Download to read offline
![KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
• Dalam hal ini T adalah fungsi kecepatan kuadrat. Jika digunakan teorema Euler untuk suatu fungsi
homogen dikerjakan pada fungsi ini akan diperoleh:
𝑖
𝑞𝑖
𝜕𝐿
𝑞𝑖
=
𝑖
𝑞𝑖
𝜕𝑇
𝑞𝑖
= 2𝑇
• Dengan mensubtitusikan persamaan ini ke pers [6.1] didapat bahwa:
E = T ( q, 𝑞 ) - ∪ (q) (Persamaan 2)
• Dan jika dinyatakan dalam koordinat Cartesioan
𝑎
𝑚 𝑎 𝑣 𝑎
2
+ 𝑈(𝑟1, 𝑟2, … ) (Persamaan 3)
• Dengan cara ini energi suatu sistem dapat ditulis mengandung dua suku yang berbeda yaitu energi
kinetik yang bergantung pada kecepatan dan energi potensial yang bergantung pada koordinat
partikel yang bersangkutan.
MENU](https://image.slidesharecdn.com/mekanikaii-150720054437-lva1-app6891/85/Mekanika-II-9-320.jpg)
![Modul Ajar KBC Fikih Kelas 2 MI [MODULKELAS.COM]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/modulajarkbcfikihkelas2mimodulkelas-260129153051-998e7c8f-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Mekanika II
- 1. MEKANIKA II FUNGSI HAMILTONIANDAN KEKEKALAN ENERGI ASSALAMUALAIKUM
- 2.
- 3. Dalam mekanikaklasik kita biasanya menggunakan mekanika Newtonian dalam memecahkan permasalahan gerak benda. Dengan meninjau gaya total yang dialami benda tersebut. Contoh, ditinjau dari gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui,maka pendekatan Newtonian tak berlaku. Diperlukan pendekatan khusus ketika benda berada dalam sistem dinamis yang berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik. Metode ini menggunakan tinjauan energi total dari karakteristik benda objek. Muncullah pendekatan Hamiltonian. MENU
- 4. TUJUAN MENGETAHUI MEKANIKA HAMMILTON MEMAHAMI PRINSIPDASAR HAMMILTON MENINJAU PEMECAHAN KASUS DENGAN HAMILTON MENU
- 5. SEBAGAI DASAR HUKUM KEKEKALAN ENERGI SEKILAS KONSEPKEKEKALAN ENERGI : “Energi dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lain dan dipindahkan dari satu benda kebenda yang lain tetapi jumlahnya selalu tetap. Jadi energi total tidak berkurang dan juga tidak bertambah” SALAH SATUNYA KEKEKALAN ENERGI MEKANIK Energi Mekanik selalu tetap atau kekal selama terjadi perubahan energi antara EP dan EK EP + EK = EM
- 6. PENURUNAN RUMUS KEKEKALANENERGI DITINJAU DARI GAYA TAK KONSERVATIF “Secara umum, sebuah gaya bersifat konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya pada sebuah benda yang melakukan gerakan menempuh lintasan tertentu hingga kembali ke posisi awalnya sama dengan nol. Sebuah gaya bersifat tak-konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada sebuah benda yang melakukan gerakan menempuh lintasan tertentu hingga kembali ke posisi semula tidak sama dengan nol.” ENERGI POTENSIAL W = EP1 – EP2 = mgh1 – mgh2 ENERGI KINETIK W = EK2 – EK1 = ½ mv2 2 – ½ mv1 2 Kedua persamaan ini kita tulis kembali menjadi : Wp = Wk EP1 – EP2 = EK2 – EK1 mgh1 – mgh2 = ½ mv2 2 – ½ mv1 2 mgh1 + ½ mv1 2 = mgh2 + ½ mv2 2 EM1 = EP1 + EK1 (KEDUDUKAN AWAL) EM2 = EP2 + EK2 (KEDUDUKAN AKHIR) EM1 = EM2 EP + EK = EM (konstan)
- 7. KEKEKALAN ENERGI DARITINJAUAN LANGRANGE • Gerak suatu system mekanik terdapat perubahan sebanyak 2𝑠 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑞, 𝑑𝑎𝑛 𝑞𝑖 ( 𝑖 = 1, 2, 3, … . ) 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 integral geark yang menentukan keadaan system. • Karena persamaan gerak system tertutup tidak bergantung pada waktu secara eksplisit, maka waktu awal dapat dipilih mempunyai harga sembarang sehingga konstanta yang muncul pada penyelesaian persamaan gerak selalu dapat dianggap sebagai penambahan konstanta waktu to Dengan mengeliminasi t + to dari fungsi banyak 2s didapat rumusan qi dan qi dalam C1 C2 …… C2s- 1 sebagai berikut qi = qi ( t + to ,C1 . C2 , …… C2s-1 ) 𝑞i = 𝑞i ( t + to ,C1 . C2 , …… C2s-1 ) jika 2s – 1 konstanta C1 . C2 ….., C2s-1 ditulis dalam variable q dan q akan diperoleh integral gerak yang dimaksud. • homogenitas waktu akan menghasilkan fungsi Lagrange suatu system tertutup yang tidak bergantung pada waktu secara eksplisit. Diferensial total Langrange 𝑑 𝑑𝑡 = 𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 𝑞𝑖 + 𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 𝑞
- 8. KEKEKALAN ENERGI DARITINJAUAN LANGRANGE • Seandainya L bergantung pada waktu secara eksplisit, maka pada ruas kanan akan muncul suku ∂L/∂t. Dengan menggantikan turunan ∂L/∂t dari persamaan Lagrange dengan dL/dt∂L/qi diperoleh 𝑑 𝑑𝑡 = 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 + 𝜕𝐿 𝑞𝑖 𝑞 = 𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝑞𝑖 𝑞𝑖 • Atau 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑞𝑖 𝜕𝐿 𝑞 𝑖 − 𝐿 = 0 • Dari persamaan ini diperoleh 𝐸 = 𝑖 𝑞𝑖 𝜕𝐿 𝑞 𝑖 − 𝐿 (Persamaan 1) Besaran ini disebut sebagai energi sistem • Hukum kekekalan energi tidak hanya berlaku untuk sistem tertutup, tetapi berlaku untuk sistem yang di dalamnya terdapat medan gaya yang konstan (yaitu jika medan tidak bergantung pada waktu); satu-satunya yang digunakan dalam menurunkan sifat fungsi Lagrange juga terdapat dalam kasus ini adalah ketergantungan terhadap waktu secara eksplisit dan disebut sebagai konservatif. Dinyatakan dalam bentuk : L = T ( q, 𝒒 ) - ∪ (q)
- 9. KEKEKALAN ENERGI DARITINJAUAN LANGRANGE • Dalam hal ini T adalah fungsi kecepatan kuadrat. Jika digunakan teorema Euler untuk suatu fungsi homogen dikerjakan pada fungsi ini akan diperoleh: 𝑖 𝑞𝑖 𝜕𝐿 𝑞𝑖 = 𝑖 𝑞𝑖 𝜕𝑇 𝑞𝑖 = 2𝑇 • Dengan mensubtitusikan persamaan ini ke pers [6.1] didapat bahwa: E = T ( q, 𝑞 ) - ∪ (q) (Persamaan 2) • Dan jika dinyatakan dalam koordinat Cartesioan 𝑎 𝑚 𝑎 𝑣 𝑎 2 + 𝑈(𝑟1, 𝑟2, … ) (Persamaan 3) • Dengan cara ini energi suatu sistem dapat ditulis mengandung dua suku yang berbeda yaitu energi kinetik yang bergantung pada kecepatan dan energi potensial yang bergantung pada koordinat partikel yang bersangkutan. MENU
- 10. HAMILTON PERSAMAAN FUNGSI HAMILTON • Persamaan Hamiltonuntuk gerak pada sebuah fungsi dari koordinat umum H = 𝑘 𝑞 p – L (1) • Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari 𝑞 dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja : L = T ( q, 𝑞) – V(q) (2) • Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogeni, deperoleh 𝑘 𝑞 p – L = 𝑘 𝑞 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 = 𝑘 𝑞 𝜕𝑇 𝜕 𝑞 = 2T (3) • Oleh karena itu : H = 𝑘 𝑞 p – L = 2T – (T-V) = T +V (4) • Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pada n buah persamaan yang ditulis sebagai : PK = 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑘 (k = 1,2,…n) (5) • Dan nyatakan dalam 𝑞 dalam p dan q 𝑞k = 𝑞k (pk , qk) (6) • Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang bersesuaian dengan variasi 𝛿 pk, 𝛿 qk sebagai berikut : 𝛿𝐻 = 𝑘 𝑝𝑘 𝛿 𝑞 𝑘 + 𝑞𝑘 𝛿𝑝𝑘 − 𝜕𝐿 𝜕 𝑞𝑘 𝛿 𝑞 𝑘 − 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑘 𝛿𝑞𝑘 (7)
- 11. HAMILTON PERSAMAAN FUNGSI HAMILTON • Suku pertamadan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakah, oleh karena menurut definisi 𝑝 k = 𝜕𝐿 / 𝜕𝑞 k, oleh karena itu: 𝛿𝐻 = 𝑘 𝑞𝛿𝑝𝑘 − 𝑝𝑘𝛿𝑞𝑘 (8) • Variansi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: 𝛿𝐻 = 𝑘 𝜕𝐻 𝜕𝑝𝑘 𝛿𝑝𝑘 + 𝜕𝐻 𝜕𝑞𝑘 𝛿𝑞𝑘 (9) • Sehingga diperoleh : 𝜕𝐻 𝜕𝑝𝑘 = 𝑞𝑘 𝜕𝐻 𝜕𝑞𝑘 = − 𝑝𝑘 Persamaan Kanonik Hamilton untuk gerak MENU
- 12. CONTOH KASUS HAMILTON 1)Tentukan persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi menggunakan persamaan Hamilton Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai : 𝑻 = 𝟏 𝟐 𝒎 𝒙 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝑽 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒙 𝟐 (13) Momentumnya dapat ditulis 𝒑 = 𝝏𝑻 𝝏 𝒙 = 𝒎 𝒙 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 = 𝒑 𝒎 (14) Hamiltoniannya dapat ditulis : 𝑯 = 𝑻 + 𝑽 = 𝟏 𝟐𝒎 𝒑 𝟐 + 𝑲 𝟐 𝒙 𝟐 (15)
- 13. Persamaan geraknya adalah: 𝜕𝐻 𝜕𝑝 = 𝑥 𝜕𝐻 𝜕𝑥 = − 𝑝 (16) dan diperoleh : 𝑝 𝑚 = 𝑥 𝐾𝑥 = − 𝑝 Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakankedua persamaan di atas, dapat kita tulis : 𝑚 𝑥 + 𝐾𝑥 = 0 (17) yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik. CONTOH KASUS HAMILTON
- 14. 2. Gunakan persamaanHamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral. Jawab : Energi kinaetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut: 𝑇 = 𝑚 2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2 𝑑𝑎𝑛 𝑉 = 𝑉(𝑟) (17) Jadi : 𝑝𝑟 = 𝜕𝑇 𝜕 𝑟 = 𝑚 𝑟 𝑟 = 𝑝 𝑟 𝑚 (18) 𝑝 𝜃 = 𝜕𝑇 𝜕 𝜃 = 𝑚𝑟2 𝜃 𝜃 = 𝑝 𝜃 𝑚𝑟2 (19) Akibatnya : H = 1 2𝑚 𝑝𝑟 2 + 𝑝 𝜃 2 𝑟2 + 𝑉( 𝑟) (20) CONTOH KASUS HAMILTON
- 15. Persamaan Hamiltoniannya: 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝑟 =𝑟, 𝜕𝐻 𝜕𝑟 = −𝑝 𝑟, 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝜃 = 𝜃, 𝜕𝐻 𝜕𝜃 = −𝑝 𝜃 (21) Selanjutnya: 𝑝 𝑟 𝑚 = 𝑟 (22) 𝜕𝑉(𝑟) 𝜕𝑟 − 𝑝 𝜃 2 𝑚𝑟3 = − 𝑝𝑟 (23) 𝑝 𝜃 2 𝑚𝑟3 = 𝜃 (24) −𝑝 𝜃 = 0 (25) CONTOH KASUS HAMILTON
- 16. Dua persamaan yangterakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap, 𝑝 𝜃 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 = 𝑚𝑟2 𝜃 = 𝑚ℎ (26) Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan, 𝑚 𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑚ℎ 2 𝑟3 − 𝜕𝑉(𝑟) 𝜕𝑟 (27) untuk persamaan gerak dalam arah radial. CONTOH KASUS HAMILTON
- 17. 1 Coki bermainskateboard. Dengan menganggap Coki dan skateboardnya sebagai sebuah partikel, pusatnya bergerak melewati lintasan berbentuk seperempat lingkaran dengan jari–jari 3,00 m. Massa total Coki dan skateboardnya 25,0 kg. Ia mulai bergerak dari keadaan diam, dan diasumsikan tak ada gesekan. a) Tentukan laju pada akhir lintasan. b) Cari gaya normal yang bekerja padanya saat ia berada di bawah lintasan CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
- 18. Penyelesaian : a)Kita tidak dapat menggunakan persamaan gerak dengan percepatan konstan; percepatan tidak konstan karena kemiringan berkurang ketika Coki turun. Oleh karena itu, kita akan menggunakan pendekatan energi. Karena tak ada gesekan maka hanya terdapat gaya normal 𝑁 yang diberikan oleh lintasan selain gaya berat yang dihasilkan Coki. Meskipun gaya-gaya ini terjadi sepanjang lintasan, gaya ini melakukan nol kerja karena gaya normal tegak lurus dengan kecepatan Coki di setiap titik. Oleh karena itu 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0 dan energi mekanik total akan kekal. CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
- 19. Ambil titik 2sebagai titik awal dan titik 1 pada dasar lintasan, anggap y= 0 pada dasar lintasan. Kemudian y2 = R dan y1 = 0. Coki mulai bergerak dari keadaan diam di atas lintasan sehingga v1= 0. Maka besaran dari berbagai energi adalah K2 = 0 U2 = mgR K1 = 1 2 mv1 2 U1 = 0 𝐾2 + 𝑈2 = 𝐾1 + 𝑈1 0 + 𝑚𝑔𝑅 = 1 2 𝑚𝑣1 2 + 0 𝑣1 = 2𝑔𝑅 𝑣1 = 2(9,80 𝑚 𝑠2)(3,00𝑚) = 7,67 𝑚/𝑠 CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
- 20. b) Kita akanmenghitung besar 𝑁 dari gaya normal di titik 1. Karena 𝑁 tidak muncul pada persamaan energi, maka kita akan menggunakan hukum kedua Newton. Coki bergerak dengan laju 𝑣1 = 2𝑔𝑅 di mana R merupakan jari-jari lingkaran; percepatan yang dimiliki Coki terjadi secara radial dan besarnya; 𝑎 𝑟𝑎𝑑 = 𝑣1 2 𝑅 = 2𝑔𝑅 𝑅 = 2𝑔 Jika kita ambil dari y positif ke atas, maka pada komponen y dari hukum kedua Newton, adalah: 𝐹𝑦 = −𝑁 + 𝑊 = 𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑑 = 2𝑚𝑔 2𝑚𝑔 = −𝑁 + 𝑊 2𝑚𝑔 − 𝑊 = −𝑁 2𝑚𝑔 − 𝑚𝑔 = −𝑁 𝑚𝑔 = −𝑁 CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI
- 21. MOHON MAAF ATASKEKURANGAN KAMI SEMOGA ILMU INI DAPAT BERMANFAAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KITA SALAM RAMADHAN…