Teks tersebut membahas tentang induksi matematika. Metode ini digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan dengan melalui langkah basis dan langkah induksi. Langkah basis menunjukkan kebenaran pernyataan untuk kasus dasar, sedangkan langkah induksi menunjukkan jika pernyataan benar untuk kasus n maka juga benar untuk kasus n+1. Teks tersebut memberikan contoh penerapan induksi matematika untuk membuktikan beberapa per
Materi Induksi Matematis, meliputi peta konsep Induksi matematis, prinsip induksi matematis, definisi dan penjelasan induksi matematis, contoh soal dan pembahasan induksi matematis dari buku kemendikbud kurikulum 13
Induksi matematik merupakan metode pembuktian yang baku dalam matematika untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat. Prinsip induksi matematik membutuhkan dua langkah yaitu basis dan langkah induksi. Basis menunjukkan pernyataan benar untuk kasus dasar sedangkan langkah induksi menunjukkan jika pernyataan benar untuk suatu kasus maka pernyataan juga benar untuk kasus berikutnya. Dokumen
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yang merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika. Terdapat penjelasan mengenai sejarah, pengertian, tahapan pembuktian, dan contoh soal induksi matematika.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematik, yaitu teknik pembuktian untuk pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat. Metode ini menggunakan basis induksi dan langkah induksi untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat.
Matematika Diskrit - 04 induksi matematik - 02KuliahKita
Induksi matematik digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan untuk semua bilangan bulat. Terdiri dari langkah basis dan langkah induksi. Langkah basis membuktikan kebenaran pernyataan untuk kasus dasar. Langkah induksi membuktikan jika pernyataan benar untuk n, maka benar juga untuk n+1.
Teks tersebut membahas tentang induksi matematika. Metode ini digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan dengan melalui langkah basis dan langkah induksi. Langkah basis menunjukkan kebenaran pernyataan untuk kasus dasar, sedangkan langkah induksi menunjukkan jika pernyataan benar untuk kasus n maka juga benar untuk kasus n+1. Teks tersebut memberikan contoh penerapan induksi matematika untuk membuktikan beberapa per
Materi Induksi Matematis, meliputi peta konsep Induksi matematis, prinsip induksi matematis, definisi dan penjelasan induksi matematis, contoh soal dan pembahasan induksi matematis dari buku kemendikbud kurikulum 13
Induksi matematik merupakan metode pembuktian yang baku dalam matematika untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat. Prinsip induksi matematik membutuhkan dua langkah yaitu basis dan langkah induksi. Basis menunjukkan pernyataan benar untuk kasus dasar sedangkan langkah induksi menunjukkan jika pernyataan benar untuk suatu kasus maka pernyataan juga benar untuk kasus berikutnya. Dokumen
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yang merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika. Terdapat penjelasan mengenai sejarah, pengertian, tahapan pembuktian, dan contoh soal induksi matematika.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematik, yaitu teknik pembuktian untuk pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat. Metode ini menggunakan basis induksi dan langkah induksi untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat.
Matematika Diskrit - 04 induksi matematik - 02KuliahKita
Induksi matematik digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan untuk semua bilangan bulat. Terdiri dari langkah basis dan langkah induksi. Langkah basis membuktikan kebenaran pernyataan untuk kasus dasar. Langkah induksi membuktikan jika pernyataan benar untuk n, maka benar juga untuk n+1.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat penjelasan tentang pengertian, prinsip, dan tahapan induksi matematika serta beberapa contoh penerapannya untuk membuktikan pernyataan-pernyataan tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti prinsip induksi sederhana, induksi yang dirampatkan, induksi kuat, serta bentuk induksi secara umum beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut merangkum tentang:
1. Induksi matematika sebagai teknik pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat
2. Prinsip kerja induksi matematika yaitu langkah basis dan langkah induksi
3. Contoh soal pembuktian dengan induksi matematika
Dokumen tersebut membahas metode induksi matematika untuk membuktikan tebakan bahwa jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n kuadrat. Metode ini terdiri dari langkah basis, langkah induktif, dan kesimpulan. Sebagai contoh, dokumen tersebut memperlihatkan bukti tebakan tersebut dengan menggunakan metode induksi matematika.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode pembuktian dalam matematika seperti pembuktian langsung, tidak langsung, kontradiksi, contoh penyangkal, dan induksi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade sains nasional dan internasional. Metode-metode tersebut dijelaskan dengan contoh-contoh soal beserta pembahasannya.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika. Metode induksi matematika adalah teknik pembuktian yang baku untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti prinsip induksi sederhana, yang dirampatkan, dan kuat beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh pembuktian matematika menggunakan metode induksi, pembuktian langsung, kontraposisi, dan kontradiksi. Metode-metode tersebut digunakan untuk membuktikan rumus-rumus matematika dan hubungan antara bilangan.
