Christos Loizos, profile picture
Uploaded byChristos Loizos
3,114 views

Typologio mathimatikwn

typologio_mathimatikwn

Embed presentation

Downloaded 58 times
-30 -20 -10 0 10 20 30 -20 -10 0 10 20 ΗΗ έέλλιικκαα ττοουυ ΑΑρρχχιιμμήήδδηη ΠΠααππααδδηημμηηττρρίίοουυ ΧΧ.. ΓΓιιώώρργγοοςς ΦΦυυσσιικκόόςς ΈΈκκδδοοσσηη ΒΒ΄΄,, ΑΑννττίίρρρριιοο 22000033
(Y) Πνευματικές Τποχρεώσεις: 2003 Παπαδημητρίου Φ. Γεώργιος Καραϊσκάκη 1, Αντίρριο, ΣΚ 30020 Επιτρέπεται κάθε αντιγραφή μερική ή ολική και με οποιοδήποτε τρόπο, ηλεκτρονικό, μηχανικό ή χειρόγραφο, καθώς και για οποιοδήποτε σκοπό. Σο παρόν γραπτό κείμενο και οι εικόνες που περιέχει είναι τελείως ελεύθερα προς κάθε χρήση από τον δημιουργό τους (ακόμα και για χρήση με την οποία ο δημιουργός ιδεολογικά διαφωνεί) με την μοναδική προϋπόθεση της μη χρήσης του παρόντος ή μέρους αυτού για δημιουργία κειμένου (ή γενικά έργου) με πνευματικά δικαιώματα τα οποία θα στρα- φούν αργότερα κατά της ελεύθερης διάθεσης και διακίνησης του παρόντος πονήματος ή των βελτιώσεων και παραγώ- γων αυτού. Αν συμβεί αυτό, ο συγγραφέας θεωρεί ότι έγινε κακή χρήση του δικαιώματος της ελευθερίας που παρέχει και μπορεί να ασκήσει τα ηθικά και νόμιμα δικαιώματά του. Ο συγγραφέας δεν εγγυάται απόλυτα την ορθότητα των μαθηματικών τύπων του παρόντος και δεν είναι υπεύθυνος για οτιδήποτε προκύψει από τη χρήση τους  ΢χόλια, προτάσεις, βελτιώσεις, υποδείξεις για σφάλματα γίνονται ευχαρίστως δεκτά στις διευθύνσεις: jorgepap@pathfinder.gr jorgebalt@hotmail.com
ΜΜ αα θθ ηη μμ αα ττ ιι κκ άά ΢΢ ύύ μμ ββ οο λλ αα  για κάθε  υπάρχει  ανήκει  δεν ανήκει  συνεπάγεται, άρα  ισοδύναμο  ή  καί  άρνηση  κενό σύνολο ∞ άπειρο  τομή συνόλων  ένωση συνόλων  υποσύνολο  γνήσιο υποσύνολο : τέτοιο ώστε (α, β) ανοιχτό διάστημα, α, β  (α,β) [α, β] κλειστό διάστημα α, β  [α, β] [α, β) ανοιχτό δεξιά διάστημα α[α, β), β[α, β) (α, β] ανοιχτό αριστερά διάστημα β(α, β], α(α, β]
4 Αριθμοί - ΢ύνολα Μαθηματικό Συπολόγιο 4 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 1 Αριθμοί 1.1 ΢ύνολα ΢ύνολο ονομάζεται μία συλογή καλώς ορισμένων και διακριμμένων αντικειμένων, της διαίσθησής μας ή της διάνοιάς μας, που μπορούν να εκλειφθούν ως ολότητα. Αυτά ονομάζονται στοιχεία του συνόλου. 11..11..11 ΤΤπποοσσύύννοολλαα Ένα σύνολο Β είναι υποσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ  xΑ. ΢ημειώνουμε ΒΑ Ένα σύνολο Β είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ  xΑ και  yΑ : y  Β. ΢ημειώνουμε ΒΑ Ένα απειροσύνολο είναι ένα σύνολο αν είναι ισοδύναμο με ένα υποσύνολό του. Σο απειροσύνολο έχει άπειρα στοιχεία. 11..11..11..11 ΆΆλλγγεεββρραα υυπποοσσυυννόόλλωωνν ττοουυ BBoooollee Έστω Ω ένα σύνολο και Α, Β υποσύνολά του. Σότε συμβολίζουμε τις πράξεις: (1) Ένωση των Α και Β: ΑΒ = {xΩ / xΑ ή xΒ} (2) Σομή των Α και Β: ΑΒ = {xΩ / xΑ και xΒ} (3) ΢υμπλήρωμα του Α: A = {xΩ / xΑ} Βασικοί Νόμοι της Αλγεβρας Boole (1) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ Προσεταιριστικότητα (2) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ (3) ΑΒ=ΒΓ Αντιμεταθετικοί Νόμοι (4) ΑΒ=ΒΑ (5) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)(ΑΓ) Αντιμεταθετικοί Νόμοι (6) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)(ΑΓ) (7) A B A B   Νόμοι του De Morgan (8) A B A B   (9) AA=A Νόμοι Αυτοδυναμίας (10) AA=A 11..11..22 ΔΔυυννααμμοοσσύύννοολλοο Έστω σύνολο Α με 10 στοιχεία. Σο σύνολο των υποσυνόλων του έχει 210 στοιχεία και ονομάζεται δυναμοσύ- νολο του Α. ΢υμβολίζεται με 2Α . Σο δυναμοσύνολο ενός συνόλου (πεπερασμένου ή απειροσυνόλου) δεν είναι ποτέ ισοδύναμο με το αρχικό σύνολο. Πάντα περιέχει περισσότερα στοιχεία (Cantor) 11..11..33 ΠΠλληηθθάάρριιθθμμοοιι Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο αν είναι ισοδύναμο (δηλαδή υπάρχει 1-1 και επί αντιστοιχία) με το σύνολο των φυσικών αριθμών . Σο μη-αριθμήσιμο σύνολο δεν μπορεί να μπει σε 1-1 και επί αντιστοιχία με το σύνολο . Πληθάριθμος ενός συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Ο πληθάριθμος του συνόλου  είναι άπειρος συμβολίζεται με 0 και ονομάζεται „άλεφ μηδέν‟. (Άλεφ από το φοινικικό πρώτο γράμμα, το δικό μας άλφα). Σο σύνολο των ρητών  είναι αριθμήσιμο σύνολο άρα έχει πληθάριθμο 0
Μαθηματικό Συπολόγιο Αριθμοί - Προτεραιότητα των πράξεων 5 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 5 Σο σύνολο  των πραγματικών είναι μη-αριθμήσιμο σύνολο και ο πληθάριθμός του συνβολίζεται c kai είναι μεγαλύτερος από αυτόν του συνόλου . To c και ονομάζεται „δύναμη του συνεχούς‟. Ο Cantor έδειξε ότι 0 2 =c, δηλαδή ο πληθάριθμος των πραγματικών ισούται με το πλήθος των υποσυνόλων του . Ακόμα ο Cantor απέδειξε ότι υπάρχουν σύνολα με περισσότερα στοιχεία από το σύνολο , δηλαδή τα ά- πειρα 1, 2, 3… Τπόθεση του ΢υνεχούς του Cantor: c= 0 2 =1 H υπόθεση του συνεχούς δεν είναι δυνατό να αποδειχθεί ή να απορριφθεί αλλά αποδείχθηκε ότι είναι ένα ανεξάρτητο αξίωμα, όπως το 5ο αίτημα του Ευκλείδη. 11..11..44 ΣΣαα σσύύννοολλαα ττωωνν ααρριιθθμμώώνν  : σύνολο των Υυσικών αριθμών (Natural) {0, 1, 2, 3, …}  : σύνολο των Ακεραίων αριθμών {…, -2, -1, 0, +1, +2, …}  : σύνολο των Ρητών αριθμών (Rational) { κ λ / κ, λ  }  : σύνολο των Άρρητων αριθμών (Irrational) {x   / x δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα κ λ με κ, λ  } πχ 2 , 3 , e=2,718…, π=3,1415927… (οι αριθμοί x   έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν είναι περιοδικά)  : σύνολο των Πραγματικών αριθμών (Real) {x   / x ή x}  : σύνολο των Μιγαδικών αριθμών (Complex) {z   / z=x+iy με x,y  και i² = - 1} Ισχύει          αλλά και    1.2 Προτεραιότητα των πράξεων Α. Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις Δυνάμεις  Ρίζες  Πολλαπλασιασμοί  Διαιρέσεις  προσθέσεις αφαιρέσεις Β. Όταν υπάρχουν παρενθέσεις Ισχύει η ίδια προτεραιότητα των πράξεων αλλά αρχίζοντας από τις πιο εσωτερικές παρενθέσεις και συνε- χίζοντας προς τις εξωτερικές 1.3 Πρώτοι αριθμοί (Prime numbers) Πρώτοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και την μονάδα. Π.χ. 1, 2, 3, 7, 13, … Σο πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης. Αν ένας αριθμός δεν είναι πρώτος τότε λέγεται σύνθετος. 1.4 Φρυσός αριθμός Αν αναζητήσουμε ένα εσωτερικό σημείο Γ σε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ τέτοιο ώστε AB ΑΓ = AΓ ΓΒ τότε ο λόγος φ= AΓ ΓΒ ονομάζεται λόγος της χρυσής τομής ή χρυσός αριθμός. Αποδεικνύεται εύκολα ότι φ= 5 1 2  και σε δεκαδική προσέγγιση: φ=1,6180339887498948482… Ο αριθμός φ είναι και το όριο ν  ∞ του λό- γου δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci: (1)=1, (2)=1, (3)=(1)+(2) και γενικά (ν)=(ν- 2)+(ν-1) 1.5 Ευκλείδεια διαίρεση Για κάθε φυσικούς αριθμούς Δ (Διαιρεταίος) και δ (διαιρέτης) υπάρχουν φυσικοί αριθμοί π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο), με 0  υ < δ, τέτοιοι ώστε Δ=πδ+υ
6 Αριθμοί - Άρτιοι, περιττοί αριθμοί Μαθηματικό Συπολόγιο 6 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Όταν υ=0 η διάιρεση λέγεται τέλεια 1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθμοί Αρτιος είναι ο αριθμός που διαιρείται με το 2 άρα είναι της μορφής α=2ν. Ζα={0, 2, 4, 6…} Περιττός είναι αυτός που δεν διαιρείται με το 2, άρα αφήνει υπόλοιπο 1. Είναι της μορφής β=2ν+1. Σο σύ- νολό τους είναι Ζπ={1, 3, 5…} 1.7 Διαιρετότητα Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 : αν είναι άρτιος (ζυγός), δηλαδή αν λήγει σε 0, 2, 4, 6, 8 3 : αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 4 : αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι τα 00 ή διαιρούνται με το 4 5 : αν λήγει σε 0 ή 5 6 : αν διαιρείται συγχρόνως με 2 και 3 7 : μετατρέπουμε τον αριθμό στο οκταδικό σύστημα και ελέγχουμε αν το άθροισμα των ψηφίων του διαι- ρείται με το 7 8 : αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται με το 8 9 : αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9 10 : αν λήγει σε 0 11 : αν το αλγεβρικό άθροισμα των ψηφίων με πρόσημο εναλλάξ + και – δίνει αριθμό που διαιρείται με το 11 (άσχετα αν είναι θετικός ή αρνητικός) 1.8 Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής: Κάθε αριθμός τρέπεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγώ- ντων. Η διαδικασία είναι ως εξής: Ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το δύο και (αν ναι) βρίσκουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης. ΢υνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Αν δεν διαιρείται με το δύο ελέγχουμε αν διαιρείται με το 3 και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. ΢υνεχίζουμε μέχρι να μείνει σαν αποτέλεσμα η μονάδα. πχ. 28 14 7 1 2 2 7 28 = 227 = 2²7 200 100 50 25 5 1 2 2 2 5 5 200 = 2³5² 1.9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ο Μ.Κ.Δ. κάποιων αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί ταυτόχρονα όλους τους αριθμούς. Βρίσκεται από την ανάλυση των αριθμών σε γινόμενο παραγόντων. Από κάθε ανάλυση παίρνουμε κάθε κοινό παράγοντα με τον μικρότερο εκθέτη που εμφανίζεται όπως στο παράδειγμα: 60 30 15 5 1 2 2 5 5 60=2²5² 180 90 45 9 3 1 2 2 5 3 3 180=2³53² 1500 750 375 75 15 3 1 2 2 5 5 5 3 Μ.Κ.Δ. (60, 180, 1500) = 2²5 = 45 = 20 ΢υμβολίζεται επίσης και (α,β) Βρίσκεται και με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: Έστω α, β δύο αριθμοί με α>β. Σότε: α=βπ1+υ1
Μαθηματικό Συπολόγιο Αριθμοί - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 7 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 7 β=υ1π2+υ2 υ1=υ2π3+υ3 …………. υν-2=υν-1πν+υν με υν=0, αφού τα υπόλοιπα υ1, υ2, … συνεχώς μικραίνουν Σότε ο ΜΚΔ των α και β είναι ο τελεταίος διαιρέτης υν-1, (ή το προτελεταίο υπόλοιπο) 1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Σο Ε.Κ.Π. κάποιων αριθμών βρίσκεται από την ανάλυσή τους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: Από κάθε ανάλυση παίρνουμε μία φορά καθένα παράγοντα με τον μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζεται. Από το προηγούμε- νο παράδειγμα: 1259 = 4500 ΢υμβολίζεται και [α,β] Πρώτοι προς αλλήλους αριθμοί Δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται πρώτοι προς αλλήλους αν ο Μ.Κ.Δ. τους είναι το 1 1.11 Κλάσματα Κάθε αριθμός της μορφής α β ονομάζεται κλάσμα. Παριστάνει την διαίρεση α:β. Όταν τα α και β είναι πρώτα μεταξύ τους το κλάσμα λέγεται ανάγωγο Όταν α>β το κλάσμα λέγεται καταχρηστικό αλλιώς λέγεται γνήσιο Σο κλάσμα δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με κάποιο αριθμό λ α β = α λ β λ   και α β = α : λ β : λ ΢ύνθετο κλάσμα: Πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους με τους μέσους = α δ β γ   Προσοχή: 2 2 2 1 23 3 55 3 5 15 1      και 7 7 7 5 351 2 2 2 1 2 5 5      ΢υνεχές είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή άθροισμα ακεραίου και κλάσματος, π.χ.: 1 1 2 3  1.12 Δεκαδικοί αριθμοί Αν σε κάποιο κλάσμα κάνουμε τη διαίρεση υπάρχουν μόνο δύο πιθανές καταστάσεις: α) η διαίρεση να τερματίζεται β) η διαίρεση να μην τερματίζεται αλλά να οδηγεί σε περιοδική επανάληψη των δεκαδικών πχ. 9 2,25 4  και 10 3,3333333... 3, 3 3   και 7 1,1666666... 1,16 6   και 20 1,571428571428... 1,571428 7   ΢τη δεύτερη περίπτωση ο αριθμός λέγεται περιοδικός δεκαδικός και το ψηφίο (ή ψηφία) που επαναλαμβά- νονται λέγονται περίοδος του αριθμού. Ο περιοδικός δεκαδικός λέγεται απλός (simple) αν η περίοδος ξεκινά αμέσως μετά το κόμμα, 2,66666… και μικτός (mixed) αν ξεκινά μερικά ψηφία μετά, 2,3473737373… ΢την περίπτωση αυτή τα δεκαδικά ψηφία πρίν την περίοδο (73) λέγονται αντιπερίοδος (34). Κάθε δεκαδικός μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με τον εξής τρόπο, που θα φανεί μέσα από το παράδειγμα: α β γ δ
8 Αριθμοί - Σέλειος αριθμός Μαθηματικό Συπολόγιο 8 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος  Να γίνει κλάσμα ο 31, 97464646… x = 31,9746 104 x = 319746,46 102 x = 3197,46 Αφαιρώντας έχουμε: (104 -102 )x = 316549  9900 x = 316549  x = 316549 9900 Η διαδικασία μπορεί και να αυτοματοποιηθεί: α) Αν ο αριθμός τερματίζει μετά από κάποια δεκαδικά ψηφία τότε ο δεκαδικός ισούται με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή όλα τα ψηφία του αριθμού και παρονομαστή ένα αριθμό με τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκα- δικά ψηφία: 2312 2,312 100  β) Αν ο αριθμός είναι απλός περιοδικός αριθμός, τότε ισούται με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή ίσο με τη διαφορά δύο αριθμών τον αριθμό με την περίοδό του γραμμένη μία μόνο φορά (και χωρίς κόμμα) μείον το ακέραιο μέρος του αριθμού, και ως παρονομαστή έχει ένα αριθμό αποτελούμενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου: 212 2 210 2,12 99 99    και 3 0 3 0,3 9 9    γ) Αν ο αριθμός είναι μικτός περιοδικός τότε ισούται με ένα κλάσμα που στον αριθμητή έχει τον αριθμό χωρίς το δεκαδικό σημάδι με την περίοδο γραμμένη μία φορά μείον τον ίδιο αριθμό χωρίς την περίοδο και στον παρονομαστή έχει ένα αριθμό αποτελούμενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου ακολουθούμενο από τόσα ψηφία 0 όσο το πλήθος ψηφίων της αντιπεριόδου. 2512 25 2487 2,512 990 990    και 47231 472 46759 0,47231 99000 99000    1.13 Σέλειος αριθμός Ένας αριθμός είναι τέλειος όταν ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους. Πχ. 28=1+2+4+7+14. Έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής 27 τέλειοι αριθμοί. 1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθμός Αν συμβολίσουμε με ΢γδ(ν) το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ν τότε αν ΢γδ(ν)<ν ο αριθμός ν λέγεται ελλιπής, και όταν ΢γδ(ν)>ν λέγεται πλήρης. Αν ΢γδ(ν)=ν τότε ο ν είναι τέλειος. 1.15 Υιλικοί αριθμοί Δύο αριθμοί α και β λέγονται φιλικοί όταν ο β ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του α και ο α ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του β. Δηλαδή β=΢γδ(α) και α=΢γδ(β) 220 : γδ(220) = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} με ΢γδ(220) = 284 284 : γδ(284) = {1, 2, 4, 71, 142} με ΢γδ(284) = 220 Υιλικοί είναι ακόμα οι 1184 και 1210, 17296 και 18416 … 1.16 Πυθαγόρειοι αριθμοί Είναι μία τριάδα αριθμών (α, β, γ) που επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρημα: α²=β²+γ² Μία πυθαγόρεια τριάδα λέγεται πρωταρχική αν Μ.Κ.Δ.(α, β, γ)=1 Αν (α, β, γ) μία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η (κα, κβ, κγ) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα. Αν (α, β, γ) μία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η α=2κλ, β=κ²-λ² και γ=κ²+λ² Η τριάδα (2ν+1, 2ν²+2ν, 2ν²+2ν+1), με ν, είναι πυθαγόρεια (Πρόκλος)
Μαθηματικό Συπολόγιο Αριθμοί - Άρρητοι αριθμοί 9 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9 1.17 Άρρητοι αριθμοί Ένας αριθμός που δεν είναι ρητός είναι άρρητος. Οι άρρητοι αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον Πυθαγόρα που απέδειξε το άρρητο του 2 . Άρρητοι είναι: Ο αριθμός π (Lambert 1770). O αριθμός e του Euler, βάση των νεπέρειων λογαρίθμων. Ο αριθμός φ της χρυσής τομής. Όλες οι τετραγωνικές ρίζες ρητών αριθμών που δεν είναι τετράγωνα ρητού. Σα ημθ, συνθ, εφθ με 0<θ<90 εκτός από τα προφανή συν60, ημ30 και εφ45, καθώς και τα αντίστοι- χα για γωνίες θ>90. Οι δεκαδικοί λογάριθμοι logx όταν xδύναμη του δέκα. Όλοι οι αριθμοί ex όταν x ρητός. 1.18 Αλγεβρικοί αριθμοί Ένας πραγματικός αριθμός είναι αλγεβρικός όταν είναι ρίζα μίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πο- λυώνυμο του x με ρητούς συντελεστές. Κάθε ρητός αριθμός είναι αλγεβρικός. Σο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο σύνολο. 1.19 Τπερβατικοί αριθμοί Ένας πραγματικός αριθμός είναι υπερβατικός όταν δέν είναι ρίζα μίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πολυώνυμο του x με ρητούς συντελεστές. Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι σίγουρα άρρητοι. Οι υπερβατικοί αριθμοί υπάρχουν (Cantor). Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι ένα απειροσύνολο και μάλιστα μη-αριθμήσιμο (Cantor, επίσης). Τπερβατικοί αριθμοί είναι: Ο αριθμός π =3,1415927… (Lindemann 1882). Ο αριθμός e =2,718… (Hermite 1873). Οι δεκαδικοί λογάριθμοι που δεν είναι ρητοί. Σα ημθ, συνθ, εφθ που είναι άρρητα. Κάθε ρητός που έχει υψωθεί σε άρρητη δύναμη.
10 Άλγεβρα - Λόγοι και αναλογίες Μαθηματικό Συπολόγιο 10 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2 Άλγεβρα 2.1 Λόγοι και αναλογίες (Ratios and Proportions) Ονομάζουμε λόγο του α και του β≠0 το κλάσμα α β και αναλογία την ισότητα δύο λόγων α β = γ δ . Ονομά- ζουμε τους α, δ ακραίους και τους β, δ μεσαίους όρους. Βασική ιδιότητα: α β = γ δ  αδ=βγ Ιδιότητες αναλογιών: α β = γ δ  δ γ β α  εναλλαγή ακραίων όρων α β = γ δ  α β γ δ  εναλλαγή μεσαίων όρων α β = γ δ  ακ γκ β δ  α β = γ δ  α : κ γ : κ β δ  α β = γ δ  α γ βκ δκ  α β = γ δ  α γ β : κ δ : κ  α β = γ δ  ακ γ βκ δ  α β = γ δ  α : κ γ β : κ δ  α β = γ δ  α β γ δ β δ    α β = γ δ  α γ β α δ γ    α β = γ δ  α β α β γ δ γ δ     α β = γ δ  α β γ δ α β γ δ      α β = γ δ  κα λβ κα λβ κγ λδ κγ λδ      α β = γ δ  κα λβ μα νβ κγ λδ μγ νδ      α β = γ δ = ε ζ = α γ ε β δ ζ     2.2 Απόλυτες τιμές Ορισμός: |α|= α αν α≥0 -α αν α<0 Ιδιότητες: |α|≥0, -|α|  α  |α|, |α|²=α² |αβ|=|α||β| α α β β  ||α|-|β||  |α+β|  |α|+|β| |x|=θ με θ≥0  x=θ ή x=-θ |x|=α με α<0 αδύνατη |x|=|θ|  x=θ ή x=-θ |x|≥θ με θ>0  x≥θ ή xθ |x|≥α με α<0 ισχύει για κάθε x |x|θ με θ>0  -θ x θ |x|α με α<0 αδύνατη
Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα - Σαυτότητες 11 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 11 2.3 Σαυτότητες (α±β)2 =α2 ±2αβ+β² (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³ Για να βρούμε την δύναμη οποιασδήποτε τάξης: ξεκινάμε από την ίδια δύ- ναμη για το α και μειώνουμε κατά ένα ενώ αυξάνουμε κατά ένα την δύναμη του β. ΢τα γινόμενα χρησιμοποιούμε συντελεστές που τους βρίσκουμε από το τρίγωνο του Pascal. ΢ε αυτό κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αμέσως επάνω του αριθμών, εκτός των ακραίων μονάδων. Η΄ εναλλακτικά από τον τύπο του διωνύμου (διώνυμο του Νεύτωνα) (α+β)n = n 0       αn + n 1       αn-1 β+ n 2       αn-2 β2 +…+ n n 1      αβn-1 + n n       βn όπου n k       = n! k!(n k)! (διωνυμικός συντελεστής) και n!=123(n-1)n (ν – παραγοντικό) α²-β²=(α-β)(α+β) (διαφορά τετραγώνων) α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²) - -β)(α³+α²β+αβ²+β³) - - ………………………………… αν -βν =(α-β)(αν-1 +αν-2 β+αν-3 β²+…+αβν-2 +βν-1 ) α²-β²=(α+β)(α-β) - -α²β+αβ²-β³) …………………………… α2ν -β2ν =(α+β)(α2ν-1 -α2ν-2 β+α2ν-3 β2 -…+αβ2ν-2 -β2ν-1 ) α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²) -α³β+α²β²- ………………………………… α2ν+1 +β2ν+1 =(α+β)(α2ν -α2ν-1 β+α2ν-2 β2 -…-αβ2ν-1 +β2ν ) (δεν υπάρχει γενικός τύπος για το α2ν +β2ν ) (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2γα (x+α)(x+β) = x²+(α+β)x+αβ Newton α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα)= 1 2 (α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] Cauchy – Euler -2α²β²-2β²γ²-2γ²α²=-(α+β+γ)(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ) De Moivre (α²+β²)(x²+y²)=(αx+βy)²+(αy-βx)² Lagrange (α²+β²+γ²)(x²+y²+z²)-(αx+βy+γz)² = (αy-βx)²+(βz-γy)²+(αz-γx)² Lagrange (x+α)(x+β)(x+γ)=x³+(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x+αβγ Newton (α+β+γ)³=α³+β³+γ³+3(α+β)(β+γ)(γ+α) Αν α+β+γ=0 τότε α³+β³+γ³=3αβγ Αν α³+β³+γ³=0 τότε α+β+γ=0 ή α=β=γ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 . . . . . . . . Σο τρίγωνο του Pascal
12 Άλγεβρα - Διάταξη - Ανισότητες Μαθηματικό Συπολόγιο 12 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2.4 Διάταξη - Ανισότητες Σο σύνολο  είναι διατεταγμένο. Ισχύει α>β  α-β>0 (Προσοχή: το σύνολο  των μιγαδικών αριθμών ΔΕΝ είναι διατεταγμένο. Δεν έχει νόημα η έκφραση z1>z2 για z1, z2 ) Για οποιοδήποτε ζεύγος πραγματικών ισχύει μία από τις τρεις σχέσεις: α>β, α=β, α<β Ισχύουν α>0 και β>0  α+β>0 και α<0 και β<0  α+β<0 α, β ομόσημοι  αβ>0 ή α β >0 α, β ετερόσημοι  αβ<0 ή α β <0 α > β  α ± γ > β ± γ α>β και β>γ  α>γ μεταβατική ιδιότητα α>β  αγ>βγ, αν γ>0 α>β  α γ > β γ , αν γ>0 αγ<βγ, αν γ<0 α γ < β γ , αν γ<0 α>β  α+γ>β+δ α>β  αγ>βδ γ>δ γ>δ (ισχύει αν α,β,γ,δ θετικοί) Ποτέ δεν αφαιρούμε ή διαιρούμε ανισότητες! α2ν+1 >β2ν+1  α>β α2ν >β2ν  |α|>|β| αν α>β>0  αν >βν αν α>β>0  1 1 α β  αν x>y>0 και α>1 τότε αx >αy αν x>y>0 και α<1 τότε αx <αy αν α>β>0 και ν   τότε ισχύουν: αν >βν ν να β αν α>β>0 και n θετικός ρητός τότε: αn >βn α-n <β-n 22..44..11 ΑΑξξιιοοσσηημμεείίωωττεεςς ΑΑννιισσόόττηηττεεςς:: α²>0  α≠0 α²0  α=0 α β >0  αβ>0 για β≠0 α²+β²+γ²≥0 α>β  αν >βν μόνο αν α>0 και β>0 α²+β²+γ²=0  α=β=γ=0 α²+β²+γ²≠0  α≠0 ή β≠0 ή γ≠0 α>β  α²>β² μόνο αν α>0 και β>0 α>β  α²<β² μόνο αν α<0 και β<0 α+ 1 α  2, α>0 α+ 1 α  -2, α<0
Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα - Διάταξη - Ανισότητες 13 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 13 α β β α  ≥ 2, α,β ομόσημοι α β β α   -2, α,β ετερόσημοι α²+β²2αβ (α+β)²≥4αβ α²+β²+γ²≥αβ+βγ+γα 3( α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)² α³+β³≥αβ(α+β) α³+β³+γ³≥3αβγ αν α+β+γ>0 (α+β)(β+γ)(γ+α)≥8αβγ, α,β,γ+ 2(α³+β³+γ³)≥αβ(α+β)+βγ(β+γ)+γα(γ+α), α,β,γ+ 2(α²+β²)≥(α+β)² 3(α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)² α β γ 3 β γ α    , α,β,γ+ ν ν ν ν ν ν α β γ 3 β γ α    , α,β,γ+ και ν ν(α1²+α2²+…+αν²)≥(α1+α2+…+αν)² (αx+βy)² (α²+β²)(x²+y²) (α+β+γ) 1 1 1 α β γ        ≥9 αν α, β, γ ≥ 0 τότε: α³+β³+γ³≥3αβγ α+β+γ≥3 3 αβγ αν α,β,γ πλευρές τριγώνου τότε: α<β+γ, β<α+γ, γ<α+β |β-γ|<α<β+γ (και με κυκλική εναλλαγή των δεικτών) Για α, β  0 ισχύουν: α+β≥2 αβ 1 1 α β  ≥ 2 αβ 2 2 α β α β α β 2     2 2 α β 1 1 1 α β 2 α β         αβ α β α β 4    4 1 1 α β α β    22..44..22 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρριιθθμμηηττιικκοούύ –– ΓΓεεωωμμεεττρριικκοούύ –– ΑΑρρμμοοννιικκοούύ μμέέσσοουυ αν α1, α2, …αν > 0 1 2 ν ν 1 2 ν 1 2 ν α α ... α ν α α ... α 1 1 1ν ... α α α            αριθμητικός μέσος ≥ γεωμετρικός μέσος ≥ αρμονικός μέσος Arithmetic≥Geometrical≥Harmonic ανισότητα A-G-H 22..44..33 ΑΑννιισσόόττηητταα BBuunniiaakkoosskkii--CCaauucchhyy--SScchhwwaarrttzz ((BB--CC--SS)) (α1β1+α2β2+…+ανβν)²( 2 2 2 1 2 να α ... α   )( 2 2 2 1 2 νβ β ... β   ) ή 2ν ν ν 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 α β α β             Η ισότητα ισχύει όταν ν1 2 1 2 ν αα α ... β β β   Αν α=(α1,α2,…,αν) και β=(β1,β2,…,βν) διανύσματα ενός χώρου ν , <α,β> το εσωτερικό τους γινόμενο και |α| και |β| τα μέτρα τους τότε η Buniakoski-Cauchy-Schwartz γράφεται και ως εξής: |<α,β>|  |α||β| με την ισότητα να ισχύει όταν τα α και β γραμμικά εξαρτημένα
14 Άλγεβρα - Διάταξη - Ανισότητες Μαθηματικό Συπολόγιο 14 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 22..44..44 ΑΑννιισσόόττηητταα HHööllddeerr Αν p, q>1 και 1 1 p q  =1 τότε i 1 1 n n np qqp i i i i 1 i 1 i 1 α β α β                    Η ισότητα ισχύει όταν |α1|p-1 /|β1|=|α2|p-1 /|β2|=… 22..44..55 ΑΑννιισσόόττηητταα MMiinnkkoowwsskkii.. Αν p>1 και αi, βi≥0 τότε 1 1 1 n n np p p p p p i i i i i 1 i 1 i 1 α β (α β )                           Η ισότητα ισχύει όταν α1/β1=α2/β2=…=αn/βn 22..44..66 ΑΑννιισσόόττηητταα CChheebbyysshheevv Αν α1≥α2≥…≥αn και β1≥β2≥…≥βn τότε: 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β α β α β ... α β n n n                  ή   1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β n(α β α β ... α β )          Η ισότητα ισχύει αν α1=α2=…=αn και β1=β2=…=βn 22..44..77 ΑΑννιισσόόττηητταα WWeeiieerrssttrraassss Αν α1, α2, α3, …, αν≥0 τότε (1+α1)(1+α2)…(1+αν) ≥ 1+(α1+α2+…+αν) 22..44..88 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρρχχιιμμήήδδηη μ, ν ≥ 0 1μ +2μ +…+(ν-1)μ < μ 1 ν μ 1   <1μ +2μ +…+(ν-1)μ + νμ 22..44..99 ΑΑννιισσόόττηητταα BBeerrnnoouullllii Αν x≥-1 και ν φυσικός τότε: (1+x)ν ≥ 1+νx η ισότητα ισχύει αν ν=1 ή x=0 Αν x>-1 και x≠0 τότε: (1+x)α > 1+αx όταν α>1 ή α<0 (1+x)α < 1+αx όταν 0 < α < 1
Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα - Δυνάμεις 15 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 15 2.5 Δυνάμεις Ορισμός αν = ν φορές α α α ... α    , αο =1, α1 =α αν αμ =αν+μ ν ν μ μ α α α   (αβ)ν =αν βν ν ν ν α α β β       α-ν = ν 1 α ν ν α β β α               μν α =ανμ 2.6 Σετραγωνικές Ρίζες Ορισμοί: x2 =α  x= α , α = 1 2 α , 0 0 , 1 1 α β αβ  α α ββ    2 α α 2 α α 4 α α   μ μ α α 1 2 α α 2.7 Ρίζες ν τάξης Ορισμοί: xν =α  x= ν α , ν α = 1 ν α , μν α = μ ν α ν ν να β αβ  ν ν ν α α ββ  νμμ ν μν α α α    ν νμ μ ν μ α α α   μ νμν α α   μ μνν α α ρμ μρν ν α α 2.8 Λογάριθμοι αν αx =β τότε x=logαβ αν ex =β τότε x=lnβ αν 10x =β τότε x=logβ e=2,71828…ο αριθμός του Euler, α>0, α≠1, β>0 loga1=0 logaa=1 log βa a β logα(βγ)=logαβ+logαγ logα( β γ )=logαβ-logαγ logαβκ =κlogαβ ν αlog β = 1 ν logαβ αλλαγή βάσης logαβ= γ γ log β log α ln1=0 lne=1 ln(xy)=lnx+lny ln( x y )=lnx – lny lnαβ =βlnα lnex =x elnx =x lnα= γ γ log α log e 2.9 Πρόοδοι Αριθμητική Γεωμετρική αν=α1+(ν-1)ω, ω=αν+1-αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι α.π. αν και μόνο αν β= α γ 2  Sν= 1 να α ν 2  αν=α1λν-1 , λ= ν 1 ν α α  οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γ.π. αν και μόνο αν β²=αγ Sν=α1 ν 1-λ 1 λ , S=α1 1 1 λ για |λ|<1
16 Άλγεβρα - Εξισώσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 16 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2.10 Εξισώσεις Μία ισότητα που περιέχει τουλάχιστο ένα άγνωστο λέγεται εξίσωση. Η εξίσωση χαρακτηρίζεται από τον βαθμό της, δηλαδή την μεγαλύτερη δύναμη στην οποία είναι υψωμένος ο άγνωστος. Ισχύει το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: (Gauss) Κάθε πολυωνυμική εξίσωση με μιγαδικούς συντελε- στές και βαθμό ν1 έχει μία τουλάχιστο μιγαδική ρίζα. ΢αν συνέπεια: μία πολυωνυμική εξίσωση με μιγαδικούς συντελεστές και βαθμό ν1 έχει ακριβώς ν ρίζες μι- γαδικές (εν γένει), από τις οποίες κάποιες μπορεί να είναι εκφυλισμένες (διπλές, τριπλές…) 22..1100..11 ΠΠρρωωττοοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση αx+β=0 έχει α≠0 μοναδική λύση x= β α  α=0 β≠0 Αδύνατη β=0 Αόριστη 22..1100..22 ΔΔεευυττεερροοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση αx²+βx+γ=0 με Δ=β²-4αγ έχει Δ>0 δύο ρίζες στο  άνισες Δ=0 μία διπλή ρίζα στο  Δ<0 καμία ρίζα στο , δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες x1,2= β Δ 2α   x= β 2α  z1,2= β i Δ 2α   22..1100..22..11 ΆΆθθρροοιισσμμαα κκααιι γγιιννόόμμεεννοο ρριιζζώώνν ττρριιωωννύύμμοουυ Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 με ρίζες x1 και x2 έχει άθροισμα ριζών β S α   γινόμενο ριζών γ P α  Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P δύο αριθμών ρ1 και ρ2 τότε μία εξίσωση που έχει ρίζες τα ρ1 και ρ2 είναι: x² - Sx + P = 0 22..1100..22..22 ΠΠρρόόσσηημμοο ττρριιωωννύύμμοουυ Σο τριώνυμο αx²+βx+γ έχει πρόσημο Δ>0 δύο ρίζες x1 και x2 Δ=0 μία διπλή ρίζα x Δ<0 καμία ρίζα στο  Ετερόσημο του α ανάμεσα στις ρίζες, ομόσημο του α έξω από τις ρίζες Ομόσημο του α παντού εκτός από τι ρίζα όπου x=0 ομόσημο του α παντού ομόσημο του α ομόσημο του α x1 0 ομόσημο του α x1 x2 ομόσημο του α ετερόσημο του α 0 0
Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα - Εξισώσεις 17 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 17 22..1100..22..33 ΜΜοορρφφέέςς ττρριιωωννύύμμοουυ Μορφές τριωνύμου (x)=αx²+βx+γ με α≠0 Δ>0 (δύο ρίζες ρ1 και ρ2) (x) = α(x-ρ1)(x-ρ2) Δ=0 (μία διπλή ρίζα ρ, τέλειο τετράγωνο) (x) = α(x-ρ)² = α 2 β x 2α       Δ<0 (δεν παραγοντοποιείται) (x) = α 2 β x 2α       + 2 Δ 4α 22..1100..33 ΔΔιιττεεττρράάγγωωννηη ΕΕξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση ονομάζεται διτετράγωνη (biquadratic equation) και λύνεται με την αντικατάσταση y=x², με την οποία γίνε- ται απλό τριώνυμο ως προς y με ρίζες έστω y1 και y2. Οι ρίζες της αρχικής είναι είναι: 1,2 1 3,4 2x y και x y    22..1100..44 ΔΔιιωωννυυμμιικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς ββααθθμμοούύ νν33 Η εξίσωση αxν +β=0 λέγεται διωνυμική (binomial equation) και για α0, ν, ν3 έχει τις εξής λύσεις: ν άρτιος ν περιττός β α  >0 β α  <0 Μία ρίζα στο  ν β α  (θετική) δύο ρίζες   + ν β α  και - ν β α  δύο μιγαδικές συζυγείς +i ν β α  και -i ν β α  22..1100..55 ΣΣρριιττοοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η λύση της τριτοβάθμιας (cubic equation) αλλά και της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης δημοσιεύτηκε από τον Gerolamo Cardano (1501-1576) στο βιβλίο του Ars Manga. Η λύση όμως δεν ήταν του Cardano. Κάποια στοιχεία είχαν βρεθεί από τον Niccolo Tartaglia ενώ η τεταρτοβάθμια λύθηκε από τον Ludovico Ferrari. Η λύση κατά πάσα πιθανότητα ανήκει στον καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Bolognia, Scipione del Ferro (1465-1526), που έδωσε τη λύση στον μαθητή του Antonio Maria Fior. Έστω η εξίσωση x³+α1x²+α2x+α3=0 Τπολογίζουμε τα: Q= 2 2 13α α 9  R= 3 1 2 3 19α α 27α 2α 54   S= 3 23 R Q R  T= 3 23 R Q R  όπου ST=-Q
18 Άλγεβρα - Εξισώσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 18 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Λύσεις: 1 1 2 1 3 1 1 x S T α 3 1 1 1 x (S T) α i 3(S T) 2 3 2 1 1 1 x (S T) α i 3(S T) 2 3 2                     Αν α1, α2, α3 πραγματικοί και D=Q³+R² η διακρίνουσα για την τριτοβάθμια τότε: (1) Μια ρίζα είναι πραγματική και δύο μιγαδικές συζυγείς αν D>0 (2) Όλες οι ρίζες πραγματικές και τουλάχιστο δύο ίσες αν D=0 (3) Όλες οι ρίζες πραγματικές και άνισες αν D<0 Αν D<0 1 1 ο 2 1 ο 3 1 1 1 x 2 Qσυν( θ) α 3 3 1 1 x 2 Qσυν( θ 120 ) α 3 3 1 1 x 2 Qσυν( θ 240 ) α 3 3                 όπου συνθ = 3 R Q Για τις ρίζες ισχύει: x1+x2+x3=-α1, x1x2+x2x3+x1x3=α2, x1x2x3=-α3 Αναλυτική λύση στο: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html 22..1100..66 ΗΗ ττεεττααρρττοοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Θεωρούμε την τεταρτοβάθμια (quartic) εξίσωση: 3x³+α2x²+α1x+α0=0 (1) Οι ρίζες της ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ικανοποιούν τους τύπους του Vieta: ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=-α3 ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ1ρ4+ρ2ρ3+ρ2ρ4+ρ3ρ4=α2 ρ1ρ2ρ3+ρ2ρ3ρ4+ρ1ρ2ρ4+ρ1ρ3ρ4=-α1 ρ1ρ2ρ3ρ4=α0 Πρώτα λύνουμε την “επιλύουσα τριτοβάθμια” εξίσωση: y³-α2y²+(α1α3-4α0)y+(4α2α0-α1²-α3²α0)=0 (2) Έστω y1 μία πραγματική λύση της (2). Σότε οι τέσσερις ρίζες της (1) δίνονται από τις ρίζες της εξίσωσης:    2 2 2 3 3 2 1 1 1 0 1 1x α α 4α 4y y y 4α 0 2 2        Δηλαδή: ρ1= 3 1 1 1α R D 4 2 2    ρ2= 3 1 1 1α R D 4 2 2    ρ3= 3 1 1 1α R E 4 2 2    ρ4= 3 1 1 1α R E 4 2 2    όπου:
Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα - Εξισώσεις 19 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 19 R= 2 3 2 1 1 α α y 4   2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 2 3 2 1 0 3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0 4 4 D 3 α 2α 2 y 4α , R=0 4               2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 2 3 2 1 0 3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0 4 4 E 3 α 2α 2 y 4α , R=0 4               (Για την πλήρη αναλυτική λύση βλέπε: http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html) 22..1100..77 ΕΕξξιισσώώσσεειιςς 55οουυ κκααιι μμεεγγααλλύύττεερροουυ ββααθθμμοούύ Δεν υπάρχει γενική αναλυτική λύση για τις εξισώσεις με βαθμό μεγαλύτερο του 5, όπως απέδειξε ο Abel. Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με παραγοντοποίηση (αν είναι εφικτή) ή με αριθμητικές μεθόδους σε υπολογιστές.
20 Μιγαδικοί αριθμοί - Ορισμοί Μαθηματικό Συπολόγιο 20 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 3 Μιγαδικοί αριθμοί 3.1 Ορισμοί Ονομάζουμε μιγαδικό αριθμό z (complex number) ένα αριθμό της μορφής α+iβ όπου i²=-1 ή i= 1 και α,β. Οι πραγματικοί α και β λέγονται πραγματικό (real) και φανταστικό (imaginary) μέρος του μιγαδικού z και γράφουμε α=Re(z) και β=Im(z) 3.2 ΢υζυγείς μιγαδικοί Ο μιγαδικός συζυγής (conjugate) του z=α+iβ γράφεται z α iβ  =α-iβ. Λέμε ότι οι αριθμοί z και z ή οι α+iβ και α – iβ είναι συζυγείς μεταξύ τους. Για την „πράξη‟ της συζυγίας ισχύουν: 1 2 1 2z z z z   1 2 1 2z z z z   1 1 2 2 z z z z       3.3 Ισότητα μιγαδικών αριθμών Δύο μιγαδικοί αριθμοί α+iβ και γ+iδ είναι ίσοι αν και μόνο αν α=γ και β=δ 3.4 Πράξεις μιγαδικών αριθμών Ακολουθούμε την συνηθισμένη άλγεβρα αντικαθιστώντας όπου χρειάζεται το i² με -1. (α+iβ)+(γ+iδ)=(α+γ)+(β+δ)i (α+iβ)-(γ+iδ)=(α-γ)+(β-δ)i (α+iβ)(γ+iδ)=(αγ-βδ)+(αδ-βγ)i 2 2 2 2 α iβ (α iβ) (γ iδ) αγ βδ βγ αδ i γ iδ (γ iδ) (γ iδ) γ δ γ δ                  (στη διαίρεση πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση και κάνουμε πρά- ξεις) 3.5 Μιγαδικό επίπεδο Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να παρασταθούν γεωμετρικά ως ση- μεία ενός επιπέδου που ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο Gauss. Αν θεωρήσουμε ένα x-άξονα ως άξονα των πραγματικών και ένα κά- θετο σε αυτόν y-άξονα ως άξονα των φανταστικών τότε ο μιγαδικός z=α+iβ παριστάνεται ως το σημείο (α,β) ή ως το διάνυσμα από την αρχή Ο μέχρι το σημείο Ρ(α,β) Ορίζουμε ως μέτρο (modulus) ή απόλυτη τιμή z ή z του μιγαδι- κού z=α+iβ τον πραγματικό αριθμό 2 2 z α iβ α β    Σο μέτρο z του μιγαδικού μπορεί να ερμηνευτεί και ως η απόσταση του σημείου (α,β) από την αρχή των αξόνων Ο, ή ως το μέτρο (μή- κος) ρ του διανύσματος ΟΡ . 3.6 Πολική μορφή μιγαδικού ΢το προηγούμενο σχήμα επειδή α=ρσυνθ και β=ρημθ μπορούμε να γράψουμε: z = α+iβ = ρσυνθ+iρημθ  z = ρ(συνθ+iημθ) Η μορφή z = ρ(συνθ+iημθ) λέγεται πολική μορφή του μιγαδικού z. Σο μήκος ρ= 2 2 α β είναι το μέτρο και η γωνία θ το όρισμα (argument) του μιγαδικού z. 3.7 Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση σε πολική μορφή Η πολική μορφή των μιγαδικών είναι πολύ χρήσιμη γιατί απλοποιεί τους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις των μιγαδικών. Ισχύει: P(α,β) x y z=α+iβ ρ θ α β
Μαθηματικό Συπολόγιο Μιγαδικοί αριθμοί - Ρίζα μιγαδικού αριθμού 21 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 21 {ρ1(συνθ1+iημθ1)} {ρ2(συνθ2+iημθ2)}=ρ1ρ2{συν(θ1+θ2)+iημ(θ1+θ2)}  1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ρ (συνθ iημθ ) ρ συν(θ θ ) iημ(θ θ ) ρ (συνθ iημθ ) ρ       Δύναμη μιγαδικού αριθμού (θεώρημα De Moivre) Ισχύει για κάθε n: zn = (ρσυνθ+iρημθ)n = ρn {συν(nθ)+iημ(nθ)} 3.8 Ρίζα μιγαδικού αριθμού Από το θεώρημα του De Moivre έχουμε:    1 n nn θ 2kπ θ 2kπ z ρ συνθ iημθ ρ συν iημ n n                    όπου k ακέραιος. Από τον τύπο αυτό όλες οι διαφορετικές ρίζες ενός μιγαδικού είναι αυτές για τις οποίες το k παίρνει τιμές 0, 1, 2, …, n-1. 33..88..11 ΟΟιι ννιιοοσσττέέςς ρρίίζζεεςς ττηηςς μμοοννάάδδααςς Ισχύει 1=συν0+iημ0 άρα θέτοντας στον παραπάνω τύπο ρ=1 και θ=0 έχουμε τις νιοστές ρίζες της μονάδας: n 2kπ 2kπ 1 συν iημ n n   με k=0, 1, 2, …, n-1 ΢χέση εκθετικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (τύποι του Euler) Ισχύει: eiθ = συνθ+iημθ e-iθ = συνθ–iημθ iθ iθ e e ημθ 2i    iθ iθ e e συνθ 2    iθ iθ iθ iθ iθ iθ iθ iθ e e e e εφθ i i(e e ) e e                iθ iθ iθ iθ i(e e ) σφθ e e      iθ iθ 2 τεμθ e e   iθ iθ 2i στεμθ e e   eiθ+2kπi = eiθ , γενικότερα η συνάρτηση (x)=ex έχει περίοδο 2kπi 3.9 Εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών α+iβ = ρ(συνθ+iημθ) = ρeiθ 3.10 Λογάριθμος μιγαδικού i(θ 2kπ) ln(z) ln(α iβ) ln(ρe ) lnρ i(θ 2kπ)       3.11 Πράξεις με μιγαδικούς σε εκθετική μορφή Η εκθετική μορφή του μιγαδικού απλοποιεί πολύ τις πράξεις μιγαδικών 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2iθ iθ i(θ θ ) z z (ρ e )(ρ e ) ρ ρ e    1 1 1 2 22 1 1 2 2 iθ i(θ θ ) iθ z ρ e ρ e z ρρ e    (z)n =(ρeiθ )n =ρn einθ (Θεώρημα De Moivre)       i(θ 2kπ)11 11 iθ i(θ 2kπ) n nn nnz ρe ρe ρ e      (n-στη ρίζα μιγαδικού)
22 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - ΢υστήματα συντεταγμένων Μαθηματικό Συπολόγιο 22 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο 4.1 ΢υστήματα συντεταγμένων 44..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Cartesian system of co-ordinates) (ορθογώνιο σύστημα συντε- ταγμένων) στο επίπεδο, δημιουργεί μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του επιπέδου και ζευγαριών πραγματικών αριθμών. Αποτελείται από: ένα άξονα τετμημένων (abscissae) x, (x άξονας) ένα άξονα τεταγμένων (ordinates) y, (y άξονας) μία αρχή Ο, στο σημείο τομής των δύο αξόνων. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι αριθμών (x, y) 44..11..22 ΠΠοολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να περιγραφεί από τους δύο αριθμούς (x,y) αλλά και από τους δύο αριθμούς (r,θ) ενός πο- λικού συστήματος συντεταγμένων. Ο μετασχηματισμός από τις καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες περιγράφεται από τις εξισώσεις: x rσυνθ y rημθ    και από πολικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: 2 2 r x y y θ τοξεφ x             4.2 Μετασχηματισμός συντεταγμένων 44..22..11 ΠΠααρράάλλλληηλληη ΜΜεεττααφφοορράά σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστημα συντεταγμένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστημα συντε- ταγμένων του οποίου οι άξονες είναι παράλληλοι με τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ βρίσκεται στη θέση (xο, yο) ως προς το αρχικό xΟy σύστημα τότε: o o o o x x x x x x ή y y y y y y               44..22..22 ΠΠεερριισσττρροοφφήή σσυυσσττήήμμααττοοςς κκααττάά γγωωννίίαα φφ Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστημα συντεταγμένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστημα συντε- ταγμένων του οποίου οι άξονες έχουν περιστραφεί κατά γωνία φ ως προς τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ ταυτίζεται με την αρχή Ο του αρχικού xΟy συστήματος τότε: x x συνφ y ημφ x xσυνφ yημφ ή y x ημφ y συνφ y xημφ yσυνφ                  Αν θεωρήσουμε τα σημεία (x,y) ως πίνακα στήλη x y       τότε ο παραπάνω μετασχηματισμός μπορεί να θεω- ρηθεί ως πολλαπλασιασμός μεταξύ ενός τετραγωνικού πίνακα μετασχηματισμού και διανυσμάτων στήλης ως ακολούθως: x συνφ ημφ x y ημφ συνφ y                  ή x συνφ ημφ x y ημφ συνφ y                   x y Ο x1 Α(x1,y1) θ y1 r
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Απόσταση σημείων 23 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 23 44..22..33 ΜΜεεττααφφοορράά κκααιι ππεερριισσττρροοφφήή ττααυυττόόχχρροονναα Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο προηγούμενοι μετασχηματισμοί τότε: o o o o o o x x συνφ y ημφ x x (x x )συνφ (y y )ημφ ή y x ημφ y συνφ y y (x x )ημφ (y y )συνφ                        4.3 Απόσταση σημείων 44..33..11 ΢΢εε κκααρρττεεσσιιααννέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία τότε η απόστασή τους είναι dΑΒ= 2 2 1 2 1 2(x x ) (y y )   44..33..22 ΢΢εε πποολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Αν Α(ρ1, θ1) και Β(ρ2, θ2) δύο σημεία τότε η απόστασή τους είναι dΑΒ= 2 2 1 2 1 2 1 2ρ ρ 2ρ ρ συν(θ θ )   4.4 ΢υντεταγμένες σημείου που διαιρεί ευθ. τμήμα Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία και ζητάμε τις συντεταγμένες σημείου Μ έτσι ώστε ο λόγος ΑΜ λ ΜΒ  τότε οι συντετμένες του Μ είναι: 1 2 0 x λx x 1 λ    και 1 2 0 y λy y 1 λ    Εάν λ>0 το σημείο Μ είναι εντός του ΑΒ Εάν λ<0 το σημείο Μ είναι εκτός του ΑΒ Εάν λ=1 το σημείο Μ είναι το μέσο του ΑΒ 4.5 Εμβαδό τριγώνου Έστω το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3). Σότε: Εμβαδό 1 1 2 2 3 3 x y 1 1 E x y 1 2 x y 1   ή 1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3 1 E (x y x y y x x y y x y x ) 2        Αν το εμβαδό είναι μηδέν τα σημεία είναι συνευθειακά (βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία) 4.6 ΢υνευθειακά σημεία ΢υνθήκες για να είναι τα 3 σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3) συνευθειακά: 1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3x y x y y x x y y x y x 0      ή 1 1 2 2 3 3 x y 1 x y 1 x y 1 =0 ή 2 1 2 1 3 1 3 1 y y x x y y x x     
24 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Ευθεία Μαθηματικό Συπολόγιο 24 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.7 Ευθεία 44..77..11 ΚΚλλίίσσηη εευυθθεείίααςς πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό δδύύοο σσηημμεείίαα Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η κλίση της ευθείας ή του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, είναι: 2 1 2 1 y y λ x x    Ισχύει ακόμα: κλίση λ=εφθ 44..77..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό έένναα σσηημμεείίοο Αν Α(x1,y1) σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία τότε η εξί- σωσή της είναι: y – y1 = λ(x – x1) 44..77..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό δδύύοο σσηημμεείίαα Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η εξίσωσή της είναι: 1 2 1 1 2 1 y y y y λ x x x x       ή y – y1 = 2 1 2 1 y y x x   (x – x1) ή 2 2 3 3 x y 1 x y 1 x y 1 =0 όπου λ=η κλίση της ευθείας. 44..77..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίαα πποουυ ττέέμμννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς σσττιιςς θθέέσσεειιςς αα κκααιι ββ x y 1 α β   44..77..55 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς Αx+Βy+Γ=0 44..77..66 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς kρ συν(α θ)   όπου: k είναι η απόσταση του κέντρου Ο των αξόνων από την ευθεία και α η γωνία που σχηματίζει η από- σταση k με τον πολικό άξονα (στον οποίο θ=0) 44..77..77 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς 44..77..77..11 ΕΕυυθθεείίεεςς πποουυ δδιιέέρρχχοοννττααιι ααππόό ττηηνν ααρρχχήή ττωωνν ααξξόόννωωνν y = λx ή αx + βy = 0 44..77..77..22 ΔΔιιχχοοττόόμμοοςς 11οουυ –– 33οουυ ττεεττααρρττηημμοορρίίοουυ y = x 44..77..77..33 ΔΔιιχχοοττόόμμοοςς 22οουυ –– 44οουυ ττεεττααρρττηημμοορρίίοουυ y = - x 44..77..77..44 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν xx άάξξοονναα y = α ή γy + δ = 0 44..77..77..55 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν yy άάξξοονναα x = β ή γx + δ = 0 44..77..77..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη xx άάξξοονναα y = 0 44..77..77..77 ΕΕξξίίσσωωσσηη yy άάξξοονναα x = 0 x y Α(x1,y1) Ο x2x1 Β(x2,y2) θ y1 y2 x y α β Ο
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Ευθεία 25 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 25 44..77..88 ΑΑππόόσστταασσηη σσηημμεείίοουυ ααππόό εευυθθεείίαα Εστω σημείο ΢(xο, yο) και ευθεία Αx+Βy+Γ=0. Η απόσταση d του σημείου από την ευθεία είναι: d= o o 2 2 Ax By Γ Α Β     όπου το πρόσημο επιλέγεται ώστε d>0 44..77..99 ΓΓωωννίίαα θθ μμεεττααξξύύ εευυθθεειιώώνν μμεε κκλλίίσσεειιςς λλ11 κκααιι λλ22 1 2 1 2 λ λ εφθ 1 λ λ    44..77..1100 ΕΕυυθθεείίεεςς κκάάθθεεττεεςς –– ΕΕυυθθεείίεεςς ππααρράάλλλληηλλεεςς Από τον προηγούμενο τύπο: Αν λ1 = λ2 οι ευθείες είναι παράλληλες Αν λ1λ2 = - 1 οι ευθείες είναι κάθετες
26 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Κύκλος Μαθηματικό Συπολόγιο 26 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.8 Κύκλος 44..88..11 ΟΟρριισσμμόόςς Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δεδομένο ση- μείο. Αν το σημείο είναι το Ο(xο, yο) και η απόσταση είναι ρ ονομάζουμε τον κύκλο (Ο, ρ). 44..88..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ Αν το κέντρο του κύκλου Ο είναι στο σημείο (xο, yο) και η ακτίνα του είναι ρ τότε η εξίσωσή του είναι (x-xο)²+(y-yο)²=ρ² Αν το κέντρο του είναι στην αρχή των αξόνων τότε x²+y²=ρ² 44..88..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ σσεε πποολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Αν ρ, θ οι πολικές συντεταγμένες ενός σημείου του κύκλου και ρο, θο οι πολικές συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου με ακτίνα R τότε: ρ² - 2ρροσυν(θ - θο) + ρο² = R² 44..88..44 ΠΠααρρααμμεεττρριικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς κκύύκκλλοουυ x=Rσυνt + xο y=Rημt + yo 44..88..55 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό 33 σσηημμεείίαα Έστω Α(x1, y1), Β(x2, y2), Γ(x3, y3) τα τρία σημεία τότε η εξίσωσή του δίνεται από την ορίζουσα: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x y x y 1 x y x y 1 0 x y x y 1 x y x y 1      44..88..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς κκύύκκλλοουυ σσττοο σσηημμεείίοο ((xx11,, yy11)) Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η (x-xο)²+(y-yο)²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας του στο σημείο (x1,y1) είναι: (x-xο)(x1-xο)+(y-yο)(y1-yο)=ρ² Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η x²+y²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: xx1+yy1=ρ² 44..88..77 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττόόμμεεννηη σσεε κκύύκκλλοο Δεδομένου κύκλου (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και ευθείας y = λx + β (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στον κύκλο είναι ο μηδενισμός της διακρίνουσας Δ του της δευτεροβάθμιας που προκύπτει από το σύστημα των (1) και (2) δηλαδή (-λxο + yο - β)² = ρ²(1 + λ²) 44..88..88 ΕΕφφααππττόόμμεεννηη σσεε κκύύκκλλοο ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς κκύύκκλλοουυ Έστω ο κύκλος (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και το σημείο ΢(x1, y1). Σότε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο ΢ είναι η (y – y1)=λ(x – x1). Οπότε: Ή θέτουμε την απόσταση του κέντρου Κ(xο, yο) και της ευθείας (y – y1)=λ(x – x1) ίση με την ακτίνα ρ (α- πόσταση σημείου από ευθεία 4.7.6) Ή εφαρμόζουμε τη μέθοδο του 4.8.7 Ο(xο,yο) ρ x y
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Η παραβολή 27 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 27 4.9 Η παραβολή 44..99..11 ΟΟρριισσμμόόςς Παραβολή (parabola) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία δ και ένα σταθερό σημείο Ε (εκτός ευθείας). Η ευθεία δ ονομάζεται διευθετούσα (directrix) και το σημείο Ε ονομάζεται εστία (focus) της παραβολής. Αν φέρουμε το κάθετο τμήμα ΕΑ από την εστία Ε στην διευθετούσα δ και προεκτείνουμε έχουμε τον άξονα (axis) της παραβολής. Σο σημείο Κ στο οποίο τέμνο- νται η παραβολή και ο άξονάς της ονομάζεται κορυφή (vertex) της παραβολής. 44..99..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ππααρρααββοολλήήςς Μία παραβολή με κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονα τον x΄x έχει εξίσωση y² = 2px όπου p=σταθερά  που ονομάζεται παράμετρος της παραβολής. Η απόλυτη τιμή του p παριστάνει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα ευθεία. (Η απόσταση κορυφής – εστίας είναι |p|/2) Αν η κορυφή είναι στο σημείο Α(xο, yο) και ο άξονάς της παράλληλος στον x΄x άξονα, τότε η εξίσωση γίνε- ται: (y - yο)² = 2p(x - xο) 44..99..33 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ππααρρααββοολλήήςς Έστω η παραβολή (y - yο)² = 2p(x - xο) με κορυφή στο Α(xο, yο) και άξονα παράλληλο στον x΄x. Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί και ως εξής: x = αy² + βy + γ Σότε: Η κορυφή έχει συντεταγμένες: xυ = 2 β 4αγ 4α   και yο = β 2α  Ο άξονας συμμετρίας έχει εξίσωση: y = β 2α  Η εστία έχει συντεταγμένες: xε = 2 β 4αγ1 4α 4α   και yε = β 2α  Η διευθετούσα έχει εξίσωση: x = - 2 β 4αγ1 4α 4α   Εάν α>0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον θετικό ημιάξονα των x Εάν α<0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον αρνητικό ημιάξονα των x Για παραβολή με άξονα συμμετρίας τον yy΄ αλλάζουμε το x με το y στις παραπάνω σχέσεις. Ε δ y x x=-p/2 (p/2, 0) Παραβολή με p>0 Ε δ y x x=-p/2 (p/2, 0) Παραβολή με p<0 ΢ ΕΚΑ Κ δ Κ
28 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Η παραβολή Μαθηματικό Συπολόγιο 28 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 44..99..44 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ππααρρααββοολλήήςς Αν η εστία και η αρχή των αξόνων συμπίπτουν τότε η εξίσωση της παραβολής σε πολικές συντεταγμένες εί- ναι: p ρ 1 συνθ   Για παραβολές με άξονα παράλληλο στον y΄y άξονα εναλλάσσουμε τα x με y ή αντικαθιστούμε το θ με π θ 2  . 44..99..55 ΢΢χχεεττιικκέέςς θθέέσσεειιςς σσηημμεείίοουυ κκααιι ππααρρααββοολλήήςς Αν ΢(x1, y1) σημείο και παραβολή y² = 2px τότε αν y1² > 2px1 το σημείο είναι εκτός παραβολής y1² = 2px1 το σημείο είναι πάνω στην παραβολή y1² < 2px1 το σημείο είναι εντός παραβολής 44..99..66 ΕΕφφααππττοομμέέννηη σσεε σσηημμεείίοο ππααρρααββοολλήήςς Η εφαπτομένη της παραβολής y²=2px στο σημείο ΢(x1, y1) είναι yy1 = p(x + x1) Ισχύει ακόμα: Μία ευθεία που τέμνει σε ένα σημείο την παραβολή και δεν είναι παράλληλη στον άξονά της είναι εφαπτόμενη της παραβολής. 44..99..77 ΚΚάάθθεεττηη σσεε σσηημμεείίοο ππααρρααββοολλήήςς Η κάθετη της παραβολής y² = 2px στο σημείο ΢(x1, y1) είναι o o o y y y (x x ) p     44..99..88 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττόόμμεεννηη σσεε ππααρρααββοολλήή Ισχύει το ανάλογο της 4.8.7, δηλαδή ο μηδενισμός της διακρίνουσας του τριωνύμου που προκύπτει από το σύστημα των δύο εξισώσεων y=λx+β και y²=2px. Η διακρίνουσα δίνει τη συνθήκη p – 2λβ = 0 44..99..99 ΕΕφφααππττόόμμεεννηη ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς ππααρρααββοολλήήςς Έστω η παραβολή y²=2px και το σημείο ΢(x1, y1). Σότε η γενική εξίσωση της ευθείας που διέχεται από το ΢ είναι (y – y1)=λ(x – x1)  y = λx + (y1 - λx1). Η εφαπτόμενη της παραβολής θα ικανοποιεί την συνθήκη 4.9.8 άρα έχουμε τη συνθήκη p – 2λ(y1 – λx1) =0 44..99..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ππααρρααββοολλήήςς Μία ακτίνα φωτός παράλληλη στον άξονα της παραβολής θα ανακλαστεί από την παραβολή και θα περάσει από την εστία της Ε. Μία ακτίνα που φεύγει από την εστία Ε ανακλάται και συνεχίζει παράλληλα στον άξονα της παραβολής. y x ε ΢(x1, y1) Εφαπτομένη Παραβολής y x ε ΢ φ φ Ε ζ Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Η παραβολή 29 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 29 Η κάθετος στην εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο ΢ διχοτομεί την γωνία ΕΖζ όπου η ΢ζ είναι πα- ράλληλη στον άξονα της παραβολής 44..99..1111 ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεμμββααδδόό χχωωρρίίοουυ ππααρρααββοολλήήςς x y -4 -2 0 2 6 8 10 -2 0 2 4 6 8 S Α Β Γ L Γ Σο μήκος του τόξου της παραβολής ΑΓΒ του σχήματος δίνεται από τον τύπο: τ = 2 2 2 2 2S S 4L S 16LS 16L ln 2 8L S         και το εμβαδό: Ε = 2 3 SL
30 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Έλλειψη Μαθηματικό Συπολόγιο 30 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.10 Έλλειψη 44..1100..11 ΟΟρριισσμμόόςς Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων (μεγαλύτερο από ΕΕ΄) από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ του επιπέδου. Σα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ λέγονται εστίες της έλλειψης και η απόσταση ΕΕ΄ λέγεται εστιακή από- σταση. Αν ΢ σημείο της έλλειψης τότε: ΢υμβολίζουμε το σταθερό άθροισμα Ε΢+΢Ε΄ = 2α και την εστιακή απόσταση ΕΕ΄ με 2γ. (Πρέπει α>γ). Σην απόσταση ΒΒ‟ την συμβολίζουμε με 2β και ισχύει β²=α²-γ² Η απόσταση Α΄Α ονομάζεται μεγάλος ημιάξονας και έχει μήκος 2α, ενώ η απόσταση ´ ονομάζεται μικρός ημιάξονας της έλλειψης και έχει μήκος 2β. 44..1100..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη έέλλλλεειιψψηηςς Αν οι εστίες βρίσκονται στα σημεία Ε(-γ, 0) και Ε΄(γ, 0) τότε 2 2 2 2 x y 1 α β   , με β²=α²-γ² Αλλιώς αν το κέντρο Ο (το μέσο της εστιακής από- στασης Ε΄Ε) βρίσκεται στο (xο, yο) τότε: 2 2 o o 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     44..1100..33 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Αν το κέντρο Ο βρίσκεται στην αρχή των πολικών αξόνων και διαλέξουμε ως πολικό άξονα τον μεγάλο άξο- να της έλλειψης, τότε 2 2 2 2 2 2 2 α β ρ α ημ θ β συν θ   Αν η αρχή των αξόνων βρίσκεται σε μία εστία τότε 2 α(1 ε ) ρ 1 εσυνθ    με ε= 2 2 α βγ α α   η εκκεντρότητα της έλλειψης Αν η παραβολή έχει τον μεγάλο της ημιάξονα στον άξονα y τότε στις παραπάνω εξισώσεις αντικαθιστούμε το x με y (στο καρτεσιανό) ή αντικαθιστούμε το θ με π θ 2  (στις πολικές) 44..1100..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Ορίζουμε ε= 2 2 α βγ α α   και ισχύει ε<1, 2β 1 ε α   Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει την μορφή της έλλειψης: Όταν ε1 τότε το β είναι πολύ μικρό και η έλλειψη γίνεται επιμήκης x y 0 Ε΄ Ε 2γ 2α 2β Β΄ A΄ A B x y -5 Ε΄ 0 Ε 5 -4 4 ΢
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Έλλειψη 31 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 31 Όταν ε0 τότε το βα και η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (για β=α έχουμε ε=0 και η έλλειψη γίνεται κύκλος) Ελλείψεις με την ίδια εκκεντρότητα ε ονομάζονται όμοιες 44..1100..55 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττοομμέέννηη σσεε έέλλλλεειιψψηη Δεδομένης της έλλειψης 2 2 2 2 x y 1 α β   (1) και της ευθείας y = λx + μ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στην έλλειψη είναι ο μηδενισμός της διακρίνουσας Δ του της δευτεροβάθμιας που προκύπτει από το σύστημα των (1) και (2) δηλαδή α²λ² + β² - μ² = 0 44..1100..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς σσεε σσηημμεείίοο ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς ΢το σημείο (x1,y1) της έλλειψης 2 2 2 2 x y 1 α β   η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 1 1 2 2 xx yy 1 α β   ΢το σημείο (x1,y1) της έλλειψης 2 2 o o 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 0 1 0 0 1 0 2 2 (x x )(x x ) (y y )(y y ) 1 α β       44..1100..77 ΕΕφφααππττοομμέέννηη ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς έέλλλλεειιψψηηςς Έστω σημείο (x1,y1) εκτός της έλλειψης 2 2 2 2 x y 1 α β   . Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο είναι: y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.10.5 άρα αφού μ=y1 – λx1 α²λ² + β² - (y1 – λx1)² = 0 44..1100..88 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκάάθθεεττηηςς σσεε έέλλλλεειιψψηη ΢το σημείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη 2 2 2 2 x y 1 α β   είναι: y – y1 = 2 1 2 1 α y β x (x – x1) ΢το σημείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη 2 2 o o 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     είναι: y – y1 = 2 1 0 2 1 0 α (y y ) β (x x )   (x – x1) 44..1100..99 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Η κάθετη στην εφαπτομένη σε ένα σημείο ΢ μίας έλλειψης διχο- τομεί την γωνία Ε΄΢Ε ή Μία φωτεινή ακτίνα που ξεκινά από την μία εστία ανακλάται από την έλλειψη και περνά και από την άλλη εστία. 44..1100..1100ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεμμββααδδόό έέλλλλεειιψψηηςς Μήκος τόξου S= π 2 2 2 22 0 14α 1 k ημ θdθ 2π (α β ) 2    με k= 2 2 α β α  Εμβαδό Α = παβ x y 0 ΕΕ΄ ΢
32 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Τπερβολή Μαθηματικό Συπολόγιο 32 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.11 Τπερβολή 44..1111..11ΟΟρριισσμμοοίί Τπερβολή (Hyperbola) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημεί- ων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ (foci) είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄ Σα σημεία Ε και Ε΄ ονομάζονται εστίες (foci) της υπερβολής και η απόσταση ΕΕ΄ ονομάζεται εστιακή απόσταση. Αν Μ σημείο της υπερβολής τότε |ΜΕ – ΜΕ΄| = 2α = στα- θερή Ορίζουμε ΕΕ΄ = 2γ. Ισχύει γ>α>0. Σα σημεία που η εστιακή απόσταση τέμνει την υπερβολή λέ- γονται κορυφές της υπερβολής. Σο μέσο της εστιακής απόστασης λέγεται κέντρο της υπερβο- λής (και είναι κέντρο συμμετρίας) 44..1111..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ττηηςς υυππεερρββοολλήήςς Μία υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(γ, 0) και Ε΄(-γ, 0) και κέντρο την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση: 2 2 2 2 x y 1 α β   , όπου β² = γ² - α² Μία υπερβολή με κέντρο στο σημείο (x0, y0) και άξονες παράλληλους με τους άξονες x και y έχει εξίσωση: 2 2 0 0 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     Μία ισοσκελής (rectangular) υπερβολή έχει α=β και η εξίσωσή της γίνεται: x² - y² = α² Η απόσταση ΑΆ μήκους 2α λέγεται μεγάλος άξονας της υπερβολής και η απόσταση ´ μήκους 2β λέγεται μικρός άξονας της υπερβολής. ΢την ισοσκελή υπερβολή οι άξονες έχουν ίσα μήκη. Οι άξονες της υπερβολής είναι και άξονες συμμετρίας της υπερβολής. 44..1111..33 ΑΑσσύύμμππττωωττεεςς ττηηςς υυππεερρββοολλήήςς Για την υπερβολή με εξίσωση 2 2 2 2 x y 1 α β   οι ασύμπτωτες είναι οι ευθείες: β β y x και y x α α    44..1111..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα υυππεερρββοολλήήςς Ο λόγος της εστιακής απόσταση προς την απόσταση των κορυφών της υπερβολής λέγεται εκκεντρότητα της υπερ- βολής, δηλαδή: 2 2 α βγ ε 1 α α     44..1111..55 ΢΢υυζζυυγγεείίςς υυππεερρββοολλέέςς Οι υπερβολές 2 2 2 2 x y 1 α β   και 2 2 2 2 y x 1 β α   ονομάζονται συζυγείς υπερβολές και έχουν τις ίδιες ασύμπτωτες 44..1111..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς υυππεερρββοολλήήςς Αν 2 2 2 2 x y 1 α β   τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής στο τυχόν σημείο x1, y1 είναι: x y Ε΄ Ε ΢ 2γ 2α x y Ε΄ Ε Α΄ Α Β΄ Β
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Τπερβολή 33 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 33 1 1 2 2 xx yy 1 α β   44..1111..77 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττόόμμεεννηη υυππεερρββοολλήήςς Δεδομένης της υπερβολής 2 2 2 2 x y 1 α β   (1) και της ευθείας y = λx + μ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στην υπερβολή είναι ο μηδενισμός της διακρίνουσας Δ του της δευτεροβάθμιας που προκύπτει από το σύστημα των (1) και (2) δηλαδή α²λ² - β² - μ² = 0 44..1111..88 ΕΕφφααππττόόμμεεννηη ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς υυππεερρββοολλήήςς Έστω η υπερβολή 2 2 2 2 x y 1 α β   και το σημείο ΢(x1, y1). Η τυχαία ευθεία που περνάει από το σημείο ΢ είναι y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται αυτή στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.11.7 άρα αφού μ=y1 – λx1 α²λ² - β² - (y1 – λx1)² = 0 44..1111..99 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη υυππεερρββοολλήήςς Μία υπερβολή με το κέντρο της στην αρχή των αξόνων και τον μεγάλο άξονά της στον άξονα x΄x έχει εξί- σωση σε πολικές συντεταγμένες: 2 2 2 2 2 2 2 α β ρ β συν θ α ημ θ   Αν το κέντρο βρίσκεται στον άξονα Οx και η εστία Ε΄ βρίσκεται στο Ο τότε: 2 α(ε 1) ρ 1 εσυνθ    44..1111..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς υυππεερρββοολλήήςς Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο ΢ διχοτο- μεί την γωνία Ε΄΢Ε ή Μία ακτίνα που εκπέμπεται από την μία εστία Ε ανα- κλάται έτσι ώστε η προέκτασή της να διέρχεται από την άλλη εστία Ε΄ x y ΕΕ΄ ΢
34 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Γενικά για τις κωνικές τομές Μαθηματικό Συπολόγιο 34 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.12 Γενικά για τις κωνικές τομές Ολες οι κωνικές τομές (εκτός της ευθείας) μπορούν να θεωρηθούν ως τομές ενός κώνου και ενός επιπέδου, (εξ‟ού και το όνομα κωνικές τομές, ή απολλώνιες τομές). Ο κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του. Η είναι η κλειστή τομή του κώνου με επίπεδο πλάγιο με τον άξονά του. Η παραβολή είναι τομή ενός κώνου με επίπεδο παράλληλο σε μία γενέτειρα του κώνου. Η υπερβολή είναι τομή του κώνου με ένα επίπεδο παράλληλο στον άξονά του. Ολες οι κωνικές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολη) μπορούν να θεωρηθούν ως γεωμετρικοί τόποι σημείων των οποίων ο λόγος της απόστασής του από σταθερό σημείο, που ονομάζεται εστία (focus), και της απόστασής του από ευθεία, που ονομάζεται διευθετούσα (directrix), είναι ίσος με μία σταθερά ε που ονομάζεται εκκεντρότητα. Αν η εστία της κωνικής επιλεχθεί στην αρχή ενός πολικού συστήματος συντεταγμένων (ρ,θ) τότε κ εδ ρ 1 εσυνθ 1 εσυνθ     όπου κ = ΟΚ και δ = ΟΜ = απόσταση εστίας – διευθετούσας Ο y x εστία δ Κ Μ κ διευθετούσα Η κωνική είναι: έλλειψη αν ε<1 παραβολή αν ε=1 υπερβολή αν ε>1
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Καμπύλες δευτέρου βαθμού 35 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 35 4.13 Καμπύλες δευτέρου βαθμού 44..1133..11 ΟΟρριισσμμόόςς Καμπύλη 2ου βαθμού είναι η εξίσωση (x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2Δx+2Εy+Ζ = 0 Κάθε κωνική τομή μπορεί να παρασταθεί από μία εξίσωση 2ου βαθμού. 44..1133..22 ΔΔιιεερρεεύύννηησσηη Εστω ότι μετασχηματίζουμε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων xΟy σε κάποιο άλλο xΌ΄y΄ και η κα- μπύλη 2ου βαθμού γίνεται από Αx²+Βxy+Γy²+2Δx+2Εy+Ζ = 0 που ήταν σε Α΄x²+Β΄xy+Γ΄y²+2Δ΄x+2Ε΄y+Ζ΄ = 0. Αποδεικνύεται ότι είναι αναλλοίωτα τα μεγέθη: A B Δ A B Δ D B Γ Ε B Γ Ε D Δ Ε Ζ Δ Ε Ζ             A B A B d d Β Γ Β Γ    S = A + Γ = Α΄ + Γ΄ = S΄ Επίσης ορίζουμε Q=Δ²-ΑΖ Ισχύει ο παρακάτω πίνακας διερευνήσεως: α/α d D DS Q Διάφορα Περιγραφή καμπύλης 1 (κ) - - - - Α=Γ Β=0 Κύκλος 2 (ε) >0 ≠0 <0 - - Πραγματική έλλειψη >0 - - Υανταστική έλλειψη =0 - - - Ζεύγος φανταστικών ευθειών 3 (υ) <0 ≠0 - - - Κανονική υπερβολή =0 - - - Ζεύγος τεμνόμενων ευθειών 4 (π) =0 ≠0 - - - κανονική παραβολή =0 - <0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (διακεκριμ.) =0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (ταυτιζομένων) >0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (φανταστικών) 44..1133..33 ΜΜεεττααττρροοππήή σσεε κκααννοοννιικκήή μμοορρφφήή Η γενική εξίσωση (x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2Δx+2Εy+Ζ = 0 μπορεί να μετατραπεί σε μία απλούστερη μορφή αλλάζοντας το σύστημα συντεταγμένων σε καποιο άλλο x΄Ο΄y΄ έτσι ώστε το κέντρο της καμπύλης (πλην παραβολής που δεν έχει κέντρο) να ταυτίζεται με το Ο΄ και ο άξονας x΄ να ταυτίζεται με ένα άξονα της καμπύλης. 44..1133..33..11 ΓΓιιαα κκύύκκλλοο,, έέλλλλεειιψψηη,, υυππεερρββοολλήή:: Σο κέντρο (xο, yο) της καμπύλης βρίσκεται επιλύνοντας το σύστημα o o o o x x x x Β Δ ƒ Γ Ε0 xx d Δ Αƒ 0 Ε Βy y d                   Σο σύστημα έχει στραφεί κατά γωνία φ με 1 2Β φ τοξεφ 2 Α Γ   , με τον περιορισμό Βημ2φ>0
36 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο - Καμπύλες δευτέρου βαθμού Μαθηματικό Συπολόγιο 36 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Ο συντελεστής διεύθυνσης του Ο΄x΄ είναι λΟ΄x΄ 2 2 (A Γ) (Α Γ) 4Β 2Β       και του άξονα Ο΄y΄ είναι λΟ΄y΄=-1/λΟ΄x΄ Η εξίσωση της καμπύλης στο νέο σύστημα συντεταγμένων είναι 2 2 D A x Γ y 0 d       όπου Α΄ και Γ΄ είναι οι ρίζες της εξίσωσης z²-Sz+d = 0 δηλαδή: 2 2 A Γ (Α Γ) 4Β A 2       και 2 2 A Γ (Α Γ) 4Β Γ 2       44..1133..33..22 ΓΓιιαα ππααρρααββοολλήή Για την παραβολή που δεν έχει κέντρο η εξίσωσή της στο νέο σύστημα συντεταγμένων είναι y΄²=2ρ΄x΄ όπου 2 2 ΑΕ ΒΔ ρ S A B     Οι συντεταγμένες του νέου συστήματος συντεταγμένων (xο,yο) του νέου συστήματος που είναι και η κορυφή της παραβολής είναι η λύση του συστήματος: o o o o ASx BSy (AΔ ΒΕ) 0 (ΔS ΔΓ ΒΕ)x (ES AE ΒΔ)y ZS 0               και η γωνία στροφής των αξόνων δίνεται από την σχέση Α φ τοξεφ Β       
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - ΢υστήματα συντεταγμένων 37 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 37 5 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο 5.1 ΢υστήματα συντεταγμένων 55..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Φρησιμοποιεί 3 άξονες, x, y, και z με κοινή αρχή Ο. Τπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του χώρου και των τριάδων (x, y, z) όπου x, y, z  55..11..22 ΚΚυυλλιιννδδρριικκόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Η θέση του σημείου Α ορίζεται από το μέτρο του διανύσματος ρ του επιπέδου xy, τη γωνία φ (0φ<2π) που σχηματίζεται με τον άξονα Οx και την συντεταγμένη z Για την μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό ισχύει: 2 2 ρ x y x=ρσυνφ y y xy=ρημφ και φ τοξεφα τοξημ τοξσυν x ρ ρ z=z z z                55..11..33 ΢΢φφααιιρριικκόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Η θέση του σημείου Α ορίζεται από το μέτρο του διανύσματος r του χώρου, τη γωνία φ (0φ<2π) που σχηματίζει η προβολή του r στο xy επίπεδο με τον άξονα Οx τη γωνία θ (0θ<π) που σχηματίζει το r με τον άξονα Οz Για την μετατροπή από καρτεσιανό σε σφαιρικό ισχύει: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ x y z x=rημθσυνφ y y xy=rημθημφ φ τοξεφα τοξημ τοξσυν x x y x y z=rσυνθ x yzz τοξσυν τοξεφ r z                     55..11..44 ΠΠααρράάλλλληηλληη μμεεττααφφοορράά σσυυσσττήήμμααττοοςς σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Για να μεταβούμε από το σύστημα Οxyz στο σύστημα Ο΄x΄y΄z΄ το οποίο έχει παράλληλους άξονες με το αρχικό και το σημείο Ο΄ έχει συντεταγμένες (α, β, γ) σε σχέση με το αρχικό: x΄ = x – α y΄ = y – β z΄ = z – γ x z Ο y1 Α(x1,y1,z1) z1 x1 y x z Ο y1 Α(r, φ, θ) z1 r x1 y Α‟ φ θ x z Ο Α(ρ, φ, z) z1 ρ y Α‟ φ
38 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Απόσταση δύο σημείων Μαθηματικό Συπολόγιο 38 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 5.2 Απόσταση δύο σημείων Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) είναι: 2 2 2 AB 2 1 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )      5.3 ΢ημείο που διαιρεί τμήμα σε λόγο λ Αν Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) δύο σημείων και Κ(xο, yο, zο) ένα σημείο τέτοιο ώστε AK KB =λ τότε οι συντε- ταγμένες του Κ είναι: 1 2 0 x λx x 1 λ    , 1 2 0 y λy y 1 λ    , 1 2 0 z λz z 1 λ    Αν λ>0 το Μ είναι εντός του ΑΒ Αν λ<0 το Μ είναι έξω από το ΑΒ Αν λ=1 το Μ είναι το μέσο του ΑΒ 5.4 Εμβαδό τριγώνου Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σημεία του χώρου τότε το εμβαδό του τριγώνου σπου σχη- ματίζουν δίνεται από τον τύπο: 2 2 2 1 2 3 1 A A A A 2    όπου 1 1 1 2 2 3 3 x y 1 A x y 1 x y 1  , 1 1 2 2 2 3 3 y z 1 A y z 1 y z 1  και 1 1 2 2 2 3 3 z x 1 A z x 1 z x 1  5.5 Όγκος τετραέδρου Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2), Γ(x3, y3, z3) και Δ(x4, y4, z4) είναι οι κορυφές τετραέδρου τότε ο όγκος του δίνε- ται από τη σχέση: 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 x x y y z z 1 V x x y y z z 6 x x y y z z          
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Επίπεδα 39 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 39 5.6 Επίπεδα 55..66..11 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ ΢ε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: Αx + Βy + Γz + Δ = 0 Σέμνει τους άξονες στα σημεία x=-Δ/Α, y=-Δ/Β, z=-Δ/Γ 55..66..22 ΕΕιιδδιικκάά εεππίίππεεδδαα ΕΕππίίππεεδδοο ΣΣιιμμήή σσττααθθεερρώώνν ΕΕξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ Διέρχεται από την αρχή Δ = 0 Αx + Βy + Γz = 0  στο Οxy επίπεδο Γ = 0 Αx + Βy + Δ = 0  στο Οxz Β = 0 Αx + Γy + Δ = 0  στο Οyz Α = 0 Βy + Γz + Δ = 0  στο Οxy Α = Β = 0 Γz + Δ = 0  στο Οxz Α = Γ = 0 Βy + Δ = 0  στο yz Β = Γ = 0 Αx + Δ = 0 περιέχει τον x άξονα Α = Δ = 0 Βy + Γz = 0 περιέχει τον y άξονα Β = Δ = 0 Αx + Γz = 0 περιέχει τον z άξονα Γ = Δ = 0 Αx + Βy = 0 το επίπεδο Οxy Α = Β = Δ = 0 z = 0 το επίπεδο Οyz Β = Γ = Δ = 0 x = 0 το επίπεδο Οxz Α = Γ = Δ = 0 y = 0 55..66..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ πποουυ ττέέμμννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς Αν το επίπεδο τέμνει τους άξονες στα σημεία α, β, γ τότε η εξίσωσή του είναι: yx z 0 α β γ    55..66..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό 33 σσηημμεείίαα Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σημεία του χώρου τότε ορίζουν το επίπεδο: 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 x x y y z z x x y y z z 0 x x y y z z           55..66..55 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εεππιιππέέδδωωνν Για τα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + Δ1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + Δ2 = 0 η γωνία τους είναι: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Α Α Β Β Γ Γ συνθ (Α Β Γ )(Α Β Γ )       
40 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Επίπεδα Μαθηματικό Συπολόγιο 40 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 55..66..66 ΑΑππόόσστταασσηη εεππιιππέέδδοουυ ααππόό ττηηνν ααρρχχήή ΟΟ Για το επίπεδο Αx + Βy + Γz + Δ = 0 η απόστασή του από την αρχή των αξόνων είναι: 2 2 2 Δ d Α Β Γ    55..66..77 ΑΑππόόσστταασσηη σσηημμεείίοουυ ααππόό εεππίίππεεδδοο Για το επίπεδο Αx + Βy + Γz + Δ = 0 η απόστασή του από το σημείο (xο, yο, zο) είναι: 0 0 0 2 2 2 Αx Bx Γx Δ d Α Β Γ       55..66..88 ΢΢υυννθθήήκκηη ππααρρααλλλληηλλίίααςς εεππιιππέέδδωωνν Σα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + Δ1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + Δ2 = 0 είναι παράλληλα όταν η γωνία τους θ=0 άρα όταν 1 1 1 2 2 2 Α Β Γ Α Β Γ   55..66..99 ΢΢υυννθθήήκκηη κκααθθεεττόόττηηττααςς εεππιιππέέδδωωνν Σα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + Δ1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + Δ2 = 0 είναι κάθετα όταν η γωνία τους θ=90ο άρα όταν Α1Α2 + Β1Β2 + Γ1Γ2 = 0
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Ευθείες στον χώρο 41 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 41 5.7 Ευθείες στον χώρο 55..77..11 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς σσττοονν χχώώρροο Μία ευθεία στον χώρο μπορεί να θεωρηθεί πάντα ως τομή δύο επιπέδων (μη-παράλληλων) άρα η εξίσωσή της είναι η λύση του συστήματος: 1 1 1 1 2 2 2 2 Α x Β y Γ z Δ 0 Α x Β y Γ z Δ 0          Μία ευθεία γραμμή στον χώρο μπορεί να περιγραφεί από τις προβολές της στα επίπεδα Οxy και Οxz: 1 1 2 2 y λ x β z λ x β      55..77..22 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς ΕΕυυθθεείίαα ΕΕξξίίσσωωσσηη Διέρχεται από την αρχή 1 2 y λ x z λ x     στον x άξονα 1 2 y β z β     στον y άξονα 1 2 x β z β     στον z άξονα 1 2 x β y β     στο επίπεδο Οxy 1 1 2 y λ x β z β      στο επίπεδο Οxz 1 1 2 z λ x β y β      στο επίπεδο Οyz 1 1 2 z λ x β x β     x άξονας y 0 z 0    y άξονας x 0 z 0    z άξονας x 0 y 0    55..77..33 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εευυθθεειιώώνν Αν δίνονται οι ευθείες 1 1 2 2 y λ x β (1) z λ x β      και 1 1 2 2 y μ x γ z μ x γ      τότε η γωνία τους θ είναι: 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 λ μ λ μ συνθ (1 λ λ )(1 μ μ )        με 0θ<2π
42 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Ευθείες στον χώρο Μαθηματικό Συπολόγιο 42 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 55..77..44 ΢΢υυννθθήήκκηη ππααρρααλλλληηλλίίααςς Οι προηγούμενες ευθείες είναι παράλληλες αν θ=0  συνθ=1 ή λ1=μ1 και λ2=μ2 55..77..55 ΢΢υυννθθήήκκηη κκααθθεεττόόττηηττααςς Οι προηγούμενες ευθείες είναι κάθετες αν θ=90  συνθ=0 ή 1 + λ1μ1 + λ2μ2 = 0
Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Μερικές Επιφάνειες 43 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 43 5.8 Μερικές Επιφάνειες 55..88..11 ΢΢φφααίίρραα ΢φαίρα με κέντρο το σημείο Κ(xο, yο, zο) και ακτίνα r έχει εξίσωση: (x – xο)² + (y – yο)² + (z – zο)² = 0 55..88..22 ΕΕλλλλεειιψψοοεειιδδέέςς Με κέντρο στην αρχή των αξόνων και ημιάξονες α, β και γ: 22 2 2 2 2 yx z 1 α β γ    Με κέντρο το σημείο Κ(xο, yο, zο): 2 2 2 o o o 2 2 2 (x x ) (y y ) (z z ) 1 α β γ       55..88..33 ΤΤππεερρββοολλοοεειιδδέέςς Ενός φύλου: 22 2 2 2 2 yx z 1 α β γ    x z Ο y α β x z Ο y α β γ x z Ο y Κ(xο,yο,zο)
44 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο - Μερικές Επιφάνειες Μαθηματικό Συπολόγιο 44 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Τπερβολοειδές δύο φύλων: 22 2 2 2 2 yx z 1 α β γ     55..88..44 ΠΠααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 55..88..44..11 ΕΕλλλλεειιππττιικκόό ππααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 22 2 2 yx z γα β   55..88..44..22 ΥΥππεερρββοολλιικκόό ππααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 22 2 2 yx z γα β   x z Ο y x z Ο y α β γ x z Ο y
Μαθηματικό Συπολόγιο Γραμμική άλγεβρα - Πίνακες 45 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 45 6 Γραμμική άλγεβρα 6.1 Πίνακες 66..11..11 ΟΟρριισσμμοοίί Πίνακας είναι μία ομαδοποίηση νμ αριθμών σε ν γραμμές και μ στήλες 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 ή 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 Οι αριθμοί αναφέρονται ως στοιχεία του πίνακα. Σο στοιχείο της i γραμμής και της j στήλης αναφέρεται ως αij. Ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός όταν ν = μ. Κύρια διαγώνιος του πίνακα είναι η διαγώνιος από το πάνω αριστερό μέχρι το κάτω δεξιά στοιχείο, δηλαδή η σειρά α11, α22, …, ανν Ο τριγωνικός πίνακας έχει μηδενικά κάτω (ή πάνω) από την κύρια διαγώνιό του. 11 11 νν ν ν α ... ... ... 0 α ... ... 0 0 ... 0 0 0 α              Ο διαγώνιος πίνακας έχει παντού μηδενικά εκτός από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του. Ανάστροφος ενός πίνακα είναι ο πίνακας που έχει γραμμές τις στήλες του άλλου πίνακα. ΢υμβολίζεται με Αt ή t A όπου t από το transpose. ΢υμμετρικός είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του ή αij=αji Αντισυμμετρικός είναι ο πίνακας για τον οποίο ισχύει αij= - αji Αντίστροφος ενός πίνακα Α(νν) είναι ο πίνακας που συμβολίζεται με Α-1 τέτοιος ώστε: ΑΑ-1 =Α-1 Α=Ι. Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. Ερμητιανός είναι ένας μιγαδικός πίνακας αν είναι ίσος με τον ανάστροφο του συζυγού του ή αν Α=  t A Χαρακτηριστικές τιμές (ιδιοτιμές) και χαρακτηριστικά διανύσματα (ιδιοδιανύσματα) ενός πίνακα Α είναι οι αριθ- μοί λ και οι πίνακες στήλες Φ τέτοιοι ώστε να ισχύει: ΑΦ=λΙ. Ένας ερμητιανός πίνακας έχει πραγματικές ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Ένας εναδικός πίνακας (unitary) U έχει στήλες που είναι ορθοκανονικοί πίνακες. Σότε U  t U =I, δηλαδή ο ανάστροφος του συζυγού του είναι ο αντίστροφός του. Ένας εναδικός πίνακας με στοιχεία πραγματικούς είναι ορθογώνιος δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ο αντί- στροφός του, Α Αt = Ι 66..11..22 ΠΠρράάξξεειιςς ππιιννάάκκωωνν Πρόσθεση και αφαίρεση ορίζονται μόνο για πίνακες ίδιας διάστασης νμ Πρόσθεση: 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 + 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ β β β ...... β β β β ...... β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... β β β ...... β                 = 11 11 12 12 13 13 1μ 1μ 21 21 22 22 23 23 2μ 2μ ν1 ν1 ν2 ν2 ν3 ν3 νμ νμ α β α β α β ...... α β α β α β α β ...... α β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α β α β α β ...... α β                         και αφαίρεση:
46 Γραμμική άλγεβρα - Ορίζουσες Μαθηματικό Συπολόγιο 46 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 - 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ β β β ...... β β β β ...... β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... β β β ...... β                 = 11 11 12 12 13 13 1μ 1μ 21 21 22 22 23 23 2μ 2μ ν1 ν1 ν2 ν2 ν3 ν3 νμ νμ α β α β α β ...... α β α β α β α β ...... α β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α β α β α β ...... α β                         Ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίζεται μόνο για πίνακες στους οποίους ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Δηλαδή για πίνακες της μορφής νμ και μλ. Σο αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας νλ και το στοιχείο της i γραμμής και της j στήλης γij ισούται με: γij = αi1β1j + αi2β2j + αi3β3j + … + αiμβμj ΢χηματικά: i1 i2 iμ ν μ ... ... ... ... ... ... ... ... α α ... α ... ... ... ...               . 1j 2j μj μ λ ... β ... ... β ... ... ... ... ... β ...               = ij ν λ ... ... ... ... ... ... ... ... ... γ ... ... ... ... ... ...              Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός: ΑΒΒΑ. Επίσης, αν ΑΒ=Ο, όπου Ο ο μηδενικός πίνακας κατάλληλης διάστασης, τότε δεν ισχύει κατ‟ ανάγκη Α = Ο ή Β = Ο Ο πίνακας Ι4= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             ονομάζεται μοναδιαίος διάστασης 4. Αντίστοιχα ορίζεται ο μοναδιαίος Ιν Ισχύει: ΑΙ = ΙΑ = Α για κάθε πίνακα Α διάστασης μν και κάθε μοναδιαίο Ι διάστασης νν 6.2 Ορίζουσες Η ορίζουσα determinant ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένας αριθμός. Για ένα πίνακα 22 ορίζεται ως ε- ξής: Αν Α= α β γ δ       τότε: detA = α β γ δ = αδ – βγ 66..22..11 ΑΑλλγγεεββρριικκόό σσυυμμππλλήήρρωωμμαα Σο αλγεβρικό συμπλήρωμα (algebraic complement) Ακλ μίας ορίζουσας (νν) είναι η ορίζουσα (ν-1)(ν-1) που προκύπτει αν διαγράψουμε το στοιχείο ακλ μαζί με την στήλη και την γραμμή του, και πολλαπλασιάσου- με με το (-1)κ+λ Αν detA= 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 α α α α α α α α α α α α α α α α τότε: Α11=(-1)1+1 22 23 24 32 33 34 42 43 44 α α α α α α α α α =+ 22 23 24 32 33 34 42 43 44 α α α α α α α α α και Α34=(-1)3+4 11 12 13 21 22 23 41 42 43 α α α α α α α α α = - 11 12 13 21 22 23 41 42 43 α α α α α α α α α 66..22..22 ΟΟρρίίζζοουυσσαα οοπποοιιαασσδδήήπποοττεε ττάάξξηηςς Με τη βοήθεια των αλγεβρικών συμπληρωμάτων βρίσκουμε την ορίζουσα οποιασδήποτε τάξης αναπτύσσο- ντας προς κάποια γραμμή ή στήλη:
Μαθηματικό Συπολόγιο Γραμμική άλγεβρα - Γραμμικά συστήματα 47 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 47 detA = α11Α11 + α12Α12 + … + α1νΑ1ν Με τον τρόπο αυτό ο υπολογισμός μίας ορίζουσας ν τάξης μετατρέπεται σε υπολογισμό ν οριζουσών (ν-1) τάξης! Ειδικά για την περίπτωση ν=3 υπάρχει και ο κανόνας του Sarrus: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 α α α α α α α α α α α α α α α       = α11α22α33+α12α23α31+α13α21α32 – α31α22α13 – α32α23α11 – α33α21α12 όπου πολλαπλασιάζουμε διαγώνια προς τα κάτω με πρόσημο + και διαγώνια προς τα πάνω με πρόσημο – 66..22..33 ΙΙδδιιόόττηηττεεςς οορριιζζοουυσσώώνν det(AB) = detA detB Η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει αν εναλλάξουμε τις γραμμές σε στήλες Αν οι τιμές δύο γραμμών είναι ίσες ή ανάλογες, ή μία γραμμή είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων γραμμών η ορίζουσα είναι μηδέν. Η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει αν σε μία γραμμή προσθέσουμε μία άλλη γραμμή ή ένα γραμμι- κό συνδυασμό γραμμών Σα παραπάνω ισχύουν και για τις στήλες 6.3 Γραμμικά συστήματα Ένα σύστημα ν εξισώσεων με ν αγνώστους λέγεται γραμμικό όταν είναι της μορφής: 11 1 12 2 1ν ν 1 21 1 22 2 2ν ν 2 ν1 1 ν2 2 νν ν ν α x α x ... α x β α x α x ... α x β ............................................. α x α x ... α x β                 Σο σύστημα αυτό λύνεται με πολλούς τρόπους. 66..33..11 ΜΜέέθθοοδδοοςς ττοουυ CCrraammeerr Θεωρούμε την ορίζουσα των συντελεστών D: 11 12 1ν 21 22 2ν ν1 ν2 νν α α ... α α α ... α D α α ... α  και τις ορίζουσες Dx1, Dx2, Dx3, … όπου στην Dx1 έχουμε αντικαταστήσει στην D την στήλη των συντελε- στών του x1 με την στήλη των ελεύθερων όρων: 1 1 12 1ν 2 22 2ν x ν ν2 νν β α ... α β α ... α D β α ... α  , 2 11 1 1ν 21 2 2ν x ν1 ν νν α β ... α α β ... α D α β ... α  , … Αν D0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση: 1x 1 D x D  , 2x 2 D x D  , 3x 3 D x D  , … Αν D = 0 τότε αν Dx1 = Dx2 = Dx3= …= 0 το σύστημα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Αν D = 0 και μία από τις ορίζουσες Dx1, Dx2, Dx3, … είναι διάφορη του μηδενός τότε το σύστημα δεν έχει λύση ( είναι αδύνατο).
48 Γραμμική άλγεβρα - Γραμμικά συστήματα Μαθηματικό Συπολόγιο 48 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 66..33..22 ΜΜέέθθοοδδοοςς ττοουυ GGaauussss Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος δηλαδή τον πίνακα που περιέχει και την στήλη των στα- θερών όρων. 11 12 1ν 1 21 22 2ν 2 ν1 ν2 νν ν α α ... α β α α ... α β α α ... α β             ΢κοπός μας είναι να μετατρέψουμε τον πίνακα αυτόν σε τριγωνικό (στο πρώτο μέρος του)… 11 12 1ν 1 22 2ν 2 νν ν α α ... α β 0 α ... α β 0 0 0 0 0 α β             …οπότε αυτό θα μας λύσει το πρόβλημα αφού θα αντιστοιχεί σε σύστημα της μορφής: 11 1 12 2 1ν ν 1 22 2 2ν ν 2 νν ν ν α x α x ... α x β α x ... α x β .................... α x β             που λύνεται εύκολα με αντικατάσταση. Η μετατροπή γίνεται με γραμμοπράξεις: Ο πίνακας δεν αλλάζει αν αντικαταστήσουμε μία γραμμή του με κά- ποιο γραμμικό συνδυασμό γραμμών ή πολλαπλασιάσουμε μία γραμμή με ένα αριθμό. Ένα ομογενές σύστημα έχει τις σταθερές του όλες ίσες με μηδέν βi=0, i=1,2,…,ν. Σο ομογενές σύστημα έχει ήδη την τετριμμένη λύση (0,0,0,…,0). Θα είναι αόριστο αν ισχύει D=0.
Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία - Ορισμοί 49 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 49 7 Τριγωνομετρία 7.1 Ορισμοί Σριγωνομετρικός αριθμός ΢τα αγγλικά Ορισμός ημίτονο ημx sinus sinx απέναντι κάθετος υποτείνουσα συνημίτονο συνx cosines cosx προσκείμενη κάθετος υποτείνουσα εφαπτομένη εφx tangent tanx απέναντι κάθετος προσκείμενη κάθετος συνεφαπτομένη σφx cotangent cotx προσκείμενη κάθετος απέναντι κάθετος τέμνουσα τεμx secant secx υποτείνουσα προσκείμενη κάθετος συντέμνουσα στεμx cosecant cscx υποτείνουσα απέναντι κάθετος Ορισμός τριγωνομετρικών αριθμών για φ>90 Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων xΟy και ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα ακτίνας ρ με κέντρο την αρχή, τότε μπορούμε να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για γωνίες φ>90. Θεωρούμε την γωνία που γράφει το διάνυσμα ακτίνας ρ από τον θετικό ημιάξονα Οx ως θετική όταν γίνεται με αντίθετη φορά από αυτή του ρολογιού και αρνητική όταν γίνεται σύμφωνα με τη φορά του ρολογιού. Σότε: ημφ=y/ρ, συνφ=x/ρ, εφφ=y/x, σφφ=x/y, τεμφ=ρ/x, στεμφ=ρ/y άξοναςημιτόνων άξονας συνημιτόνων0 1 1-1 -1 άξονας συνεφαπτομένης άξοναςεφαπτομένης σφθ συνθ ημθ εφθ θ Ο τριγωνομετρικός κύκλος
50 Σριγωνομετρία - ΢ημαντικές σχέσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 50 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Αν διαλέξουμε ρ=1 τότε έχουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο (όπως στο σχήμα) και οι ορισμοί απλοποιούνται σημαντικά. 7.2 ΢ημαντικές σχέσεις ημ2 θ+συν2 θ = 1 εφθ = ημθ συνθ σφθ = συνθ ημθ εφθσφθ=1 τεμθ= 1 συνθ στεμθ= 1 ημθ Περιοδικότητα Γωνίες που διαφέρουν π Γωνίες με άθροισμα π ημ(2kπ+θ)=ημθ συν(2kπ+θ)=συνθ εφ(kπ+θ)=εφθ σφ(kπ+θ)=σφθ ημ(π-θ)=ημθ συν(π-θ)=-συνθ εφ(π-θ)=-εφθ σφ(π-θ)=-σφθ ημ(π+θ)=-ημθ συν(π+θ)=-συνθ εφ(π+θ)=εφθ σφ(π+θ)=σφθ Γωνίες που διαφέρουν π/2 Γωνίες με άθροισμα π/2 Γωνίες αντίθετες ημ( π 2 -θ)=συνθ συν( π 2 -θ)=ημθ εφ( π 2 -θ)=σφθ σφ( π 2 -θ)=εφθ ημ( π 2 +θ)=συνθ συν( π 2 +θ)=-ημθ εφ( π 2 +θ)=-σφθ σφ( π 2 +θ)=-εφθ ημ(-θ)=-ημθ συν(-θ)=συνθ εφ(-θ)=-εφθ σφ(-θ)=-σφθ 7.3 Σριγωνομετρικοί αριθμοί κυριότερων γωνιών μοίρες 0 15 18 30 45 60 72 75 90 180 270 360 ακτίνια rad 0 π 12 π 10 π 6 π 4 π 3 2π 5 5π 12 π 2 π 3π 2 2π ημθ 0 6 2 4  5 1 4  1 2 2 2 3 2 10 2 5 4  6 2 4  1 0 -1 0 συνθ 1 6 2 4  10 2 5 4  3 2 2 2 1 2 5 1 4  6 2 4  0 -1 0 1 Εφθ 0 2 3 5 2 5 5  3 3 1 3 5 2 5 2 3 + 0 - 0 σφθ + 2 3 5 2 5 3 1 3 3 5 2 5 5  2 3 0 - 0 + 7.4 Σριγωνομετρικές εξισώσεις ημx=ημθ  x=2kπ+θ x=2kπ+π-θ εφx=εφθ  x=kπ+θ συνx=συνθ  x=2kπ±θ σφx=σφθ  x=kπ+θ
Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία - Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο 51 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 51 7.5 Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο Σριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος Σριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιου τόξου ημ(α±β)=ημασυνβ±συναημβ συν(α±β)=συνασυνβ ημαημβ εφ(α±β)= εφα εφβ 1 εφαεφβ  σφ(α±β)= σφασφβ 1 σφβ σφα ημ2α=2ημασυνα συν2α=συν2 α-ημ2 α =2συν2 α-1 =1-2ημ2 α εφ2α= 2 2εφα 1-εφ α σφ2α= 2 σφ α -1 2σφα Σριγ. αριθμοί τριπλάσιου τόξου Σριγ. αριθμοί μισού τόξου ημ3α=3ημα-4ημ3 α συν3α=4συν3 α-3συνα εφ3α= 3 2 3εφα -εφ α 1 3εφ α σφ3α= 3 2 σφ α-3σφα 3σφ α 1 α 1 συναημ 2 2   α 1 συνασυν 2 2   α 1 συναεφ 2 1 συνα    α 1 συνασφ 2 1 συνα    7.6 Σύποι αποτετραγωνισμού ημ2 α= 1 συν2α 2  εφ2 α= 1 συν2α 1 συν2α   συν2 α= 1 συν2α 2  σφ2 α= 1 συν2α 1 συν2α   7.7 Βασικές ανισότητες -1  ημx  1, -1  συνx  1, -  εφx  , -  σφx  , 7.8 Άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών ημα+ημβ=2ημ α β 2  συν α-β 2 ημα-ημβ=2συν α β 2  ημ α-β 2 συνα+συνβ=2συν α β 2  συν α-β 2 συνα-συνβ=2ημ α β 2  ημ α-β 2 εφα+εφβ= ημ(α β) συνασυνβ  εφα-εφβ= ημ(α β) συνασυνβ  σφα+σφβ= ημ(α β) ημαημβ  σφα-σφβ= ημ(α β) ημαημβ 
52 Σριγωνομετρία - ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) Μαθηματικό Συπολόγιο 52 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 7.9 ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) ημα και συνα σαν ρητές συναρτήσεις της εφ(α/2) Γινόμενα (τύποι του Werner) ημα= 2 α 2εφ 2 α 1 εφ 2  συνα= 2 2 α 1 εφ 2 α 1 εφ 2   ημαημβ= 1 2 [συν(α-β)-συν(α+β)] ημασυνβ= 1 2 [ημ(α+β)+ημ(α-β)] συνασυνβ= 1 2 [συν(α+β)+συν(α-β)] α(2k+1)π, k 7.10 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο -φ 90±φ 180±φ 270±φ 360±φ 2κπ±φ ημ -ημφ συνφ ημφ -συνφ ±ημφ συν συνφ ημφ -συνφ ±ημφ συνφ εφ -εφφ σφφ ±εφφ σφφ ±εφφ σφ -σφφ εφφ ±σφφ εφφ ±σφφ τεμ τεμφ στεμφ -τεμφ ±στεμφ τεμφ στεμ -στεμφ τεμφ στεμφ -τεμφ ±στεμφ 7.11 Μετατροπές μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γνωστό  ημx συνx εφx σφx ημx ημx 2 1 ημ x  2 ημx 1 ημ x  2 1 ημ x ημx   συνx 2 1 συν x  συνx 2 1 συν x συνx   2 συνx 1 συν x  εφx 2 εφx 1 εφ x  2 1 1 εφ x  εφx 1 ημx σφx 2 1 1 σφ x  2 σφx 1 σφ x  1 σφx σφx 7.12 Δυνάμεις ημιτόνου, συνημιτόνου ημ²α= 1 2 (1 - συν2α) συν²α= 1 2 (1 + συν2α) ημ³α= 1 4 (3ημα - ημ3α) συν³α= 1 4 (3συνα + συν3α) 1 8 (συν4α – 4συν2α +3) 1 8 (συν4α + 4συν2α +3)
Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία - Σο άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο 53 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 53 1 16 (10ημα – 5ημ3α + ημ5α) 1 16 (10συνα + 5συν3α + συν5α) ημ6 α= 1 32 (10 – 15συν2α + 6συν4α –συν6α) συν6 α= 1 32 (10 + 15συν2α + 6συν4α –συν6α) 7.13 Σο άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο Για κάθε α, β≠0 η συνάρτηση (παράσταση) (x)=αημx+βσυνx μπορεί να γραφεί στη μορφή (x)=ρημ(x+φ) όπου: ρ= 2 2 α β και β ημφ ρ α συνφ ρ        Άρα max=ρ και min=-ρ 7.14 Γραφικές παραστάσεις x y      -4 -2 0 2 4 (x)=εφx x y      -4 -2 0 2 4 (x)=σφx x y      -2 -1 0 1 2 (x)=ημx x y      -2 -1 0 1 2 (x)=συνx x y      -4 -2 0 2 4 (x)=τεμx x y      -4 -2 0 2 4 (x)=στεμx Για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις δες το κεφάλαιο ΢υναρτήσεις σελ 61
54 Σριγωνομετρία - Επίλυση Σριγώνου Μαθηματικό Συπολόγιο 54 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 7.15 Επίλυση Σριγώνου Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α, Β και Γ και πλευρές α, β και γ απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες. Σότε ισχύουν: Α+Β+Γ=180ο 77..1155..11 ΘΘεεώώρρηημμαα ηημμιιττόόννωωνν α ημΑ = β ημΒ = γ ημΓ =2R όπου α, β, γ οι πλευρές και Α, Β, Γ οι γωνίες ενός τριγώνου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου 77..1155..22 ΘΘεεώώρρηημμαα σσυυννηημμιιττόόννωωνν α2 = β2 + γ2 - 2βγσυνΑ, β2 = γ2 + α2 - 2γασυνΒ, γ2 = α2 + β2 - 2αβσυνΓ 77..1155..33 ΘΘεεώώρρηημμαα εεφφααππττοομμέέννωωνν Α Βεφα β 2 α β Α Βεφ 2      , Β Γεφβ γ 2 β γ Β Γεφ 2      , Γ Αεφγ α 2 γ α Γ Αεφ 2      77..1155..44 ΘΘεεώώρρηημμαα ππρροοββοολλώώνν α=βσυνΓ+γσυνΒ, β=γσυνΑ+ασυνΓ, γ=ασυνΒ+βσυνΑ 77..1155..55 ΣΣύύπποοιι ττοουυ BBrriigggg ΢ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με ημιπερίμετρο τ= α β γ 2   ισχύουν οι παρακάτω τύποι (τ β)(τ γ)Αημ 2 βγ    τ(τ α)Ασυν 2 βγ   (τ γ)(τ α)Βημ 2 γα    τ(τ β)Βσυν 2 γα   (τ α)(τ β)Γημ 2 αβ    τ(τ γ)Γσυν 2 αβ     (τ β)(τ γ)Αεφ 2 τ τ α       (τ γ)(τ α)Βεφ 2 τ τ β       (τ α)(τ β)Γεφ 2 τ τ γ     77..1155..66 ΕΕμμββααδδόό ττρριιγγώώννοουυ Έστω Ε το εμβαδό (area) του τριγώνου, τ η ημιπερίμετρος, R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Σότε ισχύουν οι τύποι: Ε= 1 2 αβημΓ = 1 2 βγημΑ= 1 2 αγημΒ Ε= τ(τ α)(τ β)(τ γ)   ο τύπος του Ήρωνα Ε= 2 α ημΒημΓ 2ημΑ = 2 β ημΓημΑ 2ημΒ = 2 γ ημΑημΒ 2ημΓ Ε=τr Ε= αβγ 4R Ε=2R²ημΑημΒημΓ Ε=r²σφ A 2 σφ B 2 σφ Γ 2 Ε=τ² εφ A 2 εφ B 2 εφ Γ 2 Ε= (τ α)(τ β)(τ γ) r   
Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία - Επίλυση Σριγώνου 55 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 55 Οι ίδιοι τύποι λύνονται ως προς r και R και μας δίνουν τις ακτίνες εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύ- κλου του τριγώνου
56 ΢υναρτήσεις - Ορισμοί Μαθηματικό Συπολόγιο 56 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 8 Συναρτήσεις 8.1 Ορισμοί ΢υνάρτηση είναι μία διαδικασία  που αντιστοιχεί σε κάθε τιμή x ενός συνόλου Α μία μόνο τιμή y ενός συ- νόλου Β. ΢χηματικά: Ονομάζουμε: Πεδίο Ορισμού (domain): το σύνολο Α, Πεδίο Σιμών (range): το σύνολο Β Ανεξάρτητη μεταβλητή: το x Εξαρτημένη μεταβλητή: το y Αρχέτυπο του y: το x Εικόνα του x: το y Γράφουμε: :ΑΒ, Α f Β x(x) x f y y=(x) (x)=…(τύπος) Αν η συνάρτηση έχει αναλυτικό τύπο τότε γράφουμε τον τύπο της και το πεδίο ορισμού της Α. π.χ.1 : Δίνεται η συνάρτηση ( με τύπο) (x)=2x²-1, με Α=+ , ή π.χ.2: g(x)= 1, αν x ρητός 0, αν x άρρητος    , με x 8.2 Άρτια συνάρτηση:  xΑ, -xΑ και (-x)=(x). Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y‟y 8.3 Περιττή συνάρτηση:  xΑ, -xΑ και (-x)=-(x). Η περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο x y -2 0 2 -2 0 2 Άρτια συνάρτηση (x)=x²συνx x y - 5 0 5 - 5 0 5 Περιττή συνάρτηση (x)=συνx/x 8.4 ΢υνάρτηση ένα προς ένα 1-1: Α Β  α η κ μ Κ Π Ν Η
Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 57 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 57 Μία συνάρτηση λέγεται 1-1 αν: (x1)=(x2)  x1=x2 Εναλλακτικά: x1≠x2  (x1)≠(x2) 8.5 Αντίστροφη συνάρτηση Κάθε 1-1 συνάρτηση :ΑΒ έχει αντίστροφη συνάρτηση που συμβολίζεται με -1 έτσι ώστε: Αν (x)=y τότε -1 (y)=x Ισχύει: -1 ((x))=x Η αντίστροφη έχει γράφημα συμμετρικό ως προς την διχο- τόμο 1ης - 3ης γωνίας των αξόνων. Σο πεδίο ορισμού Α‟ της -1 είναι το (Α) x y - 2 0 2 -2 0 2 8.6 Περιοδική συνάρτηση Λέγεται η συνάρτηση  για την οποία ισχύει (x+Σ)=(x-Σ)=(x). Εννοείται x, x+Σ, x-Σ Α. Ο μικρότε- ρος από τους αριθμούς Σ λέγεται περίοδος της συνάρτησης . Παράδειγμα: η συνάρτηση ημίτονο: (x)=ημx γιατί ημ(x+2π)=ημ(x) x y        -1 0 1 T 8.7 Μονότονες συναρτήσεις Αύξουσα είναι η συνάρτηση  όταν για x1<x2  (x1)(x2) Υθίνουσα είναι η συνάρτηση  όταν για x1<x2  (x1)≥(x2) 8.8 ΢ύνθεση συναρτήσεων Έστω :ΑΒ και g:ΒΓ δύο συναρτήσεις. Ορίζουμε την σύνθεση g ως εξής: g:Α‟Γ με τιμή (g)(x)=g((x)) και πεδίο ορισμού Α΄={xΑ/(x)Β} 8.9 Ακρότατα συνάρτησης 88..99..11 ΜΜέέγγιισσττοο:: Μία συνάρτηση  παρουσιάζει μέγιστο (maximum) στο xο αν xΑ, ισχύει (x)(xο) Η τιμή (xο) ονομάζεται μέγιστο της  και συμβολίζεται max 88..99..22 ΕΕλλάάχχιισσττοο:: Μία συνάρτηση  παρουσιάζει ελάχιστο (minimum) στο xο αν xΑ, ισχύει (x)≥ (xο) Η τιμή (xο) ονομάζεται ελάχιστο της  και συμβολίζεται min
58 ΢υναρτήσεις - Κυρτότητα και σημεία καμπής Μαθηματικό Συπολόγιο 58 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 8.10 Κυρτότητα και σημεία καμπής Μία συνάρτηση λέγεται κυρτή (concavity) αν στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, δηλαδή το γράφημά της είναι της μορφής . Μία συνάρτηση είναι κοίλη (convexity) όταν στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δηλαδή το γράφημά της είναι της μορφής . Σο σημείο xο στο οποίο έχουμε αλλαγή κυρτότητας και στο οποίο υπάρχει η πρώτη παράγωγος λέγεται σημείο καμπής (turning point) 8.11 Μερικές χρήσιμες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων x y -2 0 2 0 2 4 (x)=x2 (παραβολή) x y -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 0 2 4 6 (x)=2x2 +6x+1 (παραβολή) x y -15 -10 -5 0 5 10 15 -5 0 5 10 (x)=2x+1 (γραμμική) x y -15 -10 -5 0 5 10 15 -5 0 5 10 (x)=-2x+5 (γραμμική) x y 0 2 4 6 0 1 2 3 (x)= x x y -5 0 5 -4 -2 0 2 4 (x)=1/x (υπερβολή) Ο x y C εφαπτομένη Κυρτή Κοίλη ΢ημείο Καμπής
Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις - Η γραμμική συνάρτηση y = (x) = λx+β 59 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 59 8.12 Η γραμμική συνάρτηση y = (x) = λx+β Είναι ευθεία γραμμή με συντελεστή διεύθυνσης λ. Σέμνει τους άξονες στα σημεία: Άξονας x: (-β/λ, 0) Άξονας y: (0, β) Ισχύει: λ>0 Η συνάρτηση είναι αύξουσα λ<0 Η συνάρτηση είναι φθίνουσα λ=0 Η συνάρτηση είναι σταθερή Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν λ1=λ2 και κάθετες αν λ1λ2=-1 8.13 Η τετραγωνική συνάρτηση y=(x)=αx²+βx+γ Σο γράφημά της είναι παραβολή με τον άξονά της παράλληλο με τον άξονα y. Η κορυφή της παραβολής είναι στο σημείο Α= β Δ , 2α 4α        όπου Δ=β²-4αγ Ο άξονας της παραβολής έχει εξίσωση β x 2α   Ισχύουν ακόμα: α>0 Η συνάρτηση είναι κυρτή, και έχει ελάχιστο στο σημείο Α α<0 Η συνάρτηση είναι κοίλη, και έχει μέγιστο στο σημείο Α Αν β και γ είναι μηδέν η παραβολή με εξίσωση y=αx² έχει την κορυφή της στην αρχή των αξόνων και ο άξο- νάς της ταυτίζεται με τον άξονα y. ΢ε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση είναι άρτια (-x)=(x) 8.14 Η συνάρτηση y=(x)=αxn Για n>0 άρτιο είναι συμμετρική ως προς τον y-άξονα, φθίνουσα και αύξουσα (άρτια συνάρτηση) ενώ για n>0 περιττό είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων (περιττή) και παντού αύξουσα. x y -2 0 2 0 5 10 (x)=x2k x y -2 0 2 -4 -2 0 2 4 (x)=x2k+1 Για n<0 άρτιο είναι συμμετρική ως προς τον y-άξονα (άρτια συνάρτηση), αύξουσα και φθίνουσα, ενώ για n<0 περιττό είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων (περιττή) φθίνουσα κατά διαστήματα
60 ΢υναρτήσεις - Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x Μαθηματικό Συπολόγιο 60 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος x y -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 (x)=x-2k x y -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 (x)=x-(2k+1) 8.15 Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x Θεωρούμε τη συνάρτηση y=(x) = n x Για n άρτιο ορίζεται για x≥0 Για n περιττό είναι περιττή συνάρτηση (συμμετρία ως προς την αρχή) και ορίζεται για κάθε x ΢το διπλανό σχήμα: y1= x (λαδί) y2= 3 x (μπλε) y3= 6 x (κόκκινο) x y -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 8.16 Η εκθετική συνάρτηση Ορίζεται ως η :+ με (x)=αx (με α+ ) Αν α>1 η συνάρτηση είναι αύξουσα, αν α=1 είναι σταθερή και για α<1 είναι φθίνουσα. Η συνάρτηση είναι 1-1 8.17 Η λογαριθμική συνάρτηση Αν (x)=αx η εκθετική συνάρτηση, τότε η αντίστροφή της είναι η λογαριθμική συνάρτηση με ορισμό: -1 :* +  με τύπο -1 (x)=logαx, με α>0 και α≠1 Αν α=10 έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο logx x y -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 α>1, αύξουσα x y -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 α<1, φθίνουσα
Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις - Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις 61 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 61 Αν α=e=2,718… έχουμε τον νεπέριο ή φυσικό λογάριθμο lnx Η λογαριθμική είναι 1-1, αύξουσα αν α>1 και φθίνουσα αν α<1 x y -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 6 Η συνάρτηση (x)=logx x y -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 6 Η συνάρτηση (x)=logx και η g(x)= 1 10 log x Είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x‟x x y 0 2 4 6 8 10 12 14 -4 -2 0 2 4 6 Η συνάρτηση (x)=lnx x y 0 2 4 6 8 10 12 14 -4 -2 0 2 4 6 y=lnx y=logx Οι συναρτήσεις (x)=lnx και g(x)=logx x y -2 0 2 4 -2 0 2 4 Οι συναρτήσεις (x)=10x και -1 (x)=logx είναι η μία αντί- στροφη της άλλης. Είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο 1ου – 3ου τεταρτημορίου Σο ίδιο οι συναρτήσεις ex και lnx 8.18 Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Αν y=ημx τότε x=ημ-1 y ή x=τοξημy (τόξο ημιτόνου y). Η συνάρτηση (x) =τοξημx ορίζεται για - π 2 x π 2 , αγγλικά arcsinx ή sin-1 x y=τοξσυνx αντίστροφη του συνx, ορίζεται για 0xπ, αγγλικά arcosx ή cos-1 x y=τοξεφx αντίστροφη της εφx, ορίζεται για - π 2 <x< π 2 , αγγλικά arctanx, ή tan-1 x y=τοξσφx αντίστροφη της σφx, ορίζεται για 0<x<π, αγγλικά arcotx, ή cot-1 x
62 ΢υναρτήσεις - Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 62 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 88..1188..11 ΢΢χχέέσσεειιςς μμεεττααξξύύ ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν Για x>0 ισχύουν: τοξημx = τοξσυν 2 1 x = τοξεφ 2 x 1 x τοξσυνx = τοξημ 2 1 x = τοξσφ 2 x 1 x τοξεφx = τοξσφ 1 x = τοξημ 2 x 1 x = τοξσυν 2 1 1 x 88..1188..22 ΆΆθθρροοιισσμμαα ΑΑννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν τοξημx+τοξσυνx= π 2 τοξεφx+τοξσφx= π 2 88..1188..33 ΑΑρρννηηττιικκόό όόρριισσμμαα ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν τοξημ(-x)= - τοξημx τοξεφ(-x)= - τοξεφx τοξσυν(-x)= - τοξσυνx + π τοξσφ(-x)= - τοξσφx + π 88..1188..44 ΓΓρρααφφιικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν x y      -2 0 2 y=τοξημx x y      0 2 4 y=τοξσυνx x y      -2 0 2 y=τοξεφx x y      -4 -2 0 2 4 y=τοξσφx
Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις - Τπερβολικές συναρτήσεις 63 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 63 8.19 Τπερβολικές συναρτήσεις 88..1199..11 ΟΟρριισσμμόόςς Οι συναρτήσεις αυτές ορίζονται με παρόμοια τρό- πο με τις τριγωνομετρικές αλλά θεωρώντας μία υ- περβολή και όχι κύκλο Αν θεωρήσουμε την υπερβολή x² - y² = α² τότε αν Ρ(x, y) σημείο της υπερβολής τότε το υπερβολικό ημίτονο της γωνίας α είναι ο λόγος y δια ΟΕ, το υπερβολικό συνημίτονο είναι ο λόγος x δια ΟΕ και η υπερβολική εφαπτομένη είναι ο λόγος y/x Τπερβολικό ημίτονο sinhα = AP OE Τπερβολικό συνημίτονο coshα = OA OE Τπερβολική εφαπτομένη tanhα = EB OE = AP OA = sinhα coshα Τπερβολική συνεφαπτομένη cothα = ΟE OΒ = 1 tanhα Τπερβολική τέμνουσα sechα = OE OA = 1 coshα Τπερβολική συντέμνουσα cschα = OE AP = 1 sinhα 88..1199..22 ΟΟιι υυππεερρββοολλιικκέέςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς ωωςς εεκκθθεεττιικκάά x x e e sinh x 2    x x e e cosh x 2    x x 2 sech x e e   x x x x e e tanh x e e      x x x x e e coth x e e      x x 2 csch x e e   88..1199..33 ΢΢χχέέσσεειιςς μμεεττααξξύύ υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν cosh²x - sinh²x = 1 sech²x + tanh²x = 1 csch²x + coth²x = 1 88..1199..44 ΠΠεερριιοοδδιικκόόττηητταα υυππεερρββοολλιικκώώνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν sinh(2ki + x) = sinhx περίοδος 2i, cosh(2ki + x) = coshx περίοδος 2i sech((2ki + x) = sechx περίοδος 2i, csch((2ki + x) = cschx περίοδος 2i tanhx(ki + x) = tanhx περίοδος i, cothx(ki + x) = cothx περίοδος i k = 0 ±1, ±2, … 88..1199..55 ΑΑρρννηηττιικκάά οορρίίσσμμαατταα sinh(-x)=-sinhx tanh(-x)=-tanhx sech(-x)=sechx cosh(-x)=coshx coth(-x)=-cothx csch(-x)=cschx 88..1199..66 ΣΣύύπποοιι ΑΑθθρροοιισσμμάάττωωνν sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy tanh x tanh y tanh(x y) 1 tanh xtanh y     cothxcoth y 1 coth(x y) cothxcoth y    88..1199..77 ΔΔιιππλλάάσσιιαα γγωωννίίαα sinhx = 2sinhxcoshx coshx = cosh²x-sinh²x = 2cosh²x-1 = 1-2sinh²x x y -2 0 2 4 6 8 10 12 -6 -4 -2 0 2 4 E A O P B a
64 ΢υναρτήσεις - Τπερβολικές συναρτήσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 64 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος tanhx= 2 2tanh x 1 tanh x 88..1199..88 ΣΣύύπποοιι μμιισσήήςς γγωωννίίααςς x cosh x 1 sinh 2 2    , + αν x>0 και – αν x<0 x cosh x 1 cosh 2 2   x coshx 1 sinhx coshx 1 tanh 2 coshx 1 coshx 1 sinhx         , + αν x>0 και – αν x<0 88..1199..99 ΔΔυυννάάμμεειιςς υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν sinh²x= 1 1 cosh 2x 2 2  cosh²x= 1 1 cosh 2x 2 2  sinh³x= 1 3 sinh3x sinhx 4 4  cosh³x= 1 3 cosh3x coshx 4 4  3 1 1 cosh2x cosh4x 8 2 8   3 1 1 cosh2x cosh4x 8 2 8   88..1199..1100ΑΑθθρροοίίσσμμαατταα –– δδιιααφφοορρέέςς –– γγιιννόόμμεενναα υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν sinhx+sinhy= x y x y 2sinh cosh 2 2   sinhx–sinhy = x y x y 2cosh sinh 2 2   coshx+sinhy= x y x y 2cosh cosh 2 2   coshx–sinhy = x y x y 2sinh sinh 2 2   sinhxsinhy=   1 cosh(x y) cosh(x y) 2    coshxcoshy=   1 cosh(x y) cosh(x y) 2    sinhxcoshy=   1 sinh(x y) sinh(x y) 2    88..1199..1111 ΤΤππεερρββοολλιικκέέςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς σσεε σσχχέέσσηη μμεε άάλλλλεεςς sinhx=u coshx=u tanhx=u cothx=u sechx=u cschx=u sinhx u 2 u 1 2 u 1 u 2 1 u 1 2 1 u u  1 u coshx 2 1 u u 2 1 1 u 2 u u 1 1 u 2 1 u u  tanhx 2 u 1 u 2 u 1 u  u 1 u 2 1 u 2 1 1 u cothx 2 1 u u  2 u u 1 1 u u 2 1 1 u 2 1 u sechx 2 1 1 u 1 u 2 1 u 2 u 1 u  u 2 u 1 u cschx 1 u 2 1 u 1 2 1 u u  2 u 1 2 u 1 u u υποθέτουμε x>0
Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις - Τπερβολικές συναρτήσεις 65 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 65 88..1199..1122ΓΓρρααφφιικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=sinhx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 0 2 4 6 8 10 y=coshx x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 y=tanhx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=cothx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0,5 1 y=sinhx y=sechx y=sechx x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -10 -5 0 5 10 y=cschx y=cschx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 6 y=coshx y=sinhx sinhx και coshx μαζί x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 y=tanhx y=cothx tanhx και cothx μαζί
66 ΢υναρτήσεις - Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 66 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 8.20 Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Αν y=sinhx τότε η x=sinh-1 y λέγεται αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο. Γενικά είναι πλειονότιμες συναρτή- σεις και γι‟ αυτό περιοριζόμαστε στις πρωτεύουσες τιμές στις οποίες μπορούν να θεωρηθούν μονότιμες. Η παρακάτω λίστα δίνει τις πρωτεύουσες τιμές των αντίστροφων τριγωνομετρικών σε σχέση με τις λογαριθμικές συναρτήσεις.  1 2 sinh x ln x x 1 , - x         1 2 cosh x ln x x 1 , x 1     1 1 1 x tanh x ln , -1 x 1 2 1 x          1 1 x 1 coth x ln , x 1 ή x<1 2 x 1         1 2 1 1 sech x ln 1 , 0<x 1 x x           1 2 1 1 csch x ln 1 , x=0 x x           88..2200..11 ΢΢χχέέσσεειιςς μμεεττααξξύύ ααννττίίσσττρροοφφωωνν υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν csch-1 x=sinh-1 (1/x) sech-1 x=cosh-1 (1/x) coth-1 x=tanh-1 (1/x) sinh-1 (-x)=- sinh-1 x tanh-1 (-x)=- tanh-1 x coth-1 (-x)=- coth-1 x csch-1 (-x)=- csch-1 x 88..2200..22 ΓΓρρααφφιικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν x y -20 -10 0 10 20 -10 0 10 y=sinh-1 x x y 0 5 10 15 20 25 0 2 4 y=cosh-1 x x y -2 -1 0 1 2 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=tanh-1 x x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -5 0 5 y=coth-1 x
Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις - Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις 67 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 67 x y 0 0,5 1 1,5 2 0 5 10 15 y=sech-1 x x y -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=csch-1 x 88..2200..33 ΢΢χχέέσσηη υυππεερρββοολλιικκώώνν κκααιι ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν ΢τα παρακάτω i είναι η φανταστική μονάδα με i= 2 sin(ix)=isinhx tan(ix)=itanhx sec(ix)=sechx cos(ix)=coshx cot(ix)=-icothx csc(ix)=-icschx sinh(ix)=isinx tanh(ix)=itanx sech(ix)=secx cosh(ix)=cosx coth(ix)=-icotx csch(ix)=-icscx sin-1 (ix)=isinh-1 x tan-1 (ix)=itanh-1 x sec-1 x=±isech-1 x cos-1 x=±icosh-1 x cot-1 (ix)=icoth-1 x csc-1 (ix)=-icsch-1 x sinh-1 (ix)=isin-1 x tanh-1 (ix)=itan-1 x sech-1 x=±isec-1 x cosh-1 x=±icos-1 x coth-1 (ix)=-icot-1 x csch-1 (ix)=-icsc-1 x
68 Ανάλυση - Όριο συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 68 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9 Ανάλυση 9.1 Όριο συνάρτησης Έστω :Α συνάρτηση και xο σημείο συσσώρευσης του Α (δηλαδή η διαφορά |x-xο| μπορεί να γίνει ο- σοδήποτε μικρή για xΑ). Σο xο μπορεί να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της Α. Ονομάζουμε όριο της συνάρτησης (x) όταν xxο τον αριθμό ℓ όταν για κάθε ε>0, οσοδήποτε μικρό, μπορούμε να βρούμε αριθμό δ>0 έτσι ώστε |(x)-ℓ|<ε όταν |x-xο|<δ Λέμε τότε ότι η  τείνει στο ℓ όταν το x τείνει στο xο, σχηματικά: (x)ℓ όταν xxο ή ox x lim f(x)   99..11..11 ΠΠλλεευυρριικκάά όόρριιαα Όταν (x)ℓ καθώς το xxο από πάνω (x>xο) ή από κάτω (x<xο) λέμε ότι έχουμε πλευρικό όριο και γρά- φουμε ox x lim f(x)    ή ox x lim f(x)    αντίστοιχα. Μία συνάρτηση δεν έχει όριο στο xο αν o ox x x x lim f(x) lim f(x)      99..11..22 ΌΌρριιοο σσττοο άάππεειιρροο Αν για δοσμένο ε>0 μπορούμε να διαλέξουμε ξ αρκετά μεγάλο ώστε για χ>ξ να ισχύει |(x)-ℓ|<ε τότε γράφουμε x limf(x)  ℓ 99..11..33 ΆΆππεειιρροο όόρριιοο Αν για οσοδήποτε μεγάλο Μ>0, μπορούμε να διαλέξουμε δ>0 ώστε για |x-xο|<δ να ισχύει (x)>Μ τότε γράφουμε ox x lim f(x)   + Αν για οσοδήποτε μικρό Μ<0, μπορούμε να διαλέξουμε δ>0 ώστε για |x-xο|<δ να ισχύει (x)<Μ τότε γράφουμε ox x lim f(x)   - Αν ox x lim ƒ(x) 0   και (x)>0 σε μία περιοχή του xo τότε ox x 1 lim ƒ(x)   Αν ox x lim ƒ(x) 0   και (x)<0 σε μία περιοχή του xo τότε ox x 1 lim ƒ(x)   Π.x. x 1 1 lim x 1     , ενώ x 1 1 lim x 1     (ενώ το x 1 1 lim x 1  δεν υπάρχει) 99..11..44 ΠΠρρόόσσηημμοο ττιιμμώώνν σσυυννάάρρττηησσηηςς Ένα επακόλουθο του ορισμού: Αν ox x lim f(x)   με ℓ≠0 τότε η (x) θα έχει το ίδιο πρόσημο με το ℓ σε κάποιο διάστημα του xο, που δεν περιέχει το xο. 99..11..55 ΌΌρριιοο ααθθρροοίίσσμμααττοοςς,, γγιιννόόμμεεννοουυ κκλλππ Αν (x)ℓ1 και g(x)ℓ2 όταν xxο τότε: (x)+g(x)ℓ1+ℓ2 (x)g(x)ℓ1ℓ2 (x)-g(x)ℓ1-ℓ2 1 2 ƒ(x) g(x)  , αν ℓ2≠0 c(x)cℓ1 n n 1ƒ(x)  1ƒ(x) k k ln(x)lnℓ1
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity) 69 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 69 99..11..66 ΚΚρριιττήήρριιοο ππααρρεεμμββοολλήήςς Αν ισχύει g(x)<(x)<t(x) για μία περιοχή του xο, και o ox x x x lim g(x) lim t(x)     τότε ισχύει και ox x lim f(x)   99..11..77 ΜΜεερριικκάά σσηημμααννττιικκάά όόρριιαα x x 1 lim 1 e 2,71828... x           1 x x 0 lim 1 x e    n n n 1 x α x α lim nα x α      x α x α lim 1 e x        xx 1, για α<1 1 lim 1 2, για α=1 1 α 0, για α>1         x x 0 α 1 lim lnα, (α>0) x   n n α lim 0, n n!   n xx x lim 0, α>1, n α   x 0 ημx lim 1 x  x 0 ημαx lim α x  x 0 ημαx α lim ημβx β  x ημx lim 0 x  x 0 εφx lim 1 x  x 0 εφαx lim α x  x 0 εφαx α lim εφβx β  9.2 ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity) 99..22..11 ΢΢εε έένναα σσηημμεείίοο xxοο Μία συνάρτηση  ονομάζεται συνεχής στο σημείο xο αν (α) είναι ορισμένη σε μία περιοχή του xο (β) υπάρ- χει το όριο ox x lim f(x)  και (γ) ox x lim f(x)  =f(xo) Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο xο αν και μόνο αν για κάθε ε>0 μπορούμε να βρούμε δ>0 έτσι ώστε για |x-xο| < δ να ισχύει |(x)-(xο)|<ε 99..22..22 ΢΢εε έένναα δδιιάάσσττηημμαα Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα, κλειστό ή ανοιχτό, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του δια- στήματος. Για κλειστό διάστημα [α, β] πρέπει να ισχύει και x α lim f(x) f(α)    και x β lim f(x) f(β)    99..22..33 ΢΢υυννααρρττήήσσεειιςς πποουυ εείίννααιι σσυυννεεχχεείίςς Η σταθερή συνάρτηση (x)=c Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση (x)=αοxn +α1xn-1 +…+αn Οι ρητές συναρτήσεις (x)=P(x)/Q(x), όπου P(x) και Q(x) πολυωνυμικές συναρτήσεις, είναι συνεχείς παντού εκτός από τα πεπερασμένα σημεία στα οποία η Q(x) μηδενίζεται στα οποία η (x) δεν ορίζεται. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 1(x)=ημx και 2(x)=συνx. Η εφx και σφx σε κάθε σημείου του πεδίου ορι- σμού τους. Η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση (x)=αx και (x)=logαx 99..22..44 ΢΢υυννέέππεειιεεςς σσυυννέέχχεειιααςς  Αν η  είναι συνεχής στο xο και (xο)≠0 τότε η (x) διατηρεί το ίδιο πρόσημο με την (xο) για κάποιο κατάλληλα περιορισμένο διάστημα του x
70 Ανάλυση - ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity) Μαθηματικό Συπολόγιο 70 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος  Αν οι (x) και g(x) είναι συνεχείς στο xο τότε το ίδιο είναι και οι συναρτήσεις (x)+g(x), (x)-g(x), (x)g(x), (x)/g(x), αν g(xο)≠0  Αν η (x) είναι συνεχής στο xο και η g(x) συνεχής στο y=(x) τότε η g((x)) είναι συνεχής στο xο.  Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα είναι φραγμένη σε αυτό.  Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα παίρνει τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της τουλάχιστο μία φορά στο διάστημα αυτό.  Οι τιμές μίας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] αποτελούν είναι φραγμένο σύνολο 99..22..55 ΘΘεεωωρρήήμμαατταα εεννδδιιααμμέέσσωωνν ττιιμμώώνν Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] και διαφέρει κατά πρόσημο στα ακραία ση- μεία του διαστήματος τότε πρέπει να μηδενίζεται σε κάποιο εσωτερικό σημείο του διαστήματος Έστω μία συνάρτηση (x) συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και (α)≠(β). Αν μ ένας αριθμός μεταξύ (α) και (β) τότε η (x) παίρνει την τιμή μ τουλάχιστο μία φορά στο διάστημα.
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης 71 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 71 9.3 Παράγωγος συνάρτησης Έστω  συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [α, β]. ΢ε κάθε εσωτερικό σημείο x μπορούμε να δώσουμε στο x μία μικρή θετική ή αρνητική αύξηση Δx=h. Η αντίστοιχη αύξηση στο y θα είναι τότε Δy=(x+h)- (x). Ονομάζουμε παράγωγο της  στο σημείο x το όριο (αν υπάρχει) h 0 dy ƒ(x h) ƒ(x) ƒ (x) lim dx h     Ονομάζουμε πλευρικές παραγώγους τα πλευρικά όρια όταν το h0 από θετικές ή από αρνητικές τιμές και συμβολίζουμε h 0 h 0 ƒ(x h) ƒ(x) ƒ(x h) ƒ(x) ƒ (x) lim ή ƒ (x) lim h h              Γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου Η παράγωγος της συνάρτησης  σε ένα σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο αυτό. λ=εφθ=΄(xο) 99..33..11 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς σσττηηνν κκααμμππύύλληη yy==((xx)) σσττοο σσηημμεείίοο xxοο y - yo = ΄(xο)(x - xο) 99..33..22 ΔΔιιααφφοορρίίσσιιμμηη ήή ππααρρααγγωωγγίίσσιιμμηη σσυυννάάρρττηησσηη Μία συνάρτηση λέγεται διαφορίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] όταν η  έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερι- κό σημείο του διαστήματος και υπάρχουν οι παράγωγοι ΄+(α) και ΄-(β) 99..33..33 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς κκααιι σσυυννέέχχεειιαα Μία συνάρτηση (x) που είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xο είναι και συνεχής στο σημείο xο 99..33..44 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς σσύύννθθεεττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς Έστω u(x) μία διαφορίσιμη συνάρτηση στο [α, β] που παίρνει τιμές στο [a, b]. Αν y=(u) είναι μία διαφορί- σιμη συνάρτηση του u στο [a, b] τότε η σύνθετη συνάρτηση y=(u(x)) έχει παράγωγο που δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας:    dy dy du ƒ u x ƒ (u)u (x) dx du dx      Ο κανόνας ισχύει και για περισσότερες συναρτήσεις     dƒ du dg ƒ u g x du dg dx   …και αντίστοιχα για περισσότερες 99..33..55 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς μμίίααςς ααννττίίσσττρροοφφηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς Αν η συνάρτηση y=(x) έχει παράγωγο ΄(x) σε ένα διάστημα (α, β) που είναι πάντοτε θετική ή πάντοτε αρ- νητική, τότε η αντίστροφη συνάρτηση x=φ(y) υπάρχει όταν το y βρίσκεται μεταξύ των (α) και (β) και έχει τιμή y 0 xxo C A
72 Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 72 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος dx dy 1 dxdy  99..33..66 ΓΓεεννιικκοοίί ΚΚααννόόννεεςς ΠΠααρρααγγώώγγιισσηηςς Για τα παρακάτω u, v, g, f συναρτήσεις του x, c, α, β, … σταθερές d (c) 0 dx  d (cx) c dx  n n 1d (cx ) ncx dx   d dg df du (g f u...) ... dx dx dx dx      d df (cf ) c dx dx  d df dg (fg) g f dx dx dx   d df dg du (fgu) gu f u fg dx dx dx dx    2 d f f g fg dx g g          n n 1d df f nf dx dx   dy dy dx dt dtdx  99..33..77 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν d du (ημu) συνu dx dx  d du (συνu) ημu dx dx   2 d 1 du (εφu) dx συν u dx  2 d 1 du (σφu) dx ημ u dx   d du (τεμu) τεμu εφu dx dx   d du (στεμu) στεμu σφu dx dx    2 π π - <τοξημu< 2 2 d 1 du (τοξημu) , ( ) dx dx1 u   2 <τοξσυνu<π d 1 du (τοξσυνu) , (0 ) dx dx1 u    2 π π <τοξεφu< 2 2 d 1 du (τοξεφu) , (- ) dx 1 u dx   2 <τοξσφu<π d 1 du (τοξσφu) , (0 ) dx 1 u dx    2 2 <τοξτεμu<π/2+ αν 0d 1 du 1 du (τοξτεμu) = , αν -π/2<τοξτεμu<0dx dx dxu u 1 u u 1       2 2 <τοξστεμu<π/2- αν 0d 1 du 1 du (τοξστεμu) = , + αν -π/2<τοξστεμu<0dx dx dxu u 1 u u 1       99..33..88 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι εεκκθθεεττιικκώώνν –– λλοογγααρριιθθμμιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν u ud du (α ) α ln u dx dx  u ud du (e ) e dx dx  α α log ed du (log u) dx u dx  , α≠0,1 d 1 du (ln u) dx u dx  v vlnu vlnu v 1 vd d d du dv (u ) (e ) e (v lnu) vu u lnu dx dx dx dx dx      99..33..99 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι υυππεερρββοολλιικκώώνν-- ααννττίίσσττρροοφφωωνν υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν d du (sinhu) coshu dx dx  d du (coshu) sinhu dx dx  2d du (tanhu) sech u dx dx  2d du (cothu) csch u dx dx   d du (sechu) sechutanhu dx dx   d du (cschu) cschucothu dx dx  
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης 73 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 73 1 2 d 1 du (sinh u) dx dx1 u    -1 1 -12 + αν cosh u 0, u 1d 1 du (cosh u) , dx dx - αν cosh u 0, u 1u 1          1 2 d 1 du (tanh u) , 1 u 1 dx 1 u dx       1 2 d 1 du (coth u) , u 1 ή u 1 dx 1 u dx       -1 -1 1 2 u>0, 0<u<1 + αν sech u<0, 0<u<1 - αν sechd 1 du (sech u) , dx dxu 1 u       1 2 2 - αν u>0d 1 du 1 du (csch u) = , + αν u<0dx dx dxu u 1 u u 1        99..33..1100 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι ααννώώττεερρηηςς ττάάξξηηςς Δεύτερη παράγωγος: 2 2 d dy d y ƒ (x) y dx dx dx          Σρίτη παράγωγος: 2 3 2 3 d d y d y ƒ (x) y dx dx dx          n-στη παράγωγος: n 1 n (n) (n) n 1 n d d y d y ƒ (x) y dx dx dx           99..33..1100..11 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ LLeeiibbnniittzz γγιιαα ππααρρααγγώώγγοουυςς ααννώώττεερρηηςς ττάάξξηηςς Αν Dn είναι ο διαφορικός τελεστής n n d dx δηλαδή Dn (x) είναι η n-στή παράγωγος της  τότε n n n 1 2 n 2 n n n D (ƒg) ƒD g DƒD g D ƒD g ... gD ƒ 1 2                  π.χ. για n=2: (g)΄΄ =΄΄g + 2΄g΄ + g΄΄ 99..33..1100..22 ΝΝιιοοσσττήή ππααρράάγγωωγγοοςς μμεερριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν ΢υνάρτηση n-στή παράγωγος (x)=xm (n) (x)=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)xm-n (x)=xn (n) (x)=n! (x)=αοxn +α1xn-1 +…+αn (n) (x)=αοn! (x)=ex (n) (x)= ex (x)=emx (n) (x)= mn ex (x)=αx (n) (x)= αx (lnα)n (x)=ημx (n) (x)=ημ(x+nπ/2) (x)=συνx (n) (x)=συν(x+nπ/2) (x)=ημmx (n) (x)=mn ημ(mx+nπ/2) (x)=συνmx (n) (x)=mn συν (mx+nπ/2)
74 Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 74 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 99..33..1111 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς κκααιι μμοοννοοττοοννίίαα Ανάλογα με το αν είναι η ΄(c) θετική ή αρνητική, η (x) είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε μία περιοχή του c. Η συνθήκη είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Μία συνάρτηση μπορεί να είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε κάποιο σημείο c αλλά να ισχύει ΄(c) = 0 99..33..1122 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ RRoollllee Αν μία συνάρτηση : (i) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] (ii) παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α, β) (iii) και ισχύει (α)=(β) τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα εσωτερικό σημείο ξ  (α, β) τέτοιο ώστε ΄(ξ)=0 Πόρισμα: αν α και β είναι δύο ρίζες της εξίσωσης (x)=0 τότε η εξίσωση ΄(x)=0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα ρ μεταξύ α και β, αρκεί (i) η (x) να είναι συνεχής στο αxβ και (ii) η ΄(x) να υπάρχει στο α<x<β 99..33..1133 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ DDaarrbboouuxx Αν η (x) είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό [α, β] και ΄(α)≠΄(β) τότε για κάθε η μεταξύ των ΄(α) και ΄(β) υπάρχει ξ μεταξύ των α και β τέτοιο ώστε ΄(ξ)=η 99..33..1144 ΘΘεεώώρρηημμαα μμέέσσηηςς ττιιμμήήςς ((δδιιααφφοορριικκοούύ λλοογγιισσμμοούύ)) Αν μία συνάρτηση : (i) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] (ii)παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α, β) τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα εσωτερικό σημείο ξ  (α, β) τέτοιο ώστε ΄(ξ)= ƒ(β) ƒ(α) β α   Γεωμετρική ερμηνεία θεωρήματος μέσης τιμής ΢το σημείο ξ η παράγωγος (κλίση της εφα- πτομένης ευθείας) έχει ίδια τιμή με την κλίση της ευθείας ΑΒ Πόρισμα 1: Αν ΄(x)=0 σε διάστημα (α, β) τότε η  είναι σταθερά σε αυτό. Πόρισμα 2: Αν ΄(x)=g΄(x) στο διάστημα (α, β) τότε (x)=g(x)+c 99..33..1155 ΔΔεεύύττεερροο θθεεώώρρηημμαα μμέέσσηηςς ττιιμμήήςς ((CCaauucchhyy)) Έστω δύο συναρτήσεις (x) και g(x) οι οποίες: (i) είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα [α, β] (ii) παραγωγίσιμες στο ανοιχτό (α, β) (iii) οι ΄(x) και g΄(x) δεν παραγωγίζονται συγχρόνως σε κάποιο σημείο του (α, β) (iv) και ισχύει (α)≠g(β), τότε υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο ώστε: ƒ(β) ƒ(α) ƒ (ξ) g(β) g(α) g (ξ)    y 0 xα βξ Α ΒΓ
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης 75 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 75 99..33..1166 ΚΚααννόόννααςς ττοουυ DDee LL’’ HHoossppiittaall (για απροσδιόριστες μορφές ορίων) Έστω δύο συναρτήσεις (x) και g(x) οι οποίες: (i) είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα [α, α+h] (ii) παραγωγίσιμες στο διάστημα (α, α+h] (iii) (α)=g(α)= 0 ή  (iv) x α ƒ (x) lim A (ή ) g (x)       τότε θα είναι και x α ƒ(x) lim A (ή ) g(x)     Προσοχή: Όταν το όριο x α ƒ (x) lim g (x)    δεν υπάρχει αυτό δεν συνεπάγεται ότι και το όριο x α ƒ(x) lim g(x)  δεν υπάρχει. Ο κανόνας ισχύει και για x. Η συνθήκη (iii) τότε γίνεται x x lim ƒ(x) lim g(x) 0 ή      και τότε x ƒ(x) lim g(x) = x ƒ (x) lim g (x)   99..33..1166..11 ΆΆλλλλεεςς ααππρροοσσδδιιόόρριισσττεεςς μμοορρφφέέςς Η μορφή 0 ανάγεται στην μορφή 0/0 ή / Η μορφή - μετασχηματίζεται στην 0 με την ταυτότητα 1 1 ƒ g ƒg g ƒ         Οι εκθετικές μορφές 00 , 0 , 1 υπολογίζονται με το να πάρουμε τους λογαρίθμους τους. 99..33..1177 ΑΑννάάππττυυγγμμαα TTaayylloorr Αν (x) συνάρτηση για την οποία υπάρχει η (n+1) (x) για κάθε x[α, β] τότε για κάθε x στο διάστημα [α, β] ισχύει: (n) (n+1) n n 1ƒ (α) ƒ (α) ƒ (ξ) ƒ(x) ƒ(α) (x α) ... (x α) (x α) 1! n! (n 1)!           όπου ξ είναι ένας αριθμός μεταξύ του α και του x. Αν α=0 έχουμε το ανάπτυγμα Mclaurin: (n) (n+1) n n 1ƒ (0) ƒ (0) ƒ (ξ) ƒ(x) ƒ(0) x ... x x 1! n! (n 1)!        Με εφαρμογή του παραπάνω αναπτύγματος: 2 n x x x e 1 x ... ... 2! n!       1 1 e 1 1 ... ... 2! n!       3 2k 1 kx x ημx x ... ( 1) ... 3! (2k 1)!         2 2k kx x συνx x ... ( 1) ... 2! (2k)!       3 5 n 1 1 x x x x ln x ... ... 2 1 x 3 5 n         k 2 n k k k (1 x) 1 x x ... x ... 1 2 n                        
76 Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 76 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 99..33..1188 ΑΑκκρρόότταατταα σσυυννάάρρττηησσηηςς κκααιι ππααρράάγγωωγγοοςς Σα ακρότατα συνάρτησης παρουσιάζονται μόνο στα σημεία όπου ΄(x)=0 ή όπου η ΄(x) δεν υπάρχει (κα- θώς και στα άκρα κλειστού διαστήματος) Fermat: Αν μία συνάρτηση έχει ακρότατο στο σημείο xο τότε η παράγωγός της (αν υπάρχει) είναι μηδέν στο σημείο αυτό. Σο αντίστροφο δεν είναι πάντα αληθές. 99..33..1188..11 ΘΘεεώώρρηημμαα ((ΚΚρριιττήήρριιοο ππρρώώττηηςς ππααρρααγγώώγγοουυ)) Αν (i) η (x) είναι ορισμένη στο c (ii) η ΄(x) υπάρχει σε μία κατάλληλα μικρή περιοχή του c. (η ΄(c) μπορεί και να μην υπάρχει) (iii) η ΄(x) έχει σταθερό πρόσημο όταν x<c καθώς και όταν x>c Σότε καθώς το x αυξανόμενο περνάει από το c (α) η (x) δεν έχει ακρότατο αν το πρόσημό της ΄(x) δεν αλλάζει (β) η (x) έχει μέγιστο στο c αν το πρόσημο της ΄(x) αλλάζει από + σε – (γ) η (x) έχει ελάχιστο στο c αν το πρόσημο της ΄(x) αλλάζει από – σε + 99..33..1188..22 ΘΘεεώώρρηημμαα ((ΑΑκκρρόότταατταα ήή σσηημμεείίαα κκααμμππήήςς)) Αν στο σημείο c (i) ΄(c)=΄΄(c)=΄΄΄(c)=…=(n) (c)= 0 (ii) (n+1) ≠0 τότε η (x) στο σημείο c έχει: (α) ένα σημείο καμπής αν n άρτιος (β) ένα ακρότατο αν n περιττός που είναι μέγιστο αν (n+1) (c)<0 ή ελάχιστο αν (n+1) (c)>0 99..33..1188..33 ΜΜεελλέέττηη ππρρααγγμμααττιικκήήςς σσυυννάάρρττηησσηηςς ((ππρρααγγμμααττιικκήήςς μμεεττααββλληηττήήςς)) 9.3.18.3.1 Α. Πεδίο ορισμού Είναι το ευρύτερο υποσύνολο του  στο οποίο έχει νόημα η συνάρτηση. Έχουμε τις περιπτώσεις: (x)= P(x) Q(x) . Πρέπει Q(x)≠0 (x)= n R(x) . Πρέπει R(x)≥0 αν n άρτιος (x)=logαΑ(x). Πρέπει Α(x)>0 9.3.18.3.2 Β. ΢υμμετρία (άρτια ή περιττή συνάρτηση) Θέτουμε (-x) και βλέπουμε αν είναι (x) ή -(x) ή τίποτα από τα δύο. 9.3.18.3.3 Γ. Περιοδικότητα Εξετάζουμε αν υπάρχει αριθμός Σ: (x+Σ)=(x) 9.3.18.3.4 Δ. Βρίσκουμε που τέμνει τους άξονες x και y Σα σημεία τομής του άξονα y είναι οι λύσεις του συστήματος: y=(x), y=0 Σα σημεία τομής του άξονα x είναι οι λύσεις του συστήματος: y=(x), x=0 9.3.18.3.5 Ε. Βρίσκουμε ασύμπτωτες Αναζητούμε σημεία xο στα οποία ox x lim ƒ(x)   . Αν αυτό ισχύει (ή ακόμα και το ένα πλευρικό όριο να απειρίζεται) η ευθεία x=xο είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. (vertical asymptotes)
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Παράγωγος συνάρτησης 77 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 77 Εξετάζουμε τα όρια x lim ƒ(x)  και x lim ƒ(x)  . Αν x lim ƒ(x)  =ℓ έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη (horizontal asymptotes) στο + και αν x lim ƒ(x)  =ℓ έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη στο - Αν x lim ƒ(x)  =± τότε εξετάζουμε αν η συνάρτηση έχει πλάγια ασύμπτωτη, (Oblique asymptotes) δηλαδή αν x lim (ƒ(x) λx β) 0     Εξετάζουμε πρώτα το x ƒ(x) lim λ x  και μετά x lim (ƒ(x) λx) β    Παρόμοια στο - 9.3.18.3.6 ΢Σ. Βρίσκουμε μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα και σημεία καμπής Φρησιμοποιούμε τα προηγούμενα θεωρήματα για να βρούμε τη μονοτονία (΄(x)>0 ↑, ΄(x)<0, ↓), τα α- κρότατα (΄(c) = 0, ή ΄(c) δεν ορίζεται είναι πιθανά σημεία ακρότατων) την κυρτότητα (΄΄(x)>0 κυρτή, ΄΄(x)<0 κοίλη) και τα σημεία καμπής (΄΄(c)=0 και ΄΄΄(c)≠0)
78 Ανάλυση - Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 78 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9.4 Ολοκληρώματα 99..44..11 ΑΑόόρριισσττοο ΟΟλλοοκκλλήήρρωωμμαα Αν dy ƒ(x) dx  τότε η συνάρτηση y της οποίας η παράγωγος είναι η συνάρτηση (x) λέγεται αντι-παράγωγος της (x) ή αρχική της (x) ή αόριστο ολοκλήρωμα της (x). Σο αόριστο ολοκλήρωμα της (x) συμβολίζεται με ƒ(x)dx (Σο σύμβολο της ολοκλήρωσης είναι ένα τραβηγμένο λατινικό S αρχικό γράμμα της λέξης summa = άθροιση). Αν y(x) είναι μία αρχική συνάρτηση της (x) τότε και η g(x)=y(x)+c είναι επίσης. Αν y(u) ƒ(u)du  τότε dy ƒ(u) du  ή  ƒ(x)dx ƒ(x)   99..44..11..11 ΓΓεεννιικκοοίί κκααννόόννεεςς ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηηςς (για τα διαφορικά ισχύει du = u΄(x)dx) Οι σταθερές ολοκλήρωσης c παραλείπονται στους παρακάτω τύπους. αdx =αx αƒ(x)dx α ƒ(x)dx  (u v w ...)dx udx vdx wdx ...          udv uv vdu   ή uv dx uv u vdx    (ολοκλήρωση κατά παράγοντες) 1 ƒ(αx)dx ƒ(t)dt α   dx F(u) F(ƒ(x))dx F(u) du du du ƒ (x)      n 1 n u u du για n 1 n 1     1 du lnu για u>0 ή ln(-u) για n<0 u  u u e du e ulnα u u e α α du edu , α>0 1 lnα lnα      lnxdx xlnx x  n 1nn n xdx x n 1    ημxdx συνx  συνxdx ημx εφxdx lnσυνx  σφxdx lnημx x π στεμxdx ln(στεμx εφx) lnεφ( ) 2 4     x τεμxdx ln(τεμx σφx) lnεφ( ) 2    2 τεμ xdx εφx 2 στεμ xdx σφx  2 εφ xdx εφx x  2 σφ xdx σφx x   2 x ημ2x 1 ημ xdx (x ημxσυνx) 2 4 2     2 x ημ2x 1 συν xdx (x ημxσυνx) 2 4 2     τεμxεφxdx τεμx στεμxσφxdx στεμx  sinhxdx coshx coshxdx sinhx tanhxdx lncoshx cothxdx lnsinhx x sechxdx τοξημ(tanhx) 2τοξεφ(e )  1 xx cschxdx ln(tanh ) coth (e ) 2    
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Ολοκληρώματα 79 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 79 2 sech xdx tanhx 2 csch xdx cothx  2 tanh xdx x tanhx  2 coth xdx x cothx  2 sinh2x x 1 sinh xdx (sinhxcoshx x) 4 2 2     2 sinh2x x 1 cosh xdx (sinhxcoshx x) 4 2 2     sechxtanhxdx sechx  cschxcothxdx cschx  2 2 du 1 u τοξεφ u α α α   2 2 2 2 du 1 u α ln , u α u α 2α u α          2 2 2 2 du 1 α u ln , u α α u 2α α u          2 2 du u τοξημ αα u    2 2 2 2 du ln(u α u ) α u      2 2 2 2 du ln(u u α ) u α      2 2 du 1 u τοξτεμ α αu u α    2 2 2 2 du 1 α α u ln α uu α u             2 2 2 2 du 1 α α u ln α uu α u             (n) (n-1) (n-2) (n-3) n (n) ƒ gdx ƒ g ƒ g ƒ g ...( 1) ƒg dx       (γενικευμένη ολοκλήρωση κατά μέρη) 99..44..11..22 ΣΣηημμααννττιικκοοίί μμεετταασσχχηημμααττιισσμμοοίί σστταα οολλοοκκλληηρρώώμμαατταα 1 ƒ(αx β)dx ƒ(u)du, θέτοντας u=αx+β α    2 ƒ( αx β)dx uƒ(u)du, θέτοντας u= αx+β α    n-1n n n ƒ( αx β)dx u ƒ(u)du, θέτοντας u= αx+β α    2 2 ƒ( α x )dx α ƒ(ασυνu)συνudu, θέτοντας x=αημu   2 2 2 ƒ( α x )dx α ƒ(ατεμu)τεμ udu, θέτοντας x=αεφu   2 2 ƒ( x α )dx α ƒ(αεφu)τεμuεφudu, θέτοντας x=ατεμu   αx αx1 ƒ(u) ƒ(e )dx du, θέτοντας u=e α u   u ƒ(lnx)dx ƒ(u)e du, θέτοντας u=lnx  x x ƒ(τοξημ )dx α ƒ(u)συνudu, θέτοντας u=τοξημ α α   2 2 2 2 2u 1 u du x R(ημx,συνx)dx 2 R( , ) , θέτοντας u=εφ 1 u 1 u 1 u 2       x=2τοξεφu, dx= 2 2du 1 u , ημx=2ημ x 2 συν x 2 =2εφ x 2 συν² x 2 = 2 2u 1 u συνx= ημx εφx = 2 2 2 2 2u/(1 u ) 1 u 2u(1 u ) 1 u      2 2 2 2 2 2 u 1 du R(ημ x,συν x)dx R( , ) , θέτοντας u=εφx 1 u 1 u 1 u     
80 Ανάλυση - Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 80 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος ημ²x= 2 2 u 1 u , συν²x= 2 1 1 u , dx= 2 du 1 u dx dx 1 x θ ln εφ αημx βσυνx ρημ(x θ) ρ 2       , αλλάζουμε το αημx+βσυνx σε ρημ(x+θ) με ρ= 2 2 α β και θ[0,2π) έτσι ώστε συνθ=α/ρ και ημθ=β/ρ 2 2 2 1 2 2 Δβ x t 2α 4αΔβ α x 2α 4α dx και ανάλυση σε απλά κλάσματα α(x ρ )(x ρ ) dx dx αx βx γ , θέτουμε                         99..44..11..33 ΗΗ μμέέθθοοδδοοςς ττηηςς ααννάάλλυυσσηηςς σσεε ααππλλάά κκλλάάσσμμαατταα ((ppaarrttiiaall ffrraaccttiioonnss)) Εφαρμόζεται σε μία ρητή παράσταση της μορφής P(x) Q(x) . Ο παρονομαστής ή είναι παραγοντοποιημένος, ή μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε πολυώνυμα της μορφής (x+α) {αν α = ρίζα} ή (αx²+βx+γ) {αν έχει μιγαδική ρίζα}. Σότε μπορεί να αναλυθεί σε απλά κλάσματα. Για κάθε παράγοντα του Q(x) της μορφής (x+α)m εισάγουμε όρους: 31 2 m 2 2 m AA A A ... x α (x α) (x α) (x α)         Για κάθε παράγοντα του Q(x) της μορφής (αx²+βx+γ)n εισάγουμε όρους: 1 1 2 2 n n 2 2 2 2 n A x B A x B A x B ... αx βx γ (αx βx γ) (αx βx γ)             Αναζητάμε σταθερές Αi, Βi, … έτσι ώστε: 1 2 2 2 P(x) A A x B ... ... Q(x) x α αx βx γ         Παράδειγμα: 3 2 2 2 3 2 2 2 1 Α B Γ Δ Εx Ζ Ηx Θ x(x α) (βx γx δ) x x α (x α) (x α) βx γx δ (βx γx δ)                   και μετά τις πράξεις λύνουμε το σύστημα. (Αν ο βαθμός του αριθμητή P(x) είναι μεγαλύτερος του βαθμού του Q(x) τότε πριν εφαρμόσουμε την μέθο- δο αυτή διαιρούμε τα πολυώνυμα) 99..44..22 ΣΣοο οορριισσμμέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα Έστω μία φραγμένη συνάρτηση  στο διάστημα [α,β]. Αν διαιρέσουμε το διάστημα [α,β] σε n υποδιαστήμα- τα τότε το σύνολο {α=xο, x1, x2, …, xn=β} το ονομάζουμε διαμέριση του [α,β]. Διαλέγουμε ένα αριθμό ξi για κάθε υποδιάστημα [xi, xi+1], πλάτους δi=xi+1 - xi και θεωρούμε το άθροισμα: n i i 1 1 n n i 1 ƒ(ξ )δ ƒ(ξ )δ ... ƒ(ξ )δ     Αν το όριο αυτού του αθροίσματος υπάρχει για δ0 ή n το οποίο είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ε- κλογής της διαμέρισης και των σημείων ξi τότε λέμε ότι η συνάρτηση  είναι ολοκληρώσιμη (κατά Riemann) στο διάστημα [α, β] και γράφουμε:
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Ολοκληρώματα 81 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 81 β n i i i δ 0 i 1α ƒ(x)dx lim ƒ(ξ )δ με δ=maxδ     Η διαδικασία με την οποία παίρνουμε το ολοκλήρωμα λέγεται ολοκλήρωση κατά Riemann και το όριο λέ- γεται ορισμένο ολοκλήρωμα της  ανάμεσα στα όρια α και β. Η συνάρτηση  λέγεται υπό ολοκλήρωση συ- νάρτηση. 99..44..22..11 ΟΟλλοοκκλληηρρώώσσιιμμεεςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς Μία συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα στο οποίο είναι συνεχής Μία φραγμένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα στο οποίο έχει ένα πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών. Μία φραγμένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα που είναι μονότονη (Lebesgue) Για να είναι ολοκληρώσιμη μία συνάρτηση με άπειρο πλήθος ασυνεχειών πρέπει και αρκεί τα σημεία ασυνέχειας να σχηματίζουν ένα σύνολο μηδενικού μέτρου. 99..44..22..22 ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηη μμεε άάθθρροοιισσηη Αν η συνάρτηση  είναι ολοκληρώσιμη τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ως όριο διαλέγο- ντας τα υποδιαστήματα δi και τα σημεία ξi με κάποιο ειδικό τρόπο. Για παράδειγμα αν όλα τα δi είναι ίσα και εκλέξουμε ξi ως τα δεξιά άκρα των υποδιαστημάτων έχουμε δi=h=(β-α)/n και ξi=α+ih οπότε: β n n n i 1α ƒ(x)dx lim ƒ(α ih)h lim h{ƒ(α h) ƒ(α 2h) ... ƒ(α nh)}             99..44..22..33 ΙΙδδιιόόττηηττεεςς οορριισσμμέέννοουυ οολλοοκκλληηρρώώμμααττοοςς Αν η  είναι ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα [α,β] είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα [α΄, β΄] βα β α ƒ(x)dx ƒ(x)dx   α α ƒ(x)dx 0 β β β α α α (ƒ(x) g(x) ...)dx ƒ(x)dx g(x)dx ...       Αν α, β, γ τρία σημεία ενός διαστήματος στο οποίο η συνάρτηση  είναι ολοκληρώσιμη τότε: γ β β α γ α ƒ(x)dx ƒ(x)dx ƒ(x)dx    Αν  και g ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο [α, β] τότε β β α α ƒ(x) g(x) ƒ(x)dx g(x)dx    Αν  ολοκληρώσιμη στο [α,β] τότε η || είναι επίσης ολοκληρώσιμη στο [α,β] και ισχύει: β β α α ƒ(x)dx ƒ(x) dx  Αν  και g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε και το άθροισμά τους είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α, β]
82 Ανάλυση - Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 82 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος β β β α α α [ƒ(x) g(x)]dx ƒ(x)dx g(x)dx     Αν  και g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε και το γινόμενό τους είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α, β] Αν  είναι θετική και ολοκληρώσιμη στο [α,β] τότε είναι επίσης ολοκληρώσιμες στο [α,β] και οι συναρτήσεις g(x)=1/(x) και h(x) ƒ(x) 99..44..22..44 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ LLeeiibbnniittzz γγιιαα δδιιααφφόόρριισσηη οολλοοκκλληηρρωωμμάάττωωνν Αν η  και η παράγωγός της ΄ είναι συνεχείς και a, b διαφορίσιμες συναρτήσεις του x τότε: b b a a d db da ƒ(x,t)dt ƒ(x,t)dt ƒ(x,b) ƒ(x,a) dx x dx dx       Αν α, β σταθερές τότε η παραπάνω γίνεται: β β α α d ƒ(x,t)dt ƒ(x,t)dt dx x     , και η φ(x)= β α ƒ(x,t)dt είναι συνεχής στο [α,β] 99..44..22..55 ΤΤοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα σσαανν σσυυννάάρρττηησσηη ττοουυ ππάάννωω οορρίίοουυ Θεωρούμε το ολοκλήρωμα x α φ(x) ƒ(t)dt  Αν η (t) είναι μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο διάστημα [α,β] και x[α,β] τότε το ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση μόνο του x. Η συνάρτηση x α φ(x) ƒ(t)dt  είναι συνεχής σε κάθε διάστημα [α,β] στο οποίο η (t) είναι ολοκληρώσιμη. Αν  ολοκληρώσιμη στο [α,β] και x[α,β] τότε x α d ƒ(t)dt ƒ(x) dx  σε κάθε σημείο x που η  είναι συνεχής. Η συνάρτηση F(x)=φ(x)+c= x α ƒ(t)dt +c είναι μία παράγουσα της  99..44..22..66 ΤΤοο θθεεμμεελλιιώώδδεεςς θθεεώώρρηημμαα ττοουυ οολλοοκκλληηρρωωττιικκοούύ λλοογγιισσμμοούύ Αν η  είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β] και η F μία παράγουσα (αντιπαράγωγος) της . Σότε: β α ƒ(x)dx F(β) F(α)  99..44..22..77 ΘΘεεωωρρήήμμαατταα μμέέσσηηςς ττιιμμήήςς 9.4.2.7.1 Θεώρημα Μέσης Σιμής (Ολοκληρωτικού λογισμού): Αν  ολοκληρώσιμη στο [α,β] με μέγιστο κάτω φράγμα (infimum) m, και ελάχιστο άνω φράγμα (supremum) Μ, τότε υπάρχει αριθμός μ, mμM τέτοιος ώστε: β α ƒ(x)dx μ(β α)  Πόρισμα: Αν  συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει ξ[α,β]: β α ƒ(x)dx ƒ(ξ)(β α) 
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Ολοκληρώματα 83 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 83 9.4.2.7.2 Γενίκευση: Αν , g ολοκληρώσιμες στο [α,β], η g δεν αλλάζει πρόσημο, m και Μ το infimum και το supremum της  στο [α,β] και μ[α,β], τότε: β β α α ƒ(x)g(x)dx μ g(x)dx  Αν , g ολοκληρώσιμες στο [α,β], g(x)0, και  μονότονη στο [α,β], και ξ(α,β) τότε: β βξ α α ξ ƒ(x)g(x)dx ƒ(α) g(x)dx ƒ(β) g(x)dx    Ειδικά αν  αύξουσα στο [α,β] τότε: β ξ α α ƒ(x)g(x)dx ƒ(α) g(x)dx  Αν  θετική αύξουσα στο [α,β] τότε: β β α ξ ƒ(x)g(x)dx ƒ(β) g(x)dx  99..44..22..88 ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηη κκααττάά ππααρράάγγοοννττεεςς Αν  και g είναι συναρτήσεις με ολοκληρώσιμες παραγώγους ΄ και g΄ στο [α,β] τότε β β α α β ƒ(x)g (x)dx ƒ(x)g(x) g(x)ƒ (x)dx α     όπου: β ƒ(x) ƒ(β) ƒ(α) α   99..44..22..99 ΑΑλλλλααγγήή μμεεττααββλληηττήήςς Ένα ολοκλήρωμα β α ƒ(x)dx μπορεί να μετασχηματιστεί αλλάζοντας τη μεταβλητή x με την t σύμφωνα με τη σχέση x=φ(t). Τποθέτουμε ότι η φ(t) μεταβάλλεται συνεχώς από a σε b καθώς το x μεταβάλλεται από α σε β. Αν ισχύουν a=φ(α) και b=φ(β) φ(t) έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] η [φ(t)] είναι συνεχής στο [α, β] τότε:   β b α a ƒ(x)dx ƒ φ(t) φ (t)dt  99..44..22..1100 ΜΜεερριικκέέςς ππεερριιππττώώσσεειιςς ααλλλλααγγήήςς μμεεττααββλληηττήήςς σσττοο οορριισσμμέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα Θέτοντας x=α-t έχουμε: α 0 α 0 α 0 ƒ(x)dx ƒ(α t)dt ƒ(α t)dt       Θέτοντας x= π 2 -t έχουμε: π/2 π/2 0 0 ƒ(ημx,συνx)dx ƒ(συνt,ημt)dt  ΢ε περιοδική συνάρτηση , με περίοδο Σ ισχύει: T α Σ 0 α ƒ(x)dx ƒ(x)dx    , με αλλαγή μεταβλητής x=t+Σ
84 Ανάλυση - Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 84 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 99..44..22..1111 ΤΤοο οορριισσμμέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα ωωςς εεμμββααδδόό Αν  μία συνάρτηση με (x)≥0 στο διάστημα [α,β] τότε το ολοκλήρωμα β α ƒ(x)dx παριστάνει το εμβαδό Ε μεταξύ της C του άξονα x και των ευθειών x=α και x=β. Αν (x)0 τότε το αντίστοιχο εμβαδό είναι: Ε=- β α ƒ(x)dx x y 0 2 4 6 8 -4 -2 0 2 4 99..44..22..1122 ΌΌγγκκοοςς ΣΣττεερρεεοούύ εεκκ ππεερριισσττρροοφφήήςς Για μία δεδομένη συνεχή  με (x)0 στο [α,β] ο όγκος του στερεού που θα σχηματιστεί αν περιστραφεί κατά μία πλήρη γωνία το γράφημα C γύρω από τον x άξονα και ανάμεσα στις κάθετες τομές στα σημεία α και β είναι β 2 α V π ƒ (x)dx  99..44..22..1133 ΠΠρροοσσεεγγγγιισσττιικκοοίί ττύύπποοιι γγιιαα ττοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα Θεωρούμε το διάστημα από α έως β χωρισμένο σε n ίσα μέρη από τα σημεία xο=α, x1, x2, …, xn=β Έστω yο=(xο), y1=(x1), …, yn=(xn), και h=(β-α)/n. Σότε: β o 1 n 1 α ƒ(x)dx h(y y ... y )    Σύπος ορθογωνίου β o 1 2 n 1 n α h ƒ(x)dx (y 2y 2y ... 2y y ) 2       Σύπος τραπεζοειδούς β o 1 2 3 n 1 n α h ƒ(x)dx (y 4y 2y 4y ... 4y y ) 3        Σύπος του Simpson (παραβολικός)
Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση - Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 85 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 85 9.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Scalar product) Για δύο διανύσματα α =(α1, α2, α3) καιβ =(β1, β2, β3) με γωνία φ μεταξύ τους ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμε- νο α β τον αριθμό ( ) α β =αβσυνφ, με 0  φ  π α β =α1β1+α2β2+α3β3 α β = 0  α β α β = αβ  α ||β 9.6 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Vector product) Για δύο διανύσματα α =(α1, α2, α3) καιβ =(β1, β2, β3) με γωνία φ μεταξύ τους ορίζουμε ως εξωτερικό γινόμενο α ×β το διάνυσμα: α ×β =αβημφ n όπου n είναι ένα μοναδιαίο (n=1) διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα α και β και με τέτοια φο- ρά ώστε τα διανύσματα α ,β και n να σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα (αν περιστρέψουμε το α προς το μέρος του β με την μικρότερη γωνία τότε το n να έχει την φορά κίνησης του δεξιόστροφου κοχλία ή του δεξιού χεριού) ισχύει: α ×β = 1 2 3 1 2 3 i j k α α α β β β α ×β = (α2β3-α3β2) i +(α1β3-α3β1) j +( α1β2-α2β1) k α ×β = - β ×α α ×β = 0  α ||β α ×β =αβn  α β β α ασυνφ φ β α βσυνφ φ α ×β φ β α n
86 Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 86 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 10 Βιβλιογραφία, πηγές: Ανισότητες, Π.Ε. Σσαούσογλου, Αθήνα 1993 Luis Brand, Μαθηματική Ανάλυση, εκδόσεις Ε.Μ.Ε. The pocket professor, 2500 Math Formulas Μαθηματικό Εγχειρίδιο, Murray R. Spiegel, John Liu, εκδόσεις Σζιόλα, (΢ειρά Schaum) Αριθμοί και άλλα, Σάσου Αγάπη. Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη, Φ. Βαφειάδης Θεωρία συνόλων, Γ. Μητακίδη, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών Εισαγωγή στη Μαθηματική ΢κέψη, Κ. Δρόσος, Μαθηματικές σημειώσεις http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html Πολύ καλή δουλειά πάνω στην ιστορία των μαθηματικών http://mathforum.org/ Διάφορα μαθηματικά θέματα, αποδείξεις, από το πανεπ. Drexel http://mathworld.wolfram.com/ Πολύ καλός ιστοχώρος με δεκάδες χιλιάδες θέματα. Ορισμοί, αποδείξεις, ιστορία, από κάθε τομέα των μαθηματικών
Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 87 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 87 ΕΕ ΤΤ ΡΡ ΕΕ ΣΣ ΗΗ ΡΡ ΙΙ ΟΟ C Cantor, 4 Cauchy, 10, 13, 56 Cauchy – Euler, 10 D De Moivre, 10, 19 F Fibonacci, 5 L Lagrange, 10 N Newton, 10 P Pascal, 10 Α άθποιζμα πιζών, 16 αλγόπιθμορ ηος Εςκλείδη, 6 ανιζόηηηα A-G-H, 13 Ανιζόηηηα Bernoulli, 14 Ανιζόηηηα Buniakoski-Cauchy-Schwartz, 13 Ανιζόηηηα Chebyshev, 14 Ανιζόηηηα Hölder, 14 Ανιζόηηηα Minkowski, 14 Ανιζόηηηα Weierstrass, 14 Ανιζόηηηα Απσιμήδη, 14 απιθμόρ Άπηιορ, 5 Πεπιηηόρ, 5 ππώηορ, 5 Σύνθεηορ, 5 Χρσζός, 5 απιθμόρ ηος Euler, 15 Γ γινόμενο πιζών, 16 Δ Διαίρεζη Τέλεια, 5 Διαιπεηόηηηα, 5 διωνςμικόρ ζςνηελεζηήρ, 10 διώνσμο ηοσ Νεύηωνα, 10 δύναμη ηος ζςνεσούρ, 4 Ε εκθεηική μοπθή ηος μιγαδικού, 19 Ελάσιζηο Κοινό Πολλαπλάζιο, 6 Εςκλείδεια διαίπεζη, 5 Θ θεώπημα De Moivre, 19 Κ κλάζμα, 6 ανάγωγο, 6 γνήζιο, 6 ζύνθεηο, 6 Κλάζμα Καηασπηζηικό, 6 κλίζη εςθείαρ, 21 Λ λόγορ Χπςζήρ Τομήρ, 5 Μ Μέγιζηορ Κοινόρ Διαιπέηηρ, 6 μέηπο μιγαδικού, 18 μιγαδικό επίπεδο, 18 μιγαδικός απιθμόρ, 18 μιγαδικόρ ζςζςγήρ, 18 Ο όπιζμα μιγαδικού, 18 Π παπαγονηικό, 10 πεπιοδικόρ δεκαδικόρ, 7 περίοδος, 7 πολικέρ ζςνηεηαγμένερ, 20 πολική μοπθή ηος μιγαδικού, 18 πολική μοπθή ηων μιγαδικών, 19 Ππόοδορ Απιθμηηική, γεωμεηπική, 15 ππόζημο ηπιωνύμος, 16 Πποηεπαιόηηηα ηων ππάξεων, 4 Ππώηοι ππορ αλλήλοςρ, 6 Πςθαγόπεια ηπιάδα Ππωηαπσική, 8 Σ Σύνολο, 4 απειποζύνολο, 4 αριθμήζιμο, 4 δςναμοζύνολο, 4 μη-απιθμήζιμο, 4 πληθάπιθμορ, 4 ςποζύνολο, 4 ςποζύνολο γνήζιο, 4 Τ ηπίγωνο ηος Pascal, 10 ηύποι ηος Euler, 19
88 Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 88 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Χ Χπςζή Τομή, 5
Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 89 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 89 ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1 Αριθμοί.....................................................................................................................4 1.1 ΢ύνολα.........................................................................................................................................4 1.1.1 Τποσύνολα .............................................................................................................................4 1.1.1.1 Άλγεβρα υποσυνόλων του Boole....................................................................................4 1.1.2 Δυναμοσύνολο.......................................................................................................................4 1.1.3 Πληθάριθμοι..........................................................................................................................4 1.1.4 Σα σύνολα των αριθμών........................................................................................................5 1.2 Προτεραιότητα των πράξεων ....................................................................................................5 1.3 Πρώτοι αριθμοί (Prime numbers) ...........................................................................................5 1.4 Φρυσός αριθμός..........................................................................................................................5 1.5 Ευκλείδεια διαίρεση ...................................................................................................................5 1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθμοί ............................................................................................................6 1.7 Διαιρετότητα...............................................................................................................................6 1.8 Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων..............................................................................6 1.9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης.......................................................................................................6 1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο .................................................................................................7 1.11 Κλάσματα....................................................................................................................................7 1.12 Δεκαδικοί αριθμοί ......................................................................................................................7 1.13 Σέλειος αριθμός..........................................................................................................................8 1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθμός.....................................................................................................8 1.15 Υιλικοί αριθμοί...........................................................................................................................8 1.16 Πυθαγόρειοι αριθμοί..................................................................................................................8 1.17 Άρρητοι αριθμοί.........................................................................................................................9 1.18 Αλγεβρικοί αριθμοί ....................................................................................................................9 1.19 Τπερβατικοί αριθμοί ..................................................................................................................9 2 Άλγεβρα.................................................................................................................. 10 2.1 Λόγοι και αναλογίες .................................................................................................................10 2.2 Απόλυτες τιμές..........................................................................................................................10 2.3 Σαυτότητες ................................................................................................................................11 2.4 Διάταξη - Ανισότητες...............................................................................................................12 2.4.1 Αξιοσημείωτες Ανισότητες:................................................................................................12 2.4.2 Ανισότητα Αριθμητικού – Γεωμετρικού – Αρμονικού μέσου........................................13 2.4.3 Ανισότητα Buniakoski-Cauchy-Schwartz (B-C-S) .........................................................13 2.4.4 Ανισότητα Hölder...............................................................................................................14 2.4.5 Ανισότητα Minkowski........................................................................................................14 2.4.6 Ανισότητα Chebyshev........................................................................................................14 2.4.7 Ανισότητα Weierstrass .......................................................................................................14 2.4.8 Ανισότητα Αρχιμήδη..........................................................................................................14 2.4.9 Ανισότητα Bernoulli ...........................................................................................................14 2.5 Δυνάμεις ....................................................................................................................................15 2.6 Σετραγωνικές Ρίζες...................................................................................................................15 2.7 Ρίζες ν τάξης..............................................................................................................................15 2.8 Λογάριθμοι................................................................................................................................15 2.9 Πρόοδοι ....................................................................................................................................15 2.10 Εξισώσεις...................................................................................................................................16 2.10.1 Πρωτοβάθμια εξίσωση........................................................................................................16 2.10.2 Δευτεροβάθμια εξίσωση .....................................................................................................16 2.10.2.1 Άθροισμα και γινόμενο ριζών τριωνύμου....................................................................16 2.10.2.2 Πρόσημο τριωνύμου .....................................................................................................16 2.10.2.3 Μορφές τριωνύμου ........................................................................................................17
90 Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 90 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2.10.3 Διτετράγωνη Εξίσωση.........................................................................................................17 2.10.4 Διωνυμικές εξισώσεις βαθμού ν3.....................................................................................17 2.10.5 Σριτοβάθμια εξίσωση..........................................................................................................17 2.10.6 Η τεταρτοβάθμια εξίσωση..................................................................................................18 2.10.7 Εξισώσεις 5ου και μεγαλύτερου βαθμού ............................................................................19 3 Μιγαδικοί αριθμοί................................................................................................... 20 3.1 Ορισμοί .....................................................................................................................................20 3.2 ΢υζυγείς μιγαδικοί....................................................................................................................20 3.3 Ισότητα μιγαδικών αριθμών ....................................................................................................20 3.4 Πράξεις μιγαδικών αριθμών ....................................................................................................20 3.5 Μιγαδικό επίπεδο.....................................................................................................................20 3.6 Πολική μορφή μιγαδικού ........................................................................................................20 3.7 Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση σε πολική μορφή.....................................................................20 3.8 Ρίζα μιγαδικού αριθμού ...........................................................................................................21 3.8.1 Οι νιοστές ρίζες της μονάδας.............................................................................................21 3.9 Εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών......................................................................................21 3.10 Λογάριθμος μιγαδικού.............................................................................................................21 3.11 Πράξεις με μιγαδικούς σε εκθετική μορφή............................................................................21 4 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο........................................................................... 22 4.1 ΢υστήματα συντεταγμένων ......................................................................................................22 4.1.1 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων................................................................................22 4.1.2 Πολικές συντεταγμένες .......................................................................................................22 4.2 Μετασχηματισμός συντεταγμένων..........................................................................................22 4.2.1 Παράλληλη Μεταφορά συντεταγμένων.............................................................................22 4.2.2 Περιστροφή συστήματος κατά γωνία φ.............................................................................22 4.2.3 Μεταφορά και περιστροφή ταυτόχρονα ...........................................................................23 4.3 Απόσταση σημείων...................................................................................................................23 4.3.1 ΢ε καρτεσιανές συντεταγμένες ...........................................................................................23 4.3.2 ΢ε πολικές συντεταγμένες...................................................................................................23 4.4 ΢υντεταγμένες σημείου που διαιρεί ευθ. τμήμα ....................................................................23 4.5 Εμβαδό τριγώνου .....................................................................................................................23 4.6 ΢υνευθειακά σημεία..................................................................................................................23 4.7 Ευθεία........................................................................................................................................24 4.7.1 Κλίση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία..................................................................24 4.7.2 Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ..............................................................24 4.7.3 Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία..............................................................24 4.7.4 Εξίσωση ευθεία που τέμνει τους άξονες στις θέσεις α και β............................................24 4.7.5 Γενική εξίσωση ευθείας .......................................................................................................24 4.7.6 Πολική εξίσωση ευθείας......................................................................................................24 4.7.7 Ειδικές ευθείες .....................................................................................................................24 4.7.7.1 Ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ....................................................24 4.7.7.2 Διχοτόμος 1ου – 3ου τεταρτημορίου .............................................................................24 4.7.7.3 Διχοτόμος 2ου – 4ου τεταρτημορίου .............................................................................24 4.7.7.4 Ευθεία παράλληλη στον x άξονα..................................................................................24 4.7.7.5 Ευθεία παράλληλη στον y άξονα..................................................................................24 4.7.7.6 Εξίσωση x άξονα............................................................................................................24 4.7.7.7 Εξίσωση y άξονα............................................................................................................24 4.7.8 Απόσταση σημείου από ευθεία ..........................................................................................25 4.7.9 Γωνία θ μεταξύ ευθειών με κλίσεις λ1 και λ2......................................................................25 4.7.10 Ευθείες κάθετες – Ευθείες παράλληλες.............................................................................25 4.8 Κύκλος.......................................................................................................................................26 4.8.1 Ορισμός ...............................................................................................................................26
Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 91 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 91 4.8.2 Εξίσωση κύκλου...................................................................................................................26 4.8.3 Εξίσωση κύκλου σε πολικές συντεταγμένες ......................................................................26 4.8.4 Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου........................................................................................26 4.8.5 Εξίσωση κύκλου που διέρχεται από 3 σημεία..................................................................26 4.8.6 Εξίσωση εφαπτομένης κύκλου στο σημείο (x1, y1)...........................................................26 4.8.7 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο ...................................................26 4.8.8 Εφαπτόμενη σε κύκλο από σημείο εκτός κύκλου ............................................................26 4.9 Η παραβολή..............................................................................................................................27 4.9.1 Ορισμός ...............................................................................................................................27 4.9.2 Εξίσωση παραβολής ...........................................................................................................27 4.9.3 Γενική εξίσωση παραβολής ................................................................................................27 4.9.4 Πολική εξίσωση παραβολής...............................................................................................28 4.9.5 ΢χετικές θέσεις σημείου και παραβολής...........................................................................28 4.9.6 Εφαπτομένη σε σημείο παραβολής...................................................................................28 4.9.7 Κάθετη σε σημείο παραβολής ...........................................................................................28 4.9.8 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτόμενη σε παραβολή............................................28 4.9.9 Εφαπτόμενη από σημείο εκτός παραβολής......................................................................28 4.9.10 Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής.....................................................................................28 4.9.11 Μήκος τόξου και εμβαδό χωρίου παραβολής..................................................................29 4.10 Έλλειψη......................................................................................................................................30 4.10.1 Ορισμός ...............................................................................................................................30 4.10.2 Εξίσωση έλλειψης................................................................................................................30 4.10.3 Πολική εξίσωση της έλλειψης.............................................................................................30 4.10.4 Εκκεντρότητα της έλλειψης................................................................................................30 4.10.5 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτομένη σε έλλειψη.................................................31 4.10.6 Εξίσωση εφαπτομένης σε σημείο της έλλειψης ...............................................................31 4.10.7 Εφαπτομένη από σημείο εκτός έλλειψης ..........................................................................31 4.10.8 Εξίσωση κάθετης σε έλλειψη..............................................................................................31 4.10.9 Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης...................................................................................31 4.10.10 Μήκος τόξου και εμβαδό έλλειψης....................................................................................31 4.11 Τπερβολή...................................................................................................................................32 4.11.1 Ορισμοί................................................................................................................................32 4.11.2 Εξίσωση της υπερβολής......................................................................................................32 4.11.3 Ασύμπτωτες της υπερβολής ...............................................................................................32 4.11.4 Εκκεντρότητα υπερβολής...................................................................................................32 4.11.5 ΢υζυγείς υπερβολές.............................................................................................................32 4.11.6 Εξίσωση εφαπτομένης υπερβολής .....................................................................................32 4.11.7 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτόμενη υπερβολής................................................33 4.11.8 Εφαπτόμενη από σημείο εκτός υπερβολής.......................................................................33 4.11.9 Πολική εξίσωση υπερβολής................................................................................................33 4.11.10 Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής...............................................................................33 4.12 Γενικά για τις κωνικές τομές....................................................................................................34 4.13 Καμπύλες δευτέρου βαθμού....................................................................................................35 4.13.1 Ορισμός ...............................................................................................................................35 4.13.2 Διερεύνηση...........................................................................................................................35 4.13.3 Μετατροπή σε κανονική μορφή.........................................................................................35 4.13.3.1 Για κύκλο, έλλειψη, υπερβολή: .....................................................................................35 4.13.3.2 Για παραβολή.................................................................................................................36 5 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο ............................................................................. 37 5.1 ΢υστήματα συντεταγμένων ......................................................................................................37 5.1.1 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων................................................................................37 5.1.2 Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων.................................................................................37 5.1.3 ΢φαιρικό σύστημα συντεταγμένων.....................................................................................37 5.1.4 Παράλληλη μεταφορά συστήματος συντεταγμένων.........................................................37
92 Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 92 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 5.2 Απόσταση δύο σημείων............................................................................................................38 5.3 ΢ημείο που διαιρεί τμήμα σε λόγο λ......................................................................................38 5.4 Εμβαδό τριγώνου .....................................................................................................................38 5.5 Όγκος τετραέδρου....................................................................................................................38 5.6 Επίπεδα .....................................................................................................................................39 5.6.1 Γενική εξίσωση επιπέδου ....................................................................................................39 5.6.2 Ειδικά επίπεδα.....................................................................................................................39 5.6.3 Εξίσωση επιπέδου που τέμνει τους άξονες........................................................................39 5.6.4 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από 3 σημεία...............................................................39 5.6.5 Γωνία δύο επιπέδων.............................................................................................................39 5.6.6 Απόσταση επιπέδου από την αρχή Ο ...............................................................................40 5.6.7 Απόσταση σημείου από επίπεδο........................................................................................40 5.6.8 ΢υνθήκη παραλληλίας επιπέδων ........................................................................................40 5.6.9 ΢υνθήκη καθετότητας επιπέδων.........................................................................................40 5.7 Ευθείες στον χώρο....................................................................................................................41 5.7.1 Εξίσωση ευθείας στον χώρο...............................................................................................41 5.7.2 Ειδικές ευθείες .....................................................................................................................41 5.7.3 Γωνία δύο ευθειών ...............................................................................................................41 5.7.4 ΢υνθήκη παραλληλίας.........................................................................................................42 5.7.5 ΢υνθήκη καθετότητας.........................................................................................................42 5.8 Μερικές Επιφάνειες ..................................................................................................................43 5.8.1 ΢φαίρα..................................................................................................................................43 5.8.2 Ελλειψοειδές ........................................................................................................................43 5.8.3 Τπερβολοειδές.....................................................................................................................43 5.8.4 Παραβολοειδές....................................................................................................................44 5.8.4.1 Ελλειπτικό παραβολοειδές............................................................................................44 5.8.4.2 Τπερβολικό παραβολοειδές..........................................................................................44 6 Γραμμική άλγεβρα .................................................................................................. 45 6.1 Πίνακες......................................................................................................................................45 6.1.1 Ορισμοί................................................................................................................................45 6.1.2 Πράξεις πινάκων..................................................................................................................45 6.2 Ορίζουσες..................................................................................................................................46 6.2.1 Αλγεβρικό συμπλήρωμα.....................................................................................................46 6.2.2 Ορίζουσα οποιασδήποτε τάξης..........................................................................................46 6.2.3 Ιδιότητες οριζουσών............................................................................................................47 6.3 Γραμμικά συστήματα...............................................................................................................47 6.3.1 Μέθοδος του Cramer..........................................................................................................47 6.3.2 Μέθοδος του Gauss............................................................................................................48 7 Σριγωνομετρία........................................................................................................ 49 7.1 Ορισμοί .....................................................................................................................................49 7.2 ΢ημαντικές σχέσεις...................................................................................................................50 7.3 Σριγωνομετρικοί αριθμοί κυριότερων γωνιών .......................................................................50 7.4 Σριγωνομετρικές εξισώσεις......................................................................................................50 7.5 Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο............................................................................51 7.6 Σύποι αποτετραγωνισμού.........................................................................................................51 7.7 Βασικές ανισότητες...................................................................................................................51 7.8 Άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών .....................................................................................51 7.9 ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) ....................................................................................52 7.10 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο ........................................................................................52 7.11 Μετατροπές μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών.....................................................................52 7.12 Δυνάμεις ημιτόνου, συνημιτόνου.............................................................................................52 7.13 Σο άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο...............................................................53 7.14 Γραφικές παραστάσεις..............................................................................................................53
Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 93 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 93 7.15 Επίλυση Σριγώνου....................................................................................................................54 7.15.1 Θεώρημα ημιτόνων.............................................................................................................54 7.15.2 Θεώρημα συνημιτόνων.......................................................................................................54 7.15.3 Θεώρημα εφαπτομένων ......................................................................................................54 7.15.4 Θεώρημα προβολών ...........................................................................................................54 7.15.5 Σύποι του Brigg...................................................................................................................54 7.15.6 Εμβαδό τριγώνου................................................................................................................54 8 ΢υναρτήσεις............................................................................................................ 56 8.1 Ορισμοί .....................................................................................................................................56 8.2 Άρτια συνάρτηση:.....................................................................................................................56 8.3 Περιττή συνάρτηση: .................................................................................................................56 8.4 ΢υνάρτηση ένα προς ένα 1-1:..................................................................................................56 8.5 Αντίστροφη συνάρτηση............................................................................................................57 8.6 Περιοδική συνάρτηση..............................................................................................................57 8.7 Μονότονες συναρτήσεις...........................................................................................................57 8.8 ΢ύνθεση συναρτήσεων..............................................................................................................57 8.9 Ακρότατα συνάρτησης .............................................................................................................57 8.9.1 Μέγιστο:...............................................................................................................................57 8.9.2 Ελάχιστο: .............................................................................................................................57 8.10 Κυρτότητα και σημεία καμπής................................................................................................58 8.11 Μερικές χρήσιμες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.......................................................58 8.12 Η γραμμική συνάρτηση y = (x) = λx+β .............................................................................59 8.13 Η τετραγωνική συνάρτηση y=(x)=αx²+βx+γ.....................................................................59 8.14 Η συνάρτηση y=(x)=αxn .......................................................................................................59 8.15 Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x..............................................................................................60 8.16 Η εκθετική συνάρτηση .............................................................................................................60 8.17 Η λογαριθμική συνάρτηση ......................................................................................................60 8.18 Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.......................................................................61 8.18.1 ΢χέσεις μεταξύ αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ........................................62 8.18.2 Άθροισμα Αντίστροφων τριγωνομετρικών........................................................................62 8.18.3 Αρνητικό όρισμα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.....................................62 8.18.4 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ............................62 8.19 Τπερβολικές συναρτήσεις.........................................................................................................63 8.19.1 Ορισμός ...............................................................................................................................63 8.19.2 Οι υπερβολικές συναρτήσεις ως εκθετικά .........................................................................63 8.19.3 ΢χέσεις μεταξύ υπερβολικών συναρτήσεων ......................................................................63 8.19.4 Περιοδικότητα υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων ........................................63 8.19.5 Αρνητικά ορίσματα.............................................................................................................63 8.19.6 Σύποι Αθροισμάτων............................................................................................................63 8.19.7 Διπλάσια γωνία ....................................................................................................................63 8.19.8 Σύποι μισής γωνίας..............................................................................................................64 8.19.9 Δυνάμεις υπερβολικών συναρτήσεων.................................................................................64 8.19.10 Αθροίσματα – διαφορές – γινόμενα υπερβολικών συναρτήσεων ...................................64 8.19.11 Τπερβολικές συναρτήσεις σε σχέση με άλλες...................................................................64 8.19.12 Γραφικές παραστάσεις υπερβολικών συναρτήσεων..........................................................65 8.20 Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις...................................................................................66 8.20.1 ΢χέσεις μεταξύ αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων ...............................................66 8.20.2 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ............................66 8.20.3 ΢χέση υπερβολικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων.................................................67 9 Ανάλυση.................................................................................................................. 68 9.1 Όριο συνάρτησης......................................................................................................................68 9.1.1 Πλευρικά όρια .....................................................................................................................68 9.1.2 Όριο στο άπειρο..................................................................................................................68 9.1.3 Άπειρο όριο .........................................................................................................................68
94 Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 94 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9.1.4 Πρόσημο τιμών συνάρτησης..............................................................................................68 9.1.5 Όριο αθροίσματος, γινόμενου κλπ....................................................................................68 9.1.6 Κριτήριο παρεμβολής ........................................................................................................69 9.1.7 Μερικά σημαντικά όρια......................................................................................................69 9.2 ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity)..........................................................................................69 9.2.1 ΢ε ένα σημείο xο..................................................................................................................69 9.2.2 ΢ε ένα διάστημα..................................................................................................................69 9.2.3 ΢υναρτήσεις που είναι συνεχείς..........................................................................................69 9.2.4 ΢υνέπειες συνέχειας.............................................................................................................69 9.2.5 Θεωρήματα ενδιαμέσων τιμών...........................................................................................70 9.3 Παράγωγος συνάρτησης ..........................................................................................................71 9.3.1 Εξίσωση εφαπτομένης στην καμπύλη y=(x) στο σημείο xο..........................................71 9.3.2 Διαφορίσιμη ή παραγωγίσιμη συνάρτηση.........................................................................71 9.3.3 Παράγωγος και συνέχεια ....................................................................................................71 9.3.4 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.....................................................................................71 9.3.5 Παράγωγος μίας αντίστροφης συνάρτησης ......................................................................71 9.3.6 Γενικοί Κανόνες Παραγώγισης..........................................................................................72 9.3.7 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων .....................................................................72 9.3.8 Παράγωγοι εκθετικών – λογαριθμικών συναρτήσεων......................................................72 9.3.9 Παράγωγοι υπερβολικών- αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων .............................72 9.3.10 Παράγωγοι ανώτερης τάξης...............................................................................................73 9.3.10.1 Θεώρημα του Leibnitz για παραγώγους ανώτερης τάξης..........................................73 9.3.10.2 Νιοστή παράγωγος μερικών συναρτήσεων..................................................................73 9.3.11 Παράγωγος και μονοτονία .................................................................................................74 9.3.12 Θεώρημα του Rolle ............................................................................................................74 9.3.13 Θεώρημα του Darboux......................................................................................................74 9.3.14 Θεώρημα μέσης τιμής (διαφορικού λογισμού) ................................................................74 9.3.15 Δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής (Cauchy) .........................................................................74 9.3.16 Κανόνας του De L‟ Hospital.............................................................................................75 9.3.16.1 Άλλες απροσδιόριστες μορφές .....................................................................................75 9.3.17 Ανάπτυγμα Taylor...............................................................................................................75 9.3.18 Ακρότατα συνάρτησης και παράγωγος .............................................................................76 9.3.18.1 Θεώρημα (Κριτήριο πρώτης παραγώγου) ..................................................................76 9.3.18.2 Θεώρημα (Ακρότατα ή σημεία καμπής).....................................................................76 9.3.18.3 Μελέτη πραγματικής συνάρτησης (πραγματικής μεταβλητής) .................................76 9.4 Ολοκληρώματα.........................................................................................................................78 9.4.1 Αόριστο Ολοκλήρωμα .......................................................................................................78 9.4.1.1 Γενικοί κανόνες Ολοκλήρωσης ....................................................................................78 9.4.1.2 ΢ημαντικοί μετασχηματισμοί στα ολοκληρώματα.....................................................79 9.4.1.3 Η μέθοδος της ανάλυσης σε απλά κλάσματα (partial fractions)...............................80 9.4.2 Σο ορισμένο ολοκλήρωμα .................................................................................................80 9.4.2.1 Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις........................................................................................81 9.4.2.2 Ολοκλήρωση με άθροιση..............................................................................................81 9.4.2.3 Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος..........................................................................81 9.4.2.4 Θεώρημα του Leibnitz για διαφόριση ολοκληρωμάτων............................................82 9.4.2.5 Σο ολοκλήρωμα σαν συνάρτηση του πάνω ορίου.......................................................82 9.4.2.6 Σο θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού ............................................82 9.4.2.7 Θεωρήματα μέσης τιμής...............................................................................................82 9.4.2.8 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες....................................................................................83 9.4.2.9 Αλλαγή μεταβλητής.......................................................................................................83 9.4.2.10 Μερικές περιπτώσεις αλλαγής μεταβλητής στο ορισμένο ολοκλήρωμα ..................83 9.4.2.11 Σο ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδό.........................................................................84
Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία, πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 95 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 95 9.4.2.12 Όγκος ΢τερεού εκ περιστροφής...................................................................................84 9.4.2.13 Προσεγγιστικοί τύποι για το ολοκλήρωμα..................................................................84 9.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ..........................................................................................85 9.6 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων...........................................................................................85 10 Βιβλιογραφία, πηγές:............................................................................................... 86

