένα και ζητούμενα της άσκησης. Πολύ βασικό να ξεχωρίσουμε ποιες είναι οι
συναρτήσεις και ποια είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.
Βήμα 2ο
: Εφόσον χρειάζεται και δεν δίνεται, κάνουμε σχήμα ανάλογα από τα δεδομένα της άσκησης
Βήμα 3ο
: Συλλέγουμε όσες περισσότερες πληροφορίες μπορούμε από το σχήμα, ή από τους τύπους, σχέσεις,
θεωρήματα που συνδέονται με την άσκηση.
Εφαρμόζουμε πολλές φορές τα εξής:
 Ομοιότητα τριγώνων
 Νόμος ημιτόνων ή συνημιτόνων
 Τριγωνομετρικοί τύποι
 Τύποι Φυσικής
 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων
 Όγκοι στερεών
Βήμα 4ο
: Συνδυάζουμε όλες τις σχέσεις που πήραμε για να προκύψει το ζητούμενο μέγεθος ƒ και σημειώνουμε
τα μεγέθη από τι εξαρτώνται (π.χ χρόνος, θερμοκρασία…)
Βήμα 5ο
: Παραγωγίζουμε την ζητούμενη σχέση που περιέχει το ƒ(χ) κατά μέλη. Η παραγώγιση θα είναι
συνήθως μεταξύ σύνθετων συναρτήσεων (πχ.         f x t f x t x t
    )
Βήμα 6ο
: Κάνουμε επίλυση στο τέλος ως προς τον ρυθμό μεταβολής που αναζητούσαμε
Παρατήρηση: Σε προβλήματα που οι μεταβολές εξαρτώνται από το χρόνο και δίνονται κάποια στοιχεία που
ισχύουν κάποια χρονική στιγμή to τότε, πρώτα παραγωγίζουμε την ζητούμενη σχέση και μετά αντικαθιστούμε
όπου t = to και υπολογίζουμε τον ρυθμό μεταβολής τη χρονική στιγμή to
Υπενθυμίζουμε: Μερικοί γνωστοί και χρήσιμοι τύποι της Φυσικής είναι:
u(t) x'(t) και a(t) u'(t) x''(t) 
Επίσης πρέπει να τονίσουμε και τα εξής:
i. Όταν μια συνάρτηση αυξάνεται ο ρυθμός της μεταβολής (παράγωγος) είναι θετικός αριθμός (+)

ii. Όταν μια συνάρτηση μειώνεται ο ρυθμός της μεταβολής (παράγωγος) είναι αρνητικός (-)
iii. Μέση τιμή μιας συνάρτησης είναι το πηλίκο o
0
f(x) f(x )
x x


ενώ οριακή τιμή το πηλίκο
0 0
h 0
f(x h) f(x )
lim
h
 
Άλυτα Παραδείγματα
Παράδειγμα 1
Αν y(t) , x(t) είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει x2
(t) + y2
(t) = 1 , να βρεθεί ο ρυθμός
μεταβολής dy/dx.
Αν είναι γνωστό ότι x = ασυνt και y = αημt, α > 0 , να βρεθεί το dy/dx .
Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2
- 2x , και όταν βρίσκεται στο σημείο
(2,0) το x αυξάνεται με ρυθμό dx/dt = 3cm/sec . Να βρεθεί το dy/dt και να ερμηνευθεί το αποτέλεσμα . Μετά να
βρεθεί σε ποια θέση οι δύο ρυθμοί μεταβολής είναι ίσοι .
Το ύψος του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο ανεβαίνει με ρυθμό 10/π cm/sec. Αν η ακτίνα της βάσης του
δοχείου είναι 80cm , να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνει ο όγκος του νερού .
Παράδειγμα 5 (Θέμα εξετάσεων)
Δίνεται η ορθή γωνία xOy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10m του οποίου τα άκρα Α και Β
ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy ,Ox αντίστοιχα . Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα U = 2m/sec και
η θέση του πάνω στον άξονα Οx δίνεται από τη συνάρτηση s(t)=U(t) ,όπου t ο χρόνος σε sec, 0 < t < 5 .
1. Να βρεθεί το εμβαδόν E(t) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου.
2. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E(t) τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος ΟΑ
είναι 6m .
Έστω E(α),το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) = x3
, τον
άξονα y´y και την ευθεία y = a ,a > 0 . Αν η ευθεία αυτή κινείται κάθετα στον y΄y κατά τη θετική φορά αυτού (
δηλ. το a τείνει στο άπειρο ) και με ταχύτητα 4m/sec , να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E(α), όταν
α = 27 .

