1. Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com)
March 14, 2013
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

2. Pendahuluan
Fungsi arus (ψ)
Konsep
Rumus Terkait
Contoh
Rotasi
Kecepatan Potensial
Konsep
Rumus Terkait
Contoh
Hubungan antara fungsi arus dengan kecepatan potensial
kecepatan petensial kompleks
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

3. Garis Arus
Pandang fluida 2D dan tak termampatkan
Persamaan kontinuitas
∂ρ ∂ρu ∂ρv ∂ρw
+ + + =0
∂t ∂x ∂y ∂z
kasus 2D, persamaan diatas menjadi
ˆ
∂u ∂v ∂u
+ =0 v= − dy
∂x ∂y ∂x
u dan v saling berhubungan.
Adakah fungsi yang memenuhi keduanya?
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

4. Fungsi Arus
Anggap
∂ψ
u=
∂y
Maka
ˆ ˆ
∂u ∂2ψ
v = − dy = − dy
∂x ∂x∂y
ˆ
∂ ∂ψ ∂ψ
= − dy = −
∂y ∂x ∂x
Sebagai ganti dari dua fungsi u dan v , kita hanya perlu
menyelesaikan satu fungsi stream (ψ)
Orde PDE-nya bertambah satu
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

5. Fungsi Arus
Apakah yang dimaksud dengan fungsi stream ψ?
Persamaan untuk garis arus dalam 2D diberikan oleh
ψ = konstan
Garis arus bisa terdapat pada fluida 3D, tetapi tidak dengan
fungsi arus
Kenapa? (Jika kita bekerja dengan kecepatan potensial, kita
akan segera tahu)
Dalam 3D, garis arus memenuhi persamaan
dx dy dz
= =
u v w
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

6. Rotasi
Definisi Rotasi
Anggap v |x < v |x+∆x dan u|y < u|y +∆y , rotasi di definisikan
sebagai
d α+β
ω=
dt 2
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

7. Rotasi
untuk menentukan rotasi
∆y1
tan α =
∆x
∆y1 = v |x+∆x ∆t − ( v |x ∆t)
v |x+∆x − v |x ∆t
α = arctan
∆x
begitu juga
− u|y +∆y − u|y ∆t
β = arctan
∆y
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

8. Rotasi
untuk menentukan rotasi
∆y1
tan α =
∆x
∆y1 = v |x+∆x ∆t − ( v |x ∆t)
v |x+∆x − v |x ∆t
α = arctan
∆x
begitu juga
− u|y +∆y − u|y ∆t
β = arctan
∆y
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

9. Menghitung rotasi
d α+β 1 α + β|t+∆t − α + β|t
ω = = lim
dt 2 2 ∆t→0 ∆t
( v |x+∆x − v |x )∆t
arctan ∆x
1
= lim
2 ∆t,∆x,∆y →0 ∆t
( u|y +∆y − u|y )∆t
arctan ∆y
1
− lim
2 ∆t,∆x,∆y →0 ∆t
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

10. untuk θ mendekati nol (θ → 0)
sin θ ∼ 0,
= cos θ ∼ 1,
= ⇒ tan θ ∼ θ
=
arctan θ ∼ θ
=
v |x+∆x − v |x ∆t ∼ v |x+∆x − v |x ∆t
arctan =
∆x ∆x
untuk ∆t, ∆x, ∆y mendekati nol,
( v |x+∆x − v |x )∆t
arctan ∆x
lim
(∆t,∆x,∆y )→0 ∆t
⇓
( v |x+∆x − v |x )∆t
∆x
lim
(∆t,∆x,∆y )→0 ∆t
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

11. v |x+∆x − v |x ∂v
lim =
∆x→0 ∆x ∂x
( v |x+∆x − v |x )∆t
arctan ∆x
1
ω = lim
2 (∆t,∆x,∆y )→0 ∆t
( u|y +∆y − v |y )∆t
arctan ∆y
1
− lim
2 (∆t,∆x,∆y )→0 ∆t
dapat disederhanakan menjadi
1 ∂v ∂u
ω = −
2 ∂x ∂y
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

12. Rotasi pada Fungsi Arus
untuk menuliskan rotasi dalam bentuk fungsi stream
∂ψ ∂ψ
u= v =−
∂y ∂x
1 ∂v ∂u
ω = −
2 ∂x ∂y
1 ∂ 2ψ ∂2ψ
= − 2 −
2 ∂x ∂y 2
1 2
= − ψ
2
yaitu
2
ψ + 2ω = 0
untuk aliran tak berotasi ω = 0,
2
ψ=0
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

13. Rotasi dan Potensial
untuk aliran tak berotasi ω = 0
1 ∂v ∂u
− = 0
2 ∂x ∂y
∂v ∂u
− = 0
∂x ∂y
Persamaan diatas, seperti persamaan kontinuitas
u dan v saling berhubungan
Adakah suatu fungsi yang memenuhi hubungan tersebut?
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

14. Kecepatan Potensial
Anggap
∂φ ∂φ
u= , v=
∂x ∂y
maka
∂v ∂u ∂2φ
= =
∂x ∂y ∂x∂y
dalam 3D, dengan cara yang sama dapat diperoleh
∂φ
w=
∂z
φ adalah kecepatan potensial.
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

15. Fungsi Arus: arti fisis
Proof.
Jika ψ = kontsan, maka d ψ = 0
Pada fluida 2D, ∂ψ ∂ψ
dψ = dx + dy
ψ = konstan sama ∂x ∂y
dengan garis arus = −vdx + udy
= 0
Jika ψ = konstan, maka
dy v
=
dx u
M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial