Dokumen ini adalah ringkasan materi kalkulus kelas XII yang mencakup pengertian integral, baik tertentu maupun tak tertentu, serta penerapan dan rumus-rumus terkait. Terdapat juga rumus integral untuk fungsi trigonometri dan latihan soal untuk memahami konsep-konsep tersebut. Semua topik ditujukan untuk memberikan pemahaman mendalam tentang pengintegralan dalam matematika.

1. KALKULUS KELAS XII
RINGKASAN MATERI
Pengertian : Integral adalah anti turunan II. INTEGRAL TERTENTU
I. INTEGRAL TAK TENTU Bila ∫ f(x) dx = F(x) + C, maka
Bila F’(x) = f(x) maka
Rumus dasar Integral tak tentu.
Ket : f(x) disebut sebagai integran
a. disebut sebagai batas bawah pengintegralan
1. ∫ a dx = ................................................ b. disebut sebagai batas atas pengintegralan
2. ∫ F’(x) dx = ................................................
Sifat-sifat Integral Tertentu
3. ∫xn dx = .......................... untuk n ≠ −1
a
−1
4. ∫x dx = .......................... untuk x > 0 1. ∫ f(x) dx = 0
a
b a
5. ∫(ax + b)n dx= ..........................untuk n ≠ −1 f(x) dx = − ∫ f(x) dx
2. ∫
a b
b b
Penerapan Pengintegralan Tak Tentu 3. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, k = konstanta
I. Gradien garis singgung suatu kurva y = f(x) a a
di sembarang titik (x , y ) adalah : b b b
4. ∫ {f(x) ± g(x)} dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
dy a a a
m= = f ' (x) b c c
dx
5. ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx ,
a b a
II. Bila l adalah garis y = m1x + C1 dan k
untuk a < b < c
adalah garis y = m2x + C2
maka :
1. syarat l // k → m1 = m2
2. syarat l ⊥ k → m1 . m2 = −1
III. Dalam Fisika
1

2. A. LUAS
1. 2. y
y y=f(x)
y=f(x) b
L = ∫ (f ( x) − g( x) )dx
b
a
L = ∫ f ( x )dx
y=g(x)
x a
0 a b 0 a
x
b
3. x=f(y) 4. y x=f(y) x=g(y)
d d
d
d
L = ∫ f (y) dy L = ∫ (g(y) − f ( y) )dy
c
c
c
c
x
0 x
0
B. VOLUME
a. volume benda putar mengelilingi
sumbu x
2. y
1. y
y=f(x)
y=f(x)
y=g(x)
x
0 a b
x
0 a b
b
b V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx
V = π ∫ f 2 (x) dx a
a
b. volume benda putar mengelilingi
sumbu y
d
d 2. V = π ∫ ⎛ f 2 (y) − g2 (y) ⎞ dy
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1. V = π ∫ x 2 dy c
c
2

3. RUMUS-RUMUS INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
09. ∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + C
01. ∫ cos x dx = sin x + C
10. ∫ cosec2 (ax + b) dx = -1/a cot (ax + b) + C
02. ∫ sin x dx = -cos x + C
11. ∫ tan (ax + b)sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + C
03. ∫ Sec2 x dx = tan x + C
12. ∫ cot (ax + b) cosec (ax + b ) dx = -1/a cosec (ax + b) +
04. ∫ cosec2 x dx = -cot x + C
C
05. ∫ tanx sec x dx = sec x + C 13. ∫ tan x dx = ln | sec x | + C
06. ∫ cot x . cosec x dx = -cosec x + C 14. ∫ cot x dx = ln | sin x | + C
07. ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + C
15. ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C
08. ∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) +
C 16. ∫ cosec x dx = ln | cosec x -cot x| + C
Rumus-rumus trigonometri yang diperlukan dalam pengintegralan
01. sin2 A + cos2A = 1 06. cos2A = 1 ( 1 + cos 2A )
2
02. tan2A + 1 = sec2 A 07. sin A cos B = 1 [ sin (A + B) + sin (A – B) ]
2
03. cot2A + 1 = cs c2 A 08. cos A sin B = 1 [ sin (A + B) – sin (A – B) ]
2
04. sin A cos A = 1 sin 2A 09. cos A cos B = 1 [ cos (A + B) + cos (A – B) ]
2 2
05. sin2A = 1 ( 1 – cos 2A ) 10. sin A sin B = – 1 [ cos (A + B) – cos (A – B) ]
2 2
LATIHAN SOAL
∫ (3X − 6X + 7) dx = .... 1
2
1. 2. ∫ 2x x
dx =
A. 6 x3 − 6x2 + 6x + C
1 2
B. x3 − 3x2 + 7x + C A. − +C D. +C
C. 3x3 − 6x2 + 7x + C x x
2x3 − 5x2 + 6x + C 2 1
D. B. − +C E. − +C
E. 1 x3 − 5x2 + 7x + C x 2 x
3
1
C. +C
x
3

