1. Integrante: Inexis Guedez
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto - Estado Lara
2. Definición de Conjuntos
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de elementos de la misma
naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero
que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de
elementos, en matemáticas es común denotar a los
elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos
por letras mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
3. Definición de Conjuntos
Un conjunto es una colección de elementos de la misma
naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero
que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de
elementos, en matemáticas es común denotar a los
elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos
por letras mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
4. Notación de Conjuntos: Hay dos formas de denotar un
conjunto, por Extensión y por Comprensión.
Por Extensión: Es aquella forma mediante la cual se indica
cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y
menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
B) El conjunto de números negativos impares mayores
que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
Definición de Conjuntos
5. Por Comprensión: Es aquella forma mediante la cual se da
una propiedad que caracteriza a todos los elementos del
conjunto. Ejemplo:
A) Es el conjunto de los números reales comprendidos
entre el 1 y el 2 (incluidos ambos).
B) Se puede entender que el conjunto P está formado por
los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el
conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “
Definición de Conjuntos
6. Ejemplos: Expresar por extensión y por comprensión el
conjunto de días de la semana.
Por Extensión: D = {lunes; martes; miércoles; jueves;
viernes; sábado; domingo}
Por Comprensión: D = { x / x = día de la semana }
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente
cuando constan de los mismos elementos.
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por
nada más. En particular el orden en el que se representen estos es
irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera
idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos
totalmente idénticos repetidos.
Definición de Conjuntos
7. Operaciones con Conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse,
partiendo de ciertos conjuntos dados, podemos obtener
nuevos conjuntos: Supongamos que tenemos los conjuntos
y definidos como se muestra en la siguiente figura:
8. Operaciones con Conjuntos
•Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se
representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que
pertenezcan a M o a N. A este nuevo conjunto le llamamos unión de
M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M ∪ N.
Tenemos en este caso: M ∪ N = {a, b, c, e, g, l}
9. •Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es
el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos
anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto
conformado por los elementos que nuestros conjuntos M y N tienen
en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M y
N, y lo notamos de la siguiente manera: M ∩ N.
Operaciones con Conjuntos
10. Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el
conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que
esté en B.
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que
no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación M menos
N, debes seleccionar los elementos de M que no están en N.
Representamos la diferencia M menos N así: M N. En este caso M
N = {a, c}.
Operaciones con Conjuntos
11. •Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁
que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a
un conjunto U que lo contiene.
En este caso el complemento de M es el conjunto conformado por
todos los elementos del conjunto universal U, que no pertenecen al
conjunto M.
Tenemos que: M∁ = {j, f, g, l, e, i, h} y N∁ = { i, h, j, f, a,c }
Operaciones con Conjuntos
12. •Diferencia Simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
En este caso se deben escoger los elementos de M que no están en
N, y los elementos de N que no están en M.
En el caso de los conjuntos M y N tenemos: M Δ N= { a, c, l, g, e }.
Operaciones con Conjuntos
13. •Producto Cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a,
b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un
segundo elemento b perteneciente a B.
•Ejemplo: {a, c} × {g, l, e} = {(a, g), (a, l), (a, e), (c, g), (c, l), (c, e)}
M x N =
Operaciones con Conjuntos
14. Propiedades de los Conjuntos
Para la unión intersección y complemento hay propiedades.
Asociativa
Para la unión de ===> (AUB) C = AU(BUC)
Para la intersección ==>( AΩB)ΩC = AΩ(CΩB)
Conmutativa
Para la unión de ===> AUB = BUA Para la intersección===> AΩB = BΩA
Indepotencia
Para la unió de====> AUA = A Para la intersección=====> AΩA = A
Distributiva
De la intersección respecto de la unión AU(BΩC)= (AUB)Ω(AUC)
De la unión respecta a la intersección AΩ(BUC) = (AUB)U(AΩC)
15. Propiedades de los Conjuntos
Elemento Neutro
Para la unión en el conjunto vacío =====> CU{}= C
Para la intersección es el conjunto universal CΩX = C
El Elemento Universal
Para la unió AUX= X (ley de dominación)
Para la intersección AΩX = A (ley de identidad)
Elemento Ínfimo
Para la unión AU{ } = A (ley de identidad)
Para la intersección AΩ{ } = { } (ley de simplificación)
La ley de Simplificación
Unión --- intersección AU(AΩB)=A
16. Números Reales
Los números reales son todos aquellos que pueden
representarse en una recta numérica, Por lo tanto, números
como -5, - 6/2, 0, 1, 2 ó 3.5 son considerados reales porque
se pueden plasmar en una representación numérica
sucesiva, en una recta imaginaria.
El conjunto formado por los números racionales e
irracionales es el conjunto de los números reales.
