Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019

Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Α
Β ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ
Επιμέλεια
ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢
30.01.2019 lisari.blogspot.com Page 1 of 76

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢ Σελίδα 2

1. Σι εύναι η μεταβλητό ;
Όταν θϋλουμε να αναφερθούμε ςε ϋνα οποιοδόποτε ςτοιχεύο ενόσ ςυνόλου, διευκολύνει την διατύπωςη
να δηλώςουμε το ςτοιχεύο αυτό με ϋνα γρϊμμα. Σο γρϊμμα αυτό ονομϊζεται μεταβλητό.
΢υνόθωσ χρηςιμοποιούμε τα γρϊμματα x , y , t , α , β , κτλ…
Παραδεύγματα
Σο πενταπλϊςιο ενόσ αριθμού: αν ςυμβολύςουμε με x τον αριθμό, τότε το πενταπλϊςιό του εύναι 5x
Σον αριθμό αυξημϋνο κατϊ 5 : αν ςυμβολύςουμε με x τον αριθμό, τότε εύναι x + 5
Σο εξαπλϊςιο ενόσ αριθμού μειωμϋνο κατϊ 9 : αν ςυμβολύςουμε με x τον αριθμό, τότε εύναι 6x − 9
2. Σι λϋγεται αριθμητικό παρϊςταςη ;
Αριθμητικό παρϊςταςη λϋγεται μια παρϊςταςη που περιϋχει πρϊξεισ με αριθμούσ.
Παρϊδειγμα Η παρϊςταςη 6 ∙ 4 − 9 ∙ −2 + 43
: 2
3. Σι λϋγεται αλγεβρικό παρϊςταςη ;
Αλγεβρικό παρϊςταςη λϋγεται μια παρϊςταςη η οπούα περιϋχει πρϊξεισ με αριθμούσ και μεταβλητϋσ .
Οι προςθετϋοι λϋγονται όροι τησ παρϊςταςησ.
Όςοι όροι περιϋχουν την ύδια μεταβλητό, λϋγονται όμοιοι
Παρϊδειγμα Η παρϊςταςη 2x − 5y + 3α εύναι αλγεβρικό και ϋχει ωσ όρουσ τουσ 2x , 5y , 3α
4. Πωσ κϊνουμε πρϊξεισ ςε μια αλγεβρικό παρϊςταςη ;
Για να κϊνουμε πρϊξεισ ςε μια αλγεβρικό παρϊςταςη χρηςιμοποιούμε την επιμεριςτικό ιδιότητα :
α ∙ β + α ∙ γ = α ∙ β + γ και α ∙ β − α ∙ γ = α ∙ β − γ
Η διαδικαςύα με την οπούα γρϊφουμε μια αλγεβρικό παρϊςταςη ςε απλούςτερη μορφό, ονομϊζεται
«αναγωγό ομούων όρων».
Παραδεύγματα α) 2x + 5x = 2 + 5 x = 7x β) 4y + 2y − y = 4 + 2 − 1 y = 5y
1.1 Η ζννοια τθσ μεταβλθτισ – Αλγεβρικζσ Παραςτάςεισ

1. Να χρηςιμοποιόςετε μια μεταβλητό για να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη
τισ παρακϊτω φρϊςεισ :
α το επταπλϊςιο ενόσ αριθμού
β ο αριθμόσ αυξημϋνοσ κατϊ 3
γ ο αριθμόσ μειωμϋνοσ κατϊ 5
δ το μιςό ενόσ αριθμού
ε το ϋνα τϋταρτο ενόσ αριθμού
2. Να χρηςιμοποιόςετε μια μεταβλητό για να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη
τισ παρακϊτω φρϊςεισ :
α το πενταπλϊςιο ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ 6
β το οκταπλϊςιο ενόσ αριθμού μειωμϋνο κατϊ 4
γ την τελικό τιμό ενόσ προώόντοσ, αν το αγορϊςουμε με ϋκπτωςη 30%
δ ϋναν αριθμό αυξημϋνο κατϊ 40%
ε την περύμετρο ενόσ τετραγώνου
ςτ την περύμετρο ενόσ ορθογωνύου, αν το πλϊτοσ του εύναι 5m μικρότερο από το μόκοσ του.
3. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ :
α 2x + 7x β 3x − 5x γ 6x + 3x + x δ 5x − 4x − 7x
ε 8α − 3α + 4α − 6α ςτ −3β + 10β − 8β + β
α 25x + 7x β −2x + 6x γ 0,3x − 1,8x − 1,5x + 6,3x + 1,7x
δ
1
3
α + 0,5α −
9
2
α −
4
3
α + 6
α 3x − 2y + 7x + 6y β 5x + 7y − 6x − 9y γ 5α − 3β + 6β − 9α
δ 7ω + 4 − 3ω − 9 + 5ω ε 3α − 5 + 6β + 8 − 7 − 3β
α 3x − 5y + 2x + 6y β 7x + 5y − 13x − 25y γ x − 2 + 3x + z − y + 3z + y
α 2x + 3y + (6x − 4y) β 5α − 4β − (7α − 6β) γ 5x − 7y − 4x − 3y
δ α − 4 − 2α + 7 + 5 − 4α ε 3 − 2α + 7β + 5α − 3β − 8
8. Αν εύναι Α = 8 + (x − 7 + y) και Β = − −x + 6 + y − 5 να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ Α + Β
και Α − Β
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

α 2 3x − 2y + 4 x + 2y β 5 x + 2y − 3(2x + 4y) γ 12 − 3 x + 2 + 4(2x − 7)
δ 4 α + 3 − 2 7 + α + 2 ε 2α − 5 3α + β + 4(2α + 3β)
10. Να κϊνετε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ :
α x + 2 (x + 3) β y + 4 y − 2 γ α − 3 α − 4 δ α + β α + β
11. Να κϊνετε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ :
α x + 5 (x − 1) β y − 3 y − 5 γ α + 3 α + 4 δ α + β α − β
12. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2 3x − 5 − 4 2x − 3 + 7x − 2
α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −3
13. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3 x + 5 + 12x − 6 x − 9
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −2 και για x = −
1
3
14. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 4 x − 2 − 2 x − 3 + 3
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x =
23 7
∙ 28
26 8: 218
15. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2x − 5 3x − 2(4x − 9)
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 3 ∙ 7 − 15 ∙ 4 ∙ 6 − 2 ∙ 11 3
− 5 2 ∙ 7 − 17 2
16. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3x − 4y − −5x + 7y + (10 − 9x + 8y)
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −10 , y = −
1
3
17. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3 2x − 1 − 2 3y + 2 + 2x + 4y
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −2 , y = −9
18. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2 x − 2y + 1 − 3 2x − y − 3 − 4x
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −1 , y = 1
19. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 5x − 4 10x + 3 y − x − 6 x + y
β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 2 ∙
3
2
−
5
8
−
5
4
+
3
2
: 2−1
και
y =
−6∙ −5+2 −4∙ −2 3
−4+7 ∙ −6 + 1−32 ∙ −2
: (−102
)

20. Αν ιςχύει x + y = 3 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 2 5x − 4y − 3 x − 7y − 6y
21. Αν ιςχύει α + β = −8 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 5 α − 2β − 3 2α − 3β + 7
22. Αν ιςχύει α + β = 6 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 5 α + 2 + 3 β − 13 − 2(3 − β)
23. Αν ιςχύει x − y = 7 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 5 x − 2y − 2 x − 3y − (−y − 9)
24. Αν ιςχύει x − y =
1
6
να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = −x + 2 3x − y − 4 y − 3 + x
25. Αν η περύμετροσ ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου πλευρϊσ α εύναι 8 και ενόσ τετραγώνου πλευρϊσ β
εύναι 9, να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : Α = 3 α − β + 5 β − 1 + 2 β + 3 + 15
26. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την
περύμετρο του διπλανού ςχόματοσ
β Να υπολογύςετε την περύμετρο του τριγώνου όταν
x = 2 και y = 5
περύμετρο του διπλανού ςχόματοσ
β Να υπολογύςετε την περύμετρο του τριγώνου όταν
x = 3 και y = 4
περύμετρο του ορθογωνύου του διπλανού ςχόματοσ
β Να υπολογύςετε την περύμετρο του ορθογωνύου όταν
x = 5 και y = 3
περύμετρο του ορθογωνύου του διπλανού ςχόματοσ
β Να υπολογύςετε την περύμετρο του ορθογωνύου όταν
x + y = 6
30. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την περύμετρο του
ιςοςκελούσ τριγώνου με βϊςη ΒΓ του διπλανού ςχόματοσ
β Να υπολογύςετε την περύμετρο του ορθογωνύου όταν x + y = 5

1. Σι εύναι η εξύςωςη ;
Μια ιςότητα δύο παραςτϊςεων που περιϋχουν αριθμούσ και μια μεταβλητό ςυνόθωσ το x )
ονομϊζεται εξύςωςη με ϊγνωςτο τον αριθμό x .
Παρϊδειγμα Η ιςότητα 5x + 3 = 3x − 5 εύναι εξύςωςη
Η παρϊςταςη 5x + 3 λϋγεται πρώτο μϋλοσ τησ
εξύςωςησ και η παρϊςταςη 3x − 5 λϋγεται δεύτερο
μϋλοσ τησ εξύςωςησ.
Η διαδικαςύα κατϊ την οπούα βρύςκουμε την
μεταβλητό x λϋγεται επύλυςη τησ εξύςωςησ.
Άγνωςτοι όροι τησ εξύςωςησ λϋγονται οι όροι που
περιϋχουν την μεταβλητό x , ενώ γνωςτού όροι
λϋγονται αυτού που δεν την περιϋχουν
2. Σι λϋγεται λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ ;
Λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ ονομϊζεται ο αριθμόσ που επαληθεύει την εξύςωςη
3. Ποιεσ ιδιότητεσ χρηςιμοποιούμε για την επύλυςη μιασ εξύςωςησ ;
΢την διαδικαςύα επύλυςησ μιασ εξύςωςησ χρηςιμοποιούμε τισ παρακϊτω ιδιότητεσ πρϊξεων :
α Αν προςθϋςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα
Αν α = β τότε α + γ = β + γ
β Αν αφαιρϋςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα
Αν α = β τότε α − γ = β − γ
γ Αν πολλαπλαςιϊςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα
Αν α = β τότε α ∙ γ = β ∙ γ
δ Αν διαιρϋςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα
Αν α = β τότε α ∶ γ = β ∶ γ με γ ≠ 0
1.2 Εξιςώςεισ Α’ Βακμοφ

1. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ :
α x − 3 = 5 β x + 2 = 8 γ x − 4 = −2 δ x − 2 = −8 ε x + 4 = 10
ςτ x + 7 = 2 ζ x + 6 = −2 η 10 = 6 + x
α 3x = 15 β −4x = 20 γ 7x = 0 δ 0x = −3 ε −3x = −21
α
x
2
= 4 β
x
3
= −6 γ
4x
2
= 12 δ −
x
5
= 3 ε
−2x
−3
= −6
α 2x − 4 = 6 β 3x + 2 = 11 γ 5x − 4 = −9 δ 4x − 2 = −14 ε 2x + 6 = 20
ςτ −2x + 7 = 3 ζ) −3x + 1 = −8 η) 4x + 5 = −11
α 2x − 3 = x + 4 β −8x + 7 = −3x + 22 γ 6 − 4x = 24 + 2x δ 4x + 5 = 2x − 7
α 8x − 3 = 5x + 5 + 7x β −x − 7 = −3x − 5 − x γ 12 − 2x + 11 = −3 + x − 7
δ 9x − 5 = 2x + 8 + 4 − 8x + 8 + 3x − 5 ε 3 − 2x + 7 − 3x = 6 + 4x + 14 + 6x
α 2 x − 3 + 9 = 5x − 6 β 9x − 3(2x − 5) = 21 γ −5 −2x + 1 = 45
δ 2 3x + 2 = 4 − x ε x + 3 + 3 x + 2 = 9 − 2x
α 3x + 2 x + 1 = x − 4 β 5 − 2 x − 3 = 8 − x γ 2x − 4 −x − 3 = −x + 5
δ 2x + 3 = 3x − (x + 7) ε 4x − 1 = 2x + 4 + 3
α 7 − 4x = −4 −x − 2 − 1 β −12 − 4x = 2 3 − 2x − 6 γ 3 x + 1 = 5 − 3x + 2
δ 3 − 7 x − 1 = 5 − 4x ε −7x + 8 = −3 5 − 2x − 3 + x
α 6x − 2 −x + 5 = 20 − 3(x − 1) β 12x − 4 3x − 2 = 6(−2x − 3)
γ 10x − 4x + 5 = − 4 − 2x + 5x δ 3 x − 2 + 2 x + 1 = 3(2x + 1)
α 3 − 2 3x + 1 = x − 5(5 − 7x) β 6 x − 1 − 3x + 11 = −7
γ 8 x − 4 − 6 2 − x = 2(6x − 1) δ 4 3 − x − 2 3x − 4 = −(16 − x)
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

α 4 5 − x − 2 x − 3 = x − 4 − 3(x + 2) β 2 3 − 2x = 2 x − 1 − 3 5 + 2x + 23
γ 2 3x − 1 − 3 x − 2 = −2 4 − x + x + 5
α x − − 3x + 1 − 5 = 2(x + 1) β 2 − −3 x − 5 + 2x − (3 − 4x) − x − 2 = −x + 5
γ 7 4x − 5(x − 5) − 2x = 2 3 x − 8 − 1
α)
x − 3
4
= 2 β
2x − 4
3
= −4 γ
−3x − 9
2
= 6 δ
5x + 2
4
= 7
α)
x − 3
2
=
x + 2
3
β
3x + 2
3
=
4x − 5
2
γ
3x − 5
8
=
3 − 2x
5
δ −
x + 3
5
=
−3x − 1
10
α)
−5(x − 1)
4
=
3x − 2
3
β
7 x + 3 − 5
5
=
2 − 8x
3
γ
6+2(x − 1)
4
=
5 − 2x
2
δ
3 x + 4 − 2
2
=
4x + 10
3
α)
x + 1
3
−
2x + 1
3
= 7 β
3x − 1
4
−
2x − 5
6
=
5x + 1
12
γ
3
5
−
x + 1
10
=
5 − x
10
α)
x − 4
2
+
2x − 4
4
=
4x − 12
4
β 6 −
x − 5
10
=
1 − 5x
5
γ
x − 4
3
−
2x − 4
2
=
1
2
α) 2 −
4 − 3x
10
= −
x − 4
10
−4 β 3 −
3 − 2x
4
=
1 − x
8
−1 γ
2x − 3
2
−
3x + 1
4
=
x − 3
4
−1
α)
3x − 1
2
+
5
10
=
x − 2
5
+
2x + 5
2
β
5x − 7
2
−
2x + 7
3
= 3x − 14 γ x +
2x − 7
4
=
1 − x
2
+2x
α)
2(3x − 2)
7
=
3x + 1
2
−x β
3(x + 1)
4
−
x + 15
2
=
3x − 1
2
γ
2x − 1
5
−
1
2
=
2(x + 1)
5
−
11
10
α)
11 − 6x
5
–
9 − 7x
2
=
5(x – 1)
6
β
1
6
8 − x +
2
3
x − 1 =
1
2
x + 6 −
x
3
γ 2x −
1
2
19 − 2x =
1
2
2x − 11

α)
x + 4
3
–
20 − x
9
=
5x − 1
6
−
5x − 13
6
+8 β
x + 1
4
–
2x − 1
5
+
3x + 1
2
=
27x + 19
20
α) 2x − 5 −
x + 1
2
= x −
x − 1
3
+ 3 β
x − 5
2
–
7x
2
= −
14
4
– (3x − 9)
α) x −
x + 3
2
− 1 = 2 −
7x − 4
4
+
2 − 4x
6
β 5 +
x − 1
2
+
x + 1
3
= −
x
2
−
x
3
α)
3
5
x − 4 −
1
3
2x − 9 =
1
4
x − 1 − 2 β
3
16
x − 1 −
1
12
x − 4 =
x−6
8
+
1
4
α)
x + 3
2
5 –
3
4
=
2
3
β
5x − 4
2
1 +
1
2
=
3 +
1
3
2 −
1
3
γ
2 − x
3
1 –
x
4
=
1
3
+
x
2
α) 5 2 − 3(x + 2) − 2 x − 2(1 − x) = 318
: 315
+ (−1)2019
β
1
3
4 − 5x
4
–
9(x – 1)
2
= 3 − 5 x + 3 − 3(x + 2)
29. Δύνονται οι παραςτϊςεισ Α = 2 5 − 2x − 2 − x και Β = 5 x − 2 − 3 x − 1
α Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ Α και Β
β Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει 3Α − 2Β = 12
30. Δύνονται οι παραςτϊςεισ Α =
2(x − 3)
5
−1 και Β =
3(x − 2)
4
.
Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει Α = Β .
31. Δύνονται οι παραςτϊςεισ Α =
2 − x
3
−1 + x και Β =
3x + 1
3
−
3x − 1
2
Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει Β − Α = 14 .
32. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϋσ ΑΒ = 2x + 1 , ΑΓ = 4x − 3 και ΒΓ = x − 1 . Να βρεύτε το x αν :
α η περύμετροσ του τριγώνου εύναι ύςη με 11
β το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με βϊςη την ΒΓ
33. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϋσ ΑΒ = x + 6 , ΑΓ = 3x − 4 και ΒΓ = 2x − 3 . Να βρεύτε το x αν
το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με βϊςη την ΒΓ και ςτη ςυνϋχεια την περύμετρο του τριγώνου.
34. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϋσ ΑΒ = 3 x + 1 − 4 , ΑΓ = 6 − (x − 1) και
ΒΓ =
y + 7
2
−
y + 1
4
. Να βρεύτε το x αν το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με βϊςη την ΒΓ και ςτη ςυνϋχεια
το y αν η περύμετροσ του τριγώνου εύναι ύςη με 14 .

35. Δύνεται τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = x + 1 , ΒΓ = x + 2 , ΓΔ = 2x + 2 και ΑΔ = 2x − 3.
Αν η περύμετροσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ εύναι 26 , να βρεύτε το x .
36. Δύνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με πλευρϋσ ΑΒ = x + 1 και ΒΓ = 4x − 2 .
Αν η περύμετροσ του ΑΒΓΔ εύναι 38 , να βρεύτε το x .
37. Δύνεται η εξύςωςη
x + α
3
+
2x − α
2
= 1 .
α Να βρεθεύ το α ώςτε η εξύςωςη να ϋχει λύςη το 1
β Να λυθεύ η εξύςωςη αν α = 2
38. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η εξύςωςη 4α + 8 x = 16 εύναι αδύνατη.
39. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η εξύςωςη 5x = 3 − αx εύναι αδύνατη.
40. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η εξύςωςη
3αx − 1
6
=
x + 3
2
−1 εύναι αδύνατη.
41. Να προςδιορύςετε τον αριθμό μ ώςτε η εξύςωςη
μ − 1
2
x +
1
3
=
x + 1
3
να εύναι ταυτότητα .
42. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ώςτε η εξύςωςη 2α − 6 x = 3β + 9 να εύναι ταυτότητα .
43. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ώςτε η εξύςωςη 4x − 3 = αx − β να εύναι ταυτότητα .
44. Δύνονται οι εξιςώςεισ 3 x + 1 + 5 =
x
2
+3 και α + 2 x = 2α − 4
α Να λύςετε την πρώτη εξύςωςη
β Αν η λύςη τησ πρώτησ εξύςωςησ εύναι και λύςη τησ δεύτερησ εξύςωςησ, να βρεύτε την τιμό του α .

΢τα Μαθηματικϊ , ςτην Υυςικό , ςτην Φημεύα , βρύςκουμε ιςότητεσ που ςυνδϋουν διϊφορα μεγϋθη.
Αυτϋσ τισ ιςότητεσ τισ ονομϊζουμε τύπουσ.
Ένασ τϋτοιοσ τύποσ μπορεύ να θεωρηθεύ ςαν εξύςωςη και μια από τισ μεταβλητϋσ που περιϋχει θα την
θεωρούμε ωσ ϊγνωςτο τησ εξύςωςησ. Η επύλυςη μιασ τϋτοιασ εξύςωςησ ονομϊζεται επύλυςη τύπου.
1. Να λύςετε την εξύςωςη P ∙ V = n ∙ R ∙ T ωσ προσ : α V β n γ T
2. Να λύςετε τον τύπο τησ περιμϋτρου κύκλου L = 2πρ ωσ προσ την ακτύνα ρ
3. Να λύςετε τον τύπο τησ εξύςωςησ μιασ ευθεύασ y = λx + β ωσ προσ : α x β β
4. Να λύςετε ωσ προσ x τουσ τύπουσ των ευθειών : α y = 2x + 7 β 3x − 4y + 2019 = 0
5. Να λύςετε τον τύπο του μόκουσ ενόσ τόξου ℓ =
πRμ
1800 ωσ προσ : α R β μ
6. Σο εμβαδόν ενόσ τραπεζύου με μικρό βϊςη β , μεγϊλη βϊςη Β και ύψοσ υ εύναι Ε =
Β+β ∙ υ
2
α Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ υ
β Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ β
γ Να βρεύτε το ύψοσ του τραπεζύου που ϋχει εμβαδόν 35 τ.μ. , βϊςη μεγϊλη ύςη με 8 και μικρό βϊςη 6
δ Να βρεύτε τη μικρό βϊςη του τραπεζύου που ϋχει εμβαδόν 80 τ.μ. , μεγϊλη βϊςη 12 και ύψοσ 8 .
7. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου με διαςτϊςεισ x , y εύναι Π = 2x + 2y .
α Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ x και y
β Να βρεύτε το μόκοσ x του παραλληλογρϊμμου που ϋχει περύμετρο 56 cm και πλϊτοσ y = 10 cm
8. Να λύςετε ωσ προσ α τουσ τύπουσ : α υ = υ0 + αt β x = υ0 ∙ t +
1
2
α ∙ t2
9. Δύνεται ο τύποσ φ = 180 −
360
ν
. Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ ν και να υπολογύςετε το ν , αν φ = 120
10. Δύνεται ο τύποσ
1
R
=
1
R1
+
1
R2
. Να λύςετε ωσ προσ R2
1.3 Επίλυςθ Σφπων
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

