Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.com

1. Επιμέλεια ασκήσεων: Μάκης Χατζόπουλος
1ο
ΓΕΛ Πετρούπολης
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Εργασία στη διάταξη πραγματικών αριθμών
Βασική άσκηση 1η
Έστω αRκαι *
ν,μ  N . Να δείξετε ότι:
α) Αν α 1 τότε ν μ
ν μ α α 1   
β) Αν 0 α 1  τότε ν μ
ν μ α α 1   
Λύση
α) Ευθύ
Ισχύει ν μ ν μ 0    , όπου *
ν μ N τότε
 
μν α 0
ν μ ν μ ν μ
μ
α
α 1 α 1 1 α α 1
α

 
      
Επίσης
 ν 1
ν μ
μ
α 1
α 1 α α 1
α 1
 
    

Αντίστροφο
Έστω ν μ
α α 1  , θα δείξουμε ότι: ν μ
 Αν ν μ τότε ν μ
α α , απορρίπτεται αφού ν μ
α α
 Αν ν μ τότε από το ευθύ έχουμε ν μ
α α απορρίπτεται αφού ν μ
α α
β) Ευθύ
Ισχύει ν μ ν μ 0    , όπου *
ν μ N τότε
 
μν α 0
ν μ ν μ ν μ
μ
α
0 α 1 α 1 1 α α 2
α

 
       
Επίσης
 ν 2
ν μ
μ
α 1
α 1 α α 1
α 1
 
    

Αντίστροφο
Έστω ν μ
α α 1  , θα δείξουμε ότι: ν μ
 Αν ν μ τότε ν μ
α α , απορρίπτεται αφού ν μ
α α
 Αν ν μ τότε από το ευθύ έχουμε ν μ
α α απορρίπτεται αφού ν μ
α α

2. Εφαρμογή 1η
Έστω x  R . Να διατάξετε τους αριθμούς 11880 11888 11821
x , 1 , x , x στις παρακάτω
περιπτώσεις:
α) Αν 0 x 1 
β) Αν x 1
Υπενθυμίζουμε τις παγκόσμιες σταθερές:
11880: «Το μόνο που θυμάμαι…»
11888: «Ο Super αριθμός»
11821: «Αριθμός επανάσταση»
Λύση
Γνωρίζουμε ότι,
11821 11880 11888 
α) Αν 0 x 1  τότε από την βασική άσκηση 1β έχουμε
11821 11880 11888
11821 11880 11888 1 x x x     
β) Αν x 1 τότε από την βασική άσκηση 1α έχουμε
11821 11880 11888
11821 11880 11888 1 x x x     
Εφαρμογή 2η
Να αποδείξετε ότι: 100 100 100
4 3 7 
Λύση
Αρκεί να αποδείξουμε,

3. 100 100 100100 100 100:7
100 100 100
100 100 100
4 3 7 4 3
4 3 7 1
7 77 7 7
   
          
   
Όμως,
4
0 1
7
  και ν 100 μ 1   άρα από βασική άσκηση 1β έχουμε
 
100 1
4 4
1
7 7
   
   
   
Όμως,
3
0 1
7
  και ν 100 μ 1   άρα από βασική άσκηση 1β έχουμε
 
100 1
3 3
2
7 7
   
   
   
Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2)
100 100 100 100
100 100 1004 3 4 3 4 3
1 4 3 7
7 7 7 7 7 7
       
               
       
Εφαρμογή 3η
Να συγκρίνετε τους αριθμούς 160 120
2 και 3
Λύση
Γνωρίζουμε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και ν θετικό ακέραιο ισχύει
ν ν
α β α β  
Έστω
   
4 3
2 ,3 040 40160 120 4 3 4 3
2 3 2 3 2 3 16 27

      
που δεν ισχύει, άρα 160 120
2 3 .