Μιγαδικοί αριθμοί, σχέσεις μέτρων για τρεις τουλάχιστον μιγαδικούς αριθμούς

1. Μιγαδικοί Αριθμοί
Εξειδικευμένα θέματα
στα μέτρα τριών τουλάχιστον μιγαδικών αριθμών
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Αθήνα 2014

2. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
2
… αφιερωμένο στους αναγνώστες του lisari

3. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
3
Πρόλογος
Σε φυλλάδιο αυτό θα ασχοληθούμε με μια συγκεκριμένη κατηγορία ασκήσεων στα μέτρα των μιγαδικών αριθμών.
Δύο είναι οι βασικοί λόγοι που με ώθησαν να δημιουργήσω ένα τέτοια φυλλάδιο:
 Η δυσκολία των μαθητών – καθηγητών στην αντιμετώπιση - διδασκαλία αυτών των θεμάτων,
 Η (συχνή) εμφάνιση τους στις Πανελλαδικές Εξετάσεις
Η παρουσίαση θα γίνει ως εξής, αρχικά θα παρουσιάσουμε την μορφή αυτών των ασκήσεων μέσα από τις ασκήσεις του βιβλίου και τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων που είχαν τεθεί στο παρελθόν.
Μετά θα λύσουμε κάποιες ασκήσεις και θα εξηγήσουμε τον τρόπο σκέψης. Τέλος θα γενικεύσουμε τις ασκήσεις για να τις ομαδοποιήσουμε πιο εύκολα στο μυαλό μας.
! Καλή ανάγνωση !

4. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
4
Α) Θέμα από το σχολικό βιβλίο
1) Αν για τους μιγαδικούς 1 2 κ z , z , ..., z ισχύει     1 2 κ |z | |z | ... |z | 1, να αποδείξετε ότι:
       1 2 κ
1 2 κ
1 1 1
|z z ... z | ...
z z z
.
(ασκ. 10 / σελ 102)
Β) Θέματα Εξετάσεων
1) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 z , z , z με   1 2 3 z z z = 3 .
α. Να δείξετε ότι  1
1
1
z
z
β. Δείξτε ότι ο αριθμός 1  2
2 1
z z
z z
είναι πραγματικός
γ. Δείξτε ότι:      1 2 3 1 2 2 3 1 3
1
z z z z z z z z z
3
(Θέμα 2 / 2005)
2) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 z , z , z με    1 2 3 z z z 1 και    1 2 3 z z z 0
α. Να αποδείξετε ότι:
     1 2 2 3 3 1 z z z z z z
  1 2 z z 4 και      1 2 Re z z 1
β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των 1 2 3 z , z , z στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του
τριγώνου που αυτές σχηματίζουν
( Θέμα 3 / 2006)
Γ) Βασικές ασκήσεις – σκέψεις
Για ρ>0 ισχύει:   
2 ρ
z ρ z
z
(1)
z  z (2) (δηλαδή μέσα σε μέτρα μπορούμε να πάρουμε το συζυγή αυθαίρετα)
z  wz  w (3)
Για πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η εξής ταυτότητα:            
2 2 2 2 α β γ α β γ 2 αβ αγ βγ

5. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
5
Δ) Επίλυση ασκήσεων
Θέμα 1ο
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 z , z , z με    1 2 3 z z z 1 , τότε να αποδείξετε ότι:
      1 2 3
1 2 3
1 1 1
z z z 3
z z z
Λύση
Από την βασική άσκηση - σκέψη (1) για ρ = 1, έχουμε:
       
2 2
1 1 1 1 1
1
1
z 1 z 1 z z 1 z
z
Όμοια βρίσκουμε, 2 
2
1
z
z
και 3 
3
1
z
z
.
Παίρνουμε το β΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
   1  2  3  1  2  3  1  2  3
1 2 3
1 1 1
z z z z z z z z z
z z z
.
Θα δείξουμε ότι:    1 2 3 z z z 3 .
Έχουμε,
         1 2 3 1 2 3 z z z z z z 1 1 1 3 .
Θέμα 2ο
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 z , z , z με    1 2 3 z z z 1 , και   1 2 3 z z z πραγματικός αριθμός, τότε να
αποδείξετε ότι:      1 2 3
1 2 3
1 1 1
z z z
z z z
Λύση
Όμοια παίρνουμε τις σχέσεις:  1
1
1
z
z
, 2 
2
1
z
z
και 3 
3
1
z
z
.
Έχουμε,
1  2  3   1  2  3   1  2  3  1  2  3  1  2  3  1  2  3   
1 2 3
1 1 1
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z
Θέμα 3ο (…συνέχεια από το θέμα 1)
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 z , z , z με    1 2 3 z z z 1 , τότε να αποδείξετε ότι:
i.      1 2 3 1 2 2 3 3 1 z z z z z z z z z
ii.
     
         
     
1 2 2
2 3 3
z z z 3
Re Re Re
z z z 2

6. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
6
Λύση
i. Πορεία σκέψης: Έχουμε αποδείξει (δες θέμα 1)      1 2 3
1 2 3
1 1 1
z z z
z z z
(4), άρα τα γινόμενα των
1 2 3 z , z , z που υπάρχουν στην ζητούμενη σχέση, θα προκύψουν από τις πράξεις (ομώνυμα) των κλασμάτων της σχέσης (4).
Επομένως από την σχέση (4) και κάνοντας πράξεις στο β΄ μέλος έχουμε,
 
        
     
     
 
2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 z z z z z z z z z z z z
z z z
z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z
z z z z z z 1 1 1
ii. Μια ευφάνταστη λύση είναι η εξής:
  
  
 
      
     
     
 
       
 
         
     
            
     
 
    
 
2
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2 3 1 3 1 2
1 2 1 3 2 3
2 1 3 1 3 2
1 1 1
2 2 3
z z z 0 z z z 0
z z z z z z 0
z z z z z z 0
1 1 1
z z z 0
z z z
z z z z z z
1 1 1 0
z z z z z z
z z z z z z
3
z z z z z z
z z z z
z z z
   
       
   
     
          
     
     
          
     
1 2 2
3 3 3
1 2 2
2 3 3
1 2 2
2 3 3
z z
3
z z z
z z z
2 Re 2 Re 2 Re 3
z z z
z z z 3
Re Re Re
z z z 2
Θέμα 4ο
Έστω οι μιγαδικοί 1 2 3 z , z , z που είναι τέτοιοι ώστε    1 2 3 z z z 0 και    1 2 3 z z z 1.
Α) Να αποδείξετε ότι:
i.    1 2 2 3 3 1 z z z z z z 0
ii.    2 2 2
1 2 3 z z z 0
iii.       1 2 1 3 3 2 z z z z z z 3
iv.  2z 0 και 1 
2
z
z

7. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
7
Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των 1 2 3 z , z , z στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του
τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Λύση
i. Πορεία σκέψης: Πως θα εμφανίσουμε στη ζητούμενη σχέση το άθροισμα των 1 2 2 3 3 1 z z , z z , z z ; Τα γινόμενα των
1 2 3 z , z , z θα προκύψουν από τα ομώνυμα κλάσματα των
1 2 3
1 1 1
, ,
z z z
, δηλαδή
                  1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
2
1 2 3 3 1
1 3
1 1 1
z z z 0 z z z 0 z z z 0 z z z z z z 0.
z z z
ii. Πορεία σκέψης: Πως θα εμφανίσουμε στη ζητούμενη σχέση το άθροισμα τετραγώνων των 1 2 3 z , z , z ; Εδώ πρέπει
να σκεφτούμε την ταυτότητα            
2 2 2 2 α β γ α β γ 2 αβ αγ βγ που συνδυάζει τα γινόμενα του πρώτου
σκέλους και τα τετράγωνα που αναζητούμε.
Έχουμε,
                  2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 z z z 0 (z z z ) 0 z z z 2(z z z z z z ) 0 z z z 0.
iii. Θα αποδείξουμε ότι:    1 2 1 3 z z z z
Συμβουλή : Σε αυτές τις περιπτώσεις όποιος z είναι κοινός, αυτόν αντικαθιστούμε από την σχέση    1 2 3 z z z 0
Επειδή στην ζητούμενη σχέση εμφανίζεται και στο πρώτο και στο δεύτερο μέλος το z1, το αντικαθιστούμε με
   1 2 3 z z z .
Επομένως,
           1 2 1 3 2 3 2 2 3 3 z z z z z z z z z z
     
   
2 3 2 3
2 3 2 3
2z z z 2z
2z z z 2z
           2 3 2 3 2 3 2 3 2z z 2z z z 2z z 2z
 
       
      
    

  
2 3
2 2 2 2
2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2 3 2 3 3 3
2 2 3 2 3 3 2
z z 1
2 3 2 3 3
2 3 2 3 2 3 2 3
4z z 2z z 2z z z z z z 2z z 2z z 4z z
4 z 2z z 2z z z z 2z z 2z z 4 z
4 2z z 2z z 1 1 2z z 2z z 4
που ισχύει.
Όμοια αποδεικνύουμε τη σχέση    1 3 3 2 z z z z , αντικαθιστώντας όπου    3 1 2 z z z .
Τέλος θα δείξουμε:   1 3 z z 3 (1).
Είναι,
         
2
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 z z z z z z 2 (z z z z ) (2)
Όμως        1 2 3 2 1 3 z z z 0 z z z ,

8. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
8
άρα
            
2
2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 z z z 1 z z 1 2 z z z z 1 z z z z (3),
επομένως από (2) και (3) έχουμε,  
2
1 3 z z 3 απ’ όπου προκύπτει η σχέση (1).
iv. Πορεία σκέψης: Όταν η ζητούμενη σχέση έχει άρνηση , δηλαδή λέξεις όπως «μην», «δεν», «διαφορετικό» κ.τ.λ.
σκεφτόμαστε την απαγωγή εις άτοπον .
Έστω ότι  2z 0, τότε  2z 0, άτοπο αφού  2z 1, άρα  2z 0.
Έστω ότι 1 
2
z
z
, τότε 1    
2
z
α 0i α, α
z
, δηλαδή   1 2 z α z , οπότε        1 2 z α z 1 α α 1 .
Επομένως    1 2 1 2 z z ή z z .
 Αν  1 2 z z τότε από την σχέση    1 2 1 3 z z z z παίρνουμε ότι        1 3 1 3 1 3 z z 0 z z 0 z z , άρα
  1 2 3 z z z , όμως    1 2 3 z z z 0 , άρα παίρνουμε 3z2=0 δηλ. z2 = 0, άτοπο αφού  2z 0.
 Αν   1 2 z z, από την σχέση    1 2 3 z z z 0 παίρνουμε ότι z3 = 0, άτοπο αφού  3z 1.
Οπότε 1 
2
z
z
.
v. Αποδείξαμε ότι οι μιγαδικοί 1 2 3 z , z , z είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, άρα και οι εικόνες τους Μ1, Μ2, Μ3
αντίστοιχα, είναι διαφορετικά σημεία του μιγαδικού επιπέδου.
Από τη σχέση    1 2 3 z z z 1, καταλαβαίνουμε ότι τα σημεία Μ1, Μ2, Μ3 ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο,
οπότε σχηματίζεται το τρίγωνο Μ1Μ2Μ3 .
Επίσης, από τη σχέση       1 2 1 3 3 2 z z z z z z 3 , παίρνουμε          1 2 2 3 3 1 M M M M M M 3
δηλαδή το τρίγωνο Μ1Μ2Μ3 είναι ισόπλευρο, με πλευρά μήκους 3 .
Άρα το τρίγωνο Μ1Μ2Μ3 είναι ένα εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο σε μοναδιαίο κύκλο.

9. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
9
Θέμα 5ο (…συνέχεια θέμα 4)
Έστω οι μιγαδικοί 1 2 3 z , z , z που είναι τέτοιοι ώστε    1 2 3 z z z 0 και    1 2 3 z z z 1. Να αποδείξετε ότι:
i.       1 2 2 3 3 1 z z z z z z 1
ii. 1 2  1 2   z z z z 1
iii. 1  2  
2 1
z z
1
z z
iv.    2 2
1 2 1 2 z z z z
v.
     
         
     
1 2 3
2 3 1
z z z 1
Re Re Re
z z z 2
.
{Σημείωση: Εδώ έχουμε την υποπερίπτωση της γενίκευσης του θέματος 3, δηλαδή ισχύει:
     
         
     
1 2 2
2 3 3
z z z 3
Re Re Re
z z z 2
, αφού    1 2 3 z z z 1. }
Λύση
i. Θα αποδείξουμε ότι:   1 2 z z 1.
Πορεία σκέψης: Παρατηρούμε ότι στη ζητούμενη σχέση ΔΕΝ περιέχεται το z3 και υπάρχουν μέτρα. Επομένως πρέπει
να σκεφτούμε με ποιο τρόπο θα καταλήξουμε στα μέτρα και πως θα εξαφανίσουμε το z3 από τις δεδομένες σχέσεις.
Έχουμε,
          
  
  
1 2 3 3 1 2 3 1 2
3 1 2
1 2
z z z 0 z z z z z z
z z z
z z 1
Όμοια αποδεικνύουμε,     2 3 3 1 z z 1 και z z 1 , άρα       1 2 2 3 3 1 z z z z z z 1.
ii. Θα αποδείξουμε ότι: 1 2  1 2   z z z z 1
Πορεία σκέψης: Παρατηρούμε ότι η ζητούμενη σχέση ΔΕΝ περιέχει το z3 , επίσης έχουμε συζυγείς μιγαδικούς
αριθμούς. Ποια σχέση πρέπει να πάρουμε για να μην έχουμε το z3 και να καταλήξουμε σε συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς;
Έχουμε,
  
    
   
    
    
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
z z 1 z z 1
z z z z 1
z z z z z z z z 1
z z z z z z 1
  1 2  2 1   1 z z z z 1 1

10. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
10
 1 2  2 1   z z z z 1
iii. Πορεία σκέψης: Η ζητούμενη σχέση μοιάζει πολύ με το υποερώτημα ii αλλά χωρίς συζυγής μιγαδικούς αριθμούς.
Οπότε;
Έχουμε,
          1  2  
1 2 2 1 1 2
2 1 2 1
1 1 z z
z z z z 1 z z 1 1
z z z z
iv. Επίσης η τελευταία σχέση με απαλοιφή παρονομαστών γίνεται,
              1 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
z z z z
1 z z z z z z 1 z z z z
z z z z
.
v. Πορεία σκέψης: Ο τύπος για το Re(z) είναι ο εξής:  


z z
Re z
2
. Οπότε;
Θα δείξουμε ότι:
 
   
 
1
2
z 1
Re
z 2
.
Έχουμε,
  
   
              
  
1 1 1 1 1 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1
2
2 2
z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z 1 1
Re
z 2 2 2 2 z 2 1 2
όμοια αποδεικνύονται και οι άλλες σχέσεις.
Θέμα 6ο
Έστω οι μιγαδικοί 1 2 3 z , z , z που είναι τέτοιοι ώστε    1 2 3 z z z 3 και    1 2 3 z z z 3. Να αποδείξετε ότι:
i.   
1 2 3
1 1 1 1
z z z 3
ii.      1 2 3 2 3 1 3 1 2
1
z 2z 3z z z 2z z 3z z
3
iii.    1 2 2 3 3 1 1 2 3
1
z z z z z z z z z
3
iv.
     
         
     
1 2 2
2 3 3
z z z
Re Re Re 1
z z z
Λύση
i. Έχουμε,
   
        
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 1 1 z z z z z z z z z 3 1
z z z 9 9 9 9 9 9 3
,
αφού 1   1  1  z 3 z z 9 , 2   2  2  z 3 z z 9 , 3   3  3  z 3 z z 9 .

11. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
11
ii. Παίρνουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
   
                
     
         
 
2 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2
2 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3
9 2 9 3 9 1 2 3 z z 2z z 3z z
z 2z 3z z 2z 3z z 2z 3z 9 9
z z z z z z z z z
z z 2z z 3z z z z 2z z 3z z z z 2z z 3z z 1
9 9 9 z z 2z z 3z z
z z z z z z 3 3 3 3
iii. Η πρώτη σχέση γίνεται,

      
z1z2z3
2 3 1 2 1 2 1 2 3
1 2 3
1 1 1 1 1
z z z z z z z z z
z z z 3 3
iv. Μια λύση είναι σαν και αυτή που δόθηκε στο θέμα 3ii. Εδώ όμως δίνεται και μια επιπλέον συνθήκη οπότε
θα κινηθούμε σύμφωνα με την απόδειξη του θέματος 5v.
Έχουμε,

 
    
         
 
1 2
1 1 1 1 1 2 2
1 2 2 2 2 1 2 1
2
9
z z
z z z z z 9 z z
z z z z z z z z
Re
z 2 2 2 2
οπότε παίρνουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
     
               
                     
     
  
 

  
 

    

1 2 2 3 3 1 1 3 2 3 2 1
1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 3 3
2 3 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1 3
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z
Re Re Re
z z z 2 2
z z z z z z
z z z
2
3 z 3 z 3 z
z z z
2
3 3 3
1 1 1
z z z
2
  

           
       
2 1 3
2 1 3
3 3 3
3
z z z
2
1 1 1 1 3 1 3 1
z z z 3
1
2 2

12. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
12
Ε) Γενίκευση
Θέμα Ι
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2 , ..., zν με          1 2 v z z ... z ρ, ρ 0 και v v 3 , τότε να
αποδείξετε ότι:
         2
1 2 v
1 2 v
1 1 1
z z ... z ρ ... v ρ
z z z
Λύση
Από την βασική άσκηση - σκέψη (1), έχουμε: 
2
1
1
ρ
z
z
, 
2
2
2
ρ
z
z
και 
2
ν
ν
ρ
z
z
.
Παίρνουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
                  
2 2 2
2
1 2 ν 1 2 ν 1 2 ν
1 2 ν 1 2 ν
ρ ρ ρ 1 1 1
z z ... z z z ... z z z ... z ... ρ ...
z z z z z z
.
Επίσης,
             1 2 ν 1 2 v z z ... z z z ... z ρ ρ ... ρ v ρ
Θέμα ΙΙ
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 z , z , z με     1 2 3 z z z ρ, ρ 0 , τότε να αποδείξετε ότι:
     1 2 3 1 2 1 3 2 3
1
z z z z z z z z z
ρ
Λύση
Παίρνουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
        
2 2 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
ρ ρ ρ
z z z z z z
z z z
 
   2 21 2 2 3 3 1
1 2 3 1 2 3
1 1 1 z z z z z z
ρ ρ
z z z z z z
   
   2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3
1 2 3
z z z z z z z z z z z z
ρ ρ
z ·z ·z ρ·ρ·ρ
  1 2 1 3 2 3
1
z z z z z z
ρ
.
Θέμα ΙΙΙ
Έστω οι μιγαδικοί 1 2 3 z , z , z που είναι τέτοιοι ώστε     1 2 3 z z z ρ, ρ 0 και    1 2 3 z z z ρ. Να
αποδείξετε ότι:
i.   
1 2 3
1 1 1 1
z z z ρ
ii.      1 2 3 2 3 1 3 1 2
1
z 2z 3z z z 2z z 3z z
ρ

13. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
13
iii.    1 2 2 3 3 1 1 2 3
1
z z z z z z z z z
ρ
iv.
     
         
     
1 2 2
2 3 3
z z z
Re Re Re 1
z z z
Λύση
i. Έχουμε,
   
        
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 z z z z z z z z z ρ 1
z z z ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
,
αφού     2
1 1 1 z ρ z z ρ ,     2
2 2 2 z ρ z z ρ ,     2
3 3 3 z ρ z z ρ .
ii. Παίρνουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
   
                
     
         
 
2 2 2
2 2 2 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2
2 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3
ρ 2 ρ 3 ρ 1 2 3 z z 2z z 3z z
z 2z 3z z 2z 3z z 2z 3z ρ ρ
z z z z z z z z z
z z 2z z 3z z z z 2z z 3z z z z 2z z 3z z 1
ρ ρ ρ z z 2z z 3z z
z z z z z z ρ ρ ρ ρ
iii. Η πρώτη σχέση γίνεται,

      
z1z2z3
2 3 1 2 1 2 1 2 3
1 2 3
1 1 1 1 1
z z z z z z z z z
z z z ρ ρ
iv. Μια λύση είναι σαν και αυτή που δόθηκε στο θέμα 3ii. Εδώ όμως δίνεται και μια επιπλέον συνθήκη οπότε
θα κινηθούμε σύμφωνα με την απόδειξη του θέματος 5v.
Έχουμε,

 
    
         
 
2
1 2
2
1 1 1 1 2 1 2
1 2 2 2 2 1 2 1
2
ρ
z z
z z z z z ρ z z
z z z z z z z z
Re
z 2 2 2 2
οπότε παίρνουμε το α΄ μέλος της ζητούμενης σχέσης:
     
               
                     
     
  
 

1 2 2 3 3 1 1 3 2 3 2 1
1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 3 3
2 3 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z
Re Re Re
z z z 2 2
z z z z z z
z z z
2
  
 

2 1 3
2 1 3
ρ z ρ z ρ z
z z z
2

14. http://lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
14
    
 2 1 3
ρ ρ ρ
1 1 1
z z z
2
  

 
    
  
 
  
  
 
2 1 3
2 1 3
ρ ρ ρ
3
z z z
2
1 1 1
ρ 3
z z z
2
1
ρ 3
ρ
2
1