4. 3. Jika f’(x) = 1/3 x2 − 2x + 5 dan f(0) = 5, 2
maka f(x) = 10. ∫ x − 1 dx =
3
1 x
A. 1 x3 − x2 + 5x + C
9 A. − 1 1/16 D. 1
B. 2
3
x − x + 5x + 9
3 2
B. 1/8 E. 1 1/2
C. 7/8
C. 2
3
x3 − 2x2 + 5x + 5
D. 1 x3 − 2x2 + 5x + 3 3
9
11. ∫ (6 x − 8)4 dx =
E. 1
9
x3 − x2 + 5x + 5 1
A. 3434,3 D. 3433,4
1 B. 4433,4 E. 3343,3
4. ∫ (x x + x 2 )dx = C. 3334,4
0
A. 2 D. 22 1 1
B. 18 E. 24 1
3
12. Jika ∫ f ( x)dx = 4 dan ∫ 4 f ( x)dx = 4
0 5
C. 20 1
3
maka
b
1 A. 8 D. 0
5. ∫x
a
2
dx = ....
B. 4 E. -4
a−b ab C. 3
A. D. x
ab b−a 13. Jika f(x) = ∫ 4 y 3 dy , maka f ' ( x)=
ab ab 0
B. E.
a−b a+b A. 4x3 D. 4x3 + 1/4 x4
b−a B. x4 E. x4 + 4x3
C.
ab C. 1/4 x4
2 a b
6. ∫ (6 x − 2 x + 7) dx =
14. Jika ∫ 1 3 x 2 dx = 3 , ∫ (2x − 3) dx = 4 , dan
2 10
A. 2x3 - x2 + 7x + C 0 0
B. 3x3 - x2 + 7x + C a > 0, b > 0, maka nilai a2 + 2ab + b2 adalah
C. 4x3 - x2 + 7x + C A. 10 D. 25
D. 12x3 - x2 + 7x + C B. 15 E. 30
E. 18x3 - x2 + 7x + C C. 20
⎛ 3 2 ⎞ 15. Gradien garis singgung suatu kurva di titik
7. ∫ ⎜ 8x
⎜
⎝
x −3 x + 3 ⎟ dx =
⎟
⎠ dy
(x , y) dinyatakan oleh = 2x − 3 dan
A. 8x − 3x + 3
8/3 1/2
dx
B. 3x2 3 x 2 - 2x√x + 3x + C kurva melalui titik (3, 2). Persamaan kurva
tersebut adalah
C. x3 3 x 2 - x√x + 3x + C
A. y = x2 − 3x − 2
D. x3 3 x 2 - x2√x + 3x2 + C B. y = x2 − 3x + 2
E. 8x2 √x - 3x√x + 3x + C C. y = x2 − 3x + 5
D. y = x2 + 3x − 5
3
− 6 x 2 x +1
8. Hasil ∫ 7 x E. y = x2 − 3x − 5
x
A. 2x √x - 2x3 + 2√x + C
3
16. Turunan pertama dari
B. 49/2 x2√3 - 2x3 + 2√x + C y= 1
adalah y’ = ….
C. 14/2 x2√3 - 3x3 + 2√x + C 1 + x2
D. 7x2√3 - 6x2 − 1/2√x + C A. −
x
D. −
1
E. 7x3√3 - 6x3 + 2√x + C (1 + x )2 3
(1 + x 2 )3
x x
10 B. − E. −
9. ∫ (2x − 4) dx = 2 (1 + x ) 2 3
(1 − x 2 )3
1 11
A. /22 (2x - 4) + C 2x
C. −
B. 1/11 (2x - 4)11 + C (1 + x 2 )3
C. 1/12 (2x - 4)11 + C
D. 1/12 (2x - 4)10 + C
E. (x2 - 4x)10 + C
4

