1. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
8
A. DEFENISI DAN SIFAT KEKONGRUENAN
Konsep Kekongruenan suatu cara untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan
bulat. konsep dan sifat-sifat keterbagian dapat kita pelajari lebih mendalam dengan konsep
kekongruenan.
Defenisi : 5.1.
Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen b modulo m (ditulis )(modmba )
bila m membagi (a-b). Jika tidak membagi (a-b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen
dengan b modulo m (ditulis )(modmba ).
Contoh : )5(mod429 karena (29 – 4) = 25 terbagi oleh 5
)6(mod847 karena (47 – 8) = 39 tidak terbagi oleh 6
Terema 5.1.
)(modmba bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga bkma .
Bukti :
Jika m > 0 bilangan bulat positif, menurut Defenisi 5.1. m │(a-b) bila dan hanya bila
)(modmba .
Jika m │(a-b) menurut defenisi 2.1 ada k bilangan bulat positif sedemikian hingga (a-b)
= km
(a-b) = km sama artinya a = km + b
Contoh:
)7(mod972 sama artinya dengan 72 = 7.9 + 9
)5(mod449 sama artinya dengan 49 = 5.9 + 4
Teorema 5.2.
Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1.2.3, …. (m-1).
Bukti :
Bila a dan m bilangan bilangan bulat dan m > 0 , menurut algoritma pembagian dapat
dinyatakan dengan :
a = qm + r dengan 0 ≤ r < m sehingga menurut teorema 2.7
a – r = qm , maka dengan demikian )(modmra
karena 0 ≤ r < m, maka ada m buah pilihan bilangan untuk r yaitu : 0,1.2.3, …. (m-1).
Jadi setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1.2.3, ….
(m-1).
2. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
9
Contoh :
)8(mod638 sama juga dengan 38 = 4.8 + 6
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Defenisi 5.2.
Jika )(modmba dengan 0 ≤ r < m, maka r disebut residu (sisa) terkecil dari a modulo m
ini {0,1.2.3, …. (m-1)} disebut himpunan residu terkecil modulo m
Contoh
Residu terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1, karena sisa 71 : 2 adalah 1
Residu terkecil dari 71 modulo 3 adalah 2, karena sisa 71 : 3 adalah 2
Residu terkecil dari -53 modulo 10 adalah 7, karena sisa -53 : 10 adalah 7 (residu terkecil
dari suatu bilangan diambil bilangan bulat positif).
Residu terkecil dari dari 34 modulo 5 adalah 4, sebab sisa 34 : 5 adalah 4
Walaupun )5(mod934 tetapi 9 bukan residu terkecil dari )5(mod34 sebab 9 bukan sisa
dari 34 : 5 adalah 4.
Contoh :
Modulo 5 mempunyai himpunan residu terkecil adalah {0,1,2,3,4,}
Modulo 9 mempunyai himpunana residu terkecil adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
Modulo 20 mempunyai himpunan residu terkecil adalah {0,1,2,3, ….…,19}
Teorema 5.3.
)(modmba bila dan hanya bila a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m
Bukti
Jika )(modmba maka a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m
)(modmba dan )(modmra maka r adalah residu terkecil modulo m atau 0 ≤ r < m
)(modmra maka a = mq + r ; r adalah sisa dari a bila dibagi m
)(modmrb maka b = mt + r ; r adalah sisa dari b bila dibagi m
(a-b) = m (q – t ) maka m │(a – b) menurut Defenisi 5.1 atau )(modmba
Berdasaran teorema-teorema terdahulu, ungkapan berikut mempunyai arti yang sama yaitu:
“ )8(mod7n ” “ n = 7 + 8k untuk setip bilangan bulat k, dan
“ n dibagi 8 bersisa 7 ”
3. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
10
Defenisi 5.3
Himpunan bilangan-bilangan bulat { mrrrr .,.........,, 321 } disebut sistem residu lengkap
modulo m, bila setiap elemennya kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu dari 0, 1,
2, 3,…………,(m-1)
Contoh.
(i) Himpunan {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu sistem residu lengkap modulo 5 .
dapat diperiksa bahwa :
)5(mod045
)5(mod19
)5(mod212
)5(mod322
)5(mod424
(ii) Himpunan {0,1,2,3,4} juga merupakan suatu system residu lengkap modulo 5,
sekaligus himpunan residu terkecil modulo 5.
(iii) Himpunan {0,1,2,3,4} adalah merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5.
(iv) Himpunan {5, 11, 6, 1, 8, 15} bukan merupakan system residu lengkap modulo
6, sebab )6(mod115 yang dua-duanya berada dalam himpunan tersebut .
Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah suatu relasi antara bilangan-
bilangan bulat . Dapat ditunjukan bahwa relasi kongruen itu merupakan relasi ekivalensi.
Sutu relasidi sebut relasi ekivalensi jika relasi itu memiliki memiliki sifat reflektif.
Jika m, a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka:
(i) )(modmaa , sifat reflektif.
Bukti :
Karena a – a = 0 ditulis juga a = 0 + a atau a = m0 + a, dapat ditulis juga )(modmaa
(ii) Jika )(modmba maka )(modmab , sifat simetris
Bukti :
Karena )(modmba maka a – b = km untuk setiap bilangan bulat k sehingga b – a = -
km atau b = - km + a dapat ditulis juga )(modmab
4. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
11
(iii) Jika )(modmba dan )(modmcb , dan )(modmca sifat transitif.
Bukti
)(modmba ini berarti a – b = km untuk setiap bilangan bulat k
)(modmcb ini berarti b – c = hm untuk setiap bilangan bulat h
a – b = km
b – c = hm +
a – c = (k + h)m
dari a – c = (k + h)m ini menunjukan bahwa )(modmca
………………………… terbukti
Relasi ekivalen dari relasi kekongruenan pada himpunan bilangn bulat harus memenuhi
ketiga sifat diatas. Hal ini berakibat himpunan bilangan-bilangan bulat terpartisi dalam
himpunan-himpunan bagian yang setiap himpunan bagian kelas.
Perrhatikan himpunan bilangan bulat dengan relasi kongruen modulo 5, maka relasi ini
himpunan bilangan bulat terpartisi ( terbagi menjadi himpunan bagian-himpunan bagian
yang saling asing dan gabungannya sama dengan himpunan bilangan bulat) menjadi 5
kelas, yaitu :
,...}10,5,0,5,10{...]0[0
,...}11,6,1,4,9{...]1[1
,...}12,7,2,3,8{...]2[2
,...}13,8,3,2,7{...]3[3
,...}14,9,4,1,6{...]4[4
pemberian nama untuka suatu kelas menggunakan nama salah satu kelas tersebut yang
dibubuhi nama tanda garis diatasnya atau dikurung persegi. Misalnya:
823]8[]2[]3[ atau
Relasi kongruenan mepunyai kemiripan sifat dengan sifat persamaan, sebab relasi
kekongruenan dapat dinyatakan sebagai persamaan, yaitu : )(modmba sama artinya
dengan a= km + b , untuk suatu bilangan bulat k.
Misalnya :
1. Jika )(modmba maka a + c = b + c (mod m) untuk setiap bilangan bulat c.
2. Jika )(modmba maka Jika )(modmbcac untuk setiap bilangan bulat c.
5. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
12
Teorema 5.4.
Jika )(modmba dan )(modmdc maka a + c = b + d (mod m)
Bukti :
Jika )(modmba ini berarti a = km + b, untuk suatu bilangan bulat k
Jika )(modmdc ini berarti c = tm + d, untuk suatu bilangan bulat t.
a = km + b
c = tm + d +
a + c = km + tm + b + d
a + c = m (k + t) + (b + d)
(a + c) – (b + d) = m h
(a + c) – (b + d) = mod m dapat ditulis )(modmdbca ……… terbukti
Teorema 5.5
Jika )(modmba dan )(modmdc maka a x+ c y= bx + d y(mod m) untuk setiap
blangan bulat x dan y.
Bukti :
Jika )(modmba ini berarti a = km + b, untuk suatu bilangan bulat k
Jika )(modmdc ini berarti c = tm + d, untuk suatu bilangan bulat t.
a = km + b jika dikalikan dengan x maka ax = kmx + bx
c = tm + d jika dikalikan dengan y maka cy = tmy + dy
ax = kmx + bx
cy = tmy + dy +
ax + cy = (kmx + tmy) + (bx + dy)
ax + c y= m (k x+ ty) + (bx + dy)
(ax + cy) – (bx+ dy) = m (kx + ty) dari persamaan ini berarti bahwa:
m│[(ax + cy) – (bx+ dy)]
dapat ditulis a x+ c y bx + d y(mod m) ……………..terbukti
pada persamaan/kesamaan bilangan-bilangan bulat berlaku sifat kanselasi (penghapusan)
sebagai berikut:
6. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
13
Jika ab = ac dengan a ≠ 0 maka b = c . apakah dalam kongruenan berlaku sifat yang mirip
dengan sifat kanselasi tersebut.
Misalkan , jika )(modmacab dengan a Ξ 0 (mod m), apakah )(modmcb ?.
Contoh : )4(mod1224 adalah sutu pernyataan yang benar
)4(mod6.212.2 ini berarti )4(mod02
apakah )4(mod612 4 tidak habis membagi 12 – 6
Teorema 5.6
Jika )(modmbcac dengan (c,m) = 1, maka )(modmba
Bukti :
)(modmbcac ini berarti m │(ac – bc) atau m│c(a – b)
m│c(a - b) dengan (c,m) = 1, maka m │(a – b), ini berarti )(modmba
contoh: Tentukanlah bilangan-bilangan bulat y yang memenuhi perkongruenan
)7(mod13 y
Jawab:
Jika )7(mod13 y maka kita menggantika 1pada pengruenan tersebut dengan 15,
sehingga diperoleh )7(mod153 y dengan
Karena )7(mod5.33 y dengan (3,7) = 1 dan )7(mod5y
Sehingga diperoleh y = 7 k + 5 untuk setiap bilangan bulat k
Himpunana peyelesaan dari pengruenan tersebut adalah { y = 7 k + 5 │ k bilangan bulat }
Teorema 5.7
Jika )(modmbcac dengan (c,m) = d, maka )(mod
d
m
ba
Bukti : Jika )(modmbcac berarti m │(ac – bc) atau m│c(a – b)
Maka
d
m
│
d
c
(a – b)
Karena d adalah FPB dari c dan m, maka
d
m
dan
d
c
adlah bilangan-bilangan bulat .
Karena (c,m) = d maka 1,
d
m
d
c
Karena 1,
d
m
d
c
dan
d
m
│
d
c
(a – b) maka
d
m
│
d
c
dan(
d
m
│(a – b)