Kelompok 2 terdiri dari 4 anggota yang membahas konsep-konsep dasar turunan fungsi dan penerapannya, seperti turunan parameter, turunan tingkat tinggi, limit tak tentu, dalil L'Hopital, titik ekstrim dan belok, serta grafik fungsi.

1. Kelompok 2
Anggota:
Devi trirosdianty 201013500721
Muhammad Ardiansyah 201013500756
Deby kusuma wardani 201013500757
Desy Natalia S 201013500758

2. • Turunan Fungsi Parameter
Fungsi • Turunan Tingkat Tinggi
• Bentuk tak tentu
Limit • Dalil L’Hopital
• Penyelesaian limit dengan dalil L’Hopital
Analisis • Titik ekstrim(maksimum)
• Titik belok
Fungsi • Menggambar grafik Fungsi
Aplikasi • Garis Singgung
Turunan • Garis Normal

3. FUNGSI Pengertian Fungsi
Fungsi adalah suatu hubungan/aturan dimana
LIMIT domainnya tepat memiliki 1 pasangan terhadap
kodomainnya.
Turunan fungsi ƒ adalah fungsi ƒ’ yang nilainya di
ANALISIS adalah
FUNGSI
f (c h) f (c )
f ' (c ) lim
h 0 h
APLIKASI
TURUNAN

4. FUNGSI Pengertian Fungsi
Contoh
Jika f ( x) 3x 2 2x 4 , maka turunan di f di x=2 adalah
LIMIT f(2 h) f(2 )
f '( 2 ) lim
h 0 h
3( 2 h )2 2( 2 h) 4 ( 3.2 2 2.2 4)
f '( 2 ) lim
h 0 h
ANALISIS 3( 4 4h h2 ) 4 2h 4 (1 2 4 4)
FUNGSI f '( 2 ) lim
h 0 h
1 2h 3h 2 2h
f '( 2 ) lim
h 0 h
h )(1 2 3h 2 )
f '( 2 ) lim
APLIKASI h 0 h
TURUNAN f '( 2 ) l i m( 1 2 3h
h 0
2)
f '( 2 ) 14

5. FUNGSI Turunan Fungsi Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk :
x=f(t) atau x=g(t)
LIMIT Maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan
y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat
dicari dy/dx dengan cara sebagai berikut.
Dari x=f(t) dibentuk t=h(x) dengan h fungsi invers dari f.
Nampak bahwa y=g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y=
ANALISIS g(t) = g(h(x))
FUNGSI
dy dy dt dy dy 1
Diperoleh atau
dx dt dx dx dt dx
APLIKASI dt
TURUNAN sehingga
dy dy / dt
dx dx / dt

6. FUNGSI Turunan Tingkat Tinggi
Jika fungsi diturunkan maka turunannya , yaitu f '
LIMIT juga berupa fungsi sehingga bolehjadi f ' mempunyai
turunan tersendiri yang dinyatakan oleh ( f ' )' f ' '.
Fungsi yang f ' 'baru ini disebut turunan kedua dari f
karena dia merupakan turunan dari f .
ANALISIS Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua
FUNGSI dari y f ( x) sebagai
d dy d2y
atau f''( x) D 2 f( x)
APLIKASI dx dx dx 2
TURUNAN

7. FUNGSI Turunan Tingkat Tinggi
Contoh 2
LIMIT
Jika f(x) 3x 4 7x 8, tentukan f''(x)
Jawab
f'(x) 12 x 3 7
ANALISIS
untuk mencari f''(x) kita turunkan f'(x):
FUNGSI
d
f'(x) ( 12 x 3 7)
dx
36 x 2
APLIKASI
TURUNAN

8. FUNGSI Pengertian Limit
Untuk menentukan bahwa limit x c
lim f ( x) L
LIMIT berarti jika x dekat tapi berlainan dari c , maka f(x)
dekat ke L.
Kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat di c. Fungsi f
ANALISIS bahkan tidak perlu terdefinisi di c. Pemikiran tentang
FUNGSI limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekat
c, bukan di c.
APLIKASI
TURUNAN

9. FUNGSI Pengertian Limit
Co n t o h . Cari l i m 4 x
1 ( 5)
x 3
LIMIT P en y el es ai : l i m 4 x
an ( 5) ( 4(3) 5) 7
x 3
x2 x 6
Co n t o h . Cari l i m
2
ANALISIS x 3 x 3
FUNGSI p en y el es ai :
an
x2 x 6 (x 3)( x 2)
lim lim
x 3 x 3 x 3 x 3
APLIKASI x2 x 6
lim lim x
( 2) 3 2 5
TURUNAN x 3 x 3 x 3

10. FUNGSI Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang
misalnya :
LIMIT
0
0 , , ,1
ANALISIS
FUNGSI
APLIKASI
TURUNAN

