Η Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
1ος τρόπος
Έχουμε
   2 2 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = α + β + 3 α + β + 3β + 3
Το τελευταίο είναι τριώνυμο ως προς α με διακρίνουσα
     
2 22
Δ = β + 3 - 4 β + 3β + 3 = -3 β + 1 0
 Αν β -1 τότε Δ < 0 και άρα
   2 2
α + β + 3 α + β + 3β + 3 > 0 για κάθε α  ,
δηλαδή
2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 > 0 για κάθε α 
 Αν β = -1 τότε
 
22 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = α + 2α + 1 = α + 1 0
Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει
2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 0 για κάθε α,β 
Από τα παραπάνω προκύπτει πως η ισότητα ισχύει για α = β = -1
2ος τρόπος
Κάνοντας συμπλήρωση τετραγώνου έχουμε
   
 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = α + β + 3 α + β + 3β + 3
β + 3 β + 3 β + 3
= α + 2 α + - + β + 3β + 3
2 2 2
β + 3 β + 1
= α + + 3 0
2 2
   
   
   
   
   
   
Η ισότητα ισχύει όταν
β + 3
α + = 0
2
και α = β = -1
β + 1
= 0
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β)
1ος τρόπος
Λύνει ο Παύλος Τρύφων

2. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε δηλαδή για τους αριθμούς α,β με α β ισχύει
   
     
       
  
3 2 3 2
3 3 2 2
2 2
2 2
α β
2 2
α)
P α = P β
α + 3α + 3α + 2 = β + 3β + 3β + 2
α - β + 3 α - β + 3 α - β = 0
α - β α + αβ + β + 3 α - β α + β + 3 α - β = 0
α - β α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = 0
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = 0
α = β = -1,άτοπο







Οπότε ισχύει το ζητούμενο.
β)
2ος τρόπος
Μπορεί να αποδειχθεί το ζητούμενο ανεξάρτητα από το α) ερώτημα, ως εξής:
Με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε δηλαδή για τους αριθμούς α,β με α β ισχύει
   
   
   
   
3 2 3 2
3 2 3 2
3 3
3 3
P α = P β
α + 3α + 3α + 2 = β + 3β + 3β + 2
α + 3α + 3α + 1 + 1 = β + 3β + 3β + 1 + 1
α + 1 + 1 = β + 1 + 1
α + 1 = β + 1
α + 1 = β + 1
α = β, άτοπο.






Οπότε ισχύει το ζητούμενο.

3. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
     
      
      
          
     
     
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 0
α + αβ + β + 2α + α + 2β + β + 1 + 1 + 1 0
α + 2α + 1 + β + 2β + 1 + αβ + α + β + 1 0
α + 1 + β + 1 + α β + 1 + β + 1 0
α + 1 + β + 1 + β + 1 α + 1 0
2 α + 1 + 2 β + 1 + 2 β + 1 α + 1 0
α + 1 + β + 1 + 2 β + 1 α + 1 + α + 1 + β + 1 0
α + 1 + β + 1 + α + 1 + β + 1 0
α + β + 2 + α + 1 + β + 1 0









Το οποίο προφανώς και ισχύει.
Όσον αφορά την ισότητα πρέπει:
α + β + 2 = 0
α + 1 = 0 α = β = -1
β + 1 = 0





β)
1ος τρόπος
Έστω οτι α,β με α β τέτοια ώστε να ισχύει    Ρ α = Ρ β . Δηλαδή:
       
  
3 2 3 2
3 3 2 2
2 2
2 2
α)
2 2
α + 3α + 3α + 2 = β + 3β + 3β + 2
α - β + 3α - 3β + 3α - 3β = 0
α - β α + αβ + β + 3 α - β α + β + 3 α - β = 0
α - β α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = 0
α = β ή α + αβ + β + 3α + 3β + 3 α = β = -1
Επομένως και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε σε άτοπο.
Δηλαδή α,β με α β ισχύει οτι    Ρ α Ρ β .
2ος τρόπος
Παραγωγίζοντας την πολυωνυμική συνάρτηση   3 2
Ρ x = x + 3x + 3x + 2 προκύπτει οτι
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης

4. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
     
22 2
Ρ' x = 3x + 6x + 3 = 3 x + 2x + 1 = 3 x + 1 0
Δηλαδή,
Ρ1 Ρείναι ''1- 1'' συνάρτηση  α,β με α β ισχύει ότι    Ρ α Ρ β

5. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) ‘Έστω
 2 2
A = α + αβ + β + 3 α + β + 3, α,β 
Τότε,
α΄ τρόπος
     
      
   
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
A = α + 2α + 1 + β + 2β + 1 + αβ + α + β + 1
A = α + 1 + β + 1 + α β + 1 + β + 1
A = α + 1 + β + 1 + α + 1 β + 1
β + 1 β + 1 β + 1
A = α + 1 + 2 α + 1 + + 3
2 2 2
β + 1 β + 1
A = α + 1 + + 3 0 για κάθε α,β
2 2



   
   
   
   
    
   
Η ισότητα ισχύει για α = β = -1
β΄ τρόπος
 
     
2 2
2 22 2
A = α + β + 3 α + β + 3β + 3
Δ = β + 3 - 4 β + 3β + 3 = -3β - 6β - 3 = -3 β + 1 0
 Αν β = -1, τότε  
22
Α = α + 2α + 1 = α + 1 0 με την ισότητα για 1    
 Αν β -1 , τότε Δ < 0, άρα Α > 0 , για κάθε α  .
Άρα
Α 0 για κάθε α,β  με Α = 0 , αν α = β = -1
β)      
33 2
Ρ x = x + 3x + 3x + 2 Ρ x = x + 1 + 1,x 
Για κάθε α,β  με α β , ισχύουν
           
3 3 3 3
α + 1 β + 1 α + 1 β + 1 α + 1 + 1 β + 1 + 1 P α P β      
Λύνει η Ντίνα Ψαθά

6. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Θεωρώ την αλγεβρική παράσταση 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 τριώνυμο ως προς α
(ή β) και το ονομάζω   2 2
Ρ α = α + (β + 3)α + β + 3β + 3 με διακρίνουσα
     
2 22
Δ = β + 3 - 4 β + 3β + 3 = -3 β + 1 0 β  .
Άρα  Ρ α 0 α  με την ισότητα να ισχύει μόνο για β = -1 και α = -1
(από Δ = 0 και
β
x = -
2α
).
Διαφορετικά
Η ζητούμενη ανισότητα ισοδύναμα γράφεται
     
2 2 22 2
2α + 2αβ + 2β + 6α + 6β + 6 0 α + 1 + β + 1 + α + β + 2 0  
που ισχύει α,β  με την ισότητα μόνο για α = β = -1.
β)    
3
Ρ x = x + 1 + 1 στο άρα και 1 1 .
Διαφορετικά
Αν α,β  με
               2 2
Ρ α = Ρ β α - β α + αβ + β + 3 α - β α + β + 3 α - β = 0 α - β Ρ α = 0  
α = β ή  Ρ α = 0 (που από το α) ισχύει μόνο για α = β = -1) α = β .
Άρα α,β  με    α β Ρ α Ρ β   .
Λύνει ο Κώστας Δεββές

7. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Για κάθε α,β  ισχύει: 2 2
α + αβ + β 0 Το ίσον μόνον για α = β = 0 .
Απόδειξη
Έστω ότι ισχύει
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
α + αβ + β 0 2α + 2αβ + 2β 0 α + 2αβ + β + α + β 0
α + β + α + β 0
    
 
Που ισχύει και λόγω των ισοδυναμιών θα ισχύει και η αρχική.
Το ίσον ισχύει μόνον αν α + β = α = β = 0 α = β = 0
α)
Είναι
     
       
      
2 2
2 2
2 2
2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 =
α + 2α + 1 + β + 2β + 1 + αβ + α + β + 1 =
α + 1 + β + 1 + α β + 1 + β + 1 =
α + 1 + β + 1 + α + 1 β + 1 0
 
 

Ισχύει λόγω του παραπάνω.
Το ίσον ισχύει μόνον όταν α + 1 = β + 1 = 0 α = β = -1 .
β)
Είναι
       
     
       
  
3 2 3 2
3 3 2 2
2 2
2 2
P α - P β = α + 3α + 3α + 2 - β + 3β + 3β + 2 =
α - β + 3 α - β + 3 α - β =
α - β α + αβ + β + 3 α - β α + β + 3 α - β =
α - β α + αβ + β + 3α + 3β + 3 0
Γιατί α β α - β 0   και 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 > 0 λόγω του (α) ερωτήματος αφού
το ίσον ισχύει μόνον για α = β = -1.
Άρα        P α - P β 0 P α P β   .
Λύνει ο Τρύφωνας Ζωϊτσάκος

8. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Θέλουμε να δείξουμε ότι: 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 0, α,β    1
Αρκεί να δείξουμε ότι:
2 2
α + 2α + 1 + β + 2β + 1 + αβ + α + β + 1 0, α,β  
                
2 2 2 2
α + 1 + β + 1 + α β + 1 + β + 1 0 α + 1 + β + 1 + α + 1 β + 1 0, 2   
Θεωρούμε x = α + 1 και y = β + 1 , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι:
2
2
2 2 2 2
y
1 1 3
x + y + xy 0, x,y x 2 xy + y + y 0, x,y
2 2 4
 
         
 
2
21 3
x + y + y 0
2 4
 
  
 
, το οποίο προφανώς ισχύει ( άθροισμα θετικών).
Η ισότητα θα ισχύει όταν
1
x y 0 y 0 x 0 y 0
2
        , που σημαίνει
ότι: α + 1 = 0 και β + 1 = 0 α = -1 και β = -1.
β)
1ος Τρόπος
Για α β υποθέτουμε ότι:
3 2 3 2
P( ) P( ) 3 3 2 3 3 2                
   
        
3 3 2 2
2 2
α - β + 3 α - β + 3 α - β = 0
α - β α + αβ + β + 3 α - β α + β + 3 α - β = 0

 
  2 2
2 2
α - β α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = 0
α - β = 0 ή α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = 0


Σε κάθε περίπτωση λόγω της (α) προκύπτει   , το οποίο είναι άτοπο, άρα P( ) P( ).  
2ος Τρόπος
Επειδή η παράγωγος της συνάρτησης 3 2
P(x) x 3x 3x 2    είναι:
   
22 2
P (x) 3x 6x 3 3 x 2x 1 3 x 1 0, x            , και το ίσον ισχύει μόνον για
x 1  , συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι "1 1"
και άρα για
α β P(α) P(β).  
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος

9. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Α)
Θεωρούμε την παράσταση Α= 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3,για κάθε α,β .
 Αν α=β, τότε: Α= 2 2
3α + 6α + 3 = 3(α + 1) 0 , που ισχύει για κάθε α .
 Αν α β τότε:
A =   2 2
α + αβ + β + 3 α + β + 3 =
     
 
2 2
3 ( ) 3( )                    
 
  
3 3 2 2 3 3 x 1
1
3 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)


                 
 
       

3 3
2 2x
x x 0
x
 
      
 
, για κάθε x, ψ (άρα και για κάθε α, β )
 Η ισότητα ισχύει όταν x = ψ = 0, όταν δηλαδή α = β = -1.
Β)
Είναι:
3 2 3
P(x) x 3x 3x 2 (x 1) 1       , x  .
3 3
P(α) = (α + 1) + 1 , P(β) = (β + 1) + 1.
     
0
(1 ερ.)
3 3
2 2
P(α) - P(β) = (α + 1) - (β + 1)
= α - β α + αβ + β + 3 α + β (α - β) + 3(α - β) =
= (α - β) Α 0
=
 
 
Αφού από υπόθεση έχουμε   , που εξασφαλίζει επιπλέον ότι το Α > 0 (αφού Α = 0,
όταν α = β = 1, που απορρίπτεται και αυτό), τελικά P(α) - P(β) 0 P(α) P(β)   .
Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος

10. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1ος τρόπος
(α)
2 2 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = α + 2α + 1 + β + 2β + 1 + αβ + α + β + 1 =
      
2 2
= α + 1 + β + 1 + α + 1 β + 1 0 για κάθε α,β 
καθώς ισχύει 2 2
x xy y 0   για κάθε x,y  .
Η ισότητα ισχύει για α = -1 και β = -1 .
2ος τρόπος
 
2 2
2 2 2 2 β + 3 3β 3β 3
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 = α + β + 3 α + β + 3β + 3 = α + + + +
2 4 2 4
 
 
 
 
2
2β + 3 3
= α + + β + 1 0
2 4
 
 
 
για κάθε α,β  .
3ος τρόπος
Το τριώνυμο    2 2
f α = α + β + 3 α + β + 3β + 3 , με α  έχει διακρίνουσα
     
2 22 2
Δ = β + 3 - 4 β + 3β + 3 = -3β - 6β - 3 = - β + 1 0 για κάθε β  , άρα
   2 2
f α = α + β + 3 α + β + 3β + 3 0 για κάθε α,β  .
4ος τρόπος
Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ανισότητα  
22 2 3
α + αβ + β α + β
4
 έχουμε :
   
2
22 2 α + β3
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 α + β + 3 α + β + 3 = 3 + 1 0
4 2
 
  
 
(β)
1ος τρόπος
Η συνάρτηση   3 2
P x x 3x 3x 2    , x  είναι παραγωγίσιμη στο με
   
22
P x 3x 6x 3 3 x 1 0       , για κάθε x  και το « ίσον» ισχύει μόνο γιαx 1  ,
άρα η P είναι γνησίως αύξουσα , άρα και ‘1-1’ , οπότε για    α β P α P β   .
2ος τρόπος
Για    έχουμε :
       3 3 2 2
P α - P β = α - β + 3 α - β + 3 α - β =
  2 2
= α - β α + αβ + β + 3α + 3β + 3 0
αφού α β οπότε και 2 2
α + αβ + β + 3α + 3β + 3 > 0 .
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης

11. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
3ος τρόπος
   
33 2
P x x 3x 3x 2 x 1 1       , x 
οπότε
       
3 3
P α = P β α + 1 = β + 1 α + 1 = β + 1 α = β  
άρα
   α β P α P β   .

12. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η Λύση
α)
Έστω 2 2
Α = α + αβ + β + 3α + 3β + 3 .
Η παράσταση Α γράφεται:
2 2
2 2 2 2
2 2
Α = α + α(β + 3) + β + 3β + 3 0 α,β αφού
Δ = (β + 3) - 4(β + 3β + 3) = β + 6β + 9 - 4β - 12β - 12
= -3β - 6β - 3 = -3(β + 1) 0
  

Το «=» ισχύει όταν β = -1 οπότε και η παράσταση Α γίνεται:
2 2
Α = α + 2α + 1 = (α + 1) και έχουμε Α = 0 όταν α = -1
β)
Με τη βοήθεια του (α) ερωτήματος
Έστω
3 2 3 2
3 3 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) 3 3 2 3 3 2
α - β + 3(α - β ) + 3(α - β) = 0
(α - β)(α + αβ + β + 3α + 3β + 3) = 0 και αφού α β
τότε α + αβ + β + 3α + 3β + 3 > 0
άρα α - β = 0 α = β ΑΤΟΠΟ
                   



Άρα Ρ(α) Ρ(β)
2η Λύση
α)
Η παράσταση γίνεται:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Α = α + αβ + β + 3α + 3β + 3
= α + αβ + β + 2α + α + 2β + β + 1 + 1 + 1
= α + +2α + 1 + β + 2β + 1 + αβ + α + β + 1
= (α + 1) + (α + 1)(β + 1) + (β + 1) 0 α,β
ύ Δ = (β + 1) - 4(β + 1) = -3(β + 1) 0
(Το θεωρώ τριώνυμο ως προς (α + 1))
  
 
Το « = » ισχύει όταν α = -1 και β = -1
β)
Το πολυώνυμο
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

13. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
3 2
(x) x 3x 3x 2     γράφεται:
3 2 3
(x) x 3x 3x 1 1 ( 1) 1         
οπότε αν υποθέσουμε ότι
3 3
Ρ(α) = Ρ(β) (α + 1) + 1 = (β + 1) + 1
α + 1 + β + 1 α = β

