Metode Newton-Raphson untuk dua variabel memperluas metode ini untuk mencari akar persamaan non-linear dua variabel dengan menggunakan deret Taylor dan membentuk sistem persamaan untuk memperbarui nilai tebakan berikutnya. Contoh menunjukkan cara menerapkannya untuk menemukan akar dari dua persamaan non-linear dengan awal tebakan yang diberikan.

1. 3. 4. Metode Newton-Raphson Untuk Dua Peubah
Diketahui formula metode Newton Raphson, sebagai berikut :
f(xi )
xi1 = x i - , f(x) ≠ 0 (1)
f'(xi )
Yang diturunkan dari deret Taylor berikut ini :
(x  x 0 )
f(x) = f(x0) + f 0 )
(x
1!
(x  x 0 )
0 = f(x0) + 
f (x0 ) (2)
1!
Menjadi,
f(xi )
xi1 = x i - , f(x) ≠ 0
f'(xi )
Jika fungsi berupa dua peubah maka persamaan Deret Taylor dapat ditulis kembali sebagai :
(x r  1  x r ) ur (yr 1  y r ) ur
ur+1 = ur + +
1! x 1! y
dan
(xr 1  x r ) v r (yr 1  y r ) v r
vr+1 = vr + +
1! x 1! y
Karena masalah mencari akar akar maka ur+1 = 0 dan vr+1 = 0 sehingga
ur u u u
x r  1 + r y r  1 = - ur + x r r + y r r
x y x y
v r v v v
x r  1 + r y r  1 = - vr + x r r + y r r
x y x y
Maka
v r u
ur  vr r
y y
xr+1 = xr -
ur v r ur v r

x y y x
dan
v r u
ur  vr r
yr+1 = yr + x x
ur v r ur v r

x y y x
supplemen

2. Contoh 1 :
Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari akar dari
f(x,y) = u = x2 + xy – 10 = 0
f(x,y) = v = y + 3xy2 – 57 = 0
dengan nilai awal x0 = 1.5 dan y0 = 3.5
Jawab
x0 = 1.5 dan y0 = 3.5
u = (1.5)2 + (1.5)(3.5) – 10 = - 2.5
v = 3.5 + 3.(1.5)(3.5)2 – 57 = 1.625
u v
x  3y 2
y x
= 1.5 = 3(3.5)2 = 36.75
u v
 2x  y  1 6 xy
x y
= 2.(1.5) + 3 .5 = 6.5 = 1 + 6 (1.5)(3.5) = 32.5
v r u
 vr r
 2.5 32.5   (1.625)(1.5) = 2. 0048
ur
y y
xr+1 = xr - = 1.5 –
ur v r ur v r (6.5)(32.5)  (1.5)(36.75)

x y y x
v r u
 vr r
x = 3.5 +  2.5 36.75   (1.625)(6.5) = 2. 8438
ur
yr+1 = yr + x
ur v r ur v r (6.5)(32.5)  (1.5)(36.75)

x y y x
Jadi x1 = 2. 0048 dan y1 = 2. 8438
Contoh 2 :
Carilah akar-akar persamaan non linier dua peubah berikut ini, dengan
aproksimasi awal x0 = 1 dan y0 = 1,
g1(x, y) = x2 + y2 – 4 = 0
g2(x, y) = x2 - y2 – 1 = 0
Jawab:
supplemen