Dokumen tersebut membahas tentang residu dan teorema residu. Terdapat penjelasan mengenai fungsi analitik, singularitas, dan deret Laurent yang diperlukan untuk memahami residu dan teorema residu. Residu didefinisikan sebagai koefisien derajat satu dari deret Laurent suatu fungsi, sedangkan teorema residu menyatakan hubungan antara residu dengan integral suatu fungsi di sekitar lingkaran tertutup.

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari tentang deret. Pada
makalah ini, kita akan mempelajari tentang Residu dan Teorema residu,
dimana dalam mengerjakan residu dan teorema residu ini sangat
membutuhkan deret yaitu deret Laurent. Seperti yang kita lihat deret Laurent
adalah bentuk umum deret Taylor, yang di dalamnya memuat bentuk (𝑧 −
𝑧0) berpangkat bilangan bulat negatif ditambah dengan bentuk (𝑧 − 𝑧0)
berpangkat bilangan bulat positif (berhingga atau tak berhingga).
Penguraian deret Laurent pada subbab sebelumnya bahwa f 0z pada
dan anulus terbuka  0zzr dinamakan anulus konveregensi deret.
Perhatikan bahwa kita dapat juga menuliskan deret itu dalam bentuk
)( 0zzc
n
n
n 


dengan koefisiennya diberikan oleh rumus :
,
)(
)(
2
1
1
0
dz
zz
zf
i c nnc  



𝑛 = 0, ±1, ±2, …,
di mana 𝑐 adalah sembarang lintasan tertutup sederhana yang berorientasi
positif yang terletak di dalam anulus konvergensi dan memuat pusat
penguraian 𝑧0 di bagian dalamnya.
Nilai residu sendiri adalah 1b pada deret Laurent sehinggga
dirumuskan Residu sendiri terbagi menjadi dua yaitu residu pada kutub

2. 2
tunggal dan residu pada kutu  01 ,Re zzfsb  . b ke n. Residu dan Teorem
Residu (Teorema Chaucy Residu) memiliki hubungan dimana pencarian dari
Teorema Chaucy Residu merupakan jumlah dari 𝑅𝑒𝑠(𝑓( 𝑧), 𝑧 𝑘).
1.2 Rumusan Masalah.
1.2.1 Apa pengertian residu?
1.2.2 Bagaimana residu pada kutub tunggal?
1.2.3 Bagaimana residu pada kutub n?
1.2.4 Apa isi teorema residu?
1.3 Tujuan
1.3.1 Mahasiswa mengetahui pengertian residu.
1.3.2 Mahasiswa dapat memahami residu pada kutub tunggal.
1.3.3 Mahasiswa dapat memahami residu pada kutub n.
1.3.4 Mahasiswa dapat memahami isi teorema residu.
1.4 Manfaat
Mahasiswa dapat memahami residu dan teorema residu.

3. 3
BAB II
PEMBAHASAN
Diperlukan pemahaman mengenai fungsi analitik, singularitas dan
beberapa deret pada fungsi kompleks khususnya deret laurent untuk memahami
bahasan mengenai residu dan juga teorema residu. Sehingga akan dipaparkan
sekilas mengenai fungsi analitik, singularitas, dan deret-deret pada fungsi
kompleks.
Sebelumnya, ada baiknya untuk mengetahui pengertian residu agar
mengetahui lingkup bahasan dan hubungan-hubungan antara fungsi analitik,
singularitas, dan deret laurent dengan residu.
Residu merupakan bilangan 1b yang merupakan koefisien dari 1
0 )( 
 zz
pada deret laurent suatu fungsi f(z). Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam deret
laurent apabila fungsi tersebut memiliki titik singular terisolasi. Dimana titik
singular sendiri merupakan titik yang menyebabkan fungsi f(z) gagal analitik.
2.1 Fungsi Analitik, Singularitas dan Deret Laurent
2.1.1 Fungsi Analitik
Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila )(zf  ada di semua
titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu
fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan
Cauchy-Riemann. Persamaan Cauchy-Riemann merupakan persamaan
yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini

4. 4
digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w =
f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika
turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy –
Riemann, yaitu
xyyx vuvu 
dengan,
y
v
v
x
v
v
y
u
u
x
u
u yxyx












Beberapa hal yang perlu diperhatikan :
 Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik
pada S.
 Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi
menyeluruh / fungsi utuh (entire function).
 Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan
titik pada bidang datar yang membuat f analitik.
2.1.2 Singularitas
Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f
gagal menjadi analitik pada z0 tetapi setiap lingkungan z0 memuat
paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.
Jika )(zf tidak analitik di 0z dan )(,)( 00 zNzzN rr 
sehingga f analitik di z maka 0z titik singular )(zf . Terdapat dua
macam titik singular, yaitu sebagai berikut.

5. 5
a. Titik Singular Terasing
Titik 0z merupakan titik singular terasing f jika )( 0zNr
sehingga f analitik )( 0zNz r kecuali di 0z sendiri. Andaikan
sekarang bahwa 𝑧0 merupakan singularitas fungsi 𝑓(𝑧). Maka 𝑧0
akan dinamakan Singularitas terasing f , asal ada suatu lingkungan
terhapus 𝑧0, dimana 𝑓 analitik. Misalnya, fungsi 𝑓( 𝑧) =
4𝑖
𝑧2 +1
mempunyai singularitas terasing, suatu pada +𝑖 dan satu lagi pada
– 𝑖. Ini tidak sulit untuk melihat, karena suatu lingkungan terhapus
dengan jari-jari 1 (atau kurang) dapat dilukis di sekeliling salah
satu dari kedua titik itu dimana 𝑓 analitik di dalamnya.
Singularitas terasing lebih jauh digolongkan sebagai
berikut. Andaikan bahwa 𝑧0 merupakan singularitas terasing fungsi
𝑓(𝑧). Maka 𝑓(𝑧) analitik diseluruh suatu lingkungan terhapus.
b. Titik Singular Tidak Terasing
Titik 0z merupakan titik singular tak terasing, bagi fungsi 𝑓
jika hanya jika 𝑧0 singularitas bagi 𝑓 dan setiap lingkungan 𝑧0
memuat paling sedikit satu singularitas 𝑓 yang lain dari 𝑧0. Misal,
fungsi 𝑓( 𝑧) = 𝐿𝑜𝑔 𝑧, mempunyai singularitas tak terasing pada
setiap titik di sumbu nyata tak positif.
Secara umum, setiap fungsi yang dikaitkan dengan suatu
potongan cabang memiliki singularitas tak terasing. Karena,
menurut definisi, setiap lingkungan terhapus bagi singularitas tak

6. 6
terasing fungsi 𝑓 memuat paling sedikit satu singularitas 𝑓 yang
lain.
Ini bearti bahwa jika suatu fungsi mempunyai satu
singularitas tak terasing, maka mempunyai tak berhingga banyak
singularitas, meskipun tidak perlu tak terasing.
2.1.3 Deret-Deret pada Bilangan Kompleks
A. Deret Pangkat
Deret pangkat dalam 0zz  berbentuk :



2
020100
0
)()()( zzazzaazza n
n
n
dengan dengan z bilangan kompleks, 0z bilangan kompleks
sebarang yang disebut pusat deret, ,,, 210 aaa konstanta
kompleks yang disebut koefisien deret.
Apabila 00 z diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat
dalam z yaitu



2
210
0
zazaaza n
n
n
Untuk setiap deret pangkat n
n
n zza )( 0
0



terdapat
bilangan tunggal  dengan  0 yang dinamakan jari-jari
kekonvergenan deret. Sedangkan  0zz disebut lingkaran
kekonvergenan deret.

7. 7
B. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Suatu fungsi )(zf tidak dapat direpresentasikan dalam
dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila )(zf
dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat 0z , maka
deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan
dalam deret pangkat. Apabila )(zf analitik di dalam lingkaran C
maka )(zf dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret
MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.
Jika )(zf analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di
0z dan berjari-jari 0r , maka untuk setiap titik z di dalam C
berlaku
 n
n
n
zz
n
zf
zfzf 0
1
0
)(
0
!
)(
)()(  


Persamaaan ini disebut Deret Taylor dari )(zf di sekitar
titik 0z .
Jika pada persamaan deret Taylor, 00 z maka untuk
setiap titik z di dalam C berlaku
n
n
n
z
n
f
fzf 



1
)(
!
)0(
)0()(
Persamaan ini disebut Deret MacLaurin dari )(zf .