Για να λύςουμε ϋνα πρόβλημα με τη βοόθεια εξιςώςεων, κϊνουμε τα εξόσ :
1 Διαβϊζουμε καλϊ το πρόβλημα για να καταλϊβουμε τι μασ δύνει τα δεδομϋνα και τι μασ ζητϊει
2 Εκφρϊζουμε με ϋνα γρϊμμα, ςυνόθωσ το x , το ζητούμενο του προβλόματοσ
3 Εκφρϊζουμε όλα τα ϊλλα μεγϋθη του προβλόματοσ με τη βοόθεια του x
4 ΢χηματύζουμε την εξύςωςη του προβλόματοσ
5 Λύνουμε την εξύςωςη
6 Εξετϊζουμε αν η λύςη που βρόκαμε ικανοποιεύ τισ ςυνθόκεσ του προβλόματοσ .
1. Να βρεθεύ ϋνασ αριθμόσ που όταν το τριπλϊςιό του αυξηθεύ κατϊ 5, δύνει το τετραπλϊςιο του αριθμού
αυτού ελαττωμϋνο κατϊ 2 .
2. Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών αριθμών εύναι 159 . Να βρεύτε τουσ αριθμούσ αυτούσ.
3. Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών ϊρτιων αριθμών εύναι 66. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ αυτούσ.
4. Δύο αριθμού ϋχουν ϊθροιςμα 45. Αν προςθϋςουμε τα
2
3
του πρώτου αριθμού και το
1
6
του δεύτερου
αριθμού, βρύςκουμε 28. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ .
5. Να βρεθούν οι οξεύεσ γωνύεσ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου, αν η μια εύναι τετραπλϊςια τησ ϊλλησ.
6. ΢ε ιςοςκελϋσ τρύγωνο η γωνύα τησ κορυφόσ εύναι κατϊ 27°
μικρότερη των γωνιών τησ βϊςησ.
Να βρεθούν οι γωνύεσ του τριγώνου .
7. Η μεγϊλη βϊςη ενόσ τραπεζύου εύναι τριπλϊςια από την μικρό του βϊςη. Αν το ύψοσ του τραπεζύου
εύναι 10 cm και το εμβαδόν του εύναι 120 cm2
, να βρεύτε πόςα cm εύναι κϊθε βϊςη του τραπεζύου .
8. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 80 cm. Σο μόκοσ εύναι 10 cm μεγαλύτερο από το πλϊτοσ του.
Να βρεύτε το μόκοσ και το πλϊτοσ του ορθογωνύου.
9. Η παραπληρωματικό μιασ γωνύασ εύναι τριπλϊςια από τη ςυμπληρωματικό τησ. Να βρεύτε πόςεσ
μούρεσ εύναι η γωνύα.
1.4 Επίλυςθ Προβλθμάτων με χριςθ Εξιςώςεων
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

10. Σρεισ φύλοι μοιρϊςτηκαν ϋνα χρηματικό ποςό. Ο πρώτοσ πόρε τα
2
5
του ποςού , ο δεύτεροσ πόρε
το
1
3
του ποςού και 30 ευρώ και ο τρύτοσ πόρε το
1
4
του ποςού . Να βρεύτε το ποςό που μοιρϊςτηκαν
και πόςα πόρε ο καθϋνασ.
11. Σρεισ φύλοι μοιρϊςτηκαν ϋνα χρηματικό ποςό. Ο πρώτοσ πόρε τα
1
4
του ποςού , ο δεύτεροσ πόρε
5 ευρώ λιγότερα από το
2
3
του ποςού και ο τρύτοσ πόρε 30 ευρώ λιγότερα από το
1
2
του ποςού . Να
βρεύτε το ποςό που μοιρϊςτηκαν και πόςα πόρε ο καθϋνασ.
12. Η Μαρύα αγόραςε 12 μολύβια και γόμεσ και πλόρωςε 30 ευρώ. Πόςα μολύβια και πόςεσ γόμεσ
αγόραςε, αν κϊθε μολύβι κοςτύζει 1,5 ευρώ και κϊθε γόμα 3 ευρώ ;
13. Από τουσ μαθητϋσ μιασ τϊξησ το
1
4
μαθαύνει Γαλλικϊ, το
5
8
μαθαύνει Αγγλικϊ και 3 μαθητϋσ
μαθαύνουν Γερμανικϊ. Πόςουσ μαθητϋσ ϋχει η τϊξη αυτό ;
14. Ένασ μαθητόσ ϋγραψε ςε δύο διαγωνύςματα Μαθηματικών 13 και 17. Σι πρϋπει να γρϊψει ςτο τρύτο
διαγώνιςμα, ώςτε και ςτα 3 διαγωνύςματα ο μϋςοσ όροσ να εύναι 16.

ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
1. Σι εύναι η ανύςωςη α’ βαθμού ;
Ανιςώςεισ α’ βαθμού με ϋναν ϊγνωςτο λϋμε κϊθε ανύςωςη που περιϋχει μια μεταβλητό και η οπούα
αληθεύει για οριςμϋνεσ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ.
Λύςεισ μιασ ανύςωςησ ονομϊζονται οι αριθμού οι οπούοι , αν μπουν ςτη θϋςη του αγνώςτου , θα
προκύψουν οι ανιςότητεσ που αληθεύουν .
2. Πωσ επιλύουμε μια ανύςωςη α’ βαθμού ;
Επύλυςη μιασ ανύςωςησ λϋγεται η διαδικαςύα που κϊνουμε για να βρούμε τισ λύςεισ τησ.
Για να λύςουμε μια ανύςωςη χρηςιμοποιούμε τισ παρακϊτω ιδιότητεσ :
α Αν και ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ προςθϋςουμε ό αφαιρϋςουμε τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει
και πϊλι ανύςωςη με την ύδια φορϊ .
Αν α < β τότε α + γ < 𝛽 + 𝛾 𝜅𝛼𝜄 𝛼 − 𝛾 < 𝛽 − 𝛾
Αν α > β τότε α + γ > 𝛽 + 𝛾 𝜅𝛼𝜄 𝛼 − 𝛾 > 𝛽 − 𝛾
β Αν και ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ πολλαπλαςιϊςουμε ό διαιρϋςουμε τον ύδιο θετικό αριθμό, τότε
προκύπτει και πϊλι ανύςωςη με την ύδια φορϊ .
Αν α < β και γ > 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 < 𝛽 ∙ 𝛾 𝜅𝛼𝜄
α
γ
<
β
γ
Αν α > β και γ > 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛾 𝜅𝛼𝜄
α
γ
>
β
γ
γ Αν και ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ πολλαπλαςιϊςουμε ό διαιρϋςουμε τον ύδιο αρνητικό αριθμό, τότε
προκύπτει ανύςωςη με αντύςτροφη φορϊ .
Αν α < β και γ < 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛾 και
α
γ
>
β
γ
Αν α > β και γ < 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 < 𝛽 ∙ 𝛾 𝜅𝛼𝜄
α
γ
<
β
γ
Για να λύςουμε μια ανύςωςη ακολουθούμε παρόμοιο τρόπο που ακολουθούμε ςτην
επύλυςη εξιςώςεων.
Όταν λύνουμε μια ανύςωςη ςυνόθωσ δεν βρύςκουμε μόνο μια λύςη, αλλϊ ϊπειρεσ,
γι’ αυτό παριςτϊνουμε αυτϋσ τισ λύςεισ ςτην ευθεύα των πραγματικών αριθμών.
Λϋμε ότι δύο ό περιςςότερεσ ανιςώςεισ ςυναληθεύουν, όταν ιςχύουν ταυτόχρονα .
1.5 Ανιςώςεισ Α Βακμοφ

1. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ :
α x − 3 > 5 β x + 4 ≥ 2 γ x − 1 < 4 δ x + 7 < 3
α 2x + 4 > 8 β 3x + 5 < 2 γ −2x + 6 > 10 δ 1 − 3x ≤ −8
α 5x + 3 > 10 + 4𝑥 β 12x + 7 ≥ 10x + 15 γ −5x + 2 ≤ 3 − x
α 7 − x − 2 < 2𝑥 β – 8 − 3x > 4𝑥 − 2 γ 6x − 1 − x + 12 ≤ 4x + 5
α 7 x − 1 < 5𝑥 − 13 β 2 3x − 2 > 4𝑥 − 2 γ −2 −4x − 3 < 𝑥 − 2
α 5 x − 3 − 3(x − 1) ≤ 0 β 27– 2x + 7 ≥ 7(x − 1) γ 4 3 − x − 2 3x − 4 > −14x − 4
α 2 5 − 2x − 7 ≥ −26 − 3(x − 6) β 5 x − 2 − 4 2x + 1 > −3(𝑥 + 4)
α 6x − 4 x + 3 > 𝑥 + 5 + 2(𝑥 − 1) β – 2 3 − x + x + 5 ≥ −4(1 − x)
α 8 x − 3 − 6 − 2x ≤ 2 x + 2 − 5(5 − x) β 12 x + 2 + 5 < 3 4x + 9 + 4
α 5 3x − 5 − 3 x − 7 ≥ 8 − 2(3x + 4) β 5 x + 3 − 4 x + 2 < 3 x + 5 − 5(x + 2)
α 38 − 3x > 4[4 x − 10 − x − 12 ] β 2 3x − 1 − 3 4 − 2x > 3 3x − 5
α
x − 1
6
−
x − 1
2
<
3 − 2x
3
β
1
2
−
1 − x
3
≤
5
6
γ
2x + 1
3
−
x − 1
2
≥ 3
α
x − 3
2
−
x + 5
6
>
x − 3
3
β
x − 3
2
+
x − 2
3
<
1
6
γ
5x − 16
6
−
x + 1
3
≤ −1 −
x − 4
12
α x +
2x − 5
3
>
x
6
+
3
2
β
2x − 1
4
+
1
5
≥
x
5
+
x − 2
2
γ
x − 1
4
−
2x − 3
3
≤ 2 − x
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