11. FUNGSI Bentuk Tak Tentu
Bentuk 0
0
LIMIT Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan
pembilang dan penyebutnya, kemudian
“mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan
nilai x = a.
ANALISIS f ( x)
FUNGSI lim g ( x) lim (( x
x a) P( x)
a )Q ( x ) lim Q(( x ))
P
x
P(a)
Q(a)
x a x a x a
Contoh :
2
APLIKASI lim x x 25 x9 6 lim( x
(x
3)(x 2)
3)(x 3) lim x
x
2
3
3 2
3 3
1
6
x 3 x 3 x 3
TURUNAN

12. .
FUNGSI Bentuk Tak Tentu
Bentuk
LIMIT Limit ini dapat diselesaikan membagi
dengan
pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat
tertinggi, kemuadian digunakan rumus :
ANALISIS
lim a
x 0
x
FUNGSI 3 2 6 x3 2 x2 5x
6 x 2 x 5x x3 x3 x3
lim 3 2
lim 1 2x 3 7 x2 8x
Contoh :
x 12 x 7 x 8 x x x3 x3 x3
APLIKASI
6 2 x52
x 6 0 0 6 1
lim
TURUNAN x 12 7 x82 12 0 0
x 12 2

13. FUNGSI Bentuk Tak Tentu
Bentuk
LIMIT Limit ini umumnya memuat bentuk akar: lim f(x) g(x)
x
lim ax2 bx c px2 qx r
x
b q
ANALISIS 1) 2 a jika a=p
Cara Penyelesaiannya :
FUNGSI 2) jika a>p
3) - jika a<p
Contoh :
APLIKASI 3 ( 5)
lim 4 x 2 3x 1 4x 2 5x 2 2 1
TURUNAN x 2 4 4 2

14. FUNGSI Bentuk Tak Tentu
1.
Bentuk 1
LIMIT lim 1 1 n
e 2,718281
.....
Definisi : n n
n bilangan
asli
Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :
ANALISIS 1 x 1 x 1 x
lim 1 lim 1 lim 1 e
FUNGSI x x x x x x
x bilangan real
1 1
l im 1 x x l im 1 x x e
x 0 x 0
Contoh :
APLIKASI 1 1 3 1 3
3
lim1 3x x
lim 1 3x 3x
lim1 3x 3x
e
TURUNAN x 0 x 0 x 0

15. FUNGSI Dalil L’ Hopital
Dalil L’ Hopital adalah suatu cara untuk menyelesaikan
limit bentuk tak tentu dengan turunan.
LIMIT
Rumusnya :
ANALISIS Contoh :
FUNGSI
1.
2.
APLIKASI
TURUNAN

16. FUNGSI Titik Extrim
Misal diberikan kurva f(x) dan titik (a,b) merupakan titik puncak
(titik maksimum atau minimum). Maka garis singgung kurva di
LIMIT titik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0
[ f '( a) = 0] .
Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = a disebut
nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.
ANALISIS
Dapat dipergunakan suatu cara yang disebut tes turunan
FUNGSI kedua :
1. Hitung titik kritis x=x₀ dari persamaan f’(x)
2. Hitung titik kritis x=x₀
f(x)= mempunyai harga maksimum bila f’’(x)<0
APLIKASI
f(x)= mempunyai harga minimum f’’(x)>0
TURUNAN

17. FUNGSI Titik Extrim
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f ( x) x4 2x 3 x2 5
LIMIT
Jawab :
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f ' ' ( x) 12x 2 12x 2
Untuk x = -1, f "(-1) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai
minimum f ( -1 ) = -5.
ANALISIS Untuk x = - ½ , f "(2)dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum
FUNGSI 1 15
f 4
2 16
Untuk x = 0, f "(0) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum
f ( 0 ) = -5
APLIKASI
TURUNAN

18. FUNGSI Cembung dan Cekung
•Busur f(x) pada gambar α disebut cembung (cekung keatas)
dan pada gambar b disebut cekung (cekung ke bawah).
LIMIT •Bususr dari f(x) disebut cembung apabila ditarik garis singgung
pada suatu titik pada busur, maka semuat titik lain pada busur
tersebut terletak diatas garis singgung.
•Dikatakan cekung apabila semua titik lain terletak dibawah
ANALISIS garis singgung tersebut
FUNGSI Dapat ditulis juga :
y y f(x) disekitar x=x₀
adalah
cembung bila f’(x₀) > 0
cekung bila f’(x₀) < 0
APLIKASI
TURUNAN
x₀ (a) x₀ (b)

19. FUNGSI Titik Belok
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik
belok dari kurva f(x) bila terjadi perubahan kecekungan di x = b,
LIMIT yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi lain cekung ke
bawah atau sebaliknya.
Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila
berlaku f "(b) = 0 atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b.
ANALISIS Apabila pada x=x₀, busur dari f(x)
berubah cembung ke cekung atau
FUNGSI sebaliknya, dikatakan bahwa f(x)
( b,f(b) ) mempunyai titik belok pada x₀
f(b)
p(x₀,f(x₀)) adalah titik belok dari
f(x) bila f’’(x₀)=0 dan f’’(x₀)≠0
APLIKASI
TURUNAN b

20. FUNGSI Titik Belok
y
Contoh :
y 3x4 10x3 12x2 12x 7
LIMIT
Maka x
y' 12x 3 30x 2 24x 12
y' ' 36x 2 60x 24
(2,-63)
ANALISIS
Untuk mencari titik belok y’’=0 (-1/3,-326/27)
FUNGSI 36 x 2 60 x 24 0
1
x1, 2 ( ,2)
3
Bila: Titik Belok :
x < -1/3 maka y’’ = (+) berarti (-1/3 , -326/27) dan (2 , -63)
cembung
APLIKASI -1/3 < x < 2 maka y’’=(-) berarti
TURUNAN cekung
x>2 maka y’’=(+) berarti cembung

21. FUNGSI Naik dan Turun
Suatu fungsi f(x) dikaakan naik pada titik x= x₀ bila untuk h>0
yang cukup kecil, berlaku f(x₀-h) < f(x₀) < f(x₀+h). Dikatakan
LIMIT turun pada titik x= x₀ bila untuk h>0, yang cukup kecil berlaku
f(x₀-h) < f(x₀) < f(x₀+h).
Catatan:
Telah diketahui bahwa turunan pertama pada titik x=x₀
ANALISIS menyataan koefisien arah garis singgung pada titik x=x₀, maka
FUNGSI definisi diatas dapat kita tulis :
f(x) naik pada titik x=x₀, bila f’(x₀) > 0
f(x) naik pada titik x=x₀, bila f’(x₀) < 0
APLIKASI Apabila f1(x)=0 dikatakan f(x) mempunyai suatu titik kritis pada
x=x0
TURUNAN

22. FUNGSI Naik dan Turun
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik (naik monoton) pada suatu
interval bila f1(x) ≤0 untuk setiap x pada interval tersebut.
Contoh: Perhatikan gambar
LIMIT
ANALISIS
FUNGSI a
y r b g c u
f(x) naik pada interval a < x< r dan t < x < u, turun
APLIKASI pada interval r< x < t. titik kritis f(x) tersebut
TURUNAN adalah R,S, dan T dimana garis singgung pada titik
tersebut horisontal.

23. FUNGSI Naik dan Turun
f(x) naik pada interval a < x< r dan t < x < u, turun pada interval
r< x <t. titik kritis f(x) tersebut adalah R,S, dan T dimana garis
singgung pada titik tersebut horisontal.
LIMIT
Gambar Grafik !
y y y
ANALISIS
FUNGSI
0
x x x
0 2 0 2
Grafik
APLIKASI Grafik Grafik y=-1 bila x < 0
y=x² pada -1 ≤ x ≤2 y=4 bila x ≤ 0 y=x bila 0 ≤ x ≤ 1
TURUNAN y=4-x² bila x ≥ 0 y=1 bila x ≥ 0

24. FUNGSI Garis Singgung dan Garis Normal
Jika fungsi f(x) mempunyai turunan pertama f’(x₀) pada x= x₀
yang hingga maka grafik y=f(x) mempunyai garis singgung di
(x₀,y₀) dengan koefisien arah :
LIMIT
m tg f ' ( x0 )
Kalau m=0 maka garis singgung sejajar sumbu x, persamaan :
y= y₀. Garis singgung tersebut mempunyai grafik :
ANALISIS y
FUNGSI A
C
x
0 D
B E
APLIKASI Bila f(x) kontiny pada x= x₀ tetapi f’(x)= ∞ maka grafik
TURUNAN mempunyai garis fungsi yang sejajar sumbu
y, persamaannya x= x₀. Contoh titik B dan D pada grafik.

25. FUNGSI Garis Singgung dan Garis Normal
Garis normal dari grafik pada salah satu titik (pada grafik
LIMIT tersebut) adalah garis yang tegak lurus garis singgung pada titik
tersebut.
Garis
y Singgung
ANALISIS ( x₀
FUNGSI ,y₀) f(x)
Garis
Normal
x
APLIKASI
TURUNAN

26. FUNGSI Garis Singgung dan Garis Normal
1
Persamaan garis normal di (x₀,y₀) : y y0 ( x x0 )
f ' ( x)
LIMIT
Serta bila
- Garis Singgung // sumbu y maka garis normal // sumbu x
- Garis singgung // sumbu x maka garis normal // sumbu y
ANALISIS Contoh :
FUNGSI Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada y x3 2 x 2 4
Di titik (2,4), maka
f ' ( x) y ' 3x 2 4 x Jadi
Garis singgung : y-4=4(x-2) atau
f ' (2) 4 y=4x-4
APLIKASI
Garis Normal : y-4=-(x-2)/4 atau
TURUNAN 4y=x+14