Sillabus mata kuliah ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika seperti persamaan non-linear, sistem persamaan linear, interpolasi, turunan numerik, integrasi numerik, dan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan pendekatan numerik. Metode-metode yang dibahas antara lain metode eliminasi Gauss, interpolasi polinom, metode Runge Kutta, dan metode integral.

1. PENDEKATAN DAN PENYEDERHAANAN
MASALAH BERDASARKAN METODE NUMERIK
Oleh : Amri Sandy
Sillabus Mata Kuliah :
1. Pendahuluan
1. 1 Latar Belakang
1. 2 Metode Numerik dan Pemodelan Matematika
1. 3 Ruang Lingkup dan Perangkat Lunak
1. 4 Algoritma Penyelesaian Masalah Pada Metode Numerik
2. Sistem Bilangan dan Analisis Kesalahan (Error)
2. 1 Sistem Bilangan
2. 2 Analisis Kesalahan (Error)
2. 3 Tingkat Hampiran
2. 4 Bilangan Titik Kambang
2. 5 Perambatan Nilai Error
2. 6 Ketidaktepatan, Kesalahan Perumusan dan Ketidakpastian Data
3. Penyelesaian Persamaan Tidak Lninier
3. 1 Metode Pencarian Akar
3. 2 Metode Tertutup
3. 3 Metode Terbuka
3. 4 Akar Ganda dan Akar – akar Polinom
3. 5 Sistem Persamaan Tidak Linier
3. 6 Contoh Aplikasi
4. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
4. 1 Metode Eliminasi Gauss
4. 2 Metode Eliminasi Gauss - Jordan
4. 3 Metode Matriks Invers
4. 4 Metode Dekomposisi Matriks Segitiga Bawah dan Atas
4. 5 Determinan
4. 6 Metode Iterasi Untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
4. 7 Contoh Aplikasi
5. Interpolasi dan Metode Regresi
5. 1 Masalah Interpolasi Polinom
5. 2 Polinom Lagrange
5. 3 Polinom Lagrange
5. 4 Polinom Newton
5. 5 Keunikan Polinom Interpolasi
6. Pendekatan Turunan Numerik
6. 1 Pendekatan Pada Perhitungan Masalah Turunan Numerik
6. 2 Turunan Pada Deret Taylor
6. 3 Turunan Numerik Pada Polinom Interpolasi
1

2. 6. 4 Tingkat Kesalahan
6. 5 Ekstrapolasi Richardson
6. 6 Contoh Aplikasi
7. Integrasi Numerik
7. 1 Metode Titik
7. 2 Metode Newton Cotes
7. 3 Pendekatan Singularitas
7. 4 Penggunaan Ekstraplasi
7. 5 Integral Ganda
7. 6 Contoh Aplikasi
8. Penyelesaian Persamaan Differensial Biasa (PDB)
8. 1 Pendahuluan
8. 2 Persamaan Differensial Biasa Orde Satu
8. 3 Metode Euler
8. 4 Metode Heun
8. 5 Metode Deret Taylor
8. 6 Metode Runge Kutta
8. 7 Ekstrapolasi Richardson
8. 8 Metode Langkah Ganda
8. 9 Sistem Persamaan Differensial
8.10 Ketidakstabilan Metode PDB
8.11 Contoh Aplikasi
9. Penyelesaian Persamaan Differensial Parsil
9. 1 Persamaan Hiperbolik
9. 2 Persamaan Parabolik
9. 3 Persamaan Eliptik
9. 4 Conoth Aplikasi
10. Masalah Nilai Eigen dan Vektor Eigen
10.1 Sistem Persamaan Homogen : Masalah Nilai Eigen
10.2 Metode Pangkat
10.3 Metode Jakobi
10.4 Nilai Eigen dari Matriks Simetrik
10.5 Contoh Aplikasi
Daftar Pustaka
[1] Mathews., John H & Kurtis D. Fink.1999. Numerical Methods Using Matlab. Third
Edition. Printice–Hall, Inc. New York.
[2] Munir., Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Penerbit Informatika. Bandung.
[3] Chapra., Steven C & Raymond P. Canale. 1988. Metode Numerik. Penerbit Erlangga.
Jakarta. (Alih Bahasa : Drs. I Nyoman Susila, M.Sc).
[4] Boyce, W. E & R. C. Diprima. 1996. Elementary Differential Equation & Boundary
Value Problems. 5th ed. Wiley, New York.
[5] Stroud, K. A. 2003. Matematika Teknik Jilid 1 & 2. Penerbit Erlangga. Jakarta. (Alih
Bahasa : Drs. Alit Bondan, M.Kom).
2

3. Bagian 1
Pendahuluan
I. Mengapa Harus Belajar Numerik ?
1. mempermudah perhitungan jika metode analitik tidak dapat digunakan lagi pada
masalah Matematika.
2. memperkuat pengertian matematika
3. dapat mendesain program sendiri sesuai kebutuhan pemakai
4. dapat menyederhanakan matematika tingkat tinggi ke matematika yang lebih
sederhana
II. Tahap–tahap Pemecahan Masalah Secara Numerik ?
1. pemodelan
2. penyederhanaan model
3. formulasi numerik
4. pemrograman
5. operasional
6. evaluasi
III. Pokok - Pokok Bahasan Secara Umum pada Metode Numerik
1. Solusi Persamaan Tidak Linier
Misalkan, selesaikanlah f(x) = 0 untuk x
y
y = f(x)
akar
x
2. Solusi Sistem Persaman Linier
Misalkan sistem persamaan linier (SPL),
a11 x1 + a12 x2 = c1
a21 x1 + a22 x2 = c2 x1
untuk harga–harga x1 dan x2
Titik potong kedua SPL
x2
3

4. 3. Interpolasi Polinom
Misalkan, diberikan titik-titik (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn). Tentukan polinom p0(x)
yang melalui semua titik tersebut.
y
y = p0(x)
x
4. Turunan Numerik
Diberikan titik (xi, yi) dan
titik (xi+1, yi+1).
Tentukan f(xi)
y
yi+1 y = f(x)
yi
h
xi xi+1 x
5. Integrasi Numerik
Hitung Integral
b
I=  f ( x )dx
a y
y = f(x)
b
I =  f(x)
a
a b x
6. Solusi Persamaan Differensial Biasa
Diberikan dy/dx = f(x, y) dan dengan nilai awal y0 = y(x0)
Tentukan nilai y(xt) untuk xt  R
.
y
Gradien = f(xi, yi)
yi
x
xi xi+1 x
4

5. Bagian 2
Sistem Bilangan Dan Analisis
Galat (Error)
2. 1 Sistem Bilangan
2.1.1 Sistem Desimal
Sistem ini merupakan sistem dasar, dimana sistem ini kuantitas yang besar atau
kecil dapat disajikan dengan menggunakan simbol-simbol 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 bersama
dengan nilai tempat sesuai dengan posisinya [5].
Contoh 1
Misalkan, 2 7 6 5 , 3 2 110
Memiliki nilai tempat 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3
1 1 1
1000 100 10 1 10 100 1000
Nilai tempat adalah pangkat-pangkat dari 10, yang diberi nama denari (atau
desimal) untuk sistem ini. Sistem denari disebut memiliki basis 10. Sistem desimal atau
denari ini, menuntun ke sistem lain yang memiliki jenis struktur yang sama tetapi
menggunakan nilai tempat yang berbeda.
2.1.2 Sistem Biner
Sistem ini banyak digunakan dalam semua bentuk aplikasi pensaklaran. Simbol
yang digunakan disini hanyalah 0 dan 1 dan nilai tempatnya adalah pangkat-pangkat dari
2, dengan kata lain, sistem ini memiliki basis 2.
Contoh 2
Misalkan, 1 0 1 1 , 1 0 12
Memiliki nilai tempat 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
1 1 1
atau 8 4 2 1 2 4 8
Jadi 1011, 101 dalam sistem biner
1 1 1
= 1x8 0x4 1x2 1x1 1x 2 0x 4 1x 8
1 1
= 8+0+2+1+ 2 +0+ 8 dalam desimal.
= 11 5 =11. 625 dalam sistem denari. Oleh sebab itu 1011, 1012 = 11, 62510.
8
Subskrip kecil 2 dan 10 menunjukkan basis kedua sistem tersebut. Dengan cara
yang sama ekivalen bilangan denari dari 1101, 0112 adalah 13, 375.
Karena
5

6. 1 1 0 1 , 0 1 12
1 1 3
= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 4 + 8 = 13 8 = 13, 375
2.1.3 Sistem Oktal
Sistem ini menggunakan simbol – simbol : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
dengan nilai tempat yang berupa pangkat – pangkat dari 8.
Contoh 3
Misalkan, 3 5 7 , 3 2 18
Sistem oktal 82 81 80 8-1 8-2 8-3
1 1 1
Memiliki nilai tempat 64 8 1 8 64 512
Jadi 3 5 7 , 3 2 18
1 1 1
= 3x64 5x8 7x1 3x 8 2x 64 1x 512
3 1 1 209
= 192 + 40 + 7 + 8 + 32 + 512 = 239 512 = 239, 40810
dengan kata lain 357, 3218 = 239, 40810.
Dengan cara yang sama 263,4528 = 179, 58210.
karena
2 6 3 , 4 5 28
= 2x82 6x81 3x80 1 1
4x 8 5x 32 1
2x 512
1 1 1
= 2x64 6x8 3x1 4x 8 5x 64 2x 512
5
= 128 + 48 + 3 + 1
2 + 64 + 2
512 = 179 149 = 179,58210
256
2.1.4 Sistem Duodesimal (basis 12)
Dengan basis 12, kolom satuan perlu menampung simbol hingga 11 sebelum
muncul kelebihan kolom kedua terjadi. Sayangnya, simbol desimal hanya sampai 9, jadi
harus ada dua simbol baru, untuk menggambarkan nilai 10 dan 11. Beberapa saran untuk
simbol tambahan telah diusulkan, tetapi disini akan diadopsi simbol X dan  masing
masing untuk 10 dan 11. yang pertama mengingatkan pada angka Romawi 10 dan  dapat
dianggap sebagai goresan 1 1 yang dimiringkan untuk menyambung bagian atasnya.
Sistem ini menggunakan simbol – simbol : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, .
Dengan nilai tempat yang berupa pangkat – pangkat dari 12.
Contoh 4
Misalkan, 2 X 5 , 1 3 612
Sistem oktal 122 121 120 12-1 12-2 12-3
6

7. 1 1 1
Memiliki nilai tempat 144 12 1 12 144 1728
Jadi 2 X 5 , 1 3 612
1 1 1
= 2x144 10x12 5x1 1x 12 3x 144 6x 1728
1 1 1 31
= 288 + 120 + 5 + 12 + 48 + 288 = 413, 288
dengan kata lain 2X5, 13612 = 413, 10810.
2.1.5 Sistem Heksadesimal (basis 16)
Sistem ini digunakan pada komputer. Simbolnya perlu dicapai dengan denari 15
yang ekuivalen, sehingga, setelah 9, huruf alfabet digunakan sebagai berikut :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Nilai tempat pada sistem ini ada pangkat–pangkat dari 16.
Contoh 5
Misalkan, 2 A 7 , 3 E 216
Sistem oktal 162 161 160 16-1 16-2 16-3
1 1 1
Memiliki nilai tempat 256 16 1 16 256 4096
Jadi 2 A 7 , 3 E 216
1 1 1
= 2x256 10x16 7x1 3x 16 14x 256 2x 4096
497
= 679 2048 = 679, 24310
Cara lain untuk sampai pada hasil yang sama ialah dengan menggunakan fakta
bahwa dua kolom yang bersebelahan berbeda dalam nilai tempatnya sebesar faktor yang
merupakan basis sistem tersebut. Contoh berikut akan ditunjukkan metode tersebut.
Nyatakanlah bilangan oktal 357, 1218 dalam bentuk desimal. Pertama – tama,
perhatikan bilangan cacah 3578. Pada awal ujung kiri kalikanlah kolom pertama dengan
basis 8 dan tambahkanlah hasilnya ke entri pada kolom berikutnya (yang berjumlah 29).
3 5 7
x8 24 232
24 29 239
x8
232
Selajutnya ulangi proses ini. Kalikan julah kolom kedua dengan basis 8 dan
tambahkanlah hasilnya ke kolom berikutnya. Perkalian akan menghasilkan 239 pada
kolom satuannya.
Jadi 3578 = 23910.
7

8. Untuk bagian desimalnya yaitu 0, 1218
0 , 1 2 1
x8 8 80
8 10 81
x8
80
Berawal dari kolom kiri setelah tanda koma, kalikan dengan 8 dan tambahkanlah hasilnya
ke kolom berikutnya. Ulangi proses ini, akhirnya akan diperoleh jumlah 81 pada kolom
akhir. Akan tetapi karena nilai kolom ini 8-3, sehingga nilai desimal dari 0, 1218 adalah 81
x 8-3 = 81
512 = 0, 158210, dengan mengabungkan kedua hasil parsial ini, maka 357, 1218 =
239, 158210. Dapat juga disusun secara melebar seperti berikut :
3 5 7 , 1 2 1
x8 24 232 x8 8 80
24 29 239 8 10 81
x8 x8
232 80
1 81
81 x 83
= 512 = 0, 158210 sehingga 357, 1218 = 239, 158210.
Nyatakanlah duodesimal 245, 13612 dalam bentuk desimal atau denari.
Dengan proses yang serupa dengan sebelumnya maka,
2 4 5 , 1 3 6
x 12 24 336 x 12 12 180
24 28 341 12 15 186
x 12 x8
336 180
Karena nilai kolom terakhir adalah 12-3, maka 0, 13612 = 186 x 12-3 = 186
1728 = 0, 107610
Jadi 245, 13612 = 341, 107610.
Contoh 6
Carilah ekuivalensi bilangan berikut :
a. Dari bilangan desimal ke bilangan biner, 11011, 10112 !
b. Dari bilangan heksadesimal ke bilangan desimal, 4 C 5, 2 B 8 !
Penyelesaian
a.
1 1 0 1 1 , 1 0 1 1
x2 2 6 12 26 x2 2 4 10
2 3 6 13 27 2 2 5 11
x2 x2 x2 x2 x2
6 12 26 4 10
8

9. 11
Karena nilai tempat 2-4, 11 x 2-4 = = 0, 687510, 11011, 10112 = 27, 687510
6
b.
4 C 5 , 2 B 8
x 16 64 1216 x 16 32 688
64 76 1221 32 43 696
x 16 x 16
1216 688
696
Karena nilai tempat 16 -4, 696 x 16-4 = = 0, 1699210,
4096
4C5,2B816 = 1221,169910.
Latihan :
Nyatakanlah bilangan – bilangan berikut dalam bnetuk desimal :
1. 11001, 112
2. 4X9, 2512
3. 776, 1438
4. 6F8, 3D516
Penyelesaian :
1. 25, 7510
2. 510, 19310
3. 705, 24610
4. 1784, 24010
9

10. 2.1.6 Mengubah Basis dari Desimal ke Basis Baru
a. Untuk menyatakan bilangan Desimal ke bentuk Biner
Cara paling mudah untuk melakukan hal ini, adalah dengan pembagian
berulang dengan 2 (basis baru), dengan memperhatikan sisa pada setiap tahap,
sampai hasil bagi nol diperoleh.
Contoh 7:
Ubah 24510 kebentuk bilangan biner :
2 24510
2 122 –1
2 61 –0
2 30 –1
2 15 –0
2 7 –1
2 3 –1
2 1 –1
0 –1
Jadi 24510 = 111101012 (sisa, ditulis dengan urutan terbalik atau dari bahwa
keatas).
b. Untuk menyatakan bilangan Desimal ke bentuk oktal
Metode ini sama dengan sebelumnya, yaitu membagi secara berulang
dengan 8 (basis baru).
Contoh 8:
Ubah 52410 kebentuk bilangan oktal :
8 52410
8 65 –4
8 8 –1
8 1 –0
0 –1
Jadi 52410 = 10148.
c. Untuk menyatakan bilangan Desimal ke bentuk Duodesimal
Metode ini sama dengan sebelumnya, yaitu membagi secara berulang
dengan 12 (basis baru).
Metode ini cukup cepat dan mudah jika bilangan desimalnya yang diubah tersebut
berupa bilangan cacah.
10

11. Contoh 9:
Ubah 89710 kebentuk bilangan biner :
12 89710
12 74 –9
12 6 –2
0 –6
Jadi 89710 = 62912 (sisa, ditulis dengan urutan terbalik atau dari bahwa keatas).
d. Untuk mengubah bentuk bilangan Desimal ke bentuk Oktal
Untuk mengubah 0,52610 ke bentuk oktal, kalikan bilangan desimal itu
secara berulang dengan basis baruya, (dalam hal ini 8), tetapi pada perkalian yang
kedua dan seterusnya, tidak mengalikan bagian bilangan cacah hasil kali
sebelumnya.
Contoh 10 :
0, 52610
8
4, 208 Disini dikalikan dengan 8, tetapi desimalnya saja
8
1, 664
8
5, 312
8
2, 496 dan seterusnya
Jadi 0, 52610 = 0, 41528 ( ditulis dengan urutan dari atas kebawah).
Mengkonversi bilangan deimal ke sebarang bilangan dasar, baru dilakukan dengan
cara yanga sama.
Contoh 11 :
0, 30610
12
3, 672
12
8, 064
12
0, 768
12
9, 216
12
2, 592
 0, 30610 = 0, 380912
11

12. Jika bilangan desimal berisi bagian bilangan cacah maupun desimal, kedua bagian
itu dikonversi secara terpisah dan disatukan pada hasil akhirnya.
Contoh 12 :
Nyatakanlah 492, 73110 dalam bentuk Oktal !
penyelesaian
8 49210 , 73110
8 61 –4 8
8 7 –5 5 , 848
8
0 –7
6 , 784
8
Sehingga 492, 73110 = 754, 56628 6 , 272
8
2 , 176
Latihan :
1. Nyatakanlah bilangan desimal 348, 65410 ke bentuk oktal, biner, dan heksadesimal !
2. Nyatakanlah bilangan desimal 654, 27610 ke bentuk oktal, biner, dan heksadesimal !
3. Nyatakanlah bilangan desimal 163, 24510 ke bentuk oktal, biner, dan heksadesimal !
Penyelesaian :
1. 348,65410 = 534, 5178
= 101 011 100, 101 001 111 (dibuat dalam tiga digit biner)
= 101011100,1010011112
= 0001 0101 1100 , 1010 0111 1000 (dibuat dalam empat digit biner
dari dua arah)
= 1 5 (12), (10) 7 8
= 15C, A7816
2. 428, 371 = 654, 27610
= 110 101 100, 010 111 110
= 0001 1010 1100, 0101 11112
= 1AC, 5F16
3. 163, 24510 = 243, 1758
= 010100011,0011111012
= 1010 0011, 0011 1110 10002
= A3, 3E816
12