Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

1. www.askisopolis.gr
1
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Θέματα εξετάσεων
1. α) Να απλοποιήσετε την παράσταση
 
53 2 64
10
52 35

 
    
    
, όπου α > 0
β) Να λύσετε την εξίσωση
1 2| 2x 1| 2
2 x 6x 3 2
2 3
 
    
2. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του  η εξίσωση  2 2
x x 1 3x    έχει δύο ρίζες πραγματικές και
άνισες.
β) Αν 1 2x , x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του  οι ρίζες αυτές
ικανοποιούν τη σχέση
2
2 2
1 2 1 2
3
x x x x
3
 
    
  
.
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του  ισχύει  2 2
x x 1 3x    για κάθε πραγματικό x.
3. Να λύσετε την ανίσωση 2
x 4x 4 4 2x 1     .
4. Δίνονται τα τριώνυμα    2
f x 2x 1 x 1     και   2
g x x 6x 4 2      .
α) Αν το  f x έχει ρίζα τον αριθμό –1, να αποδείξετε ότι το  g x έχει πραγματικές ρίζες και άνισες.
β) Για λ = - 4, αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του  g x , να βρείτε την τιμή της παράστασης
   
  
1 2
1 2
2x 1 2x 1
x 1 x 1 36
  
 
  
.
5. Δίνεται η εξίσωση  2 2
x 2 1 x 0     
α) Για ποιες τιμές του  η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές;
β) Για ποιες τιμές του  η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες;
γ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα  ώστε να ισχύει
2 2
1 2 1 2x x x x 4    .
δ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες
1
1
1
x
  και 2
2
1
x
  .
6. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ για τους οποίους ισχύει: 3 10 2 0      (1).
α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ.
β) Για κ=3 και λ=5 να λύσετε την ανίσωση x k 1   (2)
7. Δίνεται η εξίσωση  2
x 3 x 6 0,        .Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε:
α) Η εξίσωση να έχει δύο πραγματικές ρίζες.
β) Να ισχύει  2
x 3 x 6 0       για κάθε x

2. www.askisopolis.gr
2
γ) Αν η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις 1 2x , x , να ισχύει:
1 2
1 1
2
x x
  .
8. α) Αν
63 4
3 12 5
2 2 2 2
A
2 2 2 2
  


, να αποδείξετε ότι A 2 .
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε 2
x A η παράσταση 2
B x 2 A 3x 2 A x     
είναι ανεξάρτητη του x.
9. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο    2 2
f x x 2 2 x 3 1 ,x         
α) Για ποιες τιμές της παραμέτρου  ισχύει  f x 0 για κάθε x ;
β) 1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου  η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον
άξονα x΄x σε δυο διαφορετικά σημεία;
2. Αν 1 2x ,x αποτελούν δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης  f x 0 , να βρείτε για ποιες τιμές της
παραμέτρου  ισχύει : 1 2x x 3  .
10.Δίνεται η εξίσωση  2
x 1 x 6 0     , (1) με παράμετρο  .
α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.
β) Για λ = 2 να λύσετε την εξίσωση (1).
11.α) Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
 
2
2 x 1
A ,x 1
x 2x 1

 
 
και
3
8 2 3
B 2 3 3 3
 
  
 
.
β) Αν οι αριθμοί , 201| x |4 4, B   είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου, να
βρείτε τον αριθμό x, τον ν-οστό όρο της προόδου καθώς και το άθροισμα των τριάντα πρώτων όρων
της.
12.Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:
 2 1
x 4 x 16 0, 0,4
 
      
 
.
α) Να βρείτε :
i) Την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ.
ii) Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου.
β) Να αποδείξετε ότι 16, για κάθε  0 , 4 .
γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 16; Τι
μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
13.Δίνεται η εξίσωση 2 2
x x 3 0      . Να βρείτε για ποιες τιμές του  :
α) Η εξίσωση είναι αδύνατη στο .
β) Η εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες.
γ) Ισχύει η ανισότητα    1 1 2 1 2 2x x x 3x x 3 x    όπου 1 2x ,x οι ρίζες της πιο πάνω εξίσωσης.
14.Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο  
2 2
3x x 1
f x
x 2
  

 
και το σημείο  610 1133
27, 2 4 2  .
α) Να δείξετε ότι  3,4
β) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της f να

3. www.askisopolis.gr
3
διέρχεται από το σημείο Μ.
γ) Αν 2   να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή  
3x 1
f x
2

 .
15.Δίνεται η εξίσωση  2
x 1 x 2 3 0       με παράμετρο  (1).
α) Να βρείτε τα  ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
β) Να βρείτε τα  ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο θετικές πραγματικές και άνισες ρίζες.
γ) Αν 1 2x ,x οι άνισες πραγματικές ρίζες της (1), να εξετάσετε αν υπάρχουν  που να ικανοποιούν
τη σχέση 2 2 2
1 2 1 2x x 8 x x       .

4. www.askisopolis.gr
4
Λύσεις
ΘΕΜΑ ΙΙ
1. α) Να απλοποιήσετε την παράσταση
 
5 43 2 6
10
52 35

 
    
    
, όπου α > 0
β) Να λύσετε την εξίσωση
1 2| 2x 1| 2
2 x 6x 3 2
2 3
 
    
Λύση
α) α΄ τρόπος
53 2 64
5

    
 
10
 
2
2 10 5 4 5 4 20310 2 4 6 5 30 8 30
52 2 1 352 1 352 3
      
   
       
 
          
20 30 8 30 8
52 1 3
 
 
 

  
220
5
2
5 52 ( 3) 55
35 3
1 1 1 1 


     
     
 1
β ΄τρόπος
 
2 3 2 3 23 6
53 2 64 5 2 5 2 52 4
10 10 3 3 22
2 152 35
5 5 5 52
1

 


  
         
   
         
β)
1 2| 2x 1| 2
2 x 6x 3 2
2 3
 
     
2| 2x 1| 2
2x 1 3 2x 1 2
3
 
     
 3 2x 1 2| 2x 1| 2 9 2x 1 6        
3 2x 1 2| 2x 1| 2 9 2x 1 6       
10 2x 1 8   
8 4
2x 1
10 5
   
4 4 9 9
2x 1 2x 1 2x x
5 5 5 10
 
         
 
ή
4 4 1 1
2x 1 2x 1 2x x
5 5 5 10
 
          
 
2. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του   η εξίσωση  2 2
x x 1 3x    έχει δύο ρίζες πραγματικές
και άνισες.
β) Αν 1 2x , x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του   οι ρίζες αυτές
ικανοποιούν τη σχέση
2
2 2
1 2 1 2
3
x x x x
3
 
      
.
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του   ισχύει  2 2
x x 1 3x    για κάθε πραγματικό x.
Λύση

5. www.askisopolis.gr
5
α)    2 2 2 2 2
x x 1 3x x x 3x 0 3 x x 0                   
Πρέπει η εξίσωση να είναι 2ου βαθμού δηλαδή 3 0 3      και
 
(: 3)
2 2 2 2
0 4 3 0 4 12 0 3 12 0

                      
   2
4 0 4 0 0,4          
β) Από τις σχέσεις Vietta έχουμε 1 2S x x
3 3
 
    
   
και 1 2P x x
3

  
 
Οπότε  
2 2
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
x x x x x x 2x x x x
3 3
   
           
      
   
 22 2 2 3
2 2
3 9
2 2
3 3 3 3 3 33 3

        
          
                  
   2 2
2 3 3 9            2 2
2 6      3 9    2
2 9 9 0     
   2
9 4 2 9 81 72 9          και
 1
9 3 6 3
2 2 4 2
  
   
  
δεκτή ,
 2
9 3 12
3
2 2 4
  
   
  
απορρίπτεται
γ)    2 2 2
x x 1 3x 3 x x 0            .
Πρέπει 0 .... ( ,0) (4, )        και 3 0 3     
Άρα για ( ,0)  ισχύει  2 2
x x 1 3x    για κάθε πραγματικό x.
ΙI
3. Να λύσετε την ανίσωση 2
x 4x 4 4 2x 1     .
Λύση
2
x 4x 4 4 2x 1      2
(x 2) 2x 4 1     x 2 2 x 2 1     x 2 1  
1 x 2 1      1 x 3 x 1,3   
ΘΕΜΑ ΙΙΙ
4. Δίνονται τα τριώνυμα    2
f x 2x 1 x 1     και   2
g x x 6x 4 2      .
α) Αν το  f x έχει ρίζα τον αριθμό –1, να αποδείξετε ότι το  g x έχει πραγματικές ρίζες και άνισες.
β) Για λ = - 4, αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του  g x , να βρείτε την τιμή της παράστασης
   
  
1 2
1 2
2x 1 2x 1
x 1 x 1 36
  
 
  
.
Λύση
α) Αφού το f(x) έχει ρίζα τον αριθμό –1 ισχύει ότι
2
f( 1) 0 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0 2 1 1 0 4                     
Οπότε 2
f(x) 2x 3x 1   και 2
g(x) x 6x 18    .
Δ= 2
6 4 18 ( 1) 36 72 108 0        άρα το τριώνυμο g(x) έχει πραγματικές ρίζες και άνισες.
β) Για 4   : 2
g(x) x 6x 18    .
Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
6
S x x 6
1
    

και 1 2
18
P x x 18
1
    

.

6. www.askisopolis.gr
6
   
  
 
 
1 2 1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2x 1 2x 1 4x x 2 x x 14x x 2x 2x 1
x 1 x 1 36 x x x x 1 36 x x x x 1 36
       
    
          
 4 18 2 6 1 72 12 1 59
1
18 6 1 36 59 59
       
  
     
5. Δίνεται η εξίσωση  2 2
x 2 1 x 0     
α) Για ποιες τιμές του   η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές;
β) Για ποιες τιμές του   η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες;
γ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα   ώστε να ισχύει
2 2
1 2 1 2x x x x 4    .
δ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες
1
1
1
x
  και 2
2
1
x
  .
Λύση
α) Πρέπει  
2 2
0 2 1 4 1 0          2
4 2
4 1 4    
1
0 4 1
4
      
β) Πρέπει
1
0
4
     και
1
4
2
1 2P x x 1 1 1

        
γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
2 1
S x x 2 1
1
 
        και 2
1 2P x x    .
 
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 4 x x 2x x x x 4          
 
2 2 2 2
2 1 2 2 1 4 4 4 1 2 2 5                     
 
(:2)
2 2
2 2 4 0 2 0 1,2            
δ) 1 2
1 2 2
1 2 1 2
x x1 1 2 1
S
x x x x
   
        
 
1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
x x x x
       
 
Η ζητούμενη εξίσωση είναι η
2 2 2 2
2 2
2 1 1
x S x P 0 x x 0 x (2 1)x 1 0
  
              
 
6. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ για τους οποίους ισχύει: 3 10 2 0      (1).
α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ.
β) Για κ=3 και λ=5 να λύσετε την ανίσωση x k 1    (2)
Λύση
α) (1) 3 0 3       και 10 2 0 2 10 5        
β) Για κ=3 και λ=5: (2) x 3 5 1 1 x 3 5 1 4 x 3 6              (3)
Για x 3  : (3) 4 x 3 6 1 x 3      
Για x 3  : (3) 4 x 3 6 6 x 3 4 9 x 7               

7. www.askisopolis.gr
7
Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι η ένωση των διαστημάτων    9, 7 1,3  
7. Δίνεται η εξίσωση  2
x 3 x 6 0,        . Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε:
α) Η εξίσωση να έχει δύο πραγματικές ρίζες.
β) Να ισχύει  2
x 3 x 6 0       για κάθε x
γ) Αν η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις 1 2x , x , να ισχύει:
1 2
1 1
2
x x
  .
Λύση
α) Πρέπει    
2
0 3 4 1 6 0           
2
6 9 4 24 0        
 2
2 15 0 5,3       
β) Πρέπει    0 , 5 3,       
γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
3
S x x 3
1
 
       και 1 2
6
P x x 6
1
 
      .
Πρέπει  0 5,3    
 
 5,3
1 2
( 6 )
1 2 1 2
x x1 1 3
2 2 2
x x x x 6
 
 
  
      
 
3 2 6 3 9 3            
Άρα  3,3  .
8. α) Αν
63 4
3 12 5
2 2 2 2
A
2 2 2 2
  


, να αποδείξετε ότι A 2 .
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε 2
x A η παράσταση 2
B x 2 A 3x 2 A x     
είναι ανεξάρτητη του x.
Λύση
α)
1 1 1
63 64 4 12 6 4 12
3 4 123 53 12 5 3 122 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
        
   
  
1 1 1 12 2 3 1 18
1 18 6 16 4 12 12 12 1
12 12 2
12 12 127 5 12
2 2 2
2 2 2 2
22 2 2
  
  

     

.
β) Για A 2 :
2
x 2 2  και
2
B x 2 2 3x 2 2 x x 3x 2 2x x 3x 2 2x 2              
αφού x 2 3x 6 3x 2 6 2 4 0        
λ  - 5 3 
2
2 15    +  +

8. www.askisopolis.gr
8
9. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο    2 2
f x x 2 2 x 3 1 ,x         
α) Για ποιες τιμές της παραμέτρου  ισχύει  f x 0 για κάθε x ;
β) 1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου   η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον
άξονα x΄x σε δυο διαφορετικά σημεία;
2. Αν 1 2x ,x αποτελούν δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης  f x 0 , να βρείτε για ποιες τιμές της
παραμέτρου  ισχύει : 1 2x x 3 
Λύση
Α. Πρέπει    
2 2
0 2 2 4 1 3 1 0                 
2 2
4 2 12 4 4 0        
 2 2
4 4 4 12 4 4 0           2 2
4 16 16 12 4 4 0          
:( 4)
2 2
8 12 20 0 2 3 5 0

            
  1 2 5 0     
5
,1
2
 
  
 
Β. 1. Πρέπει να έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες δηλαδή Δ > 0 άρα
5
,1
2
 
  
 
2. Επειδή έχει δύο ρίζες άνισες, είναι
5
0 ,1
2
 
     
 
.
Από τις σχέσεις Vieta έχουμε
2
2
1 2
3 1
P x x 3 1
1
   
       
2
1 2x x 3 3 1 3        
 2 2 4
3 1 3 3 4 0 , 1 ,
3
  
                 
  
ή
 2 2
3 1 3 3 2 0 ύ ί 0                
Επομένως 1 2x x 3  για  
4
, 1 ,
3
 
    
 
10.Δίνεται η εξίσωση  2
x 1 x 6 0     , (1) με παράμετρο   .
α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.
β) Για λ = 2 να λύσετε την εξίσωση (1).
Λύση
α) Αφού έχει η εξίσωση έχει λύση το 1, ο αριθμός 1 την επαληθεύει, δηλαδή
 2
1 1 1 6 0 1 1 6 0 8              
β)
2
2
(1) x x 6 0

    .
 
2
1 4 1 6 1 24 23 0           οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
λ  - 5/2 1 
2
2 3 5    +  +

9. www.askisopolis.gr
9
11.α) Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
 
2
2 x 1
A ,x 1
x 2x 1

 
 
και
3
8 2 3
B 2 3 3 3
 
  
 
.
β) Αν οι αριθμοί , 201| x |4 4, B   είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου, να
βρείτε τον αριθμό x, τον ν-οστό όρο της προόδου καθώς και το άθροισμα των τριάντα πρώτων όρων
της.
Λύση
α)
   
 
   x 1
2 2
2 x 12 x 1 2 x 1 2 x 1
A
x 1x 2x 1 x 1
   
   
   x 1
2
 
333 3
68 88 3 62 2 3 2 4 2 43 8 6
B 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3
                        
16
B 2 3
3
48
 
3
3
3
2 3 2 3 6
 
    
 
β) Για Α=2 και Β=6 έχουμε ότι οι αριθμοί 2, 201| x |4 4, 6  είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
άρα  2 x 2014 4 2 6 2 x 2014 8 8 2 x 2014 0           
x 2014 0 x 2014 0 x 2014       .
1 2 12, 4 2 2          .
 2 1 2 2       2 2   2  , 30 2 30 60    ,  30
30
S 2 60 15 62 930
2
    
12.Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:
 2 1
x 4 x 16 0, 0,4
 
       
.
α) Να βρείτε :
i) Την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ.
ii) Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου.
β) Να αποδείξετε ότι 16, για κάθε  0 , 4 .
γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 16; Τι
μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
Λύση
Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
1
4
1
S x x 4
1
 
  
         
 
και 1 2
16
x x 16
1
    
α) i)  1 2 1 2
1 8
2x 2x 2 x x 2 4 8
 
             
  
ii) 1 2E x x 16  
β)
0 :8
2 28
16 8 16 8 8 16 8 16 8 0

                

 
22
2 1 0 1 0         ισχύει.

