2. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Σύνολα 1
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 1
(Y) Πνευµατικές Υποχρεώσεις: 2003 Παπαδηµητρίου Χ. Γεώργιος
Καραϊσκάκη 1, Αντίρριο, ΤΚ 30020
Επιτρέπεται κάθε αντιγραφή µερική ή ολική και µε οποιοδήποτε τρόπο, ηλεκτρονικό, µηχανικό ή χειρόγραφο, καθώς
και για οποιοδήποτε σκοπό.
Το παρόν γραπτό κείµενο και οι εικόνες που περιέχει είναι τελείως ελεύθερα προς κάθε χρήση από τον δηµιουργό τους
(ακόµα και για χρήση µε την οποία ο δηµιουργός ιδεολογικά διαφωνεί) µε την µοναδική προϋπόθεση της µη χρήσης
του παρόντος ή µέρους αυτού για δηµιουργία κειµένου (ή γενικά έργου) µε πνευµατικά δικαιώµατα τα οποία θα στρα-
φούν αργότερα κατά της ελεύθερης διάθεσης και διακίνησης του παρόντος πονήµατος ή των βελτιώσεων και παραγώ-
γων αυτού. Αν συµβεί αυτό, ο συγγραφέας θεωρεί ότι έγινε κακή χρήση του δικαιώµατος της ελευθερίας που παρέχει
και µπορεί να ασκήσει τα ηθικά και νόµιµα δικαιώµατά του.
Ο συγγραφέας δεν εγγυάται απόλυτα την ορθότητα των µαθηµατικών τύπων του παρόντος
και δεν είναι υπεύθυνος για οτιδήποτε προκύψει από τη χρήση τους ☺
Σχόλια, προτάσεις, βελτιώσεις, υποδείξεις για σφάλµατα γίνονται ευχαρίστως δεκτά στις διευθύνσεις:
gpapadem@gmail.com
jorgepap@hotmail.gr
4. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Σύνολα 3
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 3
1 Αριθµοί
1.1 Σύνολα
Σύνολο ονοµάζεται µία συλογή καλώς ορισµένων και διακριµµένων αντικειµένων, της διαίσθησής µας ή της
διάνοιάς µας, που µπορούν να εκλειφθούν ως ολότητα. Αυτά ονοµάζονται στοιχεία του συνόλου.
11..11..11 ΥΥ̟̟οοσσύύννοολλαα
Ένα σύνολο Β είναι υ̟οσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ ⇒ xΑ. Σηµειώνουµε Β⊂Α
Ένα σύνολο Β είναι γνήσιο υ̟οσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ ⇒ xΑ και ∃ yΑ : y ∉ Β. Σηµειώνουµε Β⊆Α
Ένα α̟ειροσύνολο είναι ένα σύνολο αν είναι ισοδύναµο µε ένα υποσύνολό του. Το απειροσύνολο έχει άπειρα
στοιχεία.
11..11..11..11 ΆΆλλγγεεββρραα υυπποοσσυυννόόλλωωνν ττοουυ BBoooollee
Έστω ένα σύνολο και Α, Β υποσύνολά του. Τότε συµβολίζουµε τις πράξεις:
(1) Ένωση των Α και Β: Α∪Β = {x / xΑ ή xΒ}
(2) Τοµή των Α και Β: Α∩Β = {x / xΑ και xΒ}
(3) Συµπλήρωµα του Α: A = {x / x∉Α}
Βασικοί Νόµοι της Αλγεβρας Boole
(1) Α∩(Β∩Γ)=(Α∩Β)∩Γ Προσεταιριστικότητα
(2) Α∪(Β∪Γ)=(Α∪Β)∪Γ
(3) Α∪Β=Β∪Γ Αντιµεταθετικοί Νόµοι
(4) Α∩Β=Β∩Α
(5) Α∪(Β∩Γ)=(Α∪Β)∩(Α∪Γ) Αντιµεταθετικοί Νόµοι
(6) Α∩(Β∪Γ)=(Α∩Β)∪(Α∩Γ)
(7) A B A B∪ = ∩ Νόµοι του De Morgan
(8) A B A B∩ = ∪
(9) A∪A=A Νόµοι Αυτοδυναµίας
(10) A∩A=A
11..11..22 ∆∆υυννααµµοοσσύύννοολλοο
Έστω σύνολο Α µε 10 στοιχεία. Το σύνολο των υποσυνόλων του έχει 210
στοιχεία και ονοµάζεται δυναµοσύ-
νολο του Α. Συµβολίζεται µε 2Α
. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου (πεπερασµένου ή απειροσυνόλου) δεν είναι
ποτέ ισοδύναµο µε το αρχικό σύνολο. Πάντα περιέχει περισσότερα στοιχεία (Cantor)
11..11..33 ΠΠλληηθθάάρριιθθµµοοιι
Ένα σύνολο είναι αριθµήσιµο αν είναι ισοδύναµο (δηλαδή υπάρχει 1-1 και επί αντιστοιχία) µε το σύνολο των
φυσικών αριθµών ∞.
Το µη-αριθµήσιµο σύνολο δεν µπορεί να µπει σε 1-1 και επί αντιστοιχία µε το σύνολο ∞.
Πληθάριθµος ενός συνόλου είναι ο αριθµός των στοιχείων του. Ο πληθάριθµος του συνόλου ∞ είναι άπειρος
συµβολίζεται µε ℵ0 και ονοµάζεται ‘άλεφ µηδέν’. (Άλεφ από το φοινικικό πρώτο γράµµα, το δικό µας άλ-
φα).
Το σύνολο των ρητών ⁄ είναι αριθµήσιµο σύνολο άρα έχει πληθάριθµο ℵ0
Το σύνολο ϒ των πραγµατικών είναι µη-αριθµήσιµο σύνολο και ο πληθάριθµός του συνβολίζεται c kai είναι
µεγαλύτερος από αυτόν του συνόλου ∞. To c και ονοµάζεται ‘δύναµη του συνεχούς’. Ο Cantor έδειξε ότι
0
2ℵ
=c, δηλαδή ο πληθάριθµος των πραγµατικών ισούται µε το πλήθος των υποσυνόλων του ∞.
Ακόµα ο Cantor απέδειξε ότι υπάρχουν σύνολα µε περισσότερα στοιχεία από το σύνολο ϒ, δηλαδή τα άπει-
ρα ℵ1, ℵ2, ℵ3…
Υ̟όθεση του Συνεχούς του Cantor: c= 0
2ℵ
=ℵ1 H υπόθεση του συνεχούς δεν είναι δυνατό να αποδειχθεί
ή να απορριφθεί αλλά αποδείχθηκε ότι είναι ένα ανεξάρτητο αξίωµα, όπως το 5ο
αίτηµα του Ευκλείδη.
11..11..44 ΤΤαα σσύύννοολλαα ττωωνν ααρριιθθµµώώνν
Ν : σύνολο των Φυσικών αριθµών (Natural) {0, 1, 2, 3, …}
5. 4 Προτεραιότητα των ̟ράξεων Μαθηµατικό Τυπολόγιο
4 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
Z : σύνολο των Ακεραίων αριθµών {…, -2, -1, 0, +1, +2, …}
Q: σύνολο των Ρητών αριθµών (Rational) {
κ
λ
/ κ, λ ∈ ′}
Ι : σύνολο των Άρρητων αριθµών (Irrational)
{x ∈ Ι / x δεν µπορεί να γραφεί ως κλάσµα
κ
λ
µε κ, λ ∈ ′}
πχ 2 , 3 , e=2,718…, π=3,1415927…
(οι αριθµοί x ∈ Ι έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν είναι περιοδικά)
R : σύνολο των Πραγµατικών αριθµών (Real) {x ∈ ϒ / x∈⁄ ή x∈Ι}
C : σύνολο των Μιγαδικών αριθµών (Complex) {z ∈ ≤ / z=x+iy µε x,y ∈ϒ και i² = - 1}
Ισχύει N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C αλλά και Ι ⊂ R
1.2 Προτεραιότητα των πράξεων
Α. Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις
∆υνάµεις → Ρίζες → Πολλαπλασιασµοί → ∆ιαιρέσεις → προσθέσεις αφαιρέσεις
Β. Όταν υπάρχουν παρενθέσεις
Ισχύει η ίδια προτεραιότητα των πράξεων αλλά αρχίζοντας από τις πιο εσωτερικές παρενθέσεις και συνε-
χίζοντας προς τις εξωτερικές
1.3 Πρώτοι αριθμοί (Prime numbers)
Πρώτοι είναι οι αριθµοί που διαιρούνται µόνο µε τον εαυτό τους και την µονάδα. Π.χ. 1, 2, 3, 7, 13, …
Το πλήθος των πρώτων αριθµών είναι άπειρο, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης.
Αν ένας αριθµός δεν είναι πρώτος τότε λέγεται σύνθετος.
1.4 Χρυσός αριθμός
Αν αναζητήσουµε ένα εσωτερικό σηµείο Γ σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ τέτοιο ώστε
AB
ΑΓ
=
AΓ
ΓΒ
τότε ο
λόγος φ=
AΓ
ΓΒ
ονοµάζεται λόγος της χρυσής τοµής ή χρυσός αριθµός. Αποδεικνύεται εύκολα ότι φ=
5 1
2
+
και σε δεκαδική προσέγγιση: φ=1,6180339887498948482… Ο αριθµός φ είναι και το όριο ν → ∞ του λό-
γου δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci: ƒ(1)=1, ƒ(2)=1, ƒ(3)=ƒ(1)+ƒ(2) και γενικά
ƒ(ν)=ƒ(ν-2)+ƒ(ν-1)
1.5 Ευκλείδεια διαίρεση
Για κάθε φυσικούς αριθµούς ∆ (∆ιαιρεταίος) και δ (διαιρέτης) υπάρχουν φυσικοί αριθµοί π (πηλίκο) και υ
(υπόλοιπο), µε 0 ≤ υ < δ, τέτοιοι ώστε ∆=πδ+υ
Όταν υ=0 η διάιρεση λέγεται τέλεια
1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθμοί
Αρτιος είναι ο αριθµός που διαιρείται µε το 2 άρα είναι της µορφής α=2ν. Ζα={0, ±2, ±4, ±6…}
Περιττός είναι αυτός που δεν διαιρείται µε το 2, άρα αφήνει υπόλοιπο 1. Είναι της µορφής β=2ν+1. Το σύ-
νολό τους είναι Ζπ={±1, ±3, ±5…}
1.7 Διαιρετότητα
Ένας αριθµός διαιρείται µε το
2 : αν είναι άρτιος (ζυγός), δηλαδή αν λήγει σε 0, 2, 4, 6, 8
3 : αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3
4 : αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι τα 00 ή διαιρούνται µε το 4
5 : αν λήγει σε 0 ή 5
6 : αν διαιρείται συγχρόνως µε 2 και 3
6. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ανάλυση σε γινόµενο ̟ρώτων ̟αραγόντων 5
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 5
7 : µετατρέπουµε τον αριθµό στο οκταδικό σύστηµα και ελέγχουµε αν το άθροισµα των ψηφίων του διαι-
ρείται µε το 7
8 : αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται µε το 8
9 : αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 9
10 : αν λήγει σε 0
11 : αν το αλγεβρικό άθροισµα των ψηφίων µε πρόσηµο εναλλάξ + και – δίνει αριθµό που διαιρείται µε
το 11 (άσχετα αν είναι θετικός ή αρνητικός)
1.8 Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Θεµελιώδες θεώρηµα της Αριθµητικής: Κάθε αριθµός τρέ̟εται κατά µοναδικό τρό̟ο σε γινόµενο ̟ρώτων ̟αραγώ-
ντων. Η διαδικασία είναι ως εξής: Ελέγχουµε αν ο αριθµός διαιρείται µε το δύο και (αν ναι) βρίσκουµε το
αποτέλεσµα της διαίρεσης. Συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία µε το αποτέλεσµα της διαίρεσης.