α
−2x − 1
4
−
x + 1
5
≤
4 − 5x
2
−
1
10
β
x + 2
3
−
x + 4
5
≥
x + 5
6
−
x + 3
4
α
x + 1
16
−
x + 1
2
>
x − 1
16
−
2x + 1
4
β
x + 1
4
−
2x + 3
5
>
3 − x
4
− x
α
2(x − 3)
3
+
1
6
≤
−3(4 − x)
2
β
3(x − 4)
5
−
5x − 1
10
>
x + 5
3
α
1 − 3(x + 2)
4
−
x + 2
2
> 1 −
2(x + 4)
3
β
2(x + 15)
3
− 2x <
5(10 − x)
6
−
x + 6
2
+9
α 1 +
1
3
x − 2
2
+
x + 1
3
>
x + 5
6
β
x + 14 − 3(2 − x)
5
<
17
4
−
5(2 − x)
8
α
3
16
x − 1 −
5
12
x − 4 <
1
6
x − 6 +
5
48
β
x + 1
5
+
x
2
≤ x + 2 −
3 x + 1 − 7
10
21. Να βρεύτε τισ θετικϋσ ακϋραιεσ λύςεισ των ανιςώςεων :
α – 3 − 4 2x − 3 ≥ −4 x − 7 − 5 β
x − 4
6
−
1−2(x − 4)
3
≤ 1 −
6 − x
2
22. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων :
α x − 3 < 2 και 4 − x < 3 β x − 7 < 2 και 5 − x < 2
γ) 4x − 1 > 3 1 − x + 10 και 2 1 − x ≥ 8
δ) 2 x − 3 − 4(x + 2) ≥ 6 και −7 ≥ −3 4 − x − 5(x + 1)
α 6 − 3 −2 − x ≤ 3 − 2(3 − x) και −4 −x − 3 − 5 −2 − 2x ≤ −6
β 2x + 3 x − 7 < 2 4 − x − 1 και 2 3x − 1 + 5 3x − 8 > 3𝑥 − 24
γ 5x − 3 x − 8 > 1 − (x − 2) και x + 2 3 − 5x ≤ 2x − (9x − 3)
α
x − 1
3
+
x − 2
4
>
x − 3
2
και
2x − 3
3
+1 <
x − 2
2
β
x + 5
4
−
x
3
>
x − 3
6
και
7 − 3x
12
+
3
4
−2x ≤
5(5 − 2x)
6
−4
α
x + 4
6
+2 ≥
x − 2
4
+
x − 2
6
και x −
x − 3
2
<
x
2
−
x − 4
4
β
x − 2
3
+
7
6
>
x − 5
4
και
3x
4
−
5
6
>
2x
3
+
1
2

α x − 2 < 2(x − 3) και 2 x − 2 + x > 𝑥 − 5 και x − 2 < 7
β 3x − 2 < 13 και 2 x − 3 > −2 και 3x ≥ 5 x − 1 − 1
γ
x + 1
3
≥
x − 1
2
και
1
2
x − 1 ≤ x + 1 και −x − 5 < −4
27. Να βρεύτε τισ κοινϋσ ακϋραιεσ λύςεισ των ανιςώςεων :
2(x + 1)
3
−
x + 2
2
≥
1 − x
2
−
13
6
και
x + 4
3
−
37
18
≤
x − 5
6
–
x − 1
9
28. Να λύςετε τισ παρακϊτω ανιςώςεισ :
α 5 < 𝑥 − 3 < 7 β −1 < 𝑥 + 4 < 2 γ −3 ≤ 2x + 5 ≤ 1 δ −3 < 2 x − 5 + 9 ≤ 7
α −2 < 3 − 5x < 18 β −8 < −3 − 5(x − 2) < 2 γ −1 <
3x + 1
5
+ 3 ≤ 5
α
3
4
≤
2
3
−
5
6
x <
9
4
β −5 ≤
x + 1
3
−
5
6
≤ 2 γ −2 <
x + 3
4
−
2x + 1
6
< 1
α 2x − 5 < 7 < 10 − 3𝑥 β
2x − 4
3
≤ 2 ≤
3x − 2
2
γ
10 − 2x
3
≤ 2(x − 1) ≤
3x + 2
2
32. Για ποιεσ τιμϋσ του αριθμού x η παρϊςταςη Α = 5 4 − x − 2 3 − x + 1 παύρνει θετικϋσ τιμϋσ ;
33. Για ποιεσ τιμϋσ του θετικού ακϋραιου αριθμού λ ϋχουμε ότι ο Α = 5 λ − 2 − 30 εύναι αρνητικόσ ;
34. Για ποιεσ τιμϋσ του αριθμού α , η ανύςωςη 7x − 5α + 2 > 𝛼(𝑥 − 2) ϋχει λύςη τον αριθμό 4 ;
35. Για ποιεσ τιμϋσ του αριθμού α , η ανύςωςη
2x − 1
3
+
α
2
<
x + α
6
ϋχει λύςη τον αριθμό 1 ;
36. Δύνεται η ανύςωςη
μ(x − 1)
2
–
2x − μ
5
<
x
10
+
2
5
. Να βρεύτε ποιεσ τιμϋσ μπορεύ να πϊρει ο αριθμόσ μ
ώςτε η ανύςωςη να ϋχει λύςη τον αριθμό −1 ;
37. Ο αριθμόσ 2 εύναι λύςη τησ ανύςωςησ 3αx + 3x ≤ 2x + 5(α + 1) και ο αριθμόσ −3 εύναι η λύςη
τησ ανύςωςησ α x + 2 − 3 α + 1 < 𝑥 + 𝛼 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ που μπορεύ να πϊρει ο αριθμόσ α .
38. Δύνεται η εξύςωςη
x + 3
6
–
3 − x
4
= 1 και η ανύςωςη α + 3x < 2 x − α + 3 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ του
αριθμού α για τισ οπούεσ η λύςη τησ εξύςωςησ εύναι και λύςη τησ ανύςωςησ .

1. Σι λϋγεται τετραγωνικό ρύζα ενόσ θετικού αριθμού α;
Σετραγωνικό ρύζα ενόσ θετικού αριθμού α λϋγεται ο θετικόσ αριθμόσ,
ο οπούοσ, όταν υψωθεύ ςτο τετρϊγωνο, δύνει τον αριθμό α .
Η τετραγωνικό ρύζα του α ςυμβολύζεται με α .
Παρϊδειγμα : 16 = 4 γιατύ 42
= 16
Παρατηρόςεισ – ΢χόλια
α Επειδό 02
= 0 ορύζουμε ότι 𝟎 = 𝟎
β Για να βρούμε την α , ψϊχνουμε ϋναν θετικό αριθμό που αν τον υψώςουμε ςτο τετρϊγωνο,
το αποτϋλεςμα να εύναι α .
γ) Δεν ορύζουμε ρύζα αρνητικού αριθμού, γιατύ δεν υπϊρχει αριθμόσ που το τετρϊγωνό του να εύναι
αρνητικόσ αριθμόσ .
δ) Από τον οριςμό προκύπτει ότι: 𝚨𝛎 𝛂 = 𝐱 , ό𝛑𝛐𝛖 𝛂 ≥ 𝟎 , 𝛕ό𝛕𝛆 𝐱 ≥ 𝟎 𝛋𝛂𝛊 𝐱 𝟐
= 𝛂
ε) Αν 𝛂 ≥ 𝟎 𝛕ό𝛕𝛆 𝛂
𝟐
= 𝛂 . Για παρϊδειγμα 5
2
= 5
ςτ) Αν δεν γνωρύζουμε ότι ο αριθμόσ α εύναι θετικόσ , τότε 𝛂 𝟐 = 𝛂 .
Για παρϊδειγμα: (−3)2 = −3 = 3 .
ζ Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ιςχύει ότι ∶ 𝛂 ∙ 𝛃 = 𝛂 ∙ 𝛃
η Αν α ≥ 0 και β > 0 , 𝜏ό𝜏𝜀 𝜄𝜎𝜒ύ𝜀𝜄 ό𝜏𝜄 ∶
𝛂
𝛃
=
𝛂
𝛃
2.1 Σετραγωνικι Ρίηα Θετικοφ Αρικμοφ

1. Να υπολογιςτούν οι παρακϊτω τετραγωνικϋσ ρύζεσ :
α 36 , 0,36 , 3600 β 196 , 1,96 , 19600 γ 100 , 0,01 , 0,0001 , 10.000
δ
25
4
,
49
36
,
169
121
,
225
81
2. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ :
α 64 + 196 β −19 2 + 19
2
γ −5 2 + −
3
5
2
δ 16
2
+ 64
α 81 − 49 + 36 − 25 β 144 − 121 − 100 γ
64+ 16
3 4
δ
49+ 121
16+ 25
α 81 − 49 + 25 β 3 16 + 7 9 − 2 100 γ 25
2
+ −25 2 + 252
δ 3 162 + 16 − 26 ε 4
1
4
− 10
9
25
+ 9
36
81
α 7 + 23 − 5 ∙ −2 β 8
2
+ 122 + 30
2
γ −30 2 − −20 2 − −10 2
α 9 ∙ 16 β 2 ∙ 4 γ 4 ∙ 256 δ 3 ∙ 1 + 9 4 + 4
α 13 + 9 β 9 + 25 + 1 γ 13 + 7 + 4 δ 10 + 31 + 17 + 64
8. Να αποδεύξετε ότι :
α 5 + 13 + 9 = 3 β 7 − 7 + 2 + 4 = 2 γ
16
2
+ 49 = 3
α 2 2 + 4 + 3 7 + 4 = 5 β 28 + 64 + 37 + 144 + 12 = 5
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

α 11 + 16 + 81 = 4 β 6 + 6 + 6 + 9 = 3
γ 25 + 24 + 25 + 4 8 − 48 + 8 − 49 = 4
α 32 ∙ 2 β 3 ∙ 12 + 2 ∙ 32 γ) 5 ∙ 20 − 27 ∙ 3
δ) 2 ∙ 8 + 18 ε) 2 ∙ 50 − 32
α
18
2
β
150
6
γ
32
2
+
48
3
δ
75
3
−
24
6
ε 32 ∙
1
8
13. Δύνεται ο αριθμόσ Α = 81 + 16 + 25 − 64
α Να βρεύτε τον αριθμό Α
β Να λύςετε την εξύςωςη 1 − Α x − A x − 1 = A − 2(Ax − 1)
γ Για την τιμό του x που βρόκατε, να υπολογύςετε την παρϊςταςη Β = 29 − 14 + 2x
14. Να βρεύτε τουσ θετικούσ αριθμούσ x που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ :
α x2
= 16 β x2
= 49 γ x2
= 144 δ x2
=
25
81
15. Να βρεύτε όλουσ τουσ αριθμούσ x που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ :
α x2
= 100 β x2
= 36 γ x2
= 121 δ x2
=
169
64
16. Να βρεύτε όλουσ τουσ αριθμούσ x που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ :
α x2
+ 3 = 12 β x2
− 8 = 28 γ 32 − x2
= 7 δ 2x2
= 72
17. Να λυθούν οι εξιςώςεισ :
α 2x2
− 7 = 11 β 5x2
− 12 = 3x2
+ 20 γ 7x2
+ 30 = 9x2
− 42
18. Σο τετρϊγωνο ενόσ θετικού αριθμού αν αυξηθεύ κατϊ 32, γύνεται ύςο με το τριπλϊςιο του
τετραγώνου του αριθμού αυτού. Να βρεύτε ποιοσ εύναι ο αριθμόσ αυτόσ .
19. Να βρεθούν οι τιμϋσ του x ώςτε να ϋχουν νόημα οι παραςτϊςεισ :
α Α = 3x − 15 β Β = 12 − 4x γ Γ = 54 − 6x + x − 5
α Α = 2x − 8 β Β = 10 − 2x γ Γ = 3x + 6 + 18 − 3x

21. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3x − 6
α Για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α ;
β Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 2 64 + 3 9
γ Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 6
22. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2x + 8
β Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 4
23. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 4x − 12
β Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 2
α Α = 7 x − 3 + 2(−x + 3) β Γ = 3 − x + x + 3
25. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3 + 2[3 x − 3 − 2 x − 4 + 6
β Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 31 + 2 81 + 49
γ Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 11
26. Να υπολογύςετε την ϊγνωςτη πλευρϊ ςτα παρακϊτω ορθογώνια τρύγωνα :
27. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει βϊςη ΒΓ = 16cm και περύμετρο 50 cm.
Να υπολογύςετε το ύψοσ και το εμβαδόν του .
28. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει βϊςη ΒΓ = 8 cm και περύμετρο 18 cm.
29. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει AΒ = ΑΓ = 1,5 cm και ύψοσ ΑΔ = 1,2 cm . Να βρεύτε :
α το μόκοσ του τμόματοσ ΓΔ β την περύμετρο του τριγώνου γ το εμβαδόν του τριγώνου
30. Να βρεύτε το μόκοσ τησ πλευρϊσ ενόσ τετραγώνου που ϋχει εμβαδόν 20,25 cm2
31. Να βρεύτε τα x , y του διπλανού ςχόματοσ ,
αν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ εύναι 36 cm2
32. Να υπολογύςετε τη διαγώνιο ενόσ ορθογωνύου που ϋχει διαςτϊςεισ 32 cm και 24 cm .
33. Να υπολογύςετε τη διαγώνιο ενόσ ορθογωνύου που ϋχει διαςτϊςεισ 15 cm και 8 cm .

34. Η διαγώνιοσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 13 cm και η μια διϊςταςό του εύναι 5 cm . Να βρεύτε την ϊλλη
διϊςταςό του και το εμβαδόν του.
35. Η διαγώνιοσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 15 cm και η μια διϊςταςό του εύναι 12 cm . Να βρεύτε την ϊλλη
διϊςταςό του και το εμβαδόν του.
36. Οι διαγώνιεσ ενόσ ρόμβου ΑΒΓΔ εύναι ΑΓ = 30 και ΒΔ = 16.
Να βρεθεύ η πλευρϊ και η περύμετρόσ του .
37. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ = 60 , ΓΔ = 24 και ΒΓ = ΑΔ = 30 .
38. ΢ε ορθογώνιο τραπϋζιο ΑΒΓΔ εύναι Α = Β = 90° , ΒΓ = 17 και ΑΔ = 7 . Αν διαγώνιοσ ΒΔ = 25 ,
να βρεθεύ η πλευρϊ ΓΔ .
39. ΢ε ορθογώνιο τραπϋζιο ΑΒΓΔ εύναι Α = Δ = 90° , ΑΒ = 43 , ΓΔ = 55 και ΑΔ = 35 .
Να βρεθεύ η πλευρϊ ΒΓ .
40. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ = 9 , ΓΔ = 30 και ΑΔ = 17 . Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΒΓ
αν το εμβαδόν του ιςούται με 156 cm2
.

1. Ποιοι αριθμού λϋγονται ϊρρητοι ;
Κϊθε αριθμόσ που δεν εύναι ρητόσ, δηλαδό που δεν μπορεύ να γραφεύ ωσ κλϊςμα
μ
ν
με μ , ν ακεραύουσ
και ν ≠ 0 , ονομϊζεται ϊρρητοσ αριθμόσ .
Παρατηρόςεισ
α Η τετραγωνικό ρύζα κϊθε φυςικού ό ρητού αριθμού, ο οπούοσ δεν εύναι τετρϊγωνο κϊποιου ϊλλου
φυςικού ό ρητού αριθμού, εύναι ϊρρητοσ αριθμόσ .
Για παρϊδειγμα οι αριθμού 2 , 3 , 5 , 6 ,
2
3
,
1
7
….
β Τπϊρχουν και ϊλλοι ϊρρητοι αριθμού , όπωσ ο αριθμόσ π = 3,1415 … που ςυναντϊμε ςτον κύκλο .
γ Ένασ ϊρρητοσ αριθμόσ δεν μπορεύ να εύναι ούτε δεκαδικόσ , ούτε περιοδικόσ δεκαδικόσ.
2. Ποιοι αριθμού λϋγονται Πραγματικού ;
Μϋχρι τώρα ϋχουμε μελετόςει τα εξόσ ςύνολα αριθμών :
α Σο ςύνολο των φυςικών αριθμών ℕ : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5… , οι οπούοι παριςτϊνονται ςτην ευθεύα :
β Σο ςύνολο των ακεραύων αριθμών ℤ : −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3..,οι οπούοι παριςτϊνονται ςτην ευθεύα :
γ Σο ςύνολο των ρητών αριθμών ℚ : εύναι οι αριθμού που μπορούν να γραφούν ωσ κλϊςματα
μ
ν
με μ , ν ακεραύουσ και ν ≠ 0 . Οι ρητού αριθμού ςυμπληρώνουν τα κενϊ ανϊμεςα ςτουσ ακεραύουσ
αριθμούσ, αλλϊ δεν γεμύζουν την ευθεύα .
δ Σο ςύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ : αποτελεύται από όλουσ τουσ ρητούσ και όλουσ τουσ
ϊρρητουσ αριθμούσ . Αν τουσ τοποθετόςουμε πϊνω ςε μια ευθεύα, τότε την γεμύζουν πλόρωσ , δηλαδό
κϊθε ςημεύο τησ ευθεύασ αντιςτοιχεύ ςε ϋναν πραγματικό αριθμό. Για τον λόγο αυτό, την ευθεύα αυτό
την ονομϊζουμε ευθεύα ό ϊξονα των πραγματικών αριθμών .
2.2 Άρρθτοι Αρικμοί – Πραγματικοί Αρικμοί

1. Να βϊλετε ςε μια ςειρϊ από τον μικρότερο ςτον μεγαλύτερο τουσ παρακϊτω αριθμούσ :
α 3 , 1 , 8 , 7 β 21 , 4 , 17 , 28 , 5 γ 2 + 2 , 3 , 2 , 2 − 1 δ 5 , 2 + 3
2. Να βρεύτε τισ ρητϋσ προςεγγύςεισ ϋωσ και δύο δεκαδικϊ ψηφύα, των αριθμών 10 και 35
3. Να βρεύτε τισ ρητϋσ προςεγγύςεισ ϋωσ και τρύα δεκαδικϊ ψηφύα, των αριθμών 6 και 11
4. Να μετατρϋψετε τα παρακϊτω κλϊςματα ςε ιςοδύναμα με ρητό παρονομαςτό :
α
5
10
β
8
2
γ
4
3 2
δ
6
5 3
5. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων :
α 32 + 72 − 98 β 80 − 500 + 45 γ 160 + 250 + 90 − 1.000
6. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων :
α 8 + 18 50 − 32 β 75 − 48 12 + 27 γ
50 + 32 − 18
128 − 72
δ
2 80 − 45 + 125
20 + 45
α x2
= 7 β x2
= 8 γ x2
= 1 δ x2
= 12
α x2
= 13 β x2
= −7 γ 4x2
= 60 δ −4x2
= −12
α x2
+ 9 = 12 β 2x2
− 5 = 11 γ 7 − x2
= 5 δ 10x2
− 35 = 65
10. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου τριγώνου του οπούου η υποτεύνουςα εύναι 25 και η μια
κϊθετη πλευρϊ εύναι διπλϊςια τησ ϊλλησ .
11. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90°
εύναι ΑΓ = 4 cm και ΒΓ = 10 cm .
Να υπολογύςετε το μόκοσ τησ διαμϋςου ΓΜ .
12. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90°
εύναι Β = 45°
και ΑΒ = 4 cm . Να βρεθεύ το ύψοσ που
αντιςτοιχεύ ςτην υποτεύνουςα με προςϋγγιςη εκατοςτού
13. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει υποτεύνουςα 8 cm . Να βρεύτε με προςϋγγιςη εκατοςτού
το μόκοσ καθεμιϊσ από τισ ύςεσ κϊθετεσ πλευρϋσ .
14. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει υποτεύνουςα 10 cm . Να βρεύτε το εμβαδόν του .
15. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει μια κϊθετη πλευρϊ ύςη με 18 cm . Να υπολογύςετε την
υποτεύνουςα και το εμβαδόν του .
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

16. Να υπολογύςετε με προςϋγγιςη εκατοςτού το ύψοσ και το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου
με πλευρϊ 8 cm .
17. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου πλευρϊσ 12 cm .
18. Η περύμετροσ ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ εύναι 18 cm . Να υπολογύςετε το ύψοσ του ΑΔ
καθώσ και το εμβαδόν του .
19. Να υπολογύςετε τισ πλευρϋσ και το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου , αν το ύψοσ του εύναι 10 cm.
20. Αν το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου εύναι 64 3 cm2
, να βρεθεύ η πλευρϊ και το ύψοσ του .
21. Ένα τετρϊγωνο ϋχει διαγώνιο ύςη με 18 cm . Να υπολογύςετε την πλευρϊ του .
22. Ένα τετρϊγωνο ϋχει περύμετρο ύςη με 20 cm . Να υπολογύςετε την διαγώνιό του .
23. Ένα τετρϊγωνο ϋχει διαγώνιο ύςη με 6 cm . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του .
24. Ένα τετρϊγωνο ϋχει εμβαδόν 18 cm2
. Να βρεύτε την πλευρϊ και την διαγώνιο του τετραγώνου.
25. Να βρεύτε την διϊμετρο του διπλανού κύκλου .
26. Δύνεται ρόμβοσ ΑΒΓΔ με Α = 60°
και ΑΒ = 16 cm. Να υπολογύςετε τισ διαγώνιϋσ και το εμβαδόν του
27. Ένα ορθογώνιο τραπϋζιο ϋχει βϊςεισ 6 cm και 9 cm και εμβαδόν 45 cm2
. Να υπολογύςετε την
περύμετρό του με προςϋγγιςη δύο δεκαδικών ψηφύων .

1. Σι ονομϊζουμε ςυνϊρτηςη ;
Μια ιςότητα που ςυνδϋει τισ μεταβλητϋσ x και y ϋτςι , ώςτε κϊθε τιμό τησ μεταβλητόσ x να
αντιςτοιχύζεται ςε μύα μόνο τιμό τησ μεταβλητόσ y ονομϊζεται ςυνϊρτηςη .
΢την περύπτωςη αυτό λϋμε ότι « η μεταβλητό y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη τησ μεταβλητόσ x » .
1. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 3x − 5 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
2. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y =
3x − 1
2
. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
3. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 2x2
− 3 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
4. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x2
− 5x + 6 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
+ 2x − 3 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
x −4 −2 0 2 4
y
x −2 −1 0 1 2
y
x −2 −1 0 1 2
y
x −3 −1 0 2 5
y
x −3 −1 0 2 4
y
3.1 Η ζννοια τθσ ΢υνάρτθςθσ
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

6. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 2x − 3 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
7. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = −2x + 5 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
5(x + 3)
2
− 1 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :
10. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 4 −
5(x − 2)
2
11. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 2 αx − 1 + α . Να βρεύτε τον αριθμό α αν για x = −1 εύναι y = −5 .
12. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 3 − 2(x + α) και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τον αριθμό α
και να ςυμπληρώςετε τον υπόλοιπο πύνακα.
13. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = (3 − 2α)x + 2β και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τα α και β .
14. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = αx + β(x + 2) και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τα α και β .
x 5 2 8
y −7 9
x −2 −1
y 7 5
x −3 2 5
y 5 15
x −3 0
y 0 3
x −4 0 4
y 4 −6
x 4 0 2
y 1 15 0
x −2 −1 0
y −8 1 10
x 0 4
y −6 2

+ 2βx + 3α και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τα α και β .
16. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = x και ΒΓ = y . Να εκφρϊςετε την πλευρϊ y
ωσ ςυνϊρτηςη του x , αν γνωρύζετε ότι η περύμετροσ του τριγώνου εύναι 20 .
17. Ένα ιςόπλευρο τρύγωνο ϋχει πλευρϊ μόκουσ x . Να εκφρϊςετε την περύμετρο Π του τριγώνου
ωσ ςυνϊρτηςη του x και να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα :
18. Ένα ορθογώνιο ϋχει πλευρϋσ με μόκη x και y .
α Αν η περύμετροσ του ορθογωνύου εύναι 50 cm , να εκφρϊςετε την πλευρϊ y ωσ ςυνϊρτηςη τησ
πλευρϊσ x . ΢τη ςυνϋχεια να βρεύτε τισ πλευρϋσ του ορθογωνύου όταν η μια από αυτϋσ εύναι 8 cm .
β Αν το εμβαδόν του ορθογωνύου εύναι 240 cm2
, να εκφρϊςετε την πλευρϊ y ωσ ςυνϊρτηςη τησ
πλευρϊσ x . ΢τη ςυνϋχεια να βρεύτε τισ πλευρϋσ του ορθογωνύου όταν η μια από αυτϋσ εύναι 15 cm .
19. Δύνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρϋσ ΑΒ = 2x − 1 και ΒΓ = 4y − 3
Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x , αν γνωρύζετε ότι η περύμετροσ του εύναι 12 .
20. Δύνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρϋσ ΑΒ = x και ΒΓ = x + 2 cm
α Να εκφρϊςετε την περύμετρο Π του ορθογωνύου ωσ ςυνϊρτηςη του x
β Να εκφρϊςετε το εμβαδόν Ε του ορθογωνύου ωσ ςυνϊρτηςη του x
γ Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών
21. Ένα τραπϋζιο ϋχει μεγϊλη βϊςη διπλϊςια τησ μικρόσ και το ύψοσ του 8 cm . Να εκφρϊςετε το
εμβαδόν του Ε ωσ ςυνϊρτηςη τησ μικρόσ του βϊςησ x .
22. Ένα τραπϋζιο ϋχει μεγϊλη βϊςη τριπλϊςια τησ μικρόσ και το ύψοσ του εύναι διπλϊςιο από τη μικρό
βϊςη . Να εκφρϊςετε το εμβαδόν του Ε ωσ ςυνϊρτηςη τησ μικρόσ του βϊςησ x .
x −2 0 2
y 19 3 −5
x 1 3 6
Π 15 27
x 1 6 10
Π 16 36
Ε

1. Σι εύναι το ςύςτημα ορθογωνύων αξόνων ;
Θεωρούμε δύο κϊθετουσ ϊξονεσ x’x και y’y με κοινό
αρχό το Ο. Οι δύο αυτού ϊξονεσ αποτελούν ϋνα
ςύςτημα ορθογωνύων αξόνων ό
απλϊ ϋνα ςύςτημα αξόνων .
Από ϋνα τυχαύο ςημεύο Μ του επιπϋδου φϋρουμε τισ
κϊθετεσ ςτουσ δύο ϊξονεσ x’x και y’y .
Ονομϊζουμε τετμημϋνη του ςημεύου Μ τον αριθμό
που αντιςτοιχεύ ςτο ύχνοσ τησ καθϋτου προσ τον x’x
και τεταγμϋνη του Μ τον αριθμό που αντιςτοιχεύ ςτο
ύχνοσ τησ καθϋτου προσ τον y’y .
Έτςι λοιπόν το ςημεύο Μ αντιςτοιχεύ ςτο ζεύγοσ των
αριθμών 3 και 4 . Οι δύο αριθμού μαζύ λϋγονται
ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου Μ και γρϊφουμε Μ 3 , 4
α Κϊθε ςημεύο του επιπϋδου αντιςτοιχεύ ςε ϋνα μόνο ζεύγοσ αριθμών και , αντιςτρόφωσ, κϊθε ζεύγοσ
αριθμών αντιςτοιχεύ ςε ϋνα μόνο ςημεύου του επιπϋδου .
β Όταν οι μονϊδεσ μϋτρηςησ ςτουσ δύο ϊξονεσ εύναι ύδιεσ, το ςύςτημα λϋγεται ορθοκανονικό
γ Κϊθε ςημεύο του ϊξονα x’x ϋχει τεταγμϋνη 0, δηλαδό εύναι τησ μορφόσ Μ α , 0 .
δ Κϊθε ςημεύο του ϊξονα y’y ϋχει τετμημϋνη 0, δηλαδό εύναι τησ μορφόσ Μ 0 , β .
ε Η αρχό των αξόνων Ο ϋχει ςυντεταγμϋνεσ 0 , 0 .
ςτ Σο ςύςτημα αξόνων χωρύζει το επύπεδο ςε 4 μϋρη
τα οπούα λϋγονται τεταρτημόρια .
΢το διπλανό ςχόμα ςημειώνονται τα πρόςημα τησ
τετμημϋνησ και τεταγμϋνησ ςε κϊθε τεταρτημόριο.
ζ Δύο ςημεύα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ τον ϊξονα x’x όταν ϋχουν την ύδια τετμημϋνη και αντύθετεσ
τεταγμϋνεσ . Για παρϊδειγμα, το ςυμμετρικό του Μ α , β ωσ προσ τον ϊξονα x’x, εύναι το Μ(α , −β) .
η Δύο ςημεύα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ τον ϊξονα y’y όταν ϋχουν την ύδια τεταγμϋνη και αντύθετεσ
τετμημϋνεσ . Για παρϊδειγμα, το ςυμμετρικό του Μ α , β ωσ προσ τον ϊξονα y’y, εύναι το Μ(−α , β) .
θ Δύο ςημεύα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ την αρχό των αξόνων Ο όταν ϋχουν αντύθετεσ τετμημϋνεσ και
αντύθετεσ τεταγμϋνεσ . Για παρϊδειγμα, το ςυμμετρικό του Μ α , β ωσ προσ την αρχό των αξόνων,
εύναι το Μ(−α , −β).
3.2 Καρτεςιανζσ ΢υντεταγμζνεσ

ΠΡΟ΢ΟΦΗ
2. Σι ονομϊζουμε γραφικό παρϊςταςη ςυνϊρτηςησ ;
Γραφικό Παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ , με την οπούα ϋνα μϋγεθοσ y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη ενόσ
ϊλλου μεγϋθουσ x , ονομϊζεται το ςύνολο όλων των ςημεύων του επιπϋδου με ςυντεταγμϋνεσ (x , y) .
Για να χαρϊξουμε την γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ, κϊνουμε τα παρακϊτω :
Α Κϊνουμε τον πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ
Β Σοποθετούμε τα αντύςτοιχα ςημεύα ςε ϋνα ςύςτημα αξόνων
Γ Ενώνουμε τα παραπϊνω ςημεύα με μια γραμμό. Η γραμμό αυτό εύναι η γραφικό παρϊςταςη τησ
ςυνϊρτηςησ .
α Ένα ςημεύο ανόκει ςτην γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ αν και μόνο αν οι ςυντεταγμϋνεσ του
επαληθεύουν την εξύςωςό τησ .
β Για να βρούμε το ςημεύο τομόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ με :
β1 τον ϊξονα x’x , θϋτουμε y = 0
β2 τον ϊξονα y’y , θϋτουμε x = 0

1. Να καταςκευϊςετε ϋνα ςύςτημα αξόνων και να ςημειώςετε τα παρακϊτω ςημεύα :
Α −2 , −3 , Β −2 , 3 , Γ 2 , 4 , Δ(4 , −1) .
2. Να καταςκευϊςετε ϋνα ςύςτημα αξόνων και να ςημειώςετε τα παρακϊτω ςημεύα :
Α 5 , 0 , Β 5 , 2 , Γ 5 , 5 , Δ 5 , −1 , E(5 , −4) .
3. Να βρεύτε τον αριθμό λ , ώςτε το ςημεύο Κ(2λ − 6 , 5 − 10λ) να βρύςκεται :
α ςτον ϊξονα x’x β ςτον ϊξονα y’y
4. Να βρεύτε τον αριθμό λ , ώςτε το ςημεύο Κ(1 −
λ − 3
4
, 4 −
2(λ – 1)
3
) να βρύςκεται :
α ςτον ϊξονα x’x β ςτον ϊξονα y’y
5. Να βρεύτε για ποιουσ αριθμούσ μ , το ςημεύο Κ 8 − 4 μ − 1 , 7 βρύςκεται :
α ςτο 1ο τεταρτημόριο β ςτο 2ο τεταρτημόριο
6. Να βρεύτε για ποιουσ αριθμούσ λ , το ςημεύο Κ 6 ,
2λ − 1
3
− 1 βρύςκεται :
α ςτο 1ο τεταρτημόριο β ςτο 4ο τεταρτημόριο
7. Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = −2x2
+ α διϋρχεται από το ςημεύο Μ −3 , −15 .
Να βρεύτε τον αριθμό α .
8. Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = 2 − 3α x + 1 διϋρχεται από το ςημεύο Μ −1 , −16 .
α Να βρεύτε τον αριθμό α .
β Να ςχεδιϊςετε την γραφικό τησ παρϊςταςη για −2 ≤ x ≤ 2 .
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
1. Πότε δύο ποςϊ λϋγονται ανϊλογα ;
Δύο ποςϊ λϋγονται ανϊλογα όταν πολλαπλαςιϊζοντασ τισ τιμϋσ του ενόσ ποςού με ϋναν αριθμό, τότε
και οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου πολλαπλαςιϊζονται με τον ύδιο αριθμό.
Αν δύο ποςϊ x και y εύναι ανϊλογα τότε ο λόγοσ των τιμών του ενόσ προσ τισ
αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου εύναι ςταθερόσ , δηλαδό ο λόγοσ
y
x
εύναι ςταθερόσ.
Αφού ο λόγοσ
y
x
εύναι ςταθερόσ , τότε
y
x
= α ό y = αx
2. Σι γνωρύζετε για την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ 𝐲 = 𝛂𝐱 ;
Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = αx εύναι μια ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των
αξόνων Ο .
Η ευθεύα y = αx βρύςκεται ςτο 1ο και ςτο 3ο τεταρτημόριο όταν α > 0 , ενώ
βρύςκεται ςτο 2ο και 4ο τεταρτημόριο αν α < 0 .
3. Σι ονομϊζεται κλύςη τησ ευθεύασ 𝐲 = 𝛂𝐱 ;
Κλύςη μιασ ευθεύασ y = αx ονομϊζεται ο ςταθερόσ λόγοσ
y
x
που εύναι ύςοσ με α .
Η ευθεύα y = x που ϋχει κλύςη ύςη με 1 εύναι η διχοτόμοσ τησ 1ησ και τησ 3ησ γωνύασ
των αξόνων ,
ενώ η ευθεύα y = −x που ϋχει κλύςη ύςη με −1 εύναι η διχοτόμοσ τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων
Ο ϊξονασ x’x εύναι και αυτόσ μια ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων ,
με εξύςωςη y = 0 .
3.3 Η ΢υνάρτθςθ 𝐲 = 𝛂𝐱

1. Να εξετϊςετε αν τα ποςϊ του παρακϊτω πύνακα εύναι ανϊλογα και αν ναι , να εκφρϊςετε το y ωσ
ςυνϊρτηςη του x
2. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι ανϊλογα , να εκφρϊςετε το y ωσ
ςυνϊρτηςη του x , να ςυμπληρώςετε τον υπόλοιπο πύνακα και να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη .
3. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι ανϊλογα , να εκφρϊςετε το y ωσ
ςυνϊρτηςη του x , να ςυμπληρώςετε τον υπόλοιπο πύνακα και να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη .
4. ΢ε ϋνα ορθογώνιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων να ςχεδιϊςετε τισ ευθεύεσ ε: y = 2x και δ: y = −3x
5. ΢ε ϋνα ορθογώνιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων να ςχεδιϊςετε τισ ευθεύεσ ε: y =
1
3
x και δ: y = −
1
3
x
6. Μια ευθεύα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και ϋχει κλύςη 4. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ ευθεύασ
και να κϊνετε την γραφικό τησ παρϊςταςη .
7. Μια ευθεύα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και ϋχει κλύςη
3
4
. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ
ευθεύασ και να κϊνετε την γραφικό τησ παρϊςταςη .
8. Να βρεύτε την κλύςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο Α(3 , −6)
9. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο Α(−2 , 8)
10. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο Α(12 , 4)
11. Η ευθεύα y = (3 − 6μ)x ϋχει κλύςη 15. Να βρεύτε τον αριθμό μ .
12. Η ευθεύα y = (3 −
μ − 2
5
)x ϋχει κλύςη 2. Να βρεύτε τον αριθμό μ .
13. Η ευθεύα y = 4 μ − 2 + 8 x εύναι ο ϊξονασ x’x . Να βρεύτε τον αριθμό μ .
14. Η ευθεύα y = (4 −
2(μ – 1)
5
)x εύναι ο ϊξονασ x’x . Να βρεύτε τον αριθμό μ .
x 12 15 18
y −24 −30 −36
x −2 −1 0 1
y 4
x 1 −2 3
y 9 18
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

15. Η ευθεύα y = 2 μ − 3 + 9 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων .
Να βρεύτε τον αριθμό μ .
16. Η ευθεύα y = 9 − 4 μ − 2 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων .
17. Η ευθεύα y = 2 μ + 1 + 5 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων .
18. Η ευθεύα y = 3 −
μ + 5
2
x εύναι η διχοτόμοσ τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων .
19. Η ευθεύα y = (2μ − 3)x διϋρχεται από το ςημεύο Κ(2 , 12) . Να βρεύτε τον αριθμό μ .
20. Η ευθεύα y = (7 −
3(2 − μ)
2
)x διϋρχεται από το ςημεύο Κ(−3 , 6) . Να βρεύτε τον αριθμό μ και να
ςχεδιϊςετε την προηγούμενη ευθεύα .
21. Μια ευθεύα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και τα ςημεύα Κ −12 , 4 και Λ(μ + 2 , 6 − 2λ) .
Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ και ςτη ςυνϋχεια τον αριθμό μ .

ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
1. Σι γνωρύζετε για την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ 𝐲 = 𝛂𝐱 + 𝛃 𝛍𝛆 𝛃 ≠ 𝟎 ;
Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = αx + β με β ≠ 0 εύναι μια ευθεύα παρϊλληλησ τησ ευθεύασ
με εξύςωςη y = αx η οπούα διϋρχεται από το ςημεύο 0 , β του ϊξονα y’y.
Η ευθεύα y = αx + β ϋχει κλύςη ύςη με τον αριθμό α .
Δύο ευθεύεσ εύναι παρϊλληλεσ αν και μόνο αν ϋχουν την ύδια κλύςη .
1. Να ςχεδιϊςετε ςτο ύδιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων
y = −3x + 1 και y = −3x + 2 . Σι παρατηρεύτε ;
2. Να ςχεδιϊςετε ςτο ύδιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων
y = x , y = x + 3 και y = x − 3. Σι παρατηρεύτε ;
3. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 2x − 6 . Να εξετϊςετε αν η ευθεύα διϋρχεται από τα ςημεύα
Α −2 , −10 , Β(4 , 5) .
4. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα Α −2 , 0 , Β(0 , 6) .
5. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που ϋχει κλύςη −5 και διϋρχεται από το ςημεύο Α −1 , 10 .
3.3 Η ΢υνάρτθςθ 𝐲 = 𝛂𝐱 + 𝛃
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

6. Μια ευθεύα ϋχει κλύςη −2 και τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο με τεταγμϋνη 3 .
α Να βρεύτε την εξύςωςη τησ παραπϊνω ευθεύασ .
β Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών τησ ευθεύασ που βρόκατε .
γ Να ςχεδιϊςετε την ευθεύα που βρόκατε ςε ϋνα ςύςτημα αξόνων.
7. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο με τεταγμϋνη −5 και εύναι
παρϊλληλη ςτην ευθεύα y = 2x .
8. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από το ςημεύο Κ −3 , 1 και εύναι παρϊλληλη ςτην
ευθεύα y = 5x + 2019
9. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο Α 0 , −4 και διϋρχεται από
το ςημεύο Β(4 , −2) .
10. Να βρεύτε τα ςημεύα που τϋμνουν τουσ ϊξονεσ οι ςυναρτόςεισ : α y = −2x + 8 β y = −x + 2
11. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = −3x − 6
α Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ αυτόσ με τουσ ϊξονεσ .
β Να ςχεδιϊςετε την παραπϊνω ευθεύα .
γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου που ςχηματύζει η παραπϊνω ευθεύα με τουσ ϊξονεσ .
12. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 2x + 8
α Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ αυτόσ με τουσ ϊξονεσ .
β Να ςχεδιϊςετε την παραπϊνω ευθεύα .
γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου που ςχηματύζει η παραπϊνω ευθεύα με τουσ ϊξονεσ .
13. Δύνονται οι ευθεύεσ y = (5λ − 2)x + 8 και y = λ + 2 x − 4 . Να βρεύτε το λ ώςτε οι ευθεύεσ
να εύναι παρϊλληλεσ .
14. Δύνονται οι ευθεύεσ y =
μ− 3
4
x + 7 και y = 3 −
μ − 1
2
x + 3 . Να βρεύτε το μ ώςτε οι ευθεύεσ
να εύναι παρϊλληλεσ .
15. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = αx + β .
α Να βρεύτε τα α , β αν εύναι γνωςτό ότι η ευθεύα που την παριςτϊνει ϋχει κλύςη −4 και διϋρχεται από
το ςημεύο Μ 0 , 8 .
β Να βρεύτε ςε ποιο ςημεύο η παραπϊνω ευθεύα τϋμνει τον ϊξονα x’x
γ Να ςχεδιϊςετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ .
16. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = αx + β .
α Να βρεύτε τα α , β αν εύναι γνωςτό ότι η ευθεύα που την παριςτϊνει τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο
Α 0 , −2 και διϋρχεται από το ςημεύο Β 1 , 4 .
β Να βρεύτε το ςημεύο Γ ςτο οπούο η παραπϊνω ευθεύα τϋμνει τον ϊξονα x’x
γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ, όπου Ο η αρχό των αξόνων .
x −2 −1
y 1 −5

17. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = −
2
3
x + μ . Να βρεύτε το μ ώςτε η ευθεύα αυτό να διϋρχεται από το
ςημεύο Α 6 , −1
18. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = (3α + 1)x + 2 τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται από το
ςημεύο Α 2 , −2 .
α Να βρεύτε τον αριθμό α
β Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςη .
19. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = αx + β. Αν γνωρύζουμε ότι εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα με εξύςωςη
y = −2x + 10 και διϋρχεται από το ςημεύο Κ 1 , 3 , να βρεύτε :
α τουσ αριθμούσ α και β
β τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ με τουσ ϊξονεσ .
20. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 2λ + 1 x + 3μ − 2 . Αν γνωρύζουμε ότι εύναι παρϊλληλη ςτην
ευθεύα με εξύςωςη y = −5x + 7 και διϋρχεται από το ςημεύο Κ −1 , 6 , να βρεύτε τα λ και μ .
21. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 3λ − 1 x − 2μ + 4. Αν γνωρύζουμε ότι εύναι παρϊλληλη ςτην
ευθεύα με εξύςωςη y = 5x + 2019 και διϋρχεται από το ςημεύο Κ −1 , 5 , να βρεύτε :
α τουσ αριθμούσ λ και μ
β τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ με τουσ ϊξονεσ .

ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
ΠΡΟ΢ΟΦΗ
1. Πότε δύο ποςϊ λϋγονται αντιςτρόφωσ ανϊλογα ;
Δύο ποςϊ λϋγονται αντιςτρόφωσ ανϊλογα , όταν πολλαπλαςιϊζοντασ την τιμό του ενόσ με ϋναν αριθμό,
τότε η αντύςτοιχη τιμό του ϊλλου ποςού διαιρεύται με τον αριθμό αυτόν .
Αν δύο ποςϊ εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα, τότε το γινόμενο των αντύςτοιχων τιμών
τουσ εύναι ςταθερό
Αν α ≠ 0 εύναι το ςταθερό γινόμενο των αντιςτρόφωσ αναλόγωσ ποςών x , y τότε :
x ∙ y = α ό y =
α
x
2. Σι γνωρύζετε για την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ 𝐲 =
𝛂
𝐱
;
Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y =
α
x
όπου α ≠ 0 λϋγεται υπερβολό και αποτελεύται από δύο
γραμμϋσ που λϋγονται κλϊδοι τησ υπερβολόσ .
Οι κλϊδοι τησ υπερβολόσ βρύςκονται :
α ΢το 1ο και 3ο τεταρτημόριο αν α > 0 β ΢το 2ο και 4ο τεταρτημόριο αν α < 0
Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y =
α
x
όπου α ≠ 0 ϋχει :
α κϋντρο ςυμμετρύασ την αρχό των αξόνων Ο
β ϊξονεσ ςυμμετρύασ τισ διχοτόμουσ των γωνιών των αξόνων.
3.4 Η ΢υνάρτθςθ 𝐲 =
𝛂
𝐱
− Η Τπερβολι

1. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα :
α Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x .
β Να ςυμπληρώςετε τον παραπϊνω πύνακα .
γ Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ .
2. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα :
α Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x .
β Να ςυμπληρώςετε τον παραπϊνω πύνακα .
γ Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ .
3. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα :
α Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x , αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από το Α 2 , 6
β Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ .
2α − 3
x
. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται
από το ςημεύο Κ 5 , 1 .
3(1 − 2λ)
x
. Να βρεύτε τον αριθμό λ αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται
από το ςημεύο Κ(−3 , −5) .
2α + 5
x
. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται
από το ςημεύο Κ 3 , 5 .
3 λ − 1 −2(3 − λ)
x
. Να βρεύτε τον αριθμό λ αν η γραφικό τησ παρϊςταςη
διϋρχεται από το ςημεύο Κ(−3 , −7) .
8. Δύνεται η υπερβολό y =
2 λ − 3 + 6
x
. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του αριθμού λ ώςτε οι κλϊδοι τησ
υπερβολόσ να βρύςκονται ςτο 1ο και 3ο τεταρτημόριο .
x −3 −1 1 3
y 3
x −6 −3 −1 1
y −3
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

9. Δύνεται η υπερβολό y =
2 3λ + 4 −10
x
. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του αριθμού λ ώςτε οι κλϊδοι τησ
υπερβολόσ να βρύςκονται ςτο 2ο και 4ο τεταρτημόριο
10. Ένα τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει εμβαδόν 120 τ.μ.
α Να εκφρϊςετε την βϊςη α του τριγώνου ςε ςχϋςη με το αντύςτοιχο ςε αυτό ύψοσ .
11. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει εμβαδόν 24 cm2
, πλϊτοσ x cm και μόκοσ y cm
α Να εκφρϊςετε το μόκοσ y του ορθογωνύου ωσ ςυνϊρτηςη του πλϊτουσ x .

1. Πωσ ορύζουμε το εμβαδόν μιασ επύπεδησ επιφϊνειασ ;
Σο εμβαδόν μιασ επύπεδη επιφϊνειασ εύναι ϋνασ θετικόσ αριθμόσ , ο οπούοσ εκφρϊζει την ϋκταςη που
καταλαμβϊνει η επιφϊνεια ςτο επύπεδο.
Ο αριθμόσ αυτόσ εξαρτϊται από την μονϊδα μϋτρηςησ επιφανειών που χρηςιμοποιούμε .
2. Ποια η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ εμβαδών ;
Θεωρούμε ϋνα τετρϊγωνο πλευρϊσ 1 m. Σο εμβαδόν του τετραγώνου αυτού λϋγεται τετραγωνικό μϋτρο
και το ςυμβολύζουμε με 1 m2
. Σο τετραγωνικό μϋτρο εύναι η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ εμβαδού.
3. Ποιεσ εύναι οι υποδιαιρϋςεισ του τετραγωνικού μϋτρου ;
Οι υποδιαιρϋςεισ του τετραγωνικού μϋτρου εύναι :
α το τετραγωνικό δεκατόμετρο ό τετραγωνικό παλϊμη που ςυμβολύζεται με dm2
και ιςχύει :
β το τετραγωνικό εκατοςτόμετρο ό τετραγωνικόσ πόντοσ που ςυμβολύζεται με cm2
γ το τετραγωνικό χιλιοςτόμετρο που ςυμβολύζεται με mm2
1.1 Εμβαδόν Επίπεδθσ Επιφάνειασ
1.2 Μονάδεσ Μζτρθςθσ Επιφανειών

ΠΡΟ΢ΟΦΗ
4. Ποια εύναι τα πολλαπλϊςια του τετραγωνικού μϋτρου ;
Σα πολλαπλϊςια του τετραγωνικού μϋτρου εύναι :
α το τετραγωνικό χιλιόμετρο που ςυμβολύζεται με Κm2
β το ςτρϋμμα για το οπούο ιςχύει :
Γενικϊ, για να πϊμε από μεγαλύτερη μονϊδα ςε μικρότερη, πολλαπλαςιϊζουμε με
κατϊλληλο αριθμό, ενώ για να πϊμε από μικρότερη μονϊδα ςε μεγαλύτερη, διαιρούμε
με κατϊλληλο αριθμό . Φρόςιμα εύναι τα παρακϊτω ςχεδιαγρϊμματα :

1. Εμβαδόν Σετραγώνου
Σο εμβαδόν ενόσ τετραγώνου πλευρϊσ α ιςούται με α2
2. Εμβαδόν Ορθογωνύου
Σο εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου εύναι ύςο με το γινόμενο των διαςτϊςεών του.
3. Εμβαδόν Παραλληλογρϊμμου
Σο εμβαδόν ενόσ παραλληλογρϊμμου εύναι ύςο με το γινόμενο τησ μιασ βϊςησ του επύ το αντύςτοιχο
ύψουσ του .
1.3 Εμβαδά Επίπεδων ΢χθμάτων

4. Εμβαδόν Σριγώνου
Σο εμβαδόν ενόσ τριγώνου εύναι ύςο με το μιςό του γινομϋνου τησ μιασ βϊςησ του επύ το αντύςτοιχο
ύψουσ του .
5. Εμβαδόν Ορθογωνύου Σριγώνου
Σο εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι ύςο με το μιςό του γινομϋνου των δύο καθϋτων πλευρών
6. Εμβαδόν Σραπεζύου
Σο εμβαδόν ενόσ τραπεζύου εύναι ύςο με το γινόμενο του ημιαθρούςματοσ των βϊςεών του
με το ύψοσ του .

1. Να υπολογύςετε τα εμβαδϊ των παρακϊτω ςχημϊτων :
2. Να υπολογύςετε το x ςτα παρακϊτω ςχόματα :
3. Η περύμετροσ ενόσ τετραγώνου εύναι 120. Να βρεθεύ το μόκοσ τησ πλευρϊσ του και το εμβαδόν του.
4. Η περύμετροσ ενόσ τετραγώνου εύναι 64 cm. Να βρεθεύ το εμβαδόν του.
5. Ένα τετρϊγωνο ϋχει περύμετρο 24 cm . Ένα ορθογώνιο ϋχει το ύδιο εμβαδόν με το τετρϊγωνο και το
πλϊτοσ του εύναι 4 cm. Να βρεύτε την περύμετρο του ορθογωνύου.
6. Ένα τετρϊγωνο εύναι ιςοεμβαδικό με ορθογώνιο που ϋχει μια πλευρϊ 16 cm και περύμετρο 50 cm .
Να βρεύτε το εμβαδό του ορθογωνύου καθώσ και την πλευρϊ του τετραγώνου.
7. Να βρεύτε το εμβαδόν του διπλανού ςχόματοσ
8. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει πλϊτοσ 8 cm και περύμετρο 46 cm. Να βρεύτε το μόκοσ του
και το εμβαδόν του.
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

9. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει μόκοσ 23 cm και εμβαδόν 391 cm2
. Να βρεύτε το πλϊτοσ του
και την περύμετρό του.
10. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει πλϊτοσ 26 cm και εμβαδόν 884 cm2
. Να βρεύτε το μόκοσ του
και την περύμετρό του.
11. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 162 cm και το μόκοσ του εύναι διπλϊςιο από το
πλϊτοσ του. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του.
12. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει εμβαδόν 128 m2
και μόκοσ διπλϊςιο από το πλϊτοσ του.
Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του.
13. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει εμβαδόν 243 m2
και μόκοσ τριπλϊςιο από το πλϊτοσ του.
Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του.
14. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει μόκοσ 16 cm και εμβαδόν ύςο με το εμβαδόν τετραγώνου
πλευρϊσ 12 cm. Να βρεύτε το πλϊτοσ του.
15. Σο δϊπεδο ενόσ μπϊνιου ςτρώθηκε με 108 ορθογώνια πλακϊκια διαςτϊςεων 20 cm και 30 cm.
Πόςη εύναι η επιφϊνεια του μπϊνιου ;
16. Οι πλευρϋσ ενόσ παραλληλογρϊμμου εύναι 60 cm και 45 cm. Σο ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτη
μεγαλύτερη πλευρϊ εύναι 36 cm . Πόςα cm εύναι το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην μικρότερη πλευρϊ ;
17. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 22 cm και εμβαδόν 12 cm2
. Αν η μια πλευρϊ του εύναι 8 cm ,
να υπολογιςτούν τα ύψη του.
18. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 30 cm και εμβαδόν 35 cm2
. Αν η μια πλευρϊ του εύναι 7 cm ,
να υπολογιςτούν τα ύψη του.
19. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει το ύδιο εμβαδόν και την ύδια περύμετρο με ϋνα ορθογώνιο που ϋχει
διαςτϊςεισ 8 cm και 7 cm. Αν η μια πλευρϊ του παραλληλογρϊμμου εύναι 10 cm , να υπολογύςετε την
ϊλλη πλευρϊ του και τα ύψη του παραλληλογρϊμμου.
20. Ένα τετρϊγωνο ϋχει περύμετρο 96 cm και ϋνα παραλληλόγραμμο ϋχει πλευρϋσ 18 cm και 36 cm.
Αν τα δύο ςχόματα ϋχουν το ύδιο εμβαδόν, να βρεύτε τα ύψη που αντιςτοιχούν ςε κϊθε πλευρϊ του
παραλληλογρϊμμου.
21. Ένα τρύγωνο ϋχει εμβαδόν 24 m2
και το ύψοσ του ΑΔ εύναι 3 m. Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ του ΒΓ.
22. Ένα τρύγωνο ϋχει εμβαδόν 50 m2
και το ύψοσ του ΒΕ εύναι 8 m. Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ του ΑΓ.
23. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ(Α = 90°
) οι κϊθετϋσ του πλευρϋσ ϋχουν μόκη 9 και 12 cm. Να βρεύτε :
α το εμβαδόν του β το ύψοσ του ΑΔ αν η υποτεύνουςα του εύναι 15 cm.
24. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ(Α = 90°
) εύναι 48 cm . Αν η υποτεύνουςα ΒΓ
εύναι 20 cm και η μια κϊθετη πλευρϊ του εύναι 4 cm μεγαλύτερη από την ϊλλη κϊθετη , να υπολογύςετε
το εμβαδόν του.

Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019

Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019

Similar to Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019 (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (13)

Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019