Los números reales son el conjunto que incluye los números
naturales, enteros, racionales e irracionales. La letra R
mayúscula es el símbolo que representa el conjunto de
números reales.
17. Números Reales
La Recta Real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a
todo punto de la recta un número real.
Representación de los Números Reales
Los números reales pueden ser representados en la recta
con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en
los que podemos representarlos de forma exacta.
18. Operaciones de Números Reales
Suma de números reales - Propiedades:
1 Interna: El resultado de sumar 2 números reales es otro número real.
a + b
2 Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
3 Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4 Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo
número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a + 0 =
19. Operaciones de Números Reales
Suma de números reales - Propiedades:
5 Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos
obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. −(−6)
=6
Diferencia de números reales - Propiedades:
La diferencia de dos números reales se define como la suma del
minuendo más el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
20. Operaciones de Números Reales
Producto de números reales - Propiedades:
1 Interna: El resultado de multiplicar 2 números reales es otro número
real. a + b
2 Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a • b) • c = a • (b • c) (e ·π ) · φ = e · (π· φ)
3 Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
a • b = b • a
4 Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a . 1 = a π . 1 = π
21. Operaciones de Números Reales
Producto de números reales - Propiedades:
5 Elemento opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos
obtenemos como resultado el elemento unidad.
6 Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la
suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a • (b + c) = a • b + a • c π • ( e + φ ) = π • e + π • φ
7 Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la
suma en producto extrayendo dicho factor.
a • b + a • c = a • (b + c) π • e + π • φ = π • (e + φ)
22. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de
los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o
igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión
de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos
matemáticos expresan valores desiguales.
La expresión a ≠ b significa que "a" no es igual a "b". Según los
valores particulares de a y de b, puede tenerse a > b, que se lee “a
mayor que b”, cuando la diferencia a−b es positiva y a < b que se
lee “a menor que b”, cuando la diferencia a − b es negativa.
23. Ejemplos de Desigualdades
x ≠ y x no es igual a y.
Ejemplo: El número de días en una semana no es igual a 9.
x > y x es mayor que y.
Ejemplo: 6 > 3
x < y x es menor que y.
Ejemplo: El número de días en una semana es menor que el
número de días en un año.
x ≥ y x es mayor o igual a y.
Ejemplo: 31 es mayor o igual al número de días en un mes.
x ≤ y x es menor o igual a y.
Ejemplo: La velocidad legal de un carro en una zona de 25 mph
es menor o igual a 25 mph.
24. Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su
nivel de aceptación. Ninguna de ellas no incluye la desigualdad
general (≠).
Son las siguientes:
Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la
igualdad entre elementos. De este modo, entenderemos
como desigualdades de este tipo el “mayor que” (>) o “menor
que” (<).
Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las
que no se especifica si uno de los elementos es mayor/menor
o igual. Por lo tanto, estamos hablando de “menor o igual
que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).
Tipología de Desigualdades
25. Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el
mismo valor, la desigualdad se mantiene.
4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el
mismo valor, la desigualdad se mantiene.
4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de
expresión, la desigualdad se mantiene.
4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 – 3
Propiedades de la desigualdad
26. Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la
expresión, la desigualdad se mantiene.
4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un
número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
Si se divide ambos miembros de la expresión por un
número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
Propiedades de la desigualdad
27. Las desigualdades se pueden graficar en la recta numérica.
Se muestran tres ejemplo de desigualdades y sus gráficas.
x < 2
x ≤ −4
x ≥ −3
Representando Desigualdades en la Recta Numérica
28. El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto
que un número real puede ser positivo, negativo o cero, se tiene: El
valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor
numérico (con signo positivo).
Ejemplos
Notemos que:
Si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
Si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto
(número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);
Si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni
positivo ni negativo.
Valor Absoluto
29. Propiedades del Valor Absoluto
Si a y b son dos números reales, entonces se cumple:
|−a |=| a |
| a|2= a2
a = 𝑎2, donde 𝑎 denota la raíz no negativa de a,
para cualquier número a ≥ 0
|a.b| = | a |.| b |
𝑎
𝑏
=
|a|
|b|
Ejemplos
Valor Absoluto
30. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una variable dentro.
Propiedades Desigualdades con valor absoluto
1. Si |x| k y k 0 entonces –k x k. En la siguiente figura se
observa, que los puntos que satisfacen que su distancia al origen es
menor que k son los que se encuentran a la derecha de –k y a la
izquierda de k
2. Si |x| k y k 0 entonces x k o x -k. Los puntos cuya
distancia al origen es mayor que k son los que están a la derecha de
k o bien los que se encuentran a la izquierda de –k.
Desigualdades con un Valor Absoluto
31. Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad |x|<4 significa que la distancia entre x y 0 es menor
que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
Ejemplos: Resolver y graficar: | x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla
en una desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
Desigualdades con un Valor Absoluto
La gráfica se vería así:
32. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad |x|> 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor
que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es
Ejemplos: Resolver y graficar.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
Desigualdades con un Valor Absoluto
33. Desigualdades con un Valor Absoluto
Ejemplo:
Aplicamos la propiedad 1:
Obtenemos dos desigualdades de ésta:
Resolvemos la primera: Resolvemos la segunda:
Por tanto, como deben cumplirse ambas inecuaciones, la
solución de la inecuación inicial es:
34. Desigualdades con un Valor Absoluto
Ejemplo:
Por la propiedad 2, tenemos dos inecuaciones:
Las soluciones de la primera son. La de la segunda son.
x > 8 x < 2
Por tanto, las soluciones de la inecuación inicial son
35. Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o
sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen
o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación
de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente
figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la
circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría
analítica.
El Plano Numérico (Distancia Entre Dos
Puntos y Punto Medio)
37. Partes del plano cartesiano
Los elementos y características que conforman el plano
cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y
las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno.
Ejes coordenados: Se llaman ejes coordenados a las dos
rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del
plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.
Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera
horizontal y se identifica con la letra “x”.
Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado
verticalmente y se representa con la letra “y”.
El Plano Numérico
38. El Plano Numérico
Origen o punto 0: Se llama origen al punto en el que se
intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor
de cero (0). Cada eje representa una escala numérica que será
positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del
origen.
Cuadrantes del plano cartesiano: Se llama cuadrantes a las
cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas
perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de
estos cuadrantes.
39. El Plano Numérico
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números
romanos: I, II, III y IV.
Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
40. Coordenadas del plano cartesiano: Las coordenadas son los
números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las
coordenadas se forman asignando un determinado valor al
eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la
siguiente manera:
P (x, y), donde: P = punto en el plano;
x = eje de la abscisa (horizontal);
y = eje de la ordenada (vertical).
Ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son:
Cuadrante I, P (2, 3);
Cuadrante II, P (-3, 1);
Cuadrante III, P (-3, -1) y
Cuadrante IV, P (3, -2).
El Plano Numérico
41. El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un
punto del segmento que dista lo mismo de A que de B.
Esto quiere decir que si es un segmento acotado, el punto
medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el
punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.
Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del
segmento.
Punto Medio de un Segmento
42. La Fórmula del Punto Medio
En una dimensión (En la recta numérica)
En una recta numérica, el número a la mitad entre x 1 y x 2 es
Ejemplo: Encuentre el punto medio entre –1 y 4.
Usando la fórmula del punto medio es:
= (–1 + 4)/2
= 3/2 = 1,5.
Punto Medio de un Segmento
43. La Fórmula del Punto Medio
En dos dimensiones (En el Plano Cartesiano)
Tenemos dos puntos en el plano (x1, y1) y (x2, y2), encontrar el
punto a la mitad entre ellos. Las coordenadas de este punto
medio serán:
Una forma fácil para pensar en esto es que la coordenada en x
del punto medio es el promedio de las coordenadas en x de los
dos puntos, y de la misma forma con la coordenada en y.
Punto Medio de un Segmento
44. La Fórmula del Punto Medio
En dos dimensiones (En el Plano Cartesiano)
Ejemplo: Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7).
Usando la fórmula las coordenadas del punto medio son:
=
= (2.5, 6)
Punto Medio de un Segmento
45. La Fórmula del Punto Medio
En dos dimensiones (En el Plano Cartesiano)
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto C del punto medio
del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3) y B(6, 5).
С= (2.5, 4).
Punto Medio de un Segmento
46. Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del
segmento de recta que los une, expresado numéricamente.
Dados dos puntos cualesquiera A(x1, y1), B(x2, y2),
definimos la distancia entre ellos, d(A, B), como la longitud
del segmento que los separa.
47. Distancia entre dos puntos
La Fórmula de la Distancia
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la
fórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración
usa el teorema de Pitágoras.
Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la
distancia entre dos puntos dados sus coordenadas. La distancia
entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d(P1, P2).
La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.
48. Distancia entre dos puntos
Ejemplo 1: Distancia entre los puntos A= (1,4) y B= (5,2).
Empezamos por graficar los dos puntos en el plano coordenado.
Se puede ver que, para llegar al punto B= (5,2) desde el punto A=
(1,4), necesitamos movernos 4 unidades hacia la derecha y 2
unidades hacia abajo.
Para encontrar la distancia entre A y B debemos encontrar el
valor de d. Lo haremos aplicando del Teorema de Pitágoras.
49. Distancia entre dos puntos
Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos C= (2,-1) y D=
(−3, −4).
Situamos ambos puntos en la gráfica.
Observamos que, para ir desde el punto C al punto D,
necesitamos movernos 3 unidades hacia abajo y 5 unidades
hacia la izquierda.
50. Distancia entre dos puntos
Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos C= (2,-1) y D=
(−3, −4).
Podemos encontrar la distancia entre C y D si determinamos la
longitud d. De nuevo, lo haremos aplicando el Teorema de
Pitágoras pero con la formula generalizada.
𝑑 = 2 − −3
2
+ −1 − −4
2
= 5 2 + 3 2 = 25 + 9 = 34 = 5.83
51. Representación Gráfica de las Cónicas
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las
curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono
y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las
cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse,
parábola, hipérbola y circunferencia.
52. Circunferencia
Sea O un punto del plano y sea “r” un número real positivo. Se
define la circunferencia como el conjunto de puntos P(x, y) tal
que la distancia P a O es igual a “r”.
Es decir:
Circunferencia = {P(x, y) / d(P, O) = r}
Al punto O se le denomina centro de la circunferencia y a “r” se
le denomina radio de la circunferencia.
Representación Gráfica de las Cónicas
53. Representación Gráfica de la Circunferencia
Supongamos que O tiene coordenadas (h, k)
La distancia entre los puntos P(x, y) de la circunferencia y el
punto C (h, k), la cual denotaremos como “r”, está dada por
Entonces tenemos:
Representación Gráfica de las Cónicas
55. Parábola
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el
conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al punto F es igual
a su distancia a la recta l.
Es decir:
Parábola = {P(x, y) / d(P, F) = d(p, l)}
Al punto F de la parábola se le denomina foco de la parábola y a
la recta l se le denomina directriz de la parábola. El punto V se le
denomina vértice de la parábola. A la recta perpendicular a la
directriz, que contiene el vértice y el foco se le denomina Eje
Focal.
Representación Gráfica de las Cónicas
56. Representación Gráfica de la Parábola
Representación Gráfica de las Cónicas
Cuando la parábola es cóncava
hacia arriba con eje focal vertical
y su ecuación es:
Cuando la parábola es cóncava
hacia abajo con eje focal vertical y
su ecuación es:
57. Representación Gráfica de la Parábola
Representación Gráfica de las Cónicas
Cuando la parábola es cóncava
hacia la derecha con eje focal
horizontal y su ecuación es:
Cuando la parábola es cóncava
hacia la izquierda con eje focal
horizontal y su ecuación es:
58. Elipse
Sea F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva.
La elipse se define como el conjunto de puntos P(x,y) tales que
la suma de su distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a.
Es decir:
Elipse = {P(x, y) / d(P, F1) + d(P, F2) = 2a}
A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y “a” representa la
medida del semieje mayor a la elipse.
Representación Gráfica de las Cónicas
59. Representación Gráfica de la Elipse
Representación Gráfica de las Cónicas
Cuando la Elipse tiene su eje
focal horizontal su ecuación y su
grafica es:
Cuando la Elipse tiene su eje focal
vertical su ecuación y su grafica es:
60. Hipérbola
Sea F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva.
La hipérbola se define como el conjunto de puntos P(x, y) del
plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia
a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a.
Es decir:
Hipérbola = {P(x, y) / |d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a}
A F1 y F2 se les denomina focos de la hipérbola y “a” representa
la medida del semieje mayor.
Representación Gráfica de las Cónicas
61. Representación Gráfica de la Hipérbola
Representación Gráfica de las Cónicas
Cuando la Hipérbola tiene su eje
focal horizontal su ecuación y su
grafica es:
Cuando la Hipérbola tiene su eje
focal vertical su ecuación y su
grafica es:
62. Ejercicios Resuelto
Ejercicios de Valor Absoluto
Ejercicio Nro. 1
Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto: | X – 4 | = 1
Solución
Supongamos que x−4 es mayor o igual que 0:
X – 4 ≥ 0
Esto ocurre cuando X ≥ 4
El valor absoluto de x−4 es x−4, así que la ecuación que tenemos es
X – 4 = 1
X = 1 + 4
X = 5
Supongamos ahora que x−4 es menor que 0:
X – 4 < 0
Esto ocurre cuando x < 4
El valor absoluto de x−4 es −(x−4), así que la ecuación que tenemos es
-(X – 4) = 1
-X + 4 = 1
X = 4 – 1
X = 3
La ecuación tiene dos soluciones: x = 5 y x=3.
63. Ejercicios Resuelto
Ejercicios Desigualdades con Valor Absoluto
Ejercicio Nro. 1
Para resolver la desigualdad, | X – 3 | ≤ 2
Solución:
Necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta.
x – 3 ≤ 2 y x – 3 ≥ -2
–2 ≤ x – 3 ≤ 2
Sume 3 en cada expresión.
-2 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 2 + 3
1 ≤ x ≤ 5
La gráfica se vería así:
