Makalah ini membahas tentang deret pangkat kompleks, mencakup pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, teorema kekonvergenan deret pangkat, deret Taylor, deret MacLaurin, dan deret Laurent. Tujuannya adalah untuk memahami konsep-konsep dasar terkait deret pangkat kompleks.

1. MAKALAH
ANALISIS KOMPLEKS
“DERET PANGKAT KOMPLEKS”
OLEH
ABUBAKAR LAMAROBAK
ARIEL ANDRESON RIWU
MARLEN FRANS
NURULHUDA ARYANI
THEODORA Y. MEKARIA
PROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
2013

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena
penulis dapat menyelesaikan Makalah ini. Penyusunan Makalah ini disusun
untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Kompleks tentang Deret pangkat
Kompleks.
Selain itu tujuan dari penyusunan Makalah ini juga untuk menambah
wawasan tentang Deret pangkat komlpeks secara meluas.
Akhirnya Penulis menyadari bahwa Makalah ini sangat jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, penulis
menerima kritik dan saran agar penyusunan Makalah selanjutnya menjadi lebih
baik. Untuk itu saya mengucapkan banyak terima kasih dan semoga makalah
ini bermanfaat bagi para pembaca.
Kupang, 23 mei 2013
Penulis

3. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Analisis kompleks adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikan
matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang berhubungan
dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku, fungsi kompleks
dan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari Deret Pangkat kompleks. Untuk lebih
memahami Deret Pangkat kompleks beserta teorema dan aturan yang berlaku
dalam Deret Pangkat kompleks itu sendiri maka dosen memberikan tugas
pembuatan makalah mengenai Deret Pangkat Kompleks. Oleh sebab itu penulis
membuat makalah ini untuk lebih memahami mengenai Deret Pangkat kompleks
sekaligus menyelesaikan tugas dari dosen.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang maka dibuat rumusan masalah sebagai berikut:
- Apa itu Deret Pangkat dan Barisan kompleks?
- Apa saja teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret Pangkat kompleks?
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk
mengetahui apa itu Deret Pangkat dan Barisan kompleks beserta teorema dan
aturan yang berlaku dalam Deret Pangkat kompleks.

4. BAB II
ISI
2.1 Baris dan Deret Kompleks.
Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenal
istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting
dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret
Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan
deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan.
1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks
1.1 Barisan Bilangan Kompleks
Barisan bilangan kompleks :
merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif
n dengan suatu bilangan kompleks.
Notasi barisan bilangan kompleks :
nz atau nn zzzzz ,,,, 321  , 1n .
Kekonvergenan
Barisan
Barisan nz konvergen jika ada Cz sehingga zzn
n
lim .
Jika Nn0,0 sehingga zzn untuk 0nn .
Contoh 1
Tunjukkan barisan ,2,1,
)1(
2 2
n
n
z
n
n konvergen ke -2.
Penyelesaian :
genapn
n
ganjiln
n
n
z
n
n
n
n
n
n
,2
1
2lim
,2
1
2lim
)1(
2limlim
2
2
2
Jadi 2lim n
n
z .

5. Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa
teorema berikut.
Teorema 1 Jika nnn yixz dengan nx dan ny , maka nz
konvergen ke biaz jika dan hanya jika nx konvergen ke a
dan ny konvergen ke b .
Teorema 2 Jika nz dan nw berturut-turut konvergen ke z dan w , dan c
konstanta kompleks, maka
1. nn wz konvergen ke wz .
2. nzc konvergen ke zc .
3. nn wz konvergen ke wz .
4.
nz
1
konvergen ke
z
1
asalkan 0nz dan 0z untuk
setiap n . □
1.2 Deret Bilangan Kompleks
Diberikan deret bilangan kompleks
1n
nz dengan suku-suku deret yaitu ,,, 321 zzz .
Misalkan,
11 zS merupakan jumlah suku pertama
212 zzS merupakan jumlah dua suku pertama
3213 zzzS merupakan jumlah tiga suku pertama

nn zzzS 21 merupakan jumlah n suku pertama

6. Bilangan S menyatakan jumlah deret di atas apabila SSn
n
lim . Jadi deret
1n
nz
konvergen ke S jika dan hanya jika SSn
n
lim , dan ditulis Sz
n
n
1
.
Teorema 3
Diberikan deret bilangan kompleks
1n
nz dengan nnn yixz , nx
dan ny bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :
1.
1n
nz konvergen
1n
nx dan
1n
ny konvergen.
2.
1n
nz konvergen 0lim n
n
z .
3.
1n
nz konvergen terdapat bilangan riil M sehingga
NnMzn , .
4.
1n
nz konvergen
1n
nz konvergen .
Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret
1n
nz dapat diuji dengan
beberapa uji kekonvergenan berikut.
1.
1n
nz konvergen 0lim n
n
z .
0lim n
n
z
1n
nz divergen.
2.
1n
nz konvergen
1n
nz konvergen mutlak.

7. 1n
nz konvergen dan
1n
nz divergen
1n
nz konvergen bersyarat.
3.
1n
nz konvergen mutlak
1n
nz konvergen.
4. Uji Banding
nn bz dan
1n
nb konvergen
1n
nz konvergen.
nn za dan
1n
na divergen
1n
nz divergen.
5. Ratio Test
L
z
z
n
n
n
1
lim
gagalujiL
divergenzL
mutlakkonvergenzL
n
n
n
n
,1
,1
,1
1
1
6. Root Test
Lzn
n
n
lim
gagalujiL
divergenzL
mutlakkonvergenzL
n
n
n
n
,1
,1
,1
1
1
7. Deret Geometri
Bentuk umum : 2
1
1 qqq
n
n
Jika 1q maka deret konvergen.
Jika 1q maka deret divergen.
8. Deret p

8. Bentuk umum : pp
n
p
n 3
1
2
1
1
1
1
Jika 1p maka deret konvergen.
Jika 1p maka deret divergen.
Deret Pangkat
Bentuk
Deret Pangkat
Deret pangkat dalam 0zz berbentuk :
2
020100
0
)()()( zzazzaazza n
n
n
denga dengan z bilangan kompleks, 0z bilangan kompleks sebarang
yang disebut pusat deret, ,,, 210 aaa konstanta kompleks yang
disebut koefisien deret.
Apabila 00z diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam z yaitu
2
210
0
zazaaza n
n
n
Untuk setiap deret pangkat n
n
n zza )( 0
0
terdapat bilangan tunggal dengan
0 yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan 0zz
disebut lingkaran kekonvergenan deret.
Teorema 4
Misal diberikan deret pangkat n
n
n zza )( 0
0
. Jika
1
lim
n
n
n a
a
, dengan 0 maka adalah jari-jari
kekonvergenan.

9. Teorema 5
Misal diberikan deret pangkat n
n
n zza )( 0
0
.
Jika
n
n
n
a
1
1
lim , dengan 0 maka adalah jari-jari
kekonvergenan.
Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.
1. Jika 0 maka deret konvergen hanya di 0zz (pusat deret).
2. Jika 0 maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap z
dengan 0zz dan deret divergen untuk setiap z dengan 0zz .
3. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap z dengan
0zz .
Contoh 2
Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret
1
3
n
n
n
z
.
Penyelesaian :
Misal 3
1
n
an , pusat deret yaitu 00z .
1
133
lim
)1(
1
1
limlim 3
23
3
3
1 n
nnn
n
n
a
a
nn
n
n
n
Oleh karena itu :
deret konvergen pada 1z
deret divergen pada 1z
Apabila 1z , maka
1
3
1
3
1
3
1
nn
n
n
n
nn
z
n
z
(merupakan
deret p dengan 1p ), dan
1
3
n
n
n
z
konvergen . Sehingga
1
3
n
n
n
z

10. konvergen pada 1z .
Jadi, 1z konvergen pada 1z dan divergen pada 1z .
Deret Taylor dan MacLaurin
Suatu fungsi )(zf tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat
dengan pusat deret yang sama. Apabila )(zf dapat dinyatakan dalam deret pangkat
dengan pusat 0z , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan
dalam deret pangkat. Apabila )(zf analitik di dalam lingkaran C maka )(zf dapat
disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.
C
0r )(zf analitik di dalam C
• 0z
Gambar Lingkaran C dengan pusat deret 0z
Deret Taylor Jika )(zf analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di 0z dan
berjari-jari 0r ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik z di
dalam C berlaku
n
n
n
zz
n
zf
zfzf 0
1
0
)(
0
!
)(
)()( . (1.1)
Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari )(zf di sekitar titik 0z .
Deret Jika pada persamaan (5.1), 00z maka untuk setiap titik z di

11. MacLaurin dalam C berlaku
n
n
n
z
n
f
fzf
1
)(
!
)0(
)0()( . (1.2)
Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari )(zf .
Beberapa contoh deret MacLaurin.
1.
0
32
!!3!2
1
n
n
z
n
zzz
ze  , z
2.
0
1253
!)12(
)1(
!5!3
sin
n
n
n
n
zzz
zz  , z .
3.
0
242
!)2(
)1(
!4!2
1cos
n
n
n
n
zzz
z  , z .
4.
0
42
1
1
1
n
n
zzzz
z
 , 1z .
5.
0
432
)1(1
1
1
n
nn
zzzzz
z
 , 1z .
Contoh 3
Tentukan deret Taylor untuk
z
zf
1
)( di sekitar 10z .
Penyelesaian :
Titik singular )(zf yaitu 0z . Dibuat lingkaran C dengan pusat
10z dan jari-jari 1 ( 11: zC ), sehingga )(zf analitik di
dalam C .
1)1()( 0 fzf
1)1('.1)(' 2
fzzf
2)1(''.2)('' 3
fzzf
6)1('''.6)(''' 4
fzzf

Menggunakan persamaan (5.1) diperoleh deret Taylor :

12. 11,)1()1()1(1)( 32
zzzzzf 
Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )
11,1)1()1(1
)1()1(
)1(1
1
1
)(
32
0
zzzz
z
z
z
zf
n
n
n

5.4 Deret Laurent
Apabila )(zf tidak analitik di 0z , tetapi )(zf analitik untuk setiap z di dalam
annulus 102 RzzR , maka )(zf dapat diekspansi dalam deret Laurent.
Deret Laurent Jika )(zf analitik di dalam annulus 201 RzzR , dan C
sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus
201 RzzR yang mengelilingi 0z , maka untuk setiap z
di dalam 201 RzzR , )(zf dapat dinyatakan sebagai
1 00
0
)(
)()(
n
n
n
n
n
n
zz
b
zzazf (1.3)
dengan
,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
0
ndz
zz
zf
i
a
C nn
,3,2,1,
)(
)(
2
1
1
0
ndz
zz
zf
i
b
C nn
Persamaan (5.2) sering ditulis dengan
n
n
n zzczf )()( 0 (1.4)
dengan ,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
0
ndz
zz
zf
i
c
C nn

13. Ruas kanan persamaan (1.3) dan (1.4) disebut deret Laurent
)(zf dalam annulus 201 RzzR .
Apabila )(zf analitik untuk 20 Rzz , maka
!
)(
)(
)(
2
1 0
1
0 n
zf
dz
zz
zf
i
a
n
C nn
dan 0
)(
)(
2
1
1
0
C nn dz
zz
zf
i
b , sehingga persamaan (5.2) menjadi deret Taylor
n
n
n
zz
n
zf
zf )(
!
)(
)( 0
0
0
. Jadi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deret
Laurent.
Contoh 4 Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari
)2()1(
1
)(
zz
zf
Penyelesaian :
)2(
1
)1(
1
)2()1(
1
)(
zzzz
zf
Titik singular )(zf yaitu 1z dan 2z .
Dibuat annulus 21 z , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurin
untuk 1z dan deret Laurent untuk 21 z dan 2z .
a. Deret MacLaurin untuk 1z .
)(zf analitik untuk 1z , sehingga
1,
2
2
1
1
2
1
1
1
)2(
1
)1(
1
)(
0
1
0
z
z
z
zzzz
zf
n
n
n
n
n
b. Deret Laurent untuk 21 z .
)(zf analitik untuk 21 z .

14. )2(
1
)1(
1
)(
zz
zf .
z
z
zzz
z
zz
n
n
n
n
1,
1
1
1
,
11
11
11
1
1
0
1
0
0
1
0
2,
2
1
2
,
22
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
z
z
zz
zz
Jadi,
.21,
2
1
)2(
1
)1(
1
)2()1(
1
)(
0 0
11
z
z
z
zzzz
zf
n n
n
n
n
c. Deret Laurent untuk 2z .
)(zf analitik untuk 2z .
)2(
1
)1(
1
)(
zz
zf .
1,
1
1
1
,
11
11
11
1
1
0
1
0
z
z
zzz
z
zz
n
n
n
n
0
1
0
2,
2
1
2
,
21
21
11
2
1
n
n
n
n
n
z
z
zzz
z
zz
Jadi,

15. .2,
21
)2(
1
)1(
1
)2()1(
1
)(
0 0
11
z
zz
zzzz
zf
n n
n
n
n
2.2 Lingkaran kekonvergenan
Untuk membahas deret pangkat dengan bentuk maka akan lebih
mudah jika ditinjau dari deret pangkat dengan bentuk .
Adapun teorema yang berlaku adalah :
Jika deret pangkat konvergen, terdapat sedemikian sehingga
untuk semua untuk sembarang titik dengan , dimana
karena deret deret geometri dengan suku positif yang konvergen, maka
dengan menggunakan uji banding pada deret suku real nonnegatif terbukti bahwa deret
juga konvergen. Karena deret yang konvergen mutlak adalah konvergen,
maka deret konvergen untuk semua , dan terbuktilah teorema di
atas.
Berdasarkan pada pembuktian dan teorema diatas maka himpunan semua titik didalam
suatu lingkaran yang berpusat di 0 merupakan suatu daerah kekonvergenan deret
. Lingkaran terbesar sekeliling 0 sedemikian sehingga deret ini konvergen di
setiap titik lingkaran, dinamakan lingkaran kekonvergenan deret . menurut
teorema diatas, deret tidak mungkin konvergen di suatu titik diluar lingkaran itu, sebab
jika demikian deret akan konvergen di titik yang manapun didalam lingkaran yang
berpusat di 0 dan yang memulai hal ini bertentangan dengan lingkaran yang pertama
tadi yang mana berpusat di 0 yang terbesar sehingga deret konvergen di setiap titik di
dalam lingkaran itu.
Jika diganti dengan , mudah dimengerti bahwa lingkaran kekonvergenan deret
pangkat , adalah suatu lingkaran yang berpusat di titik .atau
dengan kata lain dapat dijelaskan bahwa setiap deret pangkat dengan bentuk
Terdapat bilangan tunggal yang dinamakan jari-jari konvergensi deret,
yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
1. Jika maka deret pangkat konvergen hanya pada titik ,yaitu
pusatnya, dan divergen untuk semua yang lain.
2. Jika maka deret pangkat konvergen mutlak, jadi konvergen, untuk
semua dengan dan divergen untuk semua dengan
3. Jika maka deret konvergen mutlak, jadi konvergen untuk setiap
sedemikian sehingga yaitu untuk semua berhingga.

16. Lingkaran dinamakan lingkaran konvergensi untuk deret pangkat
tersebut.
Divergen
Untuk ke-tiga alasan yang dikemukakan di atas maka ada deret yang konvergen
pada setiap titik di lingkaran konvergensinya ,ada deret yang tidak konvergen pada
setiap titik tersebut, dan ada pula yang konvergen pada beberapa tetapi tidak semua
titik di lingkaran konvergensinya.
Maka dari kenyataan ini kita harus menggunakan teorema untuk menentukan
dimana deret pangkat yang di berikan konvergen dan divergen.
Teorema
Andaikan bahwa , untuk deret
ada dan sama dengan dimana
Maka adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.
Teorema
Andaikan bahwa , untuk deret
ada dan sama dengan dimana
Maka adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.
Demikian juga mudah dipahami, bahwa jika deret pangkat negatif n
n
n zzb )( 0
0
konvergen di titik z1, maka deret ini konvergen mutlak untuk semua titik z dengan
│z-z0│>│z1-z0│, yakni untuk semua titik z di luar lingkaran │z-z0│=│z1-z0│. Jadi
daerah kekonvergenan deret semacam ini adalah daerah eksterior suatu lingkaran
yang berpusat di z0. Untuk membuktikan hal ini dapat digunakan teorema di atas
pada deret n
n
nb
0
dengan
0
1
zz
.
Contoh soal :
Diketahui deret pangkat .
Dengan rumus pada teorema diatas kita mendapatkan bahwa
konvergen
0

17. Karena pusat deret terletak pada , deret konvergen pada dan
divergen pada .mengenai titik-titik pada lingkaran konvergensi, ,
kita mencatat bahwa untuk sembarang titik yang demikian
tapi ini merupakan deret-p dengan p > 1; jadi ia konvergen.
Digabungkan dengan hasil diatas, kita melihat bahwa deret pangkat konvergen
untuk dan divergen untuk .
2.3 KONVERGENSI DERET FUNGSI
Deret fungsi adalah suatu deret yang suku-sukunya merupakan fungsi yang
didefinisikan pada domain yang sama. Jadi deret fungsi adalah:
Deret fungsi (1) dikatakan konvergen pada domain D, jika deret konvergen di setiap
titik . Karena itu deret yang konvergen pada D ini juga disebut konvergen titik
demi titik pada D.
Selanjutnya akan dibahas kekonvergenan seragam.
DEFINISI
Deret pangkat dinamakan konvergensi seragam pada suatu himpunan jika
dan hanya jika untuk sembarang terdapat bilangan bulat sedemikian
hingga:
Pada (2) ketaksamaan pokoknya juga dapat ditulis sebagai:
TEOREMA-TEOREMA
Teorema 6.9
Andaikan bahwa deret pangkat mempunyai jari-jari konvergensi
maka deret konvergen seragam pada dan di dalam sembarang lingkaran
.
Bukti
Menurut definisi konfergensi seragam, teorema itu akan terbukti jika untuk
sembarang kita dapat menentukan bilangan bulat sedemikian hingga

18. untuk semua dan semua sedemikian sehingga
Misalkan C adalah suatu lingkaran seperti yang disebutkan oleh teorema itudan
lukislah suatu lingkaran K yang konsentris dengan C dan berjari-jari R sedemikian
hingga (perhatikan gambar a). misalkan dan perhatikan
bahwa .
Sekarang menurut hipotesis deret itu konvergen untuk semua z sedemikian hingga
. Maka, menurut teorema yang menyatakan “andaikan untuk deret ,
yang diberikanuntuk . Maka deret itu divergen”, suku-sukunya
menjadi sembarang kecil dalam nilai mutlak. Khususnya, untuk n yang cukup besar
dan untuk sembarang z pada K.
(1)
Di pihak lain karena , kita dapat menemukan n cukup besar sedemikian
hingga untuk sembarang yang diberikan
(2)
Ambilah M cukup besar sedemikian sehingga (1) dan (2) akan dipenuhi bersama-
sama untuk semua , kita mempunyai:
Akhirnya dengan mengambil pada bentuk pertama dan terakhir di atas kita
mencatat bahwa jadi
Teorema 6.10

19. Andaikan bahwa deret mempunyai lingkaran konvergensi dengan jari-
jari maka deret konvergen ke suatu fungsi yang kontinu pada setiap z
dalam D1(C )
Bukti
Menurut teorema 6.9., deret yang diberikan konvergen mutlak pada setiap titik z
dalam jadi kita dapat mendefinisikan fungsi itu sebagai
Bahwa fungsi ini sungguh-sungguh suatu fungsi bernilai tunggal, dapat diketahui
dari kenyataan bahwa bila diberikan sembarang titik z, demikian deret itu dan
dengan demikian , menghasilkan suatu bilangan yang berhingga dan tunggal,
oleh karena konvergen. Jadi sekarang harus ditunjukan bahwa kontinu pada
Sekarang misalkan ζ adalah sembarang titik di D1(C ). Maka (lihat gambar b). kita
dapat menemukan suatu lingkaran K, konsentris dengan C dan berjari-jari r
sedemikian hingga . Sekarang, misalkan dipilih secara
sembarang. Maka, karena deret konvergen seragam pada dan di dalam K, suatu
bilangan bulat M ada sedemikian hingga
Khususnya karena adalah salah satu dari z
Untuk semua z yang cukup dekat ke

20. Jadi definisi kontinuitas pada terpenuhi dan dipilih sembarang dari D1(C )
Teorema 6.11
Andaikan bahwa deret mempunyai lingkaran konvergensi dengan jari-
jari maka deret itu dapat diintegralkan suku demi suku sepanjang sembarang
lintasan K, yang terletak di D1(C ), ialah:
Bukti
Pertama, kita mencatat bahwa setiap integral pada ruas kanan kesimpulan teorema
itu ada, karena integral kontinu dimana-mana dan K merupakan lintasan.
Kedua, menurut teorema 6.9. deret yang diberikan menyatakan fungsi yang
kontinu di D1(C ) dan oleh karena itu integral di ruas kiri pada kesimpulan teorema
itu ada.
Ketiga, menurut teorema 6.9 , deret konvergen seragam ke . Jadi bila diberikan
terdapat bilangan bulat M sedemikian hingga untuk semua
Sekarang untuk setiap z di D1(C ), setiap dan sembarang lintasan K di D1(C
)
Sehubungan dengan kedua integral terakir diatas kita mempunyai
Dan menurut teorema 4.5(5)

21. Jelaslah bila integral di (3) menuju ke nol. Pada saat yang sama bila
dan juga n menuju ke dan oleh karena itu jumlah integral dal (2) menjadi
Dengan mensubtitusikan ke (1) kita mempunyai
Teorema 6.12
Andaikan bahwa deret pangkat mempunyai lingkaran konvergensi C
dengan jari-jari , maka:
1. Deret konvergen ke suatu fungsi yang analitik diseluruh
2. Turunan diberikan oleh ; jadi deret dapat
didiferensialkan suku demi suku di dalam lingkaran konvergensinya .
3. Turunan deret di bagian 2 konvergen seragam ke di setiap titik pada dan
di dalam sembarang lingkaran T yang konsentris dengan C dan jari-jarinya
Bukti
1. Menurut teorema 6.9 deret tersebut kontinu seragam ke suatu fungsi kontinu
. Kita buktikan bahwa analitik pada setiap z di D1(C )
Menurut teorema 6.11
Untuk sembarang lintasan K di D1(C ) dan khususnya untuk sembarang K yang
sederhana dan tertutup. Tetapi jika K sederhana dan tertutup. Tetapi jika K
sederhana dan tertutup, maka setiap integral pada penjumlahan diatas sama

22. dengan nol, karena integran dalam setiap kejadian dimana-mana. Oleh karena
itu:
Dan benar untuk setiap lintasan K yang sederhana dan tertutup di D1(C ), jadi
menurut teorema morera analitik pada setiap z di D1(C )
2. Sekarang kita akan membuktikan bahwa, untuk sembarang z di D1(C )
Misalkan ζ adalah sembarang titik di D1(C ). Maka karena ζ merupakan suatu
titik dalam, suatu lintasan tertutup sederhana K dapat ditemukan yang terletak
seluruhnya di D1(C ) dan sedemikian hingga ζ berada di D1(K). maka, dengan
menggunakan teorema 5.8., kita mempunyai
Karena sembarang di D1(C ) terbuktilah pernyataan (2)
3. Kita akan menunjukan bahwa turunan deret yang baru saja diperoleh itu
konvergen seragam ke di D1(C ). Untuk tujuan ini bila diberikan
kita harus menemukan suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untuk
semua dan untuk sembarang ξ pada atau di dalam suatu lingkaran

23. Maka misalkan K adalah lingkaran dengan menurut
teorema 6.9 terdapat suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untuk
dan untuk suatu z pada atau di dalam K
Atau sama dengan
Maka
Dimana dalam memperoleh ketaksamaan terakhir ini, kita menggunakan kenyataan
bahwa untuk z pada K
karena sembarang, konvergensi seragamnya turunan deret telah dikukuhkan.
Teorema
Perhatikan suatu deret tak berhingga yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu
Dan andaikan bahwa deret tersebut konvergen mutlak sepanjang suatu lintasan K.
maka

25. BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Barisan bilangan kompleks :
merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n
dengan suatu bilangan kompleks.
Notasi barisan bilangan kompleks :
nz atau nn zzzzz ,,,, 321  , 1n .
Deret pangkat dalam 0zz berbentuk :
2
020100
0
)()()( zzazzaazza n
n
n
dengan z bilangan kompleks, 0z bilangan kompleks sebarang yang disebut
pusat deret, ,,, 210 aaa konstanta kompleks yang disebut koefisien
deret.
Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret
MacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.
Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku
beberapa teorema berikut.
Teorema 1 Jika nnn yixz dengan nx dan ny , maka nz
konvergen ke biaz jika dan hanya jika nx konvergen ke a
dan ny konvergen ke b .
Teorema 2 Jika nz dan nw berturut-turut konvergen ke z dan w , dan c
konstanta kompleks, maka
5. nn wz konvergen ke wz .

26. 6. nzc konvergen ke zc .
7. nn wz konvergen ke wz .
8.
nz
1
konvergen ke
z
1
asalkan 0nz dan 0z untuk
setiap n . □

27. DAFTAR PUSTAKA
Ekowati, C.K. 2010. Bahan Ajar Mandiri Analisis Kompleks. Kupang: Universitas
Nusa Cendana
http//: diktat-ankom.pdf
Gunawan wibisono, dan John D.Paliouras. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan
dan Insinyur. Penerbit : Erlangga