Dokumen tersebut membahas metode Gauss-Jordan dan Gauss Seidel untuk memecahkan persamaan linear. Metode Gauss-Jordan mengubah matriks awal menjadi matriks identitas dengan operasi baris, sedangkan metode Gauss Seidel menghitung nilai variabel secara iteratif dengan menggunakan nilai terakhir variabel lainnya.

1. 5. 4 Pembalikan Matriks dan Gauss Seidel
Pada bagian ini akan dibahas metode Gauss–Jordan dan Gauss Seidel, dimana
untuk kasus Gauss – Jordan sudah cukup dikenal, sedangkan Gauss Seidel merupkan cara
yang cukup baru.
5. 4. 1 Metode Gauss – Jordan
Dapat diilustrasikan metode ini secara sederhana untuk kasus matriks 3 x 3 sebagai :
a 11 a 12 a 13 c 1 
 
a 21 a 22 a 23 c 2 
a 31 a 32 a 33 c 3 
 

1 0 0 c* 1 
 * 
0 1 0 c 2 
0 0 1 c * 3 
 

x1  c* 1
x2  c* 2
x 3  c* 3
Contoh 5. 4.1
Gunakan teknik Gauss – Jordan untuk menyelesaikan persamaan
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
Penyelesaian
Dengan menyatakan dalam bentuk matriks perluasan,
 3  0.1  0.2 7.85 
 
 0 .1 7  0.3  19.3 
0.3  0.2 10
 71.4 
selanjutnya dengan menormalkannya maka,
 1  0.0333333  0.0666667 2.61667
 
0.1 7  0.3  19.3 
0.3
  0.2 10 71.4 
51

2. suku x1 dapat dihilangkan dari baris kedua dengan mengurangkan 0. 1 kali baris pertama
dan baris kedua, demikian juga, pengurangan 0.3 kali baris pertama dari baris ketiga akan
menghilangan suku x1 dari baris ketiga,
 1  0.0333333  0.0666667 2.61667 
 
0 7.00333  0.293333  19.5617 
0  0.190000
 10.0200 70.6150 
dengan menormalkan baris kedua dengan membagi 7. 00333,
 1  0.0333333  0.0666667 2.61667 
 
0 1  0.0418848  2.79320
0  0.190000
 10.0200 70.6150 

untuk mereduksi suku – suku x2 dari persamaan pertama dan ketiga menghasilkan,
 1 0  0.0666667 2.52356 
 
0 1  0.0418848  2.79320
0 0
 10.1200 70.0843 

selanjutnya dengan menormalkan baris ketiga dengan cara membaginya dengan 10.0120
 1 0  0.0666667 2.52356 
 
0 1  0.0418848  2.79320
0 0
 1 7.00003 

dan akhirnya suku x3 dapat direduksi dari persamaan pertama dan kedua,
 1 0 0 3.00000 
 
0 1 0  2.50001
0 0 1 7.00003 
 
5. 4. 2 Metode Invers Matriks (Balikan Matriks)
Jika matriks  A adalah matriks bujur sangkar, maka terdapat matriks  A -1 yang
disebut dengan invers  A , sehingga
 A .  A -1=  A -1  A = I ,
sehingga untuk menyelesaikan suatu SPL, maka
{X} =  A -1{C}
dapat diilustrasikan sebagai berikut :
52

3.  A I 
 a 11 a 13 1 0 0 
a 12
 
a 21 a 22 a 23 0 1 0 
a 31
 a 32 a 33 0 0 1 

 1 0 0 a 11 a 121 a 131 
1  
 1 1 1 
0 1 0 a 21 a 22 a 23 
0 0 1 a  1 a  1 a  1 
 31 32 33 
I  A1
Contoh 5. 4.2
Gunakan teknik Invers matriks untuk menyelesaikan persamaan
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
Penyelesaian
 3  0 . 1  0 .2 1 0 0 
 
[A] = 0.1 7  0 .3 0 1 0 
0.3  0.2 10 0 0 1
 
dengan menggunakan a11 sebagai elemen pivot, maka baris 1 dapat dinormalkan, untuk
menghilangan x1,
 1  0.0333333  0.0666667 0.333333 0 0 
 
