Dokumen ini membahas tentang konsep turunan dalam kalkulus, termasuk definisi turunan di satu titik, turunan sepihak, dan syarat diferensiabilitas fungsi. Juga dijelaskan aturan pencarian turunan serta aplikasi terhadap fungsi trigonometri. Selain itu, disertakan contoh dan latihan untuk menemukan konstant a dan b agar fungsi diferensiabel di titik tertentu.

1. TURUNAN
1

2. 4.1 Konsep Turunan
4.1.1 Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
Q
f(x)
f ( x ) − f (c )
mPQ = f(x)-f(c)
x−c
f(c) P
Jika x  c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P x-c
dgn kemiringan c x
f(x) − f(c)
m = lim
x→ c x−c
2

3. • b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga
posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda
berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Perubahan waktu Perubahan
posisi
c
f(c)
c+h
f(c+h)
s
• Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
f ( c + h ) − f (c )
vrata − rata =
h
3

4. Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
f (c + h ) − f ( c )
v = lim v rata − rata = lim
h→ 0 h→ 0 h
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
f(x) − f(c)
v = lim
x →c x −c
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan
sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema,
yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan
sebagai berikut: f ' (c )
f(x) − f(c)
bila limit diatas ada f ' (c) = lim
x→ c x−c
4

5. Notasi lain :
df (c)
, y' (c)
dx
1
Contoh : Diketahui f ( x ) = tentukan f ' (3)
x
1 1
−
f(x) − f( 3 )
f'( 3 ) = lim = lim x
x→ x −
3
x →3 x −3 3 3
3− x − ( x − 3)
= lim = lim
x →3 3 x(x − 3 )
x →3 3 x(x − 3 )
−1 1
= lim =−
x→ 3x
3 9
MA1114 Kalkulus I 5

6. 4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ( x ) − f (c )
f −' (c) = lim
x →c−
x−c
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f(x) − f(c)
f +' (c) = lim
x →c+
x−c
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau f ' (c )
ada, jika
' '
f − ( c ) = f + ( c ) dan f ' ( c ) = f _ ( c ) = f +' ( c )
'
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
MA1114 Kalkulus I 6

7. x2 − x + 3 , x < 1
Contoh : Diketahui f ( x) = 
1 + 2 x , x ≥ 1
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1
Jika ya, tentukan f ' (1)
Jawab :
f ( x ) − f (1) x 2 − x + 3 − (1 + 2 1 )
a. f −' ( 1 ) = lim = lim
x→ 1− x−1 x →1 x −1
x2 −x x( x − 1 )
= lim = lim =1
x → x −1
1 x →1 x −1
f ( x ) − f (1 ) 1 + 2 x − (1 + 2 1 )
b. f +' ( 1 ) = lim = lim
x → 1+ x−1 x →1 x −1
2 x − 2 = 2 lim x −1
= lim =1
x→ 1 x −1 x → 1 ( x − 1 )( x + 1 )
Jadi, f diferensiabel di x=1. dan f ' (1) = 1.
MA1114 Kalkulus I 7

8. – Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
– Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
lim f ( x) = f (c)
x→c
f ( x ) − f (c )
– Perhatikan bahwa f ( x) = f (c) + .( x − c) , x ≠ c
x−c
– Maka
 f ( x ) − f (c ) 
lim f ( x) = lim  f (c) + ( x − c)
x →c x →c
 x−c 
f ( x ) − f (c )
= lim f (c) + lim . lim( x − c)
x →c x →c x−c x →c
= f (c) + f ' (c).0 = f(c). Terbukti.
– Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c,
maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh
contoh berikut.
MA1114 Kalkulus I 8

9. Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0
tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab
Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
 x , x≥0
f ( x) =| x |= 
− x , x < 0
 f(0) = 0
 lim f ( x ) = lim x = 0
x →0 + x →0
lim f ( x) = 0
x→ 0
lim f ( x ) = lim ( − x ) = 0
x →0 − x→ 0
 lim f ( x ) = f (0)
x →0
f kontinu di x=0
MA1114 Kalkulus I 9

10. Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0
' f ( x )− f (0) −x − 0 −x
f− ( 0 ) = lim = lim = lim = −1
x→ 0 − x−0 x→ 0 x x→ 0 x
' f ( x )− f (0) x− 0 x
f + ( 0 ) = lim = lim = lim = 1.
x→ 0+ x−0 x →0 x x →0 x
Karena − 1 = f −' (0) ≠ f +' (0) = 1
maka f tidak diferensiabel di 0.
MA1114 Kalkulus I 10

11. Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut
diferensiabel di x=1 ;
 x2 + b , x < 1
f ( x) = 
 ax , x ≥ 1
Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah
a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)
b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau
f (1) = lim f ( x) = lim f ( x).
− +
x →1 x →1
a = lim x 2 + b = lim ax ⇔ a = 1 + b = a ⇔ b = a − 1
x →1 x →1
MA1114 Kalkulus I 11

12. f ( x) − f (1) = lim x 2 +b − a
f −' (1) = lim−
x→ 1 x−1 x→ 1 x −1
x 2 + ( a −1 ) − a x 2 −1
= lim = lim
x→ 1 x −1 x→ x −
1 1
( x −1 )( x +1 )
= lim = lim x + 1 = 2
x→1 x −1 x →1
f ( x) − f (1) ax − a x −1
f (1) = lim+
+
'
= lim = a lim =a
x→ 1 x−1 x → x −1
1 x→1 x −1
f −' (1) = f +' (1) ⇒ a = 2
Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.
MA1114 Kalkulus I 12

13. Soal Latihan
Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel
di titik yang diberikan.
 ax − b ; x < 2
1. f ( x ) =  2 x 2 − 1 ; x ≥ 2 , x=2

 x2 − 1 ; x < 3

2. f ( x ) =  , x=3
 2 ax + b ; x ≥ 3

3.  a x + 3 ;0 ≤ x < 1
f (x ) =  2 ,x=1
 x − bx ; x ≥ 1

MA1114 Kalkulus I 13

14. 4.2 Aturan Pencarian Turunan
• Fungsi Turunan Pertama
• Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan
pertama dari f, ditulis f ' ( x ) didefinisikan sebagai
,
f (t ) − f ( x)
f '( x) = lim , ∀x ∈Ι
t→x t−x
• atau jika h=t-x
f ( x + h) − f ( x )
f '( x) = lim , ∀ x∈Ι
h →0 h
bila limitnya ada.
dy df ( x)
• Notasi lain y ', , , Dx y, Dx f ( x) , bentukdy dikenal
dx dx dx
sebagai notasi Leibniz.
MA1114 Kalkulus I 14

15. • Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan
untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka f ' ( x) = 0
2.
d xr( ) = r x r −1 ; r ∈ R
dx
3. d ( f(x) ± g(x))
= f ' (x) ± g ' (x)
dx
d ( f ( x) g ( x) )
4. = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x)
dx
d ( f ( x ) g ( x ) ) f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
5. = ≠
dengan g(x) 0.
dx g 2 ( x)
MA1114 Kalkulus I 15

16. Bukti aturan ke-4
Misal h(x) = f(x)g(x)
h( x + h) − h( x ) = lim
f ( x + h ) g ( x + h) − f ( x ) g ( x )
h' ( x) = lim
h→ 0 h h→ 0 h
f ( x + h) g ( x + h) − f ( x + h) g ( x ) + f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x )
= lim
h→ 0 h
 g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x ) 
= lim  f ( x + h) + g ( x + h) 
h→ 0
 h h 
g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x )
= lim f ( x + h) lim + lim g ( x + h) lim
h→ 0 h→ 0 h h→ 0 h→ 0 h
= f ( x) g ' ( x) + g ( x) f ' ( x)
= f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x)
MA1114 Kalkulus I 16

17. Contoh
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = x + 3x + 4
3 2
Jawab :
f ' ( x) = 3 x 2 + 3.2 x + 0 = 3 x 2 + 6 x
2. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = ( x 3 + 1)( x 2 + 2 x + 3)
Jawab :
f ' ( x) = 3 x 2 ( x 2 + 2 x + 3) + ( x 3 + 1)(2 x + 2)
= 3x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 2
= 5x 4 + 8x3 + 9 x 2 + 2 x + 2
x+3
3.Tentukan turunan pertama dari f ( x) = 2
Jawab : x +1
1.( x 2 + 1 ) − 2 x( x + 3 ) x2 +1 − 6x − 2x2 − x 2 − 6x +1
f' ( x) = = = .
2 2
2
( x +1 ) 2 2
( x +1) 2 ( x +1)
MA1114 Kalkulus I 17

18. Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari
1. f ( x) = x 1 / 2 + 3 x 2 + 1
2. f ( x) = ( x + 1) ( x 3 + 2 x + 1)
x +1
3. f ( x) =
x −1
x
4. f ( x) =
x2 − 1
x2 − 1
5. f ( x) = 2
x +1
MA1114 Kalkulus I 18

19. 4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
a. f ( x) = sin x → f ' ( x) = cos x
b. f ( x) = cos x → f ' ( x) = − sin x
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
t + x t − x
2 cos  sin 
sint −sin x  2   2 
f ' ( x ) = lim = lim
t→x t −x t →x t−x
t−x
sin( )
t+x 2
= lim cos( ). lim
t →x 2 t − x →0 t−x
2 ( )
2
= cos x.1 = cos x.
MA1114 Kalkulus I 19

20. b. Misal f(x) = cos x maka
cos( x + h) − cos x = lim cos x cosh − sin x sinh − cos x
f ' ( x) = lim
h →0 h h→ 0 h
h
cos x(− sin 2 )
cos x(cosh − 1) − sin x sinh = lim 2 − sin x sinh
= lim h→ 0 h h
h→ 0 h
h 2
cos x (− sin 2 )h  sin(h / 2)  h sinh
= lim( 2 − sin x sinh ) = cos x lim −   − sin x lim
h→ 0 ( h / 2) 2 4 h
( h / 2 )→ 0
 h/2  4 h→ 0 h
= cos x .0 − sin x = − sin x
MA1114 Kalkulus I 20

21. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
d ( tan x ) d ( sin x cos x ) = cos 2 x + sin 2 x =
1
= sec 2 x
c. = cos 2 x cos 2 x
dx dx
d ( cot x ) d ( cos x sin x ) − sin 2 x − cos 2 x −1
d. = = = = − csc 2 x
dx dx sin 2 x sin 2 x
d ( sec x ) d ( 1cos x ) = sin x sin x 1
e. = = = tan x sec x
dx dx cos 2 x cos x cos x
d ( csc x ) d ( 1sin x ) = − cos x = − cos x 1 = − csc x cot x
f. = sin 2 x sin x sin x
dx dx
MA1114 Kalkulus I 21

22. 4.4 Aturan Rantai
dy du
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,
maka du dx
dy dy du
=
dx du dx
dy
dari y = sin( x + 1)
2
Contoh : Tentukan
dx
Jawab :
Misal u = x 2 + 1 sehingga bentuk diatas menjadi y = sin u
Karena dy dan du
= cos u = 2x
du dx
maka
dy
= cos( x 2 + 1) 2 x = 2 x cos( x 2 + 1)
dx
MA1114 Kalkulus I 22

23. dy du dv
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan , , Ada, maka
du dv dx
dy dy du dv
=
dx du dv dx
dy
dari y = Sin ( x + 5)
4 3
Contoh : Tentukan
dx
Jawab :
dv
Misal v= x +53
→ dx
= 3 x2
u = Sin v → du
= cos v = cos( x 3 + 5)
dv
y = u4 → dy
= 4 u 3 = 4Sin 3 ( x 3 + 5)
sehingga du
dy dy du dv
= . . = 12 x 2 Sin 3 ( x 3 + 5) Cos( x 3 + 5)
dx du dv dx
MA1114 Kalkulus I 23

24. • Contoh : Tentukan
d
2
f ' ( x ) jika ( f ( x 2 )) = x 2 + 1, x ≠ 0
dx
jawab :
d
dx
( f ( x 2 )) = x 2 + 1 ⇔ f ' ( x 2 ).2 x = x 2 + 1
x2 + 1
⇔ f '(x ) =
2
2x
MA1114 Kalkulus I 24

25. Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari
2
x − 2x + 5
1. y= 2 Tentukan f' (cos(x )), 2
x + 2x − 3
d(f(cos(x 2 ))
= ( 2 x − 3)
10
2. y = ( 2 x − 3) 10 jika dx
3. y = sin 3 x
4.
(
y = cos 4 4 x 2 − x )
2
 x + 1
5. y= 
 x − 1
6. y = sin x tan [ x2 + 1 ]
MA1114 Kalkulus I 25

26. 4.5 Turunan Tingkat Tinggi
• Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f (n)
( x) =
dx
( f ( x) )
d ( n −1)
df ( x)
• Turunan pertama f ' (x) =
dx
d f ( x)
2
• Turunan kedua f " ( x) =
dx 2
d 3 f ( x)
• Turunan ketiga f " ' ( x) =
dx 3
d f ( x) n
• Turunan ke-n f ( n ) ( x) =
dx n
• Contoh : Tentukan y ' ' dari y = 4 x 3 + sin x
• Jawab :
y ' = 12 x 2 + cos x maka y' ' = 24 x − sin x
MA1114 Kalkulus I 26

27. Soal Latihan
A. Tentukan turunan kedua dari
1. y = sin ( 2 x − 1)
4
2. y = ( 2 x − 3)
x
3. y=
x+1
4. y = cos2 ( π x)
B. Tentukan nilai c sehingga f "( c) = 0 bila f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 45 x − 6
2
C. Tentukan nilai a, b dan c dari g ( x ) = ax + b x + c bila g (1) = 5,
g ' (1) = 3 dan g ' ' (1) = − 4
MA1114 Kalkulus I 27

28. 4.6 Turunan Fungsi Implisit
• Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk
y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara
peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang
berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi
implisit dari x.
Contoh :
1. x 3 y 2 + x 2 + y = 10
2. sin( xy ) + x 2 = y 2 + 1
• Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan
aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
MA1114 Kalkulus I 28

29. Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut
1. x 3 y 2 + x 2 + y = 10 2. sin( xy ) + x 2 = y 2 + 1
Jawab
1. Dx ( x 3 y 2 + x 2 + y ) = Dx (10)
D x ( x 3 y 2 ) + D x ( x 2 ) + D x ( y ) = D x (10)
(3 x 2 y 2 + 2 x 3 y y ' ) + 2 x + y ' = 0
(2 x 3 y + 1) y ' = − 2 x − 3x 2 y 2
− 2 x − 3x 2 y 2
y' =
2x 3 y + 1
2. Dx ( sin( xy ) + x 2 ) = Dx ( y 2 + 1)
cos( xy ) ( y + xy ' ) + 2 x = 2 yy '+ 0
( x cos( xy ) − 2 y ) y ' = − 2 x − y cos( xy )
− 2 x − y cos( xy )
y' =
x cos( xy ) − 2 y
MA1114 Kalkulus I 29

30. Soal Latihan
'
Tentukan turunan pertama ( y ) dari bentuk implisit
1. x 3 − 3x 2 y + y2 = 0
2. y + sin ( xy) = 1
3. tan ( x y ) - 2 y = 0
4. x 2 sin( xy ) + y = x
MA1114 Kalkulus I 30

31. 4.7 Garis singgung dan garis normal
• Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0)
dengan kemiringan m adalah
y – y0 = m( x – x0 ).
• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut
dengan garis normal.
• Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
1
y − y0 = − ( x − x0 ).
m
MA1114 Kalkulus I 31

32. Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal
y = x3 − 2 x 2 + 6
fungsi di (2,6).
Jawab :
y ' = 3 x 2 − 4 x → y ' (2,6) = 3.2 2 − 4.2 = 4
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
y − 6 = 4( x − 2)
y = 4x − 2
Persamaan garis normal dititik (2,6) :
1 1 1
y − 6 = − ( x − 2) ⇔ y − 6 = − x +
4 4 2
1 13
y =− x+ .
4 2
MA1114 Kalkulus I 32

33. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva
x 2 y 2 − xy − 6 = 0 di titik dengan absis( x) = 1
Jawab :
Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh
y2 − y − 6 = 0 ⇔ ( y − 3)( y + 2) = 0 y = 3 dan y = -2
Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis
singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)
Hitung terlebih dahulu y ' dengan menggunakan turunan fungsi implisit
Dx ( x 2 y 2 − xy − 6) = Dx (0) ⇔ 2 xy 2 + 2 x 2 yy '− ( y + xy ' ) − 0 = 0
2 xy 2 + 2 x 2 yy '− y − xy ' = 0
MA1114 Kalkulus I 33

34. y − 2 xy 2
(2 x y − x) y ' = y − 2 xy
2 2
⇒ y' = 2
2x y − x
Di titik (1,3)
3 − 2.1.9 − 15
y ' |(1,3) = = = −3
2.1.3 − 1 5
Persamaan garis singgung
y − 3 = − 3( x − 1) = − 3x + 3
3x + y = 6
Persamaan garis normal
1 1 1
y − 3 = ( x − 1) = x −
3 3 3
x − 3 y = −8
MA1114 Kalkulus I 34

35. Di titik (1,-2)
− 2 − 2.1.4 − 10
y ' |(1, −2) = = =2
2.1.(− 2) − 1 − 5
Persamaan garis singgung
y + 2 = 2( x − 1) = 2 x − 2
2x − y = 4
Persamaan garis normal
1 1 1
y + 2 = − ( x − 1) = − x +
2 2 2
x + 2 y = −3
MA1114 Kalkulus I 35

36. 4.8 Diferensial dan Hampiran
• 4.8.1 Diferensial
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y
• Jika f ' ( x)ada, maka f ' ( x) = lim = lim
∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
Q
T
.
P
x
x x + ∆x
∆y
Untuk ∆x sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ≈ f ' ( x) , ∆y ≈ f ' ( x)∆x
,
∆x
• Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka
Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah dx = ∆x
Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah dy = f ' ( x)dx
MA1114 Kalkulus I 36

37. 4.8.2 Hampiran
• Perhatikan kembali gambar sebelumnya,
• Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x
ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh
dy .
• Jadi , f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + dy = f ( x ) + f ' ( x(*) x
)∆
3
• Contoh : Hampiri 28
1 1
• Jawab : Pandang, f ( x) = x ⇒ f (27) = 27 = 3 27 = 3
3 3
2 2 2
1 −3 1 − 1 3 −3 1
f ' ( x) = x ⇒ f ' (27) = (27) = (3 ) =
3
3 3 3 27
Dengan pers (*)
1
f ( 28) ≈ f ( 27) + f ' (27)(28 − 27) = 3 .
MA1114 Kalkulus I
27 37

38. Soal Latihan
1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
y + sin ( xy) = 1
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (π ,1)
2. Gunakan diferensial untuk menghampiri
a. 10
b. 33
3. Jika diketahui f ' (0) = 2 , g (0) = 0 , g ' (0) = 3 tentukan ( f  g )' (0).
MA1114 Kalkulus I 38