KALKULUS KELAS XII
RINGKASAN MATERI


Pengertian : Integral adalah anti turunan                                  II. INTEGRAL TERTENTU

I.   INTEGRAL TAK TENTU                                                    Bila ∫ f(x) dx = F(x) + C, maka

Bila F’(x) = f(x) maka


Rumus dasar Integral tak tentu.
                                                                           Ket : f(x) disebut sebagai integran
                                                                           a. disebut sebagai batas bawah pengintegralan
1. ∫ a dx             = ................................................   b. disebut sebagai batas atas pengintegralan
2. ∫ F’(x) dx         = ................................................
                                                                           Sifat-sifat Integral Tertentu
3. ∫xn dx             = .......................... untuk n ≠ −1
                                                                                a
      −1
4. ∫x dx              = .......................... untuk x > 0             1.   ∫   f(x) dx = 0
                                                                                a
                                                                                b                 a
5. ∫(ax + b)n dx= ..........................untuk n ≠ −1                            f(x) dx = − ∫ f(x) dx
                                                                           2.   ∫
                                                                                a                 b
                                                                                b                     b
Penerapan Pengintegralan Tak Tentu                                         3.   ∫   k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, k = konstanta
I. Gradien garis singgung suatu kurva y = f(x)                                  a                     a
   di sembarang titik (x , y ) adalah :                                         b                         b                   b
                                                                           4.   ∫ {f(x)   ± g(x)} dx =    ∫ f(x) dx     ±     ∫   g(x) dx
                dy                                                              a                         a                   a
           m=      = f ' (x)                                                    b             c               c
                dx
                                                                           5.   ∫ f(x) dx +   ∫ f(x) dx =     ∫   f(x) dx ,
                                                                                a             b               a
II. Bila l adalah garis y = m1x + C1 dan k
                                                                                untuk a < b < c
    adalah garis y = m2x + C2
    maka :
        1. syarat l // k     → m1 = m2
        2. syarat l ⊥ k       → m1 . m2 = −1

III. Dalam Fisika




                                                                                                                        1
A. LUAS

1.                                                                               2.       y
         y                                                                                                            y=f(x)
                                       y=f(x)                                                                                       b
                                                                                                                              L = ∫ (f ( x) − g( x) )dx
                                                              b
                                                                                                                                    a
                                                       L = ∫ f ( x )dx
                                                                                                                     y=g(x)
                                      x                       a
     0       a              b                                                         0       a
                                                                                                                     x
                                                                                                               b




3.                    x=f(y)                                                     4.       y       x=f(y)      x=g(y)
     d                                                                                d
                                                                                                                               d
                                                        d
                                                  L = ∫ f (y) dy                                                      L = ∫ (g(y) − f ( y) )dy
                                                                                                                               c
                                                        c
     c
                                                                                      c
                                              x
     0                                                                                                                        x
                                                                                      0



B. VOLUME
         a. volume benda putar mengelilingi
            sumbu x
                                                                                                  2.   y
                 1.     y
                                                                                                                                   y=f(x)
                                                             y=f(x)
                                                                                                                                    y=g(x)

                                                                                                                                    x
                                                                                                   0   a                  b
                                                         x
                  0     a                         b




                                                                                                               b
                                          b                                                            V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx
                                V = π ∫ f 2 (x)        dx                                                      a
                                          a


         b. volume benda                              putar       mengelilingi
            sumbu y
                                                                                                                      d
                                                  d                                                     2. V = π ∫ ⎛ f 2 (y) − g2 (y) ⎞ dy
                                                                                                                   ⎜                  ⎟
                                                                                                                   ⎝                  ⎠
                            1. V = π ∫ x 2              dy                                                            c
                                                  c




                                                                                                                                         2
RUMUS-RUMUS INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

                                                    09. ∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + C
     01. ∫ cos x dx = sin x + C



                                                    10. ∫ cosec2 (ax + b) dx = -1/a cot (ax + b) + C
     02. ∫ sin x dx = -cos x + C



                                                    11. ∫ tan (ax + b)sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + C
     03. ∫ Sec2 x dx = tan x + C



                                                    12. ∫ cot (ax + b) cosec (ax + b ) dx = -1/a cosec (ax + b) +
     04. ∫ cosec2 x dx = -cot x + C
                                                    C



     05. ∫ tanx sec x dx = sec x + C                13. ∫ tan x dx = ln | sec x | + C




     06. ∫ cot x . cosec x dx = -cosec x + C        14. ∫ cot x dx = ln | sin x | + C



     07. ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + C
                                                    15. ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C



     08. ∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) +
     C                                              16. ∫ cosec x dx = ln | cosec x -cot x| + C




Rumus-rumus trigonometri yang diperlukan dalam pengintegralan

01. sin2 A + cos2A = 1                                 06. cos2A =     1       ( 1 + cos 2A )
                                                                       2

02. tan2A + 1 = sec2 A                                 07. sin A cos B =          1       [ sin (A + B) + sin (A – B) ]
                                                                                  2

03. cot2A + 1 = cs c2 A                                08. cos A sin B =          1   [ sin (A + B) – sin (A – B) ]
                                                                                  2

04. sin A cos A =    1   sin 2A                        09. cos A cos B =          1       [ cos (A + B) + cos (A – B) ]
                     2                                                            2

05. sin2A =   1   ( 1 – cos 2A )                       10. sin A sin B = –            1   [ cos (A + B) – cos (A – B) ]
              2                                                                       2


LATIHAN SOAL

     ∫ (3X − 6X + 7) dx = ....                                     1
          2
1.                                                      2.    ∫ 2x     x
                                                                           dx =
     A.   6 x3 − 6x2 + 6x + C
                                                                           1                             2
     B.   x3 − 3x2 + 7x + C                                   A. −              +C                D.          +C
     C.   3x3 − 6x2 + 7x + C                                                x                             x
          2x3 − 5x2 + 6x + C                                               2                                  1
     D.                                                       B. −              +C                E. −             +C
     E.   1 x3 − 5x2 + 7x + C                                               x                             2 x
          3
                                                                           1
                                                              C.                +C
                                                                           x




                                                                                                                   3
3. Jika f’(x) = 1/3 x2 − 2x + 5 dan f(0) = 5,                   2

   maka f(x) =                                             10. ∫ x − 1 dx =
                                                                   3
                                                                1 x
   A. 1 x3 − x2 + 5x + C
        9                                                       A. − 1 1/16                       D. 1
     B.          2
                 3
                      x − x + 5x + 9
                          3        2
                                                                B. 1/8                            E. 1 1/2
                                                                C. 7/8
     C.          2
                 3
                       x3 − 2x2 + 5x + 5
     D.          1     x3 − 2x2 + 5x + 3                        3
                 9
                                                           11. ∫ (6 x − 8)4 dx =
     E.          1
                 9
                       x3 − x2 + 5x + 5                         1
                                                                A. 3434,3                         D. 3433,4
     1                                                          B. 4433,4                         E. 3343,3
4.   ∫ (x            x + x 2 )dx       =                        C. 3334,4
     0
     A. 2                                       D. 22                  1                          1

     B. 18                                      E. 24 1
                                                      3
                                                           12. Jika    ∫ f ( x)dx = 4 dan ∫ 4 f ( x)dx = 4
                                                                       0                          5
     C. 20 1
           3
                                                                maka
     b
             1                                                  A. 8                              D. 0
5.   ∫x
     a
             2
                     dx = ....
                                                                B. 4                              E. -4
                 a−b                                  ab        C. 3
     A.                                         D.                                  x
                  ab                                 b−a   13. Jika f(x) = ∫ 4 y 3 dy , maka f ' ( x)=
                   ab                                 ab                            0
     B.                                         E.
                 a−b                                 a+b        A. 4x3                            D. 4x3 + 1/4 x4
                 b−a                                            B. x4                             E. x4 + 4x3
     C.
                  ab                                            C. 1/4 x4

                 2                                                     a                      b
6.   ∫ (6 x          − 2 x + 7) dx =
                                                           14. Jika ∫ 1 3 x 2 dx = 3 , ∫ (2x − 3) dx = 4 , dan
                                                                      2            10
     A.          2x3 - x2 + 7x + C                                    0                       0
     B.          3x3 - x2 + 7x + C                              a > 0, b > 0, maka nilai a2 + 2ab + b2 adalah
     C.          4x3 - x2 + 7x + C                              A. 10                D. 25
     D.          12x3 - x2 + 7x + C                             B. 15                E. 30
     E.          18x3 - x2 + 7x + C                             C. 20

         ⎛       3 2            ⎞                          15. Gradien garis singgung suatu kurva di titik
7.   ∫ ⎜ 8x
       ⎜
       ⎝
                     x −3 x + 3 ⎟ dx =
                                ⎟
                                ⎠                                                                          dy
                                                                (x , y) dinyatakan oleh                       = 2x − 3 dan
     A.          8x − 3x + 3
                      8/3              1/2
                                                                                                           dx
     B.          3x2 3 x 2 - 2x√x + 3x + C                      kurva melalui titik (3, 2). Persamaan kurva
                                                                tersebut adalah
     C.          x3 3 x 2 - x√x + 3x + C
                                                                A. y = x2 − 3x − 2
     D.          x3 3 x 2 - x2√x + 3x2 + C                      B. y = x2 − 3x + 2
     E.          8x2 √x - 3x√x + 3x + C                         C. y = x2 − 3x + 5
                                                                D. y = x2 + 3x − 5
                              3
                                  − 6 x 2 x +1
8. Hasil ∫ 7 x                                                  E. y = x2 − 3x − 5
                                       x
     A. 2x √x - 2x3 + 2√x + C
                      3
                                                           16. Turunan pertama dari
     B. 49/2 x2√3 - 2x3 + 2√x + C                              y=    1
                                                                          adalah y’ = ….
     C. 14/2 x2√3 - 3x3 + 2√x + C                                         1 + x2
     D. 7x2√3 - 6x2 − 1/2√x + C                                 A.    −
                                                                                x
                                                                                                  D.   −
                                                                                                              1
     E. 7x3√3 - 6x3 + 2√x + C                                               (1 + x )2 3
                                                                                                           (1 + x 2 )3
                                                                                x                              x
               10                                               B.    −                           E.   −
9.   ∫ (2x − 4) dx                 =                                       2 (1 + x )   2 3
                                                                                                           (1 − x 2 )3
                 1                         11
     A. /22 (2x - 4) + C                                                       2x
                                                                C.    −
     B. 1/11 (2x - 4)11 + C                                                 (1 + x 2 )3
     C. 1/12 (2x - 4)11 + C
     D. 1/12 (2x - 4)10 + C
     E. (x2 - 4x)10 + C
                                                                                                                4
17. Luas daerah bidang yang dibatasi oleh          25. Luas daerah yang             y
    kurva y = x2, sumbu x, garis x = 1 dan x = 3       dibatasi oleh parabola
    adalah                                             dan sumbu x, seperti
    A. 46/3             D. 16/3                        pada gambar, adalah
    B. 36/3             E. 6/3                         32. Ordinat puncak
    C. 26/3                                            parabola adalah                                         x
                                                                                0                     (4, 0)
                                                       A. 4
18. Luas bidang yang dibatasi oleh parabola            B. 8
    x = 8 + 2y - y2 sumbu y, garis y = -1 dan          C. 12
    y = 3 adalah                                       D. 16
    A. 42/3            D. 82/3                         E. 18
    B. 52/3            E. 92/3
    C. 62/3                                        26. Daerah yang dibatasi oleh kurva : y2 = 10x,
                                                       y2 = 4x dan x = 4 diputar 360o mengelilingi
19. Luas daerah yang dibatasi parabola :               sumbu x. Volume benda putar yang terjadi
    y = x2 - 7x + 6, sumbu x dan garis-garis           adalah
    x = 2 dan x = 6 adalah
                                                       A. 80 π satuan      D. 24 π satuan
    A. 56/3              D. 26/3
    B. 46/3              E. 16/3                       B. 48 π satuan      E. 18 π satuan
    C. 36/3                                            C. 32 π satuan

20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva           27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - 2,
    y = x3 - 6x2 + 8x dan sumbu x adalah               sumbu X, x = 1 dan x = 3 diputar
    A. 4                 D. 7                          mengelilingi sumbu X sejauh 360o. Volume
    B. 5                 E. 8                          benda putar tersebut adalah
    C. 6                                               A. 35 1/3 π          D. 82 2/3 π
                                                       B. 40 2/3 π          E. 83 1/3 π
21. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva               C. 45 1/3 π
    y = 6x - x2 dan y = x2 - 2x pada interval
    [1, 4] adalah                                  28. Daerah D terletak di kuadran pertama yang
    A. 14 2/3         D. 18                            dibatasi oleh parabola y = x2, parabola
    B. 16             E. 24                            y = 4x2 dan garis y = 4. Volume benda
    C. 16 2/3                                          putar yang terjadi bila D diputar terhadap
                                                       sumbu y adalah ....
22. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola:           A. 3π               D. 8π
    y = 6x - x2 dan y = x2 - 2x adalah                 B. 4π               E. 20π
    A. 32/3              D. 72/3                       C. 6π
    B. 42/3              E. 82/3
    C. 64/3                                        29. Daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = x + 2,
                                                       y2 = 2x dan sumbu x diputar mengelilingi
23. Luas daerah antara kurva y = x2 + 4x + 7           sumbu x sejauh 360o, sehingga diperoleh
    dan y = 13 - x2 adalah                             sebuah benda putar. Volume benda putar itu
    A. 10 2/3            D. 32 2/3                     adalah ....
    B. 14 2/3            E. 39 1/3                     A. 2π               D. 5π
    C. 21 1/3                                          B. 3π               E. 6π
                                                       C. 4π
24. Perhatikan gambar di bawah ini !                                                        x2       y2
    Luas daerah yang diarsir adalah                30. Daerah yang dibatasi oleh elips           +        =1
                                                                                            a2       b2
    A. 1/12 satuan luas                                dan subu x yang berada di kuadran pertama
         17                                            diputar mengelilingi sumbu x satu putaran.
    B.        /12 satuan luas                          Volume benda putar yang terjadi adalah ....
         9                                             A. 2/3 ab2π         D. 4/3 a2 bπ
    C.       /4 satuan luas
                                                       B. 4/3 ab π
                                                                 2
                                                                           E. 4/3 a2 b2π
    D.   8
             /3 satuan luas                            C. 2/3 a2 bπ

         37
    E.        /12 satuan luas



                                                                                        5
31. Turunan pertama dari f(x) = sin2 (2x – 1)                   38. ∫      1     dx = ....
    adalah f’(x) = ….                                                    2x x
    A. 2 cos (2x – 1)                                               A.     − 1 +c              D.    − 2 +c
                                                                               x                        x
    B. 2 sin (2x – 1) . cos (2x – 1)
    C. 4 sin (2x – 1) . cos (2x – 1)                                B.     − 1                 E.    − 1 +c
                                                                               x                      2 x
    D. –2 sin (2x – 1) . cos (2x – 1)                                       1 +c
                                                                    C.
    E. –4 sin (2x – 1) . cos (2x – 1)                                        x


32. Diketahui f(x) = 4 x 2 + 9 Jika f’(x) adalah                39. Bila f(x) = xn dan n ≠ 1, maka ∫ f (x) dx
    turunan pertama dari f(x), maka nilai                           adalah ....
    f’(2) = ….                                                      A. xn+1 + K
    A. 0,1             D. 5,0                                       B. n xn-1 + K
    B. 1,6             E. 7,0                                       C. 1 xn+1 + K
    C.      2,5                                                            n +1
                   1
                   2
                     π                                              D. (n + 1) xn+1 + K
33. Nilai ∫ (2x + sin x) dx = ….                                    E. n xn+1 + K
                    0
      A.       1/4π2 - 1                                             π
                                                                     2
      B.       1/4π2                                            40. ∫ (2 sin x + cos x ) dx ….
                                                                     π
      C.       1/2π2 - 1                                             4
                                                                               1      2
      D.       1/4π2 + 1                                            A. -1 -     2
               1 π2 + 1
      E.       2                                                    B.     -2 + 12
                                                                                       2

                                                                    C.     1+ 21      2
34. ∫ n x      dx = 1 x n +1 + c ,          dengan c bilangan
                   n +1                                             D.     1+ 23      2
      tetap berlaku ....
      A. untuk setiap harga n                                       E.     2+ 12
                                                                                      2
      B. untuk n ≠ -1
      C. hanya untuk n < 0                                      41. ∫ (x + 5) cos 2x dx = ….
      D. hanya untuk n > 0                                          A. 1 (x + 5) sin 2x + 1 cos 2x + C
      E. untuk n ≠ 0                                                      2                  4
                                                                    B.     1    (x + 5) cos 2x +    1 sin 2x + C
               2
                                                                           2                        2
35.   ∫ (3x      + 2x + 4) dx sama dengan .....                            1                       1 cos 2x + C
                                                                    C.     4
                                                                                (x + 5) sin 2x -   2
      A.       x + 2x2 + 4x + c
                3
                                                                           1                       1 sin 2x + C
      B.       x3 + x2 + 4x + c                                     D.     2
                                                                                (x + 5) cos 2x -   2
      C.       x3 – 2x2 + 4x + c                                    E.     1    (x + 5) sin 2x -   1 cos 2x + C
      D.       x3 – x2 + 4x + c                                            2                       4
      E.       x3 + x2 – 4x + c
                                                                42. Luas bidang yang dibatas oleh grafik
36. ∫ ( 13     − 3) dx =             ....                           y = 6x - x2 dan sumbu x adalah ….
           x                                                        A. 30 satuan        D. 36 satuan
      A.       − 1 −3 + c                                           B. 32 satuan        E. 28 satuan
                2x 3                                                C. 34 satuan
      B.       − 1 − 3x + c
                2x 3                                                 π
               − 1 −3 + c
                                                                     6
      C.                                                        43. ∫ (sin 3x + cos 3x ) dx = ….
                2x 2
                                                                     0
      D.        1 − 3x + c
                                                                    A.     2                   D. - 4
               2x 2                                                        3                        3
      E. bukan salah satu di atas                                   B.     1                   E. - 2
                                                                           3                        3
37. ∫ x x dx adalah ....                                            C. 0
    A. 1 1 x x + c
          2                                                     44. ∫ (x 2 + 1) cos x dx = ….
      B. 2 1 x
           2
                         2
                                 x    +c                            A. x2 sin x + 2x cos x + C
      C. 2 1 x                   x   +c                             B. (x2 - 1) sin x + 2x cos x + C
           2                                                        C. (x2 + 3) sin x - 2x cos x + C
               2
      D.
               5
                    x        x   +c                                 D. 2x2 cos 2x2 sin x + C
               2                                                    E. 2x sin x - (x2 - 1) cos x + C
      E.            x2       x       +c
               5

                                                                                                           6
45. ∫ (sin x + cos 3x) dx = ....               π
                                               2
    A. cos x – 3 sin 3x + c                51. ∫ cos 3x . cos x dx = ....
                                               0
    B. cos x + 3 sin 3x + c
    C. –cos x + 3 cos 3x + c                   A. -2 2
    D. –cos x + 1 sin 3x + c                   B. – 1
                                                    2
                       3
      E. –cos x –      1 sin   3x + c          C. 0
                       3                       D. 1
                                                  2

