1. 5. 6 Interpolasi Polinom Lagrange
Seperti diketahui dari rumusan polinom linier :
 y1  y0  
p1(x) = y0 + x  x0  (5. 2. 3)
 x1  x0 
Persamaan ini dapat ditulis kembali sebagai,
x  x1   x  x0 
p1(x) = y0 + y1 (5. 6. 1)
 x0  x1   x1  x0 
yang dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
p1(x) = a0 L0(x) + a1 L1(x) (5. 6. 2)
x  x1 
dengan, a0 = y0,  L0(x) =
 x0  x1 
 x  x0 
dan, a1 = y1,  L0(x) =
 x1  x0 
Bentuk persamaan (5. 6. 2) disebut dengan polinom Lagrange derajat 1.
Secara umum persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut :
n
pn ( x )   Li ( x ) f ( x i ) (5. 6. 3)
i 0
dengan ‘ n ’ pada f n ( x ) berarti pendekatan polinomial ke n dengan fungsi y  f ( x )
diberikan ( n  1 ) titik data  x 0 , y 0 ,  x 1 , y 1 ,......,  x n 1 , y n 1 ,  x n , y n  , ini dapat
dibuktikan bahwa, data ini melalui setiap titik data tersebut dan
n x  xj
Li ( x )   (5. 6. 4)
j 0 xi  x j
ji
Li ( x ) adalah fungsi pemberat (weighting) yang merupakan perkalian dari bentuk ( n  1 )
di mana tidak terjadi jika j  i . Ini dapat dibuktikan bahwa jika kasus j  i maka
penyelesaiannya tidak unik. Polinom Lagrange tidak hanya berlaku untuk titik – titik yang
berjarak sama, tetapi dapat juga digunakan untuk titik data yang berbeda.
Interpolasi Linier Lagrange
Berikut contoh penerapan dari polinom derajat satu dari interpolasi linier Lagrange:
Contoh 5. 6. 5
Seperti pada kasus sebelumnya kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai
fungsi waktu pada tabel 1, berikut :
72

2. Tabel 1. Kecepatan sebagai fungsi waktu
Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30
v(t) [m/detik] 0 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67
1000
750
v (t) [s] 500
250
0
0 10 20 30 40
t [s]
Gambar 5. 6a. Kecepatan terhadap waktu sebuah roket
Tentukan nilai kecepatan pada t = 16 detik, dengan menggunakan polinomial derajat
pertama dari Lagrange.
Penyelesaian
Untuk polinomial derajat pertama (disebut dengan interpolasi linier), ditunjukkan
sebagai,
1
v ( t )   Li ( t )v ( t i )
i 0
 L0 ( t )v ( t 0 )  L1 ( t )v ( t 1 )
kemudian kecepatan pada waktu t = 16, dipilih titik yang mengurung data t = 16.
selanjutnya dua titik itu adalah to = 15 dan t1 = 20.
t 0  15 , t 0   362.78
t 1  20 , t 1   517.35
1 t tj
L0 ( t )  
j 0 t0  t j
j 0
t  t1

t0  t1
73

3. 1 t  tj
L1 ( t )  
j 0 t1  t j
j 1
t  t0

t1  t0
t  t1 t  t0
v( t )  v( t 0 )  v( t 1 )
t0  t1 t1  t0
t  20 t  15
 ( 362.78 )  ( 517.35 )
15  20 20  15
16  20 16  15
v ( 16 )  ( 362.78 )  ( 517.35 )
15  20 20  15
 0.8( 362.78 )  0.2( 517.35 )
 393.7 m/detik.
dapat ditunjukkan bahwa L0 ( t )  0.8 dan L1 ( t )  0.2 merupakan pemberat pada
kecepatan t = 15 dan t = 20 untuk menghitung pada saat kecepatan t = 16.
Interpolasi Kuadrat Lagrange
Untuk polinom interpolasi derajat dua (disebut juga sebagai interpolasi kuadrat)
kecepatan diberikan sebagai,
2
v ( t )   Li ( t )v ( t i )
i 0
 L0 ( t )v ( t 0 )  L1 ( t )v ( t 1 )  L2 ( t )v ( t 2 )
Contoh 5. 6. 6
Kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai fungsi waktu pada tabel 2 berikut
Tabel 2. Kecepatan sebagai fungsi waktu
Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30
v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67
Tentukan nilai kecepatan pada saat t = 16 detik, dengan menggunakan polinomial
derajat dua dari Lagrange. Carilah galat mutlak dari persamaan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui kecepatan pada saat t = 16 detik, dibutuhkan data yang mengurung data
ini, sehingga dipilih tiga titik, t0 = 10, t1 = 15, t2 = 20.
t o  10 , v t o   227.04
74

4. t 1  15 , v t 1   362.78
t 2  20 , v t 2   517.35
diketahui,
2 t tj  t  t 1  t  t 2 
L0 ( t )   
 t  t  t  t
 

j 0 t0  t j  0 1  0 2 
j 0
2 t  tj  t  t0  t  t 2 
L1 ( t )   
t t 
 t  t 

j 0 t1  t j  1 0  1 2 
j 1
2 t tj  t  t0  t  t 1 
L2 ( t )   
t t 
 t  t  
j 0 t2  t j  2 0  2 1 
j2
 t  t 1  t  t 2   t  t0  t  t 2   t  t0  t  t 1 
v( t )  
 t  t  t  t
 v ( t 0 )  
 t t 
 t  t v ( t 1 )  
 t t 
 t  t v( t 2 )

 0 1  0 2   1 0  1 2   2 0  2 1 
( 16  15 )( 16  20 ) ( 16  10 )( 16  20 )
v ( 16 )  ( 227.04 )  ( 362.78 )
( 10  15 )( 10  20 ) ( 15  10 )( 15  20 )
( 16  10 )( 16  15 )
 ( 517.35 )
( 20  10 )( 20  15 )
 ( 0.08 )( 227.04 )  ( 0.96 )( 362.78 )  ( 0.12 )( 517.35 )
 392.19 m/detik.
Galat pendekatan absolutnya a , yang diperbandingkan dengan hasil antara polinomial
derajat satu dan dua adalah :
392.19  393.70
a   100
392.19
 0.38502%
Contoh 5. 6. 7
Kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai fungsi waktu pada tabel 3 berikut :
Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu
Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30
v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67
a) Tentukan nilai kecepatan pada saat t = 16 detik, gunakan interpolasi polinomial
Lagrangian derajat 3. Carilah nilai pendekatan galat absolut dari persamaan ini.
75

5. b) Dengan menggunakan interpolasi polinomial derajat 3 untuk kecepatan, carilah
jarak yang dicapai roket pada saat t = 11 sampai dengan t = 16 detik.
c) Carilah percepatan dari roket pada saat t = 16 detik.
Penyelesaian :
a) Untuk polinomial derajat 3 (disebut juga dengan intepolasi kubik), dipilih
kecepatan sebagai,
3
v ( t )   Li ( t )v ( t i )
i 0
 L0 ( t )v ( t 0 )  L1 ( t )v ( t 1 )  L2 ( t )v ( t 2 )  L3 ( t )v ( t 3 )
kemudian pada saat kecepatan t = 16 detik, dipilih empat data yang mengurung data ini
adalah, t0 = 10, t1=15, t2 = 20 dan t3 = 22.5.
t o  10 , v t o   227.04
t 1  15 , v t 1   362.78
t 2  20 , v t 2   517.35
t 3  22.5 , v t 3   602.97
sehingga,
3 t tj  t  t 1  t  t 2  t  t 3 
L0 ( t )   
 t  t  t  t
 
 t  t 

j 0 t0  t j  0 1  0 2  0 3 
j 0
3 t  tj  t  t0  t  t 2  t  t 3 
L1 ( t )   
t t 
 t  t 
 t  t 

j 0 t1  t j  1 0  1 2  1 3 
j 1
3 t tj  t  t0  t  t 1  t  t 3 
L2 ( t )   
t t 
 t  t  t  t
 

j 0 t2  t j  2 0  2 1  2 3 
j2
3 t  tj  t  t0  t  t 1  t  t 2 
L3 ( t )   
t t 
 t  t  t  t
 

j 0 t3  t j  3 0  3 1  3 2 
j3
 t  t 1  t  t 2  t  t 3   t  t 0  t  t 2   t  t 3 
v( t )  
 t  t  t  t  t  t  v ( t 0 )   t  t  t  t   t  t  v ( t 1 )
      
 0 1  0 2  0 3   1 0  1 2  1 3 
 t  t 0  t  t 1  t  t 3   t  t 0  t  t 1  t  t 2 
  
 t  t  t  t  t  t  v ( t 2 )  
 t  t  t  t  t  t  v ( t 3 )
  
 2 0  2 1  2 3   3 0  3 1  3 2 
76

6. ( 16  15 )( 16  20 )( 16  22.5 ) ( 16  10 )( 16  20 )( 16  22.5 )
v ( 16 )  ( 227.04 )  ( 362.78 )
( 10  15 )( 10  20 )( 10  22.5 ) ( 15  10 )( 15  20 )( 15  22.5 )
( 16  10 )( 16  15 )( 16  22.5 ) ( 16  10 )( 16  15 )( 16  20 )
 ( 517.35 )  ( 602.97 )
( 20  10 )( 20  15 )( 20  22.5 ) ( 22.5  10 )( 22.5  15 )( 22.5  20 )
 ( 0.0416 )( 227.04 )  ( 0.832 )( 362.78 )  ( 0.312 )( 517.35 )  ( 0.1024 )( 602.97 )
 392.06 m/detik
Pendekatan Nilai persentase galat mutlak, a untuk kecepatan v(16) diantara polinomial
ketiga dan kedua adalah,
392.06  392.19
a   100
392.06
 0.033427%
b) Jarak yang ditempuh roket antara waktu t = 11 dan t = 16 detik dapat dihitung dengan
interpolasi polinomial :
( t  15 )( t  20 )( t  22.5 ) ( t  10 )( t  20 )( t  22.5 )
v( t )  ( 227.04 )  ( 362.78 )
( 10  15 )( 10  20 )( 10  22.5 ) ( 15  10 )( 15  20 )( 15  22.5 )
( t  10 )( t  15 )( t  22.5 ) ( t  10 )( t  15 )( t  20 )
 ( 517.35 )  ( 602.97 ),
( 20  10 )( 20  15 )( 20  22.5 ) ( 22.5  10 )( 22.5  15 )( 22.5  20 )
untuk 10  t  22.5
( t 2  35t  300 )( t  22.5 ) ( t 2  30t  200 )( t  22.5 )
v( t )  ( 227.04 )  ( 362.78 )
( 5 )( 10 )( 12.5 ) ( 5 )( 5 )( 7.5 )
( t 2  25t  150 )( t  22.5 ) ( t 2  25t  150 )( t  20 )
 ( 517.35 )  ( 602.97 )
( 10 )( 5 )( 2.5 ) ( 12.5 )( 7.5 )( 2.5 )
3 2 3 2
v( t )  ( t  57.5 t  1087.5 t  6750 )( 0.36326 )  ( t  52.5 t  875 t  4500 )( 1.9348 )
3 2 3 2
 (t  47.5 t  712.5 t  3375 )( 4.1388 )  ( t  45 t  650 t  3000 )( 2.5727 )
v ( t )  4.245  21.265t  0.13195t 2  0.00544t 3 , 10  t  22.5
Diketahui bahwa polinomial antara t = 10 dan t = 22.5, ditunjukkan sebagai pendekatan
dari limit t = 11 dan t = 16.
Jadi,
16
s( 16 )  s( 11 )   v ( t )dt
11
16
  ( 4.245  21.265t  0.13195t 2  0.00544t 3 )dt
11
77

7. t2 t3 t 4 16
 [ 4.245t  21.265  0.13195  0.00544 ] 11
2 3 4
 1605 m
c) Percepatan pada saat t = 16 diberikan,
a 16   v t  t  16
d
dt
Diketahui,
v ( t )  4.245  21.265t  0.13195t 2  0.00544t 3 10  t  22.5
a t  
d
dt
v t  
d
dt

 4.245  21.265t  0.13195t 2  0.00544t 3 
 21.265  0.26390t  0.01632t 2
a( 16 )  21.265  0.26390( 16 )  0.01632( 16 ) 2
5. 7 Interpolasi Polinom Newton Terbagi
Untuk mengillustrasikan metode ini, ditunjukkan pada interpolasi derajat satu dan
dua.
5. 7. 1 Interpolasi Linier :
Diberikan titik ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), dengan menginterpolasi kedua titik data
tersebut. Dengan y 0  f ( x 0 ) dan y 1  f ( x 1 ) , diasumsikan linier, sehingga interpolasi
f 1 ( x ) diberikan sebagai,
f 1 ( x )  b0  b 1 ( x  x 0 )
y
(x1, y1)
f1 (x)
(x0, y0)
x
sehingga pada titik x  x 0 ,
f 1 ( x 0 )  f ( x 0 )  b0  b1 ( x 0  x 0 )  b0 ,
dan pada x  x 1 ,
78

8. f 1 ( x 1 )  f ( x 1 )  b0  b 1 ( x 1  x 0 )  f ( x 0 )  b 1 ( x 1  x 0 )
sehingga,
f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0
jadi,
b0  f ( x 0 )
f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0
sehingga interpolasi linier,
f 1 ( x )  b0  b 1 ( x  x 0 )
f ( x1 )  f ( x0 )
f 1 ( x )  f ( x0 )  ( x  x0 )
x1  x0
Contoh 5. 7. 2 :
Kecepatan sebuah roket dapat ditunjukkan sebagai fungsi waktu pada tabel 3 berikut :
Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu
Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30
v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67
a. Tentukan nilai kecepatan pada saat t = 16 detik, gunakan interpolasi polinomial
Newton terbagi derajat 1.
1000
750
v (t) [s] 500
250
0
0 10 20 30 40
t [s]
Gambar 5. 7a. Data Kecepatan Roket terhadap waktu tempuhnya
Penyelesaian :
79

9. Untuk interplasi linier, diberikan
v ( t )  b0  b1 ( t  t 0 )
pada saat t  16 , ditunjukkan data yang mengurung t  16 . Sehingga dapat diambil dua
titik t  15 dan t  20 .
t 0  15 ,  v ( t 0 )  362.78
t 1  20 ,  v( t 1 )  517.35
diberikan,
b0  v ( t 0 )  362.78
v ( t 1 )  v ( t 0 ) 517.35  362.78
b1  
t1  t0 20  15
 30.914
sehingga,
v ( t )  b0  b1 ( t  t 0 )
 362.78  30.914( t  15 ), 15  t  20
pada saat t  16
v( 16 )  362.78  30.914( 16  15 )
 393.69 m/detik
Jika diperluas maka,
v( t )  362.78  30.914( t  15 ), 15  t  20
sehingga,
v( t )  100.93  30.914t , 15  t  20
dan hal ini dapat ditunjukan sama dengan metode lansung sebelumnya.
5. 7. 2 Interpolasi Kuadratik :
Diberikan ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), dan ( x 2 , y 2 ), dengan menginterpolasi kuadrat
ketiga data. Dengan y  f ( x ), y 0  f ( x 0 ), y 1  f ( x 1 ), dan y 2  f ( x 2 ), dengan
asumsi interpolasi kuadratik f 2 ( x ) diberikan
f 2 ( x )  b0  b1 ( x  x 0 )  b 2 ( x  x 0 )( x  x 1 )
Untuk x  x 0 ,
f ( x 0 )  f 2 ( x 0 )  b0  b1 ( x 0  x 0 )  b2 ( x 0  x 0 )( x 0  x 1 )  b0
sehingga b0  f ( x 0 )
80

10. untuk x  x 1
f ( x 1 )  f 2 ( x 1 )  b0  b1 ( x 1  x 0 )  b2 ( x 1  x 0 )( x 1  x 1 )
f ( x 1 )  f ( x 0 )  b1 ( x 1  x 0 )
maka,
f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0
Untuk x  x 2
f ( x 2 )  f 2 ( x 2 )  b0  b1 ( x 2  x 0 )  b2 ( x 2  x 0 )( x 2  x 1 )
f ( x1 )  f ( x0 )
f ( x 2 )  f ( x0 )  ( x 2  x 0 )  b2 ( x 2  x 0 )( x 2  x 1 )
x1  x0
f ( x1 )  f ( x0 )
f ( x 2 )  f ( x0 )   x 2  x0 
x1  x0
b2 
 x 2  x 0  x 2  x 1 
f ( x 2 )  f ( x0 )
 x1  x0   f ( x1 )  f ( x0 )  x 2  x0 
 x1  x0   x1  x0 
=
 x 2  x 0  x 2  x 1 
f ( x 2 )  f ( x0 )
 x1  x0   f ( x1 )  f ( x0 )  x 2  x0 
 x 1  x 0  x 2  x 1   x 1  x 0  x 2  x 1 
=
 x 2  x0 
 

f ( x2 )
 x1  x0   f ( x1 )
 x 2  x0 
 x  x0  x 2  x 1   x 1  x0  x 2  x 1 
=  1 
 x 2  x0 
  f ( x0 )  f ( x0 ) 
  x1  x0    x 2  x0 
  x 1  x 0  x 2  x 1   x 1  x0  x 2  x 1  

 x 2  x0 
maka
f ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x2  x1 x1  x0
b2 
x 2  x0
sehingga interpolasi kuadratnya adalah
f 2 ( x )  b0  b1 ( x  x 0 )  b 2 ( x  x 0 )( x  x 1 )
f ( x 1 )  f ( x0 )
f 2 ( x )  f ( x0 )  ( x  x0 )
x 1  x0
81

11. f ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x 1 )  f ( x0 )

x 2  x1 x 1  x0
 ( x  x0 )( x  x1 )
x 2  x0
y
(x1, y1) (x2, y2)
f2 (x)
(x0, y0)
x
Gambar 5.7a. Interpolasi Kuadratik
Tentukan kecepatan pada waktu t = 16 detik, gunakan interpolasi Newton terbagi
derajat dua (kuadratik). Carilah pendekatan galat mutlak relatif.
Penyelesaian
Rumus kecepatan dapat diadaptasi kebentuk,
v ( t )  b0  b1 ( t  t 0 )  b2 ( t  t 0 )( t  t 1 )
selanjutnya akan diccari kecapatan pada saat t  16 , dibutuhkan tiga data yang mengurung
t  16 , sehingga t 0  10 , t 1  15 , and t 2  20 .
t 0  10 , v ( t 0 )  227.04
t 1  15 , v( t 1 )  362.78
t 2  20 , v( t 2 )  517.35
maka,
b0  v ( t 0 )  227.04
v ( t 1 )  v ( t 0 ) 362.78  227.04
b1    27.148
t1  t0 15  10
v( t 2 )  v( t 1 ) v( t 1 )  v( t 0 )

t2  t1 t1  t0
b2 
t 2  t0
82

12. 517.35  362.78 362.78  227.04

20  15 15  10 30.914  27.148
 
20  10 10
 0.37660
sehingga,
v ( t )  b0  b1 ( t  t 0 )  b2 ( t  t 0 )( t  t 1 )
 227.04  27.148( t  10 )  0.37660 ( t  10 )( t  15 ), 10  t  20
untuk t  16 ,
v( 16 )  227.04  27.148( 16  10 )  0.37660( 16  10 )( 16  15 )
 392.19 m/detik
Jika diperluas maka,
v ( t )  227.04  27.148( t  10 )  0.37660 ( t  10 )( t  15 ), 10  t  20
sehingga
v ( t )  12.05  17.733t  0.37660t 2 , 10  t  20
Hal ini, dapat ditunjukkan bahwa metode ini sama dengan metode langsung.
5. 7. 3 Bentuk Umum Interpolasi Polinomial Newton Terbagi
Dari dua kasus diatas, dapat diturunkan rumus umum polinomial metode Newton
terbagi. Misalkan untuk rumus umum polinomial kuadratik,
f 2 ( x )  b0  b1 ( x  x 0 )  b 2 ( x  x 0 )( x  x 1 )
dengan,
b0  f ( x 0 )
f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0
f ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x2  x1 x1  x0
b2 
x 2  x0
dengan pengertian, b0 , b1 , dan b2 merupakan terbagi berhingga. Dengan b0 , b1 , and b2
adalah selisih terbagi pertama, kedua dan ketiga. Notasi selisih terbagi pertama adalah :
f [ x0 ]  f ( x0 )
kedua,
f ( x1 )  f ( x0 )
f [ x1 , x0 ] 
x1  x0
83

