Downloaded 64 times
![13
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΛΥΣΗ z = α + βi α, β ∈R
Έστω z = z ⇔ z −,z = 0 ⇔ 2βi τότε⇔β = 0 ⇔ z ∈R
=0
α.
β.
6.
z = − z ⇔ z + z = 0 ⇔ 2α = 0 ⇔ α = 0 ⇔ z ∈ I
.
ν
ν
*
Αν z = (z + yi) − ( x − yi) , με x, y ∈R και ν ∈Ν , να δειχθεί ότι ο αριθμός
φανταστικός.
ΛΥΣΗ
Για να δείξω ότι ο
z
είναι φανταστικός, αρκεί να δείξω ότι
Πράγματι
z = −z
z =( x + yi) ν −( x − yi) ν =
=( x + yi) ν −( x − yi) ν =
= ( x − yi) ν − ( x + yi) ν =
[
]
= − ( x + yi) ν − ( x − yi) ν = −z
7.
Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση
z 2 + 2z + 1 = 0
ΛΥΣΗ
Θέτω
z = x + yi
με
x, y ∈R
και η εξίσωση γίνεται
2
( x + yi) + 2( x − yi) + 1 = 0 ⇔
⇔ x 2 + 2 xyi − y 2 + 2 x − 2 yi + 1 = 0 ⇔
⇔ x 2 − y 2 + 2 x + 1 + 2( x − 1) yi = 0 ⇔
x 2 − y 2 + 2x + 1 = 0
⇔
⇔
2(x − 1) y = 0
x= 1
2
y = 4
⇔ ⇔
y= 0
(x + 1)2 = 0
x= 1
y= ± 2
y= 0
x= −1
.
z
είναι](https://image.slidesharecdn.com/migadikoi-hodoi-askhseis-140127114501-phpapp01/85/Migadikoi-hodoi-askhseis-13-320.jpg)
![25
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
είναι φανταστικός.
10. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει ότι
( z − 2) ν = ( z + 2) ν
*
όπου ν ∈ ¥ , να δείξετε ότι ο z είναι φανταστικός.
11. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει
( z + i)
ν
α
1
3
ν
= +
2 2 i ÷ ( z − i)
÷
*
όπου ν ∈ ¥ , να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός.
12. Να δείξετε ότι η εξίσωση
( 1 + iz ) ν =
2 + 3ι
2 3 −i ,
ν∈¥ *
δεν έχει πραγματική ρίζα.
13. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση
2z z + z − z + 1 = 5 − 6i .
Δίνεται η εξίσωση
2 z 2 + 2 z + 1 = 0 ( 1) .
α.
Να λύσετε την εξίσωση (1..
β.
Αν z1 είναι η ρίζα της (1. με θετικό το φανταστικό μέρος, να γράψετε τον αριθμό
2
3
z1 − z1
2
z1 − z1 σε καρτεσιανή μορφή.
γ.
2
3
Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z1 , z1 αντίστοιχα, να προσδιρίσετε το είδος
του τριγώνου ΑΒΓ.
2
14. Δίνεται η εξίσωση z + αz + β = 0, α, β ∈ ¡ .
α.
Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι ο αριθμός
w=
z1 + z2 + 2βi
2 z1 z2 + α i
είναι φανταστικός.
β.
*
Αν η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα της μορφής λ ( 1 + i ) , λ ∈ ¡ , να δείξετε ότι:
i.
β>0
ii.
β=
α2
.
2
z z
2,
15. Να δειχθεί ότι ο μιγαδικός w = z + z είναι πραγματικός και ανήκει στο διάστημα [ − 2] .
16. Να λύσετε τις ανισώσεις
α.
z2 − 4z + 5 < 0
β.
z2 + 5 < 4z .](https://image.slidesharecdn.com/migadikoi-hodoi-askhseis-140127114501-phpapp01/85/Migadikoi-hodoi-askhseis-25-320.jpg)
More Related Content
![Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/random-171229062345-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Similar to Migadikoi μετhodoi-askhseis
Migadikoi μετhodoi-askhseis
- 1. 1 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑΠΡΩΤΗ ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΩ Έννοια του μιγαδικού Πράξεις μιγαδικών Γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων Η έννοια του μέτρου Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η Για να δείξω ότι δύο μιγαδικοί z, w είναι ίσοι , αρκεί να δείξω ότι ισχύουν ταυτόχρονα οι ισότητες : Re( z ) = Re(w) , Im( z ) = Im( w) . Παράδειγμα 1ο Να βρεθούν οι π ρ α γμ ατικοί αριθμοί α, β έτσι , ώστε οι μιγαδικοί z = 2α + (3 − β)i και (β −1) + (α + 3)i w= να είναι ίσοι Λύση Για να ισχύει η ισότητα των δύο μιγαδικών, πρέπει 1 α −= 3 Re(z)= Re(w) 2α = β − 1 ⇔ ⇔ Im( z ) = Im( w ) 3 − β = α + 3 β = 1 3 2η Για να δείξω ότι z ∈ R , αρκεί να δείξω κά ποια α π ό τις π ιο κάτω ισοδύναμες σχέσεις : z∈R ⇔ ⇔ Im( z ) = 0 ⇔ ⇔z =z⇔ ⇔z 2 =z2 ⇔ ⇔z = Re(z )
- 2. 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ο Παράδειγμα 2 ν ν * x,y ∈R Αν z = ( x + yi) + ( x − yi) με και ν ∈Ν , να δειχθεί ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός Λύση Αρκεί να δείξω ότι z = z .Πράγματι έχω: z =( x + yi) ν + ( x − yi) ν =( x + yi) ν + ( x − yi) ν = = ( x − yi) ν + ( x + yi) ν = z ο Παράδειγμα 3 z, w z z = ww = 1 Αν για τους μιγαδικούς ισχύει να δείξετε ότι ο αριθμός z +w 1 + zw είναι π ρ α γμ ατικός . Λύση Αρκεί να δείξω ότι ο μιγαδικός ισούται με το συζυγή του. Είναι 1 1 z+w + z+w z+w z +w = z w = zw = = 1 + zw 1 + z w 1 + 1 1 1 + zw 1 + zw z w zw Συνεπώς ο αριθμός είναι πραγματικός. η 3 Για να δείξω ότι z ∈I αρκεί να δείξω κά π ο ι α α πό τις π ι ο κάτω ισοδύναμες σχέσεις z ∈I ⇔ ⇔ Re(z ) = 0 ⇔ ⇔ z = −z ⇔ ⇔z 2 = −z 2 ⇔ ⇔z = Im( z ) ο Παράδειγμα 4 Αν για τους μιγαδικούς είναι φανταστικός . Λύση z, w z z = ww = 1 ισχύει z + w να δείξετε ότι ο αριθμός 1 − zw
- 3. 3 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Αρκεί ναδείξω ότι ο μιγαδικός ισούται με τον αντίθετο του συζυγή του. Είναι 1 1 z +w + z +w z +w z +w = z w = − zw = − = 11 1 − zw 1 − zw 1 − zw 1 − z w 1 − z w zw η 4 Για να δείξω ότι ένας αριθμός δεν είναι πρ α γ μ ατ ικός ή δεν είναι φανταστικός εργάζομαι με άτο π ο . ο Παράδειγμα 5 z1 Έστω οι μιγαδικοί z1 = 2 + λi και z 2 = (1 − λ) + i , λ ∈ R , να δείξετε ότι ο αριθμός z 2 δεν είναι π ρ α γ μ ατικός . Λύση z1 ∈R Έστω ότι z2 τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε z1 = x ⇔ z1 = xz 2 ⇔ 2 + λi = (1 − λ)x + xi ⇔ z2 λ= x λ= x λ= x ⇔ ⇔ ⇔2 ( 1 λ)x=− 2 (12 −= λ) λλ =+− 02 Επειδή το τριώνυμο που προέκυψε έχει αρνητική διακρίνουσα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο z1 ∉R . R , επομένως z2 η 5 Για να λύσω μια εξίσωση της μορφής α z + βz + γ = 0 , α, β, γ ∈ C ακολουθώ έναν α π ό τους π ιz = x + yiτρό,πο υ R : ο κάτω , x y ∈ς Θέτω fκαι καταλήγω )σε 0 ( x , y) + ig ( x , y = εξίσωση της μορφής f (x , y) = 0 g (x , y) = 0 Α π ό τη λύση του συστήματος .