46. ∫ ( x 3 − sin x ) dx = ....                E. 2 2
    A. x3 – cos x + c                      52. Luas daerah yang dibatasi kurva y = cos 3x,
    B. x4 – cos x + c
                                               garis x = π dan x = π garis adalah ....
    C. 1 x4 + cos x + c
           3
                                                           6        4
                                               A.   1 ⎛1 − 1 2 ⎞
                                                      ⎜        ⎟
      D.   1   x4 – cos x + c                       3⎝ 2       ⎠
           4
           1                                   B.   1 ⎛ 1 2 − 1⎞
                                                      ⎜        ⎟
      E.   4
               x4 + cos x + c                       3⎝ 2       ⎠
                                               C.   1 ⎛ 1 2 + 1⎞
                                                      ⎜        ⎟
                                                    3⎝ 2       ⎠
          1
47.   ∫ 2 dx = ....                            D.   1– 2 1 2
       cos 2 x
      A.      2      +c                             1 2-1
           cos 3 2 x                           E.   2
      B.       2       +c
           3 cos 3 2 x
                                           53. Luas daerah yang dibatasi kurva
      C.      6      +c
           cos 3 2 x
                                               y = 1 + cos x, sumbu x, garis x = 0 dan
      D. tg 2x + c                             x = 2π adalah ....
                                               A. 0
      E. 1 tg 2x + c
          2                                    B. 2π
                                               C. 1
48. ∫ sin 6 x . cos 6x dx = ....               D. 1 + 2π
    A. –12 cos 12x + c                         E. 2π - 1
    B. –12 sin 12x + c
    C. − 1 cos 12x + c                     54. Luas daerah dari daerah yang diarsir di
             24
                                               bawah adalah ....
      D.   − 1 sin 12x + c
             24                                A.   5       y
      E.    1 cos 12x + c
           24
                                              B. 3 2                                y = cos x

      π
      2                                                                                       x
49. ∫ 2 sin 2x dx = ....                      C. 2 2
                                                                                  y = sin x
      0
      A. 0                                    D. 2
      B. 2
         3
      C. 2                                    E.      2

      D.   4
           3
      E. 1

      π
50. ∫ sin ( x − π) cos (x − π) dx = ....
      0
      A. 0
      B. 1
         2
      C.   3
           4
      D.   3
           2
      E. 2 3




                                                                              7

Kalkulus%xii (1)

