1. Model matematis sistem mewakili hubungan input dan output sistem melalui persamaan matematis. 2. Transfer function menjelaskan hubungan antara transformasi Laplace dari input dan output sistem. 3. Blok diagram dan signal flow graph digunakan untuk merepresentasikan model matematis sistem secara visual.
Ini adalah pertemuan tentang diagram blok, reduksi dan hasilnya dengan fungsi alih. Digunakan untuk pertemuan mata kuliah Teknik Kendali di prodi Sistem Komputer
Ini adalah pertemuan tentang diagram blok, reduksi dan hasilnya dengan fungsi alih. Digunakan untuk pertemuan mata kuliah Teknik Kendali di prodi Sistem Komputer
Pada Transformasi Laplace bag. kedua, sifat-sifat transformasi laplace yang lebih mendalam dan khusus akan dipelajari. Sifat-sifat ini akan banyak digunakan dalam penerapan metode transformasi laplade dalam menyelesaikan masalah nilai awal dengan persamaan diferensial yang yang berkaitan dengan fungsi-fungsi tangga (piecewise function)
- Definisi persamaan parametrik;
- Kurva parametrik;
- Mengubah persamaan parametrik ke persamaan aljabar dengan eliminasi parameter;
- Turunan pertama persamaan parametrik dan aplikasinya;
- Turunan kedua persamaan parametrik dan aplikasinya;
- Luas area di bawah kurva parametrik;
- Panjang busur kurva parametrik;
- Luas permukaan dari kurva parametrik yang diputar terhadap sumbu tertentu.
Graf dengan panjang, dalam konteks teori graf, adalah jenis graf yang memiliki atribut atau bobot yang menunjukkan panjang atau jarak antara pasangan simpul atau node. Attribut ini biasanya digunakan untuk mewakili hubungan antar simpul dalam suatu jaringan, seperti jarak antara kota-kota dalam peta atau biaya transportasi antar titik dalam suatu infrastruktur.Graf dengan panjang memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, termasuk perencanaan rute, logistik, telekomunikasi, dan optimisasi. Mereka memungkinkan perhitungan yang lebih akurat tentang bagaimana mencari jalur terpendek, biaya terendah, atau hubungan terkuat antara simpul-simpul dalam jaringan. Contoh graf dengan panjang termasuk graf terarah dengan panjang terpendek (Dijkstra), graf berbobot, dan graf jaringan telekomunikasi.
1. MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Model matematis suatu sistem :
Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem
yang bersangkutan.
Dengan mengteahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.
Sistem
INPUT OUPUT
R(s) C(s)
Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem.
R(s) = transformasi Laplace dari input
C(s) = transformasi Laplace dari output
G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem.
C(s) = G(s).R(s)
Transfer function : )(
)(
)(
sG
sR
sC
model matematis sistem ekuivalen dengan transfer function.
Transfer function / fungsi alih :
Perbandingan antara transformasi laplace dari output dengan transformasi laplace dari
inputnya, dengan anggapan semua kondisi awal = 0.
1. F = input (gaya) ; x = output (pergeseran)
k = konstanta pegas
m = massa f
= koefisien gesekan (piston)
carilah transfer function sistem mekanis diatas !
Solusi :
F = m.a
F – k.x – f.
.
x = m.
..
x
F(s) – kX(s) – fsX(s) = ms2X(s)
F(s) = (ms2 + fs + k) X(s)
kfs2ms
1
F(s)
X(s)
1.
G(s)
2. J = momen inersia
f = koefisien gesek
= kecepatan sudut (output)
T = torsi (input)
= percepatan sudut
= pergeseran sudut
J = T
J
.
ω = T-f.
Js(s) = T(s) – f(s)
T(s) = (Js +f) (s)
fJs
1
T(s)
Ω(s)
eI = i.dt
c
1
R.i
dt
di
L. ………………(1)
e0 = i.dt
c
1
………………(2)
Transformasi Laplace :
1 EI(s) = Ls I(s) + R I(s) + I(s)
Cs
1
2 E0(s) = I(s)
Cs
1
I(s) = C s E0(s)
21:
EI(s) = L C s2 E0(s) + R C E0(s) + E0(s)
EI(s) = C L C s2 + R (s +1) E0(s)
1RCs2LCs
1
(s)
i
E
(s)
0
E
3. 1RCs
1
(s)
i
E
(s)
0
E
(Buktikan !!!)
Bila kedua rangkaian RC
disamping tidak dianggap
terpisah.
EI = R1.i1 + )dt
2
i
1
(i ………………… (1)
0 = .dt
2
i
2
C
1
2
.i
2
R)dt
1
i
2
(i
1
C
1
………..(2)
e0 = .dt
2
i
2
C
1
………………….(3)
Transformasi Laplace :
1 (s))
2
I(s)
1
(I
(s)
1
C
1
1
.i
1
R(s)
i
E
2 (s)
2
I
s
2
C
1
(s)
2
.I
2
R(s))
1
I(s)
2
(I
s
1
C
1
0
3 (s)
2
I
s
2
C
1
(s)
0
E
Eliminasi I1(s) dan I2(s) dari ketiga persamaan diatas menghasilkan :
1)s
2
C
1
R
2
C
2
R
1
C
1
(R2s
2
C
2
R
1
C
1
R
1
(s)
1
E
(s)
0
E
Bila Kedua rangkaian RC diatas dianggap terpisah.
5. a. PROSES atau TRANSFER FUNCTION
b. ELEMEN PENJUMLAHAN
A C C = A - B
B
c. PERCABANGAN
BLOK DIAGRAM LENGKAP UNTUK SISTEM SEDERHANA :
R(s) = input
C(s) = output
G(s) = transfer function “feedforward”
H(s) = transfer function “feedback”
G(s)H(s) = transfer function “open-loop”
Transfer function “closed-loop” :
E(s) = R(s) – B(s) ………..(1)
B(s) = C(s) . H(s) ………. (2)
C(s) = E(s) . G(s) ………..(3)
21 : E(s) = R(s) – C(s).H(s) ……..(4)
43 : C(s) = (R(s) – C(s).H(s)) G(s)
C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s)
G(s)H(s)1
G(s)
R(s)
C(s)
Contoh :
TRANSFER
FUNCTION G(s)
8. I(s) =
R
(s)
0
E(s)
i
E
BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : I(s) =
R
(s)
0
E(s)
i
E
BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : E0(s) = I(s)
Cs
1
I(s) E0(s)
BLOK DIAGRAM RANGKAIAN RC
Atau :
RCs1
1
1/RCs1
1/RCs
(s)
i
E
(s)
0
E
ATURAN PENYEDERHANAAN BLOK DIAGRAM
Cs
1
11. Ra = tahanan jangkar
La = induktansi jangkar
ia = arus jangkar
if = arus medan
ea = tegangan jangkar
eb = emf terinduksi
= perpindahan sudut dari poros / batang meter
T = torsi
J = momen inersia total
f = koefisien geseran total
Persamaan Sistem :
(1) ea = Ra.ia + La.
b
e
dt
a
di
(2) eb = K . n . = c . n = c .
(3) T = KI . . Ia = cI . ia
(4) J.
.
ω + f . = T
......?
(s)
a
E
Ω(s)
Transformasi Laplace :
(1) Ea(s) = Ia(s) [Ra + La . s] + Eb(s)
(2) Eb(s) = c . (s)
(3) T(s) = CI.Ia(s)
(4) T(s) = (s) [Js +f]
(1) Ia(s) [Ra + Las] = Ea(s) – Eb(s)
(2) Eb(s) = c . (s)
(s) Eb(s)
(3) T(s) = cI . Ia(s)
C
12. fJs
1
Ia(s) T(s)
(4) (s) =
fJs
1
T(s)
(s)T(s)
Blok Diagram Sistem :
)
1
ccf
a
(RJ)s
a
Rf
a
(L2Js
a
L
1
c
(s)
a
E
Ω(s)
2 SISTEM LEVEL CAIRAN
A)
qI = aliran air yg masuk
q0 = aliran air yang keluar
R = tahanan kran
C = kapasitas tangki
h = tinggi air
(1) h = q0 . R H(s) = R Q0(s)
CI
13. (2)
0
q
i
q
dt
dh
C C.sH(s) = QI(s) – Q0(s)
.....?
(s)
i
Q
H(s)
H(s) = R [QI(s) – CsH(s)]
[RC.s + 1] H(s) = RQi(s)]
1)R(s
R
(s)
i
Q
H(s)
B)
......?
(s)
i
Q
(s)
0
Q
Tangki 2 :
q0 =
2
R
2
h
Q0(s) =
2
R
(s)
2
H
…. (1)
C2
dt
2
dh
= qm – q0 C2sH2(s) = Qm(s) – Q0(s) ….(2)
Tangki 1 :
(s)....(4)
m
Q(s)
i
Q(s)
1
sH
1
C
m
q
1
q
dt
1
dh
1
C
.....(3)
1
R
(s)
2
H(s)
1
H
(s)
m
Q
1
R
2
h
1
h
m
q
(1) H2(s) Q0(s)
2
R
1
17.
(c)
(d)
DEFINISI
x1, x2, x3, x4 node (simpul)
G1, H2, G2, G3, H1 transmittance / gain
x1 x1
a ac
x3 c
x4 x4
b bc
x2 x2
18. x1 input node (source)
x4 output node (sink)
x2, x3 mixed node
G1 G2 G3 = gain lintasan maju / kedepan (forward path gain)
Gain lintasan tertutup :
G1, G2, H2 / G2, H2, G1
G2, G3, H1
Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut
tidak melintasi suatu transmittance yang sama.
Contoh :
Gain lintasan maju : 1) G1 G2 G3 G4 G5
2) G1 G2 G6 G5
gain lintasan tertutup : 1) G1 G2 H1 3) G4 G5 H3
2) G2 G3 H2 4) G2 G6 G5 H3 H2
TEORI MASON
P = fungsi alih / tranfer function total
= ....
kj,i,
k
L
j
L
i
L
ji,
j
L
i
L
i
i
L1
PI = gain / transmittance lintasan maju ke I
LiLj = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan
LiLjLk = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan
I = bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup yang
menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan
Contoh :
P1 = G1 G2 G3 G4 G5
i
i
Δ
i
P
Δ
1
P
R(s)
C(s)