More Related Content

PDF
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
PPTX
Ο ΑΓΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ-ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ
byMaria Froudaraki
 
PDF
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
byThemis Vakrinas
 
PPT
διαστημα
byΚαλλιοπη Μέλη
 
PDF
Περιγραφή ζώου ΕΠΟΠΤΙΚΟ.pdf
byDimitra Mylonaki
 
PDF
Α΄Δημοτικού Γλώσσα Ε τεύχος.pdf
byzohsschool
 
PPT
Από τους λόγους στις αναλογίες
byzarkosdim
 
DOCX
Προσθεση με υπέρβαση της δεκαδας
byIoanna Chats
 
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
Ο ΑΓΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ-ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ
byMaria Froudaraki
 
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
byThemis Vakrinas
 
διαστημα
byΚαλλιοπη Μέλη
 
Περιγραφή ζώου ΕΠΟΠΤΙΚΟ.pdf
byDimitra Mylonaki
 
Α΄Δημοτικού Γλώσσα Ε τεύχος.pdf
byzohsschool
 
Από τους λόγους στις αναλογίες
byzarkosdim
 
Προσθεση με υπέρβαση της δεκαδας
byIoanna Chats
 

Similar to Typologio mathimatikwn

PDF
α γ μαθ 2015 16
byChristos Loizos
 
PDF
Θεωρία Γυμνασίου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
γ' επαλ βοηθητικό κεφάλαιο σημειώσεων και ασκήσεων
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
PDF
Κεφάλαιο 1ο - Φύλλα εργασίας 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επανάληψη στη Γ Γυμνασίου 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Xt a gym-a_1_5
byxr3dis
 
PDF
Klasmatikoi arithmoi
byAnnet Dome
 
PDF
Αρχιμήδης 2014 - Λύσεις.pdf
bySTEAMESTUDENTS
 
PPT
πραγματικοι αριθμοι
byΚωστας Γκαβερας
 
PDF
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Mathimatika thetikou pros_b_meros
byChristos Loizos
 
PDF
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Calculus i
byChristos Loizos
 
PDF
σχολικές σημειώσεις άλγεβρας α΄λυκείου
bykeratea1
 
PDF
Πλήρες βοήθημα για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 -21]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
DOCX
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Λυκείου για φοιτητές ΕΑΠ - μέρος 1Α
byMath Studies
 
DOCX
Θεωρία Μέτρου με μαθηματικά Γυμνασίου για Γεωμετρία Β΄Λυκείου.docx
byssuser3a9e99
 
DOCX
Θεωρία Μέτρου με μαθηματικά Γυμνασίου για Γεωμετρία Β΄Λυκείου.docx
byΓιάννης Πλατάρος
 
PDF
Useful brochure
byChristos Loizos
 
PDF
Lec3 number systems_number_theory
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
α γ μαθ 2015 16
byChristos Loizos
 
Θεωρία Γυμνασίου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
γ' επαλ βοηθητικό κεφάλαιο σημειώσεων και ασκήσεων
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Κεφάλαιο 1ο - Φύλλα εργασίας 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επανάληψη στη Γ Γυμνασίου 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Xt a gym-a_1_5
byxr3dis
 
Klasmatikoi arithmoi
byAnnet Dome
 
Αρχιμήδης 2014 - Λύσεις.pdf
bySTEAMESTUDENTS
 
πραγματικοι αριθμοι
byΚωστας Γκαβερας
 
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Mathimatika thetikou pros_b_meros
byChristos Loizos
 
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Calculus i
byChristos Loizos
 
σχολικές σημειώσεις άλγεβρας α΄λυκείου
bykeratea1
 
Πλήρες βοήθημα για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 -21]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Λυκείου για φοιτητές ΕΑΠ - μέρος 1Α
byMath Studies
 
Θεωρία Μέτρου με μαθηματικά Γυμνασίου για Γεωμετρία Β΄Λυκείου.docx
byssuser3a9e99
 
Θεωρία Μέτρου με μαθηματικά Γυμνασίου για Γεωμετρία Β΄Λυκείου.docx
byΓιάννης Πλατάρος
 
Useful brochure
byChristos Loizos
 
Lec3 number systems_number_theory
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 

More from Christos Loizos

PDF
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
byChristos Loizos
 
PDF
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
byChristos Loizos
 
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
byChristos Loizos
 
PDF
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
byChristos Loizos
 
PDF
Prosomoiwsh kalamari sarafis
byChristos Loizos
 
PDF
451themataxristostsatsos
byChristos Loizos
 
PDF
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
byChristos Loizos
 
PDF
Lyseis panel 2021
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Epanaliptika themata stergiou_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
PDF
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Prosomoiwsh 1 xenos
byChristos Loizos
 
PDF
Prosomoiwsh maios sarafis
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
byChristos Loizos
 
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
byChristos Loizos
 
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
byChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
byChristos Loizos
 
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
byChristos Loizos
 
Prosomoiwsh kalamari sarafis
byChristos Loizos
 
451themataxristostsatsos
byChristos Loizos
 
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
byChristos Loizos
 
Lyseis panel 2021
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
byChristos Loizos
 
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
byChristos Loizos
 
Epanaliptika themata stergiou_2021
byChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
byChristos Loizos
 
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
byChristos Loizos
 
Prosomoiwsh 1 xenos
byChristos Loizos
 
Prosomoiwsh maios sarafis
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
byChristos Loizos
 

Recently uploaded

PPTX
Σημασία της στίξης στο νόημα μιας φράσης -φωνήματος.pptx
byΓιάννης Πλατάρος
 
PDF
Επίκληση στη λογική.pdf Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
PDF
1.2 Τα χαρακτηριστικά του ελληνιστικού κόσμου
byKvarnalis75
 
PDF
1. Οξέα-Βάσεις (2ο μέρος) Γ' Λυκείου Θετικής/Υγείας
byAnastasios Vafiadis
 
PPTX
Φιλαναγνωσία.pptx Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
PPTX
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ Θ.Ε. 2 ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ 2.2 ΕΡΓΑΣΙΑ 2.2 Η Ηθική της Εργασίας.pptx
byΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ
 
PPTX
Κειμενικό είδος - Ομιλία.pptx Νεοελληνική γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
PDF
2.3 Κλασική εποχή (480 - 323 π.Χ.)
byKvarnalis75
 
PPT
UnivSSE Coop Presentation 1-2026 GR2.ppt
byKostas Nikolaou
 
Σημασία της στίξης στο νόημα μιας φράσης -φωνήματος.pptx
byΓιάννης Πλατάρος
 
Επίκληση στη λογική.pdf Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
1.2 Τα χαρακτηριστικά του ελληνιστικού κόσμου
byKvarnalis75
 
1. Οξέα-Βάσεις (2ο μέρος) Γ' Λυκείου Θετικής/Υγείας
byAnastasios Vafiadis
 
Φιλαναγνωσία.pptx Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ Θ.Ε. 2 ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ 2.2 ΕΡΓΑΣΙΑ 2.2 Η Ηθική της Εργασίας.pptx
byΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ
 
Κειμενικό είδος - Ομιλία.pptx Νεοελληνική γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
2.3 Κλασική εποχή (480 - 323 π.Χ.)
byKvarnalis75
 