Materi ini membahas tentang induksi matematika dan rekursi yang digunakan untuk membuktikan obyek-obyek diskrit. Terdapat penjelasan mengenai definisi barisan secara rekursif, barisan Fibonacci, penyelesaian relasi rekursi linier dan non linier, serta contoh soal pembuktian menggunakan induksi matematika.
Dokumen tersebut membahas strategi dan metode pembuktian dalam mata kuliah Matematika Diskrit. Beberapa strategi pembuktian yang disebutkan antara lain pembuktian langsung dengan metode pengecekan satu per satu, pembuktian berdasarkan kasus, pembuktian dengan eliminasi kasus, dan pembuktian ekuivalensi. Dokumen tersebut juga membahas metode pembuktian tak langsung seperti kontradiksi dan kontraposisi.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti induksi sederhana, induksi yang dirampatkan, induksi kuat, serta bentuk induksi secara umum beserta contoh-contoh penerapannya.
Induksi matematik merupakan metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Metode ini membuktikan suatu pernyataan dengan menunjukkan basis dan langkah induksi."
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat penjelasan tentang pengertian, prinsip, dan tahapan induksi matematika serta beberapa contoh penerapannya untuk membuktikan pernyataan-pernyataan tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti prinsip induksi sederhana, induksi yang dirampatkan, induksi kuat, serta bentuk induksi secara umum beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut merangkum tentang:
1. Induksi matematika sebagai teknik pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat
2. Prinsip kerja induksi matematika yaitu langkah basis dan langkah induksi
3. Contoh soal pembuktian dengan induksi matematika
Dokumen tersebut membahas metode induksi matematika untuk membuktikan tebakan bahwa jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n kuadrat. Metode ini terdiri dari langkah basis, langkah induktif, dan kesimpulan. Sebagai contoh, dokumen tersebut memperlihatkan bukti tebakan tersebut dengan menggunakan metode induksi matematika.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode pembuktian dalam matematika seperti pembuktian langsung, tidak langsung, kontradiksi, contoh penyangkal, dan induksi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade sains nasional dan internasional. Metode-metode tersebut dijelaskan dengan contoh-contoh soal beserta pembahasannya.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika. Metode induksi matematika adalah teknik pembuktian yang baku untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti prinsip induksi sederhana, yang dirampatkan, dan kuat beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh pembuktian matematika menggunakan metode induksi, pembuktian langsung, kontraposisi, dan kontradiksi. Metode-metode tersebut digunakan untuk membuktikan rumus-rumus matematika dan hubungan antara bilangan.
Materi ini membahas tentang induksi matematika dan rekursi yang digunakan untuk membuktikan obyek-obyek diskrit. Terdapat penjelasan mengenai definisi barisan secara rekursif, barisan Fibonacci, penyelesaian relasi rekursi linier dan non linier, serta contoh soal pembuktian menggunakan induksi matematika.
Dokumen tersebut membahas strategi dan metode pembuktian dalam mata kuliah Matematika Diskrit. Beberapa strategi pembuktian yang disebutkan antara lain pembuktian langsung dengan metode pengecekan satu per satu, pembuktian berdasarkan kasus, pembuktian dengan eliminasi kasus, dan pembuktian ekuivalensi. Dokumen tersebut juga membahas metode pembuktian tak langsung seperti kontradiksi dan kontraposisi.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti induksi sederhana, induksi yang dirampatkan, induksi kuat, serta bentuk induksi secara umum beserta contoh-contoh penerapannya.