 
ΑΤΟΠΟ αφού α β
Σημείωση:
Θα μπορούσαμε να βρούμε τη μονοτονία της Ρ(x) με παράγωγο, δηλαδή
2
Ρ (x) = 3x + 3x + 3 > 0 αφού Δ = 9 - 36 = -27 < 0
Άρα η Ρ είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 οπότε αν
α β Ρ(α) Ρ(β)  

14. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Ξεκινώντας από την δοσμένη ανίσωση έχουμε :
   
       
       
    
     
   
   
  
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
α + α β + β + 3 α + 3 β + 3 0
α + α β + β + 2 α + α + 2 β + β + 1 + 1 + 1 0
α + 1 + β + 1 + α β+ α + β + 1 0
α + 1 + β + 1 + α β + 1 + β + 1 0
α + 1 + β + 1 + β + 1 α + 1 0 ανίσωση (1)
Θεωρώντας το 10 μέλος τριώνυμο ως προς α + 1 έχουμε ότι :   
2
Δ=- 3 β + 1 0
οπότε η ανίσωση (1) αληθεύει για κάθε α,β
Προφανώς η ισότητα ισχύει όταν : α = β = -1
β)
1ος τρόπος
Θα αποδείξουμε ότι : Για κάθε  α,β με α β ισχύει    Ρ α Ρ β δηλαδή
     
      
     
3 2 3 2
3 2 3 2
3 3 2 2
α + 3 α + 3 α + 2 β + 3 β + 3 β + 2
α + 3 α + 3 α + 2 - β - 3 β - 3 β - 2 0
α - β + 3 α - 3 β + 3 α - 3 β 0
Παραγοντοποιώντας έχουμε :
       
   
    
     
2 2
2 2
α - β α + α β + β + 3 α - β (α + β)+ 3 α - β 0
α - β α + α β + β + 3 α + 3 β + 3 0
Η τελευταία σχέση ισχύει διότι : α - β 0 επειδή α β (δεδομένο) και
2 2
α + α β + β + 3α + 3β + 3 > 0 από α) ερώτημα δηλ.  2 2
α + α β + β + 3α + 3β + 3 0
2ος τρόπος
Θεωρούμε τη συνεχή και παραγωγίσημη στο συνάρτηση f με τύπο
      3 2
f x x 3 x 3 x 2 για την οποία έχουμε :
                        
22 2
f΄ x 3 x 6 x 3 f΄ x 3 x 2 x 1 f΄ x 3 x 1 0
οπότε f γνησίως αύξουσα στο άρα f ''1-1'' δηλαδή για κάθε  α,β με α β
ισχύει    f α f β δηλαδή το ζητούμενο .
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς

15. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
1ος τρόπος:
Η παράσταση γίνεται:
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
22
22 2 2
2 2 2
2 2
β + 3β + 3 β + 3
α β + 3 α + β + 3β + 3 = α + 2 α + + β + β + 3 -
2 2 4
β + 3 4β β + 12 - β β - 9
= α + +
2 4
β + 3 3β β + 3
+ 3
= α + +
- 6
2
+ 12
+ 6
  
  
 
22
4
3 β + 1β + 3
= α + +
2 4
0
Η ισότητα ισχύει μόνο όταν:

 
 
 

β + 3
α + = 0 α = -1
2
β = -1
β + 1 = 0
2ος τρόπος:
Η παράσταση γίνεται:  2 2
α + β + 3 α + β + 3β + 3
η οποία ως τριώνυμο του α έχει διακρίνουσα:
   
 


2 2
2 2
22
- 4 + 3
+ 6 - 12
= β + 3 β β + 3
= β β + 9 - 4β β - 12
= -3β β - 3 = -3 β + 1- 6 0
Οπότε   2 2
α + β + 3 α + β 3β + 3+ 0 για κάθε α,β R με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν
β = -1 και α = -1.
β)
Με αντιθετοαντιστροφή.
           
 

3 3 3 3
+ 1 = + 1 α + 1 = β + 1Ρ α = Ρ β α + 1 β + 1
α + 1 = β + 1 α = β
Οπότε αν      β P αα P β
Λύνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης

16. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18