0 7.00333  0.293333  0.033333 1 0 
0  0.190000
 10.0200  0.09999 0 1 
berikutnya, a22 dipakai untuk elemen pivot dan x2 dapat dihilangkan dari baris – barisnya
 1 0  0.0666667 0.3331750 0.004739329 0 
 
0 1  0.0418848  0.00473933 0.142180 0
0 0
 1  0.10090000 0.0270142 1

pada akhirnya a33 dapat dipakai sebagai elemen pivot, dan x3 dapat dihilangkan dari baris-
barisnya,
 1 0 0 0.332489 0.00492297 0.00679813
 
0 1 0  0.0051644 0.142293 0.00418346
0 0 1  0.0100779 0.00269816 0.0998801 
 
sehingga invernya adalah
53

4.  0.332489 0.00492297 0.00679813
A =   0.0051644 0.142293 0.00418346
1
 
  0.0100779 0.00269816 0.0998801 
 
Jadi penyelesaiannya,
X = A
1
C atau
 0.332489 0.00492297 0.00679813  7.85 
X =   0.0051644 0.142293 0.00418346  19.3
  
  0.0100779 0.00269816 0.0998801   71.4 
  
X = [x1, x2, x3] = [3.0000; –2.50001; 7.00003]
5. 4. 3 Metode Gauss Seidel
Metode ini paling sering dipakai sebagai iterasi , jika elemen – elemen diagonalnya
tidak nol, persamaan pertama dapat diselesaikan untuk x1, yang kedua untuk x2 dan
seterusnya, sehingga menghasilkan
c 1  a 12 x 2  a 13 x 3  ...  a 1 n x n
x1 = (5. 4. 4)
a 11
c 2  a 21 x 1  a 23 x 3  ...  a 2 n x n
x2 = (5. 4. 5)
a 22
c 3  a 31 x 1  a 32 x 2  ...  a 3 n x n
x3 = (5. 4. 6)
a 33
…………..…………………………. (5. 4. 7)
c n  a n 1 x 1  a n 2 x 2  ...  a nn 1 x n  1
xn = (5. 4. 6)
a nn
Kekonvergenan dari perhitungan dapat diperiksa dengan :
x ij  x ij  1
 a ,i = 100%   s , dimana a = galat absolut, s = galat signifikansi (
x ij
sering ditetapkan, misal 5%).
Contoh 5. 4. 7
Gunakan metode Gauss Seidel untuk menyelesaikan SPL berikut,
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
54

5. Penyelesaian :
Diketahui,
7.85  0.1 x 2  0.2 x 3
x1 = (5. 4. 8)
3
 19.3  0.1 x 1  0.3 x 3
x2 = (5. 4. 9)
7
71.4  0.3 x 1  0.2 x 2
x3 = (5. 4. 10)
10
dengan memisalkan x2 dan x3 adalah nol, maka dapat dihitung,
7.85
x1 = = 2. 616666667
3
Nilai x1 = 2. 616666667 dan x3 = 0, disubtitusi ke persamaan (5. 4. 9) sehingga,
 19.3  0.1( 2.61666667 )  0.3( 0 )
x2 = = –2. 794523810
7
Iterasi pertama untuk nilai – nilai persamaan menghasilkan x3 :
71.4  0.3( 2.616666667 )  0.2( 7.005609524)
x3 = = 7. 005609524
10
Untuk Iterasi kedua, proses yang sama diulangi sehingga,
7.85  0.1( 2.794523810)  0.2( 7.005609524)
x1 = = 2.990556508
3
 19.3  0.1( 2.990556508)  0.3( 7.005609524)
x2 = = –2. 499624684
7
71.4  0.3( 2.99056508)  0.2( 2.49962684)
x3 = = 7. 000290811
10
Dengan galat,
2.990556508 2.616666667
 a1 = 100% = 12. 5%
2.990556508
 2.499624684 ( 2.794523810)
 a2 = 100% = 11. 5%
2.499624684
7.000290811 7.005609524
 a3 = 100% = 0.076%
7.00029081
Jadi kesimpulan yang data ditarik, iterasi dapat dihentikan jika paling sedikit sampai
toleransi yang telah ditentukan atau lebih kecil dari 5%.
55