Induksi matematik merupakan metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Metode ini membuktikan suatu pernyataan dengan menunjukkan basis dan langkah induksi."
Makalah ini membahas mengenai induksi matematika. Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip dan tahapan dalam induksi matematika, yaitu basis induksi untuk menunjukkan kebenaran pernyataan untuk kasus terkecil, langkah induksi untuk mengasumsikan kebenaran pernyataan untuk kasus n kemudian membukt
Makalah ini membahas mengenai induksi matematika. Terdapat 3 bab yang membahas tentang pendahuluan, pembahasan, dan tahapan-tahapan induksi matematika. Pembahasan mencakup pengertian, prinsip, dan contoh penerapan induksi matematika untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat. Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian yang populer dalam matematika.
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
1728 Bilqis If Pertemuan 3 Mat Disk 2010guestdf5a09
Dokumen tersebut membahas tentang terminologi dan cara membuktikan teorema matematika, termasuk teorema, argumen, aksioma, aturan penentuan kesimpulan, dan contoh-contoh pembuktiannya.
Ada tiga metode pembuktian dalam matematika yaitu pembuktian langsung, tidak langsung melalui kontraposisi atau kontradiksi, dan induksi matematika. Pembuktian langsung menggunakan definisi dan aksioma, sedangkan tidak langsung mengasumsikan kebalikan dari kesimpulan. Induksi matematika membuktikan suatu pernyataan dengan mengecek kasus awal dan asumsi kasus berikutnya.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
2. Definisi
Induksi matematika adalah :
Metode pembuktian untuk proposisi perihal
bilangan bulat
Induksi matematika merupakan teknik
pembuktian yang baku di dalam
matematika
Induksi matematika dapat mengurangi
langkah-langkah pembuktian bahwa
semua bilangan bulat termasuk ke dalam
suatu himpunan kebenaran dengan hanya
sejumlah langkah terbatas
Matematika Diskrit 1
3. Contoh 1
Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n
adalah n(n+1)/2
Bukti :
Misalkan n = 6 p(6) adalah “Jumlah bilangan
bulat positif dari 1 sampai 6 adalah 6(6+1)/2”
terlihat bahwa :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 6(7)/2 =
21
Sehingga proposisi (pernyataan) tersebut
benar
Matematika Diskrit 2
4. Contoh 2
Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama
adalah n2.
Bukti
Misalkan n = 6 buah (n = 1,2,3,4,5,6) maka :
◦ n = 1 1 = 1 (1)2 = 1
◦ n = 2 1+3 = 4 (2)2 = 4
◦ n = 3 1+3+5 = 9 (3)2 = 9
◦ n = 4 1+3+5+7 = 16 (4)2 = 16
◦ n = 5 1+3+5+7+9 = 25 (5)2 = 25
◦ n = 6 1+3+5+7+9+11 = 36 (6)2 = 36
Sehingga proposisi (pernyataan) tersebut benar
Matematika Diskrit 3
5. Contoh Lain
Setiap bilangan bulat positif n(n 2) dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau
lebih) bilangan prima
Untuk semua n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3
Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar
(n 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3
sen dan 5 sen dolar
Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat
tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika
ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan
yang terjadi adalah n(n – 1)/2
Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk
dari sebuah himpunan yang beranggotakan n
elemen adalah 2n.
Matematika Diskrit 4
6. Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan p(n) adalah proposisi
bilangan bulat positif dan ingin
dibuktikan bahwa p(n) adalah benar
untuk semua bilangan bulat positif n.
Maka langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut :
1. p(n) benar
2. Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar
untuk setiap n 1
Sehingga p(n) benar untuk semua
bilangan bulat positif n
Matematika Diskrit 5
7. Prinsip Induksi Sederhana
Basis induksi
Digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan
benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan
bilangan bulat positif terkecil
Buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar untuk
setiap bilangan bulat positif
Langkah induksi
Berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n)
benar.
Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
Bila kedua langkah tersebut benar maka
pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua
bilangan positif n.
Matematika Diskrit 6
8. Contoh 3
Tunjukkan bahwa untuk n 1,
1+2+3+…+n = n(n+1)/2
melalui induksi matematika
Matematika Diskrit 7
9. Solusi
i. Basis induksi
p(1) benar n = 1 diperoleh dari :
1 = 1(1+1)/2
= 1(2)/2
= 2/2
= 1
ii. Langkah induksi
Misalkan p(n) benar asumsi bahwa :
1+2+3+…+n = n(n+1)/2
Adalah benar (hipotesis induksi). Perlihatkan bahwa
p(n+1) juga benar yaitu :
1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1)[(n+1)+1]/2
Matematika Diskrit 8
10. 1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n)+(n+1)
= [n(n+1)/2]+(n+1)
= [(n2+n)/2]+(n+1)
= [(n2+n)/2]+[(2n+2)/2]
= (n2+3n+2)/2
= (n+1)(n+2)/2
= (n+1)[(n+1)+1]/2
Langkah (i) dan (ii) dibuktikan benar, maka
untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti
bahwa untuk semua n 1, 1+2+3+…+n =
n(n+1)/2
Matematika Diskrit 9
11. Contoh 4
Gunakan induksi matematika untuk
membuktikan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Matematika Diskrit 10
12. Solusi
i. Basis induksi
p(1) benar jumlah 1 buah bilangan ganjil positif pertama
adalah 12 = 1
ii. Langkah induksi
Misalkan p(n) benar asumsi bahwa :
1+3+5+…+(2n-1) = n2
Adalah benar (hipotesis induksi)
Perlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu :
1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = (n+ 1)2
Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = [1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)
= n2 + (2n+1)
= n2 + 2n + 1
= (n+ 1)2
Langkah (i) dan (ii) dibuktikan benar, maka untuk jumlah n
buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Matematika Diskrit 11
13. Prinsip Induksi yang
Dirampatkan
Prinsip induksi sederhana dapat
dirampatkan (generalized)
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal
bilangan bulat n n0. Untuk
membuktikannya perlu menunjukkan
bahwa :
1. p(n0) benar
2. Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar
untuk setiap n n0
sehingga p(n) benar untuk semua
bilangan bulat n n0 Matematika Diskrit 12
14. Contoh 5
Untuk semua bilangan bulat tidak negatif
n, buktikan dengan induksi matematika
bahwa 20+ 21+ 22+…+ 2n= 2n+1 -1
Matematika Diskrit 13
15. Solusi
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan
bulat tidak negatif n, 20+ 21+ 22+…+ 2n= 2n+1 -1
i. Basis induksi
p(0) benar untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama)
diperoleh dari :
20 = 1 = 20+1 -1
= 21 -1
= 2 – 1
= 1
ii. Langkah induksi
Misalkan p(n) benar, yaitu proposisi :
20+ 21+ 22+…+ 2n= 2n+1 -1
Diasumsikan benar (hipotesis induksi). Perlihatkan bahwa p(n+1)
juga benar, yaitu :
20+ 21+ 22+…+ 2n+ 2n+1 = 2(n+1)+1 -1
Matematika Diskrit 14
16. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
20+ 21+ 22+…+ 2n+ 2n+1 = (20+ 21+ 22+…+ 2n) + 2(n+1)
= 2(n+1)+1 -1 + 2n+1 (dari hipotesis
induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1)+1 -1
Langkah (i) dan (ii) dibuktikan benar, maka untuk semua
bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20+ 21+ 22+…+
2n= 2n+1 -1
Matematika Diskrit 15
17. Contoh 6
Buktikan dengan induksi matematika
bahwa 3n < n! untuk n bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 6
Matematika Diskrit 16
18. Solusi
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa 3n < n! untuk n bilangan
bulat positif yang lebih besar dari 6
i. Basis induksi
p(7) benar 37 < 7! 2187 < 5040
ii. Langkah induksi
Misalkan bahwa p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa 3n < n!
adalah benar. Perlihatkan juga bahwa p(n+1) juga benar, yaitu
3n+1 < (n+1)!
Hal ini dapat ditunjukkan sbb :
3n+1 < (n+1)!
3 . 3n < (n+1) . n!
3n . 3 / (n+1) < n!
Menurut hipotesis induksi, 3n < n!, sedangkan untuk n > 6, nilai
3/(n+1) < 1, sehingga 3/(n+1) akan memperkecil nilai di ruas
kiri persamaan. Efek nettonya, 3n . 3/(n+1) < n! jelas benar
Langkah (i) dan (ii) dibuktikan benar, maka terbukti bahwa 3n < n!
untuk n bilangan bulat positif lebih besar dari 6
Matematika Diskrit 17
19. Prinsip Induksi Kuat
Prinsip induksi yang lebih kuat adalah sbb :
1. p(n0) benar
2. Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar, maka p(n+1) juga benar
untuk setiap n n0
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n0
Versi induksi yang lebih kuat mirip dengan induksi
sederhana, perbedaannya adalah pada langkah (ii) :
hipotesis induksi yang lebih kuat
bahwa semua pernyataan p(1), p(2), …, p(n) adalah benar
Hipotesis induksi sederhana
bahwa p(n) benar
Prinsip induksi kuat memungkinkan kita mencapai
kesimpulan yang sama meskipun memberlakukan andaian
yang lebih banyak
Matematika Diskrit 18
20. Contoh 7
Bilangan bulat positif disebut prima jika
dan hanya jika bilangan bulat tersebut
habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.
Buktikan dengan induksi matematika
(prinsip induksi kuat) bahwa setiap
bilangan bulat positif n(n 2) dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari (satu
atau lebih) bilangan prima
Matematika Diskrit 19
21. Solusi
Misalkan p(n) adalah proposisi setiap bilangan
bulat positif n(n 2) dapat dinyatakan sebagai
perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima
Basis induksi
p(2) benar 2 sendiri adalah bilangan prima dan 2
dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan
prima, yaitu dirinya sendiri
Langkah induksi
Misalkan p(n) benar, asumsikan bahwa bilangan 2, 3, …,
n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih)
bilangan prima (hipotesis induksi). Perlihatkan juga
bahwa p(n+1) benar, yaitu n + 1 juga dapat dinyatakan
sebagai perkalian bilangan prima.
Matematika Diskrit 20
22. Hal ini dapat ditunjukkan sbb :
◦ Jika n + 1 bilangan prima perkalian satu atau lebih
bilangan prima
◦ Jika n + 1 bukan bilangan prima terdapaat bilangan bulat
positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa
(n+1)/a = b atau (n+1) = ab
dimana 2 a b n.
Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan
sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
Ini berarti bahwa n+1 jelas dapat dinyatakan sebagai
perkalian bilangan prima, karena n+1 = ab
Langkah (i) dan (ii) dibuktikan benar, maka terbukti bahwa
setiap bilangan bulat positif n(n 2) dapat dinyatakan
sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima
Matematika Diskrit 21
23. Bentuk Induksi Secara Umum
Membuat bentuk umum metode induksi
sehingga dapat diterapkan tidak hanya
untuk pembuktian proposisi yang
menyangkut himpunan bilangan bulat
positif tetapi juga pembuktian yang
menyangkut himpunan obyek yang lebih
umum.
Syaratnya himpunan obyek tersebut
harus mempunyai :
1.Keterurutan
2.Elemen terkecil
Matematika Diskrit 22
24. Relasi biner “<“ pada himpunan X dikatakan
terurut dengan baik (atau himpunan X dikatakan
terurut dengan baik dengan “<“) bila memiliki
properti berikut :
(i)Diberikan x, y, z X, jika x < y dan y < z maka x < z
(ii)Diberikan x, y X. Salah satu dari kemungkinan ini
benar : x < y atau y < x atau x = y
(iii)Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X,
terdapat elemen x A sedemikian sehingga x y
untuk semua y A. Dengan kata lain, setiap himpunan
bagian tidak kosong dari X mengandung “elemen
terkecil”
Matematika Diskrit 23
25. Misalkan X terurut baik oleh “<“ dan p(x)
adalah pernyataan perihal elemen x dari
X. Pembuktian bahwa p(x) benar untuk
semua x X. Untuk pembuktiannya
hanya perlu menunjukkan bahwa :
(i)p(x0) benar, yang dalam hal ini x0 adalah
elemen terkecil di dalam X
(ii)Jika p(y) benar untuk y < x, maka p(x) juga
benar untuk setiap x > x0 di dalam X
Sehingga p(x) benar untuk semua x X
Matematika Diskrit 24
26. Contoh 8
Tinjau barisan bilangan yang didefinisikan sbb :
0 jika m = 0 dan n = 0
Sm,n = Sm-1, n + 1 jika n = 0
Sm, n-1 + 1 jika n 0
Sebagai contoh :
S0,0 = 0 S1,0 = S0,0 + 1 = 0 + 1 = 1
S0,1 = S0,0 + 1 = 1 S1,1 = S1,0 + 1 = 1 + 1 = 2
S2,0 = S1,0 + 1 = 2 S2,1 = S2,0 + 1 = 2 + 1 = 3,…
Buktikan dengan induksi matematik bahwa untuk
pasangan tidak negatif m dan n, Sm,n = m+n
Matematika Diskrit 25
27. Solusi
Basis induksi
(0,0) elemen terkecil di dalam X, maka Sm,n = 0 + 0 = 0
Langkah induksi
Buktikan semua (m,n) > (0,0) di dalam X bahwa jika Sm’,n’
= m’ + n’ benar untuk semua (m’,n’) < (m,n) maka Sm,n =
m+n juga benar.
Andaikan bahwa Sm’,n’ = m’ + n’ benar untuk semua (m’,n’)
hipotesis induksi
Tunjukkan juga bahwa Sm,n =m + n baik untuk n = 0 atau
n 0.
Kasus 1 :
Jika n = 0 maka dari definisi Sm,n = Sm-1,n +1
Karena (m-1, n) < (m, n) maka dari hipotesis induksi
Sm-1,n = (m-1) + n sehingga Sm,n = Sm-1,n +1 = (m-
1)+n+1=m+n
Matematika Diskrit 26
28. Kasus 2 :
Jika n 0 maka dari definisi Sm,n = Sm,n-1 +1
Karena (m, n-1) < (m, n) maka dari hipotesis
induksi
Sm,n-1 = m + (n-1) sehingga Sm,n = Sm,n-1 +1
= m+(n-1)+1=m+n
Langkah (i) dan (ii) sudah dibuktikan
benar, maka terbukti bahwa untuk
pasangan tidak negatif m dan n, Sm,n =
m+n
Matematika Diskrit 27
29. Latihan Soal
1. Temukan rumus untuk menghitung ½ + ¼ + 1/8 +
… + ½ dengan memeriksa nilai-nilai ekspresi untuk
n yang kecil, lalu gunakan induksi matematik untuk
membuktikan rumus tersebut.
2. Buktikan dengan induksi matematik bahwa n5 – n
habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif.
3. Buktikan melalui induksi matematik bahwa
1(2)+2(3)+…+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]3 untuk
semua n 1
4. Sebuah kios penukaran uang hanya mempunyai
pecahan uang senilai Rp 2.000,- dan Rp. 5.000,-
Untuk uang senilai berapa saja yang dapat ditukar
dengan kedua pecahan tersebut? Buktikan jawaban
anda dengan induksi matematik
Matematika Diskrit 28
30. 5. Tinjau runtunan nilai yang didefinisikan sebaga
berikut :
S1,1 = 5
Untuk semua pasang bilangan bulat positif
(m,n) kecuali (1,1) didefinisikan sebagai
berikut :
Sm-1,n + 2jika n =1
Sm,n-1 + 2jika n 1
buktikan dengan induksi matematik bahwa
untuk semua pasangan bilangan bulat positif
(m,n) :
Sm,n = 2(m+n) + 1
Matematika Diskrit 29
Sm,n =