UnivSSE Coop Presentation 1-2026 GR2.ppt
byKostas Nikolaou
 

Typologio mathimatikwn

  • 1.
    -30 -20 -100 10 20 30 -20 -10 0 10 20 ΗΗ έέλλιικκαα ττοουυ ΑΑρρχχιιμμήήδδηη ΠΠααππααδδηημμηηττρρίίοουυ ΧΧ.. ΓΓιιώώρργγοοςς ΦΦυυσσιικκόόςς ΈΈκκδδοοσσηη ΒΒ΄΄,, ΑΑννττίίρρρριιοο 22000033
  • 2.
    (Y) Πνευματικές Τποχρεώσεις:2003 Παπαδημητρίου Φ. Γεώργιος Καραϊσκάκη 1, Αντίρριο, ΣΚ 30020 Επιτρέπεται κάθε αντιγραφή μερική ή ολική και με οποιοδήποτε τρόπο, ηλεκτρονικό, μηχανικό ή χειρόγραφο, καθώς και για οποιοδήποτε σκοπό. Σο παρόν γραπτό κείμενο και οι εικόνες που περιέχει είναι τελείως ελεύθερα προς κάθε χρήση από τον δημιουργό τους (ακόμα και για χρήση με την οποία ο δημιουργός ιδεολογικά διαφωνεί) με την μοναδική προϋπόθεση της μη χρήσης του παρόντος ή μέρους αυτού για δημιουργία κειμένου (ή γενικά έργου) με πνευματικά δικαιώματα τα οποία θα στρα- φούν αργότερα κατά της ελεύθερης διάθεσης και διακίνησης του παρόντος πονήματος ή των βελτιώσεων και παραγώ- γων αυτού. Αν συμβεί αυτό, ο συγγραφέας θεωρεί ότι έγινε κακή χρήση του δικαιώματος της ελευθερίας που παρέχει και μπορεί να ασκήσει τα ηθικά και νόμιμα δικαιώματά του. Ο συγγραφέας δεν εγγυάται απόλυτα την ορθότητα των μαθηματικών τύπων του παρόντος και δεν είναι υπεύθυνος για οτιδήποτε προκύψει από τη χρήση τους  ΢χόλια, προτάσεις, βελτιώσεις, υποδείξεις για σφάλματα γίνονται ευχαρίστως δεκτά στις διευθύνσεις: jorgepap@pathfinder.gr jorgebalt@hotmail.com
  • 3.
    ΜΜ αα θθηη μμ αα ττ ιι κκ άά ΢΢ ύύ μμ ββ οο λλ αα  για κάθε  υπάρχει  ανήκει  δεν ανήκει  συνεπάγεται, άρα  ισοδύναμο  ή  καί  άρνηση  κενό σύνολο ∞ άπειρο  τομή συνόλων  ένωση συνόλων  υποσύνολο  γνήσιο υποσύνολο : τέτοιο ώστε (α, β) ανοιχτό διάστημα, α, β  (α,β) [α, β] κλειστό διάστημα α, β  [α, β] [α, β) ανοιχτό δεξιά διάστημα α[α, β), β[α, β) (α, β] ανοιχτό αριστερά διάστημα β(α, β], α(α, β]
  • 4.
    4 Αριθμοί -΢ύνολα Μαθηματικό Συπολόγιο 4 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 1 Αριθμοί 1.1 ΢ύνολα ΢ύνολο ονομάζεται μία συλογή καλώς ορισμένων και διακριμμένων αντικειμένων, της διαίσθησής μας ή της διάνοιάς μας, που μπορούν να εκλειφθούν ως ολότητα. Αυτά ονομάζονται στοιχεία του συνόλου. 11..11..11 ΤΤπποοσσύύννοολλαα Ένα σύνολο Β είναι υποσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ  xΑ. ΢ημειώνουμε ΒΑ Ένα σύνολο Β είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ  xΑ και  yΑ : y  Β. ΢ημειώνουμε ΒΑ Ένα απειροσύνολο είναι ένα σύνολο αν είναι ισοδύναμο με ένα υποσύνολό του. Σο απειροσύνολο έχει άπειρα στοιχεία. 11..11..11..11 ΆΆλλγγεεββρραα υυπποοσσυυννόόλλωωνν ττοουυ BBoooollee Έστω Ω ένα σύνολο και Α, Β υποσύνολά του. Σότε συμβολίζουμε τις πράξεις: (1) Ένωση των Α και Β: ΑΒ = {xΩ / xΑ ή xΒ} (2) Σομή των Α και Β: ΑΒ = {xΩ / xΑ και xΒ} (3) ΢υμπλήρωμα του Α: A = {xΩ / xΑ} Βασικοί Νόμοι της Αλγεβρας Boole (1) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ Προσεταιριστικότητα (2) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ (3) ΑΒ=ΒΓ Αντιμεταθετικοί Νόμοι (4) ΑΒ=ΒΑ (5) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)(ΑΓ) Αντιμεταθετικοί Νόμοι (6) Α(ΒΓ)=(ΑΒ)(ΑΓ) (7) A B A B   Νόμοι του De Morgan (8) A B A B   (9) AA=A Νόμοι Αυτοδυναμίας (10) AA=A 11..11..22 ΔΔυυννααμμοοσσύύννοολλοο Έστω σύνολο Α με 10 στοιχεία. Σο σύνολο των υποσυνόλων του έχει 210 στοιχεία και ονομάζεται δυναμοσύ- νολο του Α. ΢υμβολίζεται με 2Α . Σο δυναμοσύνολο ενός συνόλου (πεπερασμένου ή απειροσυνόλου) δεν είναι ποτέ ισοδύναμο με το αρχικό σύνολο. Πάντα περιέχει περισσότερα στοιχεία (Cantor) 11..11..33 ΠΠλληηθθάάρριιθθμμοοιι Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο αν είναι ισοδύναμο (δηλαδή υπάρχει 1-1 και επί αντιστοιχία) με το σύνολο των φυσικών αριθμών . Σο μη-αριθμήσιμο σύνολο δεν μπορεί να μπει σε 1-1 και επί αντιστοιχία με το σύνολο . Πληθάριθμος ενός συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Ο πληθάριθμος του συνόλου  είναι άπειρος συμβολίζεται με 0 και ονομάζεται „άλεφ μηδέν‟. (Άλεφ από το φοινικικό πρώτο γράμμα, το δικό μας άλφα). Σο σύνολο των ρητών  είναι αριθμήσιμο σύνολο άρα έχει πληθάριθμο 0
  • 5.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αριθμοί- Προτεραιότητα των πράξεων 5 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 5 Σο σύνολο  των πραγματικών είναι μη-αριθμήσιμο σύνολο και ο πληθάριθμός του συνβολίζεται c kai είναι μεγαλύτερος από αυτόν του συνόλου . To c και ονομάζεται „δύναμη του συνεχούς‟. Ο Cantor έδειξε ότι 0 2 =c, δηλαδή ο πληθάριθμος των πραγματικών ισούται με το πλήθος των υποσυνόλων του . Ακόμα ο Cantor απέδειξε ότι υπάρχουν σύνολα με περισσότερα στοιχεία από το σύνολο , δηλαδή τα ά- πειρα 1, 2, 3… Τπόθεση του ΢υνεχούς του Cantor: c= 0 2 =1 H υπόθεση του συνεχούς δεν είναι δυνατό να αποδειχθεί ή να απορριφθεί αλλά αποδείχθηκε ότι είναι ένα ανεξάρτητο αξίωμα, όπως το 5ο αίτημα του Ευκλείδη. 11..11..44 ΣΣαα σσύύννοολλαα ττωωνν ααρριιθθμμώώνν  : σύνολο των Υυσικών αριθμών (Natural) {0, 1, 2, 3, …}  : σύνολο των Ακεραίων αριθμών {…, -2, -1, 0, +1, +2, …}  : σύνολο των Ρητών αριθμών (Rational) { κ λ / κ, λ  }  : σύνολο των Άρρητων αριθμών (Irrational) {x   / x δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα κ λ με κ, λ  } πχ 2 , 3 , e=2,718…, π=3,1415927… (οι αριθμοί x   έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν είναι περιοδικά)  : σύνολο των Πραγματικών αριθμών (Real) {x   / x ή x}  : σύνολο των Μιγαδικών αριθμών (Complex) {z   / z=x+iy με x,y  και i² = - 1} Ισχύει          αλλά και    1.2 Προτεραιότητα των πράξεων Α. Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις Δυνάμεις  Ρίζες  Πολλαπλασιασμοί  Διαιρέσεις  προσθέσεις αφαιρέσεις Β. Όταν υπάρχουν παρενθέσεις Ισχύει η ίδια προτεραιότητα των πράξεων αλλά αρχίζοντας από τις πιο εσωτερικές παρενθέσεις και συνε- χίζοντας προς τις εξωτερικές 1.3 Πρώτοι αριθμοί (Prime numbers) Πρώτοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και την μονάδα. Π.χ. 1, 2, 3, 7, 13, … Σο πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης. Αν ένας αριθμός δεν είναι πρώτος τότε λέγεται σύνθετος. 1.4 Φρυσός αριθμός Αν αναζητήσουμε ένα εσωτερικό σημείο Γ σε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ τέτοιο ώστε AB ΑΓ = AΓ ΓΒ τότε ο λόγος φ= AΓ ΓΒ ονομάζεται λόγος της χρυσής τομής ή χρυσός αριθμός. Αποδεικνύεται εύκολα ότι φ= 5 1 2  και σε δεκαδική προσέγγιση: φ=1,6180339887498948482… Ο αριθμός φ είναι και το όριο ν  ∞ του λό- γου δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci: (1)=1, (2)=1, (3)=(1)+(2) και γενικά (ν)=(ν- 2)+(ν-1) 1.5 Ευκλείδεια διαίρεση Για κάθε φυσικούς αριθμούς Δ (Διαιρεταίος) και δ (διαιρέτης) υπάρχουν φυσικοί αριθμοί π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο), με 0  υ < δ, τέτοιοι ώστε Δ=πδ+υ
  • 6.
    6 Αριθμοί -Άρτιοι, περιττοί αριθμοί Μαθηματικό Συπολόγιο 6 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Όταν υ=0 η διάιρεση λέγεται τέλεια 1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθμοί Αρτιος είναι ο αριθμός που διαιρείται με το 2 άρα είναι της μορφής α=2ν. Ζα={0, 2, 4, 6…} Περιττός είναι αυτός που δεν διαιρείται με το 2, άρα αφήνει υπόλοιπο 1. Είναι της μορφής β=2ν+1. Σο σύ- νολό τους είναι Ζπ={1, 3, 5…} 1.7 Διαιρετότητα Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 : αν είναι άρτιος (ζυγός), δηλαδή αν λήγει σε 0, 2, 4, 6, 8 3 : αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 4 : αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι τα 00 ή διαιρούνται με το 4 5 : αν λήγει σε 0 ή 5 6 : αν διαιρείται συγχρόνως με 2 και 3 7 : μετατρέπουμε τον αριθμό στο οκταδικό σύστημα και ελέγχουμε αν το άθροισμα των ψηφίων του διαι- ρείται με το 7 8 : αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται με το 8 9 : αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9 10 : αν λήγει σε 0 11 : αν το αλγεβρικό άθροισμα των ψηφίων με πρόσημο εναλλάξ + και – δίνει αριθμό που διαιρείται με το 11 (άσχετα αν είναι θετικός ή αρνητικός) 1.8 Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής: Κάθε αριθμός τρέπεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγώ- ντων. Η διαδικασία είναι ως εξής: Ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το δύο και (αν ναι) βρίσκουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης. ΢υνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Αν δεν διαιρείται με το δύο ελέγχουμε αν διαιρείται με το 3 και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. ΢υνεχίζουμε μέχρι να μείνει σαν αποτέλεσμα η μονάδα. πχ. 28 14 7 1 2 2 7 28 = 227 = 2²7 200 100 50 25 5 1 2 2 2 5 5 200 = 2³5² 1.9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ο Μ.Κ.Δ. κάποιων αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί ταυτόχρονα όλους τους αριθμούς. Βρίσκεται από την ανάλυση των αριθμών σε γινόμενο παραγόντων. Από κάθε ανάλυση παίρνουμε κάθε κοινό παράγοντα με τον μικρότερο εκθέτη που εμφανίζεται όπως στο παράδειγμα: 60 30 15 5 1 2 2 5 5 60=2²5² 180 90 45 9 3 1 2 2 5 3 3 180=2³53² 1500 750 375 75 15 3 1 2 2 5 5 5 3 Μ.Κ.Δ. (60, 180, 1500) = 2²5 = 45 = 20 ΢υμβολίζεται επίσης και (α,β) Βρίσκεται και με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: Έστω α, β δύο αριθμοί με α>β. Σότε: α=βπ1+υ1
  • 7.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αριθμοί- Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 7 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 7 β=υ1π2+υ2 υ1=υ2π3+υ3 …………. υν-2=υν-1πν+υν με υν=0, αφού τα υπόλοιπα υ1, υ2, … συνεχώς μικραίνουν Σότε ο ΜΚΔ των α και β είναι ο τελεταίος διαιρέτης υν-1, (ή το προτελεταίο υπόλοιπο) 1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Σο Ε.Κ.Π. κάποιων αριθμών βρίσκεται από την ανάλυσή τους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: Από κάθε ανάλυση παίρνουμε μία φορά καθένα παράγοντα με τον μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζεται. Από το προηγούμε- νο παράδειγμα: 1259 = 4500 ΢υμβολίζεται και [α,β] Πρώτοι προς αλλήλους αριθμοί Δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται πρώτοι προς αλλήλους αν ο Μ.Κ.Δ. τους είναι το 1 1.11 Κλάσματα Κάθε αριθμός της μορφής α β ονομάζεται κλάσμα. Παριστάνει την διαίρεση α:β. Όταν τα α και β είναι πρώτα μεταξύ τους το κλάσμα λέγεται ανάγωγο Όταν α>β το κλάσμα λέγεται καταχρηστικό αλλιώς λέγεται γνήσιο Σο κλάσμα δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με κάποιο αριθμό λ α β = α λ β λ   και α β = α : λ β : λ ΢ύνθετο κλάσμα: Πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους με τους μέσους = α δ β γ   Προσοχή: 2 2 2 1 23 3 55 3 5 15 1      και 7 7 7 5 351 2 2 2 1 2 5 5      ΢υνεχές είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή άθροισμα ακεραίου και κλάσματος, π.χ.: 1 1 2 3  1.12 Δεκαδικοί αριθμοί Αν σε κάποιο κλάσμα κάνουμε τη διαίρεση υπάρχουν μόνο δύο πιθανές καταστάσεις: α) η διαίρεση να τερματίζεται β) η διαίρεση να μην τερματίζεται αλλά να οδηγεί σε περιοδική επανάληψη των δεκαδικών πχ. 9 2,25 4  και 10 3,3333333... 3, 3 3   και 7 1,1666666... 1,16 6   και 20 1,571428571428... 1,571428 7   ΢τη δεύτερη περίπτωση ο αριθμός λέγεται περιοδικός δεκαδικός και το ψηφίο (ή ψηφία) που επαναλαμβά- νονται λέγονται περίοδος του αριθμού. Ο περιοδικός δεκαδικός λέγεται απλός (simple) αν η περίοδος ξεκινά αμέσως μετά το κόμμα, 2,66666… και μικτός (mixed) αν ξεκινά μερικά ψηφία μετά, 2,3473737373… ΢την περίπτωση αυτή τα δεκαδικά ψηφία πρίν την περίοδο (73) λέγονται αντιπερίοδος (34). Κάθε δεκαδικός μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με τον εξής τρόπο, που θα φανεί μέσα από το παράδειγμα: α β γ δ
  • 8.
    8 Αριθμοί -Σέλειος αριθμός Μαθηματικό Συπολόγιο 8 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος  Να γίνει κλάσμα ο 31, 97464646… x = 31,9746 104 x = 319746,46 102 x = 3197,46 Αφαιρώντας έχουμε: (104 -102 )x = 316549  9900 x = 316549  x = 316549 9900 Η διαδικασία μπορεί και να αυτοματοποιηθεί: α) Αν ο αριθμός τερματίζει μετά από κάποια δεκαδικά ψηφία τότε ο δεκαδικός ισούται με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή όλα τα ψηφία του αριθμού και παρονομαστή ένα αριθμό με τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκα- δικά ψηφία: 2312 2,312 100  β) Αν ο αριθμός είναι απλός περιοδικός αριθμός, τότε ισούται με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή ίσο με τη διαφορά δύο αριθμών τον αριθμό με την περίοδό του γραμμένη μία μόνο φορά (και χωρίς κόμμα) μείον το ακέραιο μέρος του αριθμού, και ως παρονομαστή έχει ένα αριθμό αποτελούμενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου: 212 2 210 2,12 99 99    και 3 0 3 0,3 9 9    γ) Αν ο αριθμός είναι μικτός περιοδικός τότε ισούται με ένα κλάσμα που στον αριθμητή έχει τον αριθμό χωρίς το δεκαδικό σημάδι με την περίοδο γραμμένη μία φορά μείον τον ίδιο αριθμό χωρίς την περίοδο και στον παρονομαστή έχει ένα αριθμό αποτελούμενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου ακολουθούμενο από τόσα ψηφία 0 όσο το πλήθος ψηφίων της αντιπεριόδου. 2512 25 2487 2,512 990 990    και 47231 472 46759 0,47231 99000 99000    1.13 Σέλειος αριθμός Ένας αριθμός είναι τέλειος όταν ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους. Πχ. 28=1+2+4+7+14. Έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής 27 τέλειοι αριθμοί. 1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθμός Αν συμβολίσουμε με ΢γδ(ν) το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ν τότε αν ΢γδ(ν)<ν ο αριθμός ν λέγεται ελλιπής, και όταν ΢γδ(ν)>ν λέγεται πλήρης. Αν ΢γδ(ν)=ν τότε ο ν είναι τέλειος. 1.15 Υιλικοί αριθμοί Δύο αριθμοί α και β λέγονται φιλικοί όταν ο β ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του α και ο α ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του β. Δηλαδή β=΢γδ(α) και α=΢γδ(β) 220 : γδ(220) = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} με ΢γδ(220) = 284 284 : γδ(284) = {1, 2, 4, 71, 142} με ΢γδ(284) = 220 Υιλικοί είναι ακόμα οι 1184 και 1210, 17296 και 18416 … 1.16 Πυθαγόρειοι αριθμοί Είναι μία τριάδα αριθμών (α, β, γ) που επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρημα: α²=β²+γ² Μία πυθαγόρεια τριάδα λέγεται πρωταρχική αν Μ.Κ.Δ.(α, β, γ)=1 Αν (α, β, γ) μία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η (κα, κβ, κγ) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα. Αν (α, β, γ) μία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η α=2κλ, β=κ²-λ² και γ=κ²+λ² Η τριάδα (2ν+1, 2ν²+2ν, 2ν²+2ν+1), με ν, είναι πυθαγόρεια (Πρόκλος)
  • 9.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αριθμοί- Άρρητοι αριθμοί 9 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9 1.17 Άρρητοι αριθμοί Ένας αριθμός που δεν είναι ρητός είναι άρρητος. Οι άρρητοι αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον Πυθαγόρα που απέδειξε το άρρητο του 2 . Άρρητοι είναι: Ο αριθμός π (Lambert 1770). O αριθμός e του Euler, βάση των νεπέρειων λογαρίθμων. Ο αριθμός φ της χρυσής τομής. Όλες οι τετραγωνικές ρίζες ρητών αριθμών που δεν είναι τετράγωνα ρητού. Σα ημθ, συνθ, εφθ με 0<θ<90 εκτός από τα προφανή συν60, ημ30 και εφ45, καθώς και τα αντίστοι- χα για γωνίες θ>90. Οι δεκαδικοί λογάριθμοι logx όταν xδύναμη του δέκα. Όλοι οι αριθμοί ex όταν x ρητός. 1.18 Αλγεβρικοί αριθμοί Ένας πραγματικός αριθμός είναι αλγεβρικός όταν είναι ρίζα μίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πο- λυώνυμο του x με ρητούς συντελεστές. Κάθε ρητός αριθμός είναι αλγεβρικός. Σο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο σύνολο. 1.19 Τπερβατικοί αριθμοί Ένας πραγματικός αριθμός είναι υπερβατικός όταν δέν είναι ρίζα μίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πολυώνυμο του x με ρητούς συντελεστές. Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι σίγουρα άρρητοι. Οι υπερβατικοί αριθμοί υπάρχουν (Cantor). Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι ένα απειροσύνολο και μάλιστα μη-αριθμήσιμο (Cantor, επίσης). Τπερβατικοί αριθμοί είναι: Ο αριθμός π =3,1415927… (Lindemann 1882). Ο αριθμός e =2,718… (Hermite 1873). Οι δεκαδικοί λογάριθμοι που δεν είναι ρητοί. Σα ημθ, συνθ, εφθ που είναι άρρητα. Κάθε ρητός που έχει υψωθεί σε άρρητη δύναμη.
  • 10.
    10 Άλγεβρα -Λόγοι και αναλογίες Μαθηματικό Συπολόγιο 10 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2 Άλγεβρα 2.1 Λόγοι και αναλογίες (Ratios and Proportions) Ονομάζουμε λόγο του α και του β≠0 το κλάσμα α β και αναλογία την ισότητα δύο λόγων α β = γ δ . Ονομά- ζουμε τους α, δ ακραίους και τους β, δ μεσαίους όρους. Βασική ιδιότητα: α β = γ δ  αδ=βγ Ιδιότητες αναλογιών: α β = γ δ  δ γ β α  εναλλαγή ακραίων όρων α β = γ δ  α β γ δ  εναλλαγή μεσαίων όρων α β = γ δ  ακ γκ β δ  α β = γ δ  α : κ γ : κ β δ  α β = γ δ  α γ βκ δκ  α β = γ δ  α γ β : κ δ : κ  α β = γ δ  ακ γ βκ δ  α β = γ δ  α : κ γ β : κ δ  α β = γ δ  α β γ δ β δ    α β = γ δ  α γ β α δ γ    α β = γ δ  α β α β γ δ γ δ     α β = γ δ  α β γ δ α β γ δ      α β = γ δ  κα λβ κα λβ κγ λδ κγ λδ      α β = γ δ  κα λβ μα νβ κγ λδ μγ νδ      α β = γ δ = ε ζ = α γ ε β δ ζ     2.2 Απόλυτες τιμές Ορισμός: |α|= α αν α≥0 -α αν α<0 Ιδιότητες: |α|≥0, -|α|  α  |α|, |α|²=α² |αβ|=|α||β| α α β β  ||α|-|β||  |α+β|  |α|+|β| |x|=θ με θ≥0  x=θ ή x=-θ |x|=α με α<0 αδύνατη |x|=|θ|  x=θ ή x=-θ |x|≥θ με θ>0  x≥θ ή xθ |x|≥α με α<0 ισχύει για κάθε x |x|θ με θ>0  -θ x θ |x|α με α<0 αδύνατη
  • 11.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα- Σαυτότητες 11 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 11 2.3 Σαυτότητες (α±β)2 =α2 ±2αβ+β² (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³ Για να βρούμε την δύναμη οποιασδήποτε τάξης: ξεκινάμε από την ίδια δύ- ναμη για το α και μειώνουμε κατά ένα ενώ αυξάνουμε κατά ένα την δύναμη του β. ΢τα γινόμενα χρησιμοποιούμε συντελεστές που τους βρίσκουμε από το τρίγωνο του Pascal. ΢ε αυτό κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αμέσως επάνω του αριθμών, εκτός των ακραίων μονάδων. Η΄ εναλλακτικά από τον τύπο του διωνύμου (διώνυμο του Νεύτωνα) (α+β)n = n 0       αn + n 1       αn-1 β+ n 2       αn-2 β2 +…+ n n 1      αβn-1 + n n       βn όπου n k       = n! k!(n k)! (διωνυμικός συντελεστής) και n!=123(n-1)n (ν – παραγοντικό) α²-β²=(α-β)(α+β) (διαφορά τετραγώνων) α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²) - -β)(α³+α²β+αβ²+β³) - - ………………………………… αν -βν =(α-β)(αν-1 +αν-2 β+αν-3 β²+…+αβν-2 +βν-1 ) α²-β²=(α+β)(α-β) - -α²β+αβ²-β³) …………………………… α2ν -β2ν =(α+β)(α2ν-1 -α2ν-2 β+α2ν-3 β2 -…+αβ2ν-2 -β2ν-1 ) α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²) -α³β+α²β²- ………………………………… α2ν+1 +β2ν+1 =(α+β)(α2ν -α2ν-1 β+α2ν-2 β2 -…-αβ2ν-1 +β2ν ) (δεν υπάρχει γενικός τύπος για το α2ν +β2ν ) (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2γα (x+α)(x+β) = x²+(α+β)x+αβ Newton α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα)= 1 2 (α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] Cauchy – Euler -2α²β²-2β²γ²-2γ²α²=-(α+β+γ)(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ) De Moivre (α²+β²)(x²+y²)=(αx+βy)²+(αy-βx)² Lagrange (α²+β²+γ²)(x²+y²+z²)-(αx+βy+γz)² = (αy-βx)²+(βz-γy)²+(αz-γx)² Lagrange (x+α)(x+β)(x+γ)=x³+(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x+αβγ Newton (α+β+γ)³=α³+β³+γ³+3(α+β)(β+γ)(γ+α) Αν α+β+γ=0 τότε α³+β³+γ³=3αβγ Αν α³+β³+γ³=0 τότε α+β+γ=0 ή α=β=γ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 . . . . . . . . Σο τρίγωνο του Pascal
  • 12.
    12 Άλγεβρα -Διάταξη - Ανισότητες Μαθηματικό Συπολόγιο 12 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2.4 Διάταξη - Ανισότητες Σο σύνολο  είναι διατεταγμένο. Ισχύει α>β  α-β>0 (Προσοχή: το σύνολο  των μιγαδικών αριθμών ΔΕΝ είναι διατεταγμένο. Δεν έχει νόημα η έκφραση z1>z2 για z1, z2 ) Για οποιοδήποτε ζεύγος πραγματικών ισχύει μία από τις τρεις σχέσεις: α>β, α=β, α<β Ισχύουν α>0 και β>0  α+β>0 και α<0 και β<0  α+β<0 α, β ομόσημοι  αβ>0 ή α β >0 α, β ετερόσημοι  αβ<0 ή α β <0 α > β  α ± γ > β ± γ α>β και β>γ  α>γ μεταβατική ιδιότητα α>β  αγ>βγ, αν γ>0 α>β  α γ > β γ , αν γ>0 αγ<βγ, αν γ<0 α γ < β γ , αν γ<0 α>β  α+γ>β+δ α>β  αγ>βδ γ>δ γ>δ (ισχύει αν α,β,γ,δ θετικοί) Ποτέ δεν αφαιρούμε ή διαιρούμε ανισότητες! α2ν+1 >β2ν+1  α>β α2ν >β2ν  |α|>|β| αν α>β>0  αν >βν αν α>β>0  1 1 α β  αν x>y>0 και α>1 τότε αx >αy αν x>y>0 και α<1 τότε αx <αy αν α>β>0 και ν   τότε ισχύουν: αν >βν ν να β αν α>β>0 και n θετικός ρητός τότε: αn >βn α-n <β-n 22..44..11 ΑΑξξιιοοσσηημμεείίωωττεεςς ΑΑννιισσόόττηηττεεςς:: α²>0  α≠0 α²0  α=0 α β >0  αβ>0 για β≠0 α²+β²+γ²≥0 α>β  αν >βν μόνο αν α>0 και β>0 α²+β²+γ²=0  α=β=γ=0 α²+β²+γ²≠0  α≠0 ή β≠0 ή γ≠0 α>β  α²>β² μόνο αν α>0 και β>0 α>β  α²<β² μόνο αν α<0 και β<0 α+ 1 α  2, α>0 α+ 1 α  -2, α<0
  • 13.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα- Διάταξη - Ανισότητες 13 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 13 α β β α  ≥ 2, α,β ομόσημοι α β β α   -2, α,β ετερόσημοι α²+β²2αβ (α+β)²≥4αβ α²+β²+γ²≥αβ+βγ+γα 3( α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)² α³+β³≥αβ(α+β) α³+β³+γ³≥3αβγ αν α+β+γ>0 (α+β)(β+γ)(γ+α)≥8αβγ, α,β,γ+ 2(α³+β³+γ³)≥αβ(α+β)+βγ(β+γ)+γα(γ+α), α,β,γ+ 2(α²+β²)≥(α+β)² 3(α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)² α β γ 3 β γ α    , α,β,γ+ ν ν ν ν ν ν α β γ 3 β γ α    , α,β,γ+ και ν ν(α1²+α2²+…+αν²)≥(α1+α2+…+αν)² (αx+βy)² (α²+β²)(x²+y²) (α+β+γ) 1 1 1 α β γ        ≥9 αν α, β, γ ≥ 0 τότε: α³+β³+γ³≥3αβγ α+β+γ≥3 3 αβγ αν α,β,γ πλευρές τριγώνου τότε: α<β+γ, β<α+γ, γ<α+β |β-γ|<α<β+γ (και με κυκλική εναλλαγή των δεικτών) Για α, β  0 ισχύουν: α+β≥2 αβ 1 1 α β  ≥ 2 αβ 2 2 α β α β α β 2     2 2 α β 1 1 1 α β 2 α β         αβ α β α β 4    4 1 1 α β α β    22..44..22 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρριιθθμμηηττιικκοούύ –– ΓΓεεωωμμεεττρριικκοούύ –– ΑΑρρμμοοννιικκοούύ μμέέσσοουυ αν α1, α2, …αν > 0 1 2 ν ν 1 2 ν 1 2 ν α α ... α ν α α ... α 1 1 1ν ... α α α            αριθμητικός μέσος ≥ γεωμετρικός μέσος ≥ αρμονικός μέσος Arithmetic≥Geometrical≥Harmonic ανισότητα A-G-H 22..44..33 ΑΑννιισσόόττηητταα BBuunniiaakkoosskkii--CCaauucchhyy--SScchhwwaarrttzz ((BB--CC--SS)) (α1β1+α2β2+…+ανβν)²( 2 2 2 1 2 να α ... α   )( 2 2 2 1 2 νβ β ... β   ) ή 2ν ν ν 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 α β α β             Η ισότητα ισχύει όταν ν1 2 1 2 ν αα α ... β β β   Αν α=(α1,α2,…,αν) και β=(β1,β2,…,βν) διανύσματα ενός χώρου ν , <α,β> το εσωτερικό τους γινόμενο και |α| και |β| τα μέτρα τους τότε η Buniakoski-Cauchy-Schwartz γράφεται και ως εξής: |<α,β>|  |α||β| με την ισότητα να ισχύει όταν τα α και β γραμμικά εξαρτημένα
  • 14.
    14 Άλγεβρα -Διάταξη - Ανισότητες Μαθηματικό Συπολόγιο 14 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 22..44..44 ΑΑννιισσόόττηητταα HHööllddeerr Αν p, q>1 και 1 1 p q  =1 τότε i 1 1 n n np qqp i i i i 1 i 1 i 1 α β α β                    Η ισότητα ισχύει όταν |α1|p-1 /|β1|=|α2|p-1 /|β2|=… 22..44..55 ΑΑννιισσόόττηητταα MMiinnkkoowwsskkii.. Αν p>1 και αi, βi≥0 τότε 1 1 1 n n np p p p p p i i i i i 1 i 1 i 1 α β (α β )                           Η ισότητα ισχύει όταν α1/β1=α2/β2=…=αn/βn 22..44..66 ΑΑννιισσόόττηητταα CChheebbyysshheevv Αν α1≥α2≥…≥αn και β1≥β2≥…≥βn τότε: 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β α β α β ... α β n n n                  ή   1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β n(α β α β ... α β )          Η ισότητα ισχύει αν α1=α2=…=αn και β1=β2=…=βn 22..44..77 ΑΑννιισσόόττηητταα WWeeiieerrssttrraassss Αν α1, α2, α3, …, αν≥0 τότε (1+α1)(1+α2)…(1+αν) ≥ 1+(α1+α2+…+αν) 22..44..88 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρρχχιιμμήήδδηη μ, ν ≥ 0 1μ +2μ +…+(ν-1)μ < μ 1 ν μ 1   <1μ +2μ +…+(ν-1)μ + νμ 22..44..99 ΑΑννιισσόόττηητταα BBeerrnnoouullllii Αν x≥-1 και ν φυσικός τότε: (1+x)ν ≥ 1+νx η ισότητα ισχύει αν ν=1 ή x=0 Αν x>-1 και x≠0 τότε: (1+x)α > 1+αx όταν α>1 ή α<0 (1+x)α < 1+αx όταν 0 < α < 1
  • 15.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα- Δυνάμεις 15 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 15 2.5 Δυνάμεις Ορισμός αν = ν φορές α α α ... α    , αο =1, α1 =α αν αμ =αν+μ ν ν μ μ α α α   (αβ)ν =αν βν ν ν ν α α β β       α-ν = ν 1 α ν ν α β β α               μν α =ανμ 2.6 Σετραγωνικές Ρίζες Ορισμοί: x2 =α  x= α , α = 1 2 α , 0 0 , 1 1 α β αβ  α α ββ    2 α α 2 α α 4 α α   μ μ α α 1 2 α α 2.7 Ρίζες ν τάξης Ορισμοί: xν =α  x= ν α , ν α = 1 ν α , μν α = μ ν α ν ν να β αβ  ν ν ν α α ββ  νμμ ν μν α α α    ν νμ μ ν μ α α α   μ νμν α α   μ μνν α α ρμ μρν ν α α 2.8 Λογάριθμοι αν αx =β τότε x=logαβ αν ex =β τότε x=lnβ αν 10x =β τότε x=logβ e=2,71828…ο αριθμός του Euler, α>0, α≠1, β>0 loga1=0 logaa=1 log βa a β logα(βγ)=logαβ+logαγ logα( β γ )=logαβ-logαγ logαβκ =κlogαβ ν αlog β = 1 ν logαβ αλλαγή βάσης logαβ= γ γ log β log α ln1=0 lne=1 ln(xy)=lnx+lny ln( x y )=lnx – lny lnαβ =βlnα lnex =x elnx =x lnα= γ γ log α log e 2.9 Πρόοδοι Αριθμητική Γεωμετρική αν=α1+(ν-1)ω, ω=αν+1-αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι α.π. αν και μόνο αν β= α γ 2  Sν= 1 να α ν 2  αν=α1λν-1 , λ= ν 1 ν α α  οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γ.π. αν και μόνο αν β²=αγ Sν=α1 ν 1-λ 1 λ , S=α1 1 1 λ για |λ|<1
  • 16.
    16 Άλγεβρα -Εξισώσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 16 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2.10 Εξισώσεις Μία ισότητα που περιέχει τουλάχιστο ένα άγνωστο λέγεται εξίσωση. Η εξίσωση χαρακτηρίζεται από τον βαθμό της, δηλαδή την μεγαλύτερη δύναμη στην οποία είναι υψωμένος ο άγνωστος. Ισχύει το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: (Gauss) Κάθε πολυωνυμική εξίσωση με μιγαδικούς συντελε- στές και βαθμό ν1 έχει μία τουλάχιστο μιγαδική ρίζα. ΢αν συνέπεια: μία πολυωνυμική εξίσωση με μιγαδικούς συντελεστές και βαθμό ν1 έχει ακριβώς ν ρίζες μι- γαδικές (εν γένει), από τις οποίες κάποιες μπορεί να είναι εκφυλισμένες (διπλές, τριπλές…) 22..1100..11 ΠΠρρωωττοοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση αx+β=0 έχει α≠0 μοναδική λύση x= β α  α=0 β≠0 Αδύνατη β=0 Αόριστη 22..1100..22 ΔΔεευυττεερροοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση αx²+βx+γ=0 με Δ=β²-4αγ έχει Δ>0 δύο ρίζες στο  άνισες Δ=0 μία διπλή ρίζα στο  Δ<0 καμία ρίζα στο , δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες x1,2= β Δ 2α   x= β 2α  z1,2= β i Δ 2α   22..1100..22..11 ΆΆθθρροοιισσμμαα κκααιι γγιιννόόμμεεννοο ρριιζζώώνν ττρριιωωννύύμμοουυ Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 με ρίζες x1 και x2 έχει άθροισμα ριζών β S α   γινόμενο ριζών γ P α  Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P δύο αριθμών ρ1 και ρ2 τότε μία εξίσωση που έχει ρίζες τα ρ1 και ρ2 είναι: x² - Sx + P = 0 22..1100..22..22 ΠΠρρόόσσηημμοο ττρριιωωννύύμμοουυ Σο τριώνυμο αx²+βx+γ έχει πρόσημο Δ>0 δύο ρίζες x1 και x2 Δ=0 μία διπλή ρίζα x Δ<0 καμία ρίζα στο  Ετερόσημο του α ανάμεσα στις ρίζες, ομόσημο του α έξω από τις ρίζες Ομόσημο του α παντού εκτός από τι ρίζα όπου x=0 ομόσημο του α παντού ομόσημο του α ομόσημο του α x1 0 ομόσημο του α x1 x2 ομόσημο του α ετερόσημο του α 0 0
  • 17.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα- Εξισώσεις 17 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 17 22..1100..22..33 ΜΜοορρφφέέςς ττρριιωωννύύμμοουυ Μορφές τριωνύμου (x)=αx²+βx+γ με α≠0 Δ>0 (δύο ρίζες ρ1 και ρ2) (x) = α(x-ρ1)(x-ρ2) Δ=0 (μία διπλή ρίζα ρ, τέλειο τετράγωνο) (x) = α(x-ρ)² = α 2 β x 2α       Δ<0 (δεν παραγοντοποιείται) (x) = α 2 β x 2α       + 2 Δ 4α 22..1100..33 ΔΔιιττεεττρράάγγωωννηη ΕΕξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση ονομάζεται διτετράγωνη (biquadratic equation) και λύνεται με την αντικατάσταση y=x², με την οποία γίνε- ται απλό τριώνυμο ως προς y με ρίζες έστω y1 και y2. Οι ρίζες της αρχικής είναι είναι: 1,2 1 3,4 2x y και x y    22..1100..44 ΔΔιιωωννυυμμιικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς ββααθθμμοούύ νν33 Η εξίσωση αxν +β=0 λέγεται διωνυμική (binomial equation) και για α0, ν, ν3 έχει τις εξής λύσεις: ν άρτιος ν περιττός β α  >0 β α  <0 Μία ρίζα στο  ν β α  (θετική) δύο ρίζες   + ν β α  και - ν β α  δύο μιγαδικές συζυγείς +i ν β α  και -i ν β α  22..1100..55 ΣΣρριιττοοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η λύση της τριτοβάθμιας (cubic equation) αλλά και της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης δημοσιεύτηκε από τον Gerolamo Cardano (1501-1576) στο βιβλίο του Ars Manga. Η λύση όμως δεν ήταν του Cardano. Κάποια στοιχεία είχαν βρεθεί από τον Niccolo Tartaglia ενώ η τεταρτοβάθμια λύθηκε από τον Ludovico Ferrari. Η λύση κατά πάσα πιθανότητα ανήκει στον καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Bolognia, Scipione del Ferro (1465-1526), που έδωσε τη λύση στον μαθητή του Antonio Maria Fior. Έστω η εξίσωση x³+α1x²+α2x+α3=0 Τπολογίζουμε τα: Q= 2 2 13α α 9  R= 3 1 2 3 19α α 27α 2α 54   S= 3 23 R Q R  T= 3 23 R Q R  όπου ST=-Q
  • 18.
    18 Άλγεβρα -Εξισώσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 18 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Λύσεις: 1 1 2 1 3 1 1 x S T α 3 1 1 1 x (S T) α i 3(S T) 2 3 2 1 1 1 x (S T) α i 3(S T) 2 3 2                     Αν α1, α2, α3 πραγματικοί και D=Q³+R² η διακρίνουσα για την τριτοβάθμια τότε: (1) Μια ρίζα είναι πραγματική και δύο μιγαδικές συζυγείς αν D>0 (2) Όλες οι ρίζες πραγματικές και τουλάχιστο δύο ίσες αν D=0 (3) Όλες οι ρίζες πραγματικές και άνισες αν D<0 Αν D<0 1 1 ο 2 1 ο 3 1 1 1 x 2 Qσυν( θ) α 3 3 1 1 x 2 Qσυν( θ 120 ) α 3 3 1 1 x 2 Qσυν( θ 240 ) α 3 3                 όπου συνθ = 3 R Q Για τις ρίζες ισχύει: x1+x2+x3=-α1, x1x2+x2x3+x1x3=α2, x1x2x3=-α3 Αναλυτική λύση στο: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html 22..1100..66 ΗΗ ττεεττααρρττοοββάάθθμμιιαα εεξξίίσσωωσσηη Θεωρούμε την τεταρτοβάθμια (quartic) εξίσωση: 3x³+α2x²+α1x+α0=0 (1) Οι ρίζες της ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ικανοποιούν τους τύπους του Vieta: ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=-α3 ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ1ρ4+ρ2ρ3+ρ2ρ4+ρ3ρ4=α2 ρ1ρ2ρ3+ρ2ρ3ρ4+ρ1ρ2ρ4+ρ1ρ3ρ4=-α1 ρ1ρ2ρ3ρ4=α0 Πρώτα λύνουμε την “επιλύουσα τριτοβάθμια” εξίσωση: y³-α2y²+(α1α3-4α0)y+(4α2α0-α1²-α3²α0)=0 (2) Έστω y1 μία πραγματική λύση της (2). Σότε οι τέσσερις ρίζες της (1) δίνονται από τις ρίζες της εξίσωσης:    2 2 2 3 3 2 1 1 1 0 1 1x α α 4α 4y y y 4α 0 2 2        Δηλαδή: ρ1= 3 1 1 1α R D 4 2 2    ρ2= 3 1 1 1α R D 4 2 2    ρ3= 3 1 1 1α R E 4 2 2    ρ4= 3 1 1 1α R E 4 2 2    όπου:
  • 19.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Άλγεβρα- Εξισώσεις 19 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 19 R= 2 3 2 1 1 α α y 4   2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 2 3 2 1 0 3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0 4 4 D 3 α 2α 2 y 4α , R=0 4               2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 2 3 2 1 0 3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0 4 4 E 3 α 2α 2 y 4α , R=0 4               (Για την πλήρη αναλυτική λύση βλέπε: http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html) 22..1100..77 ΕΕξξιισσώώσσεειιςς 55οουυ κκααιι μμεεγγααλλύύττεερροουυ ββααθθμμοούύ Δεν υπάρχει γενική αναλυτική λύση για τις εξισώσεις με βαθμό μεγαλύτερο του 5, όπως απέδειξε ο Abel. Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με παραγοντοποίηση (αν είναι εφικτή) ή με αριθμητικές μεθόδους σε υπολογιστές.
  • 20.
    20 Μιγαδικοί αριθμοί- Ορισμοί Μαθηματικό Συπολόγιο 20 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 3 Μιγαδικοί αριθμοί 3.1 Ορισμοί Ονομάζουμε μιγαδικό αριθμό z (complex number) ένα αριθμό της μορφής α+iβ όπου i²=-1 ή i= 1 και α,β. Οι πραγματικοί α και β λέγονται πραγματικό (real) και φανταστικό (imaginary) μέρος του μιγαδικού z και γράφουμε α=Re(z) και β=Im(z) 3.2 ΢υζυγείς μιγαδικοί Ο μιγαδικός συζυγής (conjugate) του z=α+iβ γράφεται z α iβ  =α-iβ. Λέμε ότι οι αριθμοί z και z ή οι α+iβ και α – iβ είναι συζυγείς μεταξύ τους. Για την „πράξη‟ της συζυγίας ισχύουν: 1 2 1 2z z z z   1 2 1 2z z z z   1 1 2 2 z z z z       3.3 Ισότητα μιγαδικών αριθμών Δύο μιγαδικοί αριθμοί α+iβ και γ+iδ είναι ίσοι αν και μόνο αν α=γ και β=δ 3.4 Πράξεις μιγαδικών αριθμών Ακολουθούμε την συνηθισμένη άλγεβρα αντικαθιστώντας όπου χρειάζεται το i² με -1. (α+iβ)+(γ+iδ)=(α+γ)+(β+δ)i (α+iβ)-(γ+iδ)=(α-γ)+(β-δ)i (α+iβ)(γ+iδ)=(αγ-βδ)+(αδ-βγ)i 2 2 2 2 α iβ (α iβ) (γ iδ) αγ βδ βγ αδ i γ iδ (γ iδ) (γ iδ) γ δ γ δ                  (στη διαίρεση πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση και κάνουμε πρά- ξεις) 3.5 Μιγαδικό επίπεδο Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να παρασταθούν γεωμετρικά ως ση- μεία ενός επιπέδου που ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο Gauss. Αν θεωρήσουμε ένα x-άξονα ως άξονα των πραγματικών και ένα κά- θετο σε αυτόν y-άξονα ως άξονα των φανταστικών τότε ο μιγαδικός z=α+iβ παριστάνεται ως το σημείο (α,β) ή ως το διάνυσμα από την αρχή Ο μέχρι το σημείο Ρ(α,β) Ορίζουμε ως μέτρο (modulus) ή απόλυτη τιμή z ή z του μιγαδι- κού z=α+iβ τον πραγματικό αριθμό 2 2 z α iβ α β    Σο μέτρο z του μιγαδικού μπορεί να ερμηνευτεί και ως η απόσταση του σημείου (α,β) από την αρχή των αξόνων Ο, ή ως το μέτρο (μή- κος) ρ του διανύσματος ΟΡ . 3.6 Πολική μορφή μιγαδικού ΢το προηγούμενο σχήμα επειδή α=ρσυνθ και β=ρημθ μπορούμε να γράψουμε: z = α+iβ = ρσυνθ+iρημθ  z = ρ(συνθ+iημθ) Η μορφή z = ρ(συνθ+iημθ) λέγεται πολική μορφή του μιγαδικού z. Σο μήκος ρ= 2 2 α β είναι το μέτρο και η γωνία θ το όρισμα (argument) του μιγαδικού z. 3.7 Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση σε πολική μορφή Η πολική μορφή των μιγαδικών είναι πολύ χρήσιμη γιατί απλοποιεί τους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις των μιγαδικών. Ισχύει: P(α,β) x y z=α+iβ ρ θ α β
  • 21.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Μιγαδικοίαριθμοί - Ρίζα μιγαδικού αριθμού 21 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 21 {ρ1(συνθ1+iημθ1)} {ρ2(συνθ2+iημθ2)}=ρ1ρ2{συν(θ1+θ2)+iημ(θ1+θ2)}  1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ρ (συνθ iημθ ) ρ συν(θ θ ) iημ(θ θ ) ρ (συνθ iημθ ) ρ       Δύναμη μιγαδικού αριθμού (θεώρημα De Moivre) Ισχύει για κάθε n: zn = (ρσυνθ+iρημθ)n = ρn {συν(nθ)+iημ(nθ)} 3.8 Ρίζα μιγαδικού αριθμού Από το θεώρημα του De Moivre έχουμε:    1 n nn θ 2kπ θ 2kπ z ρ συνθ iημθ ρ συν iημ n n                    όπου k ακέραιος. Από τον τύπο αυτό όλες οι διαφορετικές ρίζες ενός μιγαδικού είναι αυτές για τις οποίες το k παίρνει τιμές 0, 1, 2, …, n-1. 33..88..11 ΟΟιι ννιιοοσσττέέςς ρρίίζζεεςς ττηηςς μμοοννάάδδααςς Ισχύει 1=συν0+iημ0 άρα θέτοντας στον παραπάνω τύπο ρ=1 και θ=0 έχουμε τις νιοστές ρίζες της μονάδας: n 2kπ 2kπ 1 συν iημ n n   με k=0, 1, 2, …, n-1 ΢χέση εκθετικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (τύποι του Euler) Ισχύει: eiθ = συνθ+iημθ e-iθ = συνθ–iημθ iθ iθ e e ημθ 2i    iθ iθ e e συνθ 2    iθ iθ iθ iθ iθ iθ iθ iθ e e e e εφθ i i(e e ) e e                iθ iθ iθ iθ i(e e ) σφθ e e      iθ iθ 2 τεμθ e e   iθ iθ 2i στεμθ e e   eiθ+2kπi = eiθ , γενικότερα η συνάρτηση (x)=ex έχει περίοδο 2kπi 3.9 Εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών α+iβ = ρ(συνθ+iημθ) = ρeiθ 3.10 Λογάριθμος μιγαδικού i(θ 2kπ) ln(z) ln(α iβ) ln(ρe ) lnρ i(θ 2kπ)       3.11 Πράξεις με μιγαδικούς σε εκθετική μορφή Η εκθετική μορφή του μιγαδικού απλοποιεί πολύ τις πράξεις μιγαδικών 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2iθ iθ i(θ θ ) z z (ρ e )(ρ e ) ρ ρ e    1 1 1 2 22 1 1 2 2 iθ i(θ θ ) iθ z ρ e ρ e z ρρ e    (z)n =(ρeiθ )n =ρn einθ (Θεώρημα De Moivre)       i(θ 2kπ)11 11 iθ i(θ 2kπ) n nn nnz ρe ρe ρ e      (n-στη ρίζα μιγαδικού)
  • 22.
    22 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - ΢υστήματα συντεταγμένων Μαθηματικό Συπολόγιο 22 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο 4.1 ΢υστήματα συντεταγμένων 44..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Cartesian system of co-ordinates) (ορθογώνιο σύστημα συντε- ταγμένων) στο επίπεδο, δημιουργεί μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του επιπέδου και ζευγαριών πραγματικών αριθμών. Αποτελείται από: ένα άξονα τετμημένων (abscissae) x, (x άξονας) ένα άξονα τεταγμένων (ordinates) y, (y άξονας) μία αρχή Ο, στο σημείο τομής των δύο αξόνων. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι αριθμών (x, y) 44..11..22 ΠΠοολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να περιγραφεί από τους δύο αριθμούς (x,y) αλλά και από τους δύο αριθμούς (r,θ) ενός πο- λικού συστήματος συντεταγμένων. Ο μετασχηματισμός από τις καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες περιγράφεται από τις εξισώσεις: x rσυνθ y rημθ    και από πολικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: 2 2 r x y y θ τοξεφ x             4.2 Μετασχηματισμός συντεταγμένων 44..22..11 ΠΠααρράάλλλληηλληη ΜΜεεττααφφοορράά σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστημα συντεταγμένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστημα συντε- ταγμένων του οποίου οι άξονες είναι παράλληλοι με τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ βρίσκεται στη θέση (xο, yο) ως προς το αρχικό xΟy σύστημα τότε: o o o o x x x x x x ή y y y y y y               44..22..22 ΠΠεερριισσττρροοφφήή σσυυσσττήήμμααττοοςς κκααττάά γγωωννίίαα φφ Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστημα συντεταγμένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστημα συντε- ταγμένων του οποίου οι άξονες έχουν περιστραφεί κατά γωνία φ ως προς τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ ταυτίζεται με την αρχή Ο του αρχικού xΟy συστήματος τότε: x x συνφ y ημφ x xσυνφ yημφ ή y x ημφ y συνφ y xημφ yσυνφ                  Αν θεωρήσουμε τα σημεία (x,y) ως πίνακα στήλη x y       τότε ο παραπάνω μετασχηματισμός μπορεί να θεω- ρηθεί ως πολλαπλασιασμός μεταξύ ενός τετραγωνικού πίνακα μετασχηματισμού και διανυσμάτων στήλης ως ακολούθως: x συνφ ημφ x y ημφ συνφ y                  ή x συνφ ημφ x y ημφ συνφ y                   x y Ο x1 Α(x1,y1) θ y1 r
  • 23.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Απόσταση σημείων 23 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 23 44..22..33 ΜΜεεττααφφοορράά κκααιι ππεερριισσττρροοφφήή ττααυυττόόχχρροονναα Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο προηγούμενοι μετασχηματισμοί τότε: o o o o o o x x συνφ y ημφ x x (x x )συνφ (y y )ημφ ή y x ημφ y συνφ y y (x x )ημφ (y y )συνφ                        4.3 Απόσταση σημείων 44..33..11 ΢΢εε κκααρρττεεσσιιααννέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία τότε η απόστασή τους είναι dΑΒ= 2 2 1 2 1 2(x x ) (y y )   44..33..22 ΢΢εε πποολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Αν Α(ρ1, θ1) και Β(ρ2, θ2) δύο σημεία τότε η απόστασή τους είναι dΑΒ= 2 2 1 2 1 2 1 2ρ ρ 2ρ ρ συν(θ θ )   4.4 ΢υντεταγμένες σημείου που διαιρεί ευθ. τμήμα Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία και ζητάμε τις συντεταγμένες σημείου Μ έτσι ώστε ο λόγος ΑΜ λ ΜΒ  τότε οι συντετμένες του Μ είναι: 1 2 0 x λx x 1 λ    και 1 2 0 y λy y 1 λ    Εάν λ>0 το σημείο Μ είναι εντός του ΑΒ Εάν λ<0 το σημείο Μ είναι εκτός του ΑΒ Εάν λ=1 το σημείο Μ είναι το μέσο του ΑΒ 4.5 Εμβαδό τριγώνου Έστω το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3). Σότε: Εμβαδό 1 1 2 2 3 3 x y 1 1 E x y 1 2 x y 1   ή 1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3 1 E (x y x y y x x y y x y x ) 2        Αν το εμβαδό είναι μηδέν τα σημεία είναι συνευθειακά (βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία) 4.6 ΢υνευθειακά σημεία ΢υνθήκες για να είναι τα 3 σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3) συνευθειακά: 1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3x y x y y x x y y x y x 0      ή 1 1 2 2 3 3 x y 1 x y 1 x y 1 =0 ή 2 1 2 1 3 1 3 1 y y x x y y x x     
  • 24.
    24 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Ευθεία Μαθηματικό Συπολόγιο 24 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.7 Ευθεία 44..77..11 ΚΚλλίίσσηη εευυθθεείίααςς πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό δδύύοο σσηημμεείίαα Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η κλίση της ευθείας ή του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, είναι: 2 1 2 1 y y λ x x    Ισχύει ακόμα: κλίση λ=εφθ 44..77..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό έένναα σσηημμεείίοο Αν Α(x1,y1) σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία τότε η εξί- σωσή της είναι: y – y1 = λ(x – x1) 44..77..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό δδύύοο σσηημμεείίαα Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η εξίσωσή της είναι: 1 2 1 1 2 1 y y y y λ x x x x       ή y – y1 = 2 1 2 1 y y x x   (x – x1) ή 2 2 3 3 x y 1 x y 1 x y 1 =0 όπου λ=η κλίση της ευθείας. 44..77..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίαα πποουυ ττέέμμννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς σσττιιςς θθέέσσεειιςς αα κκααιι ββ x y 1 α β   44..77..55 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς Αx+Βy+Γ=0 44..77..66 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς kρ συν(α θ)   όπου: k είναι η απόσταση του κέντρου Ο των αξόνων από την ευθεία και α η γωνία που σχηματίζει η από- σταση k με τον πολικό άξονα (στον οποίο θ=0) 44..77..77 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς 44..77..77..11 ΕΕυυθθεείίεεςς πποουυ δδιιέέρρχχοοννττααιι ααππόό ττηηνν ααρρχχήή ττωωνν ααξξόόννωωνν y = λx ή αx + βy = 0 44..77..77..22 ΔΔιιχχοοττόόμμοοςς 11οουυ –– 33οουυ ττεεττααρρττηημμοορρίίοουυ y = x 44..77..77..33 ΔΔιιχχοοττόόμμοοςς 22οουυ –– 44οουυ ττεεττααρρττηημμοορρίίοουυ y = - x 44..77..77..44 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν xx άάξξοονναα y = α ή γy + δ = 0 44..77..77..55 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν yy άάξξοονναα x = β ή γx + δ = 0 44..77..77..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη xx άάξξοονναα y = 0 44..77..77..77 ΕΕξξίίσσωωσσηη yy άάξξοονναα x = 0 x y Α(x1,y1) Ο x2x1 Β(x2,y2) θ y1 y2 x y α β Ο
  • 25.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Ευθεία 25 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 25 44..77..88 ΑΑππόόσστταασσηη σσηημμεείίοουυ ααππόό εευυθθεείίαα Εστω σημείο ΢(xο, yο) και ευθεία Αx+Βy+Γ=0. Η απόσταση d του σημείου από την ευθεία είναι: d= o o 2 2 Ax By Γ Α Β     όπου το πρόσημο επιλέγεται ώστε d>0 44..77..99 ΓΓωωννίίαα θθ μμεεττααξξύύ εευυθθεειιώώνν μμεε κκλλίίσσεειιςς λλ11 κκααιι λλ22 1 2 1 2 λ λ εφθ 1 λ λ    44..77..1100 ΕΕυυθθεείίεεςς κκάάθθεεττεεςς –– ΕΕυυθθεείίεεςς ππααρράάλλλληηλλεεςς Από τον προηγούμενο τύπο: Αν λ1 = λ2 οι ευθείες είναι παράλληλες Αν λ1λ2 = - 1 οι ευθείες είναι κάθετες
  • 26.
    26 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Κύκλος Μαθηματικό Συπολόγιο 26 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.8 Κύκλος 44..88..11 ΟΟρριισσμμόόςς Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δεδομένο ση- μείο. Αν το σημείο είναι το Ο(xο, yο) και η απόσταση είναι ρ ονομάζουμε τον κύκλο (Ο, ρ). 44..88..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ Αν το κέντρο του κύκλου Ο είναι στο σημείο (xο, yο) και η ακτίνα του είναι ρ τότε η εξίσωσή του είναι (x-xο)²+(y-yο)²=ρ² Αν το κέντρο του είναι στην αρχή των αξόνων τότε x²+y²=ρ² 44..88..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ σσεε πποολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγμμέέννεεςς Αν ρ, θ οι πολικές συντεταγμένες ενός σημείου του κύκλου και ρο, θο οι πολικές συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου με ακτίνα R τότε: ρ² - 2ρροσυν(θ - θο) + ρο² = R² 44..88..44 ΠΠααρρααμμεεττρριικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς κκύύκκλλοουυ x=Rσυνt + xο y=Rημt + yo 44..88..55 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό 33 σσηημμεείίαα Έστω Α(x1, y1), Β(x2, y2), Γ(x3, y3) τα τρία σημεία τότε η εξίσωσή του δίνεται από την ορίζουσα: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x y x y 1 x y x y 1 0 x y x y 1 x y x y 1      44..88..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς κκύύκκλλοουυ σσττοο σσηημμεείίοο ((xx11,, yy11)) Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η (x-xο)²+(y-yο)²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας του στο σημείο (x1,y1) είναι: (x-xο)(x1-xο)+(y-yο)(y1-yο)=ρ² Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η x²+y²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: xx1+yy1=ρ² 44..88..77 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττόόμμεεννηη σσεε κκύύκκλλοο Δεδομένου κύκλου (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και ευθείας y = λx + β (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στον κύκλο είναι ο μηδενισμός της διακρίνουσας Δ του της δευτεροβάθμιας που προκύπτει από το σύστημα των (1) και (2) δηλαδή (-λxο + yο - β)² = ρ²(1 + λ²) 44..88..88 ΕΕφφααππττόόμμεεννηη σσεε κκύύκκλλοο ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς κκύύκκλλοουυ Έστω ο κύκλος (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και το σημείο ΢(x1, y1). Σότε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο ΢ είναι η (y – y1)=λ(x – x1). Οπότε: Ή θέτουμε την απόσταση του κέντρου Κ(xο, yο) και της ευθείας (y – y1)=λ(x – x1) ίση με την ακτίνα ρ (α- πόσταση σημείου από ευθεία 4.7.6) Ή εφαρμόζουμε τη μέθοδο του 4.8.7 Ο(xο,yο) ρ x y
  • 27.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Η παραβολή 27 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 27 4.9 Η παραβολή 44..99..11 ΟΟρριισσμμόόςς Παραβολή (parabola) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία δ και ένα σταθερό σημείο Ε (εκτός ευθείας). Η ευθεία δ ονομάζεται διευθετούσα (directrix) και το σημείο Ε ονομάζεται εστία (focus) της παραβολής. Αν φέρουμε το κάθετο τμήμα ΕΑ από την εστία Ε στην διευθετούσα δ και προεκτείνουμε έχουμε τον άξονα (axis) της παραβολής. Σο σημείο Κ στο οποίο τέμνο- νται η παραβολή και ο άξονάς της ονομάζεται κορυφή (vertex) της παραβολής. 44..99..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ππααρρααββοολλήήςς Μία παραβολή με κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονα τον x΄x έχει εξίσωση y² = 2px όπου p=σταθερά  που ονομάζεται παράμετρος της παραβολής. Η απόλυτη τιμή του p παριστάνει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα ευθεία. (Η απόσταση κορυφής – εστίας είναι |p|/2) Αν η κορυφή είναι στο σημείο Α(xο, yο) και ο άξονάς της παράλληλος στον x΄x άξονα, τότε η εξίσωση γίνε- ται: (y - yο)² = 2p(x - xο) 44..99..33 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ππααρρααββοολλήήςς Έστω η παραβολή (y - yο)² = 2p(x - xο) με κορυφή στο Α(xο, yο) και άξονα παράλληλο στον x΄x. Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί και ως εξής: x = αy² + βy + γ Σότε: Η κορυφή έχει συντεταγμένες: xυ = 2 β 4αγ 4α   και yο = β 2α  Ο άξονας συμμετρίας έχει εξίσωση: y = β 2α  Η εστία έχει συντεταγμένες: xε = 2 β 4αγ1 4α 4α   και yε = β 2α  Η διευθετούσα έχει εξίσωση: x = - 2 β 4αγ1 4α 4α   Εάν α>0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον θετικό ημιάξονα των x Εάν α<0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον αρνητικό ημιάξονα των x Για παραβολή με άξονα συμμετρίας τον yy΄ αλλάζουμε το x με το y στις παραπάνω σχέσεις. Ε δ y x x=-p/2 (p/2, 0) Παραβολή με p>0 Ε δ y x x=-p/2 (p/2, 0) Παραβολή με p<0 ΢ ΕΚΑ Κ δ Κ
  • 28.
    28 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Η παραβολή Μαθηματικό Συπολόγιο 28 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 44..99..44 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ππααρρααββοολλήήςς Αν η εστία και η αρχή των αξόνων συμπίπτουν τότε η εξίσωση της παραβολής σε πολικές συντεταγμένες εί- ναι: p ρ 1 συνθ   Για παραβολές με άξονα παράλληλο στον y΄y άξονα εναλλάσσουμε τα x με y ή αντικαθιστούμε το θ με π θ 2  . 44..99..55 ΢΢χχεεττιικκέέςς θθέέσσεειιςς σσηημμεείίοουυ κκααιι ππααρρααββοολλήήςς Αν ΢(x1, y1) σημείο και παραβολή y² = 2px τότε αν y1² > 2px1 το σημείο είναι εκτός παραβολής y1² = 2px1 το σημείο είναι πάνω στην παραβολή y1² < 2px1 το σημείο είναι εντός παραβολής 44..99..66 ΕΕφφααππττοομμέέννηη σσεε σσηημμεείίοο ππααρρααββοολλήήςς Η εφαπτομένη της παραβολής y²=2px στο σημείο ΢(x1, y1) είναι yy1 = p(x + x1) Ισχύει ακόμα: Μία ευθεία που τέμνει σε ένα σημείο την παραβολή και δεν είναι παράλληλη στον άξονά της είναι εφαπτόμενη της παραβολής. 44..99..77 ΚΚάάθθεεττηη σσεε σσηημμεείίοο ππααρρααββοολλήήςς Η κάθετη της παραβολής y² = 2px στο σημείο ΢(x1, y1) είναι o o o y y y (x x ) p     44..99..88 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττόόμμεεννηη σσεε ππααρρααββοολλήή Ισχύει το ανάλογο της 4.8.7, δηλαδή ο μηδενισμός της διακρίνουσας του τριωνύμου που προκύπτει από το σύστημα των δύο εξισώσεων y=λx+β και y²=2px. Η διακρίνουσα δίνει τη συνθήκη p – 2λβ = 0 44..99..99 ΕΕφφααππττόόμμεεννηη ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς ππααρρααββοολλήήςς Έστω η παραβολή y²=2px και το σημείο ΢(x1, y1). Σότε η γενική εξίσωση της ευθείας που διέχεται από το ΢ είναι (y – y1)=λ(x – x1)  y = λx + (y1 - λx1). Η εφαπτόμενη της παραβολής θα ικανοποιεί την συνθήκη 4.9.8 άρα έχουμε τη συνθήκη p – 2λ(y1 – λx1) =0 44..99..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ππααρρααββοολλήήςς Μία ακτίνα φωτός παράλληλη στον άξονα της παραβολής θα ανακλαστεί από την παραβολή και θα περάσει από την εστία της Ε. Μία ακτίνα που φεύγει από την εστία Ε ανακλάται και συνεχίζει παράλληλα στον άξονα της παραβολής. y x ε ΢(x1, y1) Εφαπτομένη Παραβολής y x ε ΢ φ φ Ε ζ Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής
  • 29.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Η παραβολή 29 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 29 Η κάθετος στην εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο ΢ διχοτομεί την γωνία ΕΖζ όπου η ΢ζ είναι πα- ράλληλη στον άξονα της παραβολής 44..99..1111 ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεμμββααδδόό χχωωρρίίοουυ ππααρρααββοολλήήςς x y -4 -2 0 2 6 8 10 -2 0 2 4 6 8 S Α Β Γ L Γ Σο μήκος του τόξου της παραβολής ΑΓΒ του σχήματος δίνεται από τον τύπο: τ = 2 2 2 2 2S S 4L S 16LS 16L ln 2 8L S         και το εμβαδό: Ε = 2 3 SL
  • 30.
    30 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Έλλειψη Μαθηματικό Συπολόγιο 30 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.10 Έλλειψη 44..1100..11 ΟΟρριισσμμόόςς Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων (μεγαλύτερο από ΕΕ΄) από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ του επιπέδου. Σα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ λέγονται εστίες της έλλειψης και η απόσταση ΕΕ΄ λέγεται εστιακή από- σταση. Αν ΢ σημείο της έλλειψης τότε: ΢υμβολίζουμε το σταθερό άθροισμα Ε΢+΢Ε΄ = 2α και την εστιακή απόσταση ΕΕ΄ με 2γ. (Πρέπει α>γ). Σην απόσταση ΒΒ‟ την συμβολίζουμε με 2β και ισχύει β²=α²-γ² Η απόσταση Α΄Α ονομάζεται μεγάλος ημιάξονας και έχει μήκος 2α, ενώ η απόσταση ´ ονομάζεται μικρός ημιάξονας της έλλειψης και έχει μήκος 2β. 44..1100..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη έέλλλλεειιψψηηςς Αν οι εστίες βρίσκονται στα σημεία Ε(-γ, 0) και Ε΄(γ, 0) τότε 2 2 2 2 x y 1 α β   , με β²=α²-γ² Αλλιώς αν το κέντρο Ο (το μέσο της εστιακής από- στασης Ε΄Ε) βρίσκεται στο (xο, yο) τότε: 2 2 o o 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     44..1100..33 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Αν το κέντρο Ο βρίσκεται στην αρχή των πολικών αξόνων και διαλέξουμε ως πολικό άξονα τον μεγάλο άξο- να της έλλειψης, τότε 2 2 2 2 2 2 2 α β ρ α ημ θ β συν θ   Αν η αρχή των αξόνων βρίσκεται σε μία εστία τότε 2 α(1 ε ) ρ 1 εσυνθ    με ε= 2 2 α βγ α α   η εκκεντρότητα της έλλειψης Αν η παραβολή έχει τον μεγάλο της ημιάξονα στον άξονα y τότε στις παραπάνω εξισώσεις αντικαθιστούμε το x με y (στο καρτεσιανό) ή αντικαθιστούμε το θ με π θ 2  (στις πολικές) 44..1100..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Ορίζουμε ε= 2 2 α βγ α α   και ισχύει ε<1, 2β 1 ε α   Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει την μορφή της έλλειψης: Όταν ε1 τότε το β είναι πολύ μικρό και η έλλειψη γίνεται επιμήκης x y 0 Ε΄ Ε 2γ 2α 2β Β΄ A΄ A B x y -5 Ε΄ 0 Ε 5 -4 4 ΢
  • 31.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Έλλειψη 31 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 31 Όταν ε0 τότε το βα και η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (για β=α έχουμε ε=0 και η έλλειψη γίνεται κύκλος) Ελλείψεις με την ίδια εκκεντρότητα ε ονομάζονται όμοιες 44..1100..55 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττοομμέέννηη σσεε έέλλλλεειιψψηη Δεδομένης της έλλειψης 2 2 2 2 x y 1 α β   (1) και της ευθείας y = λx + μ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στην έλλειψη είναι ο μηδενισμός της διακρίνουσας Δ του της δευτεροβάθμιας που προκύπτει από το σύστημα των (1) και (2) δηλαδή α²λ² + β² - μ² = 0 44..1100..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς σσεε σσηημμεείίοο ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς ΢το σημείο (x1,y1) της έλλειψης 2 2 2 2 x y 1 α β   η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 1 1 2 2 xx yy 1 α β   ΢το σημείο (x1,y1) της έλλειψης 2 2 o o 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 0 1 0 0 1 0 2 2 (x x )(x x ) (y y )(y y ) 1 α β       44..1100..77 ΕΕφφααππττοομμέέννηη ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς έέλλλλεειιψψηηςς Έστω σημείο (x1,y1) εκτός της έλλειψης 2 2 2 2 x y 1 α β   . Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο είναι: y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.10.5 άρα αφού μ=y1 – λx1 α²λ² + β² - (y1 – λx1)² = 0 44..1100..88 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκάάθθεεττηηςς σσεε έέλλλλεειιψψηη ΢το σημείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη 2 2 2 2 x y 1 α β   είναι: y – y1 = 2 1 2 1 α y β x (x – x1) ΢το σημείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη 2 2 o o 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     είναι: y – y1 = 2 1 0 2 1 0 α (y y ) β (x x )   (x – x1) 44..1100..99 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Η κάθετη στην εφαπτομένη σε ένα σημείο ΢ μίας έλλειψης διχο- τομεί την γωνία Ε΄΢Ε ή Μία φωτεινή ακτίνα που ξεκινά από την μία εστία ανακλάται από την έλλειψη και περνά και από την άλλη εστία. 44..1100..1100ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεμμββααδδόό έέλλλλεειιψψηηςς Μήκος τόξου S= π 2 2 2 22 0 14α 1 k ημ θdθ 2π (α β ) 2    με k= 2 2 α β α  Εμβαδό Α = παβ x y 0 ΕΕ΄ ΢
  • 32.
    32 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Τπερβολή Μαθηματικό Συπολόγιο 32 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.11 Τπερβολή 44..1111..11ΟΟρριισσμμοοίί Τπερβολή (Hyperbola) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημεί- ων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ (foci) είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄ Σα σημεία Ε και Ε΄ ονομάζονται εστίες (foci) της υπερβολής και η απόσταση ΕΕ΄ ονομάζεται εστιακή απόσταση. Αν Μ σημείο της υπερβολής τότε |ΜΕ – ΜΕ΄| = 2α = στα- θερή Ορίζουμε ΕΕ΄ = 2γ. Ισχύει γ>α>0. Σα σημεία που η εστιακή απόσταση τέμνει την υπερβολή λέ- γονται κορυφές της υπερβολής. Σο μέσο της εστιακής απόστασης λέγεται κέντρο της υπερβο- λής (και είναι κέντρο συμμετρίας) 44..1111..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ττηηςς υυππεερρββοολλήήςς Μία υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(γ, 0) και Ε΄(-γ, 0) και κέντρο την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση: 2 2 2 2 x y 1 α β   , όπου β² = γ² - α² Μία υπερβολή με κέντρο στο σημείο (x0, y0) και άξονες παράλληλους με τους άξονες x και y έχει εξίσωση: 2 2 0 0 2 2 (x x ) (y y ) 1 α β     Μία ισοσκελής (rectangular) υπερβολή έχει α=β και η εξίσωσή της γίνεται: x² - y² = α² Η απόσταση ΑΆ μήκους 2α λέγεται μεγάλος άξονας της υπερβολής και η απόσταση ´ μήκους 2β λέγεται μικρός άξονας της υπερβολής. ΢την ισοσκελή υπερβολή οι άξονες έχουν ίσα μήκη. Οι άξονες της υπερβολής είναι και άξονες συμμετρίας της υπερβολής. 44..1111..33 ΑΑσσύύμμππττωωττεεςς ττηηςς υυππεερρββοολλήήςς Για την υπερβολή με εξίσωση 2 2 2 2 x y 1 α β   οι ασύμπτωτες είναι οι ευθείες: β β y x και y x α α    44..1111..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα υυππεερρββοολλήήςς Ο λόγος της εστιακής απόσταση προς την απόσταση των κορυφών της υπερβολής λέγεται εκκεντρότητα της υπερ- βολής, δηλαδή: 2 2 α βγ ε 1 α α     44..1111..55 ΢΢υυζζυυγγεείίςς υυππεερρββοολλέέςς Οι υπερβολές 2 2 2 2 x y 1 α β   και 2 2 2 2 y x 1 β α   ονομάζονται συζυγείς υπερβολές και έχουν τις ίδιες ασύμπτωτες 44..1111..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς υυππεερρββοολλήήςς Αν 2 2 2 2 x y 1 α β   τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής στο τυχόν σημείο x1, y1 είναι: x y Ε΄ Ε ΢ 2γ 2α x y Ε΄ Ε Α΄ Α Β΄ Β
  • 33.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Τπερβολή 33 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 33 1 1 2 2 xx yy 1 α β   44..1111..77 ΢΢υυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι μμίίαα εευυθθεείίαα εεφφααππττόόμμεεννηη υυππεερρββοολλήήςς Δεδομένης της υπερβολής 2 2 2 2 x y 1 α β   (1) και της ευθείας y = λx + μ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στην υπερβολή είναι ο μηδενισμός της διακρίνουσας Δ του της δευτεροβάθμιας που προκύπτει από το σύστημα των (1) και (2) δηλαδή α²λ² - β² - μ² = 0 44..1111..88 ΕΕφφααππττόόμμεεννηη ααππόό σσηημμεείίοο εεκκττόόςς υυππεερρββοολλήήςς Έστω η υπερβολή 2 2 2 2 x y 1 α β   και το σημείο ΢(x1, y1). Η τυχαία ευθεία που περνάει από το σημείο ΢ είναι y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται αυτή στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.11.7 άρα αφού μ=y1 – λx1 α²λ² - β² - (y1 – λx1)² = 0 44..1111..99 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη υυππεερρββοολλήήςς Μία υπερβολή με το κέντρο της στην αρχή των αξόνων και τον μεγάλο άξονά της στον άξονα x΄x έχει εξί- σωση σε πολικές συντεταγμένες: 2 2 2 2 2 2 2 α β ρ β συν θ α ημ θ   Αν το κέντρο βρίσκεται στον άξονα Οx και η εστία Ε΄ βρίσκεται στο Ο τότε: 2 α(ε 1) ρ 1 εσυνθ    44..1111..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς υυππεερρββοολλήήςς Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο ΢ διχοτο- μεί την γωνία Ε΄΢Ε ή Μία ακτίνα που εκπέμπεται από την μία εστία Ε ανα- κλάται έτσι ώστε η προέκτασή της να διέρχεται από την άλλη εστία Ε΄ x y ΕΕ΄ ΢
  • 34.
    34 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Γενικά για τις κωνικές τομές Μαθηματικό Συπολόγιο 34 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 4.12 Γενικά για τις κωνικές τομές Ολες οι κωνικές τομές (εκτός της ευθείας) μπορούν να θεωρηθούν ως τομές ενός κώνου και ενός επιπέδου, (εξ‟ού και το όνομα κωνικές τομές, ή απολλώνιες τομές). Ο κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του. Η είναι η κλειστή τομή του κώνου με επίπεδο πλάγιο με τον άξονά του. Η παραβολή είναι τομή ενός κώνου με επίπεδο παράλληλο σε μία γενέτειρα του κώνου. Η υπερβολή είναι τομή του κώνου με ένα επίπεδο παράλληλο στον άξονά του. Ολες οι κωνικές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολη) μπορούν να θεωρηθούν ως γεωμετρικοί τόποι σημείων των οποίων ο λόγος της απόστασής του από σταθερό σημείο, που ονομάζεται εστία (focus), και της απόστασής του από ευθεία, που ονομάζεται διευθετούσα (directrix), είναι ίσος με μία σταθερά ε που ονομάζεται εκκεντρότητα. Αν η εστία της κωνικής επιλεχθεί στην αρχή ενός πολικού συστήματος συντεταγμένων (ρ,θ) τότε κ εδ ρ 1 εσυνθ 1 εσυνθ     όπου κ = ΟΚ και δ = ΟΜ = απόσταση εστίας – διευθετούσας Ο y x εστία δ Κ Μ κ διευθετούσα Η κωνική είναι: έλλειψη αν ε<1 παραβολή αν ε=1 υπερβολή αν ε>1
  • 35.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΑναλυτικήΓεωμετρία στο επίπεδο - Καμπύλες δευτέρου βαθμού 35 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 35 4.13 Καμπύλες δευτέρου βαθμού 44..1133..11 ΟΟρριισσμμόόςς Καμπύλη 2ου βαθμού είναι η εξίσωση (x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2Δx+2Εy+Ζ = 0 Κάθε κωνική τομή μπορεί να παρασταθεί από μία εξίσωση 2ου βαθμού. 44..1133..22 ΔΔιιεερρεεύύννηησσηη Εστω ότι μετασχηματίζουμε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων xΟy σε κάποιο άλλο xΌ΄y΄ και η κα- μπύλη 2ου βαθμού γίνεται από Αx²+Βxy+Γy²+2Δx+2Εy+Ζ = 0 που ήταν σε Α΄x²+Β΄xy+Γ΄y²+2Δ΄x+2Ε΄y+Ζ΄ = 0. Αποδεικνύεται ότι είναι αναλλοίωτα τα μεγέθη: A B Δ A B Δ D B Γ Ε B Γ Ε D Δ Ε Ζ Δ Ε Ζ             A B A B d d Β Γ Β Γ    S = A + Γ = Α΄ + Γ΄ = S΄ Επίσης ορίζουμε Q=Δ²-ΑΖ Ισχύει ο παρακάτω πίνακας διερευνήσεως: α/α d D DS Q Διάφορα Περιγραφή καμπύλης 1 (κ) - - - - Α=Γ Β=0 Κύκλος 2 (ε) >0 ≠0 <0 - - Πραγματική έλλειψη >0 - - Υανταστική έλλειψη =0 - - - Ζεύγος φανταστικών ευθειών 3 (υ) <0 ≠0 - - - Κανονική υπερβολή =0 - - - Ζεύγος τεμνόμενων ευθειών 4 (π) =0 ≠0 - - - κανονική παραβολή =0 - <0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (διακεκριμ.) =0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (ταυτιζομένων) >0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (φανταστικών) 44..1133..33 ΜΜεεττααττρροοππήή σσεε κκααννοοννιικκήή μμοορρφφήή Η γενική εξίσωση (x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2Δx+2Εy+Ζ = 0 μπορεί να μετατραπεί σε μία απλούστερη μορφή αλλάζοντας το σύστημα συντεταγμένων σε καποιο άλλο x΄Ο΄y΄ έτσι ώστε το κέντρο της καμπύλης (πλην παραβολής που δεν έχει κέντρο) να ταυτίζεται με το Ο΄ και ο άξονας x΄ να ταυτίζεται με ένα άξονα της καμπύλης. 44..1133..33..11 ΓΓιιαα κκύύκκλλοο,, έέλλλλεειιψψηη,, υυππεερρββοολλήή:: Σο κέντρο (xο, yο) της καμπύλης βρίσκεται επιλύνοντας το σύστημα o o o o x x x x Β Δ ƒ Γ Ε0 xx d Δ Αƒ 0 Ε Βy y d                   Σο σύστημα έχει στραφεί κατά γωνία φ με 1 2Β φ τοξεφ 2 Α Γ   , με τον περιορισμό Βημ2φ>0