13. dan ketiga
f [ x 2 , x1 ]  f [ x1 , x0 ]
f [ x 2 , x1 , x0 ] 
x 2  x0
f ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x2  x1 x1  x0

x 2  x0
dimana f [ x 0 ], f [ x 1 , x 0 ], dan f [ x 2 , x 1 , x 0 ] sebagai fungsi variabel pengurung.
Dapat ditulis ulang sebagai,
f 2 ( x )  f [ x 0 ]  f [ x 1 , x 0 ]( x  x 0 )  f [ x 2 , x 1 , x 0 ]( x  x 0 )( x  x 1 )
Secara umum dapat ditulis ulang interpolasi polinomial Newton selisih terbagi untuk
( n  1 ) titik data,  x 0 , y 0 ,  x 1 , y 1 ,......,  x n  1 , y n  1 ,  x n , y n  sebagai
f n ( x )  b0  b1 ( x  x 0 )  ....  bn ( x  x 0 )( x  x 1 )...( x  x n  1 )
dimana
b0  f [ x 0 ]
b1  f [ x 1 , x 0 ]
b2  f [ x 2 , x 1 , x 0 ]

bn  1  f [ x n  1 , x n  2 ,...., x 0 ]
bn  f [ x n , x n  1 ,...., x 0 ]
berdasarkan hal tersebut diatas definisi untuk m th selisih terbagi adalah
bm  f [ x m ,........, x 0 ]
f [ x m ,........, x 1 ]  f [ x m  1 ,........, x 0 ]

xm  x0
berdasarkan definsi ini, dapat ditunjukkan perhitungan rekursif.
Contoh polinomial derajat 3 untuk data ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), dan ( x 3 , y 3 ),
dapat diturunkan sebagai :
f 3 ( x )  f [ x 0 ]  f [ x 1 , x 0 ]( x  x 0 )  f [ x 2 , x 1 , x 0 ]( x  x 0 )( x  x 1 )
 f [ x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ]( x  x 0 )( x  x 1 )( x  x 2 )
84

14. b0
b1
x0 f (x0) b2
f [x1,x0] b3
x1 f (x1) f [x2,x1,x0]
f [x2,x1] f [x3,x2,x1,x0]
x2 f (x2) f [x3,x2,x1]
f [x3,x2]
x3 f (x3)
Contoh 5. 7. 3. 1
Diketahui kecepatan sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu, seperti pada
Tabel 3 berikut :
Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu
Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30
v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67
a) Tentukan nilai kecepatan pada waktu t = 16 detik gunakan interpolasi polinomial
Newton selisih terbagai derajat tiga. Carilah nilai pendekatan galat mutlak polinomial
derajat interpolasi tersebut.
b) Gunakan interpolasi polinomial derajat tiga dari kecepatan roket pada bagian (a).
Carilah jarak yang ditempuh roket pada waktu t = 11 sampai t = 16 detik.
c) Gunakan interpolasi polinomial derajat tiga dari kecepatan roket pada bagian (a), untuk
mencari percepatan roket pada t = 16 detik.
Penyelesaian :
a) Kecepatan roket dapat dirumuskan sebagai berikut :
v ( t )  b0  b1 ( t  t 0 )  b2 ( t  t 0 )( t  t 1 )  b 3 ( t  t 0 )( t  t 1 )( t  t 2 )
selanjutnya kecepatan pada waktu t  16 , dibutuhkan 4 buah data yang mengurung titik
data t  16 . Kemepat data itu adalah t 0  10 , t 1  15 , t 2  20 , dan t 3  22.5
t 0  10 , v ( t 0 )  227.04
t 1  15 , v( t 1 )  362.78
85

