2. PEMBAHASAN
Rank dari MatriksRank dari Matriks
Penyelesaian Sistem RetangularPenyelesaian Sistem Retangular
EigenvalueEigenvalue
EigenvectorEigenvector
3. RANK DARI MATRIKS
Jumlah maksimum vektor baris yang memiliki
kebebasan linier dari suatu matriks A = [ aik ]
disebut Rank dari A dan dinotasikan oleh
‘rank [A]’
Contoh :Contoh :
A =
3 0 2 2
-6 42 24 54
21 -21 0 -15
4. Memiliki rank 2, karena dari contoh diatas,Memiliki rank 2, karena dari contoh diatas,
kedua vektor baris pertama memilikikedua vektor baris pertama memiliki
kebebasan linier, sedangkan ketiga vektorkebebasan linier, sedangkan ketiga vektor
baris memiliki ketidakbebasan linier.baris memiliki ketidakbebasan linier.
5. selanjutnya, perhatikan bahwa rank [A] A
= 0 dan rank-baris sama dengan rank-kolom,
yaitu rank matriks A sama dengan jumlah
maksimum vektor kolom yang memiliki
kebebasan linier dari suatu matriks A, atau
dapat juga dikatakan bahwa matriks A dan
bentuk transposenya AT
mnemiliki rank yang
sama.
6. untuk menentukan kebebasan / ketidakbebasanuntuk menentukan kebebasan / ketidakbebasan
linier vektor sejumlah m, vlinier vektor sejumlah m, v11,v,v22,..,v,..,vpp (masing2(masing2
terdiri dari n komponen), dikatakan memilikiterdiri dari n komponen), dikatakan memiliki
kebebasan linier jika matriks dengan vektorkebebasan linier jika matriks dengan vektor
baris vbaris v11,v,v22,..,v,..,vpp memiliki rank p; dan dikatakanmemiliki rank p; dan dikatakan
memiliki ketidakbebasan linier jika memilikimemiliki ketidakbebasan linier jika memiliki
rank kurang dari p.rank kurang dari p.
7. untuk menentukan rank matriks A dapatuntuk menentukan rank matriks A dapat
dilakukan dengan mereduksi A ke bentukdilakukan dengan mereduksi A ke bentuk
eselon dengan menggunakan Eliminasi Gausseselon dengan menggunakan Eliminasi Gauss
Contoh :Contoh :
A =
3 0 2 2
-6 42 24 54
21 -21 0 -15
9. Dengan hasil diatas, maka sekarang matriksDengan hasil diatas, maka sekarang matriks
adalah dalam bentuk eselon. Dari siniadalah dalam bentuk eselon. Dari sini
diperolehdiperoleh rankrank[A] = 2[A] = 2
10. PENYELESAIAN SISTEM RETANGULAR
Misalkan terdapat suatu sistem :Misalkan terdapat suatu sistem :
Ax = bAx = b
Keterangan :Keterangan :
A = matriks m x nA = matriks m x n
x = matriks n x 1x = matriks n x 1
b = matriks m x 1b = matriks m x 1
11. Penyelesaian dapat dengan mudah didapatkanPenyelesaian dapat dengan mudah didapatkan
jika menggunakan operasi baris elementerjika menggunakan operasi baris elementer
(ERO) untuk pada matriks augmented [Ab].(ERO) untuk pada matriks augmented [Ab].
Gambar berikut menunjukkan [Ab] direduksi (r<min
atau r=min {m,n}); tanda “ * “ mempresentasikan
elemen yang tidak nol – elemen-elemen lain yang ada
di atas garis diagonal boleh nol/tidak.
12. Sistem persamaan dikatakan konsisten jikaSistem persamaan dikatakan konsisten jika
memiliki setidaknya sebuah penyelesaian danmemiliki setidaknya sebuah penyelesaian dan
dikatakan tidak konsisten jika tidak memilikidikatakan tidak konsisten jika tidak memiliki
penyelesaian.penyelesaian.
13. TEORI DASAR UNTUK SISTEM
PERSAMAAN LINIER
a11x1 + a12x2 + ....+ a1n Xn = b1
a22x1 + a22x2 + ....+ a2n Xn = b2
: : :
: : :
am1x1 + am2x2 + ....+ amn Xn = bm
Akan memiliki penyelesaian jika dan hanya jika
matriks koefisien A, dan matriks augmented H =
[Ab], memiliki rank yang sama.
Sebuah sistem persamaan linier :
14. Jika rank ini, r , sama dengan n, maka sistem
tesebut memiliki unique solution.
Jika r < n, maka sistem memiliki penyelesaian
yang tidak hingga.
Jika sistem tersebut memiliki penyelesaian,
maka penyelesaian tersebut dapat diperoleh
dengan menggunakan Eleminasi gauss
15. EIGENVALUE DAN
EIGENVECTOR
Bentuk umum permasalahan Eigenvalue:
Ax = λx ........................(7)
Dengan A adalah matriks m x n dan x adalah
matriks nx1 (vektor kolom)
Permasalahannya adalah menemukan λ dengan kondisi
persamaan (7) memiliki penyelesaian x yang nontrivial
(tidak nol)
λ disebut sebagai eigenvalue dan x disebut sebagai
eigenvector dari matriks A.
16. Persamaan (7) dapat ditulis sebagai berikut:
A x = λ I x
A x – λ I x = 0
( A – λ I ) x = 0 .................................(8)
Karena besarnya λ berubah-ubah, maka A – λ I juga
berubah.
Jika det(A –λI) ≠ 0, matriks A – λI dapat disisipkan, dan
satu-satunya penyelesaian untuk (8) adalah
x = (A- λI)-1
0 = 0
Namun, penyelesaian bukan-nol x akan muncul
menyebabkan λ sebagai berikut:
det(A - λI) = 0..........................(9)
17. Persamaan (9) disebut sebagai persamaan karakteristik.
Secara umum, jika A adalah matriks n x n maka:
det(A – λI) = λn
+ an-1 λn-1
+ .. + a1 λ + a0 ...(10)
Adalah polynomial tingkat ke-n dalam λ, disebut
polynomial karakteristik. Maka (9) ekivalen terhadap
λn
+ an-1 λn-1
+ .. + a1 λ + a0 = 0 ...(10)
dan penyelesaian untuk persamaan ini adalah eigenvalue
λ1 ,.....,λn.
Jika x adalah eigenvector dari A dengan eigenvalue λ, dan
c ≠ 0 adalah sebuah scalar maka cx juga adalah
eigenvector dari A dengan eigenvalue λ, karena
A(cx) = cAx = cλx = λ(cx)
18. CONTO
H:
Tentukan eigenvalue dan eigenvector dari matriks berikut:
Penyelesaian:
Pertama-tama selesaikan persamaan karakteristik
A =
3 -2
4 -3
x
y
Untuk masing-masing eigenvalue harus
didapatkan eigenvector-nya. Tuliskan x =
det(A- λI)λI) = 0 det
3-λλ -24
4 -3-λλ = 0 λ = ± 1λ = ± 1
19. λ = 1: Ax = λ x = 1 =
3 -2
4 -3
x
y
x
y
x
y
3x -2y = x x = y
4x -3y = y x = y
Sehingga semua vector dalam bentuk
adalah sebuah eigenvector, dengan α ≠ 0
1
1
α
20. λ = -1: Ax = λ x = -1 =
3 -2
4 -3
x
y
x
y
-x
-y
3x -2y = -x 2x = y
4x -3y = -y 2x = y
Sehingga semua vector dalam bentuk
adalah sebuah eigenvector, dengan α ≠ 0
1
2
α