  • 36.
    36 Αναλυτική Γεωμετρίαστο επίπεδο - Καμπύλες δευτέρου βαθμού Μαθηματικό Συπολόγιο 36 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Ο συντελεστής διεύθυνσης του Ο΄x΄ είναι λΟ΄x΄ 2 2 (A Γ) (Α Γ) 4Β 2Β       και του άξονα Ο΄y΄ είναι λΟ΄y΄=-1/λΟ΄x΄ Η εξίσωση της καμπύλης στο νέο σύστημα συντεταγμένων είναι 2 2 D A x Γ y 0 d       όπου Α΄ και Γ΄ είναι οι ρίζες της εξίσωσης z²-Sz+d = 0 δηλαδή: 2 2 A Γ (Α Γ) 4Β A 2       και 2 2 A Γ (Α Γ) 4Β Γ 2       44..1133..33..22 ΓΓιιαα ππααρρααββοολλήή Για την παραβολή που δεν έχει κέντρο η εξίσωσή της στο νέο σύστημα συντεταγμένων είναι y΄²=2ρ΄x΄ όπου 2 2 ΑΕ ΒΔ ρ S A B     Οι συντεταγμένες του νέου συστήματος συντεταγμένων (xο,yο) του νέου συστήματος που είναι και η κορυφή της παραβολής είναι η λύση του συστήματος: o o o o ASx BSy (AΔ ΒΕ) 0 (ΔS ΔΓ ΒΕ)x (ES AE ΒΔ)y ZS 0               και η γωνία στροφής των αξόνων δίνεται από την σχέση Α φ τοξεφ Β       
  • 37.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτικήγεωμετρία στον χώρο - ΢υστήματα συντεταγμένων 37 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 37 5 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο 5.1 ΢υστήματα συντεταγμένων 55..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Φρησιμοποιεί 3 άξονες, x, y, και z με κοινή αρχή Ο. Τπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του χώρου και των τριάδων (x, y, z) όπου x, y, z  55..11..22 ΚΚυυλλιιννδδρριικκόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Η θέση του σημείου Α ορίζεται από το μέτρο του διανύσματος ρ του επιπέδου xy, τη γωνία φ (0φ<2π) που σχηματίζεται με τον άξονα Οx και την συντεταγμένη z Για την μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό ισχύει: 2 2 ρ x y x=ρσυνφ y y xy=ρημφ και φ τοξεφα τοξημ τοξσυν x ρ ρ z=z z z                55..11..33 ΢΢φφααιιρριικκόό σσύύσσττηημμαα σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Η θέση του σημείου Α ορίζεται από το μέτρο του διανύσματος r του χώρου, τη γωνία φ (0φ<2π) που σχηματίζει η προβολή του r στο xy επίπεδο με τον άξονα Οx τη γωνία θ (0θ<π) που σχηματίζει το r με τον άξονα Οz Για την μετατροπή από καρτεσιανό σε σφαιρικό ισχύει: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ x y z x=rημθσυνφ y y xy=rημθημφ φ τοξεφα τοξημ τοξσυν x x y x y z=rσυνθ x yzz τοξσυν τοξεφ r z                     55..11..44 ΠΠααρράάλλλληηλληη μμεεττααφφοορράά σσυυσσττήήμμααττοοςς σσυυννττεεττααγγμμέέννωωνν Για να μεταβούμε από το σύστημα Οxyz στο σύστημα Ο΄x΄y΄z΄ το οποίο έχει παράλληλους άξονες με το αρχικό και το σημείο Ο΄ έχει συντεταγμένες (α, β, γ) σε σχέση με το αρχικό: x΄ = x – α y΄ = y – β z΄ = z – γ x z Ο y1 Α(x1,y1,z1) z1 x1 y x z Ο y1 Α(r, φ, θ) z1 r x1 y Α‟ φ θ x z Ο Α(ρ, φ, z) z1 ρ y Α‟ φ
  • 38.
    38 Αναλυτική γεωμετρίαστον χώρο - Απόσταση δύο σημείων Μαθηματικό Συπολόγιο 38 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 5.2 Απόσταση δύο σημείων Η απόσταση των σημείων Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) είναι: 2 2 2 AB 2 1 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )      5.3 ΢ημείο που διαιρεί τμήμα σε λόγο λ Αν Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) δύο σημείων και Κ(xο, yο, zο) ένα σημείο τέτοιο ώστε AK KB =λ τότε οι συντε- ταγμένες του Κ είναι: 1 2 0 x λx x 1 λ    , 1 2 0 y λy y 1 λ    , 1 2 0 z λz z 1 λ    Αν λ>0 το Μ είναι εντός του ΑΒ Αν λ<0 το Μ είναι έξω από το ΑΒ Αν λ=1 το Μ είναι το μέσο του ΑΒ 5.4 Εμβαδό τριγώνου Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σημεία του χώρου τότε το εμβαδό του τριγώνου σπου σχη- ματίζουν δίνεται από τον τύπο: 2 2 2 1 2 3 1 A A A A 2    όπου 1 1 1 2 2 3 3 x y 1 A x y 1 x y 1  , 1 1 2 2 2 3 3 y z 1 A y z 1 y z 1  και 1 1 2 2 2 3 3 z x 1 A z x 1 z x 1  5.5 Όγκος τετραέδρου Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2), Γ(x3, y3, z3) και Δ(x4, y4, z4) είναι οι κορυφές τετραέδρου τότε ο όγκος του δίνε- ται από τη σχέση: 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 x x y y z z 1 V x x y y z z 6 x x y y z z          
  • 39.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτικήγεωμετρία στον χώρο - Επίπεδα 39 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 39 5.6 Επίπεδα 55..66..11 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ ΢ε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: Αx + Βy + Γz + Δ = 0 Σέμνει τους άξονες στα σημεία x=-Δ/Α, y=-Δ/Β, z=-Δ/Γ 55..66..22 ΕΕιιδδιικκάά εεππίίππεεδδαα ΕΕππίίππεεδδοο ΣΣιιμμήή σσττααθθεερρώώνν ΕΕξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ Διέρχεται από την αρχή Δ = 0 Αx + Βy + Γz = 0  στο Οxy επίπεδο Γ = 0 Αx + Βy + Δ = 0  στο Οxz Β = 0 Αx + Γy + Δ = 0  στο Οyz Α = 0 Βy + Γz + Δ = 0  στο Οxy Α = Β = 0 Γz + Δ = 0  στο Οxz Α = Γ = 0 Βy + Δ = 0  στο yz Β = Γ = 0 Αx + Δ = 0 περιέχει τον x άξονα Α = Δ = 0 Βy + Γz = 0 περιέχει τον y άξονα Β = Δ = 0 Αx + Γz = 0 περιέχει τον z άξονα Γ = Δ = 0 Αx + Βy = 0 το επίπεδο Οxy Α = Β = Δ = 0 z = 0 το επίπεδο Οyz Β = Γ = Δ = 0 x = 0 το επίπεδο Οxz Α = Γ = Δ = 0 y = 0 55..66..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ πποουυ ττέέμμννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς Αν το επίπεδο τέμνει τους άξονες στα σημεία α, β, γ τότε η εξίσωσή του είναι: yx z 0 α β γ    55..66..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεππιιππέέδδοουυ πποουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααππόό 33 σσηημμεείίαα Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σημεία του χώρου τότε ορίζουν το επίπεδο: 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 x x y y z z x x y y z z 0 x x y y z z           55..66..55 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εεππιιππέέδδωωνν Για τα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + Δ1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + Δ2 = 0 η γωνία τους είναι: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Α Α Β Β Γ Γ συνθ (Α Β Γ )(Α Β Γ )       
  • 40.
    40 Αναλυτική γεωμετρίαστον χώρο - Επίπεδα Μαθηματικό Συπολόγιο 40 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 55..66..66 ΑΑππόόσστταασσηη εεππιιππέέδδοουυ ααππόό ττηηνν ααρρχχήή ΟΟ Για το επίπεδο Αx + Βy + Γz + Δ = 0 η απόστασή του από την αρχή των αξόνων είναι: 2 2 2 Δ d Α Β Γ    55..66..77 ΑΑππόόσστταασσηη σσηημμεείίοουυ ααππόό εεππίίππεεδδοο Για το επίπεδο Αx + Βy + Γz + Δ = 0 η απόστασή του από το σημείο (xο, yο, zο) είναι: 0 0 0 2 2 2 Αx Bx Γx Δ d Α Β Γ       55..66..88 ΢΢υυννθθήήκκηη ππααρρααλλλληηλλίίααςς εεππιιππέέδδωωνν Σα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + Δ1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + Δ2 = 0 είναι παράλληλα όταν η γωνία τους θ=0 άρα όταν 1 1 1 2 2 2 Α Β Γ Α Β Γ   55..66..99 ΢΢υυννθθήήκκηη κκααθθεεττόόττηηττααςς εεππιιππέέδδωωνν Σα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + Δ1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + Δ2 = 0 είναι κάθετα όταν η γωνία τους θ=90ο άρα όταν Α1Α2 + Β1Β2 + Γ1Γ2 = 0
  • 41.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτικήγεωμετρία στον χώρο - Ευθείες στον χώρο 41 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 41 5.7 Ευθείες στον χώρο 55..77..11 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς σσττοονν χχώώρροο Μία ευθεία στον χώρο μπορεί να θεωρηθεί πάντα ως τομή δύο επιπέδων (μη-παράλληλων) άρα η εξίσωσή της είναι η λύση του συστήματος: 1 1 1 1 2 2 2 2 Α x Β y Γ z Δ 0 Α x Β y Γ z Δ 0          Μία ευθεία γραμμή στον χώρο μπορεί να περιγραφεί από τις προβολές της στα επίπεδα Οxy και Οxz: 1 1 2 2 y λ x β z λ x β      55..77..22 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς ΕΕυυθθεείίαα ΕΕξξίίσσωωσσηη Διέρχεται από την αρχή 1 2 y λ x z λ x     στον x άξονα 1 2 y β z β     στον y άξονα 1 2 x β z β     στον z άξονα 1 2 x β y β     στο επίπεδο Οxy 1 1 2 y λ x β z β      στο επίπεδο Οxz 1 1 2 z λ x β y β      στο επίπεδο Οyz 1 1 2 z λ x β x β     x άξονας y 0 z 0    y άξονας x 0 z 0    z άξονας x 0 y 0    55..77..33 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εευυθθεειιώώνν Αν δίνονται οι ευθείες 1 1 2 2 y λ x β (1) z λ x β      και 1 1 2 2 y μ x γ z μ x γ      τότε η γωνία τους θ είναι: 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 λ μ λ μ συνθ (1 λ λ )(1 μ μ )        με 0θ<2π
  • 42.
    42 Αναλυτική γεωμετρίαστον χώρο - Ευθείες στον χώρο Μαθηματικό Συπολόγιο 42 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 55..77..44 ΢΢υυννθθήήκκηη ππααρρααλλλληηλλίίααςς Οι προηγούμενες ευθείες είναι παράλληλες αν θ=0  συνθ=1 ή λ1=μ1 και λ2=μ2 55..77..55 ΢΢υυννθθήήκκηη κκααθθεεττόόττηηττααςς Οι προηγούμενες ευθείες είναι κάθετες αν θ=90  συνθ=0 ή 1 + λ1μ1 + λ2μ2 = 0
  • 43.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Αναλυτικήγεωμετρία στον χώρο - Μερικές Επιφάνειες 43 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 43 5.8 Μερικές Επιφάνειες 55..88..11 ΢΢φφααίίρραα ΢φαίρα με κέντρο το σημείο Κ(xο, yο, zο) και ακτίνα r έχει εξίσωση: (x – xο)² + (y – yο)² + (z – zο)² = 0 55..88..22 ΕΕλλλλεειιψψοοεειιδδέέςς Με κέντρο στην αρχή των αξόνων και ημιάξονες α, β και γ: 22 2 2 2 2 yx z 1 α β γ    Με κέντρο το σημείο Κ(xο, yο, zο): 2 2 2 o o o 2 2 2 (x x ) (y y ) (z z ) 1 α β γ       55..88..33 ΤΤππεερρββοολλοοεειιδδέέςς Ενός φύλου: 22 2 2 2 2 yx z 1 α β γ    x z Ο y α β x z Ο y α β γ x z Ο y Κ(xο,yο,zο)
  • 44.
    44 Αναλυτική γεωμετρίαστον χώρο - Μερικές Επιφάνειες Μαθηματικό Συπολόγιο 44 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Τπερβολοειδές δύο φύλων: 22 2 2 2 2 yx z 1 α β γ     55..88..44 ΠΠααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 55..88..44..11 ΕΕλλλλεειιππττιικκόό ππααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 22 2 2 yx z γα β   55..88..44..22 ΥΥππεερρββοολλιικκόό ππααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 22 2 2 yx z γα β   x z Ο y x z Ο y α β γ x z Ο y
  • 45.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Γραμμικήάλγεβρα - Πίνακες 45 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 45 6 Γραμμική άλγεβρα 6.1 Πίνακες 66..11..11 ΟΟρριισσμμοοίί Πίνακας είναι μία ομαδοποίηση νμ αριθμών σε ν γραμμές και μ στήλες 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 ή 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 Οι αριθμοί αναφέρονται ως στοιχεία του πίνακα. Σο στοιχείο της i γραμμής και της j στήλης αναφέρεται ως αij. Ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός όταν ν = μ. Κύρια διαγώνιος του πίνακα είναι η διαγώνιος από το πάνω αριστερό μέχρι το κάτω δεξιά στοιχείο, δηλαδή η σειρά α11, α22, …, ανν Ο τριγωνικός πίνακας έχει μηδενικά κάτω (ή πάνω) από την κύρια διαγώνιό του. 11 11 νν ν ν α ... ... ... 0 α ... ... 0 0 ... 0 0 0 α              Ο διαγώνιος πίνακας έχει παντού μηδενικά εκτός από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του. Ανάστροφος ενός πίνακα είναι ο πίνακας που έχει γραμμές τις στήλες του άλλου πίνακα. ΢υμβολίζεται με Αt ή t A όπου t από το transpose. ΢υμμετρικός είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του ή αij=αji Αντισυμμετρικός είναι ο πίνακας για τον οποίο ισχύει αij= - αji Αντίστροφος ενός πίνακα Α(νν) είναι ο πίνακας που συμβολίζεται με Α-1 τέτοιος ώστε: ΑΑ-1 =Α-1 Α=Ι. Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. Ερμητιανός είναι ένας μιγαδικός πίνακας αν είναι ίσος με τον ανάστροφο του συζυγού του ή αν Α=  t A Χαρακτηριστικές τιμές (ιδιοτιμές) και χαρακτηριστικά διανύσματα (ιδιοδιανύσματα) ενός πίνακα Α είναι οι αριθ- μοί λ και οι πίνακες στήλες Φ τέτοιοι ώστε να ισχύει: ΑΦ=λΙ. Ένας ερμητιανός πίνακας έχει πραγματικές ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Ένας εναδικός πίνακας (unitary) U έχει στήλες που είναι ορθοκανονικοί πίνακες. Σότε U  t U =I, δηλαδή ο ανάστροφος του συζυγού του είναι ο αντίστροφός του. Ένας εναδικός πίνακας με στοιχεία πραγματικούς είναι ορθογώνιος δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ο αντί- στροφός του, Α Αt = Ι 66..11..22 ΠΠρράάξξεειιςς ππιιννάάκκωωνν Πρόσθεση και αφαίρεση ορίζονται μόνο για πίνακες ίδιας διάστασης νμ Πρόσθεση: 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 + 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ β β β ...... β β β β ...... β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... β β β ...... β                 = 11 11 12 12 13 13 1μ 1μ 21 21 22 22 23 23 2μ 2μ ν1 ν1 ν2 ν2 ν3 ν3 νμ νμ α β α β α β ...... α β α β α β α β ...... α β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α β α β α β ...... α β                         και αφαίρεση:
  • 46.
    46 Γραμμική άλγεβρα- Ορίζουσες Μαθηματικό Συπολόγιο 46 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ α α α ...... α α α α ...... α ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α α α ...... α                 - 11 12 13 1μ 21 22 23 2μ ν1 ν2 ν3 νμ β β β ...... β β β β ...... β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... β β β ...... β                 = 11 11 12 12 13 13 1μ 1μ 21 21 22 22 23 23 2μ 2μ ν1 ν1 ν2 ν2 ν3 ν3 νμ νμ α β α β α β ...... α β α β α β α β ...... α β ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... α β α β α β ...... α β                         Ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίζεται μόνο για πίνακες στους οποίους ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Δηλαδή για πίνακες της μορφής νμ και μλ. Σο αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας νλ και το στοιχείο της i γραμμής και της j στήλης γij ισούται με: γij = αi1β1j + αi2β2j + αi3β3j + … + αiμβμj ΢χηματικά: i1 i2 iμ ν μ ... ... ... ... ... ... ... ... α α ... α ... ... ... ...               . 1j 2j μj μ λ ... β ... ... β ... ... ... ... ... β ...               = ij ν λ ... ... ... ... ... ... ... ... ... γ ... ... ... ... ... ...              Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός: ΑΒΒΑ. Επίσης, αν ΑΒ=Ο, όπου Ο ο μηδενικός πίνακας κατάλληλης διάστασης, τότε δεν ισχύει κατ‟ ανάγκη Α = Ο ή Β = Ο Ο πίνακας Ι4= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             ονομάζεται μοναδιαίος διάστασης 4. Αντίστοιχα ορίζεται ο μοναδιαίος Ιν Ισχύει: ΑΙ = ΙΑ = Α για κάθε πίνακα Α διάστασης μν και κάθε μοναδιαίο Ι διάστασης νν 6.2 Ορίζουσες Η ορίζουσα determinant ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένας αριθμός. Για ένα πίνακα 22 ορίζεται ως ε- ξής: Αν Α= α β γ δ       τότε: detA = α β γ δ = αδ – βγ 66..22..11 ΑΑλλγγεεββρριικκόό σσυυμμππλλήήρρωωμμαα Σο αλγεβρικό συμπλήρωμα (algebraic complement) Ακλ μίας ορίζουσας (νν) είναι η ορίζουσα (ν-1)(ν-1) που προκύπτει αν διαγράψουμε το στοιχείο ακλ μαζί με την στήλη και την γραμμή του, και πολλαπλασιάσου- με με το (-1)κ+λ Αν detA= 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 α α α α α α α α α α α α α α α α τότε: Α11=(-1)1+1 22 23 24 32 33 34 42 43 44 α α α α α α α α α =+ 22 23 24 32 33 34 42 43 44 α α α α α α α α α και Α34=(-1)3+4 11 12 13 21 22 23 41 42 43 α α α α α α α α α = - 11 12 13 21 22 23 41 42 43 α α α α α α α α α 66..22..22 ΟΟρρίίζζοουυσσαα οοπποοιιαασσδδήήπποοττεε ττάάξξηηςς Με τη βοήθεια των αλγεβρικών συμπληρωμάτων βρίσκουμε την ορίζουσα οποιασδήποτε τάξης αναπτύσσο- ντας προς κάποια γραμμή ή στήλη:
  • 47.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Γραμμικήάλγεβρα - Γραμμικά συστήματα 47 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 47 detA = α11Α11 + α12Α12 + … + α1νΑ1ν Με τον τρόπο αυτό ο υπολογισμός μίας ορίζουσας ν τάξης μετατρέπεται σε υπολογισμό ν οριζουσών (ν-1) τάξης! Ειδικά για την περίπτωση ν=3 υπάρχει και ο κανόνας του Sarrus: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 α α α α α α α α α α α α α α α       = α11α22α33+α12α23α31+α13α21α32 – α31α22α13 – α32α23α11 – α33α21α12 όπου πολλαπλασιάζουμε διαγώνια προς τα κάτω με πρόσημο + και διαγώνια προς τα πάνω με πρόσημο – 66..22..33 ΙΙδδιιόόττηηττεεςς οορριιζζοουυσσώώνν det(AB) = detA detB Η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει αν εναλλάξουμε τις γραμμές σε στήλες Αν οι τιμές δύο γραμμών είναι ίσες ή ανάλογες, ή μία γραμμή είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων γραμμών η ορίζουσα είναι μηδέν. Η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει αν σε μία γραμμή προσθέσουμε μία άλλη γραμμή ή ένα γραμμι- κό συνδυασμό γραμμών Σα παραπάνω ισχύουν και για τις στήλες 6.3 Γραμμικά συστήματα Ένα σύστημα ν εξισώσεων με ν αγνώστους λέγεται γραμμικό όταν είναι της μορφής: 11 1 12 2 1ν ν 1 21 1 22 2 2ν ν 2 ν1 1 ν2 2 νν ν ν α x α x ... α x β α x α x ... α x β ............................................. α x α x ... α x β                 Σο σύστημα αυτό λύνεται με πολλούς τρόπους. 66..33..11 ΜΜέέθθοοδδοοςς ττοουυ CCrraammeerr Θεωρούμε την ορίζουσα των συντελεστών D: 11 12 1ν 21 22 2ν ν1 ν2 νν α α ... α α α ... α D α α ... α  και τις ορίζουσες Dx1, Dx2, Dx3, … όπου στην Dx1 έχουμε αντικαταστήσει στην D την στήλη των συντελε- στών του x1 με την στήλη των ελεύθερων όρων: 1 1 12 1ν 2 22 2ν x ν ν2 νν β α ... α β α ... α D β α ... α  , 2 11 1 1ν 21 2 2ν x ν1 ν νν α β ... α α β ... α D α β ... α  , … Αν D0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση: 1x 1 D x D  , 2x 2 D x D  , 3x 3 D x D  , … Αν D = 0 τότε αν Dx1 = Dx2 = Dx3= …= 0 το σύστημα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Αν D = 0 και μία από τις ορίζουσες Dx1, Dx2, Dx3, … είναι διάφορη του μηδενός τότε το σύστημα δεν έχει λύση ( είναι αδύνατο).
  • 48.
    48 Γραμμική άλγεβρα- Γραμμικά συστήματα Μαθηματικό Συπολόγιο 48 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 66..33..22 ΜΜέέθθοοδδοοςς ττοουυ GGaauussss Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος δηλαδή τον πίνακα που περιέχει και την στήλη των στα- θερών όρων. 11 12 1ν 1 21 22 2ν 2 ν1 ν2 νν ν α α ... α β α α ... α β α α ... α β             ΢κοπός μας είναι να μετατρέψουμε τον πίνακα αυτόν σε τριγωνικό (στο πρώτο μέρος του)… 11 12 1ν 1 22 2ν 2 νν ν α α ... α β 0 α ... α β 0 0 0 0 0 α β             …οπότε αυτό θα μας λύσει το πρόβλημα αφού θα αντιστοιχεί σε σύστημα της μορφής: 11 1 12 2 1ν ν 1 22 2 2ν ν 2 νν ν ν α x α x ... α x β α x ... α x β .................... α x β             που λύνεται εύκολα με αντικατάσταση. Η μετατροπή γίνεται με γραμμοπράξεις: Ο πίνακας δεν αλλάζει αν αντικαταστήσουμε μία γραμμή του με κά- ποιο γραμμικό συνδυασμό γραμμών ή πολλαπλασιάσουμε μία γραμμή με ένα αριθμό. Ένα ομογενές σύστημα έχει τις σταθερές του όλες ίσες με μηδέν βi=0, i=1,2,…,ν. Σο ομογενές σύστημα έχει ήδη την τετριμμένη λύση (0,0,0,…,0). Θα είναι αόριστο αν ισχύει D=0.
  • 49.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία- Ορισμοί 49 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 49 7 Τριγωνομετρία 7.1 Ορισμοί Σριγωνομετρικός αριθμός ΢τα αγγλικά Ορισμός ημίτονο ημx sinus sinx απέναντι κάθετος υποτείνουσα συνημίτονο συνx cosines cosx προσκείμενη κάθετος υποτείνουσα εφαπτομένη εφx tangent tanx απέναντι κάθετος προσκείμενη κάθετος συνεφαπτομένη σφx cotangent cotx προσκείμενη κάθετος απέναντι κάθετος τέμνουσα τεμx secant secx υποτείνουσα προσκείμενη κάθετος συντέμνουσα στεμx cosecant cscx υποτείνουσα απέναντι κάθετος Ορισμός τριγωνομετρικών αριθμών για φ>90 Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων xΟy και ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα ακτίνας ρ με κέντρο την αρχή, τότε μπορούμε να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για γωνίες φ>90. Θεωρούμε την γωνία που γράφει το διάνυσμα ακτίνας ρ από τον θετικό ημιάξονα Οx ως θετική όταν γίνεται με αντίθετη φορά από αυτή του ρολογιού και αρνητική όταν γίνεται σύμφωνα με τη φορά του ρολογιού. Σότε: ημφ=y/ρ, συνφ=x/ρ, εφφ=y/x, σφφ=x/y, τεμφ=ρ/x, στεμφ=ρ/y άξοναςημιτόνων άξονας συνημιτόνων0 1 1-1 -1 άξονας συνεφαπτομένης άξοναςεφαπτομένης σφθ συνθ ημθ εφθ θ Ο τριγωνομετρικός κύκλος
  • 50.
    50 Σριγωνομετρία -΢ημαντικές σχέσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 50 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Αν διαλέξουμε ρ=1 τότε έχουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο (όπως στο σχήμα) και οι ορισμοί απλοποιούνται σημαντικά. 7.2 ΢ημαντικές σχέσεις ημ2 θ+συν2 θ = 1 εφθ = ημθ συνθ σφθ = συνθ ημθ εφθσφθ=1 τεμθ= 1 συνθ στεμθ= 1 ημθ Περιοδικότητα Γωνίες που διαφέρουν π Γωνίες με άθροισμα π ημ(2kπ+θ)=ημθ συν(2kπ+θ)=συνθ εφ(kπ+θ)=εφθ σφ(kπ+θ)=σφθ ημ(π-θ)=ημθ συν(π-θ)=-συνθ εφ(π-θ)=-εφθ σφ(π-θ)=-σφθ ημ(π+θ)=-ημθ συν(π+θ)=-συνθ εφ(π+θ)=εφθ σφ(π+θ)=σφθ Γωνίες που διαφέρουν π/2 Γωνίες με άθροισμα π/2 Γωνίες αντίθετες ημ( π 2 -θ)=συνθ συν( π 2 -θ)=ημθ εφ( π 2 -θ)=σφθ σφ( π 2 -θ)=εφθ ημ( π 2 +θ)=συνθ συν( π 2 +θ)=-ημθ εφ( π 2 +θ)=-σφθ σφ( π 2 +θ)=-εφθ ημ(-θ)=-ημθ συν(-θ)=συνθ εφ(-θ)=-εφθ σφ(-θ)=-σφθ 7.3 Σριγωνομετρικοί αριθμοί κυριότερων γωνιών μοίρες 0 15 18 30 45 60 72 75 90 180 270 360 ακτίνια rad 0 π 12 π 10 π 6 π 4 π 3 2π 5 5π 12 π 2 π 3π 2 2π ημθ 0 6 2 4  5 1 4  1 2 2 2 3 2 10 2 5 4  6 2 4  1 0 -1 0 συνθ 1 6 2 4  10 2 5 4  3 2 2 2 1 2 5 1 4  6 2 4  0 -1 0 1 Εφθ 0 2 3 5 2 5 5  3 3 1 3 5 2 5 2 3 + 0 - 0 σφθ + 2 3 5 2 5 3 1 3 3 5 2 5 5  2 3 0 - 0 + 7.4 Σριγωνομετρικές εξισώσεις ημx=ημθ  x=2kπ+θ x=2kπ+π-θ εφx=εφθ  x=kπ+θ συνx=συνθ  x=2kπ±θ σφx=σφθ  x=kπ+θ
  • 51.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία- Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο 51 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 51 7.5 Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο Σριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος Σριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιου τόξου ημ(α±β)=ημασυνβ±συναημβ συν(α±β)=συνασυνβ ημαημβ εφ(α±β)= εφα εφβ 1 εφαεφβ  σφ(α±β)= σφασφβ 1 σφβ σφα ημ2α=2ημασυνα συν2α=συν2 α-ημ2 α =2συν2 α-1 =1-2ημ2 α εφ2α= 2 2εφα 1-εφ α σφ2α= 2 σφ α -1 2σφα Σριγ. αριθμοί τριπλάσιου τόξου Σριγ. αριθμοί μισού τόξου ημ3α=3ημα-4ημ3 α συν3α=4συν3 α-3συνα εφ3α= 3 2 3εφα -εφ α 1 3εφ α σφ3α= 3 2 σφ α-3σφα 3σφ α 1 α 1 συναημ 2 2   α 1 συνασυν 2 2   α 1 συναεφ 2 1 συνα    α 1 συνασφ 2 1 συνα    7.6 Σύποι αποτετραγωνισμού ημ2 α= 1 συν2α 2  εφ2 α= 1 συν2α 1 συν2α   συν2 α= 1 συν2α 2  σφ2 α= 1 συν2α 1 συν2α   7.7 Βασικές ανισότητες -1  ημx  1, -1  συνx  1, -  εφx  , -  σφx  , 7.8 Άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών ημα+ημβ=2ημ α β 2  συν α-β 2 ημα-ημβ=2συν α β 2  ημ α-β 2 συνα+συνβ=2συν α β 2  συν α-β 2 συνα-συνβ=2ημ α β 2  ημ α-β 2 εφα+εφβ= ημ(α β) συνασυνβ  εφα-εφβ= ημ(α β) συνασυνβ  σφα+σφβ= ημ(α β) ημαημβ  σφα-σφβ= ημ(α β) ημαημβ 
  • 52.
    52 Σριγωνομετρία -ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) Μαθηματικό Συπολόγιο 52 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 7.9 ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) ημα και συνα σαν ρητές συναρτήσεις της εφ(α/2) Γινόμενα (τύποι του Werner) ημα= 2 α 2εφ 2 α 1 εφ 2  συνα= 2 2 α 1 εφ 2 α 1 εφ 2   ημαημβ= 1 2 [συν(α-β)-συν(α+β)] ημασυνβ= 1 2 [ημ(α+β)+ημ(α-β)] συνασυνβ= 1 2 [συν(α+β)+συν(α-β)] α(2k+1)π, k 7.10 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο -φ 90±φ 180±φ 270±φ 360±φ 2κπ±φ ημ -ημφ συνφ ημφ -συνφ ±ημφ συν συνφ ημφ -συνφ ±ημφ συνφ εφ -εφφ σφφ ±εφφ σφφ ±εφφ σφ -σφφ εφφ ±σφφ εφφ ±σφφ τεμ τεμφ στεμφ -τεμφ ±στεμφ τεμφ στεμ -στεμφ τεμφ στεμφ -τεμφ ±στεμφ 7.11 Μετατροπές μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γνωστό  ημx συνx εφx σφx ημx ημx 2 1 ημ x  2 ημx 1 ημ x  2 1 ημ x ημx   συνx 2 1 συν x  συνx 2 1 συν x συνx   2 συνx 1 συν x  εφx 2 εφx 1 εφ x  2 1 1 εφ x  εφx 1 ημx σφx 2 1 1 σφ x  2 σφx 1 σφ x  1 σφx σφx 7.12 Δυνάμεις ημιτόνου, συνημιτόνου ημ²α= 1 2 (1 - συν2α) συν²α= 1 2 (1 + συν2α) ημ³α= 1 4 (3ημα - ημ3α) συν³α= 1 4 (3συνα + συν3α) 1 8 (συν4α – 4συν2α +3) 1 8 (συν4α + 4συν2α +3)
  • 53.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία- Σο άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο 53 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 53 1 16 (10ημα – 5ημ3α + ημ5α) 1 16 (10συνα + 5συν3α + συν5α) ημ6 α= 1 32 (10 – 15συν2α + 6συν4α –συν6α) συν6 α= 1 32 (10 + 15συν2α + 6συν4α –συν6α) 7.13 Σο άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο Για κάθε α, β≠0 η συνάρτηση (παράσταση) (x)=αημx+βσυνx μπορεί να γραφεί στη μορφή (x)=ρημ(x+φ) όπου: ρ= 2 2 α β και β ημφ ρ α συνφ ρ        Άρα max=ρ και min=-ρ 7.14 Γραφικές παραστάσεις x y      -4 -2 0 2 4 (x)=εφx x y      -4 -2 0 2 4 (x)=σφx x y      -2 -1 0 1 2 (x)=ημx x y      -2 -1 0 1 2 (x)=συνx x y      -4 -2 0 2 4 (x)=τεμx x y      -4 -2 0 2 4 (x)=στεμx Για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις δες το κεφάλαιο ΢υναρτήσεις σελ 61
  • 54.
    54 Σριγωνομετρία -Επίλυση Σριγώνου Μαθηματικό Συπολόγιο 54 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 7.15 Επίλυση Σριγώνου Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α, Β και Γ και πλευρές α, β και γ απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες. Σότε ισχύουν: Α+Β+Γ=180ο 77..1155..11 ΘΘεεώώρρηημμαα ηημμιιττόόννωωνν α ημΑ = β ημΒ = γ ημΓ =2R όπου α, β, γ οι πλευρές και Α, Β, Γ οι γωνίες ενός τριγώνου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου 77..1155..22 ΘΘεεώώρρηημμαα σσυυννηημμιιττόόννωωνν α2 = β2 + γ2 - 2βγσυνΑ, β2 = γ2 + α2 - 2γασυνΒ, γ2 = α2 + β2 - 2αβσυνΓ 77..1155..33 ΘΘεεώώρρηημμαα εεφφααππττοομμέέννωωνν Α Βεφα β 2 α β Α Βεφ 2      , Β Γεφβ γ 2 β γ Β Γεφ 2      , Γ Αεφγ α 2 γ α Γ Αεφ 2      77..1155..44 ΘΘεεώώρρηημμαα ππρροοββοολλώώνν α=βσυνΓ+γσυνΒ, β=γσυνΑ+ασυνΓ, γ=ασυνΒ+βσυνΑ 77..1155..55 ΣΣύύπποοιι ττοουυ BBrriigggg ΢ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με ημιπερίμετρο τ= α β γ 2   ισχύουν οι παρακάτω τύποι (τ β)(τ γ)Αημ 2 βγ    τ(τ α)Ασυν 2 βγ   (τ γ)(τ α)Βημ 2 γα    τ(τ β)Βσυν 2 γα   (τ α)(τ β)Γημ 2 αβ    τ(τ γ)Γσυν 2 αβ     (τ β)(τ γ)Αεφ 2 τ τ α       (τ γ)(τ α)Βεφ 2 τ τ β       (τ α)(τ β)Γεφ 2 τ τ γ     77..1155..66 ΕΕμμββααδδόό ττρριιγγώώννοουυ Έστω Ε το εμβαδό (area) του τριγώνου, τ η ημιπερίμετρος, R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Σότε ισχύουν οι τύποι: Ε= 1 2 αβημΓ = 1 2 βγημΑ= 1 2 αγημΒ Ε= τ(τ α)(τ β)(τ γ)   ο τύπος του Ήρωνα Ε= 2 α ημΒημΓ 2ημΑ = 2 β ημΓημΑ 2ημΒ = 2 γ ημΑημΒ 2ημΓ Ε=τr Ε= αβγ 4R Ε=2R²ημΑημΒημΓ Ε=r²σφ A 2 σφ B 2 σφ Γ 2 Ε=τ² εφ A 2 εφ B 2 εφ Γ 2 Ε= (τ α)(τ β)(τ γ) r   
  • 55.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Σριγωνομετρία- Επίλυση Σριγώνου 55 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 55 Οι ίδιοι τύποι λύνονται ως προς r και R και μας δίνουν τις ακτίνες εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύ- κλου του τριγώνου
  • 56.
    56 ΢υναρτήσεις -Ορισμοί Μαθηματικό Συπολόγιο 56 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 8 Συναρτήσεις 8.1 Ορισμοί ΢υνάρτηση είναι μία διαδικασία  που αντιστοιχεί σε κάθε τιμή x ενός συνόλου Α μία μόνο τιμή y ενός συ- νόλου Β. ΢χηματικά: Ονομάζουμε: Πεδίο Ορισμού (domain): το σύνολο Α, Πεδίο Σιμών (range): το σύνολο Β Ανεξάρτητη μεταβλητή: το x Εξαρτημένη μεταβλητή: το y Αρχέτυπο του y: το x Εικόνα του x: το y Γράφουμε: :ΑΒ, Α f Β x(x) x f y y=(x) (x)=…(τύπος) Αν η συνάρτηση έχει αναλυτικό τύπο τότε γράφουμε τον τύπο της και το πεδίο ορισμού της Α. π.χ.1 : Δίνεται η συνάρτηση ( με τύπο) (x)=2x²-1, με Α=+ , ή π.χ.2: g(x)= 1, αν x ρητός 0, αν x άρρητος    , με x 8.2 Άρτια συνάρτηση:  xΑ, -xΑ και (-x)=(x). Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y‟y 8.3 Περιττή συνάρτηση:  xΑ, -xΑ και (-x)=-(x). Η περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο x y -2 0 2 -2 0 2 Άρτια συνάρτηση (x)=x²συνx x y - 5 0 5 - 5 0 5 Περιττή συνάρτηση (x)=συνx/x 8.4 ΢υνάρτηση ένα προς ένα 1-1: Α Β  α η κ μ Κ Π Ν Η
  • 57.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση 57 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 57 Μία συνάρτηση λέγεται 1-1 αν: (x1)=(x2)  x1=x2 Εναλλακτικά: x1≠x2  (x1)≠(x2) 8.5 Αντίστροφη συνάρτηση Κάθε 1-1 συνάρτηση :ΑΒ έχει αντίστροφη συνάρτηση που συμβολίζεται με -1 έτσι ώστε: Αν (x)=y τότε -1 (y)=x Ισχύει: -1 ((x))=x Η αντίστροφη έχει γράφημα συμμετρικό ως προς την διχο- τόμο 1ης - 3ης γωνίας των αξόνων. Σο πεδίο ορισμού Α‟ της -1 είναι το (Α) x y - 2 0 2 -2 0 2 8.6 Περιοδική συνάρτηση Λέγεται η συνάρτηση  για την οποία ισχύει (x+Σ)=(x-Σ)=(x). Εννοείται x, x+Σ, x-Σ Α. Ο μικρότε- ρος από τους αριθμούς Σ λέγεται περίοδος της συνάρτησης . Παράδειγμα: η συνάρτηση ημίτονο: (x)=ημx γιατί ημ(x+2π)=ημ(x) x y        -1 0 1 T 8.7 Μονότονες συναρτήσεις Αύξουσα είναι η συνάρτηση  όταν για x1<x2  (x1)(x2) Υθίνουσα είναι η συνάρτηση  όταν για x1<x2  (x1)≥(x2) 8.8 ΢ύνθεση συναρτήσεων Έστω :ΑΒ και g:ΒΓ δύο συναρτήσεις. Ορίζουμε την σύνθεση g ως εξής: g:Α‟Γ με τιμή (g)(x)=g((x)) και πεδίο ορισμού Α΄={xΑ/(x)Β} 8.9 Ακρότατα συνάρτησης 88..99..11 ΜΜέέγγιισσττοο:: Μία συνάρτηση  παρουσιάζει μέγιστο (maximum) στο xο αν xΑ, ισχύει (x)(xο) Η τιμή (xο) ονομάζεται μέγιστο της  και συμβολίζεται max 88..99..22 ΕΕλλάάχχιισσττοο:: Μία συνάρτηση  παρουσιάζει ελάχιστο (minimum) στο xο αν xΑ, ισχύει (x)≥ (xο) Η τιμή (xο) ονομάζεται ελάχιστο της  και συμβολίζεται min
  • 58.
    58 ΢υναρτήσεις -Κυρτότητα και σημεία καμπής Μαθηματικό Συπολόγιο 58 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 8.10 Κυρτότητα και σημεία καμπής Μία συνάρτηση λέγεται κυρτή (concavity) αν στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, δηλαδή το γράφημά της είναι της μορφής . Μία συνάρτηση είναι κοίλη (convexity) όταν στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δηλαδή το γράφημά της είναι της μορφής . Σο σημείο xο στο οποίο έχουμε αλλαγή κυρτότητας και στο οποίο υπάρχει η πρώτη παράγωγος λέγεται σημείο καμπής (turning point) 8.11 Μερικές χρήσιμες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων x y -2 0 2 0 2 4 (x)=x2 (παραβολή) x y -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 0 2 4 6 (x)=2x2 +6x+1 (παραβολή) x y -15 -10 -5 0 5 10 15 -5 0 5 10 (x)=2x+1 (γραμμική) x y -15 -10 -5 0 5 10 15 -5 0 5 10 (x)=-2x+5 (γραμμική) x y 0 2 4 6 0 1 2 3 (x)= x x y -5 0 5 -4 -2 0 2 4 (x)=1/x (υπερβολή) Ο x y C εφαπτομένη Κυρτή Κοίλη ΢ημείο Καμπής
  • 59.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις- Η γραμμική συνάρτηση y = (x) = λx+β 59 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 59 8.12 Η γραμμική συνάρτηση y = (x) = λx+β Είναι ευθεία γραμμή με συντελεστή διεύθυνσης λ. Σέμνει τους άξονες στα σημεία: Άξονας x: (-β/λ, 0) Άξονας y: (0, β) Ισχύει: λ>0 Η συνάρτηση είναι αύξουσα λ<0 Η συνάρτηση είναι φθίνουσα λ=0 Η συνάρτηση είναι σταθερή Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν λ1=λ2 και κάθετες αν λ1λ2=-1 8.13 Η τετραγωνική συνάρτηση y=(x)=αx²+βx+γ Σο γράφημά της είναι παραβολή με τον άξονά της παράλληλο με τον άξονα y. Η κορυφή της παραβολής είναι στο σημείο Α= β Δ , 2α 4α        όπου Δ=β²-4αγ Ο άξονας της παραβολής έχει εξίσωση β x 2α   Ισχύουν ακόμα: α>0 Η συνάρτηση είναι κυρτή, και έχει ελάχιστο στο σημείο Α α<0 Η συνάρτηση είναι κοίλη, και έχει μέγιστο στο σημείο Α Αν β και γ είναι μηδέν η παραβολή με εξίσωση y=αx² έχει την κορυφή της στην αρχή των αξόνων και ο άξο- νάς της ταυτίζεται με τον άξονα y. ΢ε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση είναι άρτια (-x)=(x) 8.14 Η συνάρτηση y=(x)=αxn Για n>0 άρτιο είναι συμμετρική ως προς τον y-άξονα, φθίνουσα και αύξουσα (άρτια συνάρτηση) ενώ για n>0 περιττό είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων (περιττή) και παντού αύξουσα. x y -2 0 2 0 5 10 (x)=x2k x y -2 0 2 -4 -2 0 2 4 (x)=x2k+1 Για n<0 άρτιο είναι συμμετρική ως προς τον y-άξονα (άρτια συνάρτηση), αύξουσα και φθίνουσα, ενώ για n<0 περιττό είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων (περιττή) φθίνουσα κατά διαστήματα
  • 60.
    60 ΢υναρτήσεις -Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x Μαθηματικό Συπολόγιο 60 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος x y -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 (x)=x-2k x y -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 (x)=x-(2k+1) 8.15 Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x Θεωρούμε τη συνάρτηση y=(x) = n x Για n άρτιο ορίζεται για x≥0 Για n περιττό είναι περιττή συνάρτηση (συμμετρία ως προς την αρχή) και ορίζεται για κάθε x ΢το διπλανό σχήμα: y1= x (λαδί) y2= 3 x (μπλε) y3= 6 x (κόκκινο) x y -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 8.16 Η εκθετική συνάρτηση Ορίζεται ως η :+ με (x)=αx (με α+ ) Αν α>1 η συνάρτηση είναι αύξουσα, αν α=1 είναι σταθερή και για α<1 είναι φθίνουσα. Η συνάρτηση είναι 1-1 8.17 Η λογαριθμική συνάρτηση Αν (x)=αx η εκθετική συνάρτηση, τότε η αντίστροφή της είναι η λογαριθμική συνάρτηση με ορισμό: -1 :* +  με τύπο -1 (x)=logαx, με α>0 και α≠1 Αν α=10 έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο logx x y -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 α>1, αύξουσα x y -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 α<1, φθίνουσα
  • 61.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις- Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις 61 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 61 Αν α=e=2,718… έχουμε τον νεπέριο ή φυσικό λογάριθμο lnx Η λογαριθμική είναι 1-1, αύξουσα αν α>1 και φθίνουσα αν α<1 x y -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 6 Η συνάρτηση (x)=logx x y -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 6 Η συνάρτηση (x)=logx και η g(x)= 1 10 log x Είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x‟x x y 0 2 4 6 8 10 12 14 -4 -2 0 2 4 6 Η συνάρτηση (x)=lnx x y 0 2 4 6 8 10 12 14 -4 -2 0 2 4 6 y=lnx y=logx Οι συναρτήσεις (x)=lnx και g(x)=logx x y -2 0 2 4 -2 0 2 4 Οι συναρτήσεις (x)=10x και -1 (x)=logx είναι η μία αντί- στροφη της άλλης. Είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο 1ου – 3ου τεταρτημορίου Σο ίδιο οι συναρτήσεις ex και lnx 8.18 Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Αν y=ημx τότε x=ημ-1 y ή x=τοξημy (τόξο ημιτόνου y). Η συνάρτηση (x) =τοξημx ορίζεται για - π 2 x π 2 , αγγλικά arcsinx ή sin-1 x y=τοξσυνx αντίστροφη του συνx, ορίζεται για 0xπ, αγγλικά arcosx ή cos-1 x y=τοξεφx αντίστροφη της εφx, ορίζεται για - π 2 <x< π 2 , αγγλικά arctanx, ή tan-1 x y=τοξσφx αντίστροφη της σφx, ορίζεται για 0<x<π, αγγλικά arcotx, ή cot-1 x
  • 62.
    62 ΢υναρτήσεις -Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 62 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 88..1188..11 ΢΢χχέέσσεειιςς μμεεττααξξύύ ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν Για x>0 ισχύουν: τοξημx = τοξσυν 2 1 x = τοξεφ 2 x 1 x τοξσυνx = τοξημ 2 1 x = τοξσφ 2 x 1 x τοξεφx = τοξσφ 1 x = τοξημ 2 x 1 x = τοξσυν 2 1 1 x 88..1188..22 ΆΆθθρροοιισσμμαα ΑΑννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν τοξημx+τοξσυνx= π 2 τοξεφx+τοξσφx= π 2 88..1188..33 ΑΑρρννηηττιικκόό όόρριισσμμαα ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν τοξημ(-x)= - τοξημx τοξεφ(-x)= - τοξεφx τοξσυν(-x)= - τοξσυνx + π τοξσφ(-x)= - τοξσφx + π 88..1188..44 ΓΓρρααφφιικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν x y      -2 0 2 y=τοξημx x y      0 2 4 y=τοξσυνx x y      -2 0 2 y=τοξεφx x y      -4 -2 0 2 4 y=τοξσφx
  • 63.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις- Τπερβολικές συναρτήσεις 63 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 63 8.19 Τπερβολικές συναρτήσεις 88..1199..11 ΟΟρριισσμμόόςς Οι συναρτήσεις αυτές ορίζονται με παρόμοια τρό- πο με τις τριγωνομετρικές αλλά θεωρώντας μία υ- περβολή και όχι κύκλο Αν θεωρήσουμε την υπερβολή x² - y² = α² τότε αν Ρ(x, y) σημείο της υπερβολής τότε το υπερβολικό ημίτονο της γωνίας α είναι ο λόγος y δια ΟΕ, το υπερβολικό συνημίτονο είναι ο λόγος x δια ΟΕ και η υπερβολική εφαπτομένη είναι ο λόγος y/x Τπερβολικό ημίτονο sinhα = AP OE Τπερβολικό συνημίτονο coshα = OA OE Τπερβολική εφαπτομένη tanhα = EB OE = AP OA = sinhα coshα Τπερβολική συνεφαπτομένη cothα = ΟE OΒ = 1 tanhα Τπερβολική τέμνουσα sechα = OE OA = 1 coshα Τπερβολική συντέμνουσα cschα = OE AP = 1 sinhα 88..1199..22 ΟΟιι υυππεερρββοολλιικκέέςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς ωωςς εεκκθθεεττιικκάά x x e e sinh x 2    x x e e cosh x 2    x x 2 sech x e e   x x x x e e tanh x e e      x x x x e e coth x e e      x x 2 csch x e e   88..1199..33 ΢΢χχέέσσεειιςς μμεεττααξξύύ υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν cosh²x - sinh²x = 1 sech²x + tanh²x = 1 csch²x + coth²x = 1 88..1199..44 ΠΠεερριιοοδδιικκόόττηητταα υυππεερρββοολλιικκώώνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν sinh(2ki + x) = sinhx περίοδος 2i, cosh(2ki + x) = coshx περίοδος 2i sech((2ki + x) = sechx περίοδος 2i, csch((2ki + x) = cschx περίοδος 2i tanhx(ki + x) = tanhx περίοδος i, cothx(ki + x) = cothx περίοδος i k = 0 ±1, ±2, … 88..1199..55 ΑΑρρννηηττιικκάά οορρίίσσμμαατταα sinh(-x)=-sinhx tanh(-x)=-tanhx sech(-x)=sechx cosh(-x)=coshx coth(-x)=-cothx csch(-x)=cschx 88..1199..66 ΣΣύύπποοιι ΑΑθθρροοιισσμμάάττωωνν sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy tanh x tanh y tanh(x y) 1 tanh xtanh y     cothxcoth y 1 coth(x y) cothxcoth y    88..1199..77 ΔΔιιππλλάάσσιιαα γγωωννίίαα sinhx = 2sinhxcoshx coshx = cosh²x-sinh²x = 2cosh²x-1 = 1-2sinh²x x y -2 0 2 4 6 8 10 12 -6 -4 -2 0 2 4 E A O P B a
  • 64.
    64 ΢υναρτήσεις -Τπερβολικές συναρτήσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 64 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος tanhx= 2 2tanh x 1 tanh x 88..1199..88 ΣΣύύπποοιι μμιισσήήςς γγωωννίίααςς x cosh x 1 sinh 2 2    , + αν x>0 και – αν x<0 x cosh x 1 cosh 2 2   x coshx 1 sinhx coshx 1 tanh 2 coshx 1 coshx 1 sinhx         , + αν x>0 και – αν x<0 88..1199..99 ΔΔυυννάάμμεειιςς υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν sinh²x= 1 1 cosh 2x 2 2  cosh²x= 1 1 cosh 2x 2 2  sinh³x= 1 3 sinh3x sinhx 4 4  cosh³x= 1 3 cosh3x coshx 4 4  3 1 1 cosh2x cosh4x 8 2 8   3 1 1 cosh2x cosh4x 8 2 8   88..1199..1100ΑΑθθρροοίίσσμμαατταα –– δδιιααφφοορρέέςς –– γγιιννόόμμεενναα υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν sinhx+sinhy= x y x y 2sinh cosh 2 2   sinhx–sinhy = x y x y 2cosh sinh 2 2   coshx+sinhy= x y x y 2cosh cosh 2 2   coshx–sinhy = x y x y 2sinh sinh 2 2   sinhxsinhy=   1 cosh(x y) cosh(x y) 2    coshxcoshy=   1 cosh(x y) cosh(x y) 2    sinhxcoshy=   1 sinh(x y) sinh(x y) 2    88..1199..1111 ΤΤππεερρββοολλιικκέέςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς σσεε σσχχέέσσηη μμεε άάλλλλεεςς sinhx=u coshx=u tanhx=u cothx=u sechx=u cschx=u sinhx u 2 u 1 2 u 1 u 2 1 u 1 2 1 u u  1 u coshx 2 1 u u 2 1 1 u 2 u u 1 1 u 2 1 u u  tanhx 2 u 1 u 2 u 1 u  u 1 u 2 1 u 2 1 1 u cothx 2 1 u u  2 u u 1 1 u u 2 1 1 u 2 1 u sechx 2 1 1 u 1 u 2 1 u 2 u 1 u  u 2 u 1 u cschx 1 u 2 1 u 1 2 1 u u  2 u 1 2 u 1 u u υποθέτουμε x>0
  • 65.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις- Τπερβολικές συναρτήσεις 65 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 65 88..1199..1122ΓΓρρααφφιικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=sinhx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 0 2 4 6 8 10 y=coshx x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 y=tanhx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=cothx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0,5 1 y=sinhx y=sechx y=sechx x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -10 -5 0 5 10 y=cschx y=cschx x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 6 y=coshx y=sinhx sinhx και coshx μαζί x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 y=tanhx y=cothx tanhx και cothx μαζί
  • 66.
    66 ΢υναρτήσεις -Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Μαθηματικό Συπολόγιο 66 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 8.20 Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Αν y=sinhx τότε η x=sinh-1 y λέγεται αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο. Γενικά είναι πλειονότιμες συναρτή- σεις και γι‟ αυτό περιοριζόμαστε στις πρωτεύουσες τιμές στις οποίες μπορούν να θεωρηθούν μονότιμες. Η παρακάτω λίστα δίνει τις πρωτεύουσες τιμές των αντίστροφων τριγωνομετρικών σε σχέση με τις λογαριθμικές συναρτήσεις.  1 2 sinh x ln x x 1 , - x         1 2 cosh x ln x x 1 , x 1     1 1 1 x tanh x ln , -1 x 1 2 1 x          1 1 x 1 coth x ln , x 1 ή x<1 2 x 1         1 2 1 1 sech x ln 1 , 0<x 1 x x           1 2 1 1 csch x ln 1 , x=0 x x           88..2200..11 ΢΢χχέέσσεειιςς μμεεττααξξύύ ααννττίίσσττρροοφφωωνν υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν csch-1 x=sinh-1 (1/x) sech-1 x=cosh-1 (1/x) coth-1 x=tanh-1 (1/x) sinh-1 (-x)=- sinh-1 x tanh-1 (-x)=- tanh-1 x coth-1 (-x)=- coth-1 x csch-1 (-x)=- csch-1 x 88..2200..22 ΓΓρρααφφιικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν x y -20 -10 0 10 20 -10 0 10 y=sinh-1 x x y 0 5 10 15 20 25 0 2 4 y=cosh-1 x x y -2 -1 0 1 2 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=tanh-1 x x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -5 0 5 y=coth-1 x
  • 67.
    Μαθηματικό Συπολόγιο ΢υναρτήσεις- Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις 67 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 67 x y 0 0,5 1 1,5 2 0 5 10 15 y=sech-1 x x y -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 y=csch-1 x 88..2200..33 ΢΢χχέέσσηη υυππεερρββοολλιικκώώνν κκααιι ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν ΢τα παρακάτω i είναι η φανταστική μονάδα με i= 2 sin(ix)=isinhx tan(ix)=itanhx sec(ix)=sechx cos(ix)=coshx cot(ix)=-icothx csc(ix)=-icschx sinh(ix)=isinx tanh(ix)=itanx sech(ix)=secx cosh(ix)=cosx coth(ix)=-icotx csch(ix)=-icscx sin-1 (ix)=isinh-1 x tan-1 (ix)=itanh-1 x sec-1 x=±isech-1 x cos-1 x=±icosh-1 x cot-1 (ix)=icoth-1 x csc-1 (ix)=-icsch-1 x sinh-1 (ix)=isin-1 x tanh-1 (ix)=itan-1 x sech-1 x=±isec-1 x cosh-1 x=±icos-1 x coth-1 (ix)=-icot-1 x csch-1 (ix)=-icsc-1 x
  • 68.
    68 Ανάλυση -Όριο συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 68 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9 Ανάλυση 9.1 Όριο συνάρτησης Έστω :Α συνάρτηση και xο σημείο συσσώρευσης του Α (δηλαδή η διαφορά |x-xο| μπορεί να γίνει ο- σοδήποτε μικρή για xΑ). Σο xο μπορεί να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της Α. Ονομάζουμε όριο της συνάρτησης (x) όταν xxο τον αριθμό ℓ όταν για κάθε ε>0, οσοδήποτε μικρό, μπορούμε να βρούμε αριθμό δ>0 έτσι ώστε |(x)-ℓ|<ε όταν |x-xο|<δ Λέμε τότε ότι η  τείνει στο ℓ όταν το x τείνει στο xο, σχηματικά: (x)ℓ όταν xxο ή ox x lim f(x)   99..11..11 ΠΠλλεευυρριικκάά όόρριιαα Όταν (x)ℓ καθώς το xxο από πάνω (x>xο) ή από κάτω (x<xο) λέμε ότι έχουμε πλευρικό όριο και γρά- φουμε ox x lim f(x)    ή ox x lim f(x)    αντίστοιχα. Μία συνάρτηση δεν έχει όριο στο xο αν o ox x x x lim f(x) lim f(x)      99..11..22 ΌΌρριιοο σσττοο άάππεειιρροο Αν για δοσμένο ε>0 μπορούμε να διαλέξουμε ξ αρκετά μεγάλο ώστε για χ>ξ να ισχύει |(x)-ℓ|<ε τότε γράφουμε x limf(x)  ℓ 99..11..33 ΆΆππεειιρροο όόρριιοο Αν για οσοδήποτε μεγάλο Μ>0, μπορούμε να διαλέξουμε δ>0 ώστε για |x-xο|<δ να ισχύει (x)>Μ τότε γράφουμε ox x lim f(x)   + Αν για οσοδήποτε μικρό Μ<0, μπορούμε να διαλέξουμε δ>0 ώστε για |x-xο|<δ να ισχύει (x)<Μ τότε γράφουμε ox x lim f(x)   - Αν ox x lim ƒ(x) 0   και (x)>0 σε μία περιοχή του xo τότε ox x 1 lim ƒ(x)   Αν ox x lim ƒ(x) 0   και (x)<0 σε μία περιοχή του xo τότε ox x 1 lim ƒ(x)   Π.x. x 1 1 lim x 1     , ενώ x 1 1 lim x 1     (ενώ το x 1 1 lim x 1  δεν υπάρχει) 99..11..44 ΠΠρρόόσσηημμοο ττιιμμώώνν σσυυννάάρρττηησσηηςς Ένα επακόλουθο του ορισμού: Αν ox x lim f(x)   με ℓ≠0 τότε η (x) θα έχει το ίδιο πρόσημο με το ℓ σε κάποιο διάστημα του xο, που δεν περιέχει το xο. 99..11..55 ΌΌρριιοο ααθθρροοίίσσμμααττοοςς,, γγιιννόόμμεεννοουυ κκλλππ Αν (x)ℓ1 και g(x)ℓ2 όταν xxο τότε: (x)+g(x)ℓ1+ℓ2 (x)g(x)ℓ1ℓ2 (x)-g(x)ℓ1-ℓ2 1 2 ƒ(x) g(x)  , αν ℓ2≠0 c(x)cℓ1 n n 1ƒ(x)  1ƒ(x) k k ln(x)lnℓ1
  • 69.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity) 69 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 69 99..11..66 ΚΚρριιττήήρριιοο ππααρρεεμμββοολλήήςς Αν ισχύει g(x)<(x)<t(x) για μία περιοχή του xο, και o ox x x x lim g(x) lim t(x)     τότε ισχύει και ox x lim f(x)   99..11..77 ΜΜεερριικκάά σσηημμααννττιικκάά όόρριιαα x x 1 lim 1 e 2,71828... x           1 x x 0 lim 1 x e    n n n 1 x α x α lim nα x α      x α x α lim 1 e x        xx 1, για α<1 1 lim 1 2, για α=1 1 α 0, για α>1         x x 0 α 1 lim lnα, (α>0) x   n n α lim 0, n n!   n xx x lim 0, α>1, n α   x 0 ημx lim 1 x  x 0 ημαx lim α x  x 0 ημαx α lim ημβx β  x ημx lim 0 x  x 0 εφx lim 1 x  x 0 εφαx lim α x  x 0 εφαx α lim εφβx β  9.2 ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity) 99..22..11 ΢΢εε έένναα σσηημμεείίοο xxοο Μία συνάρτηση  ονομάζεται συνεχής στο σημείο xο αν (α) είναι ορισμένη σε μία περιοχή του xο (β) υπάρ- χει το όριο ox x lim f(x)  και (γ) ox x lim f(x)  =f(xo) Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο xο αν και μόνο αν για κάθε ε>0 μπορούμε να βρούμε δ>0 έτσι ώστε για |x-xο| < δ να ισχύει |(x)-(xο)|<ε 99..22..22 ΢΢εε έένναα δδιιάάσσττηημμαα Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα, κλειστό ή ανοιχτό, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του δια- στήματος. Για κλειστό διάστημα [α, β] πρέπει να ισχύει και x α lim f(x) f(α)    και x β lim f(x) f(β)    99..22..33 ΢΢υυννααρρττήήσσεειιςς πποουυ εείίννααιι σσυυννεεχχεείίςς Η σταθερή συνάρτηση (x)=c Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση (x)=αοxn +α1xn-1 +…+αn Οι ρητές συναρτήσεις (x)=P(x)/Q(x), όπου P(x) και Q(x) πολυωνυμικές συναρτήσεις, είναι συνεχείς παντού εκτός από τα πεπερασμένα σημεία στα οποία η Q(x) μηδενίζεται στα οποία η (x) δεν ορίζεται. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 1(x)=ημx και 2(x)=συνx. Η εφx και σφx σε κάθε σημείου του πεδίου ορι- σμού τους. Η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση (x)=αx και (x)=logαx 99..22..44 ΢΢υυννέέππεειιεεςς σσυυννέέχχεειιααςς  Αν η  είναι συνεχής στο xο και (xο)≠0 τότε η (x) διατηρεί το ίδιο πρόσημο με την (xο) για κάποιο κατάλληλα περιορισμένο διάστημα του x
  • 70.
    70 Ανάλυση -΢υνέχεια συνάρτησης (continuity) Μαθηματικό Συπολόγιο 70 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος  Αν οι (x) και g(x) είναι συνεχείς στο xο τότε το ίδιο είναι και οι συναρτήσεις (x)+g(x), (x)-g(x), (x)g(x), (x)/g(x), αν g(xο)≠0  Αν η (x) είναι συνεχής στο xο και η g(x) συνεχής στο y=(x) τότε η g((x)) είναι συνεχής στο xο.  Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα είναι φραγμένη σε αυτό.  Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα παίρνει τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της τουλάχιστο μία φορά στο διάστημα αυτό.  Οι τιμές μίας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] αποτελούν είναι φραγμένο σύνολο 99..22..55 ΘΘεεωωρρήήμμαατταα εεννδδιιααμμέέσσωωνν ττιιμμώώνν Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] και διαφέρει κατά πρόσημο στα ακραία ση- μεία του διαστήματος τότε πρέπει να μηδενίζεται σε κάποιο εσωτερικό σημείο του διαστήματος Έστω μία συνάρτηση (x) συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και (α)≠(β). Αν μ ένας αριθμός μεταξύ (α) και (β) τότε η (x) παίρνει την τιμή μ τουλάχιστο μία φορά στο διάστημα.
  • 71.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Παράγωγος συνάρτησης 71 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 71 9.3 Παράγωγος συνάρτησης Έστω  συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [α, β]. ΢ε κάθε εσωτερικό σημείο x μπορούμε να δώσουμε στο x μία μικρή θετική ή αρνητική αύξηση Δx=h. Η αντίστοιχη αύξηση στο y θα είναι τότε Δy=(x+h)- (x). Ονομάζουμε παράγωγο της  στο σημείο x το όριο (αν υπάρχει) h 0 dy ƒ(x h) ƒ(x) ƒ (x) lim dx h     Ονομάζουμε πλευρικές παραγώγους τα πλευρικά όρια όταν το h0 από θετικές ή από αρνητικές τιμές και συμβολίζουμε h 0 h 0 ƒ(x h) ƒ(x) ƒ(x h) ƒ(x) ƒ (x) lim ή ƒ (x) lim h h              Γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου Η παράγωγος της συνάρτησης  σε ένα σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο αυτό. λ=εφθ=΄(xο) 99..33..11 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααππττοομμέέννηηςς σσττηηνν κκααμμππύύλληη yy==((xx)) σσττοο σσηημμεείίοο xxοο y - yo = ΄(xο)(x - xο) 99..33..22 ΔΔιιααφφοορρίίσσιιμμηη ήή ππααρρααγγωωγγίίσσιιμμηη σσυυννάάρρττηησσηη Μία συνάρτηση λέγεται διαφορίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] όταν η  έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερι- κό σημείο του διαστήματος και υπάρχουν οι παράγωγοι ΄+(α) και ΄-(β) 99..33..33 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς κκααιι σσυυννέέχχεειιαα Μία συνάρτηση (x) που είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xο είναι και συνεχής στο σημείο xο 99..33..44 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς σσύύννθθεεττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς Έστω u(x) μία διαφορίσιμη συνάρτηση στο [α, β] που παίρνει τιμές στο [a, b]. Αν y=(u) είναι μία διαφορί- σιμη συνάρτηση του u στο [a, b] τότε η σύνθετη συνάρτηση y=(u(x)) έχει παράγωγο που δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας:    dy dy du ƒ u x ƒ (u)u (x) dx du dx      Ο κανόνας ισχύει και για περισσότερες συναρτήσεις     dƒ du dg ƒ u g x du dg dx   …και αντίστοιχα για περισσότερες 99..33..55 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς μμίίααςς ααννττίίσσττρροοφφηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς Αν η συνάρτηση y=(x) έχει παράγωγο ΄(x) σε ένα διάστημα (α, β) που είναι πάντοτε θετική ή πάντοτε αρ- νητική, τότε η αντίστροφη συνάρτηση x=φ(y) υπάρχει όταν το y βρίσκεται μεταξύ των (α) και (β) και έχει τιμή y 0 xxo C A
  • 72.
    72 Ανάλυση -Παράγωγος συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 72 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος dx dy 1 dxdy  99..33..66 ΓΓεεννιικκοοίί ΚΚααννόόννεεςς ΠΠααρρααγγώώγγιισσηηςς Για τα παρακάτω u, v, g, f συναρτήσεις του x, c, α, β, … σταθερές d (c) 0 dx  d (cx) c dx  n n 1d (cx ) ncx dx   d dg df du (g f u...) ... dx dx dx dx      d df (cf ) c dx dx  d df dg (fg) g f dx dx dx   d df dg du (fgu) gu f u fg dx dx dx dx    2 d f f g fg dx g g          n n 1d df f nf dx dx   dy dy dx dt dtdx  99..33..77 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι ττρριιγγωωννοομμεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν d du (ημu) συνu dx dx  d du (συνu) ημu dx dx   2 d 1 du (εφu) dx συν u dx  2 d 1 du (σφu) dx ημ u dx   d du (τεμu) τεμu εφu dx dx   d du (στεμu) στεμu σφu dx dx    2 π π - <τοξημu< 2 2 d 1 du (τοξημu) , ( ) dx dx1 u   2 <τοξσυνu<π d 1 du (τοξσυνu) , (0 ) dx dx1 u    2 π π <τοξεφu< 2 2 d 1 du (τοξεφu) , (- ) dx 1 u dx   2 <τοξσφu<π d 1 du (τοξσφu) , (0 ) dx 1 u dx    2 2 <τοξτεμu<π/2+ αν 0d 1 du 1 du (τοξτεμu) = , αν -π/2<τοξτεμu<0dx dx dxu u 1 u u 1       2 2 <τοξστεμu<π/2- αν 0d 1 du 1 du (τοξστεμu) = , + αν -π/2<τοξστεμu<0dx dx dxu u 1 u u 1       99..33..88 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι εεκκθθεεττιικκώώνν –– λλοογγααρριιθθμμιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν u ud du (α ) α ln u dx dx  u ud du (e ) e dx dx  α α log ed du (log u) dx u dx  , α≠0,1 d 1 du (ln u) dx u dx  v vlnu vlnu v 1 vd d d du dv (u ) (e ) e (v lnu) vu u lnu dx dx dx dx dx      99..33..99 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι υυππεερρββοολλιικκώώνν-- ααννττίίσσττρροοφφωωνν υυππεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν d du (sinhu) coshu dx dx  d du (coshu) sinhu dx dx  2d du (tanhu) sech u dx dx  2d du (cothu) csch u dx dx   d du (sechu) sechutanhu dx dx   d du (cschu) cschucothu dx dx  
  • 73.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Παράγωγος συνάρτησης 73 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 73 1 2 d 1 du (sinh u) dx dx1 u    -1 1 -12 + αν cosh u 0, u 1d 1 du (cosh u) , dx dx - αν cosh u 0, u 1u 1          1 2 d 1 du (tanh u) , 1 u 1 dx 1 u dx       1 2 d 1 du (coth u) , u 1 ή u 1 dx 1 u dx       -1 -1 1 2 u>0, 0<u<1 + αν sech u<0, 0<u<1 - αν sechd 1 du (sech u) , dx dxu 1 u       1 2 2 - αν u>0d 1 du 1 du (csch u) = , + αν u<0dx dx dxu u 1 u u 1        99..33..1100 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι ααννώώττεερρηηςς ττάάξξηηςς Δεύτερη παράγωγος: 2 2 d dy d y ƒ (x) y dx dx dx          Σρίτη παράγωγος: 2 3 2 3 d d y d y ƒ (x) y dx dx dx          n-στη παράγωγος: n 1 n (n) (n) n 1 n d d y d y ƒ (x) y dx dx dx           99..33..1100..11 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ LLeeiibbnniittzz γγιιαα ππααρρααγγώώγγοουυςς ααννώώττεερρηηςς ττάάξξηηςς Αν Dn είναι ο διαφορικός τελεστής n n d dx δηλαδή Dn (x) είναι η n-στή παράγωγος της  τότε n n n 1 2 n 2 n n n D (ƒg) ƒD g DƒD g D ƒD g ... gD ƒ 1 2                  π.χ. για n=2: (g)΄΄ =΄΄g + 2΄g΄ + g΄΄ 99..33..1100..22 ΝΝιιοοσσττήή ππααρράάγγωωγγοοςς μμεερριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν ΢υνάρτηση n-στή παράγωγος (x)=xm (n) (x)=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)xm-n (x)=xn (n) (x)=n! (x)=αοxn +α1xn-1 +…+αn (n) (x)=αοn! (x)=ex (n) (x)= ex (x)=emx (n) (x)= mn ex (x)=αx (n) (x)= αx (lnα)n (x)=ημx (n) (x)=ημ(x+nπ/2) (x)=συνx (n) (x)=συν(x+nπ/2) (x)=ημmx (n) (x)=mn ημ(mx+nπ/2) (x)=συνmx (n) (x)=mn συν (mx+nπ/2)
  • 74.
    74 Ανάλυση -Παράγωγος συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 74 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 99..33..1111 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς κκααιι μμοοννοοττοοννίίαα Ανάλογα με το αν είναι η ΄(c) θετική ή αρνητική, η (x) είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε μία περιοχή του c. Η συνθήκη είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Μία συνάρτηση μπορεί να είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε κάποιο σημείο c αλλά να ισχύει ΄(c) = 0 99..33..1122 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ RRoollllee Αν μία συνάρτηση : (i) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] (ii) παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α, β) (iii) και ισχύει (α)=(β) τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα εσωτερικό σημείο ξ  (α, β) τέτοιο ώστε ΄(ξ)=0 Πόρισμα: αν α και β είναι δύο ρίζες της εξίσωσης (x)=0 τότε η εξίσωση ΄(x)=0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα ρ μεταξύ α και β, αρκεί (i) η (x) να είναι συνεχής στο αxβ και (ii) η ΄(x) να υπάρχει στο α<x<β 99..33..1133 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ DDaarrbboouuxx Αν η (x) είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό [α, β] και ΄(α)≠΄(β) τότε για κάθε η μεταξύ των ΄(α) και ΄(β) υπάρχει ξ μεταξύ των α και β τέτοιο ώστε ΄(ξ)=η 99..33..1144 ΘΘεεώώρρηημμαα μμέέσσηηςς ττιιμμήήςς ((δδιιααφφοορριικκοούύ λλοογγιισσμμοούύ)) Αν μία συνάρτηση : (i) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] (ii)παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α, β) τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα εσωτερικό σημείο ξ  (α, β) τέτοιο ώστε ΄(ξ)= ƒ(β) ƒ(α) β α   Γεωμετρική ερμηνεία θεωρήματος μέσης τιμής ΢το σημείο ξ η παράγωγος (κλίση της εφα- πτομένης ευθείας) έχει ίδια τιμή με την κλίση της ευθείας ΑΒ Πόρισμα 1: Αν ΄(x)=0 σε διάστημα (α, β) τότε η  είναι σταθερά σε αυτό. Πόρισμα 2: Αν ΄(x)=g΄(x) στο διάστημα (α, β) τότε (x)=g(x)+c 99..33..1155 ΔΔεεύύττεερροο θθεεώώρρηημμαα μμέέσσηηςς ττιιμμήήςς ((CCaauucchhyy)) Έστω δύο συναρτήσεις (x) και g(x) οι οποίες: (i) είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα [α, β] (ii) παραγωγίσιμες στο ανοιχτό (α, β) (iii) οι ΄(x) και g΄(x) δεν παραγωγίζονται συγχρόνως σε κάποιο σημείο του (α, β) (iv) και ισχύει (α)≠g(β), τότε υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο ώστε: ƒ(β) ƒ(α) ƒ (ξ) g(β) g(α) g (ξ)    y 0 xα βξ Α ΒΓ
  • 75.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Παράγωγος συνάρτησης 75 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 75 99..33..1166 ΚΚααννόόννααςς ττοουυ DDee LL’’ HHoossppiittaall (για απροσδιόριστες μορφές ορίων) Έστω δύο συναρτήσεις (x) και g(x) οι οποίες: (i) είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα [α, α+h] (ii) παραγωγίσιμες στο διάστημα (α, α+h] (iii) (α)=g(α)= 0 ή  (iv) x α ƒ (x) lim A (ή ) g (x)       τότε θα είναι και x α ƒ(x) lim A (ή ) g(x)     Προσοχή: Όταν το όριο x α ƒ (x) lim g (x)    δεν υπάρχει αυτό δεν συνεπάγεται ότι και το όριο x α ƒ(x) lim g(x)  δεν υπάρχει. Ο κανόνας ισχύει και για x. Η συνθήκη (iii) τότε γίνεται x x lim ƒ(x) lim g(x) 0 ή      και τότε x ƒ(x) lim g(x) = x ƒ (x) lim g (x)   99..33..1166..11 ΆΆλλλλεεςς ααππρροοσσδδιιόόρριισσττεεςς μμοορρφφέέςς Η μορφή 0 ανάγεται στην μορφή 0/0 ή / Η μορφή - μετασχηματίζεται στην 0 με την ταυτότητα 1 1 ƒ g ƒg g ƒ         Οι εκθετικές μορφές 00 , 0 , 1 υπολογίζονται με το να πάρουμε τους λογαρίθμους τους. 99..33..1177 ΑΑννάάππττυυγγμμαα TTaayylloorr Αν (x) συνάρτηση για την οποία υπάρχει η (n+1) (x) για κάθε x[α, β] τότε για κάθε x στο διάστημα [α, β] ισχύει: (n) (n+1) n n 1ƒ (α) ƒ (α) ƒ (ξ) ƒ(x) ƒ(α) (x α) ... (x α) (x α) 1! n! (n 1)!           όπου ξ είναι ένας αριθμός μεταξύ του α και του x. Αν α=0 έχουμε το ανάπτυγμα Mclaurin: (n) (n+1) n n 1ƒ (0) ƒ (0) ƒ (ξ) ƒ(x) ƒ(0) x ... x x 1! n! (n 1)!        Με εφαρμογή του παραπάνω αναπτύγματος: 2 n x x x e 1 x ... ... 2! n!       1 1 e 1 1 ... ... 2! n!       3 2k 1 kx x ημx x ... ( 1) ... 3! (2k 1)!         2 2k kx x συνx x ... ( 1) ... 2! (2k)!       3 5 n 1 1 x x x x ln x ... ... 2 1 x 3 5 n         k 2 n k k k (1 x) 1 x x ... x ... 1 2 n                        
  • 76.
    76 Ανάλυση -Παράγωγος συνάρτησης Μαθηματικό Συπολόγιο 76 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 99..33..1188 ΑΑκκρρόότταατταα σσυυννάάρρττηησσηηςς κκααιι ππααρράάγγωωγγοοςς Σα ακρότατα συνάρτησης παρουσιάζονται μόνο στα σημεία όπου ΄(x)=0 ή όπου η ΄(x) δεν υπάρχει (κα- θώς και στα άκρα κλειστού διαστήματος) Fermat: Αν μία συνάρτηση έχει ακρότατο στο σημείο xο τότε η παράγωγός της (αν υπάρχει) είναι μηδέν στο σημείο αυτό. Σο αντίστροφο δεν είναι πάντα αληθές. 99..33..1188..11 ΘΘεεώώρρηημμαα ((ΚΚρριιττήήρριιοο ππρρώώττηηςς ππααρρααγγώώγγοουυ)) Αν (i) η (x) είναι ορισμένη στο c (ii) η ΄(x) υπάρχει σε μία κατάλληλα μικρή περιοχή του c. (η ΄(c) μπορεί και να μην υπάρχει) (iii) η ΄(x) έχει σταθερό πρόσημο όταν x<c καθώς και όταν x>c Σότε καθώς το x αυξανόμενο περνάει από το c (α) η (x) δεν έχει ακρότατο αν το πρόσημό της ΄(x) δεν αλλάζει (β) η (x) έχει μέγιστο στο c αν το πρόσημο της ΄(x) αλλάζει από + σε – (γ) η (x) έχει ελάχιστο στο c αν το πρόσημο της ΄(x) αλλάζει από – σε + 99..33..1188..22 ΘΘεεώώρρηημμαα ((ΑΑκκρρόότταατταα ήή σσηημμεείίαα κκααμμππήήςς)) Αν στο σημείο c (i) ΄(c)=΄΄(c)=΄΄΄(c)=…=(n) (c)= 0 (ii) (n+1) ≠0 τότε η (x) στο σημείο c έχει: (α) ένα σημείο καμπής αν n άρτιος (β) ένα ακρότατο αν n περιττός που είναι μέγιστο αν (n+1) (c)<0 ή ελάχιστο αν (n+1) (c)>0 99..33..1188..33 ΜΜεελλέέττηη ππρρααγγμμααττιικκήήςς σσυυννάάρρττηησσηηςς ((ππρρααγγμμααττιικκήήςς μμεεττααββλληηττήήςς)) 9.3.18.3.1 Α. Πεδίο ορισμού Είναι το ευρύτερο υποσύνολο του  στο οποίο έχει νόημα η συνάρτηση. Έχουμε τις περιπτώσεις: (x)= P(x) Q(x) . Πρέπει Q(x)≠0 (x)= n R(x) . Πρέπει R(x)≥0 αν n άρτιος (x)=logαΑ(x). Πρέπει Α(x)>0 9.3.18.3.2 Β. ΢υμμετρία (άρτια ή περιττή συνάρτηση) Θέτουμε (-x) και βλέπουμε αν είναι (x) ή -(x) ή τίποτα από τα δύο. 9.3.18.3.3 Γ. Περιοδικότητα Εξετάζουμε αν υπάρχει αριθμός Σ: (x+Σ)=(x) 9.3.18.3.4 Δ. Βρίσκουμε που τέμνει τους άξονες x και y Σα σημεία τομής του άξονα y είναι οι λύσεις του συστήματος: y=(x), y=0 Σα σημεία τομής του άξονα x είναι οι λύσεις του συστήματος: y=(x), x=0 9.3.18.3.5 Ε. Βρίσκουμε ασύμπτωτες Αναζητούμε σημεία xο στα οποία ox x lim ƒ(x)   . Αν αυτό ισχύει (ή ακόμα και το ένα πλευρικό όριο να απειρίζεται) η ευθεία x=xο είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. (vertical asymptotes)
  • 77.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Παράγωγος συνάρτησης 77 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 77 Εξετάζουμε τα όρια x lim ƒ(x)  και x lim ƒ(x)  . Αν x lim ƒ(x)  =ℓ έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη (horizontal asymptotes) στο + και αν x lim ƒ(x)  =ℓ έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη στο - Αν x lim ƒ(x)  =± τότε εξετάζουμε αν η συνάρτηση έχει πλάγια ασύμπτωτη, (Oblique asymptotes) δηλαδή αν x lim (ƒ(x) λx β) 0     Εξετάζουμε πρώτα το x ƒ(x) lim λ x  και μετά x lim (ƒ(x) λx) β    Παρόμοια στο - 9.3.18.3.6 ΢Σ. Βρίσκουμε μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα και σημεία καμπής Φρησιμοποιούμε τα προηγούμενα θεωρήματα για να βρούμε τη μονοτονία (΄(x)>0 ↑, ΄(x)<0, ↓), τα α- κρότατα (΄(c) = 0, ή ΄(c) δεν ορίζεται είναι πιθανά σημεία ακρότατων) την κυρτότητα (΄΄(x)>0 κυρτή, ΄΄(x)<0 κοίλη) και τα σημεία καμπής (΄΄(c)=0 και ΄΄΄(c)≠0)
