Ringkasan dokumen tersebut adalah: (1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat; (2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain; (3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.

1. BAB II
KETERBAGIAN
A. RELASI KETERBAGIAN
Dalam teori bilangan semesta pembicaraannya adalah
semua himpunan bilangan bulat.
Misal; a, b, c, d, ….., m, n (bilangan bulat)
Definisi 2.1:
Bilangan bulat a membagi habis bilangan
bulat b ditulis a | b, jikadanhan jika ada
ya
bilangan bulat k sedemikian hingga b
Jika tidak membagi habis ditulis a | b
ka.

2. Contoh :
5|30 , 5 habis membagi 30
5 adalah faktor dari 30
karena 5.6 = 30
8|27 , 8 tidak habis membagi 27
8 bukan faktor dari 27
karena 8.k =27
-3|21 , -3 habis membagi 21
-3 faktor dari 21
karena (-3)(-7)=21

3. Teorema 2.1:
Jika a | b dan b | c maka a | c
Apabila a|b, yaitu a membagi habis b, maka a
membagi habis setiap kelipatan b, yaitu a|mb,
untuk setiap bilangan
bulat m
Teorema 2.2 :
Jika a | b maka a | mb , untuk setiap bilangan m
Apabila a|b dan a|c , maka diperoleh b=ka
dan c = ma untuk bilangan –bilangan bulat k
dan m

4. Dari dua kesamaan diatas dapat diperoleh
bahwa:
i) b+c=(k+m)a berarti a|(b+c)
ii) b- c=(k-m)a berarti a|(b – c)
iii) b. c=(k.m)a berarti a| bc
Teorema 2.3:
Apabilaa | b dan a | c, maka a | (b
a | (b
c), dan a | bc
c),

5. Teorema 2.4 : ( sif at linearitas)
Jika a | b dan a | c , maka a | (mb
nc)
untuk setiap bilangan bulat m dan n
Bukti :
Karena a|b dan a|c, maka a|mb dan a|nc untuk
setiap bilangan-bilangan bulat m dan
n, selanjutnya menurut teorema 2.3., maka
a|(mb+nc)

6. Teorema 2.5:
1) a | a untuk setiap bilanganbulat (reflektif )
2) jika a | b maka ma | mb untuk bilanganbulat m
3) jika ma | mb dengan m 0, maka a | b
4)1 | a dan a | 0
5) jika 0 | a maka a 0
6) jika a | b dengan b
0, maka a
7) jika a | b dengan b | a, maka a
b
b

7. Contoh Soal :
1. Buktikan bahwa jika a|b, maka a|mb untuk
setiap bilangan bulat m
2. Buktikan bahwa apabila a|b dan c|d, maka
ac|bd
3. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan bulat
berurutan selalu terbagi oleh 2
4. Hasil kali tiga bilangan bulat berurutan selalu
terbagi oleh 3. Buktikanlah!
5. Buktikanlah bahwa3 | (2m ( 1) m 1 ) , untuk
setiap bilangan asli m
6. Jika m sebarang bilangan asli, buktikan
bahwa: a) 7 | (23m 1)
, b)| (32m 7)
8

8. Pembahasan No 2
Buktikan bahwa apabila a|b dan c|d, maka
ac|bd
Bukti :
Karena a|b maka ada bilangan bulat k
sehingga b=ka
Karena c|d maka ada bilangan bulat m
sehingga d=mc
Dari dua kesamaan ini diperoleh bahwa :
bd=(km)ac
sehingga diperoleh ac|bd

9. Pembahasan No 4
Hasil kali tiga bilangan bulat berurutan
selalu terbagi oleh 3. Buktikanlah!
Bukti :
Misal tiga bilangan berturutan itu adalah
3n, 3n+1, dan 3n+2 dengan n sebarang
bilangan bulat. Maka hasil kalinya selalu
terbagi oleh 3 kecuali n=0, karena salah
satu faktornya kelipatan 3.

10. Pembahasan No 6.a
Jika m sebarang bilangan asli, buktikan
3m
1)
bahwa 7 | (2
Bukti :
1) Adb 7 | (23m 1), untuk setiap bilangan
asli m
3.1
i ) Untuk m 1, maka 2
1 7 terbagi oleh 7
ii) Diasumsikan benar untuk m k
yaitu 23k 1 terbagi oleh 7
iii) Dan harus ditunjukka benar untuk m
n
yaitu 23k
3
1 terbagi oleh 7
k 1

11. 2) Adt 2
maka 2
3k 3
3k 3
1 terbagi oleh 7
3k
1 2 .8 1
3k
3k
2
3k
3k
1
2 .8 2
2 .7 2
3k
karena 2 .7 dan 2
sehingga 2
Jadi
3k 3
7 | (2
3m
3k
3k
1
1 terbagi oleh 7
1 terbagi oleh 7 pula.
1)
habis dibagi 7

12. Selamat Mengerjakan…..