Αν δεν διαιρείται µε το δύο ελέγχουµε αν διαιρείται µε το 3 και ακολουθούµε την ίδια διαδικασία.
Συνεχίζουµε µέχρι να µείνει σαν αποτέλεσµα η µονάδα. πχ.
28
14
7
1
2
2
7
28 = 2⋅2⋅7 = 2²⋅7 200
100
50
25
5
1
2
2
2
5
5
200 = 2³⋅5²
1.9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Ο Μ.Κ.∆. κάποιων αριθµών είναι ο µεγαλύτερος αριθµός που διαιρεί ταυτόχρονα όλους τους αριθµούς.
Βρίσκεται από την ανάλυση των αριθµών σε γινόµενο παραγόντων. Από κάθε ανάλυση παίρνουµε κάθε κοινό
̟αράγοντα µε τον µικρότερο εκθέτη ̟ου εµφανίζεται όπως στο παράδειγµα:
60
30
15
5
1
2
2
5
5
60=2²5² 180
90
45
9
3
1
2
2
5
3
3
180=2³53² 1500
750
375
75
15
3
1
2
2
5
5
5
3
1500=2⁴5³3
Μ.Κ.∆. (60, 180, 1500) = 2²5 = 4⋅5 = 20
Συµβολίζεται επίσης και (α,β)
Βρίσκεται και µε τον αλγόριθµο του Ευκλείδη:
Έστω α, β δύο αριθµοί µε α>β. Τότε:
α=βπ1+υ1
β=υ1π2+υ2
υ1=υ2π3+υ3
………….
υν-2=υν-1πν+υν µε υν=0, αφού τα υπόλοιπα υ1, υ2, … συνεχώς µικραίνουν
Τότε ο ΜΚ∆ των α και β είναι ο τελεταίος διαιρέτης υν-1, (ή το προτελεταίο υπόλοιπο)
1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο
Το Ε.Κ.Π. κάποιων αριθµών βρίσκεται από την ανάλυσή τους σε γινόµενο πρώτων παραγόντων: Από κάθε
ανάλυση παίρνουµε µία φορά καθένα παράγοντα µε τον µεγαλύτερο εκθέτη ̟ου εµφανίζεται. Από το προηγούµε-
νο παράδειγµα:
Ε.Κ.Π. (60, 180, 1500) = 2⁴5³3² = 4⋅125⋅9 = 4500
Συµβολίζεται και [α,β]
Πρώτοι προς αλλήλους αριθµοί
∆ύο ή περισσότεροι αριθµοί λέγονται πρώτοι προς αλλήλους αν ο Μ.Κ.∆. τους είναι το 1
1.11 Κλάσματα
7. 6 ∆εκαδικοί αριθµοί Μαθηµατικό Τυπολόγιο
6 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
Κάθε αριθµός της µορφής
α
β
ονοµάζεται κλάσµα. Παριστάνει την διαίρεση α:β.
Όταν τα α και β είναι πρώτα µεταξύ τους το κλάσµα λέγεται ανάγωγο
Όταν α>β το κλάσµα λέγεται καταχρηστικό αλλιώς λέγεται γνήσιο
Το κλάσµα δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάσουµε ή διαιρέσουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε κάποιο αριθµό
λ
α
β
=
α λ
β λ
⋅
⋅
και
α
β
=
α : λ
β : λ
Σύνθετο κλάσµα: Πολλαπλασιάζουµε τους άκρους όρους µε τους µέσους
=
α δ
β γ
⋅
⋅
Προσοχή:
2 2
2 1 23 3
55 3 5 15
1
⋅
= = =
⋅
και
7
7 7 5 351
2 2 2 1 2
5 5
⋅
= = =
⋅
Συνεχές είναι ένα κλάσµα µε παρονοµαστή άθροισµα ακεραίου και κλάσµατος, π.χ.:
1
1
2
3
+
1.12 Δεκαδικοί αριθμοί
Αν σε κάποιο κλάσµα κάνουµε τη διαίρεση υπάρχουν µόνο δύο πιθανές καταστάσεις:
α) η διαίρεση να τερµατίζεται
β) η διαίρεση να µην τερµατίζεται αλλά να οδηγεί σε περιοδική επανάληψη των δεκαδικών
πχ.
9
2,25
4
= και
10
3,3333333... 3, 3
3
= = και
7
1,1666666... 1,16
6
= =
και
20
1,571428571428... 1,571428
7
= =
Στη δεύτερη περίπτωση ο αριθµός λέγεται περιοδικός δεκαδικός και το ψηφίο (ή ψηφία) που επαναλαµβά-
νονται λέγονται ̟ερίοδος του αριθµού.
Ο περιοδικός δεκαδικός λέγεται απλός (simple) αν η περίοδος ξεκινά αµέσως µετά το κόµµα, 2,66666…
και µικτός (mixed) αν ξεκινά µερικά ψηφία µετά, 2,3473737373… Στην περίπτωση αυτή τα δεκαδικά ψηφία
πρίν την περίοδο (73) λέγονται αντιπερίοδος (34).
Κάθε δεκαδικός µπορεί να γραφεί ως κλάσµα µε τον εξής τρόπο, που θα φανεί µέσα από το παράδειγµα:
→ Να γίνει κλάσµα ο 31, 97464646…
x = 31,9746
104
x = 319746,46
102
x = 3197,46
Αφαιρώντας έχουµε:
(104
-102
)x = 316549 ⇔ 9900 x = 316549 ⇔
x =
316549
9900
Η διαδικασία µπορεί και να αυτοµατοποιηθεί:
α) Αν ο αριθµός τερµατίζει µετά από κάποια δεκαδικά ψηφία τότε ο δεκαδικός ισούται µε ένα κλάσµα που
έχει αριθµητή όλα τα ψηφία του αριθµού και παρονοµαστή ένα αριθµό µε τόσα µηδενικά όσα είναι τα δεκα-
δικά ψηφία:
α
β
γ
δ
8. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Τέλειος αριθµός 7
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 7
2312
2,312
100
=
β) Αν ο αριθµός είναι απλός περιοδικός αριθµός, τότε ισούται µε ένα κλάσµα που έχει αριθµητή ίσο µε τη
διαφορά δύο αριθµών τον αριθµό µε την περίοδό του γραµµένη µία µόνο φορά (και χωρίς κόµµα) µείον το
ακέραιο µέρος του αριθµού, και ως παρονοµαστή έχει ένα αριθµό αποτελούµενο από τόσα ψηφία 9 όσο το
πλήθος ψηφίων της περιόδου:
212 2 210
2,12
99 99
−
= = και
3 0 3
0,3
9 9
−
= =
γ) Αν ο αριθµός είναι µικτός περιοδικός τότε ισούται µε ένα κλάσµα που στον αριθµητή έχει τον αριθµό
χωρίς το δεκαδικό σηµάδι µε την περίοδο γραµµένη µία φορά µείον τον ίδιο αριθµό χωρίς την περίοδο και
στον παρονοµαστή έχει ένα αριθµό αποτελούµενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου
ακολουθούµενο από τόσα ψηφία 0 όσο το πλήθος ψηφίων της αντιπεριόδου.
2512 25 2487
2,512
990 990
−
= = και
47231 472 46759
0,47231
99000 99000
−
= =
1.13 Τέλειος αριθμός
Ένας αριθµός είναι τέλειος όταν ισούται µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών τους.
Πχ. 28=1+2+4+7+14.
Έχουν βρεθεί µέχρι στιγµής 27 τέλειοι αριθµοί.
1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθμός
Αν συµβολίσουµε µε Σγδ(ν) το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του ν τότε αν Σγδ(ν)<ν ο αριθµός ν λέγεται
ελλιπής, και όταν Σγδ(ν)>ν λέγεται πλήρης. Αν Σγδ(ν)=ν τότε ο ν είναι τέλειος.
1.15 Φιλικοί αριθμοί
∆ύο αριθµοί α και β λέγονται φιλικοί όταν ο β ισούται µε το άθροισµα των διαιρετών του α και ο α ισούται
µε το άθροισµα των διαιρετών του β. ∆ηλαδή β=Σγδ(α) και α=Σγδ(β)
220 : γδ(220) = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} µε Σγδ(220) = 284
284 : γδ(284) = {1, 2, 4, 71, 142} µε Σγδ(284) = 220
Φιλικοί είναι ακόµα οι 1184 και 1210, 17296 και 18416 …
1.16 Πυθαγόρειοι αριθμοί
Είναι µία τριάδα αριθµών (α, β, γ) που επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρηµα: α²=β²+γ²
Μία πυθαγόρεια τριάδα λέγεται πρωταρχική αν Μ.Κ.∆.(α, β, γ)=1
Αν (α, β, γ) µία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η (κα, κβ, κγ) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα.
Αν (α, β, γ) µία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η α=2κλ, β=κ²-λ² και γ=κ²+λ²
Η τριάδα (2ν+1, 2ν²+2ν, 2ν²+2ν+1), µε ν∞, είναι πυθαγόρεια (Πρόκλος)
9. 8 Άρρητοι αριθµοί Μαθηµατικό Τυπολόγιο
8 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
1.17 Άρρητοι αριθμοί
Ένας αριθµός που δεν είναι ρητός είναι άρρητος. Οι άρρητοι αριθµοί ανακαλύφθηκαν από τον Πυθαγόρα
που απέδειξε το άρρητο του 2 .
Άρρητοι είναι:
Ο αριθµός π (Lambert 1770).
O αριθµός e του Euler, βάση των νεπέρειων λογαρίθµων.
Ο αριθµός φ της χρυσής τοµής.
Όλες οι τετραγωνικές ρίζες ρητών αριθµών που δεν είναι τετράγωνα ρητού.
Τα ηµθ, συνθ, εφθ µε 0<θ<90 εκτός από τα προφανή συν60, ηµ30 και εφ45, καθώς και τα αντίστοι-
χα για γωνίες θ>90.
Οι δεκαδικοί λογάριθµοι logx όταν x≠δύναµη του δέκα.
Όλοι οι αριθµοί ex
όταν x ρητός.
1.18 Αλγεβρικοί αριθμοί
Ένας πραγµατικός αριθµός είναι αλγεβρικός όταν είναι ρίζα µίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πο-
λυώνυµο του x µε ρητούς συντελεστές.
Κάθε ρητός αριθµός είναι αλγεβρικός.
Το σύνολο των αλγεβρικών αριθµών είναι αριθµήσιµο σύνολο.
1.19 Υπερβατικοί αριθμοί
Ένας πραγµατικός αριθµός είναι υπερβατικός όταν δέν είναι ρίζα µίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα
πολυώνυµο του x µε ρητούς συντελεστές.
Οι υπερβατικοί αριθµοί είναι σίγουρα άρρητοι.
Οι υπερβατικοί αριθµοί υπάρχουν (Cantor).
Οι υπερβατικοί αριθµοί είναι ένα απειροσύνολο και µάλιστα µη-αριθµήσιµο (Cantor, επίσης).
Υπερβατικοί αριθµοί είναι:
Ο αριθµός π =3,1415927… (Lindemann 1882).
Ο αριθµός e =2,718… (Hermite 1873).
Οι δεκαδικοί λογάριθµοι που δεν είναι ρητοί.
Τα ηµθ, συνθ, εφθ που είναι άρρητα.
Κάθε ρητός που έχει υψωθεί σε άρρητη δύναµη.
11. 10 Ταυτότητες Μαθηµατικό Τυπολόγιο
10 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
(α±β)2
=α2
±2αβ+β²
(α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³
(α±β)⁴=α⁴±4α³β+6α²β²±4αβ³+β⁴
Για να βρούµε την δύναµη οποιασδήποτε τάξης: ξεκινάµε από την ίδια δύ-
ναµη για το α και µειώνουµε κατά ένα ενώ αυξάνουµε κατά ένα την δύναµη
του β. Στα γινόµενα χρησιµοποιούµε συντελεστές που τους βρίσκουµε από
το τρίγωνο του Pascal. Σε αυτό κάθε αριθµός είναι το άθροισµα των δύο
αµέσως επάνω του αριθµών, εκτός των ακραίων µονάδων.
Η΄ εναλλακτικά από τον τύπο του διωνύµου (διώνυµο του Νεύτωνα)
(α+β)n
=
n
0
αn
+
n
1
αn-1
β+
n
2
αn-2
β2
+…+
n
n 1
−
αβn-1
+
n
n
βn
όπου
n
k
=
n!
k!(n k)!−
(διωνυµικός συντελεστής) και n!=1⋅2⋅3⋅⋅⋅(n-1)⋅n (ν – παραγοντικό)
α²-β²=(α-β)(α+β) (διαφορά τετραγώνων)
α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²)
α⁴-β⁴=(α-β)(α³+α²β+αβ²+β³)
α⁵-β⁵=(α-β)(α⁴+α³β+α²β²+αβ³+β⁴)
…………………………………
αν
-βν
=(α-β)(αν-1
+αν-2
β+αν-3
β²+…+αβν-2
+βν-1
)
α²-β²=(α+β)(α-β)
α⁴-β⁴=(α+β)(α³-α²β+αβ²-β³)
……………………………
α2ν
-β2ν
=(α+β)(α2ν-1
-α2ν-2
β+α2ν-3
β2
-…+αβ2ν-2
-β2ν-1
)
α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²)
α⁵+β⁵=(α+β)(α⁴-α³β+α²β²-αβ³+β⁴)
…………………………………
α2ν+1
+β2ν+1
=(α+β)(α2ν
-α2ν-1
β+α2ν-2
β2
-…-αβ2ν-1
+β2ν
)
(δεν υπάρχει γενικός τύπος για το α2ν
+β2ν
)
(α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2γα
(x+α)(x+β) = x²+(α+β)x+αβ Newton
α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα)=
1
2
(α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] Cauchy – Euler
α⁴+β⁴+γ⁴-2α²β²-2β²γ²-2γ²α²=-(α+β+γ)(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ) De Moivre
(α²+β²)(x²+y²)=(αx+βy)²+(αy-βx)² Lagrange
(α²+β²+γ²)(x²+y²+z²)-(αx+βy+γz)² = (αy-βx)²+(βz-γy)²+(αz-γx)² Lagrange
(x+α)(x+β)(x+γ)=x³+(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x+αβγ Newton
(α+β+γ)³=α³+β³+γ³+3(α+β)(β+γ)(γ+α)
Αν α+β+γ=0 τότε α³+β³+γ³=3αβγ
Αν α³+β³+γ³=0 τότε α+β+γ=0 ή α=β=γ
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
. . . . . . . .
Το τρίγωνο του Pascal
12. Μαθηµατικό Τυπολόγιο ∆ιάταξη - Ανισότητες 11
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 11
2.4 Διάταξη - Ανισότητες
Το σύνολο ϒ είναι διατεταγµένο. Ισχύει α>β ⇔ α-β>0
(Προσοχή: το σύνολο ≤ των µιγαδικών αριθµών ∆ΕΝ είναι διατεταγµένο. ∆εν έχει νόηµα η έκφραση z1>z2
για z1, z2 ∈≤)
Για οποιοδήποτε ζεύγος πραγµατικών ισχύει µία από τις τρεις σχέσεις: α>β, α=β, α<β
Ισχύουν α>0 και β>0 ⇒ α+β>0 και α<0 και β<0 ⇒ α+β<0
α, β οµόσηµοι ⇔ αβ>0 ή
α
β
>0 α, β ετερόσηµοι ⇔ αβ<0 ή
α
β
<0
α > β ⇔ α ± γ > β ± γ
α>β και β>γ ⇒ α>γ
µεταβατική ιδιότητα
αγ>βγ, αν γ>0
α
γ
>
β
γ
, αν γ>0
α>β ⇔
αγ<βγ, αν γ<0
α>β ⇔
α
γ
<
β
γ
, αν γ<0
α>β α>β
γ>δ
⇒ α+γ>β+δ
γ>δ
⇒ αγ>βδ
(ισχύει αν α,β,γ,δ θετικοί)
Ποτέ δεν αφαιρούµε ή διαιρούµε ανισότητες!
α2ν+1
>β2ν+1
⇔ α>β α2ν
>β2ν
⇔ |α|>|β|
αν α>β>0 ⇒ αν
>βν
αν α>β>0 ⇒
1 1
α β
<
αν x>y>0 και α>1 τότε αx
>αy
αν x>y>0 και α<1 τότε αx
<αy
αν α>β>0 και ν ∈ ∞ τότε ισχύουν:
αν
>βν ν να β>
αν α>β>0 και n θετικός ρητός τότε:
αn
>βn
α-n
<β-n
22..44..11 ΑΑξξιιοοσσηηµµεείίωωττεεςς ΑΑννιισσόόττηηττεεςς::
α²>0 ⇔ α≠0
α²≤0 ⇔ α=0
α
β
>0 ⇔ αβ>0 για β≠0
α²+β²+γ²≥0 α>β ⇔ αν
>βν
µόνο αν α>0 και β>0
α²+β²+γ²=0 ⇔ α=β=γ=0 α²+β²+γ²≠0 ⇔ α≠0 ή β≠0 ή γ≠0
α>β ⇔ α²>β² µόνο αν α>0 και β>0 α>β ⇔ α²<β² µόνο αν α<0 και β<0
α+
1
α
≥ 2, α>0 α+
1
α
≤ -2, α<0
α β
β α
+ ≥ 2, α,β οµόσηµοι
α β
β α
+ ≤ -2, α,β ετερόσηµοι
α²+β²≥2αβ (α+β)²≥4αβ
α²+β²+γ²≥αβ+βγ+γα 3( α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)²
13. 12 ∆ιάταξη - Ανισότητες Μαθηµατικό Τυπολόγιο
12 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
α³+β³≥αβ(α+β) α³+β³+γ³≥3αβγ αν α+β+γ>0
(α+β)(β+γ)(γ+α)≥8αβγ, α,β,γ∈ϒ+
2(α³+β³+γ³)≥αβ(α+β)+βγ(β+γ)+γα(γ+α), α,β,γ∈ϒ+
2(α²+β²)≥(α+β)² 3(α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)²
α β γ
3
β γ α
+ + ≥ , α,β,γ∈ϒ+
ν ν ν
ν ν ν
α β γ
3
β γ α
+ + ≥ , α,β,γ∈ϒ+
και ν∈∞
ν(α1²+α2²+…+αν²)≥(α1+α2+…+αν)² (αx+βy)²≤ (α²+β²)(x²+y²)
(α+β+γ)
1 1 1
α β γ
+ +
≥9
αν α, β, γ ≥ 0 τότε:
α³+β³+γ³≥3αβγ α+β+γ≥3 3 αβγ
αν α,β,γ πλευρές τριγώνου τότε:
α<β+γ, β<α+γ, γ<α+β |β-γ|<α<β+γ
(και µε κυκλική εναλλαγή των δεικτών)
Για α, β ≥ 0 ισχύουν:
α+β≥2 αβ
1 1
α β
+ ≥
2
αβ
2 2
α β α β
α β 2
+ +
≥
+ 2 2
α β 1 1 1
α β 2 α β
+
≤ +
+
αβ α β
α β 4
+
≤
+
4 1 1
α β α β
≤ +
+
22..44..22 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρριιθθµµηηττιικκοούύ –– ΓΓεεωωµµεεττρριικκοούύ –– ΑΑρρµµοοννιικκοούύ µµέέσσοουυ
αν α1, α2, …αν > 0
1 2 ν ν
1 2 ν
1 2 ν
α α ... α ν
α α ... α
1 1 1ν ...
α α α
+ + +
≥ + + + ≥
+ + +
αριθµητικός µέσος ≥ γεωµετρικός µέσος ≥ αρµονικός µέσος
Arithmetic≥Geometrical≥Harmonic ανισότητα A-G-H
22..44..33 ΑΑννιισσόόττηητταα BBuunniiaakkoosskkii--CCaauucchhyy--SScchhwwaarrttzz ((BB--CC--SS))
(α1β1+α2β2+…+ανβν)²≤( 2 2 2
1 2 να α ... α+ + + )( 2 2 2
1 2 νβ β ... β+ + + )
ή
2ν ν ν
2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
α β α β
= = =
≤
∑ ∑ ∑
Η ισότητα ισχύει όταν ν1 2
1 2 ν
αα α
...
β β β
= =
Αν α=(α1,α2,…,αν) και β=(β1,β2,…,βν) διανύσµατα ενός χώρου ϒν
, <α,β> το εσωτερικό τους γινόµενο και
|α| και |β| τα µέτρα τους τότε η Buniakoski-Cauchy-Schwartz γράφεται και ως εξής: |<α,β>| ≤ |α||β|
µε την ισότητα να ισχύει όταν τα α και β γραµµικά εξαρτηµένα
14. Μαθηµατικό Τυπολόγιο ∆ιάταξη - Ανισότητες 13
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 13
22..44..44 ΑΑννιισσόόττηητταα HHööllddeerr
Αν p, q>1 και
1 1
p q
+ =1 τότε i
1 1
n n np qqp
i i i
i 1 i 1 i 1
α β α β
= = =
≤
∑ ∑ ∑
Η ισότητα ισχύει όταν |α1|p-1
/|β1|=|α2|p-1
/|β2|=…
22..44..55 ΑΑννιισσόόττηητταα MMiinnkkoowwsskkii..
Αν p>1 και αi, βi≥0 τότε
1 1 1
n n np p p
p p p
i i i i
i 1 i 1 i 1
α β (α β )
= = =
+ ≥ +
∑ ∑ ∑
Η ισότητα ισχύει όταν α1/β1=α2/β2=…=αn/βn
22..44..66 ΑΑννιισσόόττηητταα CChheebbyysshheevv
Αν α1≥α2≥…≥αn και β1≥β2≥…≥βn τότε:
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β α β α β ... α β
n n n
+ + + + + + + + +
≤
ή
( )( )1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β n(α β α β ... α β )+ + + + + + ≤ + + +
Η ισότητα ισχύει αν α1=α2=…=αn και β1=β2=…=βn
22..44..77 ΑΑννιισσόόττηητταα WWeeiieerrssttrraassss
Αν α1, α2, α3, …, αν≥0 τότε
(1+α1)(1+α2)…(1+αν) ≥ 1+(α1+α2+…+αν)
22..44..88 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρρχχιιµµήήδδηη
µ, ν ≥ 0
1µ
+2µ
+…+(ν-1)µ
<
µ 1
ν
µ 1
+
+
<1µ
+2µ
+…+(ν-1)µ
+ νµ
22..44..99 ΑΑννιισσόόττηητταα BBeerrnnoouullllii
Αν x≥-1 και ν φυσικός τότε:
(1+x)ν
≥ 1+νx
η ισότητα ισχύει αν ν=1 ή x=0
Αν x>-1 και x≠0 τότε:
(1+x)α
> 1+αx όταν α>1 ή α<0
(1+x)α
< 1+αx όταν 0 < α < 1
16. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Εξισώσεις 15
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 15
Sν= 1 να α
ν
2
+
2.10 Εξισώσεις
Μία ισότητα που περιέχει τουλάχιστο ένα άγνωστο λέγεται εξίσωση. Η εξίσωση χαρακτηρίζεται από τον
βαθµό της, δηλαδή την µεγαλύτερη δύναµη στην οποία είναι υψωµένος ο άγνωστος.
Ισχύει το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας: (Gauss) Κάθε πολυωνυµική εξίσωση µε µιγαδικούς συντελε-
στές και βαθµό ν≥1 έχει µία τουλάχιστο µιγαδική ρίζα.