  • 78.
    78 Ανάλυση -Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 78 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9.4 Ολοκληρώματα 99..44..11 ΑΑόόρριισσττοο ΟΟλλοοκκλλήήρρωωμμαα Αν dy ƒ(x) dx  τότε η συνάρτηση y της οποίας η παράγωγος είναι η συνάρτηση (x) λέγεται αντι-παράγωγος της (x) ή αρχική της (x) ή αόριστο ολοκλήρωμα της (x). Σο αόριστο ολοκλήρωμα της (x) συμβολίζεται με ƒ(x)dx (Σο σύμβολο της ολοκλήρωσης είναι ένα τραβηγμένο λατινικό S αρχικό γράμμα της λέξης summa = άθροιση). Αν y(x) είναι μία αρχική συνάρτηση της (x) τότε και η g(x)=y(x)+c είναι επίσης. Αν y(u) ƒ(u)du  τότε dy ƒ(u) du  ή  ƒ(x)dx ƒ(x)   99..44..11..11 ΓΓεεννιικκοοίί κκααννόόννεεςς ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηηςς (για τα διαφορικά ισχύει du = u΄(x)dx) Οι σταθερές ολοκλήρωσης c παραλείπονται στους παρακάτω τύπους. αdx =αx αƒ(x)dx α ƒ(x)dx  (u v w ...)dx udx vdx wdx ...          udv uv vdu   ή uv dx uv u vdx    (ολοκλήρωση κατά παράγοντες) 1 ƒ(αx)dx ƒ(t)dt α   dx F(u) F(ƒ(x))dx F(u) du du du ƒ (x)      n 1 n u u du για n 1 n 1     1 du lnu για u>0 ή ln(-u) για n<0 u  u u e du e ulnα u u e α α du edu , α>0 1 lnα lnα      lnxdx xlnx x  n 1nn n xdx x n 1    ημxdx συνx  συνxdx ημx εφxdx lnσυνx  σφxdx lnημx x π στεμxdx ln(στεμx εφx) lnεφ( ) 2 4     x τεμxdx ln(τεμx σφx) lnεφ( ) 2    2 τεμ xdx εφx 2 στεμ xdx σφx  2 εφ xdx εφx x  2 σφ xdx σφx x   2 x ημ2x 1 ημ xdx (x ημxσυνx) 2 4 2     2 x ημ2x 1 συν xdx (x ημxσυνx) 2 4 2     τεμxεφxdx τεμx στεμxσφxdx στεμx  sinhxdx coshx coshxdx sinhx tanhxdx lncoshx cothxdx lnsinhx x sechxdx τοξημ(tanhx) 2τοξεφ(e )  1 xx cschxdx ln(tanh ) coth (e ) 2    
  • 79.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Ολοκληρώματα 79 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 79 2 sech xdx tanhx 2 csch xdx cothx  2 tanh xdx x tanhx  2 coth xdx x cothx  2 sinh2x x 1 sinh xdx (sinhxcoshx x) 4 2 2     2 sinh2x x 1 cosh xdx (sinhxcoshx x) 4 2 2     sechxtanhxdx sechx  cschxcothxdx cschx  2 2 du 1 u τοξεφ u α α α   2 2 2 2 du 1 u α ln , u α u α 2α u α          2 2 2 2 du 1 α u ln , u α α u 2α α u          2 2 du u τοξημ αα u    2 2 2 2 du ln(u α u ) α u      2 2 2 2 du ln(u u α ) u α      2 2 du 1 u τοξτεμ α αu u α    2 2 2 2 du 1 α α u ln α uu α u             2 2 2 2 du 1 α α u ln α uu α u             (n) (n-1) (n-2) (n-3) n (n) ƒ gdx ƒ g ƒ g ƒ g ...( 1) ƒg dx       (γενικευμένη ολοκλήρωση κατά μέρη) 99..44..11..22 ΣΣηημμααννττιικκοοίί μμεετταασσχχηημμααττιισσμμοοίί σστταα οολλοοκκλληηρρώώμμαατταα 1 ƒ(αx β)dx ƒ(u)du, θέτοντας u=αx+β α    2 ƒ( αx β)dx uƒ(u)du, θέτοντας u= αx+β α    n-1n n n ƒ( αx β)dx u ƒ(u)du, θέτοντας u= αx+β α    2 2 ƒ( α x )dx α ƒ(ασυνu)συνudu, θέτοντας x=αημu   2 2 2 ƒ( α x )dx α ƒ(ατεμu)τεμ udu, θέτοντας x=αεφu   2 2 ƒ( x α )dx α ƒ(αεφu)τεμuεφudu, θέτοντας x=ατεμu   αx αx1 ƒ(u) ƒ(e )dx du, θέτοντας u=e α u   u ƒ(lnx)dx ƒ(u)e du, θέτοντας u=lnx  x x ƒ(τοξημ )dx α ƒ(u)συνudu, θέτοντας u=τοξημ α α   2 2 2 2 2u 1 u du x R(ημx,συνx)dx 2 R( , ) , θέτοντας u=εφ 1 u 1 u 1 u 2       x=2τοξεφu, dx= 2 2du 1 u , ημx=2ημ x 2 συν x 2 =2εφ x 2 συν² x 2 = 2 2u 1 u συνx= ημx εφx = 2 2 2 2 2u/(1 u ) 1 u 2u(1 u ) 1 u      2 2 2 2 2 2 u 1 du R(ημ x,συν x)dx R( , ) , θέτοντας u=εφx 1 u 1 u 1 u     
  • 80.
    80 Ανάλυση -Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 80 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος ημ²x= 2 2 u 1 u , συν²x= 2 1 1 u , dx= 2 du 1 u dx dx 1 x θ ln εφ αημx βσυνx ρημ(x θ) ρ 2       , αλλάζουμε το αημx+βσυνx σε ρημ(x+θ) με ρ= 2 2 α β και θ[0,2π) έτσι ώστε συνθ=α/ρ και ημθ=β/ρ 2 2 2 1 2 2 Δβ x t 2α 4αΔβ α x 2α 4α dx και ανάλυση σε απλά κλάσματα α(x ρ )(x ρ ) dx dx αx βx γ , θέτουμε                         99..44..11..33 ΗΗ μμέέθθοοδδοοςς ττηηςς ααννάάλλυυσσηηςς σσεε ααππλλάά κκλλάάσσμμαατταα ((ppaarrttiiaall ffrraaccttiioonnss)) Εφαρμόζεται σε μία ρητή παράσταση της μορφής P(x) Q(x) . Ο παρονομαστής ή είναι παραγοντοποιημένος, ή μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε πολυώνυμα της μορφής (x+α) {αν α = ρίζα} ή (αx²+βx+γ) {αν έχει μιγαδική ρίζα}. Σότε μπορεί να αναλυθεί σε απλά κλάσματα. Για κάθε παράγοντα του Q(x) της μορφής (x+α)m εισάγουμε όρους: 31 2 m 2 2 m AA A A ... x α (x α) (x α) (x α)         Για κάθε παράγοντα του Q(x) της μορφής (αx²+βx+γ)n εισάγουμε όρους: 1 1 2 2 n n 2 2 2 2 n A x B A x B A x B ... αx βx γ (αx βx γ) (αx βx γ)             Αναζητάμε σταθερές Αi, Βi, … έτσι ώστε: 1 2 2 2 P(x) A A x B ... ... Q(x) x α αx βx γ         Παράδειγμα: 3 2 2 2 3 2 2 2 1 Α B Γ Δ Εx Ζ Ηx Θ x(x α) (βx γx δ) x x α (x α) (x α) βx γx δ (βx γx δ)                   και μετά τις πράξεις λύνουμε το σύστημα. (Αν ο βαθμός του αριθμητή P(x) είναι μεγαλύτερος του βαθμού του Q(x) τότε πριν εφαρμόσουμε την μέθο- δο αυτή διαιρούμε τα πολυώνυμα) 99..44..22 ΣΣοο οορριισσμμέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα Έστω μία φραγμένη συνάρτηση  στο διάστημα [α,β]. Αν διαιρέσουμε το διάστημα [α,β] σε n υποδιαστήμα- τα τότε το σύνολο {α=xο, x1, x2, …, xn=β} το ονομάζουμε διαμέριση του [α,β]. Διαλέγουμε ένα αριθμό ξi για κάθε υποδιάστημα [xi, xi+1], πλάτους δi=xi+1 - xi και θεωρούμε το άθροισμα: n i i 1 1 n n i 1 ƒ(ξ )δ ƒ(ξ )δ ... ƒ(ξ )δ     Αν το όριο αυτού του αθροίσματος υπάρχει για δ0 ή n το οποίο είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ε- κλογής της διαμέρισης και των σημείων ξi τότε λέμε ότι η συνάρτηση  είναι ολοκληρώσιμη (κατά Riemann) στο διάστημα [α, β] και γράφουμε:
  • 81.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Ολοκληρώματα 81 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 81 β n i i i δ 0 i 1α ƒ(x)dx lim ƒ(ξ )δ με δ=maxδ     Η διαδικασία με την οποία παίρνουμε το ολοκλήρωμα λέγεται ολοκλήρωση κατά Riemann και το όριο λέ- γεται ορισμένο ολοκλήρωμα της  ανάμεσα στα όρια α και β. Η συνάρτηση  λέγεται υπό ολοκλήρωση συ- νάρτηση. 99..44..22..11 ΟΟλλοοκκλληηρρώώσσιιμμεεςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς Μία συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα στο οποίο είναι συνεχής Μία φραγμένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα στο οποίο έχει ένα πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών. Μία φραγμένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα που είναι μονότονη (Lebesgue) Για να είναι ολοκληρώσιμη μία συνάρτηση με άπειρο πλήθος ασυνεχειών πρέπει και αρκεί τα σημεία ασυνέχειας να σχηματίζουν ένα σύνολο μηδενικού μέτρου. 99..44..22..22 ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηη μμεε άάθθρροοιισσηη Αν η συνάρτηση  είναι ολοκληρώσιμη τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ως όριο διαλέγο- ντας τα υποδιαστήματα δi και τα σημεία ξi με κάποιο ειδικό τρόπο. Για παράδειγμα αν όλα τα δi είναι ίσα και εκλέξουμε ξi ως τα δεξιά άκρα των υποδιαστημάτων έχουμε δi=h=(β-α)/n και ξi=α+ih οπότε: β n n n i 1α ƒ(x)dx lim ƒ(α ih)h lim h{ƒ(α h) ƒ(α 2h) ... ƒ(α nh)}             99..44..22..33 ΙΙδδιιόόττηηττεεςς οορριισσμμέέννοουυ οολλοοκκλληηρρώώμμααττοοςς Αν η  είναι ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα [α,β] είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα [α΄, β΄] βα β α ƒ(x)dx ƒ(x)dx   α α ƒ(x)dx 0 β β β α α α (ƒ(x) g(x) ...)dx ƒ(x)dx g(x)dx ...       Αν α, β, γ τρία σημεία ενός διαστήματος στο οποίο η συνάρτηση  είναι ολοκληρώσιμη τότε: γ β β α γ α ƒ(x)dx ƒ(x)dx ƒ(x)dx    Αν  και g ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο [α, β] τότε β β α α ƒ(x) g(x) ƒ(x)dx g(x)dx    Αν  ολοκληρώσιμη στο [α,β] τότε η || είναι επίσης ολοκληρώσιμη στο [α,β] και ισχύει: β β α α ƒ(x)dx ƒ(x) dx  Αν  και g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε και το άθροισμά τους είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α, β]
  • 82.
    82 Ανάλυση -Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 82 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος β β β α α α [ƒ(x) g(x)]dx ƒ(x)dx g(x)dx     Αν  και g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε και το γινόμενό τους είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α, β] Αν  είναι θετική και ολοκληρώσιμη στο [α,β] τότε είναι επίσης ολοκληρώσιμες στο [α,β] και οι συναρτήσεις g(x)=1/(x) και h(x) ƒ(x) 99..44..22..44 ΘΘεεώώρρηημμαα ττοουυ LLeeiibbnniittzz γγιιαα δδιιααφφόόρριισσηη οολλοοκκλληηρρωωμμάάττωωνν Αν η  και η παράγωγός της ΄ είναι συνεχείς και a, b διαφορίσιμες συναρτήσεις του x τότε: b b a a d db da ƒ(x,t)dt ƒ(x,t)dt ƒ(x,b) ƒ(x,a) dx x dx dx       Αν α, β σταθερές τότε η παραπάνω γίνεται: β β α α d ƒ(x,t)dt ƒ(x,t)dt dx x     , και η φ(x)= β α ƒ(x,t)dt είναι συνεχής στο [α,β] 99..44..22..55 ΤΤοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα σσαανν σσυυννάάρρττηησσηη ττοουυ ππάάννωω οορρίίοουυ Θεωρούμε το ολοκλήρωμα x α φ(x) ƒ(t)dt  Αν η (t) είναι μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο διάστημα [α,β] και x[α,β] τότε το ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση μόνο του x. Η συνάρτηση x α φ(x) ƒ(t)dt  είναι συνεχής σε κάθε διάστημα [α,β] στο οποίο η (t) είναι ολοκληρώσιμη. Αν  ολοκληρώσιμη στο [α,β] και x[α,β] τότε x α d ƒ(t)dt ƒ(x) dx  σε κάθε σημείο x που η  είναι συνεχής. Η συνάρτηση F(x)=φ(x)+c= x α ƒ(t)dt +c είναι μία παράγουσα της  99..44..22..66 ΤΤοο θθεεμμεελλιιώώδδεεςς θθεεώώρρηημμαα ττοουυ οολλοοκκλληηρρωωττιικκοούύ λλοογγιισσμμοούύ Αν η  είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β] και η F μία παράγουσα (αντιπαράγωγος) της . Σότε: β α ƒ(x)dx F(β) F(α)  99..44..22..77 ΘΘεεωωρρήήμμαατταα μμέέσσηηςς ττιιμμήήςς 9.4.2.7.1 Θεώρημα Μέσης Σιμής (Ολοκληρωτικού λογισμού): Αν  ολοκληρώσιμη στο [α,β] με μέγιστο κάτω φράγμα (infimum) m, και ελάχιστο άνω φράγμα (supremum) Μ, τότε υπάρχει αριθμός μ, mμM τέτοιος ώστε: β α ƒ(x)dx μ(β α)  Πόρισμα: Αν  συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει ξ[α,β]: β α ƒ(x)dx ƒ(ξ)(β α) 
  • 83.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Ολοκληρώματα 83 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 83 9.4.2.7.2 Γενίκευση: Αν , g ολοκληρώσιμες στο [α,β], η g δεν αλλάζει πρόσημο, m και Μ το infimum και το supremum της  στο [α,β] και μ[α,β], τότε: β β α α ƒ(x)g(x)dx μ g(x)dx  Αν , g ολοκληρώσιμες στο [α,β], g(x)0, και  μονότονη στο [α,β], και ξ(α,β) τότε: β βξ α α ξ ƒ(x)g(x)dx ƒ(α) g(x)dx ƒ(β) g(x)dx    Ειδικά αν  αύξουσα στο [α,β] τότε: β ξ α α ƒ(x)g(x)dx ƒ(α) g(x)dx  Αν  θετική αύξουσα στο [α,β] τότε: β β α ξ ƒ(x)g(x)dx ƒ(β) g(x)dx  99..44..22..88 ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηη κκααττάά ππααρράάγγοοννττεεςς Αν  και g είναι συναρτήσεις με ολοκληρώσιμες παραγώγους ΄ και g΄ στο [α,β] τότε β β α α β ƒ(x)g (x)dx ƒ(x)g(x) g(x)ƒ (x)dx α     όπου: β ƒ(x) ƒ(β) ƒ(α) α   99..44..22..99 ΑΑλλλλααγγήή μμεεττααββλληηττήήςς Ένα ολοκλήρωμα β α ƒ(x)dx μπορεί να μετασχηματιστεί αλλάζοντας τη μεταβλητή x με την t σύμφωνα με τη σχέση x=φ(t). Τποθέτουμε ότι η φ(t) μεταβάλλεται συνεχώς από a σε b καθώς το x μεταβάλλεται από α σε β. Αν ισχύουν a=φ(α) και b=φ(β) φ(t) έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] η [φ(t)] είναι συνεχής στο [α, β] τότε:   β b α a ƒ(x)dx ƒ φ(t) φ (t)dt  99..44..22..1100 ΜΜεερριικκέέςς ππεερριιππττώώσσεειιςς ααλλλλααγγήήςς μμεεττααββλληηττήήςς σσττοο οορριισσμμέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα Θέτοντας x=α-t έχουμε: α 0 α 0 α 0 ƒ(x)dx ƒ(α t)dt ƒ(α t)dt       Θέτοντας x= π 2 -t έχουμε: π/2 π/2 0 0 ƒ(ημx,συνx)dx ƒ(συνt,ημt)dt  ΢ε περιοδική συνάρτηση , με περίοδο Σ ισχύει: T α Σ 0 α ƒ(x)dx ƒ(x)dx    , με αλλαγή μεταβλητής x=t+Σ
  • 84.
    84 Ανάλυση -Ολοκληρώματα Μαθηματικό Συπολόγιο 84 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 99..44..22..1111 ΤΤοο οορριισσμμέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα ωωςς εεμμββααδδόό Αν  μία συνάρτηση με (x)≥0 στο διάστημα [α,β] τότε το ολοκλήρωμα β α ƒ(x)dx παριστάνει το εμβαδό Ε μεταξύ της C του άξονα x και των ευθειών x=α και x=β. Αν (x)0 τότε το αντίστοιχο εμβαδό είναι: Ε=- β α ƒ(x)dx x y 0 2 4 6 8 -4 -2 0 2 4 99..44..22..1122 ΌΌγγκκοοςς ΣΣττεερρεεοούύ εεκκ ππεερριισσττρροοφφήήςς Για μία δεδομένη συνεχή  με (x)0 στο [α,β] ο όγκος του στερεού που θα σχηματιστεί αν περιστραφεί κατά μία πλήρη γωνία το γράφημα C γύρω από τον x άξονα και ανάμεσα στις κάθετες τομές στα σημεία α και β είναι β 2 α V π ƒ (x)dx  99..44..22..1133 ΠΠρροοσσεεγγγγιισσττιικκοοίί ττύύπποοιι γγιιαα ττοο οολλοοκκλλήήρρωωμμαα Θεωρούμε το διάστημα από α έως β χωρισμένο σε n ίσα μέρη από τα σημεία xο=α, x1, x2, …, xn=β Έστω yο=(xο), y1=(x1), …, yn=(xn), και h=(β-α)/n. Σότε: β o 1 n 1 α ƒ(x)dx h(y y ... y )    Σύπος ορθογωνίου β o 1 2 n 1 n α h ƒ(x)dx (y 2y 2y ... 2y y ) 2       Σύπος τραπεζοειδούς β o 1 2 3 n 1 n α h ƒ(x)dx (y 4y 2y 4y ... 4y y ) 3        Σύπος του Simpson (παραβολικός)
  • 85.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Ανάλυση- Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 85 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 85 9.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Scalar product) Για δύο διανύσματα α =(α1, α2, α3) καιβ =(β1, β2, β3) με γωνία φ μεταξύ τους ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμε- νο α β τον αριθμό ( ) α β =αβσυνφ, με 0  φ  π α β =α1β1+α2β2+α3β3 α β = 0  α β α β = αβ  α ||β 9.6 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Vector product) Για δύο διανύσματα α =(α1, α2, α3) καιβ =(β1, β2, β3) με γωνία φ μεταξύ τους ορίζουμε ως εξωτερικό γινόμενο α ×β το διάνυσμα: α ×β =αβημφ n όπου n είναι ένα μοναδιαίο (n=1) διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα α και β και με τέτοια φο- ρά ώστε τα διανύσματα α ,β και n να σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα (αν περιστρέψουμε το α προς το μέρος του β με την μικρότερη γωνία τότε το n να έχει την φορά κίνησης του δεξιόστροφου κοχλία ή του δεξιού χεριού) ισχύει: α ×β = 1 2 3 1 2 3 i j k α α α β β β α ×β = (α2β3-α3β2) i +(α1β3-α3β1) j +( α1β2-α2β1) k α ×β = - β ×α α ×β = 0  α ||β α ×β =αβn  α β β α ασυνφ φ β α βσυνφ φ α ×β φ β α n
  • 86.
    86 Βιβλιογραφία, πηγές:- Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 86 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 10 Βιβλιογραφία, πηγές: Ανισότητες, Π.Ε. Σσαούσογλου, Αθήνα 1993 Luis Brand, Μαθηματική Ανάλυση, εκδόσεις Ε.Μ.Ε. The pocket professor, 2500 Math Formulas Μαθηματικό Εγχειρίδιο, Murray R. Spiegel, John Liu, εκδόσεις Σζιόλα, (΢ειρά Schaum) Αριθμοί και άλλα, Σάσου Αγάπη. Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη, Φ. Βαφειάδης Θεωρία συνόλων, Γ. Μητακίδη, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών Εισαγωγή στη Μαθηματική ΢κέψη, Κ. Δρόσος, Μαθηματικές σημειώσεις http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html Πολύ καλή δουλειά πάνω στην ιστορία των μαθηματικών http://mathforum.org/ Διάφορα μαθηματικά θέματα, αποδείξεις, από το πανεπ. Drexel http://mathworld.wolfram.com/ Πολύ καλός ιστοχώρος με δεκάδες χιλιάδες θέματα. Ορισμοί, αποδείξεις, ιστορία, από κάθε τομέα των μαθηματικών
  • 87.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία,πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 87 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 87 ΕΕ ΤΤ ΡΡ ΕΕ ΣΣ ΗΗ ΡΡ ΙΙ ΟΟ C Cantor, 4 Cauchy, 10, 13, 56 Cauchy – Euler, 10 D De Moivre, 10, 19 F Fibonacci, 5 L Lagrange, 10 N Newton, 10 P Pascal, 10 Α άθποιζμα πιζών, 16 αλγόπιθμορ ηος Εςκλείδη, 6 ανιζόηηηα A-G-H, 13 Ανιζόηηηα Bernoulli, 14 Ανιζόηηηα Buniakoski-Cauchy-Schwartz, 13 Ανιζόηηηα Chebyshev, 14 Ανιζόηηηα Hölder, 14 Ανιζόηηηα Minkowski, 14 Ανιζόηηηα Weierstrass, 14 Ανιζόηηηα Απσιμήδη, 14 απιθμόρ Άπηιορ, 5 Πεπιηηόρ, 5 ππώηορ, 5 Σύνθεηορ, 5 Χρσζός, 5 απιθμόρ ηος Euler, 15 Γ γινόμενο πιζών, 16 Δ Διαίρεζη Τέλεια, 5 Διαιπεηόηηηα, 5 διωνςμικόρ ζςνηελεζηήρ, 10 διώνσμο ηοσ Νεύηωνα, 10 δύναμη ηος ζςνεσούρ, 4 Ε εκθεηική μοπθή ηος μιγαδικού, 19 Ελάσιζηο Κοινό Πολλαπλάζιο, 6 Εςκλείδεια διαίπεζη, 5 Θ θεώπημα De Moivre, 19 Κ κλάζμα, 6 ανάγωγο, 6 γνήζιο, 6 ζύνθεηο, 6 Κλάζμα Καηασπηζηικό, 6 κλίζη εςθείαρ, 21 Λ λόγορ Χπςζήρ Τομήρ, 5 Μ Μέγιζηορ Κοινόρ Διαιπέηηρ, 6 μέηπο μιγαδικού, 18 μιγαδικό επίπεδο, 18 μιγαδικός απιθμόρ, 18 μιγαδικόρ ζςζςγήρ, 18 Ο όπιζμα μιγαδικού, 18 Π παπαγονηικό, 10 πεπιοδικόρ δεκαδικόρ, 7 περίοδος, 7 πολικέρ ζςνηεηαγμένερ, 20 πολική μοπθή ηος μιγαδικού, 18 πολική μοπθή ηων μιγαδικών, 19 Ππόοδορ Απιθμηηική, γεωμεηπική, 15 ππόζημο ηπιωνύμος, 16 Πποηεπαιόηηηα ηων ππάξεων, 4 Ππώηοι ππορ αλλήλοςρ, 6 Πςθαγόπεια ηπιάδα Ππωηαπσική, 8 Σ Σύνολο, 4 απειποζύνολο, 4 αριθμήζιμο, 4 δςναμοζύνολο, 4 μη-απιθμήζιμο, 4 πληθάπιθμορ, 4 ςποζύνολο, 4 ςποζύνολο γνήζιο, 4 Τ ηπίγωνο ηος Pascal, 10 ηύποι ηος Euler, 19
  • 88.
    88 Βιβλιογραφία, πηγές:- Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 88 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος Χ Χπςζή Τομή, 5
  • 89.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία,πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 89 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 89 ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1 Αριθμοί.....................................................................................................................4 1.1 ΢ύνολα.........................................................................................................................................4 1.1.1 Τποσύνολα .............................................................................................................................4 1.1.1.1 Άλγεβρα υποσυνόλων του Boole....................................................................................4 1.1.2 Δυναμοσύνολο.......................................................................................................................4 1.1.3 Πληθάριθμοι..........................................................................................................................4 1.1.4 Σα σύνολα των αριθμών........................................................................................................5 1.2 Προτεραιότητα των πράξεων ....................................................................................................5 1.3 Πρώτοι αριθμοί (Prime numbers) ...........................................................................................5 1.4 Φρυσός αριθμός..........................................................................................................................5 1.5 Ευκλείδεια διαίρεση ...................................................................................................................5 1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθμοί ............................................................................................................6 1.7 Διαιρετότητα...............................................................................................................................6 1.8 Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων..............................................................................6 1.9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης.......................................................................................................6 1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο .................................................................................................7 1.11 Κλάσματα....................................................................................................................................7 1.12 Δεκαδικοί αριθμοί ......................................................................................................................7 1.13 Σέλειος αριθμός..........................................................................................................................8 1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθμός.....................................................................................................8 1.15 Υιλικοί αριθμοί...........................................................................................................................8 1.16 Πυθαγόρειοι αριθμοί..................................................................................................................8 1.17 Άρρητοι αριθμοί.........................................................................................................................9 1.18 Αλγεβρικοί αριθμοί ....................................................................................................................9 1.19 Τπερβατικοί αριθμοί ..................................................................................................................9 2 Άλγεβρα.................................................................................................................. 10 2.1 Λόγοι και αναλογίες .................................................................................................................10 2.2 Απόλυτες τιμές..........................................................................................................................10 2.3 Σαυτότητες ................................................................................................................................11 2.4 Διάταξη - Ανισότητες...............................................................................................................12 2.4.1 Αξιοσημείωτες Ανισότητες:................................................................................................12 2.4.2 Ανισότητα Αριθμητικού – Γεωμετρικού – Αρμονικού μέσου........................................13 2.4.3 Ανισότητα Buniakoski-Cauchy-Schwartz (B-C-S) .........................................................13 2.4.4 Ανισότητα Hölder...............................................................................................................14 2.4.5 Ανισότητα Minkowski........................................................................................................14 2.4.6 Ανισότητα Chebyshev........................................................................................................14 2.4.7 Ανισότητα Weierstrass .......................................................................................................14 2.4.8 Ανισότητα Αρχιμήδη..........................................................................................................14 2.4.9 Ανισότητα Bernoulli ...........................................................................................................14 2.5 Δυνάμεις ....................................................................................................................................15 2.6 Σετραγωνικές Ρίζες...................................................................................................................15 2.7 Ρίζες ν τάξης..............................................................................................................................15 2.8 Λογάριθμοι................................................................................................................................15 2.9 Πρόοδοι ....................................................................................................................................15 2.10 Εξισώσεις...................................................................................................................................16 2.10.1 Πρωτοβάθμια εξίσωση........................................................................................................16 2.10.2 Δευτεροβάθμια εξίσωση .....................................................................................................16 2.10.2.1 Άθροισμα και γινόμενο ριζών τριωνύμου....................................................................16 2.10.2.2 Πρόσημο τριωνύμου .....................................................................................................16 2.10.2.3 Μορφές τριωνύμου ........................................................................................................17
  • 90.
    90 Βιβλιογραφία, πηγές:- Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 90 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 2.10.3 Διτετράγωνη Εξίσωση.........................................................................................................17 2.10.4 Διωνυμικές εξισώσεις βαθμού ν3.....................................................................................17 2.10.5 Σριτοβάθμια εξίσωση..........................................................................................................17 2.10.6 Η τεταρτοβάθμια εξίσωση..................................................................................................18 2.10.7 Εξισώσεις 5ου και μεγαλύτερου βαθμού ............................................................................19 3 Μιγαδικοί αριθμοί................................................................................................... 20 3.1 Ορισμοί .....................................................................................................................................20 3.2 ΢υζυγείς μιγαδικοί....................................................................................................................20 3.3 Ισότητα μιγαδικών αριθμών ....................................................................................................20 3.4 Πράξεις μιγαδικών αριθμών ....................................................................................................20 3.5 Μιγαδικό επίπεδο.....................................................................................................................20 3.6 Πολική μορφή μιγαδικού ........................................................................................................20 3.7 Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση σε πολική μορφή.....................................................................20 3.8 Ρίζα μιγαδικού αριθμού ...........................................................................................................21 3.8.1 Οι νιοστές ρίζες της μονάδας.............................................................................................21 3.9 Εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών......................................................................................21 3.10 Λογάριθμος μιγαδικού.............................................................................................................21 3.11 Πράξεις με μιγαδικούς σε εκθετική μορφή............................................................................21 4 Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο........................................................................... 22 4.1 ΢υστήματα συντεταγμένων ......................................................................................................22 4.1.1 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων................................................................................22 4.1.2 Πολικές συντεταγμένες .......................................................................................................22 4.2 Μετασχηματισμός συντεταγμένων..........................................................................................22 4.2.1 Παράλληλη Μεταφορά συντεταγμένων.............................................................................22 4.2.2 Περιστροφή συστήματος κατά γωνία φ.............................................................................22 4.2.3 Μεταφορά και περιστροφή ταυτόχρονα ...........................................................................23 4.3 Απόσταση σημείων...................................................................................................................23 4.3.1 ΢ε καρτεσιανές συντεταγμένες ...........................................................................................23 4.3.2 ΢ε πολικές συντεταγμένες...................................................................................................23 4.4 ΢υντεταγμένες σημείου που διαιρεί ευθ. τμήμα ....................................................................23 4.5 Εμβαδό τριγώνου .....................................................................................................................23 4.6 ΢υνευθειακά σημεία..................................................................................................................23 4.7 Ευθεία........................................................................................................................................24 4.7.1 Κλίση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία..................................................................24 4.7.2 Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ..............................................................24 4.7.3 Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία..............................................................24 4.7.4 Εξίσωση ευθεία που τέμνει τους άξονες στις θέσεις α και β............................................24 4.7.5 Γενική εξίσωση ευθείας .......................................................................................................24 4.7.6 Πολική εξίσωση ευθείας......................................................................................................24 4.7.7 Ειδικές ευθείες .....................................................................................................................24 4.7.7.1 Ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ....................................................24 4.7.7.2 Διχοτόμος 1ου – 3ου τεταρτημορίου .............................................................................24 4.7.7.3 Διχοτόμος 2ου – 4ου τεταρτημορίου .............................................................................24 4.7.7.4 Ευθεία παράλληλη στον x άξονα..................................................................................24 4.7.7.5 Ευθεία παράλληλη στον y άξονα..................................................................................24 4.7.7.6 Εξίσωση x άξονα............................................................................................................24 4.7.7.7 Εξίσωση y άξονα............................................................................................................24 4.7.8 Απόσταση σημείου από ευθεία ..........................................................................................25 4.7.9 Γωνία θ μεταξύ ευθειών με κλίσεις λ1 και λ2......................................................................25 4.7.10 Ευθείες κάθετες – Ευθείες παράλληλες.............................................................................25 4.8 Κύκλος.......................................................................................................................................26 4.8.1 Ορισμός ...............................................................................................................................26
  • 91.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία,πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 91 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 91 4.8.2 Εξίσωση κύκλου...................................................................................................................26 4.8.3 Εξίσωση κύκλου σε πολικές συντεταγμένες ......................................................................26 4.8.4 Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου........................................................................................26 4.8.5 Εξίσωση κύκλου που διέρχεται από 3 σημεία..................................................................26 4.8.6 Εξίσωση εφαπτομένης κύκλου στο σημείο (x1, y1)...........................................................26 4.8.7 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο ...................................................26 4.8.8 Εφαπτόμενη σε κύκλο από σημείο εκτός κύκλου ............................................................26 4.9 Η παραβολή..............................................................................................................................27 4.9.1 Ορισμός ...............................................................................................................................27 4.9.2 Εξίσωση παραβολής ...........................................................................................................27 4.9.3 Γενική εξίσωση παραβολής ................................................................................................27 4.9.4 Πολική εξίσωση παραβολής...............................................................................................28 4.9.5 ΢χετικές θέσεις σημείου και παραβολής...........................................................................28 4.9.6 Εφαπτομένη σε σημείο παραβολής...................................................................................28 4.9.7 Κάθετη σε σημείο παραβολής ...........................................................................................28 4.9.8 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτόμενη σε παραβολή............................................28 4.9.9 Εφαπτόμενη από σημείο εκτός παραβολής......................................................................28 4.9.10 Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής.....................................................................................28 4.9.11 Μήκος τόξου και εμβαδό χωρίου παραβολής..................................................................29 4.10 Έλλειψη......................................................................................................................................30 4.10.1 Ορισμός ...............................................................................................................................30 4.10.2 Εξίσωση έλλειψης................................................................................................................30 4.10.3 Πολική εξίσωση της έλλειψης.............................................................................................30 4.10.4 Εκκεντρότητα της έλλειψης................................................................................................30 4.10.5 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτομένη σε έλλειψη.................................................31 4.10.6 Εξίσωση εφαπτομένης σε σημείο της έλλειψης ...............................................................31 4.10.7 Εφαπτομένη από σημείο εκτός έλλειψης ..........................................................................31 4.10.8 Εξίσωση κάθετης σε έλλειψη..............................................................................................31 4.10.9 Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης...................................................................................31 4.10.10 Μήκος τόξου και εμβαδό έλλειψης....................................................................................31 4.11 Τπερβολή...................................................................................................................................32 4.11.1 Ορισμοί................................................................................................................................32 4.11.2 Εξίσωση της υπερβολής......................................................................................................32 4.11.3 Ασύμπτωτες της υπερβολής ...............................................................................................32 4.11.4 Εκκεντρότητα υπερβολής...................................................................................................32 4.11.5 ΢υζυγείς υπερβολές.............................................................................................................32 4.11.6 Εξίσωση εφαπτομένης υπερβολής .....................................................................................32 4.11.7 ΢υνθήκη για να είναι μία ευθεία εφαπτόμενη υπερβολής................................................33 4.11.8 Εφαπτόμενη από σημείο εκτός υπερβολής.......................................................................33 4.11.9 Πολική εξίσωση υπερβολής................................................................................................33 4.11.10 Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής...............................................................................33 4.12 Γενικά για τις κωνικές τομές....................................................................................................34 4.13 Καμπύλες δευτέρου βαθμού....................................................................................................35 4.13.1 Ορισμός ...............................................................................................................................35 4.13.2 Διερεύνηση...........................................................................................................................35 4.13.3 Μετατροπή σε κανονική μορφή.........................................................................................35 4.13.3.1 Για κύκλο, έλλειψη, υπερβολή: .....................................................................................35 4.13.3.2 Για παραβολή.................................................................................................................36 5 Αναλυτική γεωμετρία στον χώρο ............................................................................. 37 5.1 ΢υστήματα συντεταγμένων ......................................................................................................37 5.1.1 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων................................................................................37 5.1.2 Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων.................................................................................37 5.1.3 ΢φαιρικό σύστημα συντεταγμένων.....................................................................................37 5.1.4 Παράλληλη μεταφορά συστήματος συντεταγμένων.........................................................37
  • 92.
    92 Βιβλιογραφία, πηγές:- Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 92 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 5.2 Απόσταση δύο σημείων............................................................................................................38 5.3 ΢ημείο που διαιρεί τμήμα σε λόγο λ......................................................................................38 5.4 Εμβαδό τριγώνου .....................................................................................................................38 5.5 Όγκος τετραέδρου....................................................................................................................38 5.6 Επίπεδα .....................................................................................................................................39 5.6.1 Γενική εξίσωση επιπέδου ....................................................................................................39 5.6.2 Ειδικά επίπεδα.....................................................................................................................39 5.6.3 Εξίσωση επιπέδου που τέμνει τους άξονες........................................................................39 5.6.4 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από 3 σημεία...............................................................39 5.6.5 Γωνία δύο επιπέδων.............................................................................................................39 5.6.6 Απόσταση επιπέδου από την αρχή Ο ...............................................................................40 5.6.7 Απόσταση σημείου από επίπεδο........................................................................................40 5.6.8 ΢υνθήκη παραλληλίας επιπέδων ........................................................................................40 5.6.9 ΢υνθήκη καθετότητας επιπέδων.........................................................................................40 5.7 Ευθείες στον χώρο....................................................................................................................41 5.7.1 Εξίσωση ευθείας στον χώρο...............................................................................................41 5.7.2 Ειδικές ευθείες .....................................................................................................................41 5.7.3 Γωνία δύο ευθειών ...............................................................................................................41 5.7.4 ΢υνθήκη παραλληλίας.........................................................................................................42 5.7.5 ΢υνθήκη καθετότητας.........................................................................................................42 5.8 Μερικές Επιφάνειες ..................................................................................................................43 5.8.1 ΢φαίρα..................................................................................................................................43 5.8.2 Ελλειψοειδές ........................................................................................................................43 5.8.3 Τπερβολοειδές.....................................................................................................................43 5.8.4 Παραβολοειδές....................................................................................................................44 5.8.4.1 Ελλειπτικό παραβολοειδές............................................................................................44 5.8.4.2 Τπερβολικό παραβολοειδές..........................................................................................44 6 Γραμμική άλγεβρα .................................................................................................. 45 6.1 Πίνακες......................................................................................................................................45 6.1.1 Ορισμοί................................................................................................................................45 6.1.2 Πράξεις πινάκων..................................................................................................................45 6.2 Ορίζουσες..................................................................................................................................46 6.2.1 Αλγεβρικό συμπλήρωμα.....................................................................................................46 6.2.2 Ορίζουσα οποιασδήποτε τάξης..........................................................................................46 6.2.3 Ιδιότητες οριζουσών............................................................................................................47 6.3 Γραμμικά συστήματα...............................................................................................................47 6.3.1 Μέθοδος του Cramer..........................................................................................................47 6.3.2 Μέθοδος του Gauss............................................................................................................48 7 Σριγωνομετρία........................................................................................................ 49 7.1 Ορισμοί .....................................................................................................................................49 7.2 ΢ημαντικές σχέσεις...................................................................................................................50 7.3 Σριγωνομετρικοί αριθμοί κυριότερων γωνιών .......................................................................50 7.4 Σριγωνομετρικές εξισώσεις......................................................................................................50 7.5 Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο............................................................................51 7.6 Σύποι αποτετραγωνισμού.........................................................................................................51 7.7 Βασικές ανισότητες...................................................................................................................51 7.8 Άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών .....................................................................................51 7.9 ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) ....................................................................................52 7.10 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο ........................................................................................52 7.11 Μετατροπές μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών.....................................................................52 7.12 Δυνάμεις ημιτόνου, συνημιτόνου.............................................................................................52 7.13 Σο άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο...............................................................53 7.14 Γραφικές παραστάσεις..............................................................................................................53
  • 93.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία,πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 93 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 93 7.15 Επίλυση Σριγώνου....................................................................................................................54 7.15.1 Θεώρημα ημιτόνων.............................................................................................................54 7.15.2 Θεώρημα συνημιτόνων.......................................................................................................54 7.15.3 Θεώρημα εφαπτομένων ......................................................................................................54 7.15.4 Θεώρημα προβολών ...........................................................................................................54 7.15.5 Σύποι του Brigg...................................................................................................................54 7.15.6 Εμβαδό τριγώνου................................................................................................................54 8 ΢υναρτήσεις............................................................................................................ 56 8.1 Ορισμοί .....................................................................................................................................56 8.2 Άρτια συνάρτηση:.....................................................................................................................56 8.3 Περιττή συνάρτηση: .................................................................................................................56 8.4 ΢υνάρτηση ένα προς ένα 1-1:..................................................................................................56 8.5 Αντίστροφη συνάρτηση............................................................................................................57 8.6 Περιοδική συνάρτηση..............................................................................................................57 8.7 Μονότονες συναρτήσεις...........................................................................................................57 8.8 ΢ύνθεση συναρτήσεων..............................................................................................................57 8.9 Ακρότατα συνάρτησης .............................................................................................................57 8.9.1 Μέγιστο:...............................................................................................................................57 8.9.2 Ελάχιστο: .............................................................................................................................57 8.10 Κυρτότητα και σημεία καμπής................................................................................................58 8.11 Μερικές χρήσιμες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.......................................................58 8.12 Η γραμμική συνάρτηση y = (x) = λx+β .............................................................................59 8.13 Η τετραγωνική συνάρτηση y=(x)=αx²+βx+γ.....................................................................59 8.14 Η συνάρτηση y=(x)=αxn .......................................................................................................59 8.15 Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x..............................................................................................60 8.16 Η εκθετική συνάρτηση .............................................................................................................60 8.17 Η λογαριθμική συνάρτηση ......................................................................................................60 8.18 Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.......................................................................61 8.18.1 ΢χέσεις μεταξύ αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ........................................62 8.18.2 Άθροισμα Αντίστροφων τριγωνομετρικών........................................................................62 8.18.3 Αρνητικό όρισμα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.....................................62 8.18.4 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ............................62 8.19 Τπερβολικές συναρτήσεις.........................................................................................................63 8.19.1 Ορισμός ...............................................................................................................................63 8.19.2 Οι υπερβολικές συναρτήσεις ως εκθετικά .........................................................................63 8.19.3 ΢χέσεις μεταξύ υπερβολικών συναρτήσεων ......................................................................63 8.19.4 Περιοδικότητα υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων ........................................63 8.19.5 Αρνητικά ορίσματα.............................................................................................................63 8.19.6 Σύποι Αθροισμάτων............................................................................................................63 8.19.7 Διπλάσια γωνία ....................................................................................................................63 8.19.8 Σύποι μισής γωνίας..............................................................................................................64 8.19.9 Δυνάμεις υπερβολικών συναρτήσεων.................................................................................64 8.19.10 Αθροίσματα – διαφορές – γινόμενα υπερβολικών συναρτήσεων ...................................64 8.19.11 Τπερβολικές συναρτήσεις σε σχέση με άλλες...................................................................64 8.19.12 Γραφικές παραστάσεις υπερβολικών συναρτήσεων..........................................................65 8.20 Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις...................................................................................66 8.20.1 ΢χέσεις μεταξύ αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων ...............................................66 8.20.2 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ............................66 8.20.3 ΢χέση υπερβολικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων.................................................67 9 Ανάλυση.................................................................................................................. 68 9.1 Όριο συνάρτησης......................................................................................................................68 9.1.1 Πλευρικά όρια .....................................................................................................................68 9.1.2 Όριο στο άπειρο..................................................................................................................68 9.1.3 Άπειρο όριο .........................................................................................................................68
  • 94.
    94 Βιβλιογραφία, πηγές:- Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Μαθηματικό Συπολόγιο 94 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 9.1.4 Πρόσημο τιμών συνάρτησης..............................................................................................68 9.1.5 Όριο αθροίσματος, γινόμενου κλπ....................................................................................68 9.1.6 Κριτήριο παρεμβολής ........................................................................................................69 9.1.7 Μερικά σημαντικά όρια......................................................................................................69 9.2 ΢υνέχεια συνάρτησης (continuity)..........................................................................................69 9.2.1 ΢ε ένα σημείο xο..................................................................................................................69 9.2.2 ΢ε ένα διάστημα..................................................................................................................69 9.2.3 ΢υναρτήσεις που είναι συνεχείς..........................................................................................69 9.2.4 ΢υνέπειες συνέχειας.............................................................................................................69 9.2.5 Θεωρήματα ενδιαμέσων τιμών...........................................................................................70 9.3 Παράγωγος συνάρτησης ..........................................................................................................71 9.3.1 Εξίσωση εφαπτομένης στην καμπύλη y=(x) στο σημείο xο..........................................71 9.3.2 Διαφορίσιμη ή παραγωγίσιμη συνάρτηση.........................................................................71 9.3.3 Παράγωγος και συνέχεια ....................................................................................................71 9.3.4 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.....................................................................................71 9.3.5 Παράγωγος μίας αντίστροφης συνάρτησης ......................................................................71 9.3.6 Γενικοί Κανόνες Παραγώγισης..........................................................................................72 9.3.7 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων .....................................................................72 9.3.8 Παράγωγοι εκθετικών – λογαριθμικών συναρτήσεων......................................................72 9.3.9 Παράγωγοι υπερβολικών- αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων .............................72 9.3.10 Παράγωγοι ανώτερης τάξης...............................................................................................73 9.3.10.1 Θεώρημα του Leibnitz για παραγώγους ανώτερης τάξης..........................................73 9.3.10.2 Νιοστή παράγωγος μερικών συναρτήσεων..................................................................73 9.3.11 Παράγωγος και μονοτονία .................................................................................................74 9.3.12 Θεώρημα του Rolle ............................................................................................................74 9.3.13 Θεώρημα του Darboux......................................................................................................74 9.3.14 Θεώρημα μέσης τιμής (διαφορικού λογισμού) ................................................................74 9.3.15 Δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής (Cauchy) .........................................................................74 9.3.16 Κανόνας του De L‟ Hospital.............................................................................................75 9.3.16.1 Άλλες απροσδιόριστες μορφές .....................................................................................75 9.3.17 Ανάπτυγμα Taylor...............................................................................................................75 9.3.18 Ακρότατα συνάρτησης και παράγωγος .............................................................................76 9.3.18.1 Θεώρημα (Κριτήριο πρώτης παραγώγου) ..................................................................76 9.3.18.2 Θεώρημα (Ακρότατα ή σημεία καμπής).....................................................................76 9.3.18.3 Μελέτη πραγματικής συνάρτησης (πραγματικής μεταβλητής) .................................76 9.4 Ολοκληρώματα.........................................................................................................................78 9.4.1 Αόριστο Ολοκλήρωμα .......................................................................................................78 9.4.1.1 Γενικοί κανόνες Ολοκλήρωσης ....................................................................................78 9.4.1.2 ΢ημαντικοί μετασχηματισμοί στα ολοκληρώματα.....................................................79 9.4.1.3 Η μέθοδος της ανάλυσης σε απλά κλάσματα (partial fractions)...............................80 9.4.2 Σο ορισμένο ολοκλήρωμα .................................................................................................80 9.4.2.1 Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις........................................................................................81 9.4.2.2 Ολοκλήρωση με άθροιση..............................................................................................81 9.4.2.3 Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος..........................................................................81 9.4.2.4 Θεώρημα του Leibnitz για διαφόριση ολοκληρωμάτων............................................82 9.4.2.5 Σο ολοκλήρωμα σαν συνάρτηση του πάνω ορίου.......................................................82 9.4.2.6 Σο θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού ............................................82 9.4.2.7 Θεωρήματα μέσης τιμής...............................................................................................82 9.4.2.8 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες....................................................................................83 9.4.2.9 Αλλαγή μεταβλητής.......................................................................................................83 9.4.2.10 Μερικές περιπτώσεις αλλαγής μεταβλητής στο ορισμένο ολοκλήρωμα ..................83 9.4.2.11 Σο ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδό.........................................................................84
  • 95.
    Μαθηματικό Συπολόγιο Βιβλιογραφία,πηγές: - Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 95 Παπαδημητρίου Φ. Γιώργος 95 9.4.2.12 Όγκος ΢τερεού εκ περιστροφής...................................................................................84 9.4.2.13 Προσεγγιστικοί τύποι για το ολοκλήρωμα..................................................................84 9.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ..........................................................................................85 9.6 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων...........................................................................................85 10 Βιβλιογραφία, πηγές:............................................................................................... 86