15. t 2  20 , v( t 2 )  517.35
t 3  22.5 , v ( t 3 )  602.97
dimana,
b0  v [ t 0 ]  v ( t 0 )  227.04
v( t 1 )  v( t 0 ) 362.78  227.04
b1  v [ t 1 , t 0 ]    27.148
t1  t0 15  10
v [ t 2 ,t1 ]  v [ t1 ,t0 ]
b2  v [ t 2 , t 1 , t 0 ] 
t 2  t0
v( t 2 )  v( t 1 ) 517.35  362.78
dengan, v[ t2 ,t1 ]    30.914
t2  t1 20  15
v [ t 1 , t 0 ]  27.148
v [ t 2 ,t1 ]  v [ t1 ,t0 ] 30.914  27.148
b2    0.37660
t2  t0 20  10
v [ t 3 ,t 2 ,t1 ]  v [ t 2 ,t1 ,t0 ]
b3 
t 3  t0
dimana,
v[ t3 ,t2 ]  v[ t2 ,t1 ]
v[ t3 ,t2 ,t1 ] 
t3  t1
v( t 3 )  v( t 2 ) 602.97  517.35
v[t3 ,t2 ]    34.248
t3  t2 22.5  20
v( t 2 )  v( t 1 ) 517.35  362.78
v[ t2 ,t1 ]    30.914
t2  t1 20  15
sehingga,
v[ t3 ,t2 ]  v[ t2 ,t1 ] 34.248  30.914
v[ t3 ,t2 ,t1 ]    0.44453
t3  t1 22.5  15
v [ t 2 , t 1 , t 0 ]  0.37660
dan,
v [ t 3 ,t 2 ,t1 ]  v [ t 2 ,t1 ,t0 ]
b3  v [ t 3 , t 2 , t 1 , t 0 ] 
t 3  t0
0.44453  0.37660

22.5  10
 5.4347 x10 3
dimana,
86

16. v ( t )  b0  b1 ( t  t 0 )  b2 ( t  t 0 )( t  t 1 )  b 3 ( t  t 0 )( t  t 1 )( t  t 2 )
 227.04  27.148( t  10 )  0.37660( t  10 )( t  15 )
 5.4347 * 10  3 ( t  10 )( t  15 )( t  20 )
pada t  16 ,
v( 16 )  227.04  27.148( 16  10 )  0.37660( 16  10 )( 16  15 )
 5.4347 * 10  3 ( 16  10 )( 16  15 )( 16  20 )
 392.06 m/detik
b) Jarak yang ditempuh roket tersebut pada waktu t = 11 dan t = 16 detik dapat dihitung
dengan interpolasi polinomial berikut :
v( t )  227.04  27.148( t  10 )  0.37660( t  10 )( t  15 )
10  t  22.5
 5.4347 * 10  3 ( t  10 )( t  15 )( t  20 )
 4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3 10  t  22.5
Hasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai ini, cukup dekat dengan perhitungan nilai
antara t = 10 dan t = 22.5 yang dicakup nilai pada t = 11 dan t = 16.
Jadi
16
s16   s11   v t dt
11
16
  (  4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3 )dt
11
16
 t2 t3 t4 
   4.2541t  21.265  0.13204  0.0054347 
 2 3 4  11
 1605 m
c) Percepatan pada saat t = 16 diberikan sebagai,
d
a( 16 )  v ( t ) t  16
dt
v ( t )  4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3
a( t ) 
d
dt
v( t ) 
d
dt

 4.2541  21.265t  0.13204t 2  0.0054347t 3 
 21.265  0.26408t  0.016304t 2
a( 16 )  21.265  0.26408( 16 )  0.016304( 16 ) 2  29.664 m / det ik 2
87