- 4. 4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ π ροκύπ τουν οι ζητούμενοι αριθμοί . α z +βz + γ =0 Παίρνω το συζυγή και στα δύο μέλη της εξίσωσης . Είναι . αz + βz + γ = 0 α z + βz + γ = 0 Σχηματίζω το σύστημα z, z με αγνώστους τους αριθμούς και η λύση του μου δίνει το ζητούμενο αριθμό . ο Παράδειγμα 6 (1 − i)z αριθμών η Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών+ 2iz = 5 + 3i εξίσωση Λύση α΄ τρό π ο x + yi z =ς Θέτω (1 − i)( x + έχει 2i( x − yi) = 5 + 3 ⇔ . Η εξίσωση που μου yi) + δοθεί ισοδύναμαi γράφεται ⇔ x + yi − xi + y + 2 xi + 2 y = 5 + 3i ⇔ ⇔ x + 3 y + ( x + y)i = 5 + 3i Από τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών προκύπτει το σύστημα x + 3y = 5 x = 2 ⇔ x + y= 3 y= 1 Δηλαδή ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο β΄ τρό πο ς z=2+i Θεωρώ την εξίσωση που προκύπτει από τους συζυγείς. Είναι Σχηματίζω το σύστημα Από τη λύση του συστήματος έχω η 6 (1 + i)z − 2iz = 5 − 3i . (1 − i)z + 2iz = 5 + 3i −2iz + (1 + i)z = 5 −3i z=2+i . Για να λύσω ένα σύστημα στο σύνολο των μιγαδικών εργάζομαι με τον ίδιο τρό π ο π ο υ εργάζομαι και στο σύνολο των πραγματικών . Μερικές φορές είναι αναγκαίο να θέτω ο Παράδειγμα 7 Να λυθεί το σύστημα Λύση (1 + i) z + 2iw = 1 + i (2 + i) z + (3 − i)w = 1 − i
- 5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Για τηλύση του συστήματος ακολουθώ τη μέθοδο των οριζουσών 5
- 6. 6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έχω D= 1 +i 2i = (1 + i)(3 − i) − 2i(2 + i) = 6 − 2i ≠ 0 2+i 3−i Dz = 1 + i 2i 1+ i 1+ i = 2 και Dw = = 1 − 3i 1− i 3 − i 2 + i 1− i Επειδή το σύστημα έχει D ≠ 0 , έχει μοναδική λύση την 1 4 2 D D 2 1 − 3i 3 ( z, w) = z , w ÷ = , ÷ = + i, − i ÷ . D D 6 − 2i 6 − 2i 10 10 5 5 η 7 Αν μου δίνουν μια ανίσωση z = x + yi P(z ) ≥ 0 , ό π ου P(z ) π ολυώνυμο ως π ρος z . Θέτω και γράφω την π αράσταση +q ( x , y)i ≥ 0 ( καρτεσιανή . μορφή g ( x , y) σε κανονική g ( x , y) ≥ 0 ο πό τ ε q ( x , y) = 0 και ο Παράδειγμα 8 z για τους ο ποίους ισχύει z 2 > 1 με Re(z ) ≠ 0 Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί Λύση Θέτω z = x + yi , οπότε έχω ( x + yi)2 > 1 ⇔ x 2 − y2 + 2 xy > 1 ⇔ x y >− 1 x > 1 x > 1 xή < − 1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 xy= 0 y= 0 y= 0 22 2 Επομένως είναι όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται πάνω στον άξονα των πραγματικών και με τετμημένες μεγαλύτερες του 1 ή μικρότερες του –1. η 8 Για να υ πο λογίσω δυνάμεις του στη μορφή i = −1 ο Παράδειγμα 9 , διαιρώ τον εκθέτη ν = 4κ + υ 2 και γνωρίζοντας ότι i ν με το 4 και τον φέρνω υ = 0,1,2,3 , , έχω την τιμή της ο π οιασδή π οτε δύναμης .
- 7. 7 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α =1 + i ν , ν ∈Ν * Να υ π ο λ ογισθεί η τιμή της π α ρ άστ ασης Λύση Διακρίνω περιπτώσεις για το ν. Αν ν = 4κ , τότε Α = 1 + i 4 κ = 1 + (i 4 ) k = 1 +1k = 2 Αν ν = 4κ + 1 , τότε Α = 1 + i 4 κ +1 = 1 + i 4 κ i = 1 + i Αν ν = 4κ + 2 , τότε Α = 1 + i 4 κ +2 = 1 + i 4 κ i 2 = 1 − 1 = 0 Αν ν = 4κ + 3 , τότε Α = 1 + i 4 k+3 = 1 + i 4κ i 3 = 1 − i η Αν μου ζητούν το γεωμετρικό τό πο των εικόνων του μιγαδικού 9 z, ό π ου ο z ικανο πο ι ε ί κά π ο ι α συνθήκη ( άμεσα z έμμεσα . τότε χρησιμο πο ι ώντ ας τη συνθήκη ή αυτή καταλήγω σε μια εξίσωση του α π ό την ο π οία π ροσδιορίζω το ζητούμενο γεωμετρικό τό πο . ο Παράδειγμα 10 Θεωρούμε το μιγαδικό , και μη πρ α γ μ ατ ικό αριθμό τό π ο ς των εικόνων του z z . Να βρεθεί ο γεωμετρικός , όταν ο μιγαδικός w = z (z 2 + 4) , είναι π ρ α γ μ ατικός . Λύση Για να είναι ο w πραγματικός, πρέπει w = w . Τότε: z (z 2 +4) = z (z 2 +4) ⇔ ⇔ z(z 2 + 4) = z (z 2 + 4) ⇔ ⇔ z z 2 + 4z = z z 2 + 4 z ⇔ 2 2 ⇔ z z +4z − z z −4z = 0 ⇔ ⇔ z −z ) z ( 2 −4(z −z ) = 0 ⇔ ⇔(z − z )( z Επειδή ο 2 − 4) = 0 z δεν είναι πραγματικός, είναι z ≠ z , οπότε z = 2 . Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με εξίσωση x 2 + y2 = 4 ( ( 2 από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί τα σημεία Α − ,0) και Β 2,0) γιατί στα σημεία αυτά ο z γίνεται πραγματικός. η 10 Για να βρω την τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού ακολουθώ την πι ο κάτω w =α διαδικασία : + βi Έστω α, β ∈R , z z 2 = ζητάω να βρω την τετραγωνική μιγαδικός του ο ποίου w του ρίζα , δηλαδή μιγαδικό τέτοιο , ώστε .