Σαν συνέπεια: µία πολυωνυµική εξίσωση µε µιγαδικούς συντελεστές και βαθµό ν≥1 έχει ακριβώς ν ρίζες µι-
γαδικές (εν γένει), από τις οποίες κάποιες µπορεί να είναι εκφυλισµένες (διπλές, τριπλές…)
22..1100..11 ΠΠρρωωττοοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη
α≠0 µοναδική λύση x=
β
α
−
β≠0 ΑδύνατηΗ εξίσωση αx+β=0 έχει
α=0
β=0 Αόριστη
22..1100..22 ∆∆εευυττεερροοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη
Η εξίσωση αx²+βx+γ=0 µε ∆=β²-4αγ έχει
∆>0
δύο ρίζες στο ϒ άνισες
∆=0
µία διπλή ρίζα στο ϒ
∆<0
καµία ρίζα στο ϒ,
δύο µιγαδικές συζυγείς ρίζες
x1,2=
β ∆
2α
− ±
x=
β
2α
−
z1,2=
β i ∆
2α
− ±
22..1100..22..11 ΆΆθθρροοιισσµµαα κκααιι γγιιννόόµµεεννοο ρριιζζώώνν ττρριιωωννύύµµοουυ
Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 µε ρίζες x1 και x2 έχει
άθροισµα ριζών
β
S
α
−
=
γινόµενο ριζών
γ
P
α
=
Αν γνωρίζουµε το άθροισµα S και το γινόµενο P δύο αριθµών
ρ1 και ρ2 τότε µία εξίσωση που έχει ρίζες τα ρ1 και ρ2 είναι:
x² - Sx + P = 0
22..1100..22..22 ΠΠρρόόσσηηµµοο ττρριιωωννύύµµοουυ
Το τριώνυµο αx²+βx+γ έχει πρόσηµο
∆>0
δύο ρίζες x1 και x2
∆=0
µία διπλή ρίζα x
∆<0
καµία ρίζα στο ℜ
Ετερόσηµο του α ανάµεσα στις ρίζες,
οµόσηµο του α έξω από τις ρίζες
Οµόσηµο του α παντού εκτός από τι
ρίζα όπου x=0
οµόσηµο του α παντού
οµόσηµο του α
οµόσηµο του α
x1
0
οµόσηµο του α
x1 x2
οµόσηµο του α
ετερόσηµο του α
0 0
17. 16 Εξισώσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο
16 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
22..1100..22..33 ΜΜοορρφφέέςς ττρριιωωννύύµµοουυ
Μορφές τριωνύµου ƒ(x)=αx²+βx+γ µε α≠0
∆>0
(δύο ρίζες ρ1 και ρ2) ƒ(x) = α(x-ρ1)(x-ρ2)
∆=0
(µία διπλή ρίζα ρ, τέλειο τετράγωνο)
ƒ(x) = α(x-ρ)² = α
2
β
x
2α
+
∆<0
(δεν παραγοντοποιείται)
ƒ(x) = α
2
β
x
2α
+
+ 2
∆
4α
22..1100..33 ∆∆ιιττεεττρράάγγωωννηη ΕΕξξίίσσωωσσηη
Η εξίσωση
αx⁴+βx²+γ=0
ονοµάζεται διτετράγωνη (biquadratic equation) και λύνεται µε την αντικατάσταση y=x², µε την οποία γίνε-
ται απλό τριώνυµο ως προς y µε ρίζες έστω y1 και y2. Οι ρίζες της αρχικής είναι είναι:
1,2 1 3,4 2x y και x y= ± = ±
22..1100..44 ∆∆ιιωωννυυµµιικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς ββααθθµµοούύ νν≥≥≥≥≥≥≥≥33
Η εξίσωση
αxν
+β=0
λέγεται διωνυµική (binomial equation) και για α≠0, ν∞, ν≥3 έχει τις εξής λύσεις:
ν άρτιος ν περιττός
β
α
− >0
β
α
− <0
δύο ρίζες ϒ
+ ν
β
α
− και - ν
β
α
−
δύο µιγαδικές συζυγείς
+i ν
β
α
− και -i ν
β
α
−
Μία ρίζα στο ϒ
ν
β
α
− (θετική)
22..1100..55 ΤΤρριιττοοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη
Η λύση της τριτοβάθµιας (cubic equation) αλλά και της τεταρτοβάθµιας εξίσωσης δηµοσιεύτηκε από τον
Gerolamo Cardano (1501-1576) στο βιβλίο του Ars Manga. Η λύση όµως δεν ήταν του Cardano. Κάποια
στοιχεία είχαν βρεθεί από τον Niccolo Tartaglia ενώ η τεταρτοβάθµια λύθηκε από τον Ludovico Ferrari. Η
λύση κατά πάσα πιθανότητα ανήκει στον καθηγητή µαθηµατικών του Πανεπιστηµίου της Bolognia, Scipione
del Ferro (1465-1526), που έδωσε τη λύση στον µαθητή του Antonio Maria Fior.
Έστω η εξίσωση x³+α1x²+α2x+α3=0
Υπολογίζουµε τα:
Q=
2
2 13α α
9
−
R=
3
1 2 3 19α α 27α 2α
54
− −
S= 3 23
R Q R+ + T= 3 23
R Q R− +
όπου ST=-Q
18. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Εξισώσεις 17
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 17
Λύσεις:
1 1
2 1
3 1
1
x S T α
3
1 1 1
x (S T) α i 3(S T)
2 3 2
1 1 1
x (S T) α i 3(S T)
2 3 2
= + −
= − + − + −
= − + − − −
Αν α1, α2, α3 πραγµατικοί και D=Q³+R² η διακρίνουσα για την τριτοβάθµια τότε:
(1) Μια ρίζα είναι πραγµατική και δύο µιγαδικές συζυγείς αν D>0
(2) Όλες οι ρίζες πραγµατικές και τουλάχιστο δύο ίσες αν D=0
(3) Όλες οι ρίζες πραγµατικές και άνισες αν D<0
Αν D<0
1 1
ο
2 1
ο
3 1
1 1
x 2 Qσυν( θ) α
3 3
1 1
x 2 Qσυν( θ 120 ) α
3 3
1 1
x 2 Qσυν( θ 240 ) α
3 3
= − −
= − + −
= − + −
όπου συνθ =
3
R
Q−
Για τις ρίζες ισχύει:
x1+x2+x3=-α1, x1x2+x2x3+x1x3=α2, x1x2x3=-α3
Αναλυτική λύση στο: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html
22..1100..66 ΗΗ ττεεττααρρττοοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη
Θεωρούµε την τεταρτοβάθµια (quartic) εξίσωση:
x⁴+α3x³+α2x²+α1x+α0=0 (1)
Οι ρίζες της ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ικανοποιούν τους τύπους του Vieta:
ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=-α3
ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ1ρ4+ρ2ρ3+ρ2ρ4+ρ3ρ4=α2
ρ1ρ2ρ3+ρ2ρ3ρ4+ρ1ρ2ρ4+ρ1ρ3ρ4=-α1
ρ1ρ2ρ3ρ4=α0
Πρώτα λύνουµε την “επιλύουσα τριτοβάθµια” εξίσωση:
y³-α2y²+(α1α3-4α0)y+(4α2α0-α1²-α3²α0)=0 (2)
Έστω y1 µία πραγµατική λύση της (2). Τότε οι τέσσερις ρίζες της (1) δίνονται από τις ρίζες της εξίσωσης:
( ) ( )2 2 2
3 3 2 1 1 1 0
1 1x α α 4α 4y y y 4α 0
2 2
+ ± − + + − =m
∆ηλαδή:
ρ1= 3
1 1 1α R D
4 2 2
− + +
ρ2= 3
1 1 1α R D
4 2 2
− + −
ρ3= 3
1 1 1α R E
4 2 2
− − +
ρ4= 3
1 1 1α R E
4 2 2
− − −
όπου:
19. 18 Εξισώσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο
18 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
R= 2
3 2 1
1 α α y
4
− +
2 2 3 1
3 2 3 2 1 3
2 2
3 2 1 0
3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0
4 4
D
3 α 2α 2 y 4α , R=0
4
−
− − + − − ≠
=
− + −
2 2 3 1
3 2 3 2 1 3
2 2
3 2 1 0
3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0
4 4
E
3 α 2α 2 y 4α , R=0
4
−
− − − − − ≠
=
− − −
(Για την πλήρη αναλυτική λύση βλέπε: http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html)
22..1100..77 ΕΕξξιισσώώσσεειιςς 55οουυ κκααιι µµεεγγααλλύύττεερροουυ ββααθθµµοούύ
∆εν υπάρχει γενική αναλυτική λύση για τις εξισώσεις µε βαθµό µεγαλύτερο του 5, όπως απέδειξε ο Abel. Οι
εξισώσεις αυτές λύνονται µε παραγοντοποίηση (αν είναι εφικτή) ή µε αριθµητικές µεθόδους σε υπολογιστές.
20. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ορισµοί 19
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 19
3 Μιγαδικοί αριθµοί
3.1 Ορισμοί
Ονοµάζουµε µιγαδικό αριθµό z (complex number) ένα αριθµό της µορφής α+iβ όπου i²=-1 ή i= 1− και
α,β∈ϒ. Οι πραγµατικοί α και β λέγονται ̟ραγµατικό (real) και φανταστικό (imaginary) µέρος του µιγαδικού z
και γράφουµε α=Re(z) και β=Im(z)
3.2 Συζυγείς μιγαδικοί
Ο µιγαδικός συζυγής (conjugate) του z=α+iβ γράφεται z α iβ= + =α-iβ. Λέµε ότι οι αριθµοί z και z ή οι
α+iβ και α – iβ είναι συζυγείς µεταξύ τους. Για την ‘πράξη’ της συζυγίας ισχύουν:
1 2 1 2z z z z± = ± 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ 1 1
2 2
z z
z z
=
3.3 Ισότητα μιγαδικών αριθμών
∆ύο µιγαδικοί αριθµοί α+iβ και γ+iδ είναι ίσοι αν και µόνο αν α=γ και β=δ
3.4 Πράξεις μιγαδικών αριθμών
Ακολουθούµε την συνηθισµένη άλγεβρα αντικαθιστώντας όπου χρειάζεται το i² µε -1.
(α+iβ)+(γ+iδ)=(α+γ)+(β+δ)i
(α+iβ)-(γ+iδ)=(α-γ)+(β-δ)i
(α+iβ)⋅(γ+iδ)=(αγ-βδ)+(αδ-βγ)i
2 2 2 2
α iβ (α iβ) (γ iδ) αγ βδ βγ αδ
i
γ iδ (γ iδ) (γ iδ) γ δ γ δ
+ + − + +
= ⋅ = +
+ + − + +
(στη διαίρεση πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε τη συζυγή παράσταση και κάνουµε πρά-
ξεις)
3.5 Μιγαδικό επίπεδο
Οι µιγαδικοί αριθµοί µπορούν να παρασταθούν γεωµετρικά ως ση-
µεία ενός επιπέδου που ονοµάζεται µιγαδικό ε̟ί̟εδο ή ε̟ί̟εδο Gauss.
Αν θεωρήσουµε ένα x-άξονα ως άξονα των πραγµατικών και ένα κά-
θετο σε αυτόν y-άξονα ως άξονα των φανταστικών τότε ο µιγαδικός
z=α+iβ παριστάνεται ως το σηµείο (α,β) ή ως το διάνυσµα από την
αρχή Ο µέχρι το σηµείο Ρ(α,β)
Ορίζουµε ως µέτρο (modulus) ή απόλυτη τιµή z ή z του µιγαδι-
κού z=α+iβ τον πραγµατικό αριθµό 2 2
z α iβ α β= + = +
Το µέτρο z του µιγαδικού µπορεί να ερµηνευτεί και ως η απόσταση
του σηµείου (α,β) από την αρχή των αξόνων Ο, ή ως το µέτρο (µή-
κος) ρ του διανύσµατος ΟΡ
uuur
.
3.6 Πολική μορφή μιγαδικού
Στο προηγούµενο σχήµα επειδή α=ρσυνθ και β=ρηµθ µπορούµε να γράψουµε:
z = α+iβ = ρσυνθ+iρηµθ ⇔ z = ρ(συνθ+iηµθ)
Η µορφή z = ρ(συνθ+iηµθ) λέγεται πολική µορφή του µιγαδικού z.
Το µήκος ρ= 2 2
α β+ είναι το µέτρο και η γωνία θ το όρισµα (argument) του µιγαδικού z.
3.7 Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση σε πολική μορφή
Η πολική µορφή των µιγαδικών είναι πολύ χρήσιµη γιατί απλοποιεί τους πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
των µιγαδικών. Ισχύει:
{ρ1(συνθ1+iηµθ1)}⋅ {ρ2(συνθ2+iηµθ2)}=ρ1ρ2{συν(θ1+θ2)+iηµ(θ1+θ2)}
P(α,β)
x
y
z=α+iβ
ρ
θ
α
β
21. 20 Ρίζα µιγαδικού αριθµού Μαθηµατικό Τυπολόγιο
20 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
{ }1 1 1 1
1 2 1 2
2 2 2 2
ρ (συνθ iηµθ ) ρ
συν(θ θ ) iηµ(θ θ )
ρ (συνθ iηµθ ) ρ
+
= − + +
+
∆ύναµη µιγαδικού αριθµού (θεώρηµα De Moivre)
Ισχύει για κάθε n∈ϒ:
zn
= (ρσυνθ+iρηµθ)n
= ρn
{συν(nθ)+iηµ(nθ)}
3.8 Ρίζα μιγαδικού αριθμού
Από το θεώρηµα του De Moivre έχουµε:
( )( )
1
n nn
θ 2kπ θ 2kπ
z ρ συνθ iηµθ ρ συν iηµ
n n
+ +
= + = +
όπου k ακέραιος.
Από τον τύπο αυτό όλες οι διαφορετικές ρίζες ενός µιγαδικού είναι αυτές για τις οποίες το k παίρνει τιµές 0, 1,
2, …, n-1.
33..88..11 ΟΟιι ννιιοοσσττέέςς ρρίίζζεεςς ττηηςς µµοοννάάδδααςς
Ισχύει 1=συν0+iηµ0 άρα θέτοντας στον παραπάνω τύπο ρ=1 και θ=0 έχουµε τις νιοστές ρίζες της µονάδας:
n 2kπ 2kπ
1 συν iηµ
n n
= + µε k=0, 1, 2, …, n-1
Σχέση εκθετικών τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (τύποι του Euler)
Ισχύει:
eiθ
= συνθ+iηµθ e-iθ
= συνθ–iηµθ
iθ iθ
e e
ηµθ
2i
−
−
=
iθ iθ
e e
συνθ
2
−
+
=
iθ iθ iθ iθ
iθ iθ iθ iθ
e e e e
εφθ i
i(e e ) e e
− −
− −
− −
= = −
+ +
iθ iθ
iθ iθ
i(e e )
σφθ
e e
−
−
+
=
−
iθ iθ
2
τεµθ
e e−
=
+ iθ iθ
2i
στεµθ
e e−
=
−
eiθ+2kπi
= eiθ
, γενικότερα η συνάρτηση ƒ(x)=ex
έχει περίοδο 2kπi
3.9 Εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών
α+iβ = ρ(συνθ+iηµθ) = ρeiθ
3.10 Λογάριθμος μιγαδικού
i(θ 2kπ)
ln(z) ln(α iβ) ln(ρe ) lnρ i(θ 2kπ)+
= + = = + +
3.11 Πράξεις με μιγαδικούς σε εκθετική μορφή
Η εκθετική µορφή του µιγαδικού απλοποιεί πολύ τις πράξεις µιγαδικών
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2iθ iθ i(θ θ )
z z (ρ e )(ρ e ) ρ ρ e +
= =
1 1 1
2 22
1
1 2
2
iθ
i(θ θ )
iθ
z ρ e ρ
e
z ρρ e
−
= =
(z)n
=(ρeiθ
)n
=ρn
einθ
(Θεώρηµα De Moivre)
( ) ( ) ( )
i(θ 2kπ)11 11
iθ i(θ 2kπ) n nn nnz ρe ρe ρ e
+
+
= = = (n-στη ρίζα µιγαδικού)
22. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Συστήµατα συντεταγµένων 21
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 21
4 Αναλυτική Γεωµετρία στο επίπεδο
4.1 Συστήματα συντεταγμένων
44..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν
Ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων (Cartesian system of co-ordinates) (ορθογώνιο σύστηµα συντε-
ταγµένων) στο επίπεδο, δηµιουργεί µία αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων του ε̟ι̟έδου και
ζευγαριών ̟ραγµατικών αριθµών. Αποτελείται από:
→ένα άξονα τετµηµένων (abscissae) x, (x άξονας)
→ένα άξονα τεταγµένων (ordinates) y, (y άξονας)
→µία αρχή Ο, στο σηµείο τοµής των δύο αξόνων.
Κάθε σηµείο αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι αριθµών (x, y)
44..11..22 ΠΠοολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς
Κάθε σηµείο του επιπέδου µπορεί να περιγραφεί από τους δύο
αριθµούς (x,y) αλλά και από τους δύο αριθµούς (r,θ) ενός πο-
λικού συστήµατος συντεταγµένων. Ο µετασχηµατισµός από τις
καρτεσιανές σε πολικές συντεταγµένες περιγράφεται από τις
εξισώσεις:
x rσυνθ
y rηµθ
=
=
και από πολικές σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι:
2 2
r x y
y
θ τοξεφ
x
= +
=
4.2 Μετασχηματισμός συντεταγμένων
44..22..11 ΠΠααρράάλλλληηλληη ΜΜεεττααφφοορράά σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν
Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστηµα συντεταγµένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστηµα συντε-
ταγµένων του οποίου οι άξονες είναι παράλληλοι µε τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ βρίσκεται στη
θέση (xο, yο) ως προς το αρχικό xΟy σύστηµα τότε:
o o
o o
x x x x x x
ή
y y y y y y
′ ′= + = −
′ ′= + = −
44..22..22 ΠΠεερριισσττρροοφφήή σσυυσσττήήµµααττοοςς κκααττάά γγωωννίίαα φφ
Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστηµα συντεταγµένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστηµα συντε-
ταγµένων του οποίου οι άξονες έχουν περιστραφεί κατά γωνία φ ως προς τους αρχικούς και του οποίου η
αρχή Ο΄ ταυτίζεται µε την αρχή Ο του αρχικού xΟy συστήµατος τότε:
x x συνφ y ηµφ x xσυνφ yηµφ
ή
y x ηµφ y συνφ y xηµφ yσυνφ
′ ′ ′= − = +
′ ′ ′= + = − +
Αν θεωρήσουµε τα σηµεία (x,y) ως πίνακα στήλη
x
y
τότε ο παραπάνω µετασχηµατισµός µπορεί να θεω-
ρηθεί ως πολλαπλασιασµός µεταξύ ενός τετραγωνικού πίνακα µετασχηµατισµού και διανυσµάτων στήλης ως
ακολούθως:
x συνφ ηµφ x
y ηµφ συνφ y
′−
= ′
ή
x συνφ ηµφ x
y ηµφ συνφ y
′
= ′ −
44..22..33 ΜΜεεττααφφοορράά κκααιι ̟̟εερριισσττρροοφφήή ττααυυττόόχχρροονναα
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο προηγούµενοι µετασχηµατισµοί τότε:
x
y
Ο x1
Α(x1,y1)
θ
y1
r
23. 22 Α̟όσταση σηµείων Μαθηµατικό Τυπολόγιο
22 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
o o o
o o o
x x συνφ y ηµφ x x (x x )συνφ (y y )ηµφ
ή
y x ηµφ y συνφ y y (x x )ηµφ (y y )συνφ
′ ′ ′= − + = − + −
′ ′ ′= + + = − − + −
4.3 Απόσταση σημείων
44..33..11 ΣΣεε κκααρρττεεσσιιααννέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς
Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σηµεία τότε η απόστασή τους είναι
dΑΒ= 2 2
1 2 1 2(x x ) (y y )− + −
44..33..22 ΣΣεε ̟̟οολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς
Αν Α(ρ1, θ1) και Β(ρ2, θ2) δύο σηµεία τότε η απόστασή τους είναι
dΑΒ= 2 2
1 2 1 2 1 2ρ ρ 2ρ ρ συν(θ θ )+ − −
4.4 Συντεταγμένες σημείου που διαιρεί ευθ. τμήμα
Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σηµεία και ζητάµε τις συντεταγµένες σηµείου Μ έτσι ώστε ο λόγος ΑΜ λ
ΜΒ
=
uuur
uuur
τότε οι συντετµένες του Μ είναι:
1 2
0
x λx
x
1 λ
+
=
+
και 1 2
0
y λy
y
1 λ
+
=
+
Εάν λ>0 το σηµείο Μ είναι εντός του ΑΒ
Εάν λ<0 το σηµείο Μ είναι εκτός του ΑΒ
Εάν λ=1 το σηµείο Μ είναι το µέσο του ΑΒ
4.5 Εμβαδό τριγώνου
Έστω το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3). Τότε:
Εµβαδό
1 1
2 2
3 3
x y 1
1
E x y 1
2
x y 1
= ±
ή 1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3
1
E (x y x y y x x y y x y x )
2
= ± − + − + −
Αν το εµβαδό είναι µηδέν τα σηµεία είναι συνευθειακά (βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία)
4.6 Συνευθειακά σημεία
Συνθήκες για να είναι τα 3 σηµεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3) συνευθειακά:
1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3x y x y y x x y y x y x 0− + − + − =
ή
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1
x y 1
=0
ή
2 1 2 1
3 1 3 1
y y x x
y y x x
− −
=
− −
24. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ευθεία 23
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 23
4.7 Ευθεία
44..77..11 ΚΚλλίίσσηη εευυθθεείίααςς ̟̟οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι αα̟̟όό δδύύοο σσηηµµεείίαα
Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σηµεία από τα οποία διέρχεται
η ευθεία τότε η κλίση της ευθείας ή του ευθύγραµµου τµήµατος
ΑΒ, είναι:
2 1
2 1
y y
λ
x x
−
=
−
Ισχύει ακόµα: κλίση λ=εφθ
44..77..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς ̟̟οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι αα̟̟όό έένναα σσηηµµεείίοο
Αν Α(x1,y1) σηµείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία τότε η εξί-
σωσή της είναι:
y – y1 = λ(x – x1)
44..77..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς ̟̟οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι αα̟̟όό δδύύοο σσηηµµεείίαα
Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σηµεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η εξίσωσή της είναι:
1 2 1
1 2 1
y y y y
λ
x x x x
− −
= =
− −
ή y – y1 = 2 1
2 1
y y
x x
−
−
(x – x1) ή 2 2
3 3
x y 1
x y 1
x y 1
=0
όπου λ=η κλίση της ευθείας.
