Μαθηματικά - Πανελλήνιες 2023: Αυτά τα θέματα έπεσαν - Οι απαντήσειςNewsroom8
Κορυφώνεται η αγωνία των μαθητών καθώς ξεκινάνε σε λίγες μέρες οι Πανελλήνιες 2024.
Ένα από τα πιο δύσκολα μαθήματα είναι τα μαθηματικά όπου δυσκολεύει αρκετούς μαθητές που έχουν να διαχειριστούν και το άγχος τους.
Πέρσι, δηλαδή στις Πανελλήνιες 2023, μαθηματικά έδιναν την Τρίτη 6 Ιουνίου.
1. ΑΣΚΗΣΗ 8
Δίνεται η συνάρτηση
2
2 2
x
x
f x
α) Να δείξετε ότι για κάθε 0 1t , υπάρχει μοναδικό 0x R τέτοιο ώστε
0
0
2
2 2
x
x
t
β) Να βρείτε το όριο 2
0x
lim x f x
γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση 1g u f u f u , u R είναι σταθερή .
δ) Να βρείτε το όριο :
2
2 1
4 1x
s x
lim
x
,
όπου s :
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
s f f f f f f
.
Λέσχη Μαθηματικών Ν.Ορεστιάδας
Ουντζούδης Δημήτρης
Λύση
Πεδίο ορισμού της f : Α=R.
α)
2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
x x
x x x
f x
Για οποιαδήποτε 1 2x ,x A με 1 2x x έχουμε :
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2
1 2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
x
x x x x
x x
x x x x
x x
f x f x
1
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α=R .
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα ρσο R το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα
x x
f R lim f x , lim f x
2 2
1 1 1 1 0
0 22 2
2 1 2 2
1 1 1 0 1
1 022 2 2
1
2
xx x
x xx x x
x
lim f x lim
lim f x lim lim
Άρα 0 1f R , .
Οπότε , αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R με 0 1f R , , για κάθε 0 1t , υπάρχει μοναδικό 0x R τέτοιο
ώστε
0
0
0
2
2 2
x
x
f x t t
β) Να βρείτε το όριο 2
x
lim x f x
Επειδή 0 1f R , , για κάθε x R έχουμε:
2
0
2 2
0 1 0
x
f x x f x x
Έχουμε 2
0 0
0 0 0
x x
lim και lim x
, άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε 2
0
x
lim x f x
.
2. γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση 1g u f u f u , u R είναι σταθερή .
Έχουμε
1
1
2
2 2 2 21
22 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
u u u u
u u u
u
u u
u
g u f u f u
2 2 2
2
u
u
2 2
2
2 22 2
2 2 2 22 2 2
u u
u uu
2 2 2
2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
u
u u
u u u
Άρα η g είναι σταθερή .
δ) Να βρείτε το όριο :
2
2 1
4 1x
s x
lim
x
,
όπου s :
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
s f f f f f f
.
Έχουμε
1 2 3 4 5 6 1 6 2 5 3 4
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1 1 2 2 3
1 1
7 7 7 7 7
s f f f f f f f f f f f f
f f f f f
3 1 2 3
1 1 1 1 3
7 7 7 7
f g g g
Άρα
2 2 2 22 1 3 2 1 1
4 1 4 1 4 1 4 4x x x x x
s x x x x x
lim lim lim lim lim
x x x x