Dokumen ini membahas sifat-sifat estimator seperti tidak bias, efisien, dan konsisten, serta penjelasan tentang pendugaan interval dan kesalahan standar dari rata-rata. Contoh-contoh disertakan untuk menghitung interval keyakinan dengan tingkat kepercayaan berbeda untuk berbagai populasi. Selain itu, dibahas penerapan distribusi normal dan t-student untuk menghitung interval keyakinan pada rata-rata dan proporsi.

1. Kelompok 9
Hendra Irawan 43216110496
Suganda Petrus Sinaga 43216110515

2.  Sifat – sifat penduga :
a. Tidak Bias
Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika sampel random yang
berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value) dari statistik
sampel sama dengan parameter populasi (µ) atau dapat dilambangkan dengan
E(X)
b. Efisien
Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan
mempunyai varians terkecil (S2x) dari penduga – penduga lainnya.
c. Konsisten
Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai penaksiran (X) yang
semakin mendekati nilai yang sebenarnya μ dengan semakin bertambah nya
jumlah sampel (n).

3.  PENDUGAAN INTERVAL
Suatu interval yang menyatakan selang dimana suatu parameter populasi mungkin
berada.
Bentuk umum interval keyakinan :
(S– ZSx < P < S+ ZSx ) = C
Dimana :
S : Statistik penduga parameter populasi
P : Parameter populasi yang tidak diketahui
Sx : Standar deviasi distribusi sampel statistik
Z : Suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan
pendugaan interval, nilai Z diperoleh dari tabel luas di bawah kurva normal
C : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah ditentukan dahulu
S– ZSx : Nilai batas bawah keyakinan
S+ ZSx : Nilai batas atas keyakinan

4.  CONTOH :
Buatlah rumus umum interval keyakinan sebesar 80% dan 90% apabila BPS
merencanakan akan melakukan survei tingkat suku bunga bank di Indonesia
setelah Bank Indonesia menaikkan suku bunga SBI sebanyak 25 basis poin dari
8,25 menjadi 8,50 pada bulan Mei 2016.
 JAWABAN :
Rumus umum interval (S– ZSx < P < S+ ZSx ) = C
Apabila C = 0,8 maka nilai Z dengan probabilitasnya adalah 0,8/2 = 0,40000
yang mendekati yaitu 0,3997 dan 0,4015.
yang paling mendekati adalah 0,3997 maka nilai Znya adalah 1,28.
Interval Keyakinan : (S – 1,28Sx < P < S + 1,28Sx )
Apabila C = 0,9 maka nilai Z dengan probabilitasnya adalah 0,9/2 = 0,4500
yang mendekati yaitu 0,4495 dan 0,4505.
yang paling mendekati adalah 0,4495 maka nilai Znya adalah 1,65.
Interval Keyakinan : (S – 1,65Sx < P < S + 1,65Sx)

5.  KESALAHAN STANDAR DARI RATA – RATA HITUNG SAMPEL
Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari
rata-rata hitung sampel. Kesalahan standar dari rata-rata hitung dihitung dengan rumus
sebagai berikut:
 Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05:
 Untuk populasi yang terbatas dan n/N> 0,05:
Sx
: Standar deviasi populasi
Sx : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel
n : Jumlah atau ukuran sampel
N : Jumlah atau ukuran populasi

6.  Contoh :
Standar deviasi Laba dari 488 emiten Jan – Sept 2013 adalah 1.657 milliar. Apabila
diambil sampel 20 perusahaan yang melaporkan kinerja keuangannya, berapa standar
error-nya ?
 Jawab :
Jumlah Sampel (n) = 20 Sehingga n/N = 20/488 = 0,04
Jumlah populasi (N) = 488 0,04<0,05
= 1.657 = Rp 370,52milliar
√20
 Apabila sampel (n) = 40 Sehingga n/N = 40/488 =
0,082 > 0,05
Maka rumus yang digunakan adalah untuk populasi yang terbatas
Sx 1,657.00 x √488-40 370.52 x 0.959= 355.37
√20 488-1

7. Rumus standar deviasi sampel (jika standar deviasi dari populasi tdk diketahui)
Maka Standar errornya : untuk populasi tidak terbatas n/N < 0,05
Sx untuk populasi yang terbatas dan n/N> 0,05

8.  MENYUSUN INTERVAL KEYAKINAN
Rumus = untuk populasi tidak terbatas
untuk populasi yang terbatas faktor koreksi menjadi
merupakan rata – rata dari sampel. sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C
dapat disajikan sebagai berikut :
Tingkat keyakinan C/2 Nilai terdekat Nilai Z
0,99 0,495 0,4951 2,58
0,98 0,490 0,4901 2,33
0,95 0,475 0,4750 1,96
0,90 0,450 0,4505 1,65
0,85 0,425 0,4251 1,44
0,80 0,400 0,3997 1,28

9. Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun
interval beberapa keyakinan sebagai berikut:
1. Interval keyakinan 99%: ± 2,58 s/√n
2. Interval keyakinan 98%: ± 2,33 s/√n
3. Interval keyakinan 95%: ± 1,96 s/√n
4. Interval keyakinan 90%: ± 1,65 s/√n
5. Interval keyakinan 85%: ± 1,44 s/√n
6. Interval keyakinan 95%: ± 1,28 s/√n

10.  INTERVAL KEYAKINAN UNTUK RATA - RATA
1. DISTRIBUSI NORMAL & STANDAR DEVIASI POPULASI DIKETAHUI
Apabila distribusi sampling rata-rata mendekati normal dan standar deviasi
populasi diketahui, maka dapat dicari nilai standar error x.
Rumus =Probabilitas ( – Z /2 < µ < + Z /2 ) = C , atau
Probabilitas ( ± Z /2 ) = C
dimana :
= Rata-rata dari sampel
Z /2 = Nilai Z dari tingkat kepercayaan
µ = Rata-rata populasi yang diduga
= Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel
C = Tingkat keyakinan
= (1 – C)

11.  Contoh :
Selama pengamatan triwulan pertama tahun 2013, standar deviasi suku
bunga deposito untuk jangka waktu 1 tahun adakah 2,25%.
Untuk melihat pergerakan suku bunga , diambil 10 sampel bank dari total
128 bank di Indonesia. Hasilnya, rata – rata suku bunga si 10 bank tersebut
adalah 3,77%. Buatlah selang kepercayaan untuk rata – rata populasi dengan
tingkat kepercayaan 95% !
 Jawaban :
n/N = 10/128 = 0,078 > 0,05 sehingga merupakan populasi terbatas
Diketahui : =2,25 n = 10 = 3,77 = 1-0,95 = 0,05
Interval keyakinannya : – Z /2 < µ < + Z /2
Z /2 = 0,05/2 = 0,025, (Z|P= 0,5 - 0,025 = 0,47500 = 1,96
Nilai Standar eror :
Sx = 2,25 x √128-10 = 0,712 x 0,964 = 0,686
√10 128-1
Intervalnya : (3,77-1,96.0,686<µ<3,77+1,96.0,686) = 2,43 <µ< 5,11
Jadi , interval suku bunga deposito pada triwulan I tahun 2008 dengan
tingkat keyakinan 95% akan berkisar 2,43% sampai 5,11% per tahun.

12.  2. DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI
TIDAK DIKETAHUI
Rumus : Untuk populasi tidak terbatas
Untuk populasi terbatas
Karena standar error populasi diduga dengan Sx maka variabel random tidak
mengikuti distribusi normal tetapi Variabel random mempunyai distribusi t-student,
merupakan distribusi kontinu, yang mempunyai nilai rata-rata 0 dan berbentuk simetri.
Distribusi t-student walaupun bukan distribusi normal , apabila jumlah sampelnya
semakin besar, maka akan mendekati distribusi normal.
bagaimana mencari nilai t ? Untuk mencari nilai t digunakan tabel nilai t . Pada kolom
merupakan tingkat keyakinan yang diperoleh dari 1 – C. Pada baris merupakan derajat
bebas (df) yang diperoleh dari ( n – 1 ). Perpotongan antara derajat bebas pada baris
dan tingkat keyakinan pada kolom akan menghasilkan nilai t.

13.  Contoh :
Sebuah survey dilakukan terhadap 9 perusahaan dari 59 perusahaan Reksadana ternyata
mampu memberikan hasil investasi rata-rata 13,17% dengan standar deviasi 1,83%.
Dengan tingkat kepercayaan 95%, buatlah interval keyakinan untuk rata-rata hasil
investasi Reksadana tersebut !
 Jawaban :
Diketahui : n = 9 N = 59 Maka n/N = 9/59 = 0,15 > 0,05
Rumus :
Standar error : = 0,57
Nilai tingkat keyakinan = 1- C = 1 – 0,95 = 0,05
= 2,3060, diperoleh dari df = 9-1 = 8 dan sehingga = 0,025
Interval keyakinan :
( – Sx< µ< + Sx) = 13,17- 2,3060( 0,57) < µ < 13,17+ 2,3060( 0,57)
= 11,86 < µ < 14,48
Jadi nilai rata-rata investasi di perusahaan Reksadana 95% akan berada pada interval
11,86% sampai 14,48 %

14.  3. DISTRIBUSI SAMPLING MENDEKATI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI
POPULASI TIDAK DIKETAHUI
: Rata-rata dari sampel
: Nilai Z dari tingkat kepercayaan
µ : Rata-rata populasi yang diduga
Sx : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata
hitung sampel
C : Tingkat keyakinan
:(1 – C)
 CONTOH :
Seorang mahasiswa mencoba mengetahui rata – rata pengeluaran untuk buah dan sayur pada
kelompok pendapatan >5.000.000 per bulan. Sampel yang diambil sebanyak 200 orang di
Wilayah Jakarta. Hasil penelitian menunjukkna rata – rata pengeluaran untuk buah dan sayur
yaitu Rp 800.000 dengan standar deviasi Rp 120.000,-. Buatlah interval keyakinan rata –
rata pengeluaran untuk buah per bulannya dengan tingkat keyakinan 95% !
 JAWABAN
1. Sampel yang diambil > 30 maka termasuk populasi yang tidak terbatas
2. Perhitungan standar error : = 120 = 8,49
√200
3. Nilai Z untuk probabilitas = 0,4750 (0,95/2) = 1,96
4. Interval Keyakinan : (800-1,96 x 8,49 < µ <(800+1,96 x 8,49)
= 783,36 < µ < 816,64
JADI, nilai rata – rata pengeluaran untuk buah dan sayur pada tingkat keyakinan 95% berada
pada interval
Rp 783,36 ribu sampai Rp 816,64 ribu

15.  INTERVAL KEYAKINAN UNTUK PROPORSI
Standar deviasi proporsi sampel Untuk populasi yang terbatas
Standar deviasi proporsi sampel Untuk populasi yang tidak terbatas
Bentuk pendugaan proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut:
Probabilitas (p - Z /2.Sp<P< p + Z /2.Sp)
p : Proporsi sampel
: Nilai Z dari tingkat keyakinan
P : Proporsi populasi yang diduga
Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi
C : Tingkat keyakinan,
:1 – C

16.  Contoh :
Sektor perbankan memberikan fasilitas kartu debit tanpa password.
Kepada 1500 pelanggan diberikan pilihan untuk menggunakan atau
tidak. Hasilnya menunjukkan bahwa 600 orang setuju untuk
menggunakannya, sisanya memilih untuk tidak menggunakannya.
Dengan tingkat kepercayaan 99%, tentukan interval keyakinan dari
proporsi yang setuju terhadap penggunaan kartu debit tersebut.
 Jawab :
1. Proporsi nasabah yang setuju : 600/1500 = 0,4 dengan jumlah sampel 1500. Maka
standar errornya :
=
2. Nilai Z untuk probabilitas = 0,4950 (0,99/2) = 2,58
3. Interval keyakinan adalah sbb :
Probabilitas (p – Z /2.Sp<P< p + Z /2.Sp)
Jadi , Interval keyakinan proporsi nasabah yang mau menggunakan kartu debit adalah
0,3996 sampai 0,4004
0,4(1-0,4) = √0.24 = √0.00016 = 0.013
1500 - 1 1499
=(0,4 - 2,58 x 0.00016 < P < 0,4 + 2,58 x 0.00016)
0.3996 < P < 0.4004