44..77..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίαα ̟̟οουυ ττέέµµννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς σσττιιςς θθέέσσεειιςς αα κκααιι ββ
x y
1
α β
+ =
44..77..55 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς
Αx+Βy+Γ=0
44..77..66 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς
kρ
συν(α θ)
=
−
όπου: k είναι η απόσταση του κέντρου Ο των αξόνων από την ευθεία και α η γωνία που σχηµατίζει η από-
σταση k µε τον πολικό άξονα (στον οποίο θ=0)
44..77..77 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς
44..77..77..11 ΕΕυυθθεείίεεςς πποουυ δδιιέέρρχχοοννττααιι ααππόό ττηηνν ααρρχχήή ττωωνν ααξξόόννωωνν
y = λx ή αx + βy = 0
44..77..77..22 ∆∆ιιχχοοττόόµµοοςς 11οουυ –– 33οουυ ττεεττααρρττηηµµοορρίίοουυ
y = x
44..77..77..33 ∆∆ιιχχοοττόόµµοοςς 22οουυ –– 44οουυ ττεεττααρρττηηµµοορρίίοουυ
y = - x
44..77..77..44 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν xx άάξξοονναα
y = α ή γy + δ = 0
44..77..77..55 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν yy άάξξοονναα
x = β ή γx + δ = 0
44..77..77..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη xx άάξξοονναα
y = 0
44..77..77..77 ΕΕξξίίσσωωσσηη yy άάξξοονναα
x = 0
44..77..88 ΑΑ̟̟όόσστταασσηη σσηηµµεείίοουυ αα̟̟όό εευυθθεείίαα
Εστω σηµείο Σ(xο, yο) και ευθεία Αx+Βy+Γ=0. Η απόσταση d του σηµείου από την ευθεία είναι:
x
y
Α(x1,y1)
Ο x2x1
Β(x2,y2)
θ
y1
y2
x
y
α
β
Ο
25. 24 Ευθεία Μαθηµατικό Τυπολόγιο
24 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
d= o o
2 2
Ax By Γ
Α Β
+ +
± +
όπου το πρόσηµο επιλέγεται ώστε d>0
44..77..99 ΓΓωωννίίαα θθ µµεεττααξξύύ εευυθθεειιώώνν µµεε κκλλίίσσεειιςς λλ11 κκααιι λλ22
1 2
1 2
λ λ
εφθ
1 λ λ
−
=
+
44..77..1100 ΕΕυυθθεείίεεςς κκάάθθεεττεεςς –– ΕΕυυθθεείίεεςς ̟̟ααρράάλλλληηλλεεςς
Από τον προηγούµενο τύπο:
→Αν λ1 = λ2 οι ευθείες είναι παράλληλες
→Αν λ1λ2 = - 1 οι ευθείες είναι κάθετες
26. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Κύκλος 25
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 25
4.8 Κύκλος
44..88..11 ΟΟρριισσµµόόςς
Είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που ισαπέχουν από δεδοµένο ση-
µείο. Αν το σηµείο είναι το Ο(xο, yο) και η απόσταση είναι ρ ονοµάζουµε
τον κύκλο (Ο, ρ).
44..88..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ
Αν το κέντρο του κύκλου Ο είναι στο σηµείο (xο, yο) και η ακτίνα του είναι
ρ τότε η εξίσωσή του είναι
(x-xο)²+(y-yο)²=ρ²
Αν το κέντρο του είναι στην αρχή των αξόνων τότε
x²+y²=ρ²
44..88..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ σσεε ̟̟οολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς
Αν ρ, θ οι πολικές συντεταγµένες ενός σηµείου του κύκλου και ρο, θο οι πολικές συντεταγµένες του κέντρου
του κύκλου µε ακτίνα R τότε:
ρ² - 2ρροσυν(θ - θο) + ρο² = R²
44..88..44 ΠΠααρρααµµεεττρριικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς κκύύκκλλοουυ
x=Rσυνt + xο
y=Rηµt + yo
44..88..55 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ ̟̟οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι αα̟̟όό 33 σσηηµµεείίαα
Έστω Α(x1, y1), Β(x2, y2), Γ(x3, y3) τα τρία σηµεία τότε η εξίσωσή του δίνεται από την ορίζουσα:
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
2 2
3 3 3 3
x y x y 1
x y x y 1
0
x y x y 1
x y x y 1
+
+
=
+
+
44..88..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφαα̟̟ττοοµµέέννηηςς κκύύκκλλοουυ σσττοο σσηηµµεείίοο ((xx11,, yy11))
Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η (x-xο)²+(y-yο)²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας του στο σηµείο
(x1,y1) είναι:
(x-xο)(x1-xο)+(y-yο)(y1-yο)=ρ²
Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η x²+y²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτοµένης γίνεται:
xx1+yy1=ρ²
44..88..77 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφαα̟̟ττόόµµεεννηη σσεε κκύύκκλλοο
∆εδοµένου κύκλου (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και ευθείας y = λx + β (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η
ευθεία στον κύκλο είναι ο µηδενισµός της διακρίνουσας ∆ του της δευτεροβάθµιας που προκύπτει από το
σύστηµα των (1) και (2) δηλαδή (-λxο + yο - β)² = ρ²(1 + λ²)
44..88..88 ΕΕφφαα̟̟ττόόµµεεννηη σσεε κκύύκκλλοο αα̟̟όό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς κκύύκκλλοουυ
Έστω ο κύκλος (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και το σηµείο Σ(x1, y1). Τότε η ευθεία που διέρχεται από το
σηµείο Σ είναι η (y – y1)=λ(x – x1). Οπότε:
Ή θέτουµε την απόσταση του κέντρου Κ(xο, yο) και της ευθείας (y – y1)=λ(x – x1) ίση µε την ακτίνα ρ (α-
πόσταση σηµείου από ευθεία 4.7.6)
Ή εφαρµόζουµε τη µέθοδο του 4.8.7
Ο(xο,yο)
ρ
x
y
27. 26 Η ̟αραβολή Μαθηµατικό Τυπολόγιο
26 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
4.9 Η παραβολή
44..99..11 ΟΟρριισσµµόόςς
Παραβολή (parabola) είναι ο γεωµετρικός τόπος των
σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από µία σταθερή
ευθεία δ και ένα σταθερό σηµείο Ε (εκτός ευθείας).
Η ευθεία δ ονοµάζεται διευθετούσα (directrix) και το
σηµείο Ε ονοµάζεται εστία (focus) της παραβολής. Αν
φέρουµε το κάθετο τµήµα ΕΑ από την εστία Ε στην
διευθετούσα δ και προεκτείνουµε έχουµε τον άξονα
(axis) της παραβολής. Το σηµείο Κ στο οποίο τέµνο-
νται η παραβολή και ο άξονάς της ονοµάζεται κορυφή
(vertex) της παραβολής.
44..99..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Μία παραβολή µε κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονα τον x΄x έχει εξίσωση
y² = 2px
όπου p=σταθερά ∈ϒ που ονοµάζεται παράµετρος της παραβολής. Η απόλυτη τιµή του p παριστάνει την
απόσταση της εστίας από την διευθετούσα ευθεία. (Η απόσταση κορυφής – εστίας είναι |p|/2)
Αν η κορυφή είναι στο σηµείο Α(xο, yο) και ο άξονάς της παράλληλος στον x΄x άξονα, τότε η εξίσωση γίνε-
ται:
(y - yο)² = 2p(x - xο)
44..99..33 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Έστω η παραβολή (y - yο)² = 2p(x - xο) µε κορυφή στο Α(xο, yο) και άξονα παράλληλο στον x΄x. Η εξίσωση
αυτή µπορεί να γραφεί και ως εξής: x = αy² + βy + γ
Τότε:
Η κορυφή έχει συντεταγµένες: xυ =
2
β 4αγ
4α
−
− και yο =
β
2α
−
Ο άξονας συµµετρίας έχει εξίσωση: y =
β
2α
−
Η εστία έχει συντεταγµένες: xε =
2
β 4αγ1
4α 4α
−
− και yε =
β
2α
−
Η διευθετούσα έχει εξίσωση: x = -
2
β 4αγ1
4α 4α
−
−
Εάν α>0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον θετικό ηµιάξονα των x
Εάν α<0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον αρνητικό ηµιάξονα των x
Για παραβολή µε άξονα συµµετρίας τον yy΄ αλλάζουµε το x µε το y στις παραπάνω σχέσεις.
Ε
δ
y
x
x=-p/2
(p/2, 0)
Παραβολή µε p>0
Ε
δ
y
x
x=-p/2
(p/2, 0)
Παραβολή µε p<0
Σ
ΕΚΑ
Κ
δ
Κ
28. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Η ̟αραβολή 27
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 27
44..99..44 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Αν η εστία και η αρχή των αξόνων συµπίπτουν τότε η εξίσωση της παραβολής σε πολικές συντεταγµένες εί-
ναι:
p
ρ
1 συνθ
=
−
Για παραβολές µε άξονα παράλληλο στον y΄y άξονα εναλλάσσουµε τα x µε y ή αντικαθιστούµε το θ µε
π θ
2
− .
44..99..55 ΣΣχχεεττιικκέέςς θθέέσσεειιςς σσηηµµεείίοουυ κκααιι ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Αν Σ(x1, y1) σηµείο και παραβολή y² = 2px τότε αν
y1² > 2px1 το σηµείο είναι εκτός παραβολής
y1² = 2px1 το σηµείο είναι πάνω στην παραβολή
y1² < 2px1 το σηµείο είναι εντός παραβολής
44..99..66 ΕΕφφαα̟̟ττοοµµέέννηη σσεε σσηηµµεείίοο ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Η εφαπτοµένη της παραβολής y²=2px στο σηµείο Σ(x1, y1) είναι
yy1 = p(x + x1)
Ισχύει ακόµα: Μία ευθεία που τέµνει σε ένα σηµείο την παραβολή και δεν είναι παράλληλη στον άξονά της
είναι εφαπτόµενη της παραβολής.
44..99..77 ΚΚάάθθεεττηη σσεε σσηηµµεείίοο ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Η κάθετη της παραβολής y² = 2px στο σηµείο Σ(x1, y1) είναι
o
o o
y
y y (x x )
p
− = − −
44..99..88 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφαα̟̟ττόόµµεεννηη σσεε ̟̟ααρρααββοολλήή
Ισχύει το ανάλογο της 4.8.7, δηλαδή ο µηδενισµός της διακρίνουσας του τριωνύµου που προκύπτει από το
σύστηµα των δύο εξισώσεων y=λx+β και y²=2px. Η διακρίνουσα δίνει τη συνθήκη p – 2λβ = 0
44..99..99 ΕΕφφαα̟̟ττόόµµεεννηη αα̟̟όό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Έστω η παραβολή y²=2px και το σηµείο Σ(x1, y1). Τότε η γενική εξίσωση της ευθείας που διέχεται από το Σ
είναι (y – y1)=λ(x – x1) ⇔ y = λx + (y1 - λx1). Η εφαπτόµενη της παραβολής θα ικανοποιεί την συνθήκη
4.9.8 άρα έχουµε τη συνθήκη p – 2λ(y1 – λx1) =0
44..99..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ̟̟ααρρααββοολλήήςς
Μία ακτίνα φωτός παράλληλη στον άξονα της παραβολής θα ανακλαστεί από την παραβολή και θα περάσει
από την εστία της Ε.
Μία ακτίνα που φεύγει από την εστία Ε ανακλάται και συνεχίζει παράλληλα στον άξονα της παραβολής.
Η κάθετος στην εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο Σ διχοτοµεί την γωνία ∠ΕΖζ όπου η Σζ είναι πα-
ράλληλη στον άξονα της παραβολής
y
x
ε
Σ(x1, y1)
Εφαπτοµένη Παραβολής
y
x
ε
Σ
φ
φ
Ε
ζ
Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής
29. 28 Η ̟αραβολή Μαθηµατικό Τυπολόγιο
28 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
44..99..1111 ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεµµββααδδόό χχωωρρίίοουυ ̟̟ααρρααββοολλήήςς
x
y
-4 -2 0 2 6 8 10
-2
0
2
4
6
8
S
Α Β
Γ
L
∆
Το µήκος του τόξου της παραβολής ΑΓΒ του σχήµατος δίνεται από τον τύπο:
τ =
2 2 2
2 2S S 4L S 16LS 16L ln
2 8L S
+ −− +
και το εµβαδό:
Ε = 2
3
SL
30. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Έλλειψη 29
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 29
4.10 Έλλειψη
44..1100..11 ΟΟρριισσµµόόςς
Έλλειψη είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που
έχουν σταθερό άθροισµα αποστάσεων (µεγαλύτερο
από ΕΕ΄) από δύο δεδοµένα σταθερά σηµεία Ε και
Ε΄ του επιπέδου.
Τα σταθερά σηµεία Ε και Ε΄ λέγονται εστίες της
έλλειψης και η απόσταση ΕΕ΄ λέγεται εστιακή από-
σταση.
Αν Σ σηµείο της έλλειψης τότε:
Συµβολίζουµε το σταθερό άθροισµα ΕΣ+ΣΕ΄ = 2α
και την εστιακή απόσταση ΕΕ΄ µε 2γ. (Πρέπει
α>γ). Την απόσταση ΒΒ’ την συµβολίζουµε µε 2β
και ισχύει β²=α²-γ²
Η απόσταση Α΄Α ονοµάζεται µεγάλος ηµιάξονας και έχει µήκος 2α, ενώ η απόσταση ´ ονοµάζεται µικρός
ηµιάξονας της έλλειψης και έχει µήκος 2β.
44..1100..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη έέλλλλεειιψψηηςς
Αν οι εστίες βρίσκονται στα σηµεία Ε(-γ, 0) και
Ε΄(γ, 0) τότε
2 2
2 2
x y
1
α β
+ = , µε β²=α²-γ²
Αλλιώς αν το κέντρο Ο (το µέσο της εστιακής από-
στασης Ε΄Ε) βρίσκεται στο (xο, yο) τότε:
2 2
o o
2 2
(x x ) (y y )
1
α β
− −
+ =
44..1100..33 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς
Αν το κέντρο Ο βρίσκεται στην αρχή των πολικών αξόνων και διαλέξουµε ως πολικό άξονα τον µεγάλο άξο-
να της έλλειψης, τότε
2 2
2
2 2 2 2
α β
ρ
α ηµ θ β συν θ
=
+
Αν η αρχή των αξόνων βρίσκεται σε µία εστία τότε
2
α(1 ε )
ρ
1 εσυνθ
−
=
−
µε ε=
2 2
α βγ
α α
−
= η εκκεντρότητα της έλλειψης
Αν η παραβολή έχει τον µεγάλο της ηµιάξονα στον άξονα y τότε στις παραπάνω εξισώσεις αντικαθιστούµε
το x µε y (στο καρτεσιανό) ή αντικαθιστούµε το θ µε
π
θ
2
− (στις πολικές)
44..1100..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς
Ορίζουµε ε=
2 2
α βγ
α α
−
= και ισχύει ε<1, 2β
1 ε
α
= −
Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει την µορφή της έλλειψης:
Όταν ε→1 τότε το β είναι πολύ µικρό και η έλλειψη γίνεται επιµήκης
Όταν ε→0 τότε το β→α και η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (για β=α έχουµε ε=0 και η έλλειψη γίνεται
κύκλος)
Ελλείψεις µε την ίδια εκκεντρότητα ε ονοµάζονται όµοιες
x
y
0
Ε΄ Ε
2γ
2α
2β
Β΄
A΄ A
B
x
y
-5 Ε΄ 0 Ε 5
-4
4 Σ
31. 30 Έλλειψη Μαθηµατικό Τυπολόγιο
30 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
44..1100..55 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφαα̟̟ττοοµµέέννηη σσεε έέλλλλεειιψψηη
∆εδοµένης της έλλειψης
2 2
2 2
x y
1
α β
+ = (1) και της ευθείας y = λx + µ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η
ευθεία στην έλλειψη είναι ο µηδενισµός της διακρίνουσας ∆ του της δευτεροβάθµιας που προκύπτει από το
σύστηµα των (1) και (2) δηλαδή
α²λ² + β² - µ² = 0
44..1100..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφαα̟̟ττοοµµέέννηηςς σσεε σσηηµµεείίοο ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς
Στο σηµείο (x1,y1) της έλλειψης
2 2
2 2
x y
1
α β
+ = η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι:
1 1
2 2
xx yy
1
α β
+ =
Στο σηµείο (x1,y1) της έλλειψης
2 2
o o
2 2
(x x ) (y y )
1
α β
− −
+ = η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι:
0 1 0 0 1 0
2 2
(x x )(x x ) (y y )(y y )
1
α β
− − − −
+ =
44..1100..77 ΕΕφφαα̟̟ττοοµµέέννηη αα̟̟όό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς έέλλλλεειιψψηηςς
Έστω σηµείο (x1,y1) εκτός της έλλειψης
2 2
2 2
x y
1
α β
+ = . Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο
είναι: y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.10.5 άρα αφού
µ=y1 – λx1
α²λ² + β² - (y1 – λx1)² = 0
44..1100..88 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκάάθθεεττηηςς σσεε έέλλλλεειιψψηη
Στο σηµείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη
2 2
2 2
x y
1
α β
+ = είναι:
y – y1 =
2
1
2
1
α y
β x
(x – x1)
Στο σηµείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη
2 2
o o
2 2
(x x ) (y y )
1
α β
− −
+ = είναι:
y – y1 =
2
1 0
2
1 0
α (y y )
β (x x )
−
−
(x – x1)
44..1100..99 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς
Η κάθετη στην εφαπτοµένη σε ένα σηµείο Σ µίας έλλειψης διχο-
τοµεί την γωνία ∠Ε΄ΣΕ
ή
Μία φωτεινή ακτίνα που ξεκινά από την µία εστία ανακλάται από
την έλλειψη και περνά και από την άλλη εστία.
44..1100..1100ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεµµββααδδόό έέλλλλεειιψψηηςς
Μήκος τόξου S=
π
2 2 2 22
0
14α 1 k ηµ θdθ 2π (α β )
2
− ≅ +∫ µε k=
2 2
α β
α
−
Εµβαδό Α = παβ
x
y
0 ΕΕ΄
Σ
32. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Υ̟ερβολή 31
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 31
4.11 Υπερβολή
44..1111..11ΟΟρριισσµµοοίί
Υπερβολή (Hyperbola) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµεί-
ων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιµή της διαφοράς των
αποστάσεων από δύο δεδοµένα σταθερά σηµεία Ε και Ε΄
(foci) είναι σταθερή και µικρότερη του ΕΕ΄
Τα σηµεία Ε και Ε΄ ονοµάζονται εστίες (foci) της υπερβολής
και η απόσταση ΕΕ΄ ονοµάζεται εστιακή α̟όσταση.
Αν Μ σηµείο της υπερβολής τότε |ΜΕ – ΜΕ΄| = 2α = στα-
θερή
Ορίζουµε ΕΕ΄ = 2γ. Ισχύει γ>α>0.
Τα σηµεία που η εστιακή απόσταση τέµνει την υπερβολή λέ-
γονται κορυφές της υπερβολής.
Το µέσο της εστιακής απόστασης λέγεται κέντρο της υπερβο-
λής (και είναι κέντρο συµµετρίας)
44..1111..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ττηηςς υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Μία υπερβολή µε εστίες τα σηµεία Ε(γ, 0) και Ε΄(-γ, 0) και κέντρο την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση:
2 2
2 2
x y
1
α β
− = , όπου β² = γ² - α²
Μία υπερβολή µε κέντρο στο σηµείο (x0, y0) και άξονες παράλληλους µε τους άξονες x και y έχει εξίσωση:
2 2
0 0
2 2
(x x ) (y y )
1
α β
− −
− =
Μία ισοσκελής (rectangular) υπερβολή έχει α=β και η εξίσωσή της γίνεται: x² - y² = α²
Η απόσταση ΑΆ µήκους 2α λέγεται µεγάλος άξονας της υπερβολής και η απόσταση ´ µήκους 2β λέγεται
µικρός άξονας της υπερβολής. Στην ισοσκελή υπερβολή οι άξονες έχουν ίσα µήκη. Οι άξονες της υπερβολής
είναι και άξονες συµµετρίας της υπερβολής.
44..1111..33 ΑΑσσύύµµ̟̟ττωωττεεςς ττηηςς υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Για την υπερβολή µε εξίσωση
2 2
2 2
x y
1
α β
− = οι ασύµπτωτες
είναι οι ευθείες:
β β
y x και y x
α α
= = −
44..1111..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Ο λόγος της εστιακής απόσταση προς την απόσταση των
κορυφών της υπερβολής λέγεται εκκεντρότητα της υπερ-
βολής, δηλαδή:
2 2
α βγ
ε 1
α α
+
= = >
44..1111..55 ΣΣυυζζυυγγεείίςς υυ̟̟εερρββοολλέέςς
Οι υπερβολές
2 2
2 2
x y
1
α β
− = και
2 2
2 2
y x
1
β α
− = ονοµάζονται συζυγείς υπερβολές και έχουν τις ίδιες ασύµπτωτες
44..1111..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφαα̟̟ττοοµµέέννηηςς υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Αν
2 2
2 2
x y
1
α β
− = τότε η εξίσωση της εφαπτοµένης της υπερβολής στο τυχόν σηµείο x1, y1 είναι:
1 1
2 2
xx yy
1
α β
− =
x
y
Ε΄ Ε
Σ
2γ
2α
x
y
Ε΄ Ε
Α΄ Α
Β΄
Β
33. 32 Υ̟ερβολή Μαθηµατικό Τυπολόγιο
32 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
44..1111..77 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφαα̟̟ττόόµµεεννηη υυ̟̟εερρββοολλήήςς
∆εδοµένης της υπερβολής
2 2
2 2
x y
1
α β
− = (1) και της ευθείας y = λx + µ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η
ευθεία στην υπερβολή είναι ο µηδενισµός της διακρίνουσας ∆ του της δευτεροβάθµιας που προκύπτει από
το σύστηµα των (1) και (2) δηλαδή
α²λ² - β² - µ² = 0
44..1111..88 ΕΕφφαα̟̟ττόόµµεεννηη αα̟̟όό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Έστω η υπερβολή
2 2
2 2
x y
1
α β
− = και το σηµείο Σ(x1, y1). Η τυχαία ευθεία που περνάει από το σηµείο Σ είναι
y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται αυτή στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.11.7 άρα αφού
µ=y1 – λx1
α²λ² - β² - (y1 – λx1)² = 0
44..1111..99 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Μία υπερβολή µε το κέντρο της στην αρχή των αξόνων και τον µεγάλο άξονά της στον άξονα x΄x έχει εξί-
σωση σε πολικές συντεταγµένες:
2 2
2
2 2 2 2
α β
ρ
β συν θ α ηµ θ
=
−
Αν το κέντρο βρίσκεται στον άξονα Οx και η εστία Ε΄
βρίσκεται στο Ο τότε:
2
α(ε 1)
ρ
1 εσυνθ
−
=
−
44..1111..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς υυ̟̟εερρββοολλήήςς
Η εφαπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο Σ διχοτο-
µεί την γωνία ∠Ε΄ΣΕ ή
Μία ακτίνα που εκπέµπεται από την µία εστία Ε ανα-
κλάται έτσι ώστε η προέκτασή της να διέρχεται από
την άλλη εστία Ε΄
x
y
ΕΕ΄
Σ
34. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Γενικά για τις κωνικές τοµές 33
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 33
4.12 Γενικά για τις κωνικές τομές
Ολες οι κωνικές τοµές (εκτός της ευθείας) µπορούν να θεωρηθούν ως τοµές ενός κώνου και ενός επιπέδου,
(εξ’ού και το όνοµα κωνικές τοµές, ή α̟ολλώνιες τοµές). Ο κύκλος µπορεί να θεωρηθεί ως η τοµή του κώνου
µε επίπεδο κάθετο στον άξονά του. Η είναι η κλειστή τοµή του κώνου µε επίπεδο πλάγιο µε τον άξονά του.
Η παραβολή είναι τοµή ενός κώνου µε επίπεδο παράλληλο σε µία γενέτειρα του κώνου. Η υπερβολή είναι
τοµή του κώνου µε ένα επίπεδο παράλληλο στον άξονά του.
Ολες οι κωνικές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολη) µπορούν να θεωρηθούν ως γεωµετρικοί τόποι σηµείων των
οποίων ο λόγος της απόστασής του από σταθερό σηµείο, που ονοµάζεται εστία (focus), και της απόστασής του
από ευθεία, που ονοµάζεται διευθετούσα (directrix), είναι ίσος µε µία σταθερά ε που ονοµάζεται εκκεντρότητα.