8. 8
C. Deret Laurent
Apabila )(zf tidak analitik di 0z , tetapi )(zf analitik
untuk setiap z di dalam annulus 102 RzzR  , maka )(zf
dapat diekspansi dalam deret Laurent.
Gambar 1. Annulus 102 RzzR 
Jika )(zf analitik di dalam annulus 201 RzzR  ,
dan C sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus
201 RzzR  yang mengelilingi 0z , maka untuk setiap z di
dalam 201 RzzR  , )(zf dapat dinyatakan sebagai




 

1 00
0
)(
)()(
n
n
n
n
n
n
zz
b
zzazf
dengan
,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
0


  
ndz
zz
zf
i
a
C nn

,3,2,1,
)(
)(
2
1
1
0


  
ndz
zz
zf
i
b
C nn

Persamaan f(z) tersebut sering ditulis dalam bentuk

9. 9




n
n
n zzczf )()( 0
dengan,
,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
0


  
ndz
zz
zf
i
c
C nn

Ruas kanan persamaan dua persamaan tersebut disebut
Deret Laurent )(zf dalam annulus 201 RzzR  . Apabila
)(zf analitik untuk 20 Rzz  , maka
!
)(
)(
)(
2
1 0
1
0 n
zf
dz
zz
zf
i
a
n
C nn 

  

dan
0
)(
)(
2
1
1
0


  C nn dz
zz
zf
i
b

sehingga persamaan 



 

1 00
0
)(
)()(
n
n
n
n
n
n
zz
b
zzazf
menjadi deret Taylor n
n
n
zz
n
zf
zf )(
!
)(
)( 0
0
0
 


. Dengan cara
yang sama dapat diperlihatkan bahwa deret Laurent suatu 𝑓(𝑧)
konvergen seragam ke 𝑓 pada setiap titik dalam sembarang
himpunan tertutup didalam anulus konvergensinya. Sebagai
akibatnya, ialah bahwa, seperti dalam kasus deret Taylor, suatu
deret Laurent dapat didiferensialkan atau diintegralkan suku demi
suku di dalam anulus konvergensinya.
Telah diperlihatkan juga bahwa penguraian deret Laurent
suatu fungsi pada anulus yang diberikan ada, maka ia tunggal.

10. 10
Kenyataan ini menjamin bahwa sekali deret Laurent telah
diperoleh untuk fungsi yang diberikan 𝑓(𝑧), maka penguraian itu
pastilah deret Laurent bagi 𝑓.
Perhatikan bahwa jika 𝑏 𝑛 = 0 maka deret Laurent menjadi
deret Taylor, Jadi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari
deret Laurent.
Penting untuk diperhatikan bahwa, jika diketahui suatu
fungsi )(zf dan suatu titik 0z pada bidang datar, adalah mungkin
bahwa f dapat mempunyai lebih dari suatu deret Laurent dengan
pusat 0z , tergantung pada anulus konveregensi dimana derel
Laurent itu menyatakan f .
2.2 Pengertian Residu
Residu adalah nilai dari 1b dari deret Laurent. Jika 0z titik singular
terasing fungsi f maka 0r sehingga f analitik di dalam daerah
 rzzzD  00 . Selanjutnya, fungsi f dapat dinyatakan dalam deret
Laurent di dalam D, yaitu




 

1 00
0
)(
)()(
n
n
n
n
n
n
zz
b
zzazf
= 






2
0
2
0
1
0
0
)()(
)(
zz
b
zz
b
zza
n
n
n
dengan ,2,1,
)(
)(
2
1
1
0


  
ndz
zz
zf
i
b
C nn

dan C adalah sebarang
lintasan tertutup berarah positif di dalam D yang mengelilingi 0z .

11. 11
Khusus untuk n = 1 diperoleh,
dzzf
i
dz
zz
zf
i
b
CC  

 
)(
2
1
)(
)(
2
1
11
0
1

Bilangan kompleks 1b yaitu koefisien dari 1
0 )( 
 zz pada deret
Laurent fungsi f di sekitar titik singular terasing 0z disebut residu f di titik
singular terasing 0z , ditulis
 01 ,Re zzfsb  .
Setiap fungsi mempunyai residu di titik singularnya.
Contoh :
Diketahui 3
)2(
)(



z
e
zf
z
. )(zf mempunyai titik singular terasing 20 z ,
sehingga f analitik di dalam daerah   20 zzD . Deret Laurent
fungsi f di dalam D yaitu
















































)2(2
1
)2(
1
)2(
1
!2
)2(
)2(1
)2(
!2
))2((
))2((1
)2(
)2()2()2(
23
2
2
3
2
2
3
2
)2(
3
2
3
)2(2
3
zzz
e
z
z
z
e
z
z
z
e
e
z
e
z
ee
z
e z
zz
Diperoleh   2
2
1
2
1
2
2,Re
e
e
zfsb 

.

12. 12
2.3 Residu pada Kutub Tunggal
Jika bagian utama f di titik singular terasing 0z memuat paling sedikit
satu suku tak nol dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, maka terdapat
bilangan asli m sehingga 0mb , sedangkan 021   mm bb . Deret
Laurent fungsi f menjadi
m
m
n
n
n
zz
b
zz
b
zz
b
zzazf
)()()(
)()(
0
2
0
2
0
1
0
0





 



Selanjutnya 0z disebut kutub (pole) tingkat m. Jika m = 1 maka 0z disebut
kutub tunggal (simple pole).
Jika f memiliki tiang sederhana di z = 𝑧0, maka
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0) = lim
𝑧→𝑧0
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑓(𝑧)
Bukti :
Karena f memiliki kutub tunggal di z = 𝑧0, yang konvergen ekspansi Laurent
pada batas 0 <| z - z0 | <R memiliki bentuk :
𝑓( 𝑧) =
𝑎−1
𝑧 − 𝑧 𝑛
+ 𝑎0 + 𝑎1( 𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2( 𝑧 − 𝑧0) + ⋯
Ketika 𝑎−1 ≠ 0. Dengan mengalikan kedua kedua sisi deret ini oleh z - 𝑧0.
Kemudian mengambil batas sebagai z → 𝑧0 kita peroleh
lim
𝑧→𝑧0
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑓( 𝑧) = lim
𝑧→𝑧0
[ 𝑎−1 + 𝑎0( 𝑧 − 𝑧0)+ 𝑎1( 𝑧 − 𝑧0)2
+ ⋯ ]
= 𝑎−1 = 𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0)
contoh :
Fungsi 𝑓( 𝑧) =
1
( 𝑧−1)2(𝑧−3)
memiliki kutub tunggal di 𝑧 = 3. Gunakan
Teorema untuk menemukan residu.

13. 13
Solusi :
Karena 𝑧 = 3 adalah kutub sederhana, kita menggunakan :
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧),3) = lim
𝑧→3
( 𝑧 − 3) 𝑓( 𝑧) = lim
𝑧→3
1
(𝑧 − 1)2
=
1
4
2.4 Residu pada Kutub n
Jika f memiliki kutub order ke n pada 𝑧 = 𝑧0, maka
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0) =
1
( 𝑛 − 1)!
lim
𝑧→𝑧0
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑛
𝑓(𝑧)
Bukti:
Karena f diasumsikan untuk memiliki kutub order ke n pada 𝑧 = 𝑧0, itu
adalah Laurent Ekspansi konvergen pada batas 0 < | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝑅
memiliki bentuk
𝑓( 𝑧) =
𝑎−𝑛
(𝑧 − 𝑧0) 𝑛
+ ⋯ +
𝑎−2
( 𝑧 − 𝑧0)2
+
𝑎−1
( 𝑧 − 𝑧0)1
+ 𝑎0 + 𝑎1( 𝑧 − 𝑧0) + ⋯
Dimana 𝑎−𝑛 ≠ 0. Kita kalikan rumus terakhir oleh (𝑧 − 𝑧0) 𝑛
,
(𝑧 − 𝑧0) 𝑛
𝑓( 𝑧) = 𝑎−𝑛 + ⋯ + 𝑎−2(𝑧 − 𝑧0) 𝑛−2
+ 𝑎−1(𝑧 − 𝑧0) 𝑛−1
+ 𝑎0(𝑧 − 𝑧0 ) 𝑛
+ 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) 𝑛+1
+ ⋯
dan kemudian membedakan kedua sisi persamaan 𝑛 − 1 kali :
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑛
𝑓( 𝑧) = ( 𝑛 − 1)! + 𝑛! 𝑎0
( 𝑧 − 𝑧0) + ⋯
Karena semua persyaratan di sisi kanan setelah yang pertama melibatkan
pangkat bilangan bulat positif z - 𝑧0, limit z → 𝑧0 dari persamaan sebelumnya
adalah
lim
𝑧→𝑧0
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑛
𝑓( 𝑧) = ( 𝑛 − 1)! 𝑎−1

14. 14
Dengan menyelesaikan persamaan terakhir untuk 𝑎−1 memberikan persamaan
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0) =
1
( 𝑛 − 1)!
lim
𝑧→𝑧0
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑛
𝑓(𝑧)
Perhatikan bahwa persamaan tersebut berkurang menjadi 𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0) =
lim
𝑧→𝑧0
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑓(𝑧) bila n = 1.
Contoh :
Fungsi 𝑓( 𝑧) =
1
( 𝑧−1)2(𝑧−3)
memiliki kutub order ke 2 di 𝑧 = 1. Gunakan
Teorema residu pada kutub ke n untuk menemukan residu.
Solusi : Karena 𝑧 = 1 adalah kutub ke n, kita gunakan :
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧),1) =
1
1!
lim
𝑧→1
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
( 𝑧 − 1)2
𝑓(𝑧)
= lim
𝑧→1
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
1
𝑧−3
= lim
𝑧→1
−1
(𝑧−3)2
= −
1
4
2.5 Teorema Residu

15. 15
Sekarang kita akan mengetahui alasan mengapa teorema residu
sangalah penting. Teorema berikut menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu
kita dapat mengevaluasi integral kompleks ∮ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧𝑐
dengan menjumlahkan
residu di singularitas terisolasi dari f dalam kontur tertutup C.
Andaikan bahwa 𝑓(𝑧) analitik pada dan di dalam lintasan tertutup
sederhana 𝐶 yang berorientasi positif, kecuali pada bidang berhingga
banyaknya titik 𝑧1, 𝑧2,… , 𝑧 𝑛 yang masing-masing merupakan singularitas
terasing 𝑓. Maka
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 (
𝑐
𝑹𝑒𝑠[ 𝑓, 𝑧1]+ ⋯+ 𝑹𝑒𝑠[𝑓, 𝑧 𝑛])
Bukti :
Karena setiap 𝑧 𝑘 merupakan singularitas terasing 𝑓, maka kita
mungkin untuk menemukan lingkaran 𝑐 𝑘, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, sedemikian hingga
masing-masing terletak dalam lingkaran-lingkaran yang berpusat pada 𝑧0
yang bersangkutan, tidak mengandung singularitas yang lain dibagian
dalamnya, kecuali 𝑧 𝑘 yang menjadi pusatnya, dan tidak melewati suatu
singularitas 𝑓 yang lain, maka untuk setiap 𝑐 𝑘 yang berorientasi positif kita
mempunyai
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 𝑹𝑒𝑠[𝑧, 𝑧 𝑘
𝑐 𝑘
]
Akhirnya, berdasarkan teorema anulus berganda, kita mempunyai
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 + ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 + ⋯+ ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
𝑐 𝑛𝑐2𝑐1𝑐
= 2𝜋𝑖(𝑹𝑒𝑠[ 𝑓, 𝑧1]+ 𝑹𝑒𝑠[ 𝑓, 𝑧2] + ⋯ 𝑹𝑒𝑠[𝑓, 𝑧 𝑛]
2.5.1 Cauchy Residu Teorema

16. 16
Misalkan D menjadi domain terhubung dan C kontur tertutup sederhana
didalam D. Jika fungsi f adalah analitik dan dalam C, kecuali pada
jumlah terbatas tunggal poin terisolasi 𝑧1, 𝑧2 ,. . . , 𝑧 𝑛 dalam C, maka
∮ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠(𝑓( 𝑧), 𝑧 𝑘)
𝑛
𝑘=1𝑐
Bukti:
Misalkan 𝐶1, 𝐶2,. . . , 𝐶 𝑛 adalah lingkaran berpusat di 𝑧1, 𝑧2 ,. . . ,
𝑧 𝑛 respectively. Misalkan masing-masing lingkaran 𝐶 𝑘 memiliki radius
𝑟 𝑘 cukup kecil sehingga 𝐶1, 𝐶2,. . . , 𝐶 𝑛 saling beririsan dan didalam
kurva tertutup C. kita melihat bahwa ∮ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 𝑅𝑒𝑠 (𝑓( 𝑧), 𝑧 𝑘𝐶 𝑘
dan menurut Teorema kita harus :
∮ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = ∑ ∮ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠(𝑓( 𝑧), 𝑧 𝑘)
𝑛
𝑘=1𝐶 𝑘
𝑛
𝑘=1𝑐
Contoh :
Evaluasi ∮
1
( 𝑧−1)2(𝑧−3)
𝑑𝑧𝑐
dimana kontur C adalah persegi panjang
yang didefinisikan oleh 𝑥 = 0, 𝑥 = 4, 𝑦 = −1, 𝑦 = 1, dan lingkaran
| 𝑧 | = 2.
Solusi :
Karena kedua 𝑧 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 3 adalah tiang dalam persegi panjang
yang kita miliki dari teorema Chaucy Residu :
∮
1
( 𝑧 − 1)2( 𝑧 − 3)
𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖[ 𝑅𝑒𝑠(𝑓( 𝑧),1) + 𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧),3)]
𝑐
Kita mengetahui nilai resedu dari contoh kutub tunggal.

17. 17
∮
1
( 𝑧 − 1)2( 𝑧 − 3)
𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 [(−
1
4
) +
1
4
] = 0
𝑐
Karena hanya z1 tiang terletak dalam lingkaran | 𝑧 | = 2, kita memiliki
∮
1
( 𝑧 − 1)2(𝑧 − 3)
𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧),1) = 2𝜋𝑖 (−
1
4
) = −
𝜋
2
𝑖
𝑐

18. 18
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahsan yang telah dipaparkan, maka dapat disimpulkan :
 Bilangan kompleks 1b yaitu koefisien dari 1
0 )( 
 zz pada deret Laurent
fungsi f di sekitar titik singular terasing 0z disebut residu f di titik
singular terasing 0z , ditulis
 01 ,Re zzfsb  .
 Residu pada kutub tunggal dapat didefinisikan jika f adalah sebuah kutub
tunggal pada 𝑧 = 𝑧0 maka rumus dari residu kutub tunggal adalah
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0) = lim
𝑧→𝑧0
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑓( 𝑧)
 Residu pada kutub ke n dapat didefinisikan jika f sebuah kutub ke n pada
𝑧 = 𝑧0 maka rumus residu pada kutub ke n dapat didefinisikan sebagai
berikut.
𝑅𝑒𝑠( 𝑓( 𝑧), 𝑧0) =
1
( 𝑛 − 1)!
lim
𝑧→𝑧0
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑧 𝑛−1
( 𝑧 − 𝑧0) 𝑛
𝑓(𝑧)
 Teorema Residu dapat didefinisikan sebagai teorema Residu Chaucy,
misalkan D menjadi domain terhubung dan C kontur tertutup sederhana
didalam D. Jika fungsi f analitik dan dalam C, kecuali pada jumlah
terbatas tunggal poin terisolasi 𝑧1, 𝑧2 ,. . . , 𝑧 𝑛 dalam C, maka
∮ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠(𝑓( 𝑧), 𝑧 𝑘)
𝑛
𝑘=1𝑐

19. 19
DAFTAR PUSTAKA
Chen, WWL. 2008. Introduction to Complex Analysis. University of London.
J.W., Brown and R.V., Churchill. 2009. Complex Variabbles and Applications.
Mc Graw. Hill.
Knill, Oliver. 1996. The Residue Theorem and Its Applications. Caltech.
Paliouras, John D. 1975. Complex Variables For Scientists And Engineers.
Rochester Institute of Technology.
Pyrih, Pavel. 2012. Complex Variable solved Problems. Jones and Bartlett
Learning, LLC.
Schroder, Bernd. 2005. The Residue Theorem. Lousiana Tech University.
T.W., Gamelin. 2001. Complex Analysis. Springer.
Zill, Dennis and friends. 2003. A First course in complex analysis with
applications . Loyola Marymount University.