Ένα σημείο Α κινείται στον ημιάξονα ΟΧ με ταχύτητα u=2m/sec. Αν Β(0,10) να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής
της γωνίας ΟΒΑ = u ως προς το χρόνο , κατά την χρονική στιγμή που το Α βρίσκεται στο σημείο (20,0) .
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex
,και τα σημεία Α , Β της γραφικής της παράστασης στις θέσεις με τετμημένες
αντίστοιχα x , x+1 .
1. Να προσδιορισθεί το x < 0 , ώστε το εμβαδόν E(x) του τριγώνου ΑΟΒ όπου Ο(0,0) να γίνεται μέγιστο και να
βρεθεί το lim E(x) ( όταν x τείνει στο άπειρο ).
2. Αν το x μειώνεται με ταχύτητα 2cm/sec , να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου
ΟΑΒ τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι x=-4 .
Ένα μπαλόνι ανεβαίνει κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα 1m/sec. Ένα αυτοκίνητο περνά κάτω από το μπαλόνι
όταν αυτό βρίσκεται σε ύψος 39m και κινείται κατά μήκος ενός ίσιου δρόμου με σταθερή ταχύτητα u=30m/sec.
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης αυτοκινήτου μπαλονιού στο πρώτο δευτερόλεπτο της κίνησης.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ο όγκος V ενός μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνει με ρυθμό 100cm3
/sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνει η ακτίνα του
r τη χρονική στιγμή που αυτή είναι ίση με 9cm;
Προσδιορίζουμε και συμβολίζουμε όλα τα
μεταβλητά μεγέθη συναρτήσει της
ανεξάρτητης μεταβλητής (συνήθως) t και
συμβολίζουμε t0 το κρίσιμο σημείο στο οποίο
ζητάμε τον ρυθμό μεταβολής
Έστω V(t) ο όγκος του μπαλονιού την χρονική στιγμή
t, ενώ η ακτίνα του είναι r(t).
Έστω t0 η χρονική στιγμή που μας ενδιαφέρει, οπότε
r(t0) = 9cm ενώ ο όγκος του είναι V(t0).
O ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι r΄(t0).
Δίνονται: V΄(t) = 100cm3
/sec, r (t0) = 9cm.
Βρίσκουμε την εξίσωση
που συνδέει τις παραπάνω μεταβλητές V(t) = 4
/3 π r3
(t) (1)
Παραγωγίζουμε τα μέλη της εξίσωσης (1) και
βρίσκουμε εξίσωση (2) για t = t0.
V´(t)=4π r2
(t) r΄(t)
οπότε για t = t0 έχουμε
V΄(t0)=4π r2
(t0) r´(t0) (2)
Υπολογίζουμε τις τιμές των μεταβλητών και
βρίσκουμε τον ρυθμό μεταβολής
αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2)
Αντικαθιστώντας στη (2) έχουμε
100cm3
/sec=4π (9cm)2
r΄(t0)
25cm3
/sec=81π cm2
r΄(t0)
r´(t0)=
25
81π
cm/sec

Ρυθμός μεταβολής – Άλυτες Ασκήσεις
1. Μια ευθεία κινείται γύρω από το σημείο Κ(1,2) και τέμνει τον θετικό ημιάξονα Οχ σ’ ένα σημείο Α. Αν το
σημείο Α κινείται με σταθερή ταχύτητα 2 cm/sec,να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ =ΟΚΑ ως προς το
χρόνο t κατά τη χρονική στιγμή t0 που το σημείο Α βρίσκεται στη θέση Α0(5/3, 0).
2. Ένα σημείο κινείται πάνω στον κύκλο χ2
+ ψ2
= 6 με σταθερή ταχύτητα 2cm/sec ξεκινώντας από το σημείο
Α( 6 ,0). Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους της χορδής ΑΒ ως προς το χρόνο t κατά τη χρονική
στιγμή t0 που η γωνία θ=(ΟΑ,ΟΒ) είναι ίση με π/3.
3. Η ακτίνα ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο r(t) = 3 - t, t[0,3], r σε m και t σε sec. Να βρείτε τον ρυθμό
μεταβολής του εμβαδού και του μήκους του ως προς το χρόνο t.
4. Δύο σημεία Α, Β κινούνται στους ημιάξονες Οχ, Οψ αντίστοιχα ξεκινώντας ταυτόχρονα από το σημείο Ο
με ταχύτητες υΑ=20 m/sec, υB=15 m/sec. Να βρεθούν:
Α) ο ρυθμός μεταβολής της μεταξύ τους απόστασης 6sec αργότερα.
Β) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ την ίδια χρονική στιγμή.
5. Ένα σημείο M κινείται πάνω στην υπερβολή με εξίσωση 3χ2
-ψ2
=12. Η ταχύτητα της τεταγμένης του είναι
6 m/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του τη χρονική στιγμή t0 που είναι χ = 4cm.
6. Αντλούμε νερό από μια δεξαμενή σχήματος κώνου με ακτίνα βάσης 5m και βάθους 12m με σταθερό
ρυθμό μεταβολής 5 m3
/η Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του βάθους του νερού, όταν η γενέτειρα του κώνου
που σχηματίζει το νερό της δεξαμενής είναι 6m.
7. Ένας προβολέας βρίσκεται σε ύψος 15m ψηλότερα από το έδαφος. Ένας άνθρωπος που έχει ύψος 1,8m
απομακρύνεται από το σημείο που βρίσκεται κάτω από τον προβολέα με ταχύτητα 6m/sec. Αν ο προβολέας
είναι γυρισμένος πάνω του, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς του ανθρώπου.
8. Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό π cm3
/sec.
i) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας της σφαίρας ως προς τον χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 που η
ακτίνα της είναι r = 1/4 cm.
ii) Ποια είναι η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της είναι 2
cm2
/sec.
9. Δύο πουλιά Α και Β πετούν στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο σε ευθύγραμμες οριζόντιες τροχιές με
υψομετρική διαφορά 3m έχοντας μέση σταθερή ταχύτητα υ = 10m/sec και με αντίθετη φορά. Κατά τη χρονική

στιγμή μηδέν τα πουλιά βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Πόσο θα απέχουν τα πουλιά , όταν ο ρυθμός
μεταβολής της απόστασής τους είναι 10;
10. Χρωματιστό υγρό πέφτει σε ρούχο και απλώνεται σχηματίζοντας κυκλική κηλίδα της οπoίας το εμβαδό
αυξάνει με ρυθμό μεταβολής 5cm2
/min. Nα βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας κατά τη χρονική στιγμή
κατά την οπoία το εμβαδό της κηλίδας είναι 36π cm2
.
11. Αν ένα σημείο Α(χ(t),y(t)) κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης 35
y x
3
 και την
χρονική στιγμή to διέρχεται από το σημείο με τετμημένη -1m και η ταχύτητα της τετμημένης πάνω στον άξονα
των χ είναι 5 m/sec ενώ η επιτάχυνσή του είναι 1m/sec2
τότε βρείτε:
i. Την τεταγμένη του σημείου την χρονική στιγμή to
ii. Την ταχύτητα της τεταγμένης την χρονική στιγμή to
iii. Την επιτάχυνση της τεταγμένης την χρονική στιγμή to
(Σημείωση: Ακολουθούν λυμένες οι σχολικές ασκήσεις από το site http://www.netsuccess.gr/ στην παράγραφο
«2.4: Ρυθμός μεταβολής», για περισσότερη εξάσκηση)

§2.4 / Λυμένες οι ασκήσεις σχολικού βιβλίου
σελίδας 243 – 245
A΄ Ομάδα
1. Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει . Η ακτίνα της , που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον
τύπο r = 4 – 2
t , όπου t ο χρόνος σε sec . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V
της μπάλας , όταν t = 1 sec . (Θυμηθείτε ότι Ε = 4π 2
r και V =
4
3
π 3
r )
Λύση
1. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.
2. r = r(t) η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα .
Ε = Ε(t) η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια .
V = V(t) η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο
3 Δίνεται r(t) = 4 – 2
t
Θέλουμε να βρούμε τους ρυθμούς μεταβολής Ε΄(1) , V΄(1)
4. Ε(t) = 4π .[r(t) 2
] = 4π .(4 – 2
t 2
)  Ε΄(t) = 4π .2(4 – 2
t ).(4 – 2
t )΄
= 8π (4 – 2
t ).(–2t)
= –16π (4 – 2
t ) t
Άρα Ε΄(1) = –16π (4 – 2
1 ) .1 = – 48π c 2
m /sec
V(t) =
4
3
π [r(t) 3
] =
4
3
π .(4 – 2
t 3
)  V΄(t) =
4
3
π 3.(4 – 2
t 2
) . (4 – 2
t )΄
= 4π .(4 – 2
t 2
) .(–2t)
= – 8π. (4 – 2
t 2
) t
Άρα V΄(1) = – 8π (4 – 2
1 2
) .1 = – 8π. 2
3 = –72π c 3
m /sec

2. Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό 100 c 3
m /sec . Με ποιο ρυθμό
αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή 0t , που αυτή είναι ίση με 9 cm;
Λύση
2. r = r(t) η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα
3. Δίνεται V΄(t) = 100 c 3
m /sec
Θέλουμε να βρούμε τη ρυθμό μεταβολής r΄( 0t )
4. V(t) =
4
3
π [r(t) 3
]  V΄(t) =
4
3
π 3 [r(t) 2
] . r΄(t)
100 = 4π [r(t) 2
] . r΄(t)
Για t = 0t θα είναι
100 = 4π [r( 0t ) 2
] . r΄( 0t ) δηλ. 100 = 4π 2
9 r΄( 0t ) άρα 25 = 81 π r΄( 0t ) οπότε r΄( 0t ) =
25
81π
3. Το κόστος παραγωγής Κ(x) και η τιμή πώλησης Π(x) , x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται
από τις συναρτήσεις Κ(x) =
1
3
3
x – 20 2
x + 600x + 1000 και Π(x) = 420x αντιστοίχως . Να βρείτε πότε ο
ρυθμός μεταβολής του κέρδους Ρ(x) = Π(x) – Κ(x) είναι θετικός.
Λύση
Ρ(x) = Π(x) – Κ(x)  Ρ(x) = 420x – (
1
3
3
x – 20 2
x + 600x + 1000)
 Ρ(x) = 420x –
1
3
3
x + 20 2
x – 600x – 1000)
 Ρ(x) = –
1
3
3
x + 20 2
x – 180x – 1000)
 Ρ΄(x) = – 2
x + 40x – 180
Ρίζες του τριωνύμου x =
40 880
2
 

=
40 2 220
2
 

= 20 220
άρα Ρ΄(x) > 0  20 – 220 < x < 20 + 220

βορράς
ανατολή
d
Π2
Π1
Λ
4. Δύο πλοία 1Π και 2Π αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ .
Το πλοίο 1Π κινείται ανατολικά με ταχύτητα 15 km /h και το 2Π
βόρεια με ταχύτητα 20 km /h.
i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των 1Π και 2Π
ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = ( 1Π 2Π ) των δύο πλοίων
αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, τον οποίο και να προσδιορίσετε.
Λύση
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση του 1Π
y = y(t) η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση του 2Π
d = d(t) η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση ( 1Π 2Π )
3. Δίνεται x΄(t) = 15 και y΄(t) = 20
Θέλουμε να βρούμε τις i) x(t) και y(t)
ii) d΄(t)
i) Από τη Φυσική έχουμε x(t) = 15t και y(t) = 20t
ii) Με το Πυθαγόρειο έχουμε [d(t) 2
] = [x(t) 2
] + [y(t) 2
]
= (15t 2
) + (20t 2
)
= 225 2
t + 400 2
t
= 625 2
t
Άρα d(t) = 25t  d΄(t) = 25 km /h.
5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y =
1
4
2
x , x  0 .
Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό
μεταβολής της τεταγμένης του y , αν υποτεθεί ότι x΄(t) > 0 για κάθε t  0 .
Λύση
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη του Μ
y = y(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τεταγμένη του Μ
3. Δίνεται x΄(t) > 0

Θέλουμε να βρούμε το σημείο 0Μ ( x( 0t ) , y( 0t )) , όπου x΄( 0t ) = y΄( 0t )
4. y =
1
4
2
x  y(t) =
1
4
[x(t) 2
]
 y΄(t) =
1
4
2 x(t) x΄(t)
Άρα και y΄( 0t ) =
1
2
x( 0t ) x΄( 0t ) (1)
x΄( 0t ) = y΄( 0t )
(1)
 x΄( 0t ) =
1
2
x( 0t ) x΄( 0t )
 1 =
1
2
x( 0t )
 x( 0t ) = 2
Αλλά y( 0t ) =
1
4
[x( 0t ) 2
]  y( 0t ) =
1
4
2
2 = 1
Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το 0Μ (2 , 1)
Β΄ Ομάδα
1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10 c 2
m /sec , να βρείτε το ρυθμό με το οποίο αυξάνεται ο
όγκος αυτής , όταν r = 85 cm .
Λύση
2. r = r(t) η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα
Ε = Ε(t) η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια .
3 Δίνεται Ε΄(t) = 10 και r( 0t ) = 85
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής V΄( 0t )
4. Είναι Ε(t) = 4π .[r(t) 2
]  Ε΄(t) = 4π .2 r(t). r΄(t)
 10 = 8π r(t). r΄(t)
 10 = 8π r( 0t ). r΄( 0t )

 10 = 8π .85. r΄( 0t )
 r΄( 0t ) =
10
8π. 85
Είναι V(t) =
4
3
π [r(t) 3
]  V΄(t) =
4
3
π 3[r(t) 2
] r΄(t)
 V΄( 0t ) = 4 π [r( 0t ) 2
] r΄( 0t )
 V΄( 0t ) = 4 π. 2
85
10
8π. 85
 V΄( 0t ) = 4 π. 2
85
10
8π. 85
 V΄( 0t ) = 425 c 3
m /sec
2. Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0 , 0), Α(x , 0), Β(0 , lnx) με x > 1.
Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm/sec , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν x = 5 cm.
Λύση
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει το x
Τ = Τ(t) η συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ
3 Δίνεται x΄(t) = 4 και x( 0t ) = 5
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής T΄( 0t )
4. Τ(t) =
1
2
(ΟΑ) (ΟΒ) =
1
2
x. lnx =
1
2
x(t).ln(x(t)) 
Τ΄(t) =
1
2
[ x΄(t).ln(x(t)) + x(t)
1
x(t)
x΄(t) ]
Τ΄( 0t ) =
1
2
[ x΄( 0t ).ln(x( 0t )) + x΄( 0t ) ]
Τ΄( 0t ) =
1
2
[4. ln5 + 4] =
1
2
4 (ln5 + 1) = 2(ln5 + 1) c 2
m /sec
3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με
ταχύτητα 3 m/sec . Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y .
Λύση

x
y
5 m
20 m Κ
A B
Λ
Γ
θ
h
100 m
Π Σ
A
450
100 m
100 m
Π Σ
A
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει την απομάκρυνση (ΑΚ) (Κ το κουτί)
y = y(t) η συνάρτηση που εκφράζει την ανύψωση (ΛΚ)
3 Δίνεται x΄(t) = 3
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής y΄(t)
4. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΛΚ , ΑΒΓ
παίρνουμε
y
5
=
x
20
 4y = x  4 y(t) = x(t)
4 y΄(t) = x΄(t)
4 y΄(t) = 3
y΄(t) =
3
4
m/sec
4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100 m, από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 50
m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την
οποία το μπαλόνι βρίσκεται σε ύψος 100m;
Λύση
2. h = h(t) η συνάρτηση που εκφράζει την ανύψωση του αερόστατου .
θ = θ(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τη μεταβολή της γωνίας θ.
3 Δίνεται h΄(t) = 50 και h( 0t ) = 100
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής θ΄( 0t )
4. Είναι εφθ =
h
(ΠΣ)
 εφθ(t) =
1
100
h(t)
 (εφθ(t))΄=
1
100
h΄(t)
 2
1
συν θ(t)
θ΄(t) =
1
100
. 50
 θ΄(t) =
1
2
2
συν θ(t)
 θ΄( 0t ) =
1
2
2
συν θ( 0t ) (1)

x
8
s
1,6
Κ
Ο
ΣΠ
Φ
Κατά τη χρονική στιγμή 0t , είναι (ΠΣ) = (ΣΑ) = 100, άρα θ( 0t ) = 45ο
(1)  θ΄( 0t ) =
1
2
2
2
2
 
  
 
=
1
2
.
2
4
=
1
4
rad/min
5. Μια γυναίκα ύψους 1,60 m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8 m με ταχύτητα 0,8
m/sec. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της;
Λύση
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει την απομάκρυνση (ΟΠ)
s = s(t) η συνάρτηση που εκφράζει τον ίσκιο της γυναίκας
3 Δίνεται x΄(t) = 0,8
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής s΄(t)
4. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΣΠΚ , ΣΟΦ παίρνουμε
s
s x
=
1,6
8


s
s x
= 0,2
 s = 0,2 (s + x)
 s = 0,2 s + 0,2x
 s(t) = 0,2 s(t) + 0,2 x(t)
 0,8 s(t) = 0,2 x(t)
 0,8 s΄(t) = 0,2 x΄(t)
 0,8 s΄(t) = 0,2 . 0,8
 s΄(t) = 0,2 m/sec
6. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = – 31
x
3
, x  0 πλησιάζοντας την ακτή και ο
προβολέας του φωτίζει κατ’ ευθείαν εμπρός (σχήμα) . Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του
περιπολικού δίνεται από τον τύπο α΄(t) = – α(t), να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου
Μ της ακτής , στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει
τετμημένη –3 .
Λύση

x
y
Α α , -
α3
3 
ακτή
h1 x  =
-1
3 x3
Β ΟΜ
2. α = α(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη του Α
μ = μ(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη του Μ
3. Δίνεται α΄(t) = – α(t) και α( 0t ) = –3
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής μ΄( 0t )
4. Έστω f (x) = – 31
x
3
, x  0
Η εξίσωση της εφαπτομένης ΑΜ στο σημείο Α 31
α , α
3
 
 
 
, α < 0 της fC είναι
y – f (α) = f (α) (x – α) αλλά f (x) = – 2
x άρα f (α) = – 2
α
Οπότε ΑΜ : y +
1
3
3
α = – 2
α (x – α)
y +
1
3
3
α = – 2
α x + 3
α
y = – 2
α x +
2
3
3
α
Για y = 0 παίρνουμε 0 = – 2
α x +
2
3
3
α  0 = –3 2
α x + 2 3
α
 3 2
α x = 2 3
α
 x =
2
3
α , άρα Μ
2
α, 0
3
 
 
 
Επομένως μ =
2
3
α  μ(t) =
2
3
α(t)
 μ΄(t) =
2
3
α΄(t)
 μ΄( 0t ) =
2
3
α΄( 0t ) =
2
3
[- α( 0t )] = –
2
3
(–3) = 2
7. Μια σκάλα μήκους 3 m είναι τοποθετημένη σ΄ έναν τοίχο . Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει στο
δάπεδο με ρυθμό 0,1 m/sec .Τη χρονική στιγμή 0t , που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο 2,5 m ,
να βρείτε :

x
y
θ
3 m
O
B
A
i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ
ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.
Λύση
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει το μήκος του τμήματος ΟΒ
y = y(t) η συνάρτηση που εκφράζει το μήκος του τμήματος ΟΒ
θ = θ(t) η συνάρτηση που εκφράζει τη γωνία θ
3. Δίνεται x΄(t) = 0,1 και y( 0t ) = 2,5
Θέλουμε να βρούμε i) το ρυθμό μεταβολής θ΄( 0t )
ii) το ρυθμό μεταβολής y΄( 0t )
4. Είναι x = 3 συνθ  x(t) = 3συνθ(t)
 x΄(t) = (3συνθ(t))΄
 x΄(t) = 3(–ημθ(t)). θ΄(t)
 0,1 = –3ημθ(t). θ΄(t)
 0,1 = –3ημθ( 0t ). θ΄( 0t ) (1)
Αλλά , κατά τη χρονική στιγμή 0t είναι ημθ( 0t ) = 0y(t )
3
=
2,5
3
οπότε η σχέση (1) γίνεται:
0,1 = –3
2,5
3
θ΄( 0t )  0,1 = – 2,5 θ΄( 0t ) θ΄( 0t ) = –
1
25
Είναι [x(t) 2
] + [y(t) 2
] = 2
3  ( [x(t) 2
] + [y(t) 2
] )΄= 0
 2 x(t) x΄(t) + 2 y(t) y΄(t) = 0
 x(t) x΄(t) + y(t) y΄(t) = 0
 x( 0t ) x΄( 0t ) + y( 0t ) y΄( 0t ) = 0 (2)
Όμως, [x( 0t ) 2
] + [2,5 2
] = 9
 [x( 0t ) 2
] + 6,25 = 9
 [x( 0t ) 2
] = 2,75
 x( 0t ) = 2,75
Λόγω της σχέσης (2) έχουμε,

2,75 . 0,1. + 2,5 y΄( 0t ) = 0 
2,5 y΄( 0t ) = – 0,1 2,75
 y΄( 0t ) =
2,75
25
8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση 2
x + 2
y = 1. Καθώς περνάει από το σημείο
Α
1 3
,
2 2
 
  
 
, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες το δευτερόλεπτο . Να βρείτε το ρυθμό
μεταβολής της τετμημένης x τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α .
Λύση
2. x = x(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη x
y = y(t) η συνάρτηση που εκφράζει την τεταγμένη y
0t η χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α
3. Δίνεται x( 0t ) =
1
2
, y( 0t ) =
3
2
, y΄( 0t ) = -3
Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής x΄( 0t )
4. 2
x + 2
y = 1  [x(t) 2
] + [y(t) 2
] = 2
1
 ( [x(t) 2
] + [y(t) 2
] )΄= 0
 2 x(t) x΄(t) + 2 y(t) y΄(t) = 0
 x(t) x΄(t) + y(t) y΄(t) = 0
 x( 0t ) x΄( 0t ) + y( 0t ) y΄( 0t ) = 0

1
2
x΄( 0t ) +
3
2
.(-3) = 0
 x΄( 0t ) = 3 3 μονάδες/sec

M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ

Similar to M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ (20)

More from Christos Loizos

More from Christos Loizos (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