- 8. 8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Αν β ≠0 ±α , αν α > 0 z= 0 , αν α = 0 ± i − α , αν α < 0 τότε z2 = w ⇔ ⇔ ( x + yi) 2 = α + βi ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = α + βi ⇔ () x2 − y2 2 = a2 + )( 4 4 2 2 2 2 x − y = α ⇔ ⇔ ⇒ x + y + 2x y = α + β ⇔ 2 xy = β 4x2y2 = β2 2 2 ( ⇔ x 2 + y2 Ο π ό τε η 11 2 = α 2 + β2 ⇔ x 2 + y2 = α 2 + β2 a + a 2 + β2 x= ± 2 2 x − y = α 2 2 2 2 2⇔ x + y = α + β − a + a 2 + β2 y= ± 2 x, y 2 xy =β Α π ό την ) βλέ π ω αν οι είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι . Για να βρω τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή για το μέτρο αθροίσματος ή διαφοράς δύο μιγαδικών , χρησιμο ποιώ − z 2 τριγωνική≤ z1 + z 2 z1 την ≤ z 1 + z 2 ανισότητα , δηλαδή την . Πρέ πει να εξασφαλίζω ότι υ πάρχει μιγαδικός για τον ο ποίο έχουμε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή . Το μέγιστο και το ελάχιστο μ πορώ ε πίσης να το προσδιορίσω και γεωμετρικά ο Παράδειγμα 11 Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z − 2 − 2i = 2 , να βρεθεί η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της π α ρ ά στασης z −5+i
- 9. 9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Λύση Η παράστασηπου θέλω να προσδιορίσω το μέγιστο και το ελάχιστο γράφεται Α = z − 5 + i = z − 2 − 2i − 3 + 3i Από την τριγωνική ανισότητα έχω z − 2 − 2i − −3 + 3i ≤ Α ≤ z − 2 − 2i + −3 + 3i ⇔ 2 −3 2 ≤ Α ≤ 2 + 2 2 ⇔ ⇔2 2≤Α≤4 2. Εξετάζω αν υπάρχει μιγαδικός z1 τέτοιος, ώστε z1 − 2 − 2i = 2 . z1 − 5 + i = 2 2 Αντικαθιστώ z1 = x + yi και λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι z1 = 3 + i . Εξετάζω αν υπάρχει μιγαδικός z2 τέτοιος, ώστε z2 − 2 − 2i = 2 . z2 − 5 + i = 4 2 Αντικαθιστώ z1 = x + yi και λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι z2 = 1 + 3i . Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι η 2 2 και η μέγιστη 4 2 . ( Για το γεωμετρικό τρό πο να δω τη λυμένη άσκηση 18. η 12 Για να βρω το γεωμετρικό τό πο των μιγαδικών πο υ ικανο πο ι ού ν σχέση μέτρων , υψώνω τη σχέση στο τετράγωνο και τελικά αντικαθιστώ το μιγαδικό στην καρτεσιανή του μορφή . Καθοριστικό ρόλο π α ί ζε ι π ο λ λ έ ς φορές η γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου . ο Παράδειγμα 12 z Να βρεθεί ο γεωμετρικός τό πο ς των εικόνων των μιγαδικών , για τους ο ποίους ισχύει z −3i = z −2 +3i . Λύση Υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, ισοδύναμα έχω (z − 3i)(z + 3i) = (z − 2 + 3i)(z − 2 − 3i) ⇔ ⇔3i(z − z ) = −3i(z − z ) − 2(z + z ) − 4 ⇔ ⇔ 3i(z − z ) + (z + z ) + 2 = 0 . Θέτω z = x + yi , x, y ∈ R και ισοδύναμα έχω −6 y + 2 x + 2 = 0 ⇔ ⇔ x −3 y +1 = 0 Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία με εξίσωση x −3 y +1 = 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
- 10. 10 1. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να γραφούνσε καρτεσιανή μορφή και να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών 1 + 4i 2−i z = (1 + 3i)2i − 5(2 − i) w= + α. β. 1 − 2i 1 + 2i ΛΥΣΗ Κάνοντας όλες τις επιτρεπτές πράξεις έχω: z = (1 + 3i)2i − 5(2 − i) ⇔ z = 2i − 6 − 10 + 5i ⇔ z = −16 + 7 i . α. z = (− ) 2 +7 2 = 305 16 1 + 4i 2−i (1 + 4i)(1 + 2i) (2 − i)(1 − 2i) + ⇔w= + ⇔ 1 − 2i 1 + 2i (1 − 2i)(1 + 2i) (1 − 2i)(1 + 2i) 1 + 2i + 4 i − 8 2 − 4i − i − 2 − 7 + 6 i 5i ⇔w= + ⇔w= − ⇔ 2 2 2 2 5 5 1 +2 1 +2 7 1 ⇔w=− + i 5 5 w= β. 2 2 50 7 1 w = − + = = 2 5 5 5 2. Να δείξετε ότι αν δύο μιγαδικοί αριθμοί έχουν άθροισμα πραγματικό αριθμό και διαφορά φανταστικό αριθμό, τότε οι μιγαδικοί είναι συζυγείς. ΛΥΣΗ Έστω z 1 = α + βi και z 2 = γ + δi . Έχω: z 1 + z 2 = (α + γ) + (β + δ)i και z1 − z 2 = (α − γ) + (β − δ)i . Επειδή z 1 + z 2 ∈ R και z 1 − z 2 ∈ I , είναι β + δ = 0 και α − γ = 0 , οπότε β =− δ Άρα οι δύο μιγαδικοί είναι συζυγείς. και α = γ
- 11. 11 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να παρασταθούνστο μιγαδικό επίπεδο οι αριθμοί 3. α. z = 2 + (συνθ)i , θ ∈ R . γ. m = ημθ + (ημθ )i , θ ∈ 0, w = θ + (συνθ)i , θ ∈ R β. π 2 y x=2 ΛΥΣΗ x΄ z Re(z ) = 2 α. Επειδή οι εικόνες του ανήκουν στην ευθεία Im( z ) − ≤ Im( z ) ≤1 1 x =2 . Για το ισχύει οπότε, οι εικόνες z ð 2 x ´ 0 ð 3 ð 2 του β.Αφού το Re(w) παίρνει τιμές από ολόκληρο το 2 ð R , οι εικόνες του μιγαδικού w είναι η γραφική παράσταση του x -1 y´ συνημίτονου. y x´ γράφουν το τμήμα της τεταρτημορίου. που O (0,0) Re(m ) = Im( m ) . Επομένως, οι εικόνες του ευθείας y´ π Είναι ημθ > 0 αφού θ ∈ 0, 2 και γ. x 0 4. y΄ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ όπως αυτό φαίνεται στο διπλανό σχήμα y 1 x 2 0 y=x ο (1 + i)z = 3 + 2i(w + w ) . Να βρείτε τους z, w όταν Οι z, w είναι συζυγείς. β. Ο ου βρίσκεται στο 1 τεταρτημόριο χωρίς το σημείο Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει α. ου (διχοτόμος 1 και 3 m z είναι φανταστικός και ο w είναι πραγματικός.
- 12. 12 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΣΗ α. Έστω z =x + yi και w = x − yi με x, y ∈R . Η σχέση που έχει δοθεί ισοδύναμα γίνεται (1 + i)( x + yi) = 3 + 4 xi ⇔ ⇔ x + yi + xi − y = 3 + 4 xi ⇔ ⇔ ( x − y) + ( x + y)i = 3 + 4 xi Από την ισότητα των μιγαδικών προκύπτει το σύστημα x −= x − y = 3 ⇔ x + y = 4x y −= 3 2 9. 2 Επομένως οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι 3 9 3 9 z =− − i w=− + i 2 2 και 2 2 . β. Είναι z = yi και w=x με x, y ∈R . Τότε η σχέση που μου έχει δοθεί ισοδύναμα γίνεται (1 + i) yi == 3 + 4 xi ⇔ ⇔ −y + yi = 3 + 4 xi . Από την ισότητα των μιγαδικών προκύπτει το σύστημα y −= 3 − y= 3 ⇔ 3 y = 4x x −= 4 Επομένως, 5. z = −3i και w =− 3 4. Για τον μιγαδικό z , να δειχθούν οι πιο κάτω ισοδυναμίες z = z ⇔ z ∈R α. β. z = −z ⇔ z ∈ I (Να τις ξέρω ως θεωρία και να τις α ποδεικνύω αν τις χρειαστώ στις εξετάσεις .
- 13. 13 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΣΗ z= α + βi α, β ∈R Έστω z = z ⇔ z −,z = 0 ⇔ 2βi τότε⇔β = 0 ⇔ z ∈R =0 α. β. 6. z = − z ⇔ z + z = 0 ⇔ 2α = 0 ⇔ α = 0 ⇔ z ∈ I . ν ν * Αν z = (z + yi) − ( x − yi) , με x, y ∈R και ν ∈Ν , να δειχθεί ότι ο αριθμός φανταστικός. ΛΥΣΗ Για να δείξω ότι ο z είναι φανταστικός, αρκεί να δείξω ότι Πράγματι z = −z z =( x + yi) ν −( x − yi) ν = =( x + yi) ν −( x − yi) ν = = ( x − yi) ν − ( x + yi) ν = [ ] = − ( x + yi) ν − ( x − yi) ν = −z 7. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση z 2 + 2z + 1 = 0 ΛΥΣΗ Θέτω z = x + yi με x, y ∈R και η εξίσωση γίνεται 2 ( x + yi) + 2( x − yi) + 1 = 0 ⇔ ⇔ x 2 + 2 xyi − y 2 + 2 x − 2 yi + 1 = 0 ⇔ ⇔ x 2 − y 2 + 2 x + 1 + 2( x − 1) yi = 0 ⇔ x 2 − y 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ ⇔ 2(x − 1) y = 0 x= 1 2 y = 4 ⇔ ⇔ y= 0 (x + 1)2 = 0 x= 1 y= ± 2 y= 0 x= −1 . z είναι
- 14. 14 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Επομένως, οιλύσεις της εξίσωσης είναι z = 1 + 2i , z = 1 − 2i , z = −1 . 8. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού 1 Re z − = 0 z z για τον οποίο ισχύει ΛΥΣΗz = x + yi x, y ∈R Θέτω και έχω 1 z Οπότε Έτσι z− = y 1 x = 2 − 2 i 2 x + yi x + y x + y2 . y 1 x +y+ 2 i = x − 2 2 2 z x +y x +y . x 1 =0⇔ Re z − = 0 ⇔ x − 2 x + y2 z x 2 + y2 − 1 1 =0⇔ x ⇔ x 1 − 2 =0⇔ x 2 + y2 x + y2 x= 0 ⇔2 2 x + y = 1 Επομένως, το σύνολο των σημείων του επιπέδου που επαληθεύουν τη δοθείσα σχέση είναι τα σημεία του άξονα των φανταστικών, χωρίς το σημείο (0,0) καθώς και ο κύκλος (O,1) , όπου Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς, 9. Αν z ∈C και ισχύει z −4 =2 z − 1 , να δειχθεί ότι z = 2 . ΛΥΣΗ Είναι z −4 =2 z − ⇔ 1 ⇔z −4 2 = 4 z −1 2 ⇔ (z − 4)(z − 4) = 4(z −1)(z −1) ⇔ ⇔ (z − 4)(z − 4) = 4(z − 1)(z − 1) ⇔ ⇔ z z − 4z − 4z + 16 = 4z z − 4z − 4z + 4 ⇔ ⇔ 3zz = 12 ⇔ ⇔z 2 =4 ⇔ z =2
- 15. 15 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 10. Ανγια τους μιγαδικούς z, w ισχύει z − =1 − w w z , z = 1 . να δειχθεί ότι w = 1 ή ΛΥΣΗ Είναι z −w =1 −z w ⇔ ⇔ z −w 2 = 1 −z w 2 ⇔ ⇔( z − w)( z − w) = (1 − z w)(1 − z w) ⇔ ⇔ ( z − w)( z − w ) = (1 − z w)(1 − zw ) ⇔ ⇔ zz − zw − z w + ww = 1 − zw − z w + zz ww ⇔ ⇔ zz + ww −1 − zz ww = 0 ⇔ ⇔ zz −1 − ww ( zz −1) = 0 ⇔ ⇔( zz −1)(1 − ww ) = 0 ⇔ ( ⇔ z 2 )( −1 1 − w ⇔z =1 ή 2 ) =0 ⇔ w = 1 . 11. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τις εικόνες των μιγαδικών z −2 +3i =3 α. γ. β. z για τους οποίους ισχύει z + 2 + i <2 1 ≤ z <2 y ΛΥΣΗ α. x΄ x (1. Γνωρίζω ότι η ρ εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ εικόνα του μιγαδικού και ακτίνα , είναι η Η ισότητα που έχει δοθεί γράφεται 2 z −(2 −3i) =3 z −z0 =ρ . Επομένως, η (1. περιγράφει κύκλο με κέντρο ρ =3 2 − 3i μιγαδικού και ακτίνα . Κ 2,− ) ( 3 -3 y΄ , εικόνα του y -2 x΄ x -1 β. Είναι z + 2 + i < 2 ⇔ z − (− − i ) < 2 2 y΄ . ( 2 1 Επομένως, πρόκειται για τα σημεία κυκλικού δίσκου με κέντρο το σημείο Κ − ,− ) και ακτίνα ρ = 2 χωρίς τα σημεία της περιφέρειας. γ. Η ανισότητα z ≤ 2 προσδιορίζει τα σημεία κυκλικού δίσκου με κέντρο O (0,0) και ακτίνα 2, μαζί με τα σημεία της περιφέρειας. y x΄ -1 1 y΄ 2 x
- 16. 16 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z ≥ 1 Ηανισότητα προσδιορίζει τα σημεία που βρίσκονται εκτός του κυκλικού δίσκου με κέντρο O (0,0) και ακτίνα 1, μαζί με τα σημεία της περιφέρειας. 12. Να προσδιορίσετε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει : z −1 = z −i = z +3i y ΛΥΣΗ Η εξίσωση 1 x΄ x 0 τμήματος ΑΒ με Η εξίσωση -3 y΄ εξίσωση Α1,0) ( (1. περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου και y=x επίπεδο έχει εξίσωση . 1 y =− 1 z − = z −i 1 z −i = z +3i τμήματος ΒΓ με Γ0,− ) ( 3 . Β0,1) ( . Η ευθεία αυτή σε καρτεσιανό (2. περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου . Η ευθεία αυτή στο καρτεσιανό επίπεδο έχει . Αφού οι (1., (2. πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα, προκύπτει το σύστημα y = x x −= 1 ⇔ y −= 1 y −= 1 Άρα, ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο z = −1 − i . 13. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 να δειχθεί η ισοδυναμία 2 2 2 z1 + z2 = z1 + z2 ⇔ z1 + z2 = z1 − z2 .
- 17. 17 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΣΗ Έστω ότι 2 2 2 z1+ z2 = z 1 + z2 Ισοδύναμα έχω . z1 z1 + z 2 z 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) ⇔ ⇔ z1 z1 + z2 z2 = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 ⇔ ⇔ z1 z 2 + z 1 z 2 = 0 Έστω ότι (1. z1 + z 2 = z1 − z 2 Ισοδύναμα έχω z1 + z 2 2 = z1 − z 2 . 2 ⇔ ⇔ ( z 1 + z 2 )( z 1 + z 2 ) = ( z 1 − z 2 )( z 1 − z 2 ) ⇔ ⇔ z1 z1 + z1 z 2 + z 2 z1 + z 2 z 2 = z1 z1 − z1 z 2 − z 2 z 1 +z 2 z 2 ⇔ ⇔ 2( z1 z 2 + z1 z 2 ) = 0 ⇔ ⇔ z1 z 2 + z1 z 2 = 0 Από τις σχέσεις (1.,(2. έχω ότι 2 + z2 z1 2 = z1 + z 2 2 (2. ⇔ z1 + z 2 = z1 − z 2 14. Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 ισχύει z 1 z 2 ≥ 2 , να δείξετε ότι: z1 + z 2 2 β. z1 − z 2 2 γ. 1 + z1 z2 + 1 − z1 z2 ≥ 6 α. 2 = z1 2 = z1 2 2 + z2 + z2 2 + 2 Re(z 1 z 2 ) − 2 Re(z 1 z 2 ) 2 ΛΥΣΗ α. Γνωρίζω ότι το μέτρο ενός μιγαδικού υψωμένο στο τετράγωνο ισούται με το γινόμενο του μιγαδικού και του συζυγή του. Επομένως, 2 z1 + z 2 =(z1 + z 2 )(z1 + z 2 ) = 2 2 = z1 z1 + z2 z2 + z1 z2 + z1 z2 = z1 + z2 + z1 z2 + z1 z2 = = z1 2 + z2 2 +2 Re(z1 z 2 ) β. Αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο. γ. Το πρώτο μέλος της ζητούμενης ανίσωσης γίνεται 1 +z1 z 2 =1 + z1 2 z2 2 2 +1 −z1 z 2 +2 Re(z1 z 2 ) +1 + z1 = 2 + 2 z1 2 z2 2 ( = 2 + 2 z1 ⋅ z 2 2 = 2 ) z2 2 2 ≥ 2 +2 ⋅ 2 = 6 −2 Re(z1 z 2 ) =
- 18. 18 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 15. Ναβρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού οποίο ισχύει 2 z −3 +4i =6 z για τον
- 19. 19 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΣΗ z −z0 = ρ Γνωρίζω πως η εξίσωση ρ K(z 0 ) και ακτίνα . στο μιγαδικό επίπεδο παριστάνει κύκλο με κέντρο Η εξίσωση που έχει δοθεί γράφεται 2z − Ισοδύναμα z− Επομένως, οι εικόνες του 3 + 2i = 6 2 3 3 + 2i = 3 ⇔ z − − 2 i = 3 2 2 3 ρ =3 K ,−2 2 και ακτίνα γράφουν κύκλο με κέντρο . z 16. Στο μιγαδικό επίπεδο, να προσδιορισθεί το σύνολο των σημείων, εικόνων του μιγαδικού z , για τον οποίο ισχύει z − =z − 1 i . ΛΥΣΗ α΄ τρό π ο ς z − z1 = z − z 2 Γνωρίζω ότι η εξίσωση AB γράμμου τμήματος περιγράφει τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυB z2 ) ( Az1 ) ( με και . Επομένως,A1,0) B 0,1) περιγράφει την μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα η(δοθείσα εξίσωση ( τα σημεία , . y y=x Από τη συμμετρία προκύπτει ότι είναι η ευθεία . 1 x΄ x 0 1 β΄ τρό π ο ς την αρχική ισότητα στο τετράγωνο, ισοδύναμα έχουμε Υψώνοντας z −1 2 = z −i 2 ⇔ ⇔ ( z −1)( z −1) = ( z − i )( z + i ) ⇔ y΄ ⇔ z z − z − z + 1 = z z + iz − iz + 1 ⇔ ⇔ i(z − z ) = −(z + z ) (1. Θέτω z = x + yi και η (1. ισοδύναμα δίνει i(2 yi) = −2 x ⇔ −2 y = −2 x ⇔ y = x 17. Έστω P(z ) η εικόνα, πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, του μιγαδικού αριθμού z για τον οποίο ισχύει z =z − − i 3 2 Να βρεθεί ο μιγαδικός z . που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση και έχει το μικρότερο μέτρο.
- 20. 20 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΣΗ Είναι z 2 = z−3 −2i 2 ⇔ ⇔ z z = ( z − 3 − 2i )( z − 3 + 2i ) ⇔ ⇔ z z = z z − 3z + 2iz − 3z + 9 − 6i − 2iz + 6i + 4 ⇔ ⇔ 3z + 3z − 2iz + 2iz − 13 = 0 ⇔ ⇔ 3(z + z ) − 2i(z − z ) − 13 = 0 (1. Θέτω z = x + yi , x, y ∈R οπότε η (1. δίνει : 3(2 x ) − 2i(2 yi) −13 = 0 ⇔ ⇔ 6 x + 4 y −13 = 0 . Συνεπώς τα σημεία P(z ) γράφουν την ευθεία ε : 6 x + 4 y +13 = 0 . Ο μιγαδικός που ανήκει στην ε και έχει το μικρότερο μέτρο είναι εκείνος που αποτελεί σημείο τομής της κάθετης από την αρχή των αξόνων πάνω στην ε . Είναι : λ ε λ ΟΚ = −1 ⇔ 3 2 ⇔ − λ ΟΚ = −1 ⇔ λ ΟΚ = . 2 3 2 Επομένως, η ευθεία ΟΚ είναι η y = 3 x ⇔ 2 x − 3 y = 0 . y 13 4 Κ Προσδιορίζω το σημείο Κ λύνοντας το σύστημα των δύο ευθειών. Έχω 6x + 4 y − 13 = 0 ⇔ 2x − 3 y = 0 3 x = 6 x + 4 y = 13 ⇔ ⇒ 2 2 x − 3 y = 0 ×(−3) y = 1 ( +) 3 Συνεπώς, ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο z = 2 − i x΄ x 13 6 0 y΄
- 21. 21 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 18. Ανγια τον μιγαδικό z ισχύει z − +4i =2 1 , να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης A= z +2 . ΛΥΣΗ z z − +4i =2 1 Οι εικόνες του μιγαδικού 4) που επαληθεύουν την εξίσωση K(1,− βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο και A εκφράζει την απόσταση του τυχαίου σημείου Η παράσταση M ) που βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του κύκλου από το (z y x ΄ P (- 2 ,0 ) 1 2 σταθερό σημείο P(− ,0) και για να γίνει η απόσταση αυτή ελάχιστη 1 πρέπει το M να πάρει τη θέση M ενώ για να γίνει μέγιστη πρέπει M 2 1 2 να πάρει τη θέση M , όπου M , M είναι τα σημεία όπου η PK 1 K -4 τέμνει τον κύκλο. M Η απόσταση των σημείων P, K είναι ( PK ) = x 0 2 y΄ ( 1 − (−2)) 2 + ( −4 − 0 ) 2 = 25 = 5 . Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι ρ = 2 θα έχω (PM ) = 5 − 2 = 3 και (PM ) = 5 + 2 = 7 . 1 2 Επομένως A = 3 και A = 7 . min max Παρατήρηση : Αν ήθελα να π ρ ο σδι ορίσω και τα σημεία – μιγαδικούς για τους ο π ο ί ο υς έχω την ελάχιστη και μέγιστη α πό σ τ αση θα έλυνα το σύστημα κύκλου και ευθείας . 19. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει : z ≤ 1 , να προσδιορισθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης ΛΥΣΗ Είναι Όμως, οπότε και Άρα z − ≤z + ≤z + 2 2 2 . z ≤1 ⇔ z ≥− ⇔ − z ≥1 − 1 2 z − =2 −z 2 ≥ 1 z +2 ≤1 +2 =3 A= z +2 .
- 22. 22 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ≤z +2 ≤3 . 20. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει z − 2i w= z ≠ −i . z +i , Να προσδιορισθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z όταν ο w είναι καθαρά φανταστικός. ΛΥΣΗ Ο μιγαδικός y w είναι καθαρά φανταστικός όταν και μόνο όταν Ισοδύναμα έχω x 0 . z + 2i z − 2i =− ⇔ z − 2i z +i K (0 ,1 ) x΄ w = −w ⇔ (z + 2i)(z + i) = −(z − 2i)(z − i) ⇔ ⇔ z z + iz + 2iz − 2 = −z z + iz + 2iz + 2 ⇔ y΄ ⇔ 2z z + i(z − z ) − 4 = 0 z = x + yi ( x , y) ≠(0,− ) 1 x, y ∈R (1.. Θέτω με και 2( x 2 + y 2 ) − 4 y − 4 = 0 ⇔ . Η εξίσωση (1. ισοδύναμα γίνεται ⇔ x2 + y 2 − 2 y − 2 = 0 ⇔ . Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των εικόνων του σημείο K(0,1) και ακτίνα z είναι κύκλος με κέντρο το ρ= 3 21. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει z −2 + z +2 =6 . ΛΥΣΗ Η εξίσωση που προσδιορίζει το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z −2 + z − − ) =6 ( 2 z ισοδύναμα γράφεται (1.. Γνωρίζω ότι το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο. Η (1. επαληθεύεται από τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που το άθροισμα των αποστά-σεών ( ( 2 τους από τα σταθερά σημεία A2,0) και B − ,0) είναι σταθερό ( ίσο με 6. και μεγαλύτερο από την απόσταση των δύο σημείων
- 23. 23 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Συνεπώς, ογεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με γ = 2 , α = 3 και β = α 2 −γ 2 = 5 . , Δηλαδή πρόκειται για την έλλειψη με εστίες τα σημεία A B και εξίσωση x 2 y2 + =1 . 9 5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Στο ίδιο συμπέρασμα θα κατέληγα αν έκανα διαδοχικές υψώσεις στο τετράγωνο στην αρχική σχέση και κατόπιν αντικαθιστούσα z = x + yi με x, y ∈R .
- 24. 24 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑΛΥΣΗ 1. Αν z1 , z 2 , z 3 είναι καθαρά φανταστικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι ο αριθμός ( z1 − z2 ) 2 + ( z2 − z3 )2 + ( z3 − z1 ) 2 είναι μη θετικός. 2. Aν z = x + yi , w = κ + λi και zw = 1 , να δειχθεί ότι κ= x y λ=− 2 2 και x +y x + y2 . 2 Αν ν ∈ ¥ * να δείξετε ότι: α. i ν + i ν +1 + i ν + 2 + i ν +3 = 0 . γ. 3. 2006 αν z ≠ 0 είναι φανταστικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός z είναι αρνητικός β. 1 i ν + 1 i ν +1 + 1 i ν+ 2 + 1 i ν+3 =0. πραγματικός αριθμός. 4. Να βρεθούν οι δυνατές τιμές της παράστασης ν ν 3+i i −3 Α = ÷ + ÷ . 1 − 3i 1 + 3i 5. Έστω οι μιγαδικοί z1 = 3 + 2i, z2 = 2 − 3i . α. Να δείξετε ότι 50 50 z1 + z2 = 0 . * Να προσδιορίσετε το μικρότερο ν ∈ ¥ για τον οποίο ισχύει β. ν z1 ÷ >0. z2 6. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης ( )( ) Α = 1 + i ν ⋅ 1 − 3i ν +2 , ν ∈ ¥ . 7. Nα δείξετε ότι ο αριθμός ( z = 3+i 3 ) + ( 3− i 3) ν ν , είναι πραγματικός για κάθε ν ∈ ¥ . * 8. Δείξτε ότι ο μιγαδικός αριθμός z = ( α + βi ) 4 ν + ( β + αi ) 4 ν , ν ∈ ¥ * είναι πραγματικός. 9. Αν z μιγαδικός για τον οποίο ισχύει (z − i)(z + i) = 1 και z ≠ 1 + i ,να δειχθεί ότι ο μιγαδικός z +1 − i w= 1+ i − z
- 25. 25 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ είναι φανταστικός. 10.Αν για τον μιγαδικό z ισχύει ότι ( z − 2) ν = ( z + 2) ν * όπου ν ∈ ¥ , να δείξετε ότι ο z είναι φανταστικός. 11. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει ( z + i) ν α 1 3 ν = + 2 2 i ÷ ( z − i) ÷ * όπου ν ∈ ¥ , να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός. 12. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 1 + iz ) ν = 2 + 3ι 2 3 −i , ν∈¥ * δεν έχει πραγματική ρίζα. 13. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση 2z z + z − z + 1 = 5 − 6i . Δίνεται η εξίσωση 2 z 2 + 2 z + 1 = 0 ( 1) . α. Να λύσετε την εξίσωση (1.. β. Αν z1 είναι η ρίζα της (1. με θετικό το φανταστικό μέρος, να γράψετε τον αριθμό 2 3 z1 − z1 2 z1 − z1 σε καρτεσιανή μορφή. γ. 2 3 Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z1 , z1 αντίστοιχα, να προσδιρίσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. 2 14. Δίνεται η εξίσωση z + αz + β = 0, α, β ∈ ¡ . α. Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι ο αριθμός w= z1 + z2 + 2βi 2 z1 z2 + α i είναι φανταστικός. β. * Αν η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα της μορφής λ ( 1 + i ) , λ ∈ ¡ , να δείξετε ότι: i. β>0 ii. β= α2 . 2 z z 2, 15. Να δειχθεί ότι ο μιγαδικός w = z + z είναι πραγματικός και ανήκει στο διάστημα [ − 2] . 16. Να λύσετε τις ανισώσεις α. z2 − 4z + 5 < 0 β. z2 + 5 < 4z .
- 26. 26 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 17. Έστωμιγαδικός z με z ≠ − 2 i και z ≠ 0 . Θεωρούμε και τους μιγαδικούς u= z −1 1+ i , w= 2z + i z . Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στην ευθεία ε : x − 2 y − 1 = 0 , να δείξετε ότι: α. Ο μιγαδικός u είναι πραγματικός. β. Η εικόνα του μιγαδικού w ανήκει σε κύκλο. / 18. Έστω z, w ∈C και ισχύει z2 w= . z −1 Να δειχθεί ότι αν w ∈ ¡ , τότε οι εικόνες του μιγαδικού z ανήκουν σε υπερβολή της οποίας έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της. 19. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w με z +1 w= 2 z +1 . Αν w ∈ ¡ να βρεθεί η γραμμή που γράφουν στο επίπεδο οι εικόνες του μιγαδικού z. z + 8i 20. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z . Αν w = z + 6 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z , όταν: w∈ ¡ α. β. w∈ I z +i 21. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w . Αν ο w = z − i έχει εικόνα πάνω στον άξονα των πραγματικών, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του 22. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z > c , c∈¡ 3 z z. για τους οποίους ισχύει * + 2 23. Δίνεται η συνάρτηση f ( z ) = z + z , z ∈ £ . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z , όταν: α. f ( z) = f ( z ) β. Re ( f ( z ) ) = 1 + Re ( z ) 24. Έστω μιγαδικοί z 1 , z 2 , z 3 διαφορετικοί ανά δύο με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α , Β, Γ αντίστοιχα. z −z 2 1 Να δείξετε ότι τα Α , Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ισχύει : z − z ∈ ¡ . 3 1 Μ
- 27. 27 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2 2 25. Δίνεταιο μιγαδικός αριθμός z ≠ 0 .Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , 1 − z και − z αντίστοιχα, να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z οποίους ισχύει ΑΒ ⊥ ΑΓ . 26. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z +z = 2 + i z για τους για τους οποίους ισχύει . 27. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z , να δείξετε ότι: α. αν z − 10 = 3 z − 2 , τότε z − 1 = 3 . β. αν z + 1 = 4 , τότε z = 4 . z + 16 28. Στο μιγαδικό επίπεδο να βρεθούν τα σημεία που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει: α. z + 2 + 4i = 1 β. Im ( z ) − 1 = z + i γ. z + 2 − 3i = z − 1 − i δ. z + 2 + z − 2 = 12 ε. z z −i − z +i =1. 29. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που περνά από ην αρχή των αξόνων και έχει κέντρο την εικόνα του μιγαδικού z0 = x0 + y0i , x0 , y0 ∈ ¡ , έχει τη μορφή z − z0 = z 0 . β. 1 Αν z, w∈ £ με z ≠ 0 και w = z , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων μιγαδικού w είναι ευθεία, όταν ο z βρίσκεται στον κύκλο του (α. ερωτήματος. 1 30. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 1 − z > z , να αποδείξετε ότι Re ( z ) < 2 . 1 1 2 * 31. Αν z ∈ £ και ισχύει z + z = z , να αποδείξετε ότι Re ( z ) = − 2 . * 32. Αν z1 , z2 ∈ £ και 3z1 + 2 z2 = 3 z1 − 2 z2 , να αποδείξετε ότι: α. z1 ∈Ι . z2 β. το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, όπου Α, Β οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς. του
- 28. 28 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 33. Ανοι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 έχουν μέτρο 1, τότε: α. να αποδείξετε ότι είναι ισοδύναμες οι ισότητες z1 + z2 − z1 z2 + 1 = 0 και z1 + z2 + z1 z2 − 1 = 0 β. να προσδιορίσετε το μέτρο του μιγαδικού z1 + z 2 + z1 z2 − 1 z1 + z 2 − z1 z2 + 1 34. Αν για τους μιγαδικούς z, w είναι z =w = 1 , να δειχθεί ότι ο αριθμός z +w 1+z ⋅w είναι πραγματικός. 35. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει z − 1 = z − 2i = z + 1 − 3i . 36. Αν z1 , z 2 μιγαδικοί αριθμοί , να δειχθεί ότι ισχύει z1 z 2 + z 2 z1 ≤ z 1 2 2 + z2 . 37. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , να δείξετε ότι ( 1+ z ) ( 1+ w ) ≥ z − w 2 2 2 . 38. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 να δείξετε ότι 2 ( 1 + z1 z2 ≤ 1 + z1 2 ) (1+ z ) . 2 2 39. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει z1 = z2 = z3 = ρ > 0 , να δειχθεί ότι z1 + z2 + z3 = 1 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ρ 40. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις : 2 Re(z1 z 2 ) = Re(z1 z 2 ) z1 + z 2 = z 1 α. β. 2 2 z1 − z2 = z1 + z2 − 2 Re( z1 z2 ) δ. z1 + z 2 + z1 − z 2 + z2 2 + 2 Re(z 1 z 2 ) 2 γ. 2 2 2 ( = 2 z1 2 + z2 2 ) (Κανόνας παραλληλογράμμου. (Το δ ερώτημα να το ξέρω ως θεωρία γιατί είναι πολύ «δυνατό εργαλείο »
- 29. 29 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ στα μέτρα) 41. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z 2 ισχύει z1 −z 2 = z1 = z 2 να δειχθεί ότι z1 +z 2 = 3 z1 42. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει 2 2 z12 + z 2 + z 3 = z1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z1 , να δειχθεί ότι z1 − z 2 = z 2 − z 3 = z 3 − z1 . 43. Για τον μιγαδικό αριθμό z , να δειχθεί η ισοδυναμία z 2 + z +1 = 0 ⇔ z = z + 1 = 1 44. Να δειχθεί ότι για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , ισχύει η ισοδυναμία z1 2 + z2 2 = z1 + z 2 2 ⇔ z1 + z 2 = z 1 − z 2 . 2 45. Αν για τους μιγαδικούς z , z1 , z 2 ισχύει z1 z 2 = z ,, να δειχθεί ότι z1 + z 2 = z1 + z 2 z + z2 +z + 1 −z . 2 2 46. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την σχέση z − 4i =1 . z −2 47. Για τους μιγαδικούς z1 ,z 2 ≠ 0 να δειχθούν οι πιο κάτω ισοδυναμίες: α. z1 + z2 = z1 + z2 ⇔ γ. z1 − z2 = z1 − z2 ⇔ 48. Έστω z1 ∈¡ z2 z1 ∈¡ z2 * + * + β. z1 − z2 = z1 + z2 ⇔ z1 ∈¡ z2 * − . z −3λ −3i = 2 z +3 −3λi , z ∈£ . Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται σε περιφέρεια κύκλου. Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των πιο πάνω κύκλων. 49. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύει z1 ×z2 = 1 + i . Αν η εικόνα του z1 ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ ( 0, 1) και ακτίνα ρ = 1 , τότε: α. Να δείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z2 κινείται σ ευθεία. β. Να προσδιορίσετε το μιγαδικό z2 με το μικρότερο μέτρο. z
- 30. 30 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 50. Αν z1, z2 ∈ £ * με z1 + z 2 = z1 − z 2 και Μ1 , Μ 2 είναι οι εικόνες τους αντίστοιχα, στο μιγαδικό επίπεδο και Ο είναι η αρχή των αξόνων, να δειχθεί ότι: α. γ. ∧ β. Μ1 O Μ 2 = 900 Re( z1 z 2 ) = 0 z1 − z 2 2 = z1 2 + z2 2 51. Αν t ∈ ¡ , και z = 4t + 3(1 − t)i , α. Να δειχθεί ότι οι εικόνες του z κινούνται σε ευθεία 12 β. Να δειχθεί ότι z ≥ 5 . 52. Δίνεται η εξίσωση z − 1 = z − 3i , z ∈ £ . α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z . β. Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z , για την οποία το z γίνεται ελάχιστο. 53. Να προσδιορισθούν τα σημεία M του μιγαδικού επιπέδου που αποτελούν εικόνες του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει z +i + z −i =10 54. α. Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο 1 1 10 + = 2 ισχύει z − 3i z + 3i z + 9 . β. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 ανήκουν στη γραμμή του (α. ερωτήματος και είναι συμμετρικές ως προς το O ( 0, 0 ) , να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή z1 − z2 . 55. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z , για τον οποίο ισχύει z − 4i − z + 4i = 6 . β. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς του (α. ερωτήματος έχει το ελάχιστο δυνατό μέτρο. 56. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει z1 = z2 = z3 = κ > 0 και z1 + z2 + z3 = 0 να δείξετε ότι: α. z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 0 β. 1999 z1 + z1999 + z1999 = 0 2 3 του
- 31. 31 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2 2 2 57. Ανγια τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει z1 + z 2 + z 3 = z1 + z 2 + z 3 = 0 να δείξετε ότι z1 = z 2 = z 3 . 58. Για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 , με z1 ≠ z2 ≠ z3 ≠ z1 να δείξετε την ισοδυναμία 2 2 z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1 ⇔ z12 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 . 59. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 , με z1 ≠ z2 ≠ z3 ≠ z1 και ισχύει η σχέση 2 2 z12 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 , να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 60. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z −3 +2 i =4 , να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α = z + 4 −2i . 61. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z ≤ 1 , να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α = z −3 +i 62. α. . Να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων που είναι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z + 3 = z − 5 + 4i . β. Από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την παραπάνω ισότητα ποιος είναι εκείνος που έχει το μικρότερο και ποιος εκείνος που έχει το μεγαλύτερο μέτρο. 63. Αν z1 , z2 ∈ £ με z1 = −2λ + ( 2λ − 3 ) i και z2 = λ − 2 − λi, λ ∈ ¡ , να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του z1 − z2 . * 2 2 64. Αν z1 , z2 ∈ £ και z1 + z2 = z1 z2 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εικόνες των z1 , z2 και την αρχή του συστήματος αναφοράς είναι ισόπλευρο και ότι 13 13 z1 z2 ÷ + ÷ =1. z2 z1 z + 2i 65. Αν w = i z + 2 , z ∈ £ , z ≠ 2i και η εικόνα του z κινείται στον άξονα x ' x , να δείξετε ότι: α. Η εικόνα του w κινείται σε κύκλο. 2 ≤ w − 2 − 2i ≤ 3 2 . β. 66. Οι μιγαδικοί αριθμοί z, w επαληθεύουν τις σχέσεις 2 z +i 2 −z −i 2 =17 και w −4 = w − 12 −6i .
- 32. 32 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να βρεθείη ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης Α = z −w καθώς και οι τιμές των z, w για τις οποίες η πιο πάνω παράσταση γίνεται ελάχιστη. 67. α. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w και τις εικόνες τους Α, Β αντίστοιχα. Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς, να δείξετε ότι: uuur uuu r ΟΑ ×ΟΒ = Re ( zw ) . β. Δίνονται οι μοναδιαίοι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 και Α, Β, Γ οι εικόνες τους αντίστοιχα. Αν ισχύει z1 z2 ( z1 + z2 ) + z2 z3 ( z2 + z3 ) + z3 z1 ( z1 + z3 ) = 0 , να δείξετε ότι: uuur uuu uuu r r ( ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ ) 2 uuur 2 uuu 2 uuu 2 r r = ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ . 68. Έστω οι μιγαδικοί z1 , z 2 και Α,Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ να δείξετε ότι: α. Το Μ είναι εικόνα του μιγαδικού β. 2 ΟΜ ΑΒ ≤ ΟΑ → → → 2 → + ΟΒ 2 . 1 ( z1 + z2 ) 2 Αν
- 33. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άσκηση 1 α + βi (1) β + αi Να δείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός. Να δείξετε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία κύκλου, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Να βρείτε τους μιγαδικούς z που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο. Να δείξετε ότι 4 < z − 3 + 4i < 7 Αν z1 , z2 μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), να δείξετε ότι ν Έστω z ∈ £ , α,β ∈ ¡ με α ≠ β και ( 1 + iz ) = α. β. γ. δ. ε. z1 − z2 ≤ 2 . Άσκηση 2 Δίνεται η εξίσωση z 2 − α z + β = 0 , z ∈ £ , α,β ∈ ¡ και z1 , z2 είναι οι ρίζες της με z1 = 2 + i . α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β . β. γ. 2008 Να δείξετε ότι ο αριθμός z12008 + z2 είναι πραγματικός. Έστω Α ( z1 ) , Β ( z 2 ) , Γ ( z3 ) οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 αντίστοιχα, με z3 = z1 1 + ( 17 + i ) , z2 5 τότε: ι. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ii. Αν w − z1 = w − z1 , να δείξετε ότι w ∈ ¡ . iii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w , που επαληθεύουν των εξίσωση w − z2 + w − z2 = 10 , βρίσκονται πάνω σε έλλειψη. Άσκηση 3 α. β. Έστω w ∈ £ τέτοιος, ώστε α w + βw + γ = 0 με α, β, γ ∈ ¡ και α ≠ β . Να δείξετε ότι: α w + βw + γ = 0 i. ii. w∈¡ Αν ο μιγαδικός αριθμός z επαληθεύει τη σχέση 2z 3 z + 5zz 3 + 7 = 0 , τότε: i. Να δείξετε ότι z 3 z = zz 3 = −1 . ii. Να βρείτε το z . iii. Να βρείτε τον μιγαδικό z . Άσκηση 4 π Δίνεται η εξίσωση z 2 − ( 2εφθ ) z + 1 = 0 , θ ∈ 0, ÷ . 4 α. Να δείξετε ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι μη πραγματικοί αριθμοί. 33
- 34. 34 β. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έστω z1, z2 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης . Αν ισχύει z + z2 , z1 + z 2 = 1 3 να βρείτε την τιμή του θ και τις z1 , z2 . Άσκηση 5 Έστω f ( z ) = z − iz , z ∈ £ . α. Να λύσετε την εξίσωση f ( z ) = 2 − i β. Αν f ( z ) = 2 , να βρείτε το z . γ. Αν z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες του w = f ( z ) ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων . Άσκηση 6 Δίνεται η εξίσωση zz + 4 Re( 1 − 2i ) z + 4 = 0 (1). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών . β. Αν z1, z2 είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι z1 − z2 ≤ 8 . γ. Αν t1, t2 είναι αντίστοιχα οι τιμές των z1 , z2 του β’ ερωτήματος , για τις οποίες η παράσταση z1 − z2 γίνεται μέγιστη , να δείξετε ότι : t1 + t2 2ν ν + 10 ( t1 − t2 ) = 24 ν+1 ×5ν ,ν ∈ ¥ Άσκηση 7 Αν z ∈ £ , α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ( z ) όταν 1 z= ,λ ∈ ¡ . 1 + λi β. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z . Άσκηση 8 Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με z z z 1 z1 = z2 = z3 = ρ και Re 1 ÷ = Re 2 ÷ = Re 3 ÷ = − . 2 z2 z1 z3 Να δείξετε ότι : z1 + z2 + z3 = 0 α. β. Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι ισόπλευρο .
- 35. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άσκηση 9 , Δίνεταιη εξίσωση z 2 − 6συνθ ×z + 4 + 5συν2θ = 0 , z ∈ £ ,θ ∈ ( 0 π ) . α. Να λυθεί η εξίσωση . β. Αν z1 , z2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης , τότε : i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των ριζών για κάθε θ ∈ ( 0, π) . ii. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του z1 − z2 . Άσκηση 10 Αν για το μιγαδικό z , ισχύει z − ( 2 + 2i ) = 2 , να βρεθεί : α. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z . β. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z . Άσκηση 11 z+i Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z , w με w = ,z≠i. 1 + iz α. Να δείξετε ότι w ≠ − i . w−i = z . β. Να δείξετε ότι w+i γ. Αν Μ είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w στο επίπεδο και ισχύει ότι z = 1 , να δείξετε ότι το Μ ανήκει στον άξονα x ′x . δ. Να δείξετε την ισοδυναμία w ∈ I ⇔ z ∈ I Άσκηση 12 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει z + 1 = z + 4i . Να βρεθεί ο μιγαδικός με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο . Άσκηση 13 z +1 , z ≠ 0. z Να γράψετε τον μιγαδικό f ( z ) σε κανονική μορφή . Να δείξετε την ισοδυναμία f ( z) ∈ ¡ ⇔ z ∈ ¡ . Αν ισχύει f ( z ) ×f ( z ) = 2 , να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος , του οποίου να βρείτε τα στοιχεία του . Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος , να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του f ( z ) − 1 . Δίνεται η συνάρτηση f ( z ) = α. β. γ. δ. Άσκηση 14 Δίνονται οι μιγαδικοί z = 3 + 5συνφ + i ( 4 + 5ημφ ) , φ ∈ [ 0, 2π) . α. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων . β. Να βρείτε τον μιγαδικό z με το μεγαλύτερο μέτρο . γ. Αν για τους μιγαδικούς w, z ισχύει i z + = 4( 2 + i) w να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w είναι σημεία συνευθειακά . 35
- 36. 36 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άσκηση 15 Ναβρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους , ισχύει z −2 z −2 Re ÷= I m ÷. z −6 z −6 Άσκηση 16 Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύει 3 z1 + z2 = 1 και z13 + z2 = −2 . α. β. Να βρείτε τους z1, z2 . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών 0, z1 , z2 . γ. 100 Να δείξετε ότι z1 + z100 = −1 . 2 Άσκηση 17 Θεωρούμε μιγαδικούς z για τους οποίους ισχύει z + 8 = 2 2z + 1 . (1) α. Να δείξετε ότι z = 2 . β. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης z + 3 − 2i . γ. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί που ικανοποιούν την εξίσωση (1) με z1 ≠ − z2 και ν ∈ ¥ * , να ν z1ν + z 2 ∈¡ . δείξετε ότι ο μιγαδικός w = ν ( z1 + z2 ) Άσκηση 18 Έστω α, β ∈ ¡ , ν ∈ ¥ * και οι μιγαδικοί z1 = ( α + βi ) , z2 = ( β + α i ) . ν α. Να εκφράσετε τον z 2 συναρτήσει των z1 και i ν . β. Να δείξετε ότι , αν ο αριθμός ( α + βi ) ν ( β + αi ) 2003 2003 είναι πραγματικός , τότε ο αριθμός είναι φανταστικός . Άσκηση 19 Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 ισχύει ( z1 + z2 ) 100 = ( z1 − z2 ) 100 να δείξετε ότι : α. Ο αριθμός z1z2 είναι φανταστικός . β. γ. Το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εικόνες των z1 , z2 και το σημείο Ο ( 0, 0 ) είναι ορθογώνιο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο παραπάνω τρίγωνο έχει εξίσωση 2 Άσκηση 20 z − Re ( z1 + z2 ) z = 0 Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί z1 , z2 , z3 για τους οποίους ισχύει Να δείξετε ότι : 3 3 α. z13 = z2 = z3 γ. ε. z1 = z2 = z3 2 2 z1 + z2 + z3 = 0 και z12 + z2 + z3 = 0 . β. z1z 2 + z2 z3 + z3z1 = 0 δ. 22 22 z122 + z2 + z3 = 0 Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι ισόπλευρο .
- 37. 37 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άσκηση 21 Έστω α. β. γ. δ. λ∈ ¡ και οι μιγαδικοί z ∉ ¡ τέτοιοι , ώστε λz + z = z . Να δείξετε ότι λ = 1 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z − i . Να δείξετε ότι z 3 ∈ ¡ . Άσκηση 22 Έστω η εξίσωση x 2 − 6 x + α = 0 , α ∈ ¡ , η οποία έχει ρίζα έναν μιγαδικό και μη πραγματικό αριθμό που έχει μέτρο 5. α. Να βρείτε τον α και τις ρίζες της εξίσωσης . ν β. Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης και ν ∈ ¥ * , να δείξετε ότι ο αριθμός w = z1ν + z2 είναι πραγματικός . γ. Να βρείτε κάθε σημείο Μ ( x , 0 ) , ώστε το τρίγωνο που έχει κορυφές το Μ και τις εικόνες των ριζών της εξίσωσης να είναι ορθογώνιο . δ. Αν w1 , w2 είναι συζυγείς μιγαδικοί , να δείξετε ότι (w 2 − 6w1 + α ) ( w2 − 6w2 + α ) ≥ 0 2 1 Άσκηση 23 Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z8 + z + 3 = 0 . Να δείξετε ότι : α. β. 8 z + z ≥3 z > 3 2 Άσκηση 24 Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει α. β. z + z ( 1 + i) + z ( 1 − i) + 1 = 0 . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z . Να δείξετε ότι 2 −1 ≤ z ≤ 2 +1 . γ. Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί που ικανοποιούν την εξίσωση του πρώτου ερωτήματος , να 2 βρείτε το μέγιστο της παράστασης z1 − z2 .