  • 1.
    KALKULUS KELAS XII RINGKASANMATERI Pengertian : Integral adalah anti turunan II. INTEGRAL TERTENTU I. INTEGRAL TAK TENTU Bila ∫ f(x) dx = F(x) + C, maka Bila F’(x) = f(x) maka Rumus dasar Integral tak tentu. Ket : f(x) disebut sebagai integran a. disebut sebagai batas bawah pengintegralan 1. ∫ a dx = ................................................ b. disebut sebagai batas atas pengintegralan 2. ∫ F’(x) dx = ................................................ Sifat-sifat Integral Tertentu 3. ∫xn dx = .......................... untuk n ≠ −1 a −1 4. ∫x dx = .......................... untuk x > 0 1. ∫ f(x) dx = 0 a b a 5. ∫(ax + b)n dx= ..........................untuk n ≠ −1 f(x) dx = − ∫ f(x) dx 2. ∫ a b b b Penerapan Pengintegralan Tak Tentu 3. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, k = konstanta I. Gradien garis singgung suatu kurva y = f(x) a a di sembarang titik (x , y ) adalah : b b b 4. ∫ {f(x) ± g(x)} dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx dy a a a m= = f ' (x) b c c dx 5. ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx , a b a II. Bila l adalah garis y = m1x + C1 dan k untuk a < b < c adalah garis y = m2x + C2 maka : 1. syarat l // k → m1 = m2 2. syarat l ⊥ k → m1 . m2 = −1 III. Dalam Fisika 1
  • 2.
    A. LUAS 1. 2. y y y=f(x) y=f(x) b L = ∫ (f ( x) − g( x) )dx b a L = ∫ f ( x )dx y=g(x) x a 0 a b 0 a x b 3. x=f(y) 4. y x=f(y) x=g(y) d d d d L = ∫ f (y) dy L = ∫ (g(y) − f ( y) )dy c c c c x 0 x 0 B. VOLUME a. volume benda putar mengelilingi sumbu x 2. y 1. y y=f(x) y=f(x) y=g(x) x 0 a b x 0 a b b b V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx V = π ∫ f 2 (x) dx a a b. volume benda putar mengelilingi sumbu y d d 2. V = π ∫ ⎛ f 2 (y) − g2 (y) ⎞ dy ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1. V = π ∫ x 2 dy c c 2
  • 3.
    RUMUS-RUMUS INTEGRAL FUNGSITRIGONOMETRI 09. ∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + C 01. ∫ cos x dx = sin x + C 10. ∫ cosec2 (ax + b) dx = -1/a cot (ax + b) + C 02. ∫ sin x dx = -cos x + C 11. ∫ tan (ax + b)sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + C 03. ∫ Sec2 x dx = tan x + C 12. ∫ cot (ax + b) cosec (ax + b ) dx = -1/a cosec (ax + b) + 04. ∫ cosec2 x dx = -cot x + C C 05. ∫ tanx sec x dx = sec x + C 13. ∫ tan x dx = ln | sec x | + C 06. ∫ cot x . cosec x dx = -cosec x + C 14. ∫ cot x dx = ln | sin x | + C 07. ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + C 15. ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C 08. ∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + C 16. ∫ cosec x dx = ln | cosec x -cot x| + C Rumus-rumus trigonometri yang diperlukan dalam pengintegralan 01. sin2 A + cos2A = 1 06. cos2A = 1 ( 1 + cos 2A ) 2 02. tan2A + 1 = sec2 A 07. sin A cos B = 1 [ sin (A + B) + sin (A – B) ] 2 03. cot2A + 1 = cs c2 A 08. cos A sin B = 1 [ sin (A + B) – sin (A – B) ] 2 04. sin A cos A = 1 sin 2A 09. cos A cos B = 1 [ cos (A + B) + cos (A – B) ] 2 2 05. sin2A = 1 ( 1 – cos 2A ) 10. sin A sin B = – 1 [ cos (A + B) – cos (A – B) ] 2 2 LATIHAN SOAL ∫ (3X − 6X + 7) dx = .... 1 2 1. 2. ∫ 2x x dx = A. 6 x3 − 6x2 + 6x + C 1 2 B. x3 − 3x2 + 7x + C A. − +C D. +C C. 3x3 − 6x2 + 7x + C x x 2x3 − 5x2 + 6x + C 2 1 D. B. − +C E. − +C E. 1 x3 − 5x2 + 7x + C x 2 x 3 1 C. +C x 3
  • 4.
    3. Jika f’(x)= 1/3 x2 − 2x + 5 dan f(0) = 5, 2 maka f(x) = 10. ∫ x − 1 dx = 3 1 x A. 1 x3 − x2 + 5x + C 9 A. − 1 1/16 D. 1 B. 2 3 x − x + 5x + 9 3 2 B. 1/8 E. 1 1/2 C. 7/8 C. 2 3 x3 − 2x2 + 5x + 5 D. 1 x3 − 2x2 + 5x + 3 3 9 11. ∫ (6 x − 8)4 dx = E. 1 9 x3 − x2 + 5x + 5 1 A. 3434,3 D. 3433,4 1 B. 4433,4 E. 3343,3 4. ∫ (x x + x 2 )dx = C. 3334,4 0 A. 2 D. 22 1 1 B. 18 E. 24 1 3 12. Jika ∫ f ( x)dx = 4 dan ∫ 4 f ( x)dx = 4 0 5 C. 20 1 3 maka b 1 A. 8 D. 0 5. ∫x a 2 dx = .... B. 4 E. -4 a−b ab C. 3 A. D. x ab b−a 13. Jika f(x) = ∫ 4 y 3 dy , maka f ' ( x)= ab ab 0 B. E. a−b a+b A. 4x3 D. 4x3 + 1/4 x4 b−a B. x4 E. x4 + 4x3 C. ab C. 1/4 x4 2 a b 6. ∫ (6 x − 2 x + 7) dx = 14. Jika ∫ 1 3 x 2 dx = 3 , ∫ (2x − 3) dx = 4 , dan 2 10 A. 2x3 - x2 + 7x + C 0 0 B. 3x3 - x2 + 7x + C a > 0, b > 0, maka nilai a2 + 2ab + b2 adalah C. 4x3 - x2 + 7x + C A. 10 D. 25 D. 12x3 - x2 + 7x + C B. 15 E. 30 E. 18x3 - x2 + 7x + C C. 20 ⎛ 3 2 ⎞ 15. Gradien garis singgung suatu kurva di titik 7. ∫ ⎜ 8x ⎜ ⎝ x −3 x + 3 ⎟ dx = ⎟ ⎠ dy (x , y) dinyatakan oleh = 2x − 3 dan A. 8x − 3x + 3 8/3 1/2 dx B. 3x2 3 x 2 - 2x√x + 3x + C kurva melalui titik (3, 2). Persamaan kurva tersebut adalah C. x3 3 x 2 - x√x + 3x + C A. y = x2 − 3x − 2 D. x3 3 x 2 - x2√x + 3x2 + C B. y = x2 − 3x + 2 E. 8x2 √x - 3x√x + 3x + C C. y = x2 − 3x + 5 D. y = x2 + 3x − 5 3 − 6 x 2 x +1 8. Hasil ∫ 7 x E. y = x2 − 3x − 5 x A. 2x √x - 2x3 + 2√x + C 3 16. Turunan pertama dari B. 49/2 x2√3 - 2x3 + 2√x + C y= 1 adalah y’ = …. C. 14/2 x2√3 - 3x3 + 2√x + C 1 + x2 D. 7x2√3 - 6x2 − 1/2√x + C A. − x D. − 1 E. 7x3√3 - 6x3 + 2√x + C (1 + x )2 3 (1 + x 2 )3 x x 10 B. − E. − 9. ∫ (2x − 4) dx = 2 (1 + x ) 2 3 (1 − x 2 )3 1 11 A. /22 (2x - 4) + C 2x C. − B. 1/11 (2x - 4)11 + C (1 + x 2 )3 C. 1/12 (2x - 4)11 + C D. 1/12 (2x - 4)10 + C E. (x2 - 4x)10 + C 4
  • 5.
    17. Luas daerahbidang yang dibatasi oleh 25. Luas daerah yang y kurva y = x2, sumbu x, garis x = 1 dan x = 3 dibatasi oleh parabola adalah dan sumbu x, seperti A. 46/3 D. 16/3 pada gambar, adalah B. 36/3 E. 6/3 32. Ordinat puncak C. 26/3 parabola adalah x 0 (4, 0) A. 4 18. Luas bidang yang dibatasi oleh parabola B. 8 x = 8 + 2y - y2 sumbu y, garis y = -1 dan C. 12 y = 3 adalah D. 16 A. 42/3 D. 82/3 E. 18 B. 52/3 E. 92/3 C. 62/3 26. Daerah yang dibatasi oleh kurva : y2 = 10x, y2 = 4x dan x = 4 diputar 360o mengelilingi 19. Luas daerah yang dibatasi parabola : sumbu x. Volume benda putar yang terjadi y = x2 - 7x + 6, sumbu x dan garis-garis adalah x = 2 dan x = 6 adalah A. 80 π satuan D. 24 π satuan A. 56/3 D. 26/3 B. 46/3 E. 16/3 B. 48 π satuan E. 18 π satuan C. 36/3 C. 32 π satuan 20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - 2, y = x3 - 6x2 + 8x dan sumbu x adalah sumbu X, x = 1 dan x = 3 diputar A. 4 D. 7 mengelilingi sumbu X sejauh 360o. Volume B. 5 E. 8 benda putar tersebut adalah C. 6 A. 35 1/3 π D. 82 2/3 π B. 40 2/3 π E. 83 1/3 π 21. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva C. 45 1/3 π y = 6x - x2 dan y = x2 - 2x pada interval [1, 4] adalah 28. Daerah D terletak di kuadran pertama yang A. 14 2/3 D. 18 dibatasi oleh parabola y = x2, parabola B. 16 E. 24 y = 4x2 dan garis y = 4. Volume benda C. 16 2/3 putar yang terjadi bila D diputar terhadap sumbu y adalah .... 22. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola: A. 3π D. 8π y = 6x - x2 dan y = x2 - 2x adalah B. 4π E. 20π A. 32/3 D. 72/3 C. 6π B. 42/3 E. 82/3 C. 64/3 29. Daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = x + 2, y2 = 2x dan sumbu x diputar mengelilingi 23. Luas daerah antara kurva y = x2 + 4x + 7 sumbu x sejauh 360o, sehingga diperoleh dan y = 13 - x2 adalah sebuah benda putar. Volume benda putar itu A. 10 2/3 D. 32 2/3 adalah .... B. 14 2/3 E. 39 1/3 A. 2π D. 5π C. 21 1/3 B. 3π E. 6π C. 4π 24. Perhatikan gambar di bawah ini ! x2 y2 Luas daerah yang diarsir adalah 30. Daerah yang dibatasi oleh elips + =1 a2 b2 A. 1/12 satuan luas dan subu x yang berada di kuadran pertama 17 diputar mengelilingi sumbu x satu putaran. B. /12 satuan luas Volume benda putar yang terjadi adalah .... 9 A. 2/3 ab2π D. 4/3 a2 bπ C. /4 satuan luas B. 4/3 ab π 2 E. 4/3 a2 b2π D. 8 /3 satuan luas C. 2/3 a2 bπ 37 E. /12 satuan luas 5
  • 6.
    31. Turunan pertamadari f(x) = sin2 (2x – 1) 38. ∫ 1 dx = .... adalah f’(x) = …. 2x x A. 2 cos (2x – 1) A. − 1 +c D. − 2 +c x x B. 2 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) C. 4 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) B. − 1 E. − 1 +c x 2 x D. –2 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) 1 +c C. E. –4 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) x 32. Diketahui f(x) = 4 x 2 + 9 Jika f’(x) adalah 39. Bila f(x) = xn dan n ≠ 1, maka ∫ f (x) dx turunan pertama dari f(x), maka nilai adalah .... f’(2) = …. A. xn+1 + K A. 0,1 D. 5,0 B. n xn-1 + K B. 1,6 E. 7,0 C. 1 xn+1 + K C. 2,5 n +1 1 2 π D. (n + 1) xn+1 + K 33. Nilai ∫ (2x + sin x) dx = …. E. n xn+1 + K 0 A. 1/4π2 - 1 π 2 B. 1/4π2 40. ∫ (2 sin x + cos x ) dx …. π C. 1/2π2 - 1 4 1 2 D. 1/4π2 + 1 A. -1 - 2 1 π2 + 1 E. 2 B. -2 + 12 2 C. 1+ 21 2 34. ∫ n x dx = 1 x n +1 + c , dengan c bilangan n +1 D. 1+ 23 2 tetap berlaku .... A. untuk setiap harga n E. 2+ 12 2 B. untuk n ≠ -1 C. hanya untuk n < 0 41. ∫ (x + 5) cos 2x dx = …. D. hanya untuk n > 0 A. 1 (x + 5) sin 2x + 1 cos 2x + C E. untuk n ≠ 0 2 4 B. 1 (x + 5) cos 2x + 1 sin 2x + C 2 2 2 35. ∫ (3x + 2x + 4) dx sama dengan ..... 1 1 cos 2x + C C. 4 (x + 5) sin 2x - 2 A. x + 2x2 + 4x + c 3 1 1 sin 2x + C B. x3 + x2 + 4x + c D. 2 (x + 5) cos 2x - 2 C. x3 – 2x2 + 4x + c E. 1 (x + 5) sin 2x - 1 cos 2x + C D. x3 – x2 + 4x + c 2 4 E. x3 + x2 – 4x + c 42. Luas bidang yang dibatas oleh grafik 36. ∫ ( 13 − 3) dx = .... y = 6x - x2 dan sumbu x adalah …. x A. 30 satuan D. 36 satuan A. − 1 −3 + c B. 32 satuan E. 28 satuan 2x 3 C. 34 satuan B. − 1 − 3x + c 2x 3 π − 1 −3 + c 6 C. 43. ∫ (sin 3x + cos 3x ) dx = …. 2x 2 0 D. 1 − 3x + c A. 2 D. - 4 2x 2 3 3 E. bukan salah satu di atas B. 1 E. - 2 3 3 37. ∫ x x dx adalah .... C. 0 A. 1 1 x x + c 2 44. ∫ (x 2 + 1) cos x dx = …. B. 2 1 x 2 2 x +c A. x2 sin x + 2x cos x + C C. 2 1 x x +c B. (x2 - 1) sin x + 2x cos x + C 2 C. (x2 + 3) sin x - 2x cos x + C 2 D. 5 x x +c D. 2x2 cos 2x2 sin x + C 2 E. 2x sin x - (x2 - 1) cos x + C E. x2 x +c 5 6
  • 7.
    45. ∫ (sinx + cos 3x) dx = .... π 2 A. cos x – 3 sin 3x + c 51. ∫ cos 3x . cos x dx = .... 0 B. cos x + 3 sin 3x + c C. –cos x + 3 cos 3x + c A. -2 2 D. –cos x + 1 sin 3x + c B. – 1 2 3 E. –cos x – 1 sin 3x + c C. 0 3 D. 1 2 46. ∫ ( x 3 − sin x ) dx = .... E. 2 2 A. x3 – cos x + c 52. Luas daerah yang dibatasi kurva y = cos 3x, B. x4 – cos x + c garis x = π dan x = π garis adalah .... C. 1 x4 + cos x + c 3 6 4 A. 1 ⎛1 − 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ D. 1 x4 – cos x + c 3⎝ 2 ⎠ 4 1 B. 1 ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ E. 4 x4 + cos x + c 3⎝ 2 ⎠ C. 1 ⎛ 1 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ 3⎝ 2 ⎠ 1 47. ∫ 2 dx = .... D. 1– 2 1 2 cos 2 x A. 2 +c 1 2-1 cos 3 2 x E. 2 B. 2 +c 3 cos 3 2 x 53. Luas daerah yang dibatasi kurva C. 6 +c cos 3 2 x y = 1 + cos x, sumbu x, garis x = 0 dan D. tg 2x + c x = 2π adalah .... A. 0 E. 1 tg 2x + c 2 B. 2π C. 1 48. ∫ sin 6 x . cos 6x dx = .... D. 1 + 2π A. –12 cos 12x + c E. 2π - 1 B. –12 sin 12x + c C. − 1 cos 12x + c 54. Luas daerah dari daerah yang diarsir di 24 bawah adalah .... D. − 1 sin 12x + c 24 A. 5 y E. 1 cos 12x + c 24 B. 3 2 y = cos x π 2 x 49. ∫ 2 sin 2x dx = .... C. 2 2 y = sin x 0 A. 0 D. 2 B. 2 3 C. 2 E. 2 D. 4 3 E. 1 π 50. ∫ sin ( x − π) cos (x − π) dx = .... 0 A. 0 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 2 E. 2 3 7