1. Ring by Mulyono
17
Bab 2
Pengantar Ring
Struktur aljabar yang paling sering kita gunakan adalah struktur aljabar dengan
dua operasi biner. Kita sudah mempelajarinya sejak kita duduk di sekolah menengah,
yaitu ketika kita memperlajari operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan riel,
operasi penjumlahani dan perkalian pada bilangan bulat dan juga bilangan kompleks.
Juga tidak lupa operasi penjumlahan dan perkalian matriks bujursangkar. Pada bab ini
kita akan membahas struktur aljabar pada suatu himpunan dengan dua operasi
biner.
2.1 Pengertian Ring
Pada bagian ini kita membahas pengertian ring (gelanggang). Kita dapat
mengatakan bahwa ring merupakan suatu struktur aljabardengan dua operasi biner
yang paling sederhana. Definisi formal dari suatu Ring kita berikan pada definisi
berikut ini.
Definisi 2.1.1 Suatu ring adalahsuatuhimpunan tak kosong dengan dua operasi biner
yang dinotasikan dengan operasi penjum.lahan" dan "perkalian" sehingga
memenuhi aksioma-aksiornaberikut ini :
(1). untuk semua Rcba ,, berlaku cbacba )()(
(2). untuk semua Rba , , berlaku abba
(3). R mempunyai unsur identitas relatif terhadap operasi penjumlahan, yakni ter -
dapat suatu unsur R0 sehingga aa 0 untuk semua Ra .
(4). untuk setiap Ra , terdapat Ra )( sehingga 0)( aa ,
2. Ring by Mulyono
18
(5) untuk semua Rcba ,, berlaku cbacba )..()..( ,
(6). untuk semua Rcba ,, , dipenuhi,
(a) ,..).( cabacba
(b) acabacb ..).(
Pada Definisi 2.1.1 operasi "penjumlahan" dan operasi "perkalian" yang
dipergunakan merupakan simbol saja. Pada kenyataannya kedua operasi tersebut
dapat berupa operasi apa saja. Dari definisi di atas juga dapatlah kita katakan bahwa
suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner "."dan"" dikatakan suatu
Ring bila
(1). ,R adalah suatu grup komutatif,
(2). ,.R adalah suatu semigrup,
(3). operasi perkalian adalah distributif terhadap penjumlahan, yakni
untuk semua Rcba ,,
cbcacbacabacba ..).(dan..).(
Jika operasi perkalian dari R adalah komutatif, maka R kita sebut sebagai Ring
komutatif. Jika terdapat suatu unsur yang kita notasikan dengan 1 sedemikian hingga
aaa 1..1 untuk semua Ra , maka R kita sebut sebagai Ring dengan unsur
kesatuan, dan unsur 1 kita sebut sebagai unsur kesatuan. Selanjutnya apabila
memungkinkan. penulisan notasi- ba. cukup dituliskan ab saja.
Berikut ini kita diskusikan beberapa contoh dari Ring.
Contoh 2.1.2
1. Himpunan-himpunan bilangan riel R , bilangan rasional Q , dan bilangan
bulat Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa adalah suatu Ring
komutatif.
2. Himpunan bilangan bulat modulo 4,4 Z , dengan operasi penjumlahan dan
perkalian modulo 4 adalah suatu Ring dengan unsur kesatuan.
3. Ring by Mulyono
19
Untuk memperlihatkan hal tersebut, perhatikan tabel Cayley dari operasi pen
jumlahan dan perkalian modulo 4 dari 4Z yang diperlihatkan oleh Tabel 2.1 dan
Tabel 2.2 Dari kedua tabel tersebut kita ketahui bahwa operasipenjumlahan
dan perkalian modulo 4 adalah operasi biner pada 4Z . Pada struktur aljabar I sudah
kita perlihatkan bahwa ,4Z adalah suatu grup komutatif. Kita definisikan
bahwa 4mod. abba . Karena a(bc) = (ab)c untuk semua 4,, Zcba , maka
4mod)(4mod)( cabbca
sehingga cbacba )..()..( , yakni operasi perkalian modulo 4 pada 4Z adalah
asosiatif.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Tabel 2.1
. 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Tabel 2.2
Tidaklah sulit untuk memperlihatkan bahwa
cabacaa ..)..( b.ca.cb).c(adan..)..( cabacaa untuk semua
4,, Zcba . Sehingga 4Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 4
adalah suatu Ring. Lebih lanjut perhatikan bahwa Tabel 2.1 adalah simetrik
terhadap diagonal utamanya. Hal ini berakibat abba .. untuk semua
4, Zba .Yakni Z4 adalah suatu Ring komutatif. Unsur kesatuan dari 4Z
adalah unsur 41 Z . Hal ini disebabkan untuk semua aaaZa 1..1,4
3. Himpunan matriks berordo 2 x 2
Rdcba
dc
ba
R ,,,:
dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah Ring dengan un -
sur kesatuan.
4. Ring by Mulyono
20
Alasan yang serupa seperti pada Contoh 3.1.4 memperlihatkan bahwa (R,+) adalah
suatu grup. Perhatikan bahwa untuk sebarang dua unsur
,, R
hg
fe
dc
ba
hdgc
fbea
hg
fe
db
ba
=
dhcg
bfae
=
dc
ba
hg
fe
Jadi (R, +) adalah suatu grup komutatif.
Perhatikan bahwa untuk sebarang unsur
,, R
hg
fe
dc
ba
maka
dhcfdgce
bhafbgae
hg
fe
dc
ba
.
Karena (ac + b g ), (a f + b h ), (c e + d g ), (c f + d h ) R , maka hasil kali
.Rberada
hg
fe
dc
ba
Sehingga operasi perkalian matriks adalah suatu operasi biner pada R.
Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 3.1.8 dapat kita perlihatkan bahwa
operasi perkalian matriks pada. R adalah asosiatif.
Untuk Sebarang tiga unsur
makaRdi
ut
sr
Adan
hg
fe
A
dc
ba
A ,,, 321
5. Ring by Mulyono
21
ut
sr
hg
fe
dc
ba
AAA )( 321
uhtg
sfre
dc
ba
)()()()(
)()()()(
uhdsfctgdrec
uhbsfatgbrea
Sementara itu
ut
sr
dc
ba
hg
fe
dc
ba
AAAA 3121
=
ducsdtcr
buasbtar
dhcfdgce
bhafbgae
=
ducsdhcfdtcrdgce
buasbhafbtarbgae
=
)()()()(
)()()()(
uhdsfctgdrec
uhbsfatgbrea
Jadi 3121321 )( AAAAAAA untuk semua RAAA 321 ,, . Dengan cara yang
sama dapat diperlihatkan bahwa 3231321 )( AAAAAAA Jadi R dengan
operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah suatu Ring
Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk sebarang, R
dc
ba
, maka
dc
ba
dc
ba
dc
ba
10
01
10
01
6. Ring by Mulyono
22
Sehingga
10
01
adalah unsur kesatuan dari R .
4. Andaikan M adalah himpunan semua matriks berbentuk
00
ba
atas bilangan
bulat dibawah penjumlahan dan perkalian matriks .Maka M merupakan non-
komutatif dengan elemen kesatuan.
5. Andaikan R adalah himpunan semua pemetaan RR :
Himpunan R dengan operasi yang didefinisikan oleh
)()())(( xxx
dan
)()())(.( xxx
adalah suatu Ring komutatif.
Perhatikan bahwa untuk setiap Rx , maka Rxx )(),( . Sehingga
)()())(( xxx berada di R dan )()())(( xxx juga berada di-
R . Hal ini berakibat RRdanRR :.: . Jadi operasi “+” dan “.”
adalah operasi biner pada R .
Untuk sebarang R ,, dan untuk setiap Rx berlaku
))(()()))((( xxx
= ))()(()( xxx
= )())()(( xxx
= )())(( xx
=(( ))() x ,
Sehingga )()( , yaitu operasi adalah asosiatif.
Untuk sebarang R, kita peroleh
7. Ring by Mulyono
23
)()())(( xxx
= )()( xx
= ))(( x
Jadi , yang berarti operasi adalah komutatif.
Unsur identitas dari R relative terhadap operasi adalah suatu pemetaan kons
tanta RRz : yang didefinisikan oleh 0)( xz untuk semua Rx .
Dalam hal ini untuk sebarang R kita peroleh
)()(0
)()())((
xx
xxzxz
yakni z .
Untuk setiap R unsur kebalikan dari relatif terhadap adalah suatu
pemetaan RR : yang didefinisikan oleh ))(())(( xx semua Rx .
Dalam hal ini )(0))(()()))(((( xzxxx . Sehingga z )( .
Sekarang kita ketahui bahwa ,R adalah suatu grup komutatif.
Untuk sebarang R ,, maka
))(.)(()))(..(( xxx
= ))()()(( xxx
= )())()(( xxx
= )()))(.(( xx
= ))()..(( x
Jadi operasi perkalian pada R adalah asosiatif.
Sekarang kita perhatikan bahwa untuk setiap R ,, , maka
))()(()))(..(( xxx
8. Ring by Mulyono
24
= ))()()(( xxx
= )()()()( xxxx
))(.)())(.( xx
))(..( x
Sehingga ..).( . Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan
bahwa ..).( . Jadi himpunan R dengan operasi “ ” dan “.”
adalah suatu Ring. Selanjutnya perhatikan bahwa untuk setiap R,
maka ))(.()()()()())(.( xxxxxx sehingga R adalah gelang -
gang komutatif.
2.2 Sifat-Sifat Ring
Berikut ini kita akan membahas beberapa sifat mendasar dari suatu ring. Kita juga
akan memperlihatkan bahwa terdapat sifat dari grup yang tidak dimiliki oleh suatu
Ring.
Teorema 2.2.1
Andaikan R adalah suatu ring, maka
(1). Rasemuauntukaa 000
(2). Rbasemuauntukbaabba ,)()()(
(3).
Bukti :
(1). Kita perhatikan bahwa aaaaa 00)00(000 . Karena ,R adalah
suatu grup, maka kita peroleh 0.0 a . Dengan cara yang sama kita dapat mem-
perlihatkan bahwa 00 a .
9. Ring by Mulyono
25
(2). Kita perhatikan bahwa )())((00 baabbbaa .
Tetapi ))(((0 abab
sehingga ))(()( ababbaab . Karena ,R adalah suatu grup, maka
)()( abba Dengan cara yang sama kita dapat memperlihatkan bahwa
).()( abba Jadi .)()()( baabba
(3). Perhatikan bahwa menurut bagian (2) kita peroleh kenyataan
))(())(())(( abbaba .
Tetapi kita ketahui bahwa :
).)(())((sehingga0)(dan0))((()( baabababababab
Perlu kita catat bahwa aksioma-aksioma pada ring tidak menjamin bahwa setiap
unsur 0, aRa mempunyai unsur kebalikan relative terhadap operasi perkalian
pada R . Hal ini berakibat bahwa secara umum pernyataan acab tidak selalu
berakibat bahwa cb . Sebagai contoh penyangkal, perhatikan Ring R pada Contoh
2.1.4 Marilah kita perhatikan persamaan berikut ini.
12
12
03
01
12
12
00
11
03
01
00
11
tetapi
Definisi 2.2.2
Andaikan R adalah suatu ring dengan unsur kesatuan 1. Suatu unsur Ra , dengan
0a , disebut sebagai unsur satuan jika a mempunyai unsur kebalikan relative
terhadap operasi perkalian pada R . Yaitu terdapat Ra 1
sehingga
111
aaaa .
Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa Ra adalah suatu unsur satuan,
maka persamaan acab akan selalu berakibat cb .
10. Ring by Mulyono
26
Teorema 2.2.3
Andaikan R adalah suatu ring dengan unsur kesatuan 1. Misalkan G adalah
himpunan bagian dari R yang terdiri dari semua unsur satuan di R . Maka ,.G
adalah suatu grup.
Bukti :
Karena 111 1
, maka 1 adalah unsur satuan . Sehingga G1 , jadi G . Karena 1
adalah unsur satuan di Ring R , maka untuk semua Ra , aaa 11 . Hal ini
berakibat untuk setiap gggGg 11, . Jadi unsur identitas dari G adalah unsur
kesatuan dari 1.
Untuk sebarang RhgfdiperolehGhgf ,,,, .
Karenanya Ghgfsemuauntukhfgghf ,,)()( , yakni operasi perkalian pada G
adalah asosiatif. Perhatikan bahwa untuk setiap Gg , g adalah suatu unsur satuan di' R . Hal
ini berakibat terdapat Rg 1
sehingga
111
gggg
Tetapi persamaan di atas juga berarti bahwa 1
g adalah unsur satuan di R . Sehingga
untuk setiap GGg -1
gmaka, .
Sekarang kita tinggal memperlihatkan bahwa operasi perkalian adalah operasi biner pada
G , yakni untuk sebarang Ghg , akan kita perlihatkn Ggh . Untuk itu harus
kita perlihatkan bahwa gh adalah unsur satuan di R . Kita ingat bahwa untuk setiap
Ghg , , kita peroleh bahwa GhjugadanG 1-1
g . Tetapi Rgh 11
dan
1))(())(( 1111
ghghghgh
Jadi )(gh adalah, unsur satuan di R, yang berarti Ggh . Sekarang dapatlah kita
simpulkan bahwa ,.G adalah suatu grup.
11. Ring by Mulyono
27
2.3 Daerah Integral dan Lapangan
Berikut kita akan memperkenalkan beberapa struktur aljabar yang lebih tinggi dari
Ring. Sebelum kita membahas hal itu terlebih dahulu diperkenalkan unsur pembagi
nol.
Definisi 2.3.1
Suatu unsur 0a pada suatu ring komutatif R disebut sebagai unsur pembagi nol
(divisor of zero) bilamana terdapat suatu unsur 0b sehingga 0ab .
Contoh 2.3.2
1. Kita perhatikan Ring 12Z . Maka unsur 126,4,3,2 Z masing-masing adalah
unsur pembagi nol. Hal in disebabkan 02.603.4,04.3,06.2 dan
2. Kita perhatikan himpunan A = {1, 2}. Himpunan kuasa dari A,
P(A) = { , {1}, {2}, A},
dengan operasi biner yang didefinisikan oleh
)()( YXYXYX
dan
YXYX . .
untuk semua )(, APYX adalah suatu ring komutatif. (Bukti dari pernyata-
an ini diserahkan kepada pembaca sebagai soal latihan). Unsur identitas dari P(A)
adalah . Unsur {1} dan {2} di P(A) masing- masing adalah unsur pembagi nol,
karena 21
Sebagaiakibat dari diperkenalkannya unsur pembagi nol, maka pada Ring dengan unsur
pembagi nol akar dari suatu persamaan kuadrat mungkin saja lebih dari dua buah. Sebagai
contoh, perhatikan persamaan kuadrat 12
2
di065 Zxx . Akar-akar dari
12. Ring by Mulyono
28
persamaan ini adalah 11,6,2,3 xdanxxx .
Definisi 2.3.3
Suatu Ring komutatif D dengan unsur kesatuan yang tidak mempunyai unsur
pembagi nol disebut sebagai daerah integral (integral domain).
Contoh 2.3.4
1. Himpunan 5Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 5 adalah suatu gelang
gang komutatif. Dengan-memperhatikan tabel Cayley dari 5Z terhadap operasi perkali-
an modulo
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Tabel 2.3
dapat kita simpulkan bahwa 5Z tidak mempunyai unsur pembagi nol, sehingga
5Z adalah suatu daerah integral.
2. Ring dari bilangan bulat Z adalah suatu daerah integral, karena untuk setiap
Zyx , persamaan 0xy dipenuhi hanya apabila 00 yataux .
Kembali kita.ingat bahwa pada suatu grup berlaku hukum kanselasi, tetapi secara
umum hukum ini tidak berlaku pada Ring. Teorema berikut ini memperlihatkau bahwa hukum
kanselasi juga berlaku pada daerah integral.
Teorema 2.3.5
Andaikan D adalah suatu daerah integral dan misalkan 0,, adenganDcba . Jika
13. Ring by Mulyono
29
cbmakaacab , .
Bukti:
Andaikan ab = ac, maka ab - ac = 0. Sehingga a(b - c) = 0. Karena D adalah
suatu daerah integral, D tidak mempunyai unsur pembagi nol. Jadi a(b - c) = 0
akan berakibat a = 0 atau b - c = 0. Tetapi kita ketahui bahwa 0a , sehingga b-
c = 0 yang berakibat b=c.
Definisi 2.3.6
Suatu Ring komutatif F dengan unsur kesatuan disebut sebagai lapangan (field)
bilamana setiap unsur tak nol adalah unsur satuan.
Definisi di atas juga dapat kita nyatakan sebagai berikut. Suatu lapangan
F adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner " " dan " ." sehingga
(1). ,R adalah suatu grup komutatif,
(2). .,R adalah suatu grup komutatif,
(3). untuk semua Rcba ,, berlaku
a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc.
Contoh 2.3.7
1. Ring komutatif himpunan bilangan riel R dan himpunan bilangan rasio
nal, Q dengan operasi; penjumlahan dan perkalian biasa masing masing adalah
suatu lapangan dengan unsur kesatuan 1. Tetapi Ring komutatif Z dengan
unsur kesatuan 1 bukanlah suatu lapangan, karena unsur Z3 bukan unsur satuan
2. Ring komutatif 5Z dengan unsur kesatuan.l adalah suatu lapangan. Dari
Tabel 2.3 kita ketahui bahwa setiap unsur tak nol dari 5Z adalah suatu unsur
satuan, di dimana 4423,32,11 1111
dan .
Kita akhiri diskusi kita pada bagian ini dengan mendiskusikan hubungan antara
14. Ring by Mulyono
30
suatu lapangan dengan daerah integral.
Teorema 2.3.8
Bila F adalah suatu lapangan, maka F adalah juga suatu daerah integral.
Bukti.
Kita cukup memperlihatkan bahwa F tidak mempunyai unsur pembagi nol.
Yakni untuk sebarang Fyx , dengan 0x dan 0xy , maka 0y . Untuk
itu perhatikan sebarang unsur Fyx , dengan 0x dan 0xy . Karena F
adalah suatu lapangan, maka setiap unsur tak nol mempunyai unsur kebalikan
relatif terhadap operasi perkalian. Hal ini berakibat bahwa
00)( 11
xxyx
Tetapi yyyxxxyx
1)()( 11
. Sehingga kita perolah 0y . Jadi F tidak
mempunyai unsur pembagi nol. Sehingga kita dapat menyatakan bahwa setiap
lapangan adalah suatu daerah integral.
Pada kasus daerah integral tak hingga, konvers dari Teorema 2.3.8 juga
benar seperti yang dinyatakan berikut ini.
Teorema 2.3.9
Suatu daerah integral yang hingga adalah suatu lapangan.
Bukti.
Andaikan D adalah suatu daerah integral dengan unsur kesatuan 1. Karena D
hingga, kita misalkan
naaa ,,,,1 21
adalah unsur-unsur dari D. Kita tinggal memperlihatkan bahwa setiap unsur
tak nol dari D adalah unsur satuan. Untuk itu misalkan a adalah sebarang unsur
tak nol di D, dan perhatikan hasil kali antara a dengan unsur-unsur di D
15. Ring by Mulyono
31
sebagai berikut
naaaaaaa ,,,, 21
Karena D adalah hingga dan operasi perkalian tertutup di D ,maka
himpunan-himpunan nn aaadanaaaaaaa ,,,,1,,,, 2121 adalah dua himpunan
yang sama. Hal ini berarti bahwa terdapat 1 j n , sehiugga 1jaa . Jadi setiap
unsur tak nol di D adalah unsur satuan. Sehingga D adalah suatu 1apangan.
Bila D adalah suatu daerah integral tak hingga, maka pernyataan pada Teorema
2.3.9 mungkin saja tidak benar. Sebagai contoh Ring bilangan bulat Z adalah suatu
daerah integral tak hingga, tetapi bukan merupakan lapangan.
Teorema 2.3.10
Bila p adalah bilangan prima, maka pZ adalah suatu lapangan.
Bukti :
Kita cukup memperlihatkan bahwa untuk setiap bilangan prima p , pZ tidak
mempunyai unsur pembagi nol. Bila p
Zba , sehingga 0ab , maka terdapat suatu
bilangan bulat m sehingga ab = mp. Tetapi menurut Lemma 1.3.8 hal ini berakibat
p membagi a atau p membagi b. Karena a dan b keduanya lebih kecil dari p ,
maka 00 bataua . Sehingga pZ tidak mempunyai unsur pembagi nol, yakni pZ
adalah suatu daerah integral. Teorema 2.3.9 menjamin bahwa Zp adalah suatu
lapangan.
Definisi 2.3.11
Suatu ring R di sebut Boolean ring jika xx 2
untuk setiap Rx .
Contoh 2.3.12
1. Ring 1,0 di bawah penjumlahan dan perkalian modulo 2 berbentuk suatu Boo-
16. Ring by Mulyono
32
lean ring.
2. Tunjukkan bahwa suatu boolean ring adalah komutatif.
Bukti :
Andaikan Rba , , maka Rba .
Akibatnya baba 2
)(
)2......(......................................................................
)()(
)1(................................................................................
0
2
22
ababa
baaaba
baab
baab
babaabba
babaabba
Dari persamaan (1),
)3.(..................................................
)()(
2
babaaba
abaaab
Dari (20 dan (3) diperoleh -aba)ba (ab .
Terbukti bahwa R adalah komutatif.
2.4 Karakteristik dari Ring
-
Pada pembicaraan kita mengeuai grup hingga G kita telah mengetahui
bahwa terdapat suatu bilangan bulat positip n sehingga egn
untuk semua Gg .
Karena pada dasarnya bila R adalah suatu Ring, maka (R, +) adalah suatu grup, maka
diharapkan konsep ini juga berlaku di RingR . Bilangan n yang demikian dikenal
dengan nama karakteristik dari gelauggang R. Berikut ini diberikan definisi formal
dari karakteristik suatu ring.
Definisi 2.4.1
Andaikan R adalah suatu Ring, karakteristik dari ring R adalah suatu bilangan bulat
positip terkecil n sehingga
17. Ring by Mulyono
33
buahn
xxxnx 0
untuk semua Rx . Bila tidak terdapat bilangan n yang demikian, maka R
mempunyai karakteristik 0.
Contoh 2.4.2
1. Perhatikan Ring 4Z pada Contoh 2.1.2. Karakteristik dari 4Z adalah 4, kare-
na 04 x untuk semua 4Zx Secara umum karaktristik dari Ring nZ
adalah n , karakteristik dari Ring bilangan bulat Z adalah 0, karena tidak
terdapat bilangan bulat positip n sehingga Zxsemuauntuknx 0 .
2. Kita perhatikan kembali ring dari himpunan kuasa dari himpunan
AAPA ,2,1,)(,2,1 .
Maka karakteristik dari P(A) adalah 2, karena
AAAAAAAAA )()(2
22)22()22(2222
11)11()11(1112
)()(2
3. Perhatikan ring 1,0R 2mod , maka karateristik dari R adalah 2, sebab
0000.2
0111.2
Karena itu 2 adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 02 a untuk
semua Ra
Pada kedua contoh di atas, ring yang kita bicarakan adalah ring dengan
unsur kesatuan. Pada kedua contoh tersebut ternyata bahwa karakteristik dan ring
secara penuh ditentukan oleh orde dari unsur kesatuannya. Secara umum, hal ini adalah
benar seperti yang dinyatakan oleh teorema berikut ini.
18. Ring by Mulyono
34
Teorema 2.4.3
Andaikan R adalah suatu Ring dengan unsur kesatuan 1. Jika ordedari unsur 1 adalah tak
hingga, maka R mempunyai karakteristlk 0. Jika unsur 1 mempunyai orde n , maka
karakteristik dari R adalah n .
Bukti :
Jika unsur kesatuan 1 berorde tak hingga, maka tidak terdapat bilangan bulat n
sehingga 01. n Sehingga R mempunyai karakteristik 0.
Sekarang, kita misalkan unsur kesatuan 1 berorde n . Maka 01. n . Hal ini
berakibat untuk setiap Rx diperoleh
001
1)x1(1
.1.1.1).1(
x)x(n.
xxxxnnx
buahn
Jadi karakteristik dari R adalah n .
Teorema berikut ini menyatakan bahwa pada kasus Ring R adalah suatu daerah
integral, maka kemungkinan bagi karakteristik dari R akan semakin sempit.
Teorema 12.4.4
Bila D adalah suatu daerah integral, maka karakteristik dari D adalah 0 atau suatu
bilangan prima.
Bukti :
Menurut Teorema 2.4.3 kita cukup mencari orde dari unsur kesatuan 1. Bila orde dari
unsur kesatuan 1 adalah tak hingga, maka karakteristik dari D adalah 0. Selanjutnya,
misalkan orde dari unsur 1 adalah bilangan n yang bukan prima. Misalkan saja
kmn dengan nk dan nm . Maka
0)1.)(1.(1).(1. mkkmn
19. Ring by Mulyono
35
Karena D adalah suatu daerah integral, maka D tidak mempunyai unsur pembagi nol.
Hal ini berakibat 01.01. matauk . Bertentangan dengan kenyataan bahwa orde
dari unsur kesatuan 1 adalah n. Jadi n haruslah merupakan bilangan prima.
Definisi 2.4.5
Misalkan R adalah suatu ring. Suatu unsur Ra disebut idempoten jika berlaku
aa 2
. Suatu unsur Ra disebut nilpoten jika berlaku 0n
a untuk suatu bilangan
positif n .
Jika R adalah ring dengan elemen kesatuan, maka 10 dan adalah elemen-
elemen idempoten. Juga 0 adalah unsur nilpoten dari R .
Contoh 2.4.6
Carilah semua elemen idempoten dan elemen nilpoten dari ring 4Z .
Penyelesaian :
,3,2,1,04 Z
Karena 1.3.3,02.2,11.1,00.0 , maka 10 dan adalah elemen-elemen
idempoten.
Sekali lagi karena 2,02.222
maka adalah nilpoten.
Unsur 0 jelas unsur nilpoten, 3 bukan nilpoten sebab 33.3.333
,
13.3.3.334
, 335
.
Kita akhiri diskusi kita pada bagian ini dengan penyajian beberapa contoh
pemecahan soal.
01. Diberikan R adalah ring dengan elemen satuan. Tunjukkan bahwa jika R tidak
mempunyai unsur pembagi nol, maka elemen nilpoten R hannya 0 dan elemen
idempoten R hannya 10 dan .
Bukti :
20. Ring by Mulyono
36
Dik. R adalah ring dengan elemen satuan.
R tidak mempunyai unsur pembagi nol, yakni 00),( aabRba atau
0b .
(i). Diperlihatkan elemen nilpoten R hannya 0 .
Andaikan a elemen nilpoten, maka berlaku Raan
,0 .
Jelas 0 elemen nilpoten sebab 000.0.00 n
.
Selanjutnya ada elemen nilpoten yang lain, sebut saja a dengan 0a , maka ber-
Berlaku Nnan
,0 , tetapi 0. 1
nn
aaa . Hal ini berarti a adalah pembagi
nol. Timbul kontradiksi karena diketahui R tidak mempunyai unsur pembagi nol.
Jadi jika a elemen nilpoten di R maka 0a .
(ii). Diperlihatkan elemen idempotenR hannya 10 dan .
Andaikan a elemen idempoten diR , maka berlaku aa 2
.
Tetapi aa 2
aaaa 2
0)1( aa
Karena R tidak mempunayi unsur pembagi nol, maka
0a atau 101 aa .
Jadi terbukti elemen idempoten R hannya 10 dan .
02. Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan, Ra .
(i). Tunjukkan bahwa jika a nilpoten, maka a1 unit.
(ii). Tunjukkan jika a idempoten, maka a1 idempoten.
Bukti :
(i). Dik. R adalah ring dengan elemen satuan dan a nilpoten.
Tinjau deret geometri
a
a
aaaa
n
n
1
)1(11210
.
Karena 0n
a , maka
a
aaaa n
1
11210
1)1)(( 1210
aaaaa n
.
Jadi a1 adalah unit.
21. Ring by Mulyono
37
(ii). Jika a idempoten berarti .2
aa Akan diperlihatkan a1 idempoten.
Perhatikan bahwa 22
21)1( aaa .
a
aa
1
21
Karena aa 1)1( 2
, berarti a1 idempoten.
03. Tunjukkan bahwa sebarang elemen a di nZ adalah unit jika dan hannya jika a dan
Adalah relatif prima.
Bukti :
1,3,2,1,0 nZn nmod .
Andaikan nZa adalah unit, maka terdapat nZb sehingga )(mod1. nba .
)(mod1. nba 1 nqab
1 nqab
bdana adalah relatif prima.
Andaikan 1),( na , maka terdapat bilangan bulat vu, sedemikian hingga
1 nvau
1)( vnau
Anggap nZrnrrnqu ,0, , maka
1)( vnaranqau
nZraqvnar ,1)( , sama saja dengan menyatakan
nZrra ,1. . Ini berarti bahwa a adalah unit.
04. Buktikan bahwa ppZ p mod1,,3,2,1,0 adalah lapangan jika dan hannya ji -
ka p adalah prima.
Bukti :
Andaikan pZ lapangan dan anggap p bukan prima, maka terdapat bilangan
ba, sehingga pbaabp ,,1, .Karena 0. bapab dengan ba, tidak sama
dengan nol. Ini berarti pZ mempunyai pembagi nol, yang berarti juga pZ bukan
22. Ring by Mulyono
38
integral domain. Teorema 2.3.9 menjamin bahwa pZ adalalah lapangan.
Andaikan p adalah prima. Akan kita perliahatkan bahwa pZ adalalah lapangan
Cukup diperlihatkan pZ integral domain.
Misalkan )(mod0 pab , pZba , . Maka abadalah kelipatan dari p . Sehingga
bpatauapabp .Karena p prima, pbaZba p ,,, , maka 0a atau 0b
Akibatnya pZ adalah integral domain.Teorema Teorema 2.3.9 menjamin bahwa
pZ adalalah lapangan.
05. Tentukanlah semua elemen idempoten dan elemen nilpoten dalam ring 4Z .
Penyelesaian :
3,2,1,04 Z . Karena 13.30.2.2,11.1,00.0 dan , maka jelas bahwa
10 dan merupakan elemen idempoten.
Karena ,02.222
maka 2 adalah nilpoten, juga ,00.002
maka 0 adalah
nilpoten, sedangkan 31 dan bukan nilpoten.
Soal-Soal Latihan
0.1. Perlihatkan bahwa ZbabaZ ,:2]2[ adalah suatu Ring
komutatif dengan unsur kesatuan.
0.2 Perlihatkan bahwa QbabaQ ,:2]2[ adalah suatu lapangan.
0.3 Lengkapi pembuktian bahwa himpunan kuasa AAP ,2,1,)( , {2}, A
dimana A= {1, 2} dalam Contoh 2.3.3 adalah suatu Ring
0.4. Perlihatkan bahwa himpunan
Rcba
cb
a
R ,,:
0
23. Ring by Mulyono
39
dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah suatu, Ring
05. Perlihatkan bila R adalah suatu Ring dengan unsur kesatuan, maka
unsur kesatuan tersebut adalah tunggal.
06.Perlihatkan bila 1R dan 2R masing-masing adalah suatu gelangang maka 21xRR
dengan operasi
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) dan (a, b) (c, d) = (ac, bd)
untuk semua 21),(),,( xRRdcba adalah juga suatu Ring.
07. AndaikanR menyatakan himpunan bilangan riel.Buktikan bahwa RxR berben
tuk lapangan dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan
sebagai berikut:
bcadbdacdcba
dbcadcba
,(),).(,(
),(),(),(
08. Untuk setiap Ring 1R dan 2R perlihatkan bahwa 21xRR selalu mempunyai
unsur pembagi nol. Jadi secara umum 21xRR bukanlah suatu daerah integral
09. Cari semua penyelesaian dari persamaan 12
2
034 Zdixx
10. Andaikan Rba , . Perlihatkan (a + b)(a - b) = a2 - b2 jika dan hannya jika R
adalah Ring komutatif.
11. Tunjukkan bahwa suatu ring R adalah komutatif jika dan hannya jika
abbaba 2)( 222
untuk semua Rba ,
12 . Perhatikan Ring Zp dimana p adalah suatu bilangan prima.
Perlihatkan bahwa ppp
baba )( untuk semua pZba ,
13. Suatu Ring R disebut sebagai Ring Boole (Boolean ring) bilamana aa 2
untuk
semua Ra .
a. Bila R adalah ring Boole perlihatkanlah bahwa 0 aa untuk semua
24. Ring by Mulyono
40
Ra .
b. Perlihatkan bahwa setiap Ring Boole adalah komutatif
14. Andaikan R adalah suatu Ring. Unsur Ra dikatakan unsur nilpoten bi
la terdapat bilangan bulat positip n sehingga 0n
a . Bila R adalah Ring
komutatif dan Rba , keduanya adalah unsur nilpoten, perlihatkan
a. ab adalah unsur nilpoten
b. ba adalah unsur nilpoten
15. Andaikan R adalah suatu Ring komutatif, dan ambil Rba , . Buktikan
a. Jika a adalah unsur satuan, maka a bukan unsur pernbagi nol.
b. Jika a adalah unsur pembagi nol sehingga 0ab , maka ab adalah unsur
unsur pembagi nol.
16. Tunjukkan bahwa suatu elemen a di nZ adalah unit jika dan hannya jika ndana
Adalah relatif prima.
17. Tunjukkan bahwa pulonZ p mod1,,3,2,1,0 adalah field jika dan hannya
jika p adalah prima.
18. Tunjukkan bahwa suatu ring R adalah komutatif jika dan hannya jika
abbaba 2)( 222
untuk semua Rba ,
19. Andaikan R adalah suatu ring dengan elemen kesatuan, 222
)( yxxy untuk
semua Ryx , , maka tunjukkan bahwa R adalah komutatif.
20. Perlihatkan bahwa ring R dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riel pada ]1,0[ mem-
punyai pembagi nol (divisor of zero ).