Αν η εστία της κωνικής επιλεχθεί στην αρχή ενός πολικού συστήµατος συντεταγµένων (ρ,θ) τότε
κ εδ
ρ
1 εσυνθ 1 εσυνθ
= =
− −
όπου κ = ΟΚ και δ = ΟΜ = απόσταση εστίας – διευθετούσας
Ο
y
x
εστία
δ
Κ
Μ
κ
διευθετούσα
Η κωνική είναι:
έλλειψη αν ε<1
παραβολή αν ε=1
υπερβολή αν ε>1
35. 34 Καµ̟ύλες δευτέρου βαθµού Μαθηµατικό Τυπολόγιο
34 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
4.13 Καμπύλες δευτέρου βαθμού
44..1133..11 ΟΟρριισσµµόόςς
Καµπύλη 2ου
βαθµού είναι η εξίσωση ƒ(x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2∆x+2Εy+Ζ = 0
Κάθε κωνική τοµή µπορεί να παρασταθεί από µία εξίσωση 2ου
βαθµού.
44..1133..22 ∆∆ιιεερρεεύύννηησσηη
Εστω ότι µετασχηµατίζουµε το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων xΟy σε κάποιο άλλο xΌ΄y΄ και η κα-
µπύλη 2ου
βαθµού γίνεται από Αx²+Βxy+Γy²+2∆x+2Εy+Ζ = 0 που ήταν σε
Α΄x²+Β΄xy+Γ΄y²+2∆΄x+2Ε΄y+Ζ΄ = 0. Αποδεικνύεται ότι είναι αναλλοίωτα τα µεγέθη:
A B ∆ A B ∆
D B Γ Ε B Γ Ε D
∆ Ε Ζ ∆ Ε Ζ
′ ′ ′
′ ′ ′ ′= = =
′ ′ ′
A B A B
d d
Β Γ Β Γ
′= = =
S = A + Γ = Α΄ + Γ΄ = S΄
Επίσης ορίζουµε Q=∆²-ΑΖ
Ισχύει ο παρακάτω πίνακας διερευνήσεως:
α/α d D D⋅⋅⋅⋅S Q ∆ιάφορα Περιγραφή καµ̟ύλης
1 (κ) - - - - Α=Γ Β=0 Κύκλος
<0 - - Πραγµατική έλλειψη
≠0
>0 - - Φανταστική έλλειψη2 (ε) >0
=0 - - - Ζεύγος φανταστικών ευθειών
≠0 - - - Κανονική υπερβολή
3 (υ) <0
=0 - - - Ζεύγος τεµνόµενων ευθειών
≠0 - - - κανονική παραβολή
<0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (διακεκριµ.)
=0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (ταυτιζοµένων)
4 (π) =0
=0 -
>0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (φανταστικών)
44..1133..33 ΜΜεεττααττρροο̟̟ήή σσεε κκααννοοννιικκήή µµοορρφφήή
Η γενική εξίσωση ƒ(x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2∆x+2Εy+Ζ = 0 µπορεί να µετατραπεί σε µία απλούστερη
µορφή αλλάζοντας το σύστηµα συντεταγµένων σε καποιο άλλο x΄Ο΄y΄ έτσι ώστε το κέντρο της καµπύλης
(πλην παραβολής που δεν έχει κέντρο) να ταυτίζεται µε το Ο΄ και ο άξονας x΄ να ταυτίζεται µε ένα άξονα
της καµπύλης.
44..1133..33..11 ΓΓιιαα κκύύκκλλοο,, έέλλλλεειιψψηη,, υυππεερρββοολλήή::
Το κέντρο (xο, yο) της καµπύλης βρίσκεται επιλύνοντας το σύστηµα
o
o
o
o
x x
x x
Β ∆
ƒ Γ Ε0 xx d
∆ Αƒ
0
Ε Βy
y
d
=
=
∂
= =∂
⇔
∂ =
∂ =
36. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Καµ̟ύλες δευτέρου βαθµού 35
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 35
Το σύστηµα έχει στραφεί κατά γωνία φ µε
1 2Β
φ τοξεφ
2 Α Γ
=
−
, µε τον περιορισµό Βηµ2φ>0
Ο συντελεστής διεύθυνσης του Ο΄x΄ είναι λΟ΄x΄
2 2
(A Γ) (Α Γ) 4Β
2Β
− − + − +
=
και του άξονα Ο΄y΄ είναι λΟ΄y΄=-1/λΟ΄x΄
Η εξίσωση της καµπύλης στο νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι 2 2 D
A x Γ y 0
d
′ ′ ′ ′+ + =
όπου Α΄ και Γ΄ είναι οι ρίζες της εξίσωσης z²-Sz+d = 0 δηλαδή:
2 2
A Γ (Α Γ) 4Β
A
2
+ + − +
′ = και
2 2
A Γ (Α Γ) 4Β
Γ
2
+ − − +
′ =
44..1133..33..22 ΓΓιιαα ππααρρααββοολλήή
Για την παραβολή που δεν έχει κέντρο η εξίσωσή της στο νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι y΄²=2ρ΄x΄
όπου
2 2
ΑΕ Β∆
ρ
S A B
−
′ =
+
Οι συντεταγµένες του νέου συστήµατος συντεταγµένων (xο,yο) του νέου συστήµατος που είναι και η κορυφή
της παραβολής είναι η λύση του συστήµατος:
o o
o o
ASx BSy (A∆ ΒΕ) 0
(∆S ∆Γ ΒΕ)x (ES AE Β∆)y ZS 0
+ + + =
+ − + + − + =
και η γωνία στροφής των αξόνων δίνεται από την σχέση
Α
φ τοξεφ
Β
= −
37. 36 Συστήµατα συντεταγµένων Μαθηµατικό Τυπολόγιο
36 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
5 Αναλυτική γεωµετρία στον χώρο
5.1 Συστήματα συντεταγμένων
55..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν
Χρησιµοποιεί 3 άξονες, x, y, και z µε κοινή αρχή Ο. Υπάρχει µία αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των
σηµείων του χώρου και των τριάδων (x, y, z) όπου x, y, z ϒ
55..11..22 ΚΚυυλλιιννδδρριικκόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν
Η θέση του σηµείου Α ορίζεται από το µέτρο του διανύσµατος ρ του
επιπέδου xy, τη γωνία φ (0≤φ<2π) που σχηµατίζεται µε τον άξονα
Οx και την συντεταγµένη z
Για την µετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό ισχύει:
2 2
ρ x y
x=ρσυνφ
y y xy=ρηµφ και φ τοξεφα τοξηµ τοξσυν
x ρ ρ
z=z z z
= +
= = =
=
55..11..33 ΣΣφφααιιρριικκόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν
Η θέση του σηµείου Α ορίζεται από το µέτρο του διανύσµατος r του
χώρου, τη γωνία φ (0≤φ<2π) που σχηµατίζει η προβολή του r στο
xy επίπεδο µε τον άξονα Οx τη γωνία θ (0≤θ<π) που σχηµατίζει το r
µε τον άξονα Οz
Για την µετατροπή από καρτεσιανό σε σφαιρικό ισχύει:
2 2 2
2 2 2 2
2 2
ρ x y z
x=rηµθσυνφ
y y xy=rηµθηµφ φ τοξεφα τοξηµ τοξσυν
x x y x y
z=rσυνθ
x yzz τοξσυν τοξεφ
r z
= + +
= = =
+ +
+
= =
55..11..44 ΠΠααρράάλλλληηλληη µµεεττααφφοορράά σσυυσσττήήµµααττοοςς σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν
Για να µεταβούµε από το σύστηµα Οxyz στο σύστηµα Ο΄x΄y΄z΄ το οποίο έχει παράλληλους άξονες µε το
αρχικό και το σηµείο Ο΄ έχει συντεταγµένες (α, β, γ) σε σχέση µε το αρχικό:
x΄ = x – α
y΄ = y – β
z΄ = z – γ
x
z
Ο y1
Α(x1,y1,z1)
z1
x1 y
x
z
Ο y1
Α(r, φ, θ)
z1
r
x1 y
Α’
φ
θ
x
z
Ο
Α(ρ, φ, z)
z1
ρ
y
Α’
φ
38. Μαθηµατικό Τυπολόγιο Α̟όσταση δύο σηµείων 37
Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 37
5.2 Απόσταση δύο σημείων
Η απόσταση των σηµείων Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) είναι:
2 2 2
AB 2 1 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −
5.3 Σημείο που διαιρεί τμήμα σε λόγο λ
Αν Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) δύο σηµείων και Κ(xο, yο, zο) ένα σηµείο τέτοιο ώστε AK
KB
uuur
uuur =λ τότε οι συντε-
ταγµένες του Κ είναι:
1 2
0
x λx
x
1 λ
+
=
+
, 1 2
0
y λy
y
1 λ
+
=
+
, 1 2
0
z λz
z
1 λ
+
=
+
Αν λ>0 το Μ είναι εντός του ΑΒ
Αν λ<0 το Μ είναι έξω από το ΑΒ
Αν λ=1 το Μ είναι το µέσο του ΑΒ
5.4 Εμβαδό τριγώνου
Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σηµεία του χώρου τότε το εµβαδό του τριγώνου σπου σχη-
µατίζουν δίνεται από τον τύπο:
2 2 2
1 2 3
1
A A A A
2
= + +
όπου
1 1
1 2 2
3 3
x y 1
A x y 1
x y 1
= ,
1 1
2 2 2
3 3
y z 1
A y z 1
y z 1
= και
1 1
2 2 2
3 3
z x 1
A z x 1
z x 1
=
5.5 Όγκος τετραέδρου
Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2), Γ(x3, y3, z3) και ∆(x4, y4, z4) είναι οι κορυφές τετραέδρου τότε ο όγκος του δίνε-
ται από τη σχέση:
1 2 1 2 1 2
1 3 1 3 1 3
1 4 1 4 1 4
x x y y z z
1
V x x y y z z
6
x x y y z z
− − −
= − − −
− − −
39. 38 Ε̟ί̟εδα Μαθηµατικό Τυπολόγιο
38 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος
5.6 Επίπεδα
55..66..11 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εε̟̟ιι̟̟έέδδοουυ
Σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι:
Αx + Βy + Γz + ∆ = 0
Τέµνει τους άξονες στα σηµεία x=-∆/Α, y=-∆/Β, z=-∆/Γ
55..66..22 ΕΕιιδδιικκάά εε̟̟ίί̟̟εεδδαα
ΕΕ̟̟ίί̟̟εεδδοο ΤΤιιµµήή σσττααθθεερρώώνν ΕΕξξίίσσωωσσηη εε̟̟ιι̟̟έέδδοουυ
∆ιέρχεται από την αρχή ∆ = 0 Αx + Βy + Γz = 0
⊥ στο Οxy επίπεδο Γ = 0 Αx + Βy + ∆ = 0
⊥ στο Οxz Β = 0 Αx + Γy + ∆ = 0
⊥ στο Οyz Α = 0 Βy + Γz + ∆ = 0
Π στο Οxy Α = Β = 0 Γz + ∆ = 0
Π στο Οxz Α = Γ = 0 Βy + ∆ = 0
Π στο yz Β = Γ = 0 Αx + ∆ = 0
περιέχει τον x άξονα Α = ∆ = 0 Βy + Γz = 0
περιέχει τον y άξονα Β = ∆ = 0 Αx + Γz = 0
περιέχει τον z άξονα Γ = ∆ = 0 Αx + Βy = 0
το επίπεδο Οxy Α = Β = ∆ = 0 z = 0
το επίπεδο Οyz Β = Γ = ∆ = 0 x = 0
το επίπεδο Οxz Α = Γ = ∆ = 0 y = 0
55..66..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εε̟̟ιι̟̟έέδδοουυ ̟̟οουυ ττέέµµννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς
Αν το επίπεδο τέµνει τους άξονες στα σηµεία α, β, γ τότε η εξίσωσή του είναι:
yx z 0
α β γ
+ + =
55..66..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εε̟̟ιι̟̟έέδδοουυ ̟̟οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι αα̟̟όό 33 σσηηµµεείίαα
Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σηµεία του χώρου τότε ορίζουν το επίπεδο:
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
x x y y z z
x x y y z z 0
x x y y z z
− − −
− − − =
− − −
55..66..55 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εε̟̟ιι̟̟έέδδωωνν
Για τα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + ∆1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + ∆2 = 0 η γωνία τους είναι:
