Η Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
3η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2018-΄19
α)
Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι ίσες στο *
, τότε
   f x g x για κάθε *
x 
Άρα και
   
 2 2 2 2
k k k 1
f g 0 1
k k
     
          
  
 Για k 1 παίρνουμε
   
2 2
x 1 x
f x g x
x x
  
   για κάθε *
x 
Άρα η τιμή k 1 είναι δεκτή
 Για k 1  παίρνουμε
 
 
 
2 2 2 2
x x 1 x x
f x , g x
x x x x
     
    

για κάθε *
x 
Οπότε
2 2
f , g
2 2
    
     
    
Άρα η τιμή k 1  απορρίπτεται
Οπότε δεκτή είναι μόνο η τιμή k 1
β)
Για x κοντά στο 0έχουμε
   
f g
2 2 2
x xx x x
xg x x f x x x x
x
x

 
   

==
Γνωρίζουμε όμως ότι
x x  για κάθε *
x 
(με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 0 )
Άρα για x 0
2 2
0 x x x x 0      
Οπότε
 Για x 0 είναι
2
22 2 2 22 2
x x x x x 1
x x x x xx x 0 1
x
 
  
           
 
Λύνει ο Μάκης Χατζόπουλος

2. ___________________________________________________________________________
3η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2018-΄19
 x 0 x 0
2
x 1
g x x x
1
x
lim lim 
 
   
  
  
 
 Για x 0 είναι
2
22 2 2 22 2
x x x x x 1
x x x x xx x 0 1
x
  
    
           
 
 x 0 x 0
2
x 1
g x x x
1
x
lim lim 
 

   
  
  
 
Άρα δεν υπάρχει το
 x 0
x
g x x
lim



3. ___________________________________________________________________________
3η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2018-΄19
α)
Για 1  έχω:  
2
x
f x
x

 και    
2 2
1 x x
g x f x
x x
  
   στο *
.
*
, 1    είναι  
 2
f 0
 
  

και  
2
1
g 0
 
  

για 1   ,
ενώ για 1   είναι    
2 2
x x
f x g x
x x
 
    .
Άρα f g στο *
μόνο για 1  .
β)
Αν  
2
2
2 2
2
2 2 2 2
22 2
2
1
,x 0
x x,x 0 1
x x xx xx
h x
x x x 1xx ,x 0,x 0
x xx x 1
x

   
   
    
            

τότε
2
2x 0
x
lim 1 0
x

  με
2
2
x
1 0
x

  κοντά στο 0, αφού είναι
2
2 2
2
x
x x x 0 1
x

      . Άρα  x 0
lim h x

  και  x 0
lim h x

 , δηλαδή το ζητούμενο
όριο δεν υπάρχει.
Λύνει ο Κώστας Δεββές

4. ___________________________________________________________________________
3η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2018-΄19
α)
Αφού οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες θα παίρνουν την ίδια τιμή για κάθε τιμή που ανήκει
στο πεδίο ορισμού τους, που είναι το σύνολο των πραγματικών χωρίς το 0.
Αφού λοιπόν το
2

ανήκει στο πεδίο ορισμού τους, θέτουμε όπου x το
2

και έχουμε:
2 k
k
2
 
  
 
Όμως
2 1 2
2
  
  
και αντικαθιστώντας έχουμε
   
k
k 1 2k 1 1 2k       
 Αν ο k είναι άρτιος, τότε k 0 , άτοπο
 Αν ο k είναι περιττός, τότε k 1 . Αντικαθιστώντας στην αρχική έχω
2 2
x 1 x,    που ισχύει
Άρα k 1
β)
Αφού βρήκαμε την τιμή του k και γνωρίζουμε ότι f g , θα αντικαταστήσουμε στο
ζητούμενο όριο (έστω L ) την g με την f ώστε να το υπολογίσουμε ευκολότερα.
Είναι λοιπόν:
 x 0 x 0 x 02 2 2
x xx x
L
xf x x x x
x
x
lim lim lim
  
  
  

Ο παρονομαστής είναι προφανώς αρνητικός ( x x  ), άρα
2 2 2 2
x x x x    
Θα διακρίνουμε δυο περιπτώσεις, ώστε να «φύγει» το απόλυτο από τον αριθμητή
 αν x 0 έχουμε  2
u x :
x 0 x 0 x 0
2
22 2 2
x u 1
L
x x u u u
1
u
lim lim lim  
  
    
     
   
 
 όμοια αν x 0 παίρνουμε L  
Οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει
Λύνει ο Χάρης Πλάτανος - ΜΑΘΗΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ!!

5. ___________________________________________________________________________
3η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2018-΄19
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
) έ f(x) g(x) ά .
ό :
( )
( ) (1)
έ : ( ) 0 1 0 1.
ί ί : 0 4 .
έ ί έ ύ έ ί έ

        
 
     
        
 
                  
                
                  
1,2
1,2
0 1.Ό 1 ύ (1). Ά 1
1,2 1 ό
1
0
2
1,2 1 ό 1 ή 0
ά .
. 4 ή 1 ή 0
4 ό έ :
2
2
1, ό έ :
1
2
0, ό

            
    
    
      
  
      
     
 
 
     
 
 
    
1,2
2 2x 0 x 0
2
2 2 2 2x 0 x 0
2
x 0
2
2
2 2 2 2x 0 x 0
έ :
2
Ά 1
x x
)Έ : lim ... lim
g(x) x (x) x
x x x
0 ό lim lim
(x) x (x) x
1 (x)
lim ύ 1
(x) x1
x
x x x
0 ό lim lim
(x) x (x) x




 
 

 
 

   
  

   
  
       
   

   


         
   
2
x 0
2
x 0
1
lim
(x)
1
x
Ά ά lim
g(x) x



 



    

Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

6. ___________________________________________________________________________
3η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2018-΄19