composed by adnavi ulfa
pengertian mekanika newtonian, mekanika hamiltonian, mekanika langrangian
penurunan fungsi hamilton dan penurunan kekekalan energi
kasus kekekalan energi
fungsi hamilton dan aplikasi kasus
PENDAHULUAN
Mekanika merupakan cabang ilmu fisika yang berhubungan dengan benda, yaitu ilmu yang mempelajari gerak benda, baik benda yang diam (statis) maupun benda yang bergerak (kinematika dan dinamika). Kinematika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda tanpa memperhatikan penyebab gerak benda tersebut, sedangkam dinamika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda dengan memperhatikan atau memperhitungkan penyebab gerak benda tersebut. Masalah mekanika merupakan hal yang cukup penting dalam perkembangan ilmu fisika untuk kita pelajari karena masalah mekanika sangat erat kaitannya dengan peristiwa yang tejadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Sebagaimana kita ketahui bahwa fisika merupakan ilmu yang mempelajari gejala alam yang dapat diamati dan diukur, dan kasus mekanika merupakan salah satu gejala alam yang dapat diamati dan diukur.
Dalam perkembangannya, mekanika dibagi dalam menjadi dua yaitu mekanika klasik dan mekanika kuantum. Mekanika klasik dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak dengan kecepatan jauh dibawah kecepatan cahaya, sedangkan mekanika kuantum dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.
MEKANIKA LAGRANGE
Mekanika Lagrange merupakan suatu metode penyelesaian persoalan mekanika yang tidak mudah diselesaikan dengan Mekanika Newton. Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat kartesian, koordinat polar atau koordinat silinder. Dimisalkan jika suatu partikel bergerak dalam suatu bidang (memiliki derajat kebebasan 2 yaitu sumbu x dan y), dalam suatu ruang (memiliki derajat kebebasan 3 yaitu sumbu x, y, dan z). Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3 N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan:
q_1,q_2,β¦,q_n
yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat q_k dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya (holonomic). Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.
Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya
PENDAHULUAN
Mekanika merupakan cabang ilmu fisika yang berhubungan dengan benda, yaitu ilmu yang mempelajari gerak benda, baik benda yang diam (statis) maupun benda yang bergerak (kinematika dan dinamika). Kinematika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda tanpa memperhatikan penyebab gerak benda tersebut, sedangkam dinamika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda dengan memperhatikan atau memperhitungkan penyebab gerak benda tersebut. Masalah mekanika merupakan hal yang cukup penting dalam perkembangan ilmu fisika untuk kita pelajari karena masalah mekanika sangat erat kaitannya dengan peristiwa yang tejadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Sebagaimana kita ketahui bahwa fisika merupakan ilmu yang mempelajari gejala alam yang dapat diamati dan diukur, dan kasus mekanika merupakan salah satu gejala alam yang dapat diamati dan diukur.
Dalam perkembangannya, mekanika dibagi dalam menjadi dua yaitu mekanika klasik dan mekanika kuantum. Mekanika klasik dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak dengan kecepatan jauh dibawah kecepatan cahaya, sedangkan mekanika kuantum dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.
MEKANIKA LAGRANGE
Mekanika Lagrange merupakan suatu metode penyelesaian persoalan mekanika yang tidak mudah diselesaikan dengan Mekanika Newton. Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat kartesian, koordinat polar atau koordinat silinder. Dimisalkan jika suatu partikel bergerak dalam suatu bidang (memiliki derajat kebebasan 2 yaitu sumbu x dan y), dalam suatu ruang (memiliki derajat kebebasan 3 yaitu sumbu x, y, dan z). Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3 N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan:
q_1,q_2,β¦,q_n
yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat q_k dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya (holonomic). Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.
Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya
Terdiri dari Bab mekanika gelombang, operator, solusi persamaan schrodinger, atom hidrogendan momentum sudut. Dilengkapi dengan Contoh soal dan pembahasannya.
Disusun oleh :
Dindi, Dini, Sasti, Rima, Alfi, Yuni, Fina, Nur89, wawan, Aziz Ayu dini Wiwis, denin, Nur, Anis, dan Ms Ihsan.
PENDIDIKAN FISIKA UNIVERSITAS JEMBER
Terdiri dari Bab mekanika gelombang, operator, solusi persamaan schrodinger, atom hidrogendan momentum sudut. Dilengkapi dengan Contoh soal dan pembahasannya.
Disusun oleh :
Dindi, Dini, Sasti, Rima, Alfi, Yuni, Fina, Nur89, wawan, Aziz Ayu dini Wiwis, denin, Nur, Anis, dan Ms Ihsan.
PENDIDIKAN FISIKA UNIVERSITAS JEMBER
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
Β
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
3. ο΅ Dalam mekanika klasik kita biasanya menggunakan mekanika Newtonian dalam
memecahkan permasalahan gerak benda. Dengan meninjau gaya total yang dialami benda
tersebut. Contoh, ditinjau dari gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang,
maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan
kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya gaya konstrain
yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus
terdapat gaya yang tak dapat diketahui,maka pendekatan Newtonian tak berlaku.
ο΅ Diperlukan pendekatan khusus ketika benda berada dalam sistem dinamis yang berpindah dari
satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik. Metode ini menggunakan tinjauan energi
total dari karakteristik benda objek. Muncullah pendekatan Hamiltonian.
MENU
5. SEBAGAI
DASAR
HUKUM KEKEKALAN ENERGI
SEKILAS
KONSEP KEKEKALAN ENERGI :
βEnergi dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lain dan dipindahkan dari satu benda
kebenda yang lain tetapi jumlahnya selalu tetap. Jadi energi total tidak berkurang dan
juga tidak bertambahβ
SALAH SATUNYA
KEKEKALAN ENERGI MEKANIK
Energi Mekanik selalu tetap atau kekal selama terjadi perubahan energi antara EP
dan EK
EP + EK = EM
6. PENURUNAN RUMUS KEKEKALAN ENERGI
DITINJAU DARI GAYA TAK KONSERVATIF
βSecara umum, sebuah gaya bersifat konservatif
apabila usaha yang dilakukan oleh gaya pada sebuah
benda yang melakukan gerakan menempuh lintasan
tertentu hingga kembali ke posisi awalnya sama
dengan nol. Sebuah gaya bersifat tak-konservatif
apabila usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada
sebuah benda yang melakukan gerakan menempuh
lintasan tertentu hingga kembali ke posisi semula tidak
sama dengan nol.β
ENERGI POTENSIAL
W = EP1 β EP2 = mgh1 β mgh2
ENERGI KINETIK
W = EK2 β EK1 = Β½ mv2
2 β Β½ mv1
2
Kedua persamaan ini kita tulis
kembali menjadi :
Wp = Wk
EP1 β EP2 = EK2 β EK1
mgh1 β mgh2 = Β½ mv2
2 β Β½ mv1
2
mgh1 + Β½ mv1
2 = mgh2 + Β½ mv2
2
EM1 = EP1 + EK1 (KEDUDUKAN AWAL)
EM2 = EP2 + EK2 (KEDUDUKAN AKHIR)
EM1 = EM2
EP + EK = EM (konstan)
7. KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
β’ Gerak suatu system mekanik terdapat perubahan sebanyak
2π πππ ππππ π, πππ ππ (
π = 1, 2, 3, β¦ . )
ππππππππ’ππ integral geark
yang menentukan keadaan system.
β’ Karena persamaan gerak system tertutup tidak bergantung pada waktu secara eksplisit, maka
waktu awal dapat dipilih mempunyai harga sembarang sehingga konstanta yang muncul pada
penyelesaian persamaan gerak selalu dapat dianggap sebagai penambahan konstanta waktu to
Dengan mengeliminasi t + to dari fungsi banyak 2s didapat rumusan qi dan qi dalam C1 C2 β¦β¦ C2s-
1 sebagai berikut
qi = qi ( t + to ,C1 . C2 , β¦β¦ C2s-1 )
πi = πi ( t + to ,C1 . C2 , β¦β¦ C2s-1 )
jika 2s β 1 konstanta C1 . C2 β¦.., C2s-1 ditulis dalam variable q dan q akan diperoleh integral gerak
yang dimaksud.
β’ homogenitas waktu akan menghasilkan fungsi Lagrange suatu system tertutup yang tidak
bergantung pada waktu secara eksplisit. Diferensial total Langrange
π
ππ‘
=
π
ππΏ
πππ
ππ +
π
ππΏ
πππ
π
8. KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
β’ Seandainya L bergantung pada waktu secara eksplisit, maka pada ruas kanan akan muncul suku
βL/βt. Dengan menggantikan turunan βL/βt dari persamaan Lagrange dengan dL/dtβL/qi diperoleh
π
ππ‘
= ππ
π
ππ‘
ππΏ
πππ
+
ππΏ
ππ
π =
π
π
ππ‘
ππΏ
ππ ππ
β’ Atau
π
ππ‘ π ππ
ππΏ
π π
β πΏ = 0
β’ Dari persamaan ini diperoleh
πΈ = π ππ
ππΏ
π π
β πΏ (Persamaan 1)
Besaran ini disebut sebagai energi sistem
β’ Hukum kekekalan energi tidak hanya berlaku untuk sistem tertutup, tetapi berlaku untuk sistem yang
di dalamnya terdapat medan gaya yang konstan (yaitu jika medan tidak bergantung pada waktu);
satu-satunya yang digunakan dalam menurunkan sifat fungsi Lagrange juga terdapat dalam kasus
ini adalah ketergantungan terhadap waktu secara eksplisit dan disebut sebagai konservatif.
Dinyatakan dalam bentuk : L = T ( q, π ) - βͺ (q)
9. KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
β’ Dalam hal ini T adalah fungsi kecepatan kuadrat. Jika digunakan teorema Euler untuk suatu fungsi
homogen dikerjakan pada fungsi ini akan diperoleh:
π
ππ
ππΏ
ππ
=
π
ππ
ππ
ππ
= 2π
β’ Dengan mensubtitusikan persamaan ini ke pers [6.1] didapat bahwa:
E = T ( q, π ) - βͺ (q) (Persamaan 2)
β’ Dan jika dinyatakan dalam koordinat Cartesioan
π
π π π£ π
2
+ π(π1, π2, β¦ ) (Persamaan 3)
β’ Dengan cara ini energi suatu sistem dapat ditulis mengandung dua suku yang berbeda yaitu energi
kinetik yang bergantung pada kecepatan dan energi potensial yang bergantung pada koordinat
partikel yang bersangkutan.
MENU
10. HAMILTON
PERSAMAAN
FUNGSI
HAMILTON
β’ Persamaan Hamilton untuk gerak pada sebuah fungsi dari
koordinat umum
H = π π p β L (1)
β’ Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem
adalah fungsi kuadrat dari π dan energi potensialnya
merupakan fungsi q saja :
L = T ( q, π) β V(q) (2)
β’ Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogeni,
deperoleh
π π p β L = π π
ππΏ
π π
= π π
ππ
π π
= 2T (3)
β’ Oleh karena itu :
H = π π p β L = 2T β (T-V) = T +V (4)
β’ Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang
kita tinjau. Selanjutnya, pada n buah persamaan yang ditulis
sebagai :
PK =
ππΏ
ππ π
(k = 1,2,β¦n) (5)
β’ Dan nyatakan dalam π dalam p dan q
πk = πk (pk , qk) (6)
β’ Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H
yang bersesuaian dengan variasi πΏ pk, πΏ qk sebagai berikut :
πΏπ» = π ππ πΏ π π + ππ πΏππ β
ππΏ
π ππ
πΏ π π β
ππΏ
πππ
πΏππ (7)
11. HAMILTON
PERSAMAAN
FUNGSI
HAMILTON
β’ Suku pertama dan suku kedua yang ada
dalam tanda kurung saling meniadakah, oleh
karena menurut definisi π k = ππΏ / ππ k, oleh
karena itu:
πΏπ» = π ππΏππ β πππΏππ
(8)
β’ Variansi fungsi H selanjutnya dapat
dinyatakan dalam persamaan berikut:
πΏπ» = π
ππ»
πππ
πΏππ +
ππ»
πππ
πΏππ
(9)
β’ Sehingga diperoleh :
ππ»
πππ
= ππ
ππ»
πππ
= β ππ
Persamaan Kanonik
Hamilton untuk gerak
MENU
12. CONTOH KASUS HAMILTON
1) Tentukan persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi menggunakan persamaan
Hamilton
Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :
ο π» =
π
π
π π π
π ππ π½ =
π
π
π²π π
(13)
Momentumnya dapat ditulis
ο π =
ππ»
π π
= π π ππππ π =
π
π
(14)
Hamiltoniannya dapat ditulis :
ο π― = π» + π½ =
π
ππ
π π
+
π²
π
π π
(15)
13. Persamaan geraknya adalah :
ο΅
ππ»
ππ
= π₯
ππ»
ππ₯
= β π (16)
dan diperoleh :
ο΅
π
π
= π₯ πΎπ₯ = β π
Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan.
Dengan menggunakankedua persamaan di atas, dapat kita tulis :
ο΅ π π₯ + πΎπ₯ = 0 (17)
yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.
CONTOH KASUS HAMILTON
14. 2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang
berada di bawah pengaruh medan sentral.
Jawab : Energi kinaetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan
dalam koordinat polar sebagai berikut:
ο΅ π =
π
2
π2
+ π2
π2
πππ π = π(π) (17)
Jadi :
ο΅ ππ =
ππ
π π
= π π π =
π π
π
(18)
ο΅ π π =
ππ
π π
= ππ2
π π =
π π
ππ2 (19)
Akibatnya :
ο H =
1
2π
ππ
2 +
π π
2
π2 + π( π) (20)
CONTOH KASUS HAMILTON
16. Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut
tetap,
ο΅ π π = ππππ π‘ππ = ππ2 π = πβ (26)
Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,
ο΅ π π = ππ =
πβ
2
π3 β
ππ(π)
ππ
(27)
untuk persamaan gerak dalam arah radial.
CONTOH KASUS HAMILTON
17. 1 Coki bermain skateboard. Dengan menganggap Coki dan
skateboardnya sebagai sebuah partikel, pusatnya bergerak melewati
lintasan berbentuk seperempat lingkaran dengan jariβjari 3,00 m.
Massa total Coki dan skateboardnya 25,0 kg. Ia mulai bergerak dari
keadaan diam, dan diasumsikan tak ada gesekan. a) Tentukan laju
pada akhir lintasan. b) Cari gaya normal yang bekerja padanya saat
ia berada di bawah lintasan
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
18. ο΅ Penyelesaian :
a) Kita tidak dapat menggunakan persamaan gerak dengan
percepatan konstan; percepatan tidak konstan karena kemiringan
berkurang ketika Coki turun. Oleh karena itu, kita akan
menggunakan pendekatan energi. Karena tak ada gesekan maka
hanya terdapat gaya normal π yang diberikan oleh lintasan selain
gaya berat yang dihasilkan Coki. Meskipun gaya-gaya ini terjadi
sepanjang lintasan, gaya ini melakukan nol kerja karena gaya
normal tegak lurus dengan kecepatan Coki di setiap titik. Oleh
karena itu ππ‘ππ‘ππ = 0 dan energi mekanik total akan kekal.
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
19. Ambil titik 2 sebagai titik awal dan titik 1 pada dasar lintasan, anggap
y= 0 pada dasar lintasan. Kemudian y2 = R dan y1 = 0. Coki mulai bergerak
dari keadaan diam di atas lintasan sehingga v1= 0. Maka besaran dari
berbagai energi adalah
ο΅ K2 = 0 U2 = mgR
ο΅ K1 =
1
2
mv1
2 U1 = 0
ο΅ πΎ2 + π2 = πΎ1 + π1
ο΅ 0 + πππ =
1
2
ππ£1
2
+ 0
ο΅ π£1 = 2ππ
ο΅ π£1 = 2(9,80
π
π 2)(3,00π) = 7,67 π/π
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
20. b) Kita akan menghitung besar π dari gaya normal di titik 1. Karena π tidak muncul
pada persamaan energi, maka kita akan menggunakan hukum kedua Newton.
Coki bergerak dengan laju π£1 = 2ππ di mana R merupakan jari-jari lingkaran;
percepatan yang dimiliki Coki terjadi secara radial dan besarnya;
ο΅ π πππ =
π£1
2
π
=
2ππ
π
= 2π
Jika kita ambil dari y positif ke atas, maka pada komponen y dari hukum kedua
Newton, adalah:
ο΅ πΉπ¦ = βπ + π = ππ πππ = 2ππ
ο΅ 2ππ = βπ + π
ο΅ 2ππ β π = βπ
ο΅ 2ππ β ππ = βπ
ο΅ ππ = βπ
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
21. MOHON MAAF ATAS KEKURANGAN KAMI
SEMOGA ILMU INI DAPAT BERMANFAAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KITA
SALAM RAMADHANβ¦