bj

1. Transformasi Laplace
Alihragam Laplace dan Konvergensinya
Pasangan alihragam Fourier
x1 ( t ) = x( t ).e −σt ; σ = real
∞
X (ω ) = ∫ x(t ).e − jωt dt ∞
−∞
X1 (ω ) = ∫ x( t ) e −σt .e − jωt dt
σ + j∞
1 −∞
∫ X (ω ).e
j ωt
x(t ) = dω
2π σ− j∞
∞
= ∫ x(t ).e −( σ + jω ) t dt
X ( ω ) sering juga dinotasikan −∞
dengan X ( jω ) = X ( σ + jω )
1

2. Transformasi Laplace
∞
s = σ + jω → X ( s ) = ∫ x(t ).e dt
− st
0
σ + j∞
1
x(t ) = ∫j∞X (s).e ds
st
2πj σ −
s = σ + jω
• X(s) = ζ[x(t)]
• x(t) = ζ-1[X(s)] 2

3. Transformasi Laplace
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 Semua s
u(t) 1 Re(s)>0
s
n! Re(s)>0
t u(t)
n
s n +1
1
e u(t)
-at
Re(s)+Re(a)>0
s+a
s Re(s)>0
u(t) Cos ω0t
s 2 + ω0
2
ω0 Re(s)>0
u(t) Sin ω0t
s 2 + ω0
2
3

4. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)
1 s
Penskalaan x(at) X 
a a
Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)
Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)
4

5. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Konvolusi frekuensi 1
x(t) y(t) X (s) *Y (s)
(modulasi) 2πj
Diferensiasi dn
(-t)n x(t) X (s )
frekuensi ds n
n −1
dn s X ( s ) − ∑ s n −1− k x((0 − )
n k)
Diferensiasi waktu n
x(t )
dt k =0
s n X (s )
Untuk TL dua sisi
5

6. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Integrasi waktu
Teorema nilai
awal
Teorema nilai
akhir
6

7. Contoh
1. x1 (t ) = −eα t .u ( −t )
∞
X1 (s) = ∫ −eα t u ( −t ) e − st dt
−∞
0
= ∫
−∞
−eα t e − st dt
1 −( s −α ) t ) 0
= .e
s −α −∞
1
= , Re( s ) < α
s −α
7

8. Contoh
2. x2 (t ) = eα t .u ( t )
∞
x2 ( s ) = ∫ eα t u ( t ) e − st dt
−∞
∞
= ∫ eα t e − st dt
0
−1 −( s −α ) t ∞
= .e
s −α 0
1
= , Re( s ) > α
s −α
8

9. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)
1 s
Penskalaan x(at) X 
a a
Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)
Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)
9

10. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Konvolusi frekuensi 1
x(t) y(t) X ( s) * Y ( s)
(modulasi) 2πj
Diferensiasi dn
(-t)n x(t) X (s )
frekuensi ds n
dn n −1
Diferensiasi waktu n
x(t ) s X ( s) − ∑ s n −1− k x((0 − )
n k)
dt k =0
s n X (s )
Untuk TL dua sisi
10

11. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
τ
X (s)
Integrasi waktu ∫ x(t )dt
0
s
τ 0
X (s) 1
∫ x(t )dt + ∫ x(t )dt
−∞ s s −∞
Teorema nilai lim x(t )
+
lim sX ( s )
t →0 s →∞
awal
Teorema nilai lim x(t ) lim sX ( s )
akhir t →∞ s→0
11

12. Contoh
( )
x ( t ) = t.e −2t .sin 3t u (t ) → X ( s ) = ?
3
( sin 3t ) u (t ) → 2 Lihat tabel
s +9
3
(e −2 t
)
sin 3t u ( t ) → Sifat 4
( s + 2)
2
+9
d  3 
( t.e −2 t
)
sin 3t u (t ) → −  
ds  ( s + 2 ) + 9 
2 Sifat 7
 
6 ( s + 2)
X ( s) = 2
( s + 2 ) 2 + 9 
  12

13. Contoh
2
-1 2
x ( t ) = 2 ( t + 1) u ( t + 1) − u (t )  + u ( t ) − u ( t − 2 ) 
   
= 2 ( t + 1) u ( t + 1) − 2t.u ( t ) − 2u ( t ) + u ( t ) − u ( t − 2 )
= 2 ( t + 1) u ( t + 1) − 2t.u ( t ) − u ( t ) − u ( t − 2 )
x ( t ) = 2 ( t + 1) u ( t + 1) − 2tu ( t ) − u ( t ) − u ( t − 2 )
↓ ↓ ↓ ↓
X ( s) = 2e s 2 1 e −2s
− 2 − −
s2 s s s
13

14. Invers Alih ragam Laplace
∞
X ( s) = ∫
−∞
x(t ).e − st dt
σ + j∞
1
x(t ) = ∫
2π j σ − j∞
X ( s ).e st ds
Teknik penemuan x ( t ) = ζ −1 X ( s )
Re sidu
x ( t ) = ∑ disemua  X ( s ) .e st 
 
kutub
14

15. Contoh
 1   e st  −2t
1. ζ −1   = Re 2s  s + 2  = e , t > 0
 s + 2  s =−  
 1   e st   e st 
ζ −1
  = Re s   + Re s  
2.  ( s + 1) ( s + 2 ) 

2

s =−1
 ( s + 1) ( s + 2 ) 

2

s =−2
 ( s + 1) ( s + 2 ) 

2

e st d e st
= +
s + 2 s =−1 ds s + 1 s =−2
= e−t +
( s + 1) t.e st − e st
( s + 1)
2
s =−2
= e − t − t.e −2t − e −2t , t > 0 15

16. Pecahan Parsial X(s)
• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan
penyebutnya berbentuk polinomial
P( s)
X ( s) =
Q( s)
• Derajat P(s) < derajat Q(s)
16

17. Pecahan Parsial X(s)
• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
P( s)
X ( s) =
( s + p1 )( s + p2 )...( s + pn )
A1 A2 An
X ( s) = + ...
( s + p1 ) ( s + p2 ) ( s + pn )
Ak = lim ( s + pk ). X ( s )
s → − pk
k = 1,2,...n
x(t) menjadi :
x(t ) = A1e − p1t + A2 e − p2t + ... + An e − pnt 17

18. Pecahan Parsial X(s)
• Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara
khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi
Cosinus dan Sinus
18

19. Pecahan Parsial X(s)
• Q(s) mempunyai akar rangkap
P( s)
X (s) =
( s + p1 ) r ( s + p2 )...( s + pn )
A11 A12 A1r
X (s) = + + ... +
( s + p1 ) ( s + p1 ) 2 ( s + p1 ) r
A2 An
+ + ... +
( s + p2 ) ( s + pn )
Ak = lim ( s + pk ). X ( s )
s → − pk
1 d r −l 
Akl = lim ( s + pk ) r . X ( s )
(r − l )! ds r −l  s →− pk
  s = − pk
 19

20. Transformasi Laplace
s+4
• Contoh soal X (s) =
( s + 1)( s + 2)( s + 3)
A A A
X (s) = 1 + 2 + 3
s +1 s + 2 s + 3
s+4 3
A1 = =
( s + 2)( s + 3) s = −1 2
s+4
A2 = = −2
( s + 1)( s + 3) s = −2
s+4 1
A3 = =
( s + 1)( s + 2) s = −3 2
3 2 1
X (s) = 2
− + 2
s +1 s + 2 s + 3
x(t ) = 3 e −t − 2e − 2t + 1 e −3t
2 2
20
t >0

21. Transformasi Laplace
• Contoh soal 1
X ( s) =
s ( s 2 + 2 s + 2)
A A s + A3
X ( s) = 1 + 2 2
s s + 2s + 2
A1 ( s 2 + 2 s + 2) + s ( A2 s + A3 )
X ( s) =
s ( s 2 + 2 s + 2)
( A1 + A2 ) s 2 + (2 A1 + A3 ) s + 2 A1
X ( s) =
s ( s 2 + 2 s + 2)
1
A1 =
2
1
A2 = −
2
A3 = −1
21

22. Transformasi Laplace
1 s +1 1
X (s) = − 2 2 2
s s + 2s + 2
1 1 s+2
X (s) = −2
s 2 ( s + 1) 2 + 12
1 1 s +1 1 1
X (s) = −2
−
s 2 ( s + 1) + 1 2 ( s + 1) 2 + 12
2 2
x(t ) = 1 − 1 e −t Cos (t ) − 1 e −t Sin(t )
2 2 2
t >0
22

23. Transformasi Laplace
s
X (s) =
( s + 1)( s + 2) 2
A A A12
X ( s ) = 1 + 11 +
s + 1 s + 2 ( s + 2) 2
s
A1 = = −1
( s + 2) 2
s = −1
1 d s 1
A11 = = =1
(2 − 1)! ds s + 1 s = −2 ( s + 1) 2 s = −2
1 s
A12 = =2
(2 − 2)! s + 1 s = −2
−1 1 2
X (s) = + +
s + 1 s + 2 ( s + 2) 2
x(t ) = −e −t + e − 2t + 2te − 2t
t >0 23

24. Sistem LTI dengan penyelesaian Pers
Diferensial koefisien konstan
x(t) Sistem y(t)
LTI
• Sistem mempunyai hubungan
dny d n −1 y dy
an n + an −1 n −1 + a1 + ... + a0 =
dt dt dt
d mx d m −1 x dx
bm m + bm −1 m −1 + ... + b1 + b0
dt dt dt
atau
n
diy m d jx
∑ ai dt i =∑ b j dt j
i =0 j =0 24

25. Sistem LTI dengan Pers Diferensial
• Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui
• x(t) untuk t>0
• y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)
• x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya
dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga
beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
25

26. Transformasi Laplace
•• • •
y + 7 y + 10 y = x + 3 x
dengan
−t
x(t ) = e , t > 0
y (0 − ) = 1
•
−
y (0 ) = 1
2
26

27.  .
• 
 s 2Y ( s ) − sy (0− ) − y (0− )  + 7  sY ( s) − y (0− )  + 10Y ( s ) = sX ( s ) − x(0− ) + 3 X ( s )
   
 
walaupun x(0+ ) = e0 = 1, x(0− ) = 0 karena belum ada masukan
 s 2Y ( s ) − s − 1  + 7 [ sY ( s ) − 1] + 10Y ( s ) = sX ( s ) + 3 X ( s )
 2
(s 2
+ 7 s + 10 ) Y ( s ) − s − 7 1 = ( s + 3) X ( s )
2
1
( s 2 + 7s + 10 ) Y (s) − s − 7 12 = ( s + 3) s +1
( s + 3)
( s +1) + s + 15
2
Y (s) =
s + 7 s + 10
2
( s + 3) s + 15
Y (s) = + 2 2
( s + 1)( s 2 + 7 s + 10) ( s + 7 s + 10)
( s + 3) s + 15
Y (s) = + 2
( s + 1)( s + 2)( s + 5) ( s + 2)( s + 5)
 12 − 13 − 16   116 5 
Y (s) =  + +  + + 6 
 ( s + 1) ( s + 2) ( s + 5)   ( s + 2) ( s + 5) 
27
y (t ) = 1 e − t − 1 e −2t − 1 e −5t + 11 e −2t + 5 e−5t
2 3 6 6 6