5. 17. Luas daerah bidang yang dibatasi oleh 25. Luas daerah yang y
kurva y = x2, sumbu x, garis x = 1 dan x = 3 dibatasi oleh parabola
adalah dan sumbu x, seperti
A. 46/3 D. 16/3 pada gambar, adalah
B. 36/3 E. 6/3 32. Ordinat puncak
C. 26/3 parabola adalah x
0 (4, 0)
A. 4
18. Luas bidang yang dibatasi oleh parabola B. 8
x = 8 + 2y - y2 sumbu y, garis y = -1 dan C. 12
y = 3 adalah D. 16
A. 42/3 D. 82/3 E. 18
B. 52/3 E. 92/3
C. 62/3 26. Daerah yang dibatasi oleh kurva : y2 = 10x,
y2 = 4x dan x = 4 diputar 360o mengelilingi
19. Luas daerah yang dibatasi parabola : sumbu x. Volume benda putar yang terjadi
y = x2 - 7x + 6, sumbu x dan garis-garis adalah
x = 2 dan x = 6 adalah
A. 80 π satuan D. 24 π satuan
A. 56/3 D. 26/3
B. 46/3 E. 16/3 B. 48 π satuan E. 18 π satuan
C. 36/3 C. 32 π satuan
20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - 2,
y = x3 - 6x2 + 8x dan sumbu x adalah sumbu X, x = 1 dan x = 3 diputar
A. 4 D. 7 mengelilingi sumbu X sejauh 360o. Volume
B. 5 E. 8 benda putar tersebut adalah
C. 6 A. 35 1/3 π D. 82 2/3 π
B. 40 2/3 π E. 83 1/3 π
21. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva C. 45 1/3 π
y = 6x - x2 dan y = x2 - 2x pada interval
[1, 4] adalah 28. Daerah D terletak di kuadran pertama yang
A. 14 2/3 D. 18 dibatasi oleh parabola y = x2, parabola
B. 16 E. 24 y = 4x2 dan garis y = 4. Volume benda
C. 16 2/3 putar yang terjadi bila D diputar terhadap
sumbu y adalah ....
22. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola: A. 3π D. 8π
y = 6x - x2 dan y = x2 - 2x adalah B. 4π E. 20π
A. 32/3 D. 72/3 C. 6π
B. 42/3 E. 82/3
C. 64/3 29. Daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = x + 2,
y2 = 2x dan sumbu x diputar mengelilingi
23. Luas daerah antara kurva y = x2 + 4x + 7 sumbu x sejauh 360o, sehingga diperoleh
dan y = 13 - x2 adalah sebuah benda putar. Volume benda putar itu
A. 10 2/3 D. 32 2/3 adalah ....
B. 14 2/3 E. 39 1/3 A. 2π D. 5π
C. 21 1/3 B. 3π E. 6π
C. 4π
24. Perhatikan gambar di bawah ini ! x2 y2
Luas daerah yang diarsir adalah 30. Daerah yang dibatasi oleh elips + =1
a2 b2
A. 1/12 satuan luas dan subu x yang berada di kuadran pertama
17 diputar mengelilingi sumbu x satu putaran.
B. /12 satuan luas Volume benda putar yang terjadi adalah ....
9 A. 2/3 ab2π D. 4/3 a2 bπ
C. /4 satuan luas
B. 4/3 ab π
2
E. 4/3 a2 b2π
D. 8
/3 satuan luas C. 2/3 a2 bπ
37
E. /12 satuan luas
5

6. 31. Turunan pertama dari f(x) = sin2 (2x – 1) 38. ∫ 1 dx = ....
adalah f’(x) = …. 2x x
A. 2 cos (2x – 1) A. − 1 +c D. − 2 +c
x x
B. 2 sin (2x – 1) . cos (2x – 1)
C. 4 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) B. − 1 E. − 1 +c
x 2 x
D. –2 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) 1 +c
C.
E. –4 sin (2x – 1) . cos (2x – 1) x
32. Diketahui f(x) = 4 x 2 + 9 Jika f’(x) adalah 39. Bila f(x) = xn dan n ≠ 1, maka ∫ f (x) dx
turunan pertama dari f(x), maka nilai adalah ....
f’(2) = …. A. xn+1 + K
A. 0,1 D. 5,0 B. n xn-1 + K
B. 1,6 E. 7,0 C. 1 xn+1 + K
C. 2,5 n +1
1
2
π D. (n + 1) xn+1 + K
33. Nilai ∫ (2x + sin x) dx = …. E. n xn+1 + K
0
A. 1/4π2 - 1 π
2
B. 1/4π2 40. ∫ (2 sin x + cos x ) dx ….
π
C. 1/2π2 - 1 4
1 2
D. 1/4π2 + 1 A. -1 - 2
1 π2 + 1
E. 2 B. -2 + 12
2
C. 1+ 21 2
34. ∫ n x dx = 1 x n +1 + c , dengan c bilangan
n +1 D. 1+ 23 2
tetap berlaku ....
A. untuk setiap harga n E. 2+ 12
2
B. untuk n ≠ -1
C. hanya untuk n < 0 41. ∫ (x + 5) cos 2x dx = ….
D. hanya untuk n > 0 A. 1 (x + 5) sin 2x + 1 cos 2x + C
E. untuk n ≠ 0 2 4
B. 1 (x + 5) cos 2x + 1 sin 2x + C
2
2 2
35. ∫ (3x + 2x + 4) dx sama dengan ..... 1 1 cos 2x + C
C. 4
(x + 5) sin 2x - 2
A. x + 2x2 + 4x + c
3
1 1 sin 2x + C
B. x3 + x2 + 4x + c D. 2
(x + 5) cos 2x - 2
C. x3 – 2x2 + 4x + c E. 1 (x + 5) sin 2x - 1 cos 2x + C
D. x3 – x2 + 4x + c 2 4
E. x3 + x2 – 4x + c
42. Luas bidang yang dibatas oleh grafik
36. ∫ ( 13 − 3) dx = .... y = 6x - x2 dan sumbu x adalah ….
x A. 30 satuan D. 36 satuan
A. − 1 −3 + c B. 32 satuan E. 28 satuan
2x 3 C. 34 satuan
B. − 1 − 3x + c
2x 3 π
− 1 −3 + c
6
C. 43. ∫ (sin 3x + cos 3x ) dx = ….
2x 2
0
D. 1 − 3x + c
A. 2 D. - 4
2x 2 3 3
E. bukan salah satu di atas B. 1 E. - 2
3 3
37. ∫ x x dx adalah .... C. 0
A. 1 1 x x + c
2 44. ∫ (x 2 + 1) cos x dx = ….
B. 2 1 x
2
2
x +c A. x2 sin x + 2x cos x + C
C. 2 1 x x +c B. (x2 - 1) sin x + 2x cos x + C
2 C. (x2 + 3) sin x - 2x cos x + C
2
D.
5
x x +c D. 2x2 cos 2x2 sin x + C
2 E. 2x sin x - (x2 - 1) cos x + C
E. x2 x +c
5
6

7. 45. ∫ (sin x + cos 3x) dx = .... π
2
A. cos x – 3 sin 3x + c 51. ∫ cos 3x . cos x dx = ....
0
B. cos x + 3 sin 3x + c
C. –cos x + 3 cos 3x + c A. -2 2
D. –cos x + 1 sin 3x + c B. – 1
2
3
E. –cos x – 1 sin 3x + c C. 0
3 D. 1
2
46. ∫ ( x 3 − sin x ) dx = .... E. 2 2
A. x3 – cos x + c 52. Luas daerah yang dibatasi kurva y = cos 3x,
B. x4 – cos x + c
garis x = π dan x = π garis adalah ....
C. 1 x4 + cos x + c
3
6 4
A. 1 ⎛1 − 1 2 ⎞
⎜ ⎟
D. 1 x4 – cos x + c 3⎝ 2 ⎠
4
1 B. 1 ⎛ 1 2 − 1⎞
⎜ ⎟
E. 4
x4 + cos x + c 3⎝ 2 ⎠
C. 1 ⎛ 1 2 + 1⎞
⎜ ⎟
3⎝ 2 ⎠
1
47. ∫ 2 dx = .... D. 1– 2 1 2
cos 2 x
A. 2 +c 1 2-1
cos 3 2 x E. 2
B. 2 +c
3 cos 3 2 x
53. Luas daerah yang dibatasi kurva
C. 6 +c
cos 3 2 x
y = 1 + cos x, sumbu x, garis x = 0 dan
D. tg 2x + c x = 2π adalah ....
A. 0
E. 1 tg 2x + c
2 B. 2π
C. 1
48. ∫ sin 6 x . cos 6x dx = .... D. 1 + 2π
A. –12 cos 12x + c E. 2π - 1
B. –12 sin 12x + c
C. − 1 cos 12x + c 54. Luas daerah dari daerah yang diarsir di
24
bawah adalah ....
D. − 1 sin 12x + c
24 A. 5 y
E. 1 cos 12x + c
24
B. 3 2 y = cos x
π
2 x
49. ∫ 2 sin 2x dx = .... C. 2 2
y = sin x
0
A. 0 D. 2
B. 2
3
C. 2 E. 2
D. 4
3
E. 1
π
50. ∫ sin ( x − π) cos (x − π) dx = ....
0
A. 0
B. 1
2
C. 3
4
D. 3
2
E. 2 3
7