Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 dengan kredit 4 SKS - Induksi Matematika

1. Induksi matematika
Oleh: Emanueli Mendrofa,S.Pd

2. Untuk membuktikan teorema umum atau rumus dalam matematika,
kita dapat menggunakan cara deduksi dan induksi.
Pembuktian dengan cara deduksi adalah pembuktian dari hal yang
umum ke hal yang khusus.
Sebaliknya, pembuktian dengan cara induksi adalah pembuktian
dari hal yang khusus ke hal yang umum.
Pembuktian dengan cara induksi dalam matematika dikenal dengan
induksi matematika.

3. Langkah-langkah dalam pembuktian dengan induksi
matematika adalah sebagai berikut:
1. Kita buktikan bahwa teorema atau rumus adalah benar
untuk n = 1.
2. Misalkan teorema atau rumus benar untuk n = k.
Kemudian, buktikan bahwa teorema atau rumus juga
benar untuk n = k + 1.
Akibat dari 1 dan 2, teorema atau rumus berlaku untuk n =
2, 3, 4, . . . .
Jadi, rumus atau teorema benar untuk semua n bulat positif
atau bilangan asli.

4. Prinsip induksi matematika dapat
diibaratkan seperti efek jatuhnya
domino. Pengecekan P(1) benar
dapat disebut sebagai permulaan
jatuhnya domino. Sedangkan
pembuktian P(k+1) benar jika P(k)
diasumsikan benar dan merupakan
efek jatuh beruntun domino,
sehingga P(1) benar, maka P(2)
benar. P(2) benar maka P(3) benar,
dan seterusnya hingga P(n) untuk n
ke berapapun, sehingga dapat
disimpulkan bahwa P(n) benar
untuk setiap n.

5. Contoh1:
Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
𝑃 𝑛 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑛 =
𝑛 (𝑛 + 1)
2
berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Jawab:
• Rumus benar untuk n = 1, karena
1 (1 + 1)
2
=
2
2
= 1
• Misal rumus berlaku untuk n = k, sehingga
𝑃 𝑘 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 =
𝑘 (𝑘 + 1)
2
merupakan pernyataan yang benar . . . . (1)
• Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau
𝑃 𝑘 + 1 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 + 𝑘 + 1 =
𝑘+1 (𝑘+1 + 1)
2
.......... (2)

6. Kita mulai dari pernyataan (1)
1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 =
𝑘 (𝑘 + 1)
2
1 + 2 + 3+ . . . +𝑘 + 𝑘 + 1 =
𝑘 𝑘 + 1
2
+ (𝑘 + 1)
=
𝑘 𝑘 + 1
2
+
2(𝑘 + 1)
2
=
𝑘 𝑘 + 1 + 2(𝑘 + 1)
2
=
𝑘 + 1 (𝑘 + 2)
2
=
𝑘 + 1 (𝑘 + 1 + 1)
2
Jadi,𝑃 𝑛 ∶ 1 + 2 + 3+ . . . +𝑛 =
𝑛 (𝑛 + 1)
2
berlaku untuk setiap bilangan
asli n.
Tambahkan
kedua ruas
dengan (𝑘 + 1)
Hasil ini sama
dengan(2)

7. Contoh2:
Buktikan bahwa pernyataan:
𝑆 𝑛 ∶
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ . . . +
1
(2𝑛−1)(2𝑛+1)
=
𝑛
2𝑛+1
berlaku untuk setiap bilangan asli
n.
Jawab:
• Rumus benar untuk n = 1, karena:
Ruas kanan =
1
(2.1−1)(2.1+1)
=
1
2+1
Ruas kiri =
1
2+1
• Misal rumus berlaku untuk n = k, sehingga
𝑆 𝑘 ∶
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ . . . +
1
(2𝑘−1)(2𝑘+1)
=
𝑘
2𝑘+1
merupakan pernyataan yang
benar . . . . (1)

8. • Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau
𝑆 𝑘 + 1 ∶
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ . . . +
1
(2𝑘−1)(2𝑘+1)
+
1
(2𝑘+1)(2𝑘+3)
=
𝑘+1
2𝑘+3
............(2)
Kita mulai dari pernyataan (1)
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ . . . +
1
(2𝑘 − 1)(2𝑘 + 1)
=
𝑘
2𝑘 + 1
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ . . . +
1
(2𝑘 − 1)(2𝑘 + 1)
+
1
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
=
𝑘
2𝑘 + 1
+
1
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
=
𝑘(2𝑘 + 3)
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
+
1
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
=
𝑘 2𝑘 + 3 + 1
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
Tambahkan kedua ruas
dengan (𝑘 + 1)

9. =
𝑘 2𝑘 + 3 + 1
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
=
(2𝑘 + 1)(𝑘 + 1)
(2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)
=
(𝑘 + 1)
(2𝑘 + 3)
Jadi, 𝑆 𝑛 ∶
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ . . . +
1
(2𝑛−1)(2𝑛+1)
=
𝑛
2𝑛+1
berlaku untuk setiap
bilangan asli n.
Hasil ini sama
dengan(2)

10. Tugas:
Buktikan bahwa
𝑆 𝑛 ∶ 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑛2
=
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
Berlaku untuk semua bilangan asli n.

11. Jawab:
• Rumus benar untuk n = 1, karena
Ruas kanan = 𝑛2 = 12 = 1
Ruas kiri =
1
6
1 1 + 1 2.1 + 1 = 1
• Misal rumus berlaku untuk n = k, sehingga
𝑆 𝑘 ∶ 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑘2
=
1
6
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) merupakan pernyataan
yang benar . . . . (1)
• Harus dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1 atau
𝑆 𝑘 + 1 ∶ 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑘2
+ (𝑘2
+ 2𝑘 + 1) =
1
6
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 +
3)............(2)

12. Kita mulai dari pernyataan (1)
12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑘2
=
1
6
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)
12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑘2
+ 𝑘2
+ 2𝑘 + 1 =
1
6
𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 𝑘2
+ 2𝑘 + 1
=
𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1
6
+ 𝑘 + 1 2
=
𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 6(𝑘 + 1)(𝑘 + 1)
6
=
𝑘 + 1 {𝑘 2𝑘 + 1 + 6 𝑘 + 1 }
6
=
𝑘 + 1 (2𝑘2 + 𝑘 + 6𝑘 + 6)
6

13. =
𝑘 + 1 (𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)
6
=
1
6
𝑘 + 1 (𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)