Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi waktu ke domain s. Metode ini bergantung pada transformasi Laplace yang mengubah fungsi f(x) menjadi L{f(x)}. Beberapa contoh transformasi Laplace antara lain untuk fungsi konstan, eksponensial, trigonometri, dan kombinasinya. Transformasi Laplace memungkinkan penyelesaian persamaan diferensial.

1. 3. Transformasi Laplace
Persamaan differensial mempunyai penyelesaian yang mengandung beberapa
konstanta integrasi yang tidak diketahui seperti A, B, C. Nilai dari konstanta-konstanta ini,
diperoleh dengan menerapkan syarat–syarat batas pada penyelesaiannya, suatu prosedur
yang seringkali cukup panjang. Salah satu tipe persamaan differensial tertentu dapat
diketahui dengan menghitung selama proses penyelesaian, yang lebih sederhana.
Metode ini bergantung pada transformasi Laplace (Laplace transform). Jika f(x)
adalah suatu fungsi pada x yang terdefinisi untuk x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari
f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, :
∞
∫e
− sx
L{f(x)} = f(x) dx
x= 0
dengan s adalah suatu variabel yang nilai-nilainya dipilih sedemikian hingga integral semi-
infinitifnya selalu konvergen.
Contoh 51
Carilah transformasi Laplace dari f(x) = 1 ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
∫e
− sx
L{1} = (1) dx , untuk s = 0
x= 0
Maka,
∞
∫e
− sx
L{1} = dx
x= 0
∞ R
R
= ∫
x= 0
e − (0)(x) dx = lim
R→ ∞ ∫ 1 dx
x= 0
= R→ ∞ x 0 = R→ ∞ R = ∞
lim lim
∴Integralnya Divergen. Untuk s ≠ 0
∞ R
∫e ∫e
− sx − sx
dx = lim dx
R→ ∞
x= 0 x= 0
R
 1   1 − sR 1 
= lim  − e − sx  = R→ ∞  − e + 
lim
R→ ∞
 s  x= 0  s s
64

2. Untuk s < 0, –sR > 0; maka limitnya adalah ∞ dan integralnya menjadi divergen. Untuk
1 1
s > 0, – sR < 0; maka limitnya adalah dan integralnya konvergen, maka L{1} = , s>0.
s s
Dengan cara yang sama, jika k adalah sembarang konstanta maka berlaku,
k
L{k} = , s > 0.
s
Contoh 52
Tentukan transformasi Laplace dari f(x) = e-kx, x ≥ 0 dengan k adalah konstanta?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
∫e
− sx
L{f(x)} = f(x)dx
x= 0
Maka,
∞
∫e
− sx
L{ e -kx
}= e − kx dx
x= 0
R
∫e
− sx
lim
= R→ ∞ e − kx dx
x= 0
R
 e − (s + k)x   e − (s + k)R − 1 
= lim   = R→ ∞ 
lim  

R → ∞  − (s + k) 
  x= 0  − (s + k) 
1
= , s + k > 0, jika s < – k integralnya menjadi divergen.
(s + k)
Contoh 53
Carilah transformasi Laplace dari f(x) = x2 ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
∫e
− sx
2
L{ x } = (x 2 ) dx
x= 0
R R
 x 2 − sx 2x − sx 2 − sx 
∫x
− sx
lim
= R→ ∞
2
e dx = lim  − e − 2e − 3e 
R→ ∞  
x= 0  s s s  x= 0
 R 2 − sR 2R − sR 2 − sR 2 
lim  −
= R→ ∞  e − 2 e − 3e + 3 

 s s s s 
65

3. Untuk s < 0,
 R 2 − sR 
lim  − e  = ∞, dan bentuk integralnya divergen. Untuk s > 0, dengan
R→ ∞  s 
 
menggunakan aturan L’Hopital’s diketahui,
 R 2 − sR  − R2 − 2R − 2
lim  −
 e  = lim
 = lim 2 sR = lim 3 sR = 0
R→ ∞
 s  R → ∞ se
sR
R→ ∞ s e R→ ∞ s e
 2R − sR  − 2R − 2
lim  − e  = lim 2 sR = lim 3 sR = 0
R→ ∞
 s  R→ ∞ s e R→ ∞ s e
dengan cara yang sama diketahui,
 2 
lim  − 3 e − sR  = 0,
R→ ∞
 s 
2
sehingga integral soal di atas konvergen dan F(s) = .
s3
Untuk s = 0,
∞ ∞ R
R3
∫
x= 0
e − sx (x 2 ) dx = ∫
x= 0
e − s(0) (x 2 ) dx = lim
R→ ∞ ∫
x= 0
x 2 dx = lim
R→ ∞ 3
dx = ∞.
2
Sehingga dapat disimpulkan bahwa L{ x2} = , untuk s > 0.
s3
Contoh 54
Carilah transformasi Laplace dari f(x) = xekx ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞ ∞   xe (k − s)x 
R R
e (k - s)x 
∫e ∫ xe dx = lim    ∫ k− s 
− sx ( k − s)x
L{xe }= kx kx
xe dx = − dx 
R→ ∞  k − s 
x= 0 x= 0 
  x= 0 x= 0 
R
  xe (k − s)x  e (k - s)x 
= lim   −
 (k − s) 2 
R→ ∞  k − s
   x= 0
  Re (k − s)R  0  e (k − s)R 1 
= R→ ∞  
lim  −
 (k − s) −  − 
 k − s  (k − s) (k − s) 2  
2

1 Re (k − s)R e (k − s)R 1
= 2 + lim − lim = , untuk s > k
(k - s) R→ ∞ k− s R→ ∞ k − s (k - s) 2
66

4. Contoh 55
Carilah L{sin kt}, k adalah konstanta?
Penyelesaian
Diketahui,
Dengan menggunakan rumus dan Integral parsil, maka
e αt (α sin βt − β cos βt)
∫ e αt sin βt dt =
α2 + β2
dan
e αt (α cos βt + β sin βt)
∫
αt
e cos βt dt = , sehingga
α2 + β2
∞ P P
e -st ( − s sin kt − k cos kt)
∫e sin kt dt = lim ∫ e sin kt dt = lim
− st - st
L{sin kt}=
t= 0
P→ ∞
t= 0
P→ ∞ s2 + k 2 0
 k e sP ( − s sin kP − k cos kP) 
lim
= P→ ∞  2 − 
s + k s2 + k 2
2

k
= , untuk s > 0.
s + k2
2
Contoh 56
Carilah L{cos kt}, k adalah konstanta?
Penyelesaian
Diketahui,
∞ P P
e -st ( − s cos kt + k sin kt)
L{cos kt}= ∫ e cos kt dt = P → ∞ ∫ e cos kt dt = lim
− st - st
lim
t= 0 t= 0
P→ ∞ s2 + k 2 0
 s e -sP (s cos kP − k sin kP) 
lim  2
= P→ ∞ − 
s + k s2 + k 2
2

s
= , untuk s > 0.
s + k2
2
Contoh 57
Carilah L{eiat}, ia adalah konstanta bilangan kompleks?
Penyelesaian
Diketahui dari penyelesaian contoh 52,
∞
1 s + ia
∫e
− sx
L{e }=iat e iat dx = = 2
x= 0 s − ia s + a2
67

5. Dari Formula Euler, diketahui bahwa eiat = cos at + i sin at,
Jadi,
∞
∫e
− sx
iat
L{e }= e iat dx
x= 0
∞
∫e
− st
= (cos at + i sin at) dt
t= 0
∞ ∞
= ∫
t= 0
e − st cos at dt + i ∫ e − st sin at dt
t= 0
= L{cos at} + i L{sin at}
s a
= 2 + i 2 .
s + a2
s + a2
Contoh 58
Tentukan transformasi Laplace dari f(x) = e3x ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
∫e
− sx
3x
L{e } = e 3 x dx
x= 0
R
∫e
− sx
lim
= R→ ∞ e 3x dx
x= 0
R
 e − (s − 3)x   e − (s - 3)R − 1 
= lim   lim 
= R→ ∞  

R → ∞ − (s − 3) 
  x= 0  − (s − 3) 
1
= . s>3
(s − 3)
Contoh 59
Tentukan transformasi Laplace dari f(x) = e-4x ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
∫e
− sx
L{ e -4x
}= e − 4 x dx
x= 0
R
∫e
− sx
lim
= R→ ∞ e - 4x dx
x= 0
68

6. R
 e − (s + 4)x   e − (s + 4)R − 1 
= lim   = R→ ∞ 
lim  
R → ∞  − (s + 4) 
  x= 0  − (s + 4)  
1
= . s < – 4.
(s + 4)
Contoh 60
Carilah L{sin πt} ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
π
∫e
− st
L{sin πt}= sin πt dt = , untuk s > 0.
t= 0 s + π2
2
Contoh 61
Carilah L{cos 2x} ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
s
∫e
− sx
L{cos 2x}= cos 2x dx = , untuk s > 0.
t= 0 s + 4
2
Contoh 62
Carilah L{sin (–3x} ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
− 3
∫e
− sx
L{sin –3x}= sin ( − 3x) dx = , untuk s > 0
t= 0 s + 9
2
Contoh 63
Carilah L{cos (–5x} ?
Penyelesaian
Diketahui,
∞
s
∫e
− sx
L{cos (–5x)}= cos ( − 5x) dx = , untuk s > 0.
t= 0 s + 25
2
69

7. Contoh 64
Carilah transformasi Laplace dari f(t) = te-4t ?
Penyelesaian
Diketahui,
1 1
L{te-4t}= 2 =
( − 4 − s) (s + 4) 2
Contoh 65
− 1 t≤ 4
Carilah L{f(t)} jika f(t) =  ?
 1 t> 4
Penyelesaian
Diketahui,
4 ∞
∫ e − st ( − 1) dt + ∫e
− st
L{ f(t)} = (1) dt
t= 0 4
4 R
e − (s)t e − 4s 1  - 1 − Rs  1 − 4s
+ lim ∫ e dt = e + e
− st
= – + R→ ∞ 
lim
s t= 0
R→ ∞
4 s s  s  s
2e − 4 s 1
= – untuk s > 0.
s s
3.1 Linieritas
Contoh 66
Carilah L{3 + 2x2}?
Penyelesaian
Diketahui,
L{3 + 2x2} = 3L{1} + 2L{x2}
1 2 3 4
= 3 +2 3 = + 3 .
s s s s
Contoh 66
Carilah L{20x + 4x2}?
Penyelesaian
Diketahui,
20 8
L{20x + 4x2} = 20L{x} + 4L{x2} = 2 + .
s s3
70

8. 3. 2 Transformasi Menurut Fungsi Gamma
Definisi Fungsi Gamma Γ(p), dapat diturunkan dari persamaan Γ(p+1) = pΓ(p),
untuk kasus p > 0. Fungsi gamma dapat didefinisikan, bahwa untuk setiap bilangan riil p,
berlaku persamaan,
∞
∫x
p− 1
Γ(p) = e − x dx , Γ(½) = √π
0
dengan menggunakan integral parsil, maka
∞ r
∫x ∫x
(p + 1)− 1 −x p
Γ(p+1) = e dx = lim e - x dx
r→ ∞
0 x= 0
 r
r

= lim  − x e ∫ px p − 1 dx 
p −x
+
r→ ∞  0 
 0 
( )
∞
= lim − r e + 0 + p ∫ x e dx
p −r (p − 1) − x
r→ ∞
0
= pΓ(p)
p −r
Penyelesaian lim r e = 0 dimana rpe-r dapat ditulis sebagai rp/er sehingga dengan
r→ ∞
mengunakan aturan L’Hopital’s akan didapatkan limit tersebut.
Contoh 67
Buktikan Γ(1) = 1!
Penyelesaian
Diketahui,
= lim ( − e + 1) = 1.
∞ r
Γ(1) = ∫ x 1− 1 e − x dx = lim
r→ ∞ ∫e
-x
(
dx = lim − e − x
r→ ∞
) r
0 r→ ∞
−r
0 x= 0
Contoh 68
Buktikan Γ(n+1) = n!
Penyelesaian
Dengan aturan induksi matematika, maka diketahui
Untuk n = 1,
= lim ( − e + 1) = 1.
∞ r
Γ(1) = ∫x
1− 1 −x
e dx = lim
r→ ∞ ∫e
-x
(
dx = lim − e − x
r→ ∞
) r
0 r→ ∞
−r
0 x= 0
71

9. Dengan asumsi bahwa Γ(n+1) = n! untuk n = k maka akan dibuktikan bahwa n = k + 1
Sehingga dari contoh sebelumnya diketahui, p = k + 1,
Γ[(k+1)+1] = (k+1)Γ(k+1) = (k+1)(k!) = (k+1)!
Maka,
Γ(n+1) = n! benar berdasarkan matematika induksi.
Dapat dibuktikan bahwa 0! = Γ(0 + 1) = Γ(1) =1
Contoh 69
Buktikan Γ(p+k+1) = (p+k)(p+k – 1) …(p+2)(p+1) Γ(p+1).
Penyelesaian
Diketahui,
Γ(p+k+1) = Γ[(p+k)+1)] = (p+k) Γ(p+k)
= (p+k)Γ[(p+k–1)+1)] = (p+k)(p+k – 1)Γ(p+k–1) = …
= (p+k)(p+k – 1) … (p+2)(p+1)Γ(p+1)
Contoh 70
Selesaikanlah Γ(6)/2Γ(3) !
Penyelesaian
Diketahui,
Γ(6) 5! (5)(4)(3)(2)(1)
= = = 30
2Γ (3) 2(2! ) 2(2)(1)
Contoh 71
Selesaikanlah Γ(3/2)/Γ(1/2) !
Penyelesaian
Diketahui,
Γ(3/2) (1/2)Γ1/2)) 1
= =
Γ (1/2) Γ (1/2) 2
Contoh 72
∞
∫x e − x dx
6
Selesaikanlah
0
Penyelesaian
∞
∫x e − x dx = Γ(7) = 6! = 720
6
0
72

10. Contoh 73
∞
∫x e − 2 x dx
3
Selesaikanlah
0
Penyelesaian
Misalkan 2x = y,
∞ 3 ∞
 y  − y dy 1 Γ(4) 24 3
∫0  2  e 2 = 2 4 ∫
0
y 3 e − y dy =
2 4 =
16
=
2
3. 3 Transformasi Laplace Invers
Transformasi Laplace adalah suatu pernyataan dalam variabel s yang dinotasikan
dengan F(s). Dinyatakan bahwa f(x) dan F(s) = L{f(x} membentuk suatu pasangan
transformasi. Ini berarti bahwa F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x). Sedangkan f(x)
adalah transformasi Laplace Invers dari F(s) atau dapat di tulis sebagai :
f(x) = L-1{F(s)}
4
sehingga jika f(x) = 4 maka transformasi Laplacenya adalah L{f(x} = F(s) = ,
s
4
dan sebaliknya jika F(s) = , maka transformasi Laplace inversnya L-1{F(s)} = f(x) = 4.
s
Contoh 74
1
Tunjukkan transformasi Laplace Invers dari F(s) = ?
s-1
Penyelesaian
Diketahui,
L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,
maka,
1  1 
L{e-kx} = , sehingga L-1   = e-(-1)x = ex
s+ k  s - 1
Contoh 75
1
Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = ?
s-1
Penyelesaian
Diketahui,
L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,
maka,
73

11. 1  1 
L{e-kx} = , sehingga L-1   = e-(-1)x = ex
s+ k  s - 1
Contoh 76
-1
Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = ?
s
Penyelesaian
Diketahui,
k 1 − 1
L-1{ } = k, L-1{ − } = L-1{ } = –1
s s s
Contoh 77
1
Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = ?
s-5
Penyelesaian
Diketahui,
L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,
maka,
1  1 
L{e-kx} = , sehingga L-1   = e-(-5)x = e5x
s+ k  s - 5
Contoh 78
3
Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = ?
s+ 2
Penyelesaian
Diketahui,
L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,
maka,
1 3
L{e-2x} = , dan L{3e-2x}= 3L{e-2x} =
s+ 2 s+ 2
dan,
 3 
L-1   = 3e-2x
 s + 2
Contoh 79
3
Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = − ?
4s
74

12. Penyelesaian
Diketahui,
3 ( − 3/4)  3  − 3/4 
F(s) = − = , sehingga L-1  −  = L-1   = –3/4
4s s  4s   s 
Contoh 80
1
Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = ?
2s − 3
Penyelesaian
Diketahui,
1 1
2  1   1 
2 3
x
F(s) = = , sehingga f(x) = L-1   = L-1   = 1
e2
2s − 3 s− 3
2  2s − 3   s− 3
2
2
3. 4 Transformasi Laplace dari Suatu Turunan
Jika diketahui suatu fungsi f(x) memiliki transformasi Laplace L{f(x)} = F(s) maka
transformasi Laplace dari turunannya f′(x) adalah :
∞
∫e f ′(x)dx
− sx
L{f′(x)} =
x= 0
Dengan integral parsil maka :
∞
∫e f ′(x)dx
− sx
L{f′(x)} =
x= 0
∞ ∞
∫ u(x)dv(x) = [ u(x)v(x)] ∫ v(x)du(x)
∞
= x= 0 −
x= 0 x= 0
dengan u(x) = e-sx maka du(x) = -se-sx dx dan dv(x) = f′(x)dx maka v(x) = f(x). Sehingga
∞
L{f′(x)} = e [ - sx
] ∞
f(x) x = 0 + s ∫ e - sx f(x)dx
x= 0
= [0 – f(0)] + s F(s) jika e-sxf(x)→ 0, x → ∞
dengan kata lain :
L{f′(x)} = sF(s) – f(0)
Dua Sifat Dari Transformasi Laplace
(1). Transformasi dari suatu jumlah (atau selisih) dari fungsi adalah jumlah (atau selisih)
dari masing-masing transformasi itu sendiri.
L{f(x) ± g(x)} = L{f(x)} ± L{g(x)}
75

13. Dan L-1{F(s) ± G(s)} = L-1{F(s)} ± L-1{G(s)}
(2). Transformasi dari suatu fungsi dikalikan dengan suatu konstana adalah konstanta
tersebut dikalikan dengan transformasi dari fungsi tersebut.
L{kf(x) = kL{f(x)} dan L-1{kF(s)= kL-1{F(s)} dengan k adalah konstnta.
Contoh 81
Buktikan dengan menggunakan persamaan : L{f′(x)} = sF(s) – f(0) bahwa, transformasi
Laplace berlaku untuk :
f′(x)} + f(x) = 1 dimana f(0) = 0?
Cari fungsi F(s)nya ?
Penyelesaian
Diketahui,
L{f′(x) + f(x)} = L{1}
atau,
L{f′(x)} + L{f(x)} = L{1}
1
[sF(s) – f(0)] + F(s) =
s
sehingga
1
(s + 1)F(s) – f(0) = dengan syarat f(0) = 0, maka
s
1 1 1 1
(s + 1)F(s) = , sehingga F(s) = atau F(s) = −
s s(s + 1) s s+ 1
1 A B
dengan menggunakan pecahan parsial = + , maka, 1 = A(s+1) + Bs
s(s + 1) s s+ 1
1 1
sehingga A = 1 dan B = -1. ∴ F(s) = − .
s s+ 1
Sebaliknya f(x) = L-1{F(s)}
1 1 
= L-1  − 
 s s + 1
− 1  1 −1 1 
= L  − L  
 s  s + 1
= 1 – e-x
76

14. Contoh 82
Cari : L{e2t} ?
Penyelesaian
Diketahui,
1 d  1  1
L{e2t} = , L{te2t} = −   =
s− 2 ds  s − 2  ( s − 2) 2
Contoh 83
Cari : L{t2e2t} ?
Penyelesaian
Diketahui,
1 d2  1  2
2t
L{e } = , L{t e2t} = − 2 
2
 =
s− 2 ds  s − 2  ( s − 2) 3
Contoh 84
Cari : L{x5e-3x} ?
Penyelesaian
Diketahui,
1 d5  1  120
L{e-3x} = , L{x5e-3x} = − 5   =
s+ 3 ds  s + 2  ( s + 3) 6
Contoh 85
dn
Buktikan bahwa jika L{f(t)} = F(s) maka L{tnf(t)} = (– 1)n n
F(s) = (–1)nF(n)(s), dengan
ds
n = 1, 2, …
Penyelesaian
Diketahui,
∞
∫e
− st
F(s) = f(t)dt , berdasarkan aturan Leibnitz’s untuk turunan pada integral
t= 0
bertanda,
∞ ∞
dF d ∂ − tx
∫= 0e f(t)dt = ∫
− tx
= F′(s)= e f(t)dt
ds ds t t= 0
∂s
∞ ∞
∫ − te ∫e
− tx − tx
= f(t)dt = − {tf(t)}dt = –L{tf(t)}
t= 0 t= 0
dF
Jadi L{tf(t)} = − = –F′(s), selanjutnya dengan metode induksi dapat dibuktikan untuk
ds
turunan ke – n.
77

15. Tabel Transformasi Laplace
f(x) = L-1{f(s)} F(s) = L{f(x)} f(x) = L-1{f(s)} F(s) = L{f(x)}
k
k , s>0
s
1
x , s>0
s2
√x ½√π s-3/2 s > 0
1
e-kx s > –k
s+ k
1
x e-kx s > –k
(s + k) 2
k
sin kx s>0
s + k2
2
s
cos kx s>0
s + k2
2
k
sinh kx s>0
s − k2
2
s
cosh kx s>0
s − k2
2
2ks
x sin kx s>0
(s + k 2 )2
2
s2 − k 2
x cos kx s>0
(s 2 + k 2 )2
n
e-mx sin nx s>0
(s + m) 2 + n 2
s-m
e-mx cos nx s>0
(s + m) 2 + n 2
2k 3
sin kx–kx cox kx s>0
(s 2 + k 2 )2
1 -x/k 1
e
k 1 + ks
1 -xk 1
(e – 1)
k s(s − k)
1
1 - e-x/k
s(1 + ks)
1 -x/k 1
xe
k2 ( 1 + ks ) 2
e kx − e mx 1
k− m (s − k)(s − m)
78

16. e -x/k − e -x/m 1 kx s3
cos kx – sin kx
k− m (1 + ks)(1 + ms) 2 (s 2
+ k2 ) 2
s
(1 + kx)ekx k3
(s − k) 2 ½(sinh kx – sin kx)
s4 − k 4
1 s
(k – x)e-x/k k2s
k3 (1 + ks) 2 ½(cosh kx – cos kx)
s4 − k 4
ke x/k − me x/m s (n − 1)!
(s − k)(s − m) xn-1 (n = 1, 2, …) s>0
k− m sn
1 kx 1 1/√x √π s-1/2
(e – 1 – kx)
k2 s (s − k)
2
(1)(3)(5)...(2n − 1)! π − n− 1/2
xn–1/2 (n = 1, 2, …) n s
2k 2 2
sin2 kx (n − 1)!
s(s 2 + 4 k 2 )
xn-1ekx (n = 1, 2, …) s>k
(s − k) n
2k 2
sinh2 kx kx kx s3
s(s 2 − 4 k 2 ) cos cosh
2 2 s4 + k 4
s3
cos kx cosh kx kx kx k 2s
s 4 + 4k 4 sin sinh
2 2 s4 + k 4
ks 2
½(sin kx+kx cos kx)
(s 2
+ k2 ) 2
I. Latihan
1. Tentukan Transformasi Laplace dari :
a. f(x) = –3 b. e
-3x 2x
c. f(x) = –5 e d. e e. f(x) = 2e7x – 2
2. Tentukan Transformasi Laplace invers dari
1 1
a. F(s) = − b. F(s) =
s s− 5
3 3 1
c. F(s) = d. F(s) = − e.
s+ 2 4s 2s − 3
3. Tentukan penyelesaian soal berikut dengan menggunakan fungsi gamma :
∞ ∞
∫ x 3 e − x dx ∫x e − 1 / 3 x dx
6
a. b.
0 0
∞ ∞
c. ∫ e dx ∫
2 3
−x
d. y e − y dy
0 0
∞ ∞
dx
e. ∫ 3 dx ∫ ( − ln x )
2
− 4z
f.
0 0
4. Tentukan :
a. L{3 + 2x} b. L{x + 2x2} c. L{-15x2 + 3x}
d. L{2x2 – 3x + 4} e. L{19x3 – 40√x } f. L{14x3/2 +13x – 10x1/2}
79

17. g. L {5 sin x + 10 cos x} h. L {f(x)} jika f(x) = sin 3x + x3 – 25x
5. Tentukan :
 1   6 
a. L-1   b. L-1  4 
 s(1 + 2s)   (s − 9) 
 2s   1 
c. L-1  4  d. L-1  2 
 s + 4  s + 9
 6   s+ 3 
e. L-1   f. L-1  2 
 2s − 3   s + 5
 3s + 2   1 
g. L-1  5  h. L-1  2 
 (s − 1)   s − 2s + 9 
 4s + 12   6s − 4 
i. L-1  2  j. L-1  2 
 s + 8s + 16   s − 4s + 20 
Jawaban :
3 e 1
1. a. L{–3} = − b. L{e} = c. L{e-kx} =
s s s+ k
5 2e -2
d. L{–5e-3x} = − e. L{2e7x – 2} =
s+ 3 s− 7
k 1 − 1
2. a. L-1{ }= k, L-1{ − }= L-1{ }= –1
s s s
1 1
b. L-1{ }= e-kx, L-1{ }= e-(-5)x = e5x
s+ k s− 5
1 3 3
c. L-1{ }= e-2x, dan L{3e-2x }= 3L{e-2x }= , ∴ L-1{ }= 3e-2x
s+ 2 s+ 2 s+ 2
3 ( − 3 4) 3 − 3/4
d. F(s) = − = sehingga L-1{ − }= L-1{ }= –3/4
4s s 4s s
1 1
1 2 -1
1 -1 2 1 3/2x
e. F(s) = = 3 sehingga f(x) = L { }= L { 3 }= e
2s − 3 s− 2 2s − 3 s− 2 2
∞ ∞
∫ x p - 1 e − x dx ⇒ ∫x e − x dx = Γ (4) = 3! = 6
3
3. a. Γ (p) =
0 0
∞
1  1 1
∫x e − 1 / 3 x dx = 37Γ(7) = 376! = 1574640
6
b. c. Γ  = π
0 2  2 2
1  1 Γ(1/2) Γ( π )  1
d. Γ  = π e. = f. Γ   = π
3  2 3 2 4 ln 3 4 ln 3  2
3 4 1 2
4. a. L{3 + 2x} = + 2 b. L{x + x2} = 2 + 3
s s s s
3 30 4 3 4
c. L{–15x2 + 3x} = 2 – 3 d. L{2x2 – 3x + 4} = 3 – 2 +
s s s s s
114 20 π 5 + 10s
e. L{19x3 – 40√x } = 4 – f. L{5 sin x + 10 cos x} = 2
s s 3/2 s +1
80

18. 21 π 13 π
g. L{14x3/2 +13x – 10x1/2}= + 2 – 10 3/2
2s 5/2
s 2s
3 3! 25
h. L{f(x)} jika f(x) = sin 3x + x3 – 25x ∴ L{f(x)} = + 4 -
s + 9
3
s s
 1   6 
5. a. L-1   = 1 – e-t/2 b. L-1   = t3e9t
 s(1 + 2s)   (s − 9) 4 
 2s   1  1
c. L-1  4  = ½ (cosh√2t - cos√2 t d. L-1  2  = sin 3t
 s + 4  s + 9 3
 6   s+ 3  3
e. L-1   = 3e3t/2 f. L-1  2  = cos√5 x+ sin√5 x
 2s − 3   s + 5 5
 3s + 2  5 4 t  1  1 x
g. L-1  5  = ½t e +
3 t
te h. L-1  2  = e sin√8x
 (s − 1)  24  s − 2s + 9  8
 4s + 12 
i. L-1  2  = 4e-4t(1 – t)
 s + 8s + 16 
 6s − 4 
j. L-1  2  = 2e2t(3 cos 4t + sin 4t)
 s − 4s + 20 
81