10. www.askisopolis.gr
10
γ)  
2
16 1 0 1 0 1            .
Για την τιμή αυτή έχουμε τότε την εξίσωση  
22
x 8x 16 0 x 4 0 x 4 0 x 4           .
Άρα 1 2 1 2x x 4 2x 2x 8     οπότε το ορθογώνιο έχει ίσες πλευρές .
Επομένως στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο.
13.Δίνεται η εξίσωση 2 2
x x 3 0      . Να βρείτε για ποιες τιμές του   :
α) Η εξίσωση είναι αδύνατη στο .
β) Η εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες.
γ) Ισχύει η ανισότητα    1 1 2 1 2 2x x x 3x x 3 x    όπου 1 2x ,x οι ρίζες της πιο πάνω εξίσωσης.
Λύση
α) Η εξίσωση είναι 2ου βαθμού, οπότε είναι αδύνατη όταν  2 2
0 4 3 0        
2 2 2 2
4 12 0 12 3 4 2 2 ή 2                   
β) Από τους τύπους του Vietta έχουμε: 1 2S x x

     

και 2
1 2x x 3

     

.
Η εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες όταν:
2 2
2 ή 20 2 ή 2 2 ή 2
P 0 3 0 3 3 ή 3
S 0 0 0 0
                 
  
                
            
Με συναλήθευση προκύπτει 2  
γ)      2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x 3x x 3 x x x x 3x 3x x x x x x 3 x x 0               (1)
Είναι    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x 2x x x x 2 3 6                      (2)
Από τις (1),(2) έχουμε:  2 2 2 2
6 3 3 0 6 3 3 0                 
2 2
2 3 9 0 2 3 9 0            (3)
Το τριώνυμο 2
2 3 9    έχει ρίζες το -3 και το
3
2
, οπότε η ανίσωση (3) αληθεύει όταν  3, 2   .
14.Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο  
2 2
3x x 1
f x
x 2
  

 
και το σημείο  610 113 3
27, 2 4 2  .
α) Να δείξετε ότι  3,4 .
β) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της f να
διέρχεται από το σημείο Μ.
γ) Αν 2   να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή  
3x 1
f x
2

 .
Λύση
α) Είναι 3 33
27 3 3  και

11. www.askisopolis.gr
11
5
11 2 11 2 11 5 11 11 5 113110 10 10106 310 11 23 6 3 6 3 6 3 6 10 6 30 6
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

              
1 11 1 11
26 6 6 6
2 2 2 2 4

   
άρα  3,4 .
β) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Μ αν και μόνο αν:  f 3 4 
2 2 :3
22 23 3 3 1
4 27 3 1 12 8 0 3 12 36 4 12 0
3 2
    
                   
  
(1)
Θέτουμε 0   και η (1) γίνεται 2
4 12 0 6        απορρίπτεται ή 2  .
Άρα 2 2      .
γ) Αν 2   είναι  
2
3x 4x 1
f x
2x 2
 


. Πρέπει 2x 2 0 2x 2 x 1      .
Οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι  f 1   .
Το τριώνυμο 2
3x 4x 1  έχει διακρίνουσα 4  και ρίζες 1 2
1
x , x 1
3
  , οπότε:
 
 2
1
3 x x 1
3x 4x 1 3
f x
2x 2
 
      
  2 x 1
3x 1
2


15.Δίνεται η εξίσωση  2
x 1 x 2 3 0       με παράμετρο   (1).
α) Να βρείτε τα   ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
β) Να βρείτε τα   ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο θετικές πραγματικές και άνισες ρίζες.
γ) Αν 1 2x ,x οι άνισες πραγματικές ρίζες της (1), να εξετάσετε αν υπάρχουν   που να ικανοποιούν
τη σχέση 2 2 2
1 2 1 2x x 8 x x      
Λύση
α) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες όταν 0  .
Είναι    
2
1 4 2 3       2 2
1 2 8 12 10 11           
0   2
10 11 0 1 ή 11           (-1,11 ρίζες του τριωνύμου 2
10 11    )
β) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές πραγματικές και άνισες όταν:
 
1 ή 11
0 1 ή 11 1 ή 11
3
P 0 2 3 0 2 3
2
S 0 1 0 1 0
1
    
             
   
               
              
.
Με συναλήθευση προκύπτει 11  .
γ) Από τους τύπους του Vietta έχουμε:  1 2S x x 1 1         και 1 2x x 2 3

     

.
Είναι      
2 2 22 2
1 2 1 2 1 2 1 2x x 1 x x 1 x x 2x x 1               
 2 2 2 2
1 2x x 2 1 2 3 4 5             
Οπότε 2 2 2 2
1 2 1 2x x 8 x x 1            2
8    4 5    1 4 5 0      (1)

12. www.askisopolis.gr
12
Αν 1 0 1      τότε η (1) γίνεται:
4
1 4 5 0 3 4
3
              δεκτή και
αν 1 0 1      τότε η (1) γίνεται:
6
1 4 5 0 6